Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí sú „veľmi vyrovnaní...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". Znamená to, že v rovnici nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem neho rovnica môže (ale nemusí byť!) len x (v prvej mocnine) a len číslo (voľný člen). A nemali by tam byť žiadne x o stupeň väčší ako dva.

Matematicky povedané, kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale a- čokoľvek iné ako nula. Napríklad:

Tu a =1; b = 3; c = -4

Tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu a =-3; b = 6; c = -18

No, chápete ...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je Plný setčlenov. X na druhú s koeficientom a, x na prvú mocninu s koeficientom b a voľný termín s.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú plný.

Čo ak b= 0, čo získame? Máme X zmizne na prvom stupni. Stane sa to z násobenia nulou.) Ukazuje sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2-6x = 0,

-x2 + 4x = 0

Atď. A ak oba koeficienty, b a c sa rovnajú nule, je to ešte jednoduchšie:

2x 2 = 0,

-0,3 x 2 = 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Vezmite prosím na vedomie, že x na druhú je prítomný vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo a nemôže byť nula? A ty nahrádzaš a nula.) X v štvorci nám zmizne! Rovnica sa stáva lineárnou. A rozhoduje sa úplne iným spôsobom ...

Toto sú všetky hlavné typy kvadratické rovnice... Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. pozrieť sa:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, a, b a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný... Ale o ňom - ​​nižšie. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c do tohto vzorca a počítať. Náhradník s tvojimi znakmi! Napríklad v rovnici:

a =1; b = 3; c= -4. Takže si zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo si myslíte, nemožno si pomýliť? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena s významovými znakmi. a, b a c... Skôr nie s ich znakmi (kde sa to má zamieňať?), Ale s nahradením záporných hodnôt vo vzorci na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný zápis vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtom, urob tak!

Predpokladajme, že potrebujete vyriešiť tento príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku bude trvať 30 sekúnd a počet chýb sa prudko zníži... Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak starostlivo. Ale to sa len zdá. Skús to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo maľovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak použijete praktické techniky opísané nižšie. Tento zlý príklad s množstvom nedostatkov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Zistili ste?) Áno! to neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené pomocou všeobecného vzorca. Musíte len správne zistiť, čomu sa rovnajú a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; a c? On tam vôbec nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto nuly vo vzorci nahraďte c, a uspejeme. Rovnako je to aj s druhým príkladom. Len nulu tu nemáme s, a b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zvážte prvé neúplná rovnica... Čo môžete robiť tam na ľavej strane? Môžete dať x zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, keď sa ktorýkoľvek z faktorov rovná nule! neveríš mi? Potom si vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetko. Toto budú korene našej rovnice. Obaja sa hodia. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie všeobecného vzorca. Mimochodom, všimnem si, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - je úplne ľahostajné. Je vhodné písať v poradí, x 1- čo je menej, a x 2- čo je viac.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením x do zátvoriek, alebo jednoduchým posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z x, čo je akosi nezrozumiteľné, a v druhom prípade nie je čo dať zo zátvoriek ...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Vzácny stredoškolák toto slovo ešte nepočul! Fráza „rozhodovať sa prostredníctvom diskriminujúceho“ je upokojujúca a upokojujúca. Pretože nie je potrebné čakať na špinavé triky od diskriminanta! Je jednoduchý a bezproblémový na používanie.) Spomínam si na najvšeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Zvyčajne sa diskriminant označuje písmenom D... Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také pozoruhodné? Prečo si zaslúžila špeciálne pomenovanie? Čo čo znamená diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci konkrétne nepomenúvajú ... Písmená a písmená.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné iba tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z neho môžete extrahovať koreň. Dobrý koreň je extrahovaný, alebo zlý - ďalšia otázka. Dôležité je, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Keďže sčítanie-odčítanie nuly v čitateli nič nemení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké... Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Od záporné číslo druhá odmocnina sa neextrahuje. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne, s jednoduché riešenie kvadratických rovníc nie je pojem diskriminant zvlášť potrebný. Hodnoty koeficientov dosadíme do vzorca, ale počítame. Tam sa všetko ukáže samo, a dva korene, jeden, a nie jeden. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a diskriminačné vzorce nedostatočné. Najmä - v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobacia na štátnej skúške a jednotnej štátnej skúške!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo ste sa naučili, čo tiež nie je zlé.) Viete, ako správne identifikovať a, b a c... Ty vieš ako pozorne nahradiť ich v koreňovom vzorci a pozorne prečítajte si výsledok. Uvedomil si si to kľúčové slovo tu - pozorne?

Zatiaľ si všimnite osvedčené postupy, ktoré výrazne znížia počet chýb. Práve tie, ktoré sú spôsobené nepozornosťou ... Pre ktoré to potom bolí a uráža ...

Prvý príjem ... Nebuďte leniví, aby ste to pred riešením kvadratickej rovnice priviedli do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Povedzme, že po niekoľkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance. a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv sa X odmocní, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred x v štvorci vás môže poriadne mrzieť. Je ľahké na to zabudnúť ... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Celú rovnicu musíte vynásobiť -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad. Urob si sám. Mali by ste mať korene 2 a -1.

Príjem druhého. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Nebojte sa, všetko vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme zapísali vzorec pre korene. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Mali by ste získať bezplatného člena, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s mojím znamením ... Ak to nefungovalo, potom je to už niekde pokazené. Hľadajte chybu.

Ak to vyjde, treba korienky zložiť. Posledná a posledná kontrola. Mali by ste dostať koeficient b s opak známy. V našom prípade -1 + 2 = +1. A koeficient b ktorý je pred x je -1. Takže všetko je správne!
Škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čistá, s koeficientom a = 1. Ale aspoň v takýchto rovniciach, skontrolujte! Chýb bude menej.

Tretia recepcia ... Ak máte v rovnici zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom, ako je popísané v časti Ako riešiť rovnice? Identické transformácie. Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu vyskytujú chyby ...

Mimochodom, sľúbil som, že zjednoduším zlý príklad s množstvom mínusov. Prosím! Tu to je.

Aby sme sa nemýlili v mínusoch, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Radosť rozhodovať!

Takže, aby som zhrnul tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správny.

2. Ak je pred x v štvorci záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient je sa rovná jednej, riešenie možno ľahko overiť Vietovou vetou. Urob to!

Teraz sa môžete rozhodnúť.)

Riešte rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Zapadá to všetko do seba? Dobre! Kvadratické rovnice vás nebolí. Prvé tri fungovali, ale zvyšok nie? Potom problém nie je s kvadratickými rovnicami. Problém je v identických transformáciách rovníc. Prejdite sa po odkaze, je to užitočné.

Necvičíte úplne? Alebo to nefunguje vôbec? Potom vám pomôže oddiel 555. Tam sú všetky tieto príklady roztriedené na kúsky. Zobrazené hlavný chyby v riešení. Samozrejme hovorí aj o použití identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľmi pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Okamžité overovacie testovanie. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

V pokračovaní témy „Riešenie rovníc“ vám materiál v tomto článku predstaví kvadratické rovnice.

Zvážme všetko podrobne: podstatu a písanie kvadratickej rovnice, nastavíme súvisiace pojmy, analyzujeme schému riešenia neúplných a úplné rovnice, zoznámime sa so vzorcom koreňov a diskriminantu, nadviažeme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi a samozrejme si dáme názorné riešenie praktických príkladov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnica, jej typy

Definícia 1

Kvadratická rovnica Je rovnica napísaná ako a x 2 + b x + c = 0, kde X- premenné, a, b a c- niektoré čísla, kým a nie je nula.

Kvadratické rovnice sa často nazývajú aj rovnice druhého stupňa, pretože kvadratická rovnica je v podstate algebraická rovnica druhého stupňa.

Uveďme príklad na ilustráciu danej definície: 9 · x 2 + 16 · x + 2 = 0; 7,5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 atď. Sú kvadratické rovnice.

