Gaussova metóda so zložitými číslami. Gaussova metóda pozostáva z dvoch etáp. Všeobecne
Tu môžete vyriešiť systém zadarmo lineárne rovnice gaussova metóda online veľké veľkosti v komplexnom počte s veľmi podrobným riešením. Naša kalkulačka je schopná online vyriešiť obvyklý určitý aj neurčitý systém lineárnych rovníc metódou Gauss, ktorá má nekonečné množstvo riešení. V takom prípade dostanete v odpovedi zadarmo závislosť niektorých premenných. Konzistenciu systému rovníc môžete skontrolovať aj online pomocou Gaussovho riešenia.
O metóde
Pri online riešení systému lineárnych rovníc Gaussovou metódou sa vykonávajú nasledujúce kroky.
- Zapíšeme si rozšírenú maticu.
- V skutočnosti je riešenie rozdelené na dopredný a spätný krok Gaussovej metódy. Priamy priebeh Gaussovej metódy sa nazýva redukcia matice na stupňovitú formu. Reverz Gaussovej metódy sa nazýva redukcia matice na špeciálnu stupňovitú formu. Ale v praxi je pohodlnejšie okamžite vynulovať to, čo je nad aj pod príslušným prvkom. Naša kalkulačka používa presne tento prístup.
- Je dôležité si uvedomiť, že pri riešení Gaussovou metódou prítomnosť v matici najmenej jedného nulového radu s NON-nulovou pravou stranou (stĺpec voľných výrazov) naznačuje nekompatibilitu systému. V takom prípade neexistuje lineárne riešenie.
Ak chcete najlepšie pochopiť, ako Gauss funguje online, zadajte ľubovoľný príklad, vyberte „veľmi podrobné riešenie“ a pozrite si jeho riešenie online.
Nech je daná sústava lineárnych algebraických rovníc, ktoré musia byť vyriešené (nájdite také hodnoty neznámych xi, ktoré premenia každú rovnicu systému na rovnosť).
Vieme, že systém lineárnych algebraických rovníc môže:
1) Nemajte žiadne riešenia (buďte nedôsledné).
2) Máte nekonečne veľa riešení.
3) Maj jediné rozhodnutie.
Ako si pamätáme, Cramerovo pravidlo a metóda matice nie sú použiteľné v prípadoch, keď má systém nekonečne veľa riešení alebo je nekonzistentný. Gaussova metóda – najsilnejší a najuniverzálnejší nástroj na hľadanie riešení ľubovoľného systému lineárnych rovníc, ktoré v kazdom pripadenás dovedie k odpovedi! Algoritmus metódy sám funguje rovnako vo všetkých troch prípadoch. Ak sa v metódach Cramer a matrix vyžaduje znalosť determinantov, potom sú pre aplikáciu Gaussovej metódy potrebné znalosti iba aritmetických operácií, ktoré ich sprístupnia aj žiakom základných škôl.
Rozšírené maticové transformácie ( toto je matica systému - matica zložená iba z koeficientov neznámych plus stĺpec voľných výrazov)systémy lineárnych algebraických rovníc v Gaussovej metóde:
1) od struny matice môcť preskupiťmiestami.
2) ak má matica (alebo je) proporcionálna (ako špeciálny prípad - identické) reťazce, potom nasleduje vymazať z matice všetky tieto riadky okrem jedného.
3) ak sa v matici počas transformácií objavil nultý riadok, potom to tiež nasleduje vymazať.
4) riadok matice môže byť znásobiť (rozdeliť)na akékoľvek iné číslo ako nulu.
5) riadok matice môže byť pridať ďalší reťazec vynásobený číslomnenulová.
V Gaussovej metóde elementárne transformácie nemenia riešenie sústavy rovníc.