Definícia 2

Čísla a, b a c Sú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, pričom koeficient a sa nazýva prvý, alebo senior, alebo koeficient pri x 2, b - druhý koeficient, alebo koeficient pri X, a c nazývaný voľný člen.

Napríklad v kvadratickej rovnici 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 najvyšší koeficient je 6, druhý koeficient je − 2 a voľný termín je − 11 ... Venujme pozornosť tomu, že keď koeficienty b a / alebo c sú záporné, potom sa použije krátky zápis tvaru 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.

Ujasnime si aj tento aspekt: ​​ak koeficienty a a/alebo b sú si rovné 1 alebo − 1 , potom sa nemôžu výslovne zúčastniť na zaznamenávaní kvadratickej rovnice, čo sa vysvetľuje zvláštnosťami zaznamenávania uvedených číselných koeficientov. Napríklad v kvadratickej rovnici y2 - y + 7 = 0 najvyšší koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Podľa hodnoty prvého koeficientu sa kvadratické rovnice delia na redukované a neredukované.

Definícia 3

Redukovaná kvadratická rovnica Je to kvadratická rovnica, kde vodiaci koeficient je 1. Pre ostatné hodnoty vedúceho koeficientu sa kvadratická rovnica nezníži.

Uveďme príklady: kvadratické rovnice x 2 - 4 x + 3 = 0, x 2 - x - 4 5 = 0 sú redukované, v každej z nich je vodiaci koeficient 1.

9 x 2 - x - 2 = 0- neredukovaná kvadratická rovnica, kde prvý koeficient je odlišný od 1 .

Akákoľvek neredukovaná kvadratická rovnica môže byť transformovaná na redukovanú rovnicu vydelením oboch častí prvým koeficientom (ekvivalentná transformácia). Transformovaná rovnica bude mať rovnaké korene ako daná neredukovaná rovnica, alebo tiež nebude mať žiadne korene.

Úvaha konkrétny príklad nám umožní názorne demonštrovať realizáciu prechodu z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad 1

Rovnica je 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Pôvodnú rovnicu je potrebné previesť do redukovaného tvaru.

Riešenie

Podľa vyššie uvedenej schémy vydelíme obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 6. Potom dostaneme: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0:3 a toto je to isté ako: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 a ďalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Preto: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Tak sa získa rovnica, ktorá je ekvivalentná danej.

odpoveď: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Poďme k definícii kvadratickej rovnice. V ňom sme si to objasnili a ≠ 0... Podobná podmienka je potrebná pre rovnicu a x 2 + b x + c = 0 bol presne štvorcový, keďže pre a = 0 je v podstate premenený na lineárna rovnica b x + c = 0.

V prípade, že koeficienty b a c rovná nule (čo je možné jednotlivo aj spoločne), kvadratická rovnica sa nazýva neúplná.

Definícia 4

Neúplná kvadratická rovnica Je to taká kvadratická rovnica a x 2 + b x + c = 0, kde je aspoň jeden z koeficientov b a c(alebo oboje) je nula.

Úplná kvadratická rovnica- kvadratická rovnica, v ktorej sa všetky číselné koeficienty nerovnajú nule.

Poďme diskutovať o tom, prečo sa typom kvadratických rovníc dávajú práve takéto názvy.

Pre b = 0 má kvadratická rovnica tvar a x 2 + 0 x + c = 0 ktorý je rovnaký ako a x 2 + c = 0... O c = 0 kvadratická rovnica je napísaná ako a x 2 + b x + 0 = 0čo je ekvivalentné a x 2 + b x = 0... O b = 0 a c = 0 rovnica sa stáva a x 2 = 0... Rovnice, ktoré sme získali, sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje naraz. V skutočnosti táto skutočnosť dala tomuto typu rovníc názov - neúplné.

Napríklad x 2 + 3 x + 4 = 0 a - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 sú úplné kvadratické rovnice; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, - x 2 - 6 x = 0 - neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Vyššie uvedená definícia umožňuje rozlíšiť nasledujúce typy neúplných kvadratických rovníc:

• a x 2 = 0, takáto rovnica zodpovedá koeficientom b = 0 a c = 0;
• a x 2 + c = 0 pri b = 0;
• a x 2 + b x = 0 pri c = 0.

Uvažujme postupne o riešení každého typu neúplnej kvadratickej rovnice.

Riešenie rovnice a x 2 = 0

Ako už bolo uvedené vyššie, takáto rovnica zodpovedá koeficientom b a c rovná nule. Rovnica a x 2 = 0 možno previesť na ekvivalentnú rovnicu x 2 = 0, ktorý dostaneme vydelením oboch strán pôvodnej rovnice číslom a nerovná sa nule. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 = 0 je nulová, pretože 0 2 = 0 ... Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo možno vysvetliť vlastnosťami stupňa: pre ľubovoľné číslo p, nerovná sa nule, nerovnosť je pravdivá p 2 > 0, z čoho vyplýva, že za p ≠ 0 rovnosť p2 = 0 sa nikdy nedosiahne.

Definícia 5

Pre neúplnú kvadratickú rovnicu a x 2 = 0 teda existuje jedinečný koreň x = 0.

Príklad 2

Napríklad riešme neúplnú kvadratickú rovnicu - 3 x 2 = 0... Rovnica je jej ekvivalentná x 2 = 0, jej jediným koreňom je x = 0, potom má pôvodná rovnica tiež jeden koreň - nulu.

Stručne povedané, riešenie je formalizované takto:

- 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Riešenie rovnice a x 2 + c = 0

Ďalším krokom je riešenie neúplných kvadratických rovníc, kde b = 0, c ≠ 0, teda rovníc tvaru a x 2 + c = 0... Túto rovnicu transformujeme tak, že prenesieme člen z jednej strany rovnice na druhú, zmeníme znamienko na opačné a obe strany rovnice vydelíme číslom, ktoré sa nerovná nule:

• preniesť c doprava, čo dáva rovnicu a x 2 = - c;
• obe strany rovnice delíme o a, dostaneme ako výsledok x = - c a.

Naše transformácie sú ekvivalentné, respektíve výsledná rovnica je ekvivalentná aj pôvodnej a táto skutočnosť umožňuje vyvodiť záver o koreňoch rovnice. Z toho, aké sú hodnoty a a c hodnota výrazu - c a závisí: môže mať znamienko mínus (napríklad ak a = 1 a c = 2, potom - c a = - 2 1 = - 2) alebo znamienko plus (napríklad ak a = - 2 a c = 6 potom - ca = - 6 - 2 = 3); nie je to nula, pretože c ≠ 0... Zastavme sa podrobnejšie pri situáciách, keď - c a< 0 и - c a > 0 .

V prípade, keď - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p rovnosť p 2 = - c a nemôže byť pravdivá.

Všetko je iné, keď - c a > 0: zapamätajte si druhú odmocninu a je zrejmé, že koreňom rovnice x 2 = - c a bude číslo - c a, keďže - c a 2 = - c a. Je ľahké pochopiť, že číslo - - c a je tiež koreňom rovnice x 2 = - c a: skutočne - - c a 2 = - c a.

Rovnica nebude mať žiadne iné korene. Môžeme to demonštrovať pomocou protichodnej metódy. Na začiatok definujeme označenie koreňov nájdených vyššie ako x 1 a - x 1... Predpokladajme, že aj rovnica x 2 = - c a má koreň x 2 ktorý sa líši od koreňov x 1 a - x 1... Vieme to, dosadzovanie v rovnici namiesto X jej korene, transformujeme rovnicu na spravodlivú číselnú rovnosť.

Pre x 1 a - x 1 píšeme: x 1 2 = - c a, a pre x 2- x 2 2 = - c a. Na základe vlastností číselných rovníc odčítame jednu skutočnú rovnosť od druhého člena po člene, čím dostaneme: x 1 2 - x 2 2 = 0... Vlastnosti akcií na číslach používame na prepísanie poslednej rovnosti ako (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0... Je známe, že súčin dvoch čísel je nula vtedy a len vtedy, ak aspoň jedno z čísel je nula. Z toho, čo bolo povedané, vyplýva x 1 - x 2 = 0 a/alebo x 1 + x 2 = 0čo je to isté x 2 = x 1 a/alebo x 2 = - x 1... Vznikol zjavný rozpor, pretože najprv sa zhodlo, že koreň rovnice x 2 sa líši od x 1 a - x 1... Takže sme dokázali, že rovnica nemá žiadne iné korene okrem x = - ca a x = - - c a.