Gaussova metóda pozostáva z dvoch etáp:
- „Priamy pohyb“ - použitie elementárnych transformácií na zmenšenie rozšírenej matice systému lineárnych algebraických rovníc na „trojuholníkový“ postupný tvar: prvky rozšírenej matice umiestnené pod hlavnou uhlopriečkou sa rovnajú nule (pohyb „zhora nadol“). Napríklad do tohto formulára:
Postupujte nasledovne:
1) Predpokladajme, že uvažujeme prvú rovnicu sústavy lineárnych algebraických rovníc a koeficient pri x 1 sa rovná K. Druhá, tretia atď. rovnice sa transformujú nasledujúcim spôsobom: každá rovnica (koeficienty pre neznáme, vrátane voľných výrazov) sa vydelí koeficientom pre neznáme x 1, stojacim v každej rovnici, a vynásobená K. Potom od druhej rovnice odčítame prvú (koeficienty pre neznáme a voľné výrazy). V druhej rovnici dostaneme koeficient 0 pre x 1. Odpočítajte prvú rovnicu od tretej transformovanej rovnice, až kým všetky rovnice, okrem prvej, pre neznáme x 1 nebudú mať koeficient 0.
2) Prejdite na nasledujúcu rovnicu. Nech je toto druhá rovnica a koeficient pri x 2 sa rovná M. Pri všetkých „nižších“ rovniciach postupujeme tak, ako je opísané vyššie. Teda „pod“ neznámym x 2 vo všetkých rovniciach budú nuly.
3) Prejdite na nasledujúcu rovnicu a tak ďalej, kým nebude posledný neznámy a transformovaný voľný člen.
- „Spätná väzba“ Gaussovej metódy - získanie riešenia systému lineárnych algebraických rovníc (pohyb „zdola nahor“). Z poslednej „nižšej“ rovnice dostaneme jedno prvé riešenie - neznáme x n. Aby sme to dosiahli, vyriešime elementárnu rovnicu A * x n \u003d B. Vo vyššie uvedenom príklade x 3 \u003d 4. Nájdenú hodnotu dosaďte do „hornej“ nasledujúcej rovnice a riešte ju s ohľadom na ďalšiu neznámu. Napríklad x 2 - 4 \u003d 1, t.j. x 2 \u003d 5. A tak ďalej, kým nenájdeme všetky neznáme.
Príklad.
Vyriešime sústavu lineárnych rovníc Gaussovou metódou, ako odporúčajú niektorí autori:
Zapíšme rozšírenú maticu systému a pomocou elementárnych transformácií ju privedieme do postupnej podoby:
Pozeráme sa na ľavý horný „stupienok“. Mali by sme tam mať jednotku. Problém je v tom, že prvý stĺpec nemá vôbec nikoho, takže preskupením riadkov sa nič nevyrieši. V takýchto prípadoch musí byť jednotka organizovaná pomocou elementárnej transformácie. Spravidla sa to dá urobiť niekoľkými spôsobmi. Poďme to spraviť:
1 krok
... Do prvého riadku pridajte druhý riadok vynásobený -1. To znamená, že sme mentálne vynásobili druhý riadok číslom –1 a pridali sme prvý a druhý riadok, zatiaľ čo druhý riadok sa nezmenil.
Teraz vľavo hore „mínus jedna“, čo nám úplne vyhovuje. Každý, kto chce získať +1, môže vykonať ďalšiu akciu: vynásobiť prvý riadok číslom –1 (zmeniť jeho znamienko).
Krok 2 ... Do druhého riadku bol pridaný prvý riadok vynásobený 5. Prvý riadok vynásobený 3 bol pridaný do tretieho riadku.
Krok 3 ... Prvý riadok bol vynásobený -1, v zásade je to pre krásu. Zmenilo sa aj znamenie tretieho riadku, ktoré sa posunulo na druhé miesto, takže na druhom „kroku máme požadovanú jednotku.
Krok 4 ... Druhý riadok bol pridaný k tretiemu riadku, vynásobený 2.
Krok 5 ... Tretí riadok bol rozdelený na 3.
Znamienko, ktoré označuje chybu vo výpočtoch (menej často - preklep), je zlý spodný riadok. To znamená, že ak v dolnej časti máme niečo ako (0 0 11 | 23), a teda 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, potom s vysokou pravdepodobnosťou možno tvrdiť, že došlo k chybe počas elementárne transformácie.
Vykonávame reverzný pohyb, pri návrhu príkladov samotný systém často nie je prepisovaný a rovnice sú „prevzaté priamo z danej matice“. Opačný pohyb, pripomínam vám, funguje zdola nahor. IN tento príklad dostal darček:
x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, teda x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1
Odpoveď: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.
Vyriešime ten istý systém podľa navrhovaného algoritmu. Dostaneme
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Druhú rovnicu vydelíme 5 a tretiu 3. Dostaneme:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Vynásobíme druhú a tretiu rovnicu 4, dostaneme:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Po odpočítaní prvej rovnice od druhej a tretej rovnice máme:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Vydeľte tretiu rovnicu 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Vynásobte tretiu rovnicu 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Odpočítajme druhú od tretej rovnice, aby sme získali „postupnú“ rozšírenú maticu:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Pretože chyba nahromadená počas výpočtov, dostaneme x 3 \u003d 0,96 alebo približne 1.
x 2 \u003d 3 a x 1 \u003d -1.
Pri takomto riešení sa nikdy nebudete vo výpočtoch mýliť a napriek chybám vo výpočte získate výsledok.
Táto metóda riešenia systému lineárnych algebraických rovníc je ľahko programovateľná a nezohľadňuje špecifické črty koeficientov pre neznáme, pretože v praxi (v ekonomických a technických výpočtoch) treba narábať s neceločíselnými koeficientmi.
Prajem ti úspech! Uvidíme sa v triede! Tútor.
s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Jednou z univerzálnych a efektívnych metód riešenia lineárnych algebraických systémov je gaussova metóda , spočívajúci v postupnom odstraňovaní neznámych osôb.
Pripomeňme, že sa volajú dva systémy ekvivalent (ekvivalent), ak sa množiny ich riešení zhodujú. Inými slovami, systémy sú rovnocenné, ak každé riešenie jedného z nich predstavuje riešenie druhého a naopak. Ekvivalentné systémy sa získajú, keď elementárne transformácie rovnice systému:
vynásobenie oboch strán rovnice nenulovým číslom;
pridanie k určitej rovnici zodpovedajúcich častí inej rovnice vynásobené číslom iným ako nula;
permutácia dvoch rovníc.
Nech je uvedený systém rovníc
Proces riešenia tohto systému pomocou Gaussovej metódy pozostáva z dvoch etáp. V prvom štádiu (priamy beh) je systém redukovaný elementárnymi transformáciami na postupne , alebo trojuholníkový myseľ a v druhom stupni (obrátene) je postupné, počínajúc poslednou premennou počtom premenných, určovanie neznámych z výsledného krokového systému.
Predpokladajme, že koeficient tohto systému 
, inak v systéme môže byť prvý riadok zamenený s akýmkoľvek iným riadkom tak, aby bol koeficient na 
bol nenulový.
Systém transformujeme elimináciou neznámeho 
vo všetkých rovniciach okrem prvej. Za týmto účelom vynásobte obe strany prvej rovnice 
a pridajte ho po jednotlivých termínoch k druhej rovnici systému. Potom obe strany prvej rovnice vynásobíme 
a pridajte ju k tretej rovnici systému. Pokračovaním v tomto procese získame ekvivalentný systém
Tu 
- nové hodnoty koeficientov a voľných pojmov, ktoré sa získajú po prvom kroku.
Podobne vzhľadom na hlavný prvok 
, vylúčiť neznáme 
zo všetkých rovníc systému, s výnimkou prvej a druhej. V tomto procese budeme pokračovať čo najdlhšie, vďaka čomu získame stupňovitý systém
,
kde 
,
,…,
- hlavné prvky systému 
.
Ak sa v procese redukcie systému na stupňovitú formu objavia rovnice, teda rovnosti formy 
, sú zahodené, pretože sú uspokojené ľubovoľnými množinami čísel 
... Ak o 
objaví sa rovnica tvaru, ktorý nemá žiadne riešenia, potom to naznačuje nekompatibilitu systému.
V spätnom pohybe je prvá neznáma vyjadrená z poslednej rovnice systému transformovaných krokov 
cez všetky ostatné neznáme 
ktorí volajú zadarmo
.