Zhrňme si všetky vyššie uvedené úvahy.

Definícia 6

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + c = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = - c a, ktorá:

• nebude mať korene pre - c a< 0 ;
• bude mať dva korene x = - ca a x = - - c a pre - c a> 0.

Uveďme príklady riešenia rovníc a x 2 + c = 0.

Príklad 3

Daná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0. Je potrebné nájsť na to riešenie.

Riešenie

Voľný člen prenesieme na pravú stranu rovnice, potom bude mať rovnica tvar 9 x 2 = - 7.
Obe strany výslednej rovnice vydelíme o 9 , dospejeme k x 2 = - 7 9. Na pravej strane vidíme číslo so znamienkom mínus, čo znamená: daná rovnica nemá korene. Potom pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nebude mať korene.

odpoveď: rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nemá korene.

Príklad 4

Je potrebné vyriešiť rovnicu - x 2 + 36 = 0.

Riešenie

Presuňte 36 na pravú stranu: - x 2 = - 36.
Rozdeľme si obe časti na − 1 , dostaneme x 2 = 36... Na pravej strane je kladné číslo, z čoho to môžeme usúdiť x = 36 resp x = - 36.
Vyberme koreň a zapíšme si konečný výsledok: neúplnú kvadratickú rovnicu - x 2 + 36 = 0 má dva korene x = 6 alebo x = - 6.

odpoveď: x = 6 alebo x = - 6.

Riešenie rovnice a x 2 + b x = 0

Analyzujme tretí druh neúplných kvadratických rovníc, keď c = 0... Nájsť riešenie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + b x = 0, použijeme metódu faktorizácie. Vylúčime polynóm na ľavej strane rovnice, pričom spoločný faktor vyberieme mimo zátvoriek X... Tento krok umožní previesť pôvodnú neúplnú kvadratickú rovnicu na jej ekvivalent x (a x + b) = 0... A táto rovnica je zase ekvivalentná množine rovníc x = 0 a a x + b = 0... Rovnica a x + b = 0 lineárny a jeho koreň je: x = - b a.

Definícia 7

Teda neúplná kvadratická rovnica a x 2 + b x = 0 bude mať dva korene x = 0 a x = - b a.

Opravme materiál príkladom.

Príklad 5

Je potrebné nájsť riešenie rovnice 2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0.

Riešenie

Vytiahnite X zátvorkách a získajte rovnicu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0. Táto rovnica je ekvivalentná s rovnicami x = 0 a 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz musíte vyriešiť výslednú lineárnu rovnicu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Stručne zapíšeme riešenie rovnice takto:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo x = 3 3 7

odpoveď: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na nájdenie riešenia kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec:

Definícia 8

x = - b ± D 2 a, kde D = b2-4a c- takzvaný diskriminant kvadratickej rovnice.

Označenie x = - b ± D 2 · a v podstate znamená, že x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bude užitočné pochopiť, ako bol uvedený vzorec odvodený a ako ho použiť.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Postavme sa pred úlohu vyriešiť kvadratickú rovnicu a x 2 + b x + c = 0... Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• vydeľ obe strany rovnice číslom a, nenulová, dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu: x 2 + b a · x + c a = 0;
• vyberte celý štvorec na ľavej strane výslednej rovnice:
  x 2 + ba x + ca = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Potom rovnica nadobudne tvar: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• teraz je možné preniesť posledné dva členy na pravú stranu zmenou znamienka na opačné, po čom dostaneme: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a;
• nakoniec transformujeme výraz napísaný na pravej strane poslednej rovnosti:
  b 2 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - c a = b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2.

Tak sme sa dostali k rovnici x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2, ktorá je ekvivalentná pôvodnej rovnici a x 2 + b x + c = 0.

Riešenie takýchto rovníc sme analyzovali v predchádzajúcich odsekoch (riešenie neúplných kvadratických rovníc). Už získané skúsenosti umožňujú vyvodiť záver o koreňoch rovnice x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• pri b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• pre b 2 - 4 a c 4 a 2 = 0 má rovnica tvar x + b 2 a 2 = 0, potom x + b 2 a = 0.

Jediný koreň x = - b 2 · a je teda zrejmý;

• pre b 2 - 4 a c 4 a 2> 0 bude platiť: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 alebo x = b 2 a - b 2 - 4 ac 4 a 2, čo je to isté ako x + - b 2 a = b 2 - 4 ac 4 a 2 alebo x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, t.j. rovnica má dva korene.

Je možné dospieť k záveru, že prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (a teda pôvodnej rovnice) závisí od znamienka výrazu b 2 - 4 a c 4 · A 2 napísané na pravej strane. A znamienko tohto výrazu je dané znamienkom čitateľa (menovateľ 4 a 2 bude vždy kladné), teda znakom výrazu b 2 - 4 a c... Tento výraz b 2 - 4 a c je uvedený názov - diskriminant kvadratickej rovnice a písmeno D je definované ako jej označenie. Tu si môžete zapísať podstatu diskriminantu - podľa jeho hodnoty a znamienka sa usudzuje, či kvadratická rovnica bude mať skutočné korene, a ak áno, aký je počet koreňov - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2. Prepíšeme ho pomocou zápisu pre diskriminant: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2.

Znova sformulujme závery:

Definícia 9

• pri D< 0 rovnica nemá skutočné korene;
• pri D = 0 rovnica má jeden koreň x = - b 2 · a;
• pri D > 0 rovnica má dva korene: x = - b 2 a + D 4 a 2 alebo x = - b 2 a - D 4 a 2. Na základe vlastností radikálov možno tieto korene zapísať ako: x = - b 2 a + D 2 a alebo - b 2 a - D 2 a. A keď otvoríme moduly a privedieme zlomky do spoločného menovateľa, dostaneme: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Výsledkom našej úvahy bolo odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D vypočítané podľa vzorca D = b2-4a c.

Tieto vzorce umožňujú, s diskriminantom väčším ako nula, určiť oba skutočné korene. Keď je diskriminant nulový, použitie oboch vzorcov poskytne rovnaký koreň ako jediné riešenie kvadratickej rovnice. V prípade, že je diskriminant záporný, pri pokuse použiť vzorec druhej odmocniny budeme čeliť potrebe extrahovať druhú odmocninu zo záporného čísla, čím sa dostaneme za reálne čísla. S negatívnym diskriminantom nebude mať kvadratická rovnica skutočné korene, ale je možný pár komplexne konjugovaných koreňov, určených rovnakými koreňovými vzorcami, aké sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

Je možné vyriešiť kvadratickú rovnicu okamžite pomocou koreňového vzorca, ale v zásade sa to robí, keď je potrebné nájsť zložité korene.

Vo väčšine prípadov sa zvyčajne nehľadá zložité, ale skutočné korene kvadratickej rovnice. Potom je optimálne, pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najskôr určiť diskriminant a uistiť sa, že nie je záporný (v opačnom prípade dospejeme k záveru, že rovnica nemá žiadne skutočné korene), a potom pristúpiť k výpočtu hodnoty koreňov.

Vyššie uvedené úvahy umožňujú formulovať algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice.

Definícia 10

Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, potrebné:

• podľa vzorca D = b2-4a c nájsť hodnotu diskriminantu;
• v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pre D = 0 nájdite jediný koreň rovnice podľa vzorca x = - b 2 · a;
• pre D> 0 určte dva reálne korene kvadratickej rovnice podľa vzorca x = - b ± D 2 · a.

Všimnite si, že keď je diskriminant nulový, môžete použiť vzorec x = - b ± D 2 · a, dá to rovnaký výsledok ako vzorec x = - b 2 · a.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uveďme riešenie príkladov pre rôzne významy diskriminačný.