Potom premenný výraz 
z poslednej rovnice systému je nahradený do predposlednej rovnice a je z nej vyjadrená premenná 
... Premenné sú definované podobným spôsobom 
... Premenné 
vyjadrené ako voľné premenné sa nazývajú základné
(závislý). Výsledkom je všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc.
Nájsť súkromné \u200b\u200briešenie
systém, voľný neznámy 
v obecnom riešení sú priradené ľubovoľné hodnoty a sú vypočítané hodnoty premenných 
.
Je technicky pohodlnejšie podrobiť elementárne transformácie nie rovniciam samotného systému, ale rozšírenej matici systému.
.
Gaussova metóda je univerzálna metóda, ktorá umožňuje riešiť nielen štvorcové, ale aj obdĺžnikové systémy, v ktorých je počet neznámych 
nerovná sa počtu rovníc 
.
Výhoda tejto metódy spočíva aj v skutočnosti, že v procese riešenia súčasne zisťujeme kompatibilitu systému, pretože zadaním rozšírenej matice 
postupne je ľahké určiť rady matice 
a predĺžená matica 
a podať žiadosť veta Kronecker - Capelli
.
Príklad 2.1Vyriešte systém pomocou Gaussovej metódy
Rozhodnutie... Počet rovníc 
a počet neznámych 
.
Zostavme rozšírenú maticu systému tak, že priradíme napravo od matice koeficientov 
stĺpec voľný člen 
.
Dajme maticu 
do trojuholníkového pohľadu; za to dostaneme „0“ pod prvky na hlavnej uhlopriečke pomocou elementárnych transformácií.
Ak chcete získať „0“ na druhej pozícii prvého stĺpca, vynásobte prvý riadok číslom (-1) a pridajte do druhého riadku.
Túto transformáciu zapíšeme ako číslo (-1) proti prvému riadku a označíme ho šípkou idúcou z prvého riadku do druhého riadku.
Ak chcete na tretej pozícii prvého stĺpca získať hodnotu „0“, vynásobte prvý riadok číslom (-3) a pridajte do tretieho riadku; ukážte túto akciu šípkou od prvého riadku k tretiemu.
.
Vo výslednej matici, zapísanej ako druhá v reťazci matíc, dostaneme v druhom stĺpci na tretej pozícii hodnotu „0“. Za týmto účelom vynásobte druhý riadok číslom (-4) a pridajte do tretieho. Vo výslednej matici vynásobte druhý riadok číslom (-1) a tretí vydelte (-8). Všetky prvky tejto matice ležiace pod diagonálnymi prvkami sú nuly.
Pretože , systém je kolaboratívny a špecifický.
Systém rovníc zodpovedajúcich poslednej matici má trojuholníkový tvar:
Z poslednej (tretej) rovnice 
... Dosadením do druhej rovnice a dostaneme 
.
Náhradník 
a 
do prvej rovnice nájdeme 
.
Od začiatku XVI-XVIII storočia matematici intenzívne začali študovať funkcie, vďaka ktorým sa v našom živote zmenilo toľko. Počítačová technológia by bez týchto znalostí jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich systémov bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinanty - všetko je možné vypočítať bez použitia zložitých operácií.
Čo je SLAE
V matematike existuje koncept SLAE - systému lineárnych algebraických rovníc. Aká je? Toto je množina m rovníc s požadovanými n neznámymi veličinami, zvyčajne označovanými ako x, y, z alebo x 1, x 2 ... x n alebo iné symboly. Vyriešiť tento systém metódou Gauss znamená nájsť všetky neznáme neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-rádu.
Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE
IN vzdelávacie inštitúcie stredné vzdelávanie študuje rôzne techniky riešenia týchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, teda akýchkoľvek existujúca metóda nebude na ne dlho hľadať odpoveď. Môže to byť ako substitučná metóda, keď je iná odvodená z jednej rovnice a nahradená pôvodnou. Alebo metóda odčítania a sčítania po jednotlivých termínoch. Ale Gaussova metóda sa považuje za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto konkrétna technika považuje za racionálnu? Je to jednoduché. Dobré na metóde matice je, že nie je potrebné niekoľkokrát prepisovať nepotrebné symboly v podobe neznámych, stačí vykonať aritmetické operácie s koeficientmi - a získate spoľahlivý výsledok.
Kde sa SLAE používajú v praxi
Riešením SLAE sú priesečníky čiar v grafoch funkcií. V našom počítačovom veku so špičkovými technológiami musia ľudia, ktorí sú úzko spätí s vývojom hier a iných programov, vedieť, ako tieto systémy vyriešiť, čo predstavujú a ako skontrolovať správnosť výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne programy na výpočet lineárnej algebry, vrátane systému lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj ďalšie zjednodušené vzorce a techniky.
Kritérium kompatibility SLAE
Takýto systém je možné vyriešiť, iba ak je kompatibilný. Pre názornosť predstavujeme SLAE ako Ax \u003d b. Má riešenie, ak sa rang (A) rovná rangu (A, b). V tomto prípade (A, b) ide o maticu rozšírenej formy, ktorú je možné získať z matice A jej prepisovaním voľnými výrazmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc Gaussovou metódou je celkom jednoduché.
Možno časť zápisu nie je celkom jasná, takže je potrebné zvážiť všetko na príklade. Povedzme, že existuje systém: x + y \u003d 1; 2x-3r \u003d 6. Skladá sa iba z dvoch rovníc, v ktorých 2 sú neznáme. Systém bude mať riešenie, iba ak sa poradie jeho matice bude rovnať poradiu rozšírenej matice. Čo je to poradie? Toto je počet nezávislých liniek v systéme. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov, ktoré sú blízko neznámych, a koeficienty za znamienkom „\u003d“ sú tiež zahrnuté v rozšírenej matici.
Prečo môže byť SLAE reprezentovaný v maticovej forme
Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kroneckerovej-Capelliho vety je možné systém lineárnych algebraických rovníc znázorniť v maticovej podobe. Pomocou kaskádovej Gaussovej metódy môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť obyčajnej matice rovná hodnosti jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.
Maticové transformácie
Predtým, ako prejdete k riešeniu matíc, musíte vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko elementárnych transformácií:
- Prepísaním systému do maticového tvaru a implementáciou jeho riešenia je možné vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
- S cieľom previesť maticu do kanonickej podoby je možné zameniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sú umiestnené na hlavnej uhlopriečke, sa stávajú jednotkami a zvyšok sa stávajú nulami.
- Zodpovedajúce prvky rovnobežných radov matice možno navzájom pridať.
Jordan-Gaussova metóda
Podstatou riešenia systémov lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné vylučovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Gaussova rovnica je riešiteľná veľmi jednoducho. Je potrebné zapísať koeficienty umiestnené blízko každej neznámej do maticového tvaru. Na vyriešenie systému je potrebné vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menej neznámych, musí sa namiesto chýbajúceho prvku vložiť „0“. Na maticu sa používajú všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, vzájomné pridávanie zodpovedajúcich prvkov série a ďalšie. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné nechať jednu premennú s hodnotou „1“, zvyšok by sa mal uviesť do nulovej podoby. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu na príkladoch.
Jednoduchý príklad systémového riešenia 2x2
Na úvod si vezmime jednoduchý systém algebraických rovníc, v ktorom budú 2 neznáme.
Prepíšme to do rozšírenej matice.
Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Maticu musíme priviesť do kanonickej podoby, aby na hlavnej uhlopriečke boli nejaké. Takže prechodom z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x + 0y \u003d b1 a 0x + 1y \u003d b2, kde b1 a b2 sú odpovede získané v procese riešenia.
- Prvá akcia pri riešení rozšírenej matice bude nasledovná: prvý riadok musí byť vynásobený číslom -7 a zodpovedajúce prvky musia byť pridané do druhého riadku, aby sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
- Pretože riešenie rovníc metódou Gauss predpokladá implikáciu matice do kanonického tvaru, je potrebné urobiť rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Ak to chcete urobiť, odčítajte druhý riadok od prvého a získajte požadovanú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobte druhý riadok koeficientom -1 a do prvého riadku pridajte prvky druhého riadku. To je to isté.
Ako vidíte, náš systém bol vyriešený metódou Jordan-Gauss. Prepíšeme to do požadovaného tvaru: x \u003d -5, y \u003d 7.