Príklad 6

Je potrebné nájsť korene rovnice x 2 + 2 x - 6 = 0.

Riešenie

Číselné koeficienty kvadratickej rovnice zapíšeme: a = 1, b = 2 a c = - 6... Ďalej konáme podľa algoritmu, t.j. začnime s výpočtom diskriminantu, za ktorý dosadíme koeficienty a, b a c do diskriminačného vzorca: D = b 2 - 4 a c = 2 2 - 4 1 (- 6) = 4 + 24 = 28.

Takže sme dostali D> 0, čo znamená, že pôvodná rovnica bude mať dva skutočné korene.
Na ich nájdenie použijeme koreňový vzorec x = - b ± D 2 · a a dosadením zodpovedajúcich hodnôt dostaneme: x = - 2 ± 28 2 · 1. Zjednodušme výsledný výraz tým, že vezmeme faktor mimo koreňového znamienka a potom zlomok zredukujeme:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 alebo x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 alebo x = - 1 - 7

odpoveď: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Príklad 7

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu - 4 x 2 + 28 x - 49 = 0.

Riešenie

Definujme diskriminant: D = 28 2 – 4 (- 4) (- 49) = 784 – 784 = 0... Pri tejto hodnote diskriminantu bude mať pôvodná rovnica len jeden koreň, určený vzorcom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

odpoveď: x = 3, 5.

Príklad 8

Je potrebné vyriešiť rovnicu 5 y2 + 6 y + 2 = 0

Riešenie

Číselné koeficienty tejto rovnice budú: a = 5, b = 6 a c = 2. Na nájdenie diskriminantu používame tieto hodnoty: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4. Vypočítaný diskriminant je záporný, takže pôvodná kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene.

V prípade, že úlohou je označiť komplexné korene, použijeme vzorec pre korene a vykonáme akcie s komplexnými číslami:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 alebo x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i alebo x = - 3 5 - 1 5 · i.

odpoveď:žiadne platné korene; komplexné korene sú nasledovné: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

V školských osnovách sa štandardne nevyskytuje požiadavka hľadať komplexné korene, preto ak sa pri riešení diskriminant určí ako záporný, okamžite sa zaznamená odpoveď, že skutočné korene neexistujú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Koreňový vzorec x = - b ± D 2 a (D = b 2 - 4 a n, napríklad 2 3 alebo 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ukážme, ako je tento vzorec odvodený.

Predpokladajme, že stojíme pred úlohou nájsť riešenie kvadratickej rovnice a x 2 + 2 n x + c = 0. Postupujeme podľa algoritmu: určíme diskriminant D = (2 n) 2 - 4 a c = 4 n 2 - 4 a c = 4 (n 2 - a c) a potom použijeme vzorec pre korene:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · cca.

Označme výraz n 2 - a · c ako D 1 (niekedy sa označuje ako D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar:

x = - n ± D 1 a, kde D 1 = n 2 - a · c.

Je ľahké vidieť, že D = 4 · D 1 alebo D 1 = D 4. Inými slovami, D 1 je štvrtina diskriminantu. Je zrejmé, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D, čo znamená, že znamienko D 1 môže slúžiť aj ako indikátor prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Definícia 11

Na nájdenie riešenia kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n je teda potrebné:

• nájdite D 1 = n 2 - a · c;
• v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• keď D 1 = 0, určte jediný koreň rovnice podľa vzorca x = - n a;
• pre D 1> 0 určte dva reálne korene podľa vzorca x = - n ± D 1 a.

Príklad 9

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu 5 x 2 - 6 x - 32 = 0.

Riešenie

Druhý koeficient danej rovnice môže byť reprezentovaný ako 2 · (- 3). Potom danú kvadratickú rovnicu prepíšeme ako 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 = 0, kde a = 5, n = - 3 a c = - 32.

Vypočítame štvrtú časť diskriminantu: D 1 = n 2 - ac = (- 3) 2 - 5 (- 32) = 9 + 160 = 169. Výsledná hodnota je kladná, čo znamená, že rovnica má dva skutočné korene. Definujme ich podľa príslušného koreňového vzorca:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 alebo x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 alebo x = - 2

Bolo by možné vykonať výpočty pomocou obvyklého vzorca pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo riešenie ťažkopádnejšie.

odpoveď: x = 3 1 5 alebo x = - 2.

Zjednodušenie pohľadu na kvadratické rovnice

Niekedy je možné optimalizovať tvar pôvodnej rovnice, čo zjednoduší proces výpočtu koreňov.

Napríklad kvadratická rovnica 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 je jednoznačne vhodnejšia na riešenie ako 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0.

Častejšie sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice vykonáva vynásobením alebo delením oboch jej častí určitým číslom. Napríklad vyššie sme ukázali zjednodušený zápis rovnice 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, získanú vydelením oboch jej častí číslom 100.

Takáto transformácia je možná, keď koeficienty kvadratickej rovnice nie sú prvočísla. Potom sa zvyčajne obe strany rovnice delia najväčším spoločným deliteľom absolútnych hodnôt jej koeficientov.

Ako príklad použite kvadratickú rovnicu 12 x 2 - 42 x + 48 = 0. Určte gcd absolútnych hodnôt jeho koeficientov: gcd (12, 42, 48) = gcd (gcd (12, 42), 48) = gcd (6, 48) = 6. Obe strany pôvodnej kvadratickej rovnice vydelíme 6 a dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 - 7 x + 8 = 0.

Vynásobením oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne zbavíte zlomkových koeficientov. V tomto prípade vynásobte najmenším spoločným násobkom menovateľov jeho koeficientov. Napríklad, ak sa každá časť kvadratickej rovnice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 vynásobí LCM (6, 3, 1) = 6, zapíše sa viac jednoduchá forma x 2 + 4 x - 18 = 0.

Nakoniec si všimneme, že takmer vždy sa zbavíme mínusu pri prvom koeficiente kvadratickej rovnice, pričom zmeníme znamienka každého člena rovnice, čo sa dosiahne vynásobením (alebo delením) oboch častí - 1. Napríklad z kvadratickej rovnice - 2 x 2 - 3 x + 7 = 0 môžete prejsť na jej zjednodušenú verziu 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi

Už známy vzorec pre korene kvadratických rovníc x = - b ± D 2 · a vyjadruje korene rovnice z hľadiska jej číselných koeficientov. Na základe tohto vzorca sme schopní špecifikovať ďalšie závislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné sú vzorce Vietovej vety:

x 1 + x 2 = - ba a x 2 = c a.

Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu je súčet koreňov druhým koeficientom s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad tvarom kvadratickej rovnice 3 x 2 - 7 x + 22 = 0 je možné okamžite určiť, že súčet jej koreňov je 7 3 a súčin koreňov je 22 3.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice môžete nájsť aj množstvo ďalších vzťahov. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice možno vyjadriť pomocou koeficientov:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - ba 2 - 2 ca = b 2 a 2 - 2 ca = b 2 - 2 a ca 2.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Kvadratická rovnica - ľahké riešenie! * Ďalej v texte „KU“. Priatelia, zdalo by sa, čo môže byť v matematike jednoduchšie ako vyriešiť takúto rovnicu. Niečo mi však hovorilo, že mnohí s ním majú problémy. Rozhodol som sa zistiť, koľko zobrazení za mesiac Yandex. Tu je to, čo sa stalo, pozrite sa:

Čo to znamená? To znamená, že asi 70 000 ľudí mesačne hľadá tieto informácie, čo to znamená toto leto a čo bude medzi školský rok- žiadostí bude dvakrát toľko. To nie je prekvapujúce, pretože chlapci a dievčatá, ktorí už dávno ukončili školu a pripravujú sa na jednotnú štátnu skúšku, tieto informácie hľadajú a školáci sa tiež snažia obnoviť si ich pamäť.