Príklad riešenia SLAE 3x3
Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre zdanlivo neprehľadný systém. Preto, aby ste sa hlbšie zaoberali metodikou výpočtu, môžete prejsť na ďalšie komplexný príklad s tromi neznámymi.
Rovnako ako v predchádzajúcom príklade, systém prepíšeme do podoby rozšírenej matice a začneme ho privádzať do kanonickej podoby.
Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.
- Najskôr musíte v prvom stĺpci vytvoriť jeden jednotkový prvok a zvyšné nuly. Za týmto účelom vynásobte prvú rovnicu číslom -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité mať na pamäti, že prvý riadok prepisujeme v pôvodnej podobe a druhý v zmenenej podobe.
- Potom z tretej rovnice odstránime tú istú prvú neznámu. Za týmto účelom vynásobte prvky prvého riadku číslom -2 a pridajte ich do tretieho riadku. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané v pôvodnej podobe a tretí - so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvý sme dostali na začiatku hlavnej uhlopriečky matice a zvyšné nuly. Ešte niekoľko krokov a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
- Teraz je potrebné vykonať operácie s ostatnými prvkami riadkov. Tretiu a štvrtú akciu je možné spojiť do jednej. Druhý a tretí riadok musíte rozdeliť o -1, aby ste sa zbavili mínusových na diagonále. Tretí riadok sme už priniesli do požadovanej formy.
- Ďalej kanonikujeme druhý riadok. Za týmto účelom vynásobíme prvky tretieho radu číslom -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Výsledok ukazuje, že aj druhý riadok je zmenšený do podoby, ktorú potrebujeme. Zostáva ešte urobiť niekoľko operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého radu.
- Ak chcete urobiť 0 z druhého prvku riadku, musíte tretí riadok vynásobiť číslom -3 a pridať do prvého riadku.
- Ďalším rozhodujúcim krokom bude pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Dostaneme teda kanonický tvar matice a podľa toho aj odpoveď.
Ako vidíte, riešenie rovníc Gaussovou metódou je dosť jednoduché.
Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4
Niektoré zložitejšie systémy rovníc je možné vyriešiť Gaussovou metódou pomocou počítačových programov. Je potrebné vraziť koeficienty pre neznáme do existujúcich prázdnych buniek a samotný program krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok a podrobne popíše každú akciu.
Popísané nižšie inštrukcia krok za krokom riešenie takého príkladu.
V prvej akcii sa do prázdnych buniek zadávajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Získame teda rovnakú rozšírenú maticu, ktorú píšeme ručne.
A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do kanonického tvaru. Musí sa chápať, že odpoveďou na sústavu rovníc nie sú vždy celé čísla. Riešením môžu byť niekedy zlomkové čísla.
Kontrola správnosti riešenia
Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Ak chcete zistiť, či sú koeficienty vypočítané správne, musíte výsledok dosadiť do pôvodného systému rovníc. Ľavá strana rovnice sa musí zhodovať s pravou stranou za znamienkom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte systém prepočítať alebo použiť iný známy spôsob riešenia SLAE, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po jednotlivých termínoch. Matematika je koniec koncov veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Pamätajte však: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, ktorú metódu riešenia ste použili.
Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení ÚROVNE
Pri riešení lineárnych sústav rovníc sa najčastejšie vyskytujú chyby ako nesprávny prenos koeficientov do maticovej formy. Existujú systémy, v ktorých v jednej z rovníc chýbajú neznáme položky, ktoré sa potom môžu pri prenose dát do rozšírenej matice stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnému.
Ďalšou z hlavných chýb môže byť nesprávne napísanie konečného výsledku. Musíte jasne pochopiť, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému druhému atď.
Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Okrem toho je to univerzálny nástroj na hľadanie spoľahlivých odpovedí na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno aj preto sa tak často používa pri riešení SLAE.
1. Sústava lineárnych algebraických rovníc
1.1 Koncept sústavy lineárnych algebraických rovníc
Systém rovníc je podmienka spočívajúca v simultánnom vykonaní niekoľkých rovníc v niekoľkých premenných. Systém lineárnych algebraických rovníc (ďalej len SLAE) obsahujúcich m rovníc an neznámych je systém v tvare:
kde čísla a ij sa nazývajú koeficienty systému, čísla b i sú voľné výrazy, a ij a b i (i \u003d 1, ..., m; b \u003d 1, ..., n) sú niektoré známe čísla a x 1, ..., x n - neznáme. V označení koeficientov a ij prvý dolný index i označuje číslo rovnice a druhý j - číslo neznámeho, na ktorom tento koeficient stojí. Ak chcete zistiť číslo x n. Je vhodné napísať takýto systém do kompaktnej matice: AX \u003d B. Tu A je matica koeficientov systému, ktorá sa nazýva hlavná matica;
Je stĺpcový vektor neznámych xj. Je stĺpcový vektor voľných výrazov bi.
Je definovaný súčin matíc A * X, pretože v matici A je toľko stĺpcov, koľko riadkov je v matici X (n kusov).
Rozšírená matica systému je matica A systému, doplnená stĺpcom voľných výrazov
1.2 Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc
Riešením sústavy rovníc je usporiadaná množina čísel (hodnôt premenných), pri nahradení namiesto premenných sa každá z rovníc sústavy zmení na skutočnú rovnosť.
Riešenie systému sa nazýva n hodnôt neznámych х1 \u003d c1, x2 \u003d c2,…, xn \u003d cn, pri nahradení ktorých sa všetky rovnice systému premenia na skutočné rovnosti. Akékoľvek riešenie systému je možné zapísať vo forme stĺpcovej matice
Systém rovníc sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie, a nekompatibilný, ak nemá riešenie.
O spoločnom systéme sa hovorí, že je definitívny, ak má jediné riešenie, a neurčitý, ak má viac riešení. V druhom prípade sa každé z jeho riešení nazýva konkrétne riešenie systému. Súbor všetkých konkrétnych riešení sa nazýva všeobecné riešenie.
Riešením systému je zistiť, či je alebo nie je kompatibilný. Ak je systém kompatibilný, nájdite jeho všeobecné riešenie.
Dva systémy sa nazývajú ekvivalentné (ekvivalentné), ak majú rovnaké všeobecné riešenie. Inými slovami, systémy sú rovnocenné, ak každé riešenie jedného z nich predstavuje riešenie druhého a naopak.
Transformácia, ktorej aplikácia premení systém na nový systém, ekvivalentný s pôvodným, sa nazýva ekvivalent alebo ekvivalentná transformácia. Príklady ekvivalentných transformácií sú tieto transformácie: permutácia dvoch rovníc systému, permutácia dvoch neznámych spolu s koeficientmi všetkých rovníc, vynásobenie oboch častí ľubovoľnej rovnice systému nenulovým číslom.
Systém lineárnych rovníc sa nazýva homogénny, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule:
Homogénny systém je vždy kompatibilný, pretože x1 \u003d x2 \u003d x3 \u003d ... \u003d xn \u003d 0 je riešením systému. Toto riešenie sa nazýva nulové alebo triviálne.
2. Gaussova eliminačná metóda
2.1 Podstata Gaussovej eliminačnej metódy
Klasickou metódou riešenia systémov lineárnych algebraických rovníc je metóda postupnej eliminácie neznámych - gaussova metóda (nazýva sa tiež Gaussova eliminačná metóda). Jedná sa o metódu postupnej eliminácie premenných, keď sa pomocou elementárnych transformácií systém rovníc zredukuje na ekvivalentný systém stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru, z ktorého sa postupne nachádzajú všetky ostatné premenné, počínajúc poslednými (podľa počtu) premenných.
Proces Gaussovho riešenia pozostáva z dvoch etáp: pohyby vpred a vzad.
1. Priamy kurz.
V prvej etape sa vykonáva takzvaný priamy pohyb, keď sa pomocou elementárnych transformácií cez čiary systém dostane do stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru, alebo sa zistí, že je systém nekompatibilný. Konkrétne spomedzi prvkov prvého stĺpca matice vyberte nenulovú hodnotu, permutáciou riadkov ju posuňte do najvyššej polohy a od zvyšných riadkov odčítajte prvý riadok získaný po permutácii, ktorý vynásobíte hodnotou rovnajúcou sa pomeru prvého prvku každého z týchto riadkov k prvému prvku prvého riadku, vynulovaním teda stĺpec pod ním.