Napriek tomu, že existuje veľa stránok, ktoré vám poradia, ako vyriešiť túto rovnicu, rozhodol som sa tiež prispieť a materiál zverejniť. Po prvé, chcem, aby návštevníci prišli na moju stránku kvôli tejto žiadosti; po druhé, v iných článkoch, keď príde prejav „KU“, dám odkaz na tento článok; po tretie, poviem vám o jeho riešení trochu viac, ako sa zvyčajne uvádza na iných stránkach. Začnime! Obsah článku:

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

kde koeficienty a,ba s ľubovoľnými číslami, s a ≠ 0.

V školskom kurze je materiál uvedený v tejto forme - rovnice sú podmienene rozdelené do troch tried:

1. Majú dva korene.

2. * Mať len jeden koreň.

3. Nemať korene. Tu stojí za zmienku, že nemajú platné korene.

Ako sa vypočítavajú korene? Len!

Vypočítame diskriminant. Pod týmto „strašným“ slovom sa skrýva celkom jednoduchý vzorec:

Koreňové vzorce sú nasledovné:

* Tieto vzorce je potrebné poznať naspamäť.

Môžete okamžite napísať a rozhodnúť sa:

Príklad:

1. Ak D> 0, potom rovnica má dva korene.

2. Ak D = 0, potom rovnica má jeden koreň.

3. Ak D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Pozrime sa na rovnicu:

V tomto ohľade, keď je diskriminant nula, v školskom kurze sa hovorí, že sa získa jeden koreň, tu sa rovná deviatim. Všetko je správne, ale...

Toto znázornenie je trochu nesprávne. V skutočnosti existujú dva korene. Áno, nečudujte sa, ukázalo sa, že dva rovnaké korene, a aby som bol matematicky presný, odpoveď by mala byť napísaná dva korene:

x 1 = 3 x 2 = 3

Ale je to tak - malá odbočka. V škole si môžete zapísať a povedať, že existuje jeden koreň.

Teraz ďalší príklad:

Ako vieme, koreň záporného čísla sa neextrahuje, takže v tomto prípade neexistuje žiadne riešenie.

To je celý proces riešenia.

Kvadratická funkcia.

Takto vyzerá riešenie geometricky. Je mimoriadne dôležité to pochopiť (v budúcnosti v jednom z článkov podrobne rozoberieme riešenie štvorcovej nerovnosti).

Toto je funkcia formulára:

kde x a y sú premenné

a, b, c - dané čísla, pričom a ≠ 0

Graf je parabola:

To znamená, že sa ukáže, že riešením kvadratickej rovnice s "y" rovným nule nájdeme priesečníky paraboly s osou x. Môžu existovať dva z týchto bodov (diskriminant je kladný), jeden (diskriminant je nula) a žiadny (diskriminant je záporný). Viac o kvadratickej funkcii Môžete zobraziťčlánok Inny Feldmanovej.

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad 1: Riešte 2x 2 +8 X–192=0

a = 2 b = 8 c = –192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600

Odpoveď: x 1 = 8 x 2 = –12

* Ľavú a pravú stranu rovnice bolo možné okamžite vydeliť 2, teda zjednodušiť. Výpočty budú jednoduchšie.

Príklad 2: Rozhodnite sa x 2–22 x + 121 = 0

a = 1 b = –22 c = 121

D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484 – 484 = 0

Dostali sme, že x 1 = 11 a x 2 = 11

V odpovedi je dovolené napísať x = 11.

Odpoveď: x = 11

Príklad 3: Rozhodnite sa x 2 – 8 x + 72 = 0

a = 1 b = –8 c = 72

D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64 – 288 = –224

Diskriminant je záporný, v reálnych číslach neexistuje riešenie.

Odpoveď: žiadne riešenie

Diskriminant je negatívny. Existuje riešenie!

Tu si povieme o riešení rovnice v prípade, že dostaneme záporný diskriminant. Vieš niečo o komplexných číslach? Nebudem sa tu rozpisovať o tom, prečo a odkiaľ prišli a aká je ich špecifická úloha a potreba v matematike, to je téma na veľký samostatný článok.

Koncept komplexného čísla.

Trochu teórie.

Komplexné číslo z je číslo tvaru

z = a + bi

kde a a b sú reálne čísla, i je takzvaná imaginárna jednotka.

a + bi Je to JEDNO ČÍSLO, nie sčítanie.

Imaginárna jednotka sa rovná odmocnine mínus jedna:

Teraz zvážte rovnicu:

Máme dva konjugované korene.

Neúplná kvadratická rovnica.

Zvážte špeciálne prípady, keď sa koeficient "b" alebo "c" rovná nule (alebo sa oba rovnajú nule). Sú ľahko vyriešené bez akýchkoľvek diskriminátorov.

Prípad 1. Koeficient b = 0.

Rovnica má tvar:

Poďme sa transformovať:

Príklad:

4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2

Prípad 2. Koeficient s = 0.

Rovnica má tvar:

Transformujeme, faktorizujeme:

* Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule.

Príklad:

9x 2 – 45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 alebo x – 5 = 0

x 1 = 0 x 2 = 5

Prípad 3. Koeficienty b = 0 a c = 0.

Tu je jasné, že riešenie rovnice bude vždy x = 0.

Užitočné vlastnosti a vzorce koeficientov.

Existujú vlastnosti, ktoré umožňujú riešiť rovnice s veľkými koeficientmi.

aX 2 + bx+ c=0 platí rovnosť

a + b+ c = 0, potom

- ak pre koeficienty rovnice aX 2 + bx+ c=0 platí rovnosť

a+ c =b, potom

Tieto vlastnosti pomáhajú riešiť určitý druh rovnice.

Príklad 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

Súčet kurzov je 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, teda

Príklad 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Rovnosť je splnená a+ c =b, znamená

Zákonitosti koeficientov.

1. Ak sa v rovnici ax 2 + bx + c = 0 koeficient "b" rovná (a 2 +1) a koeficient "c" sa číselne rovná koeficientu "a", potom jej korene sú

ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + а = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 6x 2 + 37x + 6 = 0.

x 1 = –6 x 2 = –1/6.

2. Ak sa v rovnici ax 2 - bx + c = 0 koeficient "b" rovná (a 2 +1) a koeficient "c" sa číselne rovná koeficientu "a", potom jej korene sú

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 15x 2 – 226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Ak v rovnici ax 2 + bx - c = 0 koeficient "b" sa rovná (a 2 - 1) a koeficient "c" číselne sa rovná koeficientu "a", potom sú jeho korene rovnaké

аx 2 + (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ak sa v rovnici ax 2 - bx - c = 0 koeficient "b" rovná (a 2 - 1) a koeficient c sa číselne rovná koeficientu "a", potom jej korene sú

аx 2 - (а 2 –1) ∙ х - а = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.

Príklad. Uvažujme rovnicu 10x 2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Vietov teorém.

Vietova veta je pomenovaná po slávnom francúzskom matematikovi Françoisovi Vietovi. Pomocou Vietovej vety môžeme vyjadriť súčet a súčin koreňov ľubovoľnej KE pomocou jej koeficientov.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Celkovo číslo 14 dáva iba 5 a 9. Toto sú korene. S určitou zručnosťou, pomocou prezentovanej vety, môžete vyriešiť veľa kvadratických rovníc verbálne.

Navyše Vietova veta. výhodné v tom, že po vyriešení kvadratickej rovnice zvyčajným spôsobom (cez diskriminant) možno získané korene skontrolovať. Odporúčam to robiť vždy.

SPÔSOB PRENOSU

Pri tejto metóde sa koeficient „a“ vynásobí voľným členom, akoby mu „hodili“, preto je tzv. metódou „prenosu“. Táto metóda sa používa, keď môžete ľahko nájsť korene rovnice pomocou Vietovej vety a čo je najdôležitejšie, keď je diskriminantom presný štvorec.

Ak a± b + c≠ 0, potom sa použije technika prenosu, napríklad:

2NS 2 – 11x + 5 = 0 (1) => NS 2 – 11x + 10 = 0 (2)

Vietovou vetou v rovnici (2) je ľahké určiť, že x 1 = 10 x 2 = 1

Výsledné korene rovnice treba vydeliť 2 (keďže z x 2 „hodili“ dva), dostaneme

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Aké je zdôvodnenie? Pozrite sa, čo sa deje.

Diskriminanty rovníc (1) a (2) sú rovnaké:

Ak sa pozriete na korene rovníc, získajú sa iba rôzne menovatele a výsledok závisí presne od koeficientu pri x 2:

Druhé (upravené) korene sú 2-krát väčšie.

Preto výsledok vydelíme 2.

* Ak znovu hodíme trojku, tak výsledok vydelíme 3 atď.

Odpoveď: x 1 = 5 x 2 = 0,5

Sq. ur-ye a skúška.

O jeho dôležitosti poviem stručne – MUSÍTE BYŤ SCHOPNÝ RIEŠIŤ rýchlo a bez váhania, vzorce koreňov a rozlišovača musíte poznať naspamäť. Veľa úloh, ktoré tvoria úlohy skúšky, sa redukuje na riešenie kvadratickej rovnice (vrátane geometrických).

Čo stojí za povšimnutie!

1. Forma zápisu rovnice môže byť „implicitná“. Napríklad je možný nasledujúci záznam:

15+ 9x 2 - 45x = 0 alebo 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 alebo 15 -5x + 10x 2 = 0.

Musíte to priniesť do štandardného formulára (aby ste sa pri riešení nezmiatli).

2. Pamätajte, že x je neznáma veličina a možno ju označiť ľubovoľným iným písmenom - t, q, p, h a iné.

Len. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze

je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. pozrieť sa:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvý krok. Najdôležitejšia vec je správna

určiť všetky koeficienty, a, b a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice.

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný ... Ako vidíte, ak chcete nájsť x, my

použitie iba a, b a c. Tie. koeficienty od kvadratická rovnica... Len opatrne nahradiť

význam a, b a c do tohto vzorca a počítať. Nahraďte s ich znamenia!

Napríklad, v rovnici:

a =1; b = 3; c = -4.

Nahraďte hodnoty a napíšte:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Najčastejšími chybami je zámena s významovými znakmi. a, b a s... Skôr so striedaním

záporné hodnoty do vzorca na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný zápis vzorca

s konkrétnymi číslami. Ak máte problémy s výpočtom, urobte to!

Predpokladajme, že potrebujete vyriešiť tento príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Maľujeme všetko do detailov, starostlivo, bez toho, aby nám niečo chýbalo so všetkými znakmi a zátvorkami:

Kvadratické rovnice často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Zatiaľ si všimnite osvedčené postupy, ktoré výrazne znížia počet chýb.

Prvý príjem... Predtým nebuďte leniví riešenie kvadratickej rovnice uviesť do štandardnej formy.

Čo to znamená?

Povedzme, že po niekoľkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance. a, b a c.

Správne zostavte príklad. Najprv sa X odmocní, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

Zbavte sa mínusov. Ako? Celú rovnicu musíte vynásobiť -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad.

Urob si sám. Mali by ste mať korene 2 a -1.

Príjem druhého. Skontrolujte korene! Autor: Vietov teorém.

Na riešenie daných kvadratických rovníc, t.j. ak koeficient

x 2 + bx + c = 0,

potomx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 = -b

Pre úplnú kvadratickú rovnicu, v ktorej a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

vydeľte celú rovnicu o a:

→ →

kde x 1 a X 2 - korene rovnice.

Tretia recepcia... Ak máte v rovnici zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte

rovnica spoločného menovateľa.

Výkon. Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správny.

2. Ak je v štvorci pred x záporný koeficient, odstránime ho vynásobením súčtu

rovnice o -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice zodpovedajúcim

faktor.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient na nej je rovný jednej, riešenie sa dá ľahko skontrolovať

Pokračujeme v štúdiu témy „ riešenie rovníc". S lineárnymi rovnicami sme sa už stretli a ideme ďalej, aby sme sa s nimi zoznámili kvadratické rovnice.

Najprv si rozoberieme, čo je to kvadratická rovnica, ako sa v nej píše všeobecný pohľad a uveďte súvisiace definície. Potom na príkladoch podrobne analyzujeme, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Potom prejdeme k riešeniu úplných rovníc, získame vzorec pre korene, zoznámime sa s diskriminantom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia typických príkladov. Nakoniec vystopujme vzťah medzi koreňmi a koeficientmi.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická rovnica? Ich typy

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať hovoriť o kvadratických rovniciach s definíciou kvadratickej rovnice, ako aj o súvisiacich definíciách. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.

Definícia a príklady kvadratických rovníc

Definícia.

Kvadratická rovnica Je rovnicou tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a je nenulové.

Povedzme hneď, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnice druhého stupňa. Je to preto, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa.

Zvuková definícia vám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 atď. Sú kvadratické rovnice.

Definícia.

Čísla a, b a c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo najvyšší alebo koeficient x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient x a c je voľný člen.

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu v tvare 5x2 −2x3 = 0, tu je vodiaci koeficient 5, druhý koeficient je −2 a priesečník je −3. Všimnite si, že keď sú koeficienty b a/alebo c záporné, ako v práve uvedenom príklade, krátky tvar kvadratickej rovnice je 5 x 2 −2 x − 3 = 0, nie 5 x 2 + (- 2 ) X + (-3) = 0.

Stojí za zmienku, že keď sa koeficienty a a / alebo b rovnajú 1 alebo -1, potom zvyčajne nie sú explicitne prítomné v kvadratickej rovnici, čo je spôsobené zvláštnosťami ich písania. Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y + 3 = 0 je vedúci koeficient jedna a koeficient v y je −1.

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

V závislosti od hodnoty vedúceho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 redukovaná kvadratická rovnica... Inak platí kvadratická rovnica neznížené.

Podľa tejto definície sú kvadratické rovnice x 2 −3 x + 1 = 0, x 2 −x − 2/3 = 0 atď. - daný, v každom z nich je prvý koeficient rovný jednej. A 5 x 2 −x − 1 = 0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich vodiace koeficienty sú odlišné od 1.

Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch jej častí vodiacim koeficientom môžete prejsť k redukovanej. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica, alebo podobne ako ona nemá žiadne korene.

Analyzujme na príklade, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad.

Z rovnice 3 x 2 + 12 x − 7 = 0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.

Riešenie.

Stačí, ak obe strany pôvodnej rovnice vydelíme vodiacim faktorom 3, je nenulový, aby sme mohli vykonať túto akciu. Máme (3 x 2 + 12 x − 7): 3 = 0: 3, čo je rovnaké, (3 x 2): 3+ (12 x): 3−7: 3 = 0 a viac (3: 3) x 2 + (12: 3) x − 7: 3 = 0, odkiaľ. Tak sme dostali redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

odpoveď:

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Definícia kvadratickej rovnice obsahuje podmienku a ≠ 0. Táto podmienka je potrebná na to, aby rovnica a x 2 + b x + c = 0 bola presne kvadratická, pretože pri a = 0 sa vlastne stáva lineárnou rovnicou v tvare b x + c = 0.

Pokiaľ ide o koeficienty b a c, môžu byť nulové, samostatne aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.

Definícia.

Kvadratická rovnica a x 2 + b x + c = 0 sa nazýva neúplné ak sa aspoň jeden z koeficientov b, c rovná nule.

V poradí

Definícia.

Úplná kvadratická rovnica Je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty nenulové.

Takéto mená nie sú dané náhodou. To bude zrejmé z nasledujúcich úvah.

Ak sa koeficient b rovná nule, potom má kvadratická rovnica tvar a x 2 + 0 x + c = 0 a je ekvivalentná rovnici a x 2 + c = 0. Ak c = 0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a x 2 + b x + 0 = 0, potom ju možno prepísať ako a x 2 + b x = 0. A keď b = 0 a c = 0, dostaneme kvadratickú rovnicu a · x 2 = 0. Výsledné rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. Odtiaľ pochádza ich názov – neúplné kvadratické rovnice.

Takže rovnice x 2 + x + 1 = 0 a −2 x 2 −5 x + 0,2 = 0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 = 0, −2 x 2 = 0,5 x 2 + 3 = 0, − x 2 −5 · x = 0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Z informácií v predchádzajúcom odseku vyplýva, že existuje tri druhy neúplných kvadratických rovníc:

• a · x 2 = 0, zodpovedajú tomu koeficienty b = 0 a c = 0;
• a x 2 + c = 0, keď b = 0;
• a a x 2 + b x = 0, keď c = 0.

Poďme analyzovať, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.

a x 2 = 0

Začnime riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty b a c rovné nule, teda s rovnicami v tvare a · x 2 = 0. Rovnica a · x 2 = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, ktorá sa získa z originálu delením oboch jej častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo je vysvetlené, skutočne, pre akékoľvek nenulové číslo p platí nerovnosť p 2 > 0, z čoho vyplýva, že pre p ≠ 0 sa nikdy nedosiahne rovnosť p 2 = 0.

Neúplná kvadratická rovnica a · x 2 = 0 má teda jeden koreň x = 0.

Ako príklad uveďme riešenie neúplnej kvadratickej rovnice −4 · x 2 = 0. Rovnica x 2 = 0 je jej ekvivalentná, jej jediným koreňom je x = 0, preto aj pôvodná rovnica má jedinečný koreň nula.

Krátke riešenie v tomto prípade môže byť formulované takto:
−4 x 2 = 0,
x 2 = 0,
x = 0.

a x 2 + c = 0

Uvažujme teraz, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice, v ktorých je koeficient b nula a c ≠ 0, teda rovnice tvaru a · x 2 + c = 0. Vieme, že prevod člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj delenie oboch strán rovnice nenulovým číslom, dáva ekvivalentnú rovnicu. Preto je možné vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + c = 0:

• presuňte c na pravú stranu, čím získate rovnicu a x 2 = −c,
• a obe jeho časti vydelíme a, dostaneme.

Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt a a c môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a = 1 a c = 2, potom) alebo kladná (napríklad ak a = −2 a c = 6 , potom) sa nerovná nule, pretože podľa hypotézy c ≠ 0. Pozrime sa oddelene na prípady a.

Ak, potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď, potom pre žiadne číslo p nemôže platiť rovnosť.

Ak, potom je situácia s koreňmi rovnice iná. V tomto prípade, ak si na to pamätáte, koreň rovnice sa okamžite stane zrejmým, je to číslo, pretože. Je ľahké uhádnuť, že číslo je skutočne aj koreňom rovnice. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa dá ukázať napríklad protirečivou metódou. Poďme na to.

Označme korene práve znejúcej rovnice ako x 1 a −x 1. Predpokladajme, že rovnica má ešte jeden koreň x 2 odlišný od uvedených koreňov x 1 a −x 1. Je známe, že nahradenie jej koreňov v rovnici namiesto x zmení rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme a pre x 2 máme. Vlastnosti numerických rovníc nám umožňujú vykonávať odčítanie skutočných numerických rovníc po členoch, takže odčítanie zodpovedajúcich častí rovnosti dáva x 1 2 −x 2 2 = 0. Vlastnosti akcií s číslami vám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Vieme, že súčin dvoch čísel je nula vtedy a len vtedy, ak aspoň jedno z nich je nula. Zo získanej rovnosti teda vyplýva, že x 1 - x 2 = 0 a / alebo x 1 + x 2 = 0, čo je rovnaké, x 2 = x 1 a / alebo x 2 = −x 1. Takto sme sa dostali do rozporu, keďže sme na začiatku povedali, že koreň rovnice x 2 je iný ako x 1 a −x 1. To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a.

Zhrňme si informácie o tejto položke. Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + c = 0 je ekvivalentná rovnici, ktorá

• nemá korene, ak,
• má dva korene a ak.

Zvážte príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare a · x 2 + c = 0.

Začnime kvadratickou rovnicou 9 x 2 + 7 = 0. Po prenesení voľného člena na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9 · x 2 = −7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 sa dostaneme k. Keďže na pravej strane sa získa záporné číslo, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 · x 2 + 7 = 0 nemá korene.

Vyriešte ďalšiu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 + 9 = 0. Presuňte deviatku doprava: −x 2 = −9. Teraz vydelíme obe strany −1, dostaneme x 2 = 9. Na pravej strane je kladné číslo, z ktorého usudzujeme, že resp. Potom zapíšeme konečnú odpoveď: neúplná kvadratická rovnica −x 2 + 9 = 0 má dva korene x = 3 alebo x = −3.

a x 2 + b x = 0

Zostáva sa zaoberať riešením posledného typu neúplných kvadratických rovníc pre c = 0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a x 2 + b x = 0 umožňujú riešiť faktorizačná metóda... Je zrejmé, že môžeme, nachádza sa na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vypočítať spoločný faktor x. To nám umožňuje prejsť od pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice k ekvivalentnej rovnici v tvare x · (a · x + b) = 0. A táto rovnica je ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc x = 0 a a x + b = 0, z ktorých posledná je lineárna a má koreň x = −b / a.

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + b x = 0 má teda dva korene x = 0 a x = −b / a.

Pre konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie konkrétneho príkladu.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Posunutím x mimo zátvorky dostaneme rovnicu. Je ekvivalentom dvoch rovníc x = 0 a. Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu: a po vydelení zmiešaného čísla obyčajným zlomkom nájdeme. Preto korene pôvodnej rovnice sú x = 0 a.

Po získaní potrebnej praxe môžu byť riešenia takýchto rovníc stručne napísané:

odpoveď:

x = 0,.

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Poďme si zapísať kvadratický vzorec: , kde D = b 2 −4 a c- tzv kvadratický diskriminant... Zápis to v podstate znamená.

Je užitočné vedieť, ako sa získal koreňový vzorec a ako sa používa pri hľadaní koreňov kvadratických rovníc. Poďme na to.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu a x 2 + b x + c = 0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• Obidve strany tejto rovnice môžeme vydeliť nenulovým číslom a, ako výsledok dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu.
• Teraz vyberte celý štvorec na jeho ľavej strane:. Potom bude mať rovnica tvar.
• V tejto fáze je možné vykonať presun posledných dvoch pojmov na pravú stranu s opačným znamienkom, ako máme.
• A tiež transformujeme výraz na pravej strane:.

Výsledkom je, že sa dostaneme k rovnici, ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a x 2 + b x + c = 0.

Rovnice podobného tvaru sme už riešili v predchádzajúcich odsekoch, keď sme ich analyzovali. To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:

• ak, potom rovnica nemá reálne riešenia;
• ak, potom rovnica má teda tvar, odkiaľ je viditeľný jej jediný koreň;
• ak, potom alebo, čo je to isté alebo, teda rovnica má dva korene.

Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda aj pôvodnej kvadratickej rovnice, závisí od znamienka výrazu na pravej strane. Znamienko tohto výrazu je zasa určené znamienkom čitateľa, keďže menovateľ 4 · a 2 je vždy kladný, teda znamienko výrazu b 2 −4 · a · c. Tento výraz b 2 −4 a c bol nazvaný diskriminant kvadratickej rovnice a označené písmenom D... Z toho je jasná podstata diskriminantu - podľa jeho hodnoty a znamienka sa usudzuje, či má kvadratická rovnica reálne korene, a ak áno, aký je ich počet - jeden alebo dva.

Vráťte sa k rovnici a prepíšte ju pomocou diskriminačného zápisu:. A vyvodíme závery:

• ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ak D = 0, potom táto rovnica má jeden koreň;
• napokon, ak D> 0, potom má rovnica dva korene alebo, čo vďaka tomu môžeme prepísať do tvaru alebo a po rozšírení a zmenšení zlomkov na spoločného menovateľa dostaneme.

Odvodili sme teda vzorce pre korene kvadratickej rovnice, majú tvar, kde diskriminant D vypočítame podľa vzorca D = b 2 −4 · a · c.

S ich pomocou, s pozitívnym diskriminantom, môžete vypočítať oba skutočné korene kvadratickej rovnice. Keď je diskriminant rovný nule, oba vzorce dávajú rovnakú koreňovú hodnotu zodpovedajúcu jediné riešenie kvadratická rovnica. A so záporným diskriminantom, keď sa pokúšame použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii odmocnina zo záporného čísla, čím sa dostávame nad rámec školských osnov. So záporným diskriminantom nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má pár komplexný konjugát korene, ktoré možno nájsť podľa rovnakých koreňových vzorcov, ktoré sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

V praxi pri riešení kvadratických rovníc môžete okamžite použiť koreňový vzorec, pomocou ktorého môžete vypočítať ich hodnoty. Ale tu ide skôr o hľadanie zložitých koreňov.

Na kurze školskej algebry však zvyčajne prichádza nie o komplexných, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné najskôr nájsť diskriminant pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice, uistiť sa, že je nezáporný (v opačnom prípade môžeme konštatovať, že rovnica nemá žiadne skutočné korene) a až potom ktoré vypočítavajú hodnoty koreňov.

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje písať riešiteľ kvadratických rovníc... Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0 potrebujete:

• podľa diskriminačného vzorca D = b 2 −4 · a · c vypočítajte jeho hodnotu;
• dospieť k záveru, že kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene, ak je diskriminant záporný;
• vypočítajte jediný koreň rovnice podľa vzorca, ak D = 0;
• nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminant kladný.

Tu len poznamenáme, že keď sa diskriminant rovná nule, dá sa použiť aj vzorec, dá rovnakú hodnotu ako.

Môžete prejsť na príklady použitia algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Zvážte riešenia troch kvadratických rovníc s kladným, záporným a nulovým diskriminantom. Po ich riešení bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Začnime.

Príklad.

Nájdite korene rovnice x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riešenie.

V tomto prípade máme nasledujúce koeficienty kvadratická rovnica: a = 1, b = 2 a c = −6. Podľa algoritmu musíte najprv vypočítať diskriminant, na to dosadíme označené a, b a c do diskriminačného vzorca, máme D = b 2 −4 a c = 2 2 −4 1 (−6) = 4 + 24 = 28... Keďže 28> 0, to znamená, že diskriminant je väčší ako nula, potom má kvadratická rovnica dva reálne korene. Nájdeme ich pomocou koreňového vzorca, dostaneme, tu môžete zjednodušiť výrazy získané vykonaním vylúčenie znamienka koreňa s následným znížením frakcie:

odpoveď:

Prejdime k ďalšiemu typickému príkladu.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu −4x2 + 28x − 49 = 0.

Riešenie.

Začneme hľadaním diskriminačného prvku: D = 28 2 −4 (−4) (−49) = 784−784 = 0... Preto má táto kvadratická rovnica jeden koreň, ktorý nájdeme ako, tj.

odpoveď:

x = 3,5.

Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc so záporným diskriminantom.

Príklad.

Vyriešte rovnicu 5 y 2 + 6 y + 2 = 0.

Riešenie.

Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a = 5, b = 6 a c = 2. Nahradením týchto hodnôt do diskriminačného vzorca máme D = b 2 −4 a c = 6 2 −4 5 2 = 36−40 = −4... Diskriminant je záporný, preto táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene.

Ak je potrebné uviesť zložité korene, potom použijeme známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice a vykonáme operácie s komplexnými číslami:

odpoveď:

neexistujú žiadne skutočné korene, zložité korene sú nasledovné:.

Všimnite si opäť, že ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, potom v škole zvyčajne okamžite zapíšu odpoveď, v ktorej naznačujú, že neexistujú žiadne skutočné korene a komplexné korene sa nenájdu.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice, kde D = b 2 −4 ln5 = 2 7 ln5). Vyberme to.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare a x 2 + 2 n x + c = 0. Poďme nájsť jeho korene pomocou vzorca, ktorý poznáme. Ak to chcete urobiť, vypočítajte diskriminant D = (2 n) 2 −4 a c = 4 n 2 −4 a c = 4 (n 2 −a c) a potom použijeme vzorec pre korene:

Označme výraz n 2 −a · c ako D 1 (niekedy sa označuje ako D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n nadobúda tvar , kde D 1 = n 2 - a · c.

Je ľahké vidieť, že D = 4 · D 1 alebo D 1 = D / 4. Inými slovami, D 1 je štvrtá časť rozlišovacieho znaku. Je jasné, že znak D 1 je rovnaký ako znak D. To znamená, že znamienko D 1 je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Takže na vyriešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n potrebujete

• Vypočítajte D 1 = n 2 −a · c;
• Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ak D 1 = 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice podľa vzorca;
• Ak D 1> 0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.

Zvážte riešenie príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tomto odseku.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu 5x2 −6x − 32 = 0.

Riešenie.

Druhý koeficient tejto rovnice môže byť reprezentovaný ako 2 · (−3). To znamená, že môžete prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 + 2 (−3) x − 32 = 0, tu a = 5, n = −3 a c = −32, a vypočítať štvrtú časť diskriminačný: D 1 = n 2 −a c = (- 3) 2 −5 (−32) = 9 + 160 = 169... Keďže jej hodnota je kladná, rovnica má dva skutočné korene. Poďme ich nájsť pomocou zodpovedajúceho koreňového vzorca:

Všimnite si, že bolo možné použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.

odpoveď:

Zjednodušenie pohľadu na kvadratické rovnice

Niekedy predtým, ako sa pustíme do výpočtu koreňov kvadratickej rovnice podľa vzorcov, nezaškodí položiť si otázku: „Je možné zjednodušiť tvar tejto rovnice“? Súhlaste s tým, že z hľadiska výpočtov bude jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 x 2 −4 x − 6 = 0 ako 1100 x 2 −400 x − 600 = 0.

Zvyčajne sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo delením oboch jej častí nejakým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku sa nám podarilo zjednodušiť rovnicu 1100 x 2 −400 x − 600 = 0 vydelením oboch strán číslom 100.

Podobná transformácia sa vykonáva s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú. V tomto prípade sú obe strany rovnice zvyčajne rozdelené absolútnymi hodnotami jej koeficientov. Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 −42 x + 48 = 0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Vydelením oboch strán pôvodnej kvadratickej rovnice číslom 6 dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 −7 x + 8 = 0.

A násobenie oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne robí, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa násobenie vykonáva menovateľmi jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe strany kvadratickej rovnice vynásobené LCM (6, 3, 1) = 6, potom bude mať jednoduchší tvar x 2 + 4 x − 18 = 0.

Na záver tohto odseku poznamenávame, že takmer vždy sa zbavte mínusu na vodiacom koeficiente kvadratickej rovnice, pričom sa menia znamienka všetkých členov, čo zodpovedá vynásobeniu (alebo deleniu) oboch častí −1. Napríklad z kvadratickej rovnice −2x2 −3x + 7 = 0 sa prechádza na riešenie 2x2 + 3x − 7 = 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice z hľadiska jej koeficientov. Na základe vzorca pre korene môžete získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a najpoužiteľnejšie vzorce sú z Vietovej vety o tvare a. Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad tvarom kvadratickej rovnice 3 x 2 −7 x + 22 = 0 môžete okamžite povedať, že súčet jej koreňov je 7/3 a súčin koreňov je 22/3.

Pomocou už napísaných vzorcov môžete získať množstvo ďalších vzťahov medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Môžete napríklad vyjadriť súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice prostredníctvom jej koeficientov:.

Bibliografia.

• Algebra:štúdium. za 8 cl. všeobecné vzdelanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008 .-- 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A. G. Mordkovich Algebra. 8. trieda. O 14.00 hod. 1. časť. Učebnica pre žiakov vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich. - 11. vyd., Vymazané. - M .: Mnemozina, 2009 .-- 215 s.: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.