Po vykonaní indikovaných transformácií sa prvý riadok a prvý stĺpec mentálne vyčiarknu a pokračujú, až kým nevznikne matica nulovej veľkosti. Ak sa pri niektorých iteráciách medzi prvkami prvého stĺpca nenájde nenulová hodnota, prejdite na ďalší stĺpec a vykonajte podobnú operáciu.
V prvej fáze (priamy beh) sa systém zredukuje na stupňovitú (najmä trojuholníkovú) formu.
Systém uvedený nižšie je stupňovitý:
,
Koeficienty aii sa nazývajú hlavné (vedúce) prvky systému.
(ak a11 \u003d 0, usporiadame riadky matice tak, že a 11 nebolo rovné 0. To je vždy možné, pretože inak matica obsahuje nulový stĺpec, jeho determinant je nula a systém je nekonzistentný).Systém transformujeme elimináciou neznámeho x1 vo všetkých rovniciach okrem prvej (pomocou elementárnych transformácií systému). Za týmto účelom vynásobte obe strany prvej rovnice
a sčítame ho po jednotlivých termínoch druhou rovnicou systému (alebo od druhej rovnice odčítame prvú vynásobenú). Potom obe strany prvej rovnice vynásobíme a pridáme k tretej rovnici systému (alebo od tretej odčítame prvú vynásobenú). Prvý rad teda vynásobíme číslom a pridáme i ten riadok, pre i \u003d 2, 3, …, n.Pokračovaním v tomto procese získame ekvivalentný systém:
- nové hodnoty koeficientov pre neznáme a voľné výrazy v posledných rovniciach m-1 systému, ktoré sú určené vzorcami: Takže v prvom kroku sú všetky koeficienty pod prvým otočným prvkom a 11
0, v druhom kroku sú zničené prvky, ktoré ležia pod druhým vedúcim prvkom a 22 (1) (ak je 22 (1) 0) atď. V ďalšom pokračovaní tohto procesu nakoniec v kroku (m-1) zredukujeme pôvodný systém na trojuholníkový.Ak sa v procese redukcie systému na stupňovitú formu objavia nulové rovnice, t.j. rovnosti tvaru 0 \u003d 0, zahodia sa. Ak sa objaví rovnica formulára
potom to naznačuje nekompatibilitu systému. Tu sa končí priamy priebeh Gaussovej metódy.
2. Obrátiť.
V druhej etape sa realizuje takzvaný reverzný pohyb, ktorého podstatou je vyjadrenie všetkých výsledných základných premenných v zmysle nepodstatných a zostrojenie zásadnej sústavy riešení, alebo ak sú všetky premenné základné, potom vyjadrenie v číselnej podobe jediné riešenie sústavy lineárnych rovníc.
Tento postup začína poslednou rovnicou, z ktorej je vyjadrená zodpovedajúca základná premenná (je v nej iba jedna) a nahradená predchádzajúcimi rovnicami, atď.
Každý riadok zodpovedá presne jednej základnej premennej, preto v každom kroku, s výnimkou posledného (najvyššieho), situácia presne opakuje prípad posledného riadku.
Poznámka: v praxi je pohodlnejšie pracovať nie so systémom, ale s jeho rozšírenou maticou, pričom sa na jeho riadkoch vykonávajú všetky elementárne transformácie. Je vhodné, aby sa koeficient a11 rovnal 1 (usporiadajte rovnice alebo vydeľte obe strany rovnice a11).
2.2 Príklady riešenia SLAE metódou Gauss
V tejto časti tri rôzne príklady Ukážme, ako možno SLAE vyriešiť Gaussovou metódou.
Príklad 1. Vyriešte SLAE 3. rádu.
Vynulujme koeficienty na
v druhom a treťom riadku. Za týmto účelom ich vynásobte 2/3 a 1 a pridajte ich do prvého riadku: