Vyriešiť systém lineárnych rovníc s dvoma premennými zadaním metódy substitúcie nasledujúcim spôsobom:

1) Vyjadrite jednu premennú cez druhú v jednej z rovníc systému (X až Y alebo Y až X);

2) Nahrádzame získaný výraz inej systémovej rovnici a získame lineárnu rovnicu s jednou premennou;

3) vyriešiť výslednú lineárnu rovnicu s jednou premennou a nájsť hodnotu tejto premennej;

4) Hodnota premennej hodnoty je nahradená do výrazu (1) pre inú premennú a nájsť hodnotu tejto premennej.

Príklady. Vyriešiť substitučnú metódu lineárnych rovníc.

expresné h. Cez prvú rovnicu. Dostaneme: X \u003d 7 + y. Namiesto toho nahradiť výraz (7 + y) h. V druhej systémovej rovnici.

Máme rovnicu: 3 · (7 + y) + 2OW \u003d 16. Táto rovnica s jednou premennou w.. Rozhodneme sa. Odhalíme konzoly: 21 + 3ow + 2ow \u003d 16. Zbierame komponenty s premennou w. Na ľavej strane a voľné podmienky - vpravo. Pri prevode zložky vyliečenia z jednej časti rovnosti do druhého, znamenie nadácie na opačnú.

Dostaneme: 3 + 2Y \u003d 16-21. Takéto komponenty dávame v každej časti rovnosti. 5th \u003d -5. Rozdeľujeme obe časti rovnosti na koeficient s premennou. y \u003d -5: 5; y \u003d -1. Túto hodnotu nahrádzame w. V výraze X \u003d 7 + Y a nájdite H.. Dostaneme: X \u003d 7-1; x \u003d 6. Dvojica hodnôt variabilného X \u003d 6 a Y \u003d -1 je roztokom tohto systému.

Záznam: (6; -1). Odpoveď: (6; -1). Tieto argumenty sú vhodne zaznamenané, ako je uvedené nižšie, t.j. Systémy rovníc - navzájom. Právo - výpočty, potrebné vysvetlenia, overovanie riešení atď.

Použitie rovníc je v našom živote rozšírené. Používajú sa v mnohých výpočtoch, výstavbe štruktúr a dokonca aj športov. Rovnice osoby používané v staroveku a od tej doby ich aplikácia sa len zvyšuje. Metóda substitúcie uľahčuje vyriešenie systému lineárnych rovníc akejkoľvek zložitosti. Podstatou spôsobu je, že použitie prvého expresie systému, vyjadrujeme "y", a potom nahradenie výrazu získanej do druhej rovnice systému namiesto "Y". Vzhľadom k tomu, rovnica už neobsahuje nie dva neznáme, ale len jedna vec, potom môžeme ľahko nájsť hodnotu tejto premennej a potom s ním určíme druhú hodnotu.

Predpokladajme, že systém lineárnych rovníc nasledujúceho typu je uvedený:

\\ \\ N (Začiatok (matix) 3x-y-10 \u003d 0 x + 4Y-12 \u003d 0 \\\\ (Matica) vpravo. \\ T

Expresné \\

\\ \\ N (Začiatok (matix) 3x-10 \u003d y + 4y-12 \u003d 0 konca (matice) vpravo. \\ T

Vykonajte substitúciu výsledného výrazu v 2 rovnici:

\\ \\ N (Začiatok (Matica) Y \u003d 3X-10 X + 4 (3x-10) -12 \u003d 0 \\ t

Nájsť hodnotu \\ t

Zjednodušujeme a vyriešime rovnicu pomocou otvorenia zátvoriek a účtovníctva pre prepravné pravidlá členov:

Teraz poznáme hodnotu, ktorú používame, aby sme našli hodnotu \\ t

Odpoveď: [(4; 2). \\]

Kde môžem vyriešiť systém rovníc online nahradením?

Môžete vyriešiť systém rovníc na našich webových stránkach. Bezplatný online riešenie vyrieši online rovnicu akejkoľvek zložitosti v sekundách. Jediné, čo musíte urobiť, je stačí zadať svoje údaje do riešiteľa. Môžete sa tiež naučiť, ako vyriešiť rovnicu na našej webovej stránke. A ak máte akékoľvek otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKONTAKTE.

S týmto matematickým programom môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvomi variabilnou substitučnou metódou a spôsobou pridávania.

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale tiež poskytuje podrobné riešenie s vysvetleniami krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučná metóda a spôsob pridávania.

Tento program môže byť užitočný ako študenti stredných škôl. stredné školy Pri príprave K. kontrolná práca a skúšky, keď kontrolujú vedomosti pred skúškou, rodičia kontrolujú riešenie mnohých problémov v matematike a algebre. Alebo možno ste príliš drahý na prenájom učiteľa alebo si kúpite nové učebnice? Alebo chceš čo najskôr urobiť čo najskôr domáca úloha V matematike alebo algebre? V tomto prípade môžete použiť aj naše programy s podrobným riešením.

Môžete teda vykonať svoj vlastný tréning a / alebo školenie vašich mladších bratov alebo sestier, zatiaľ čo úroveň vzdelania v oblasti riešených úloh sa zvyšuje.

Pravidlá pre vstup do rovníc

Ako premenná môže byť ľubovoľný latinský list.
Napríklad: (X, Y, Z, A, B, C, O, P, Q), atď.

Pri zadávaní rovníc môžete použiť konzoly. Zároveň sa rovnice najprv zjednodušujú. Rovnice po zjednodušení musia byť lineárne, t.j. Zobrazenia AX + BY + C \u003d 0 s presnosťou rádov prvkov.
Napríklad: 6x + 1 \u003d 5 (x + y) +2

V rovniciach môžete použiť nielen celé, ale aj frakčné čísla Vo forme desatinných a bežných frakcií.

Pravidlá pre vstup do desiatkových frakcií.
Celá a frakčná časť v desiatkových frakciách sa môže oddeliť ako bod a čiarka.
Napríklad: 2.1N + 3,5 m \u003d 55

Pravidlá pre vstup na bežné frakcie.
Iba celé číslo môže pôsobiť ako nuterátor, denominátor a celá časť frakcie.
Dennominátor nemôže byť negatívny.
Pri zadávaní číselnej frakcie sa čitateľ oddelil od denominátora na štiepnu značku: /
Celá časť je oddelená od Fraraty Ampersand Sign: &

Príklady.
-1 & 2 / 3Y + 5 / 3x \u003d 55
2.1P + 55 \u003d -2/7 (3,5P - 2 & 1 / 8Q)

Vyriešiť systém rovníc

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tejto úlohy nie sú načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte zahrnuté adblock.
V tomto prípade ho odpojte a aktualizujte stránku.

V prehliadači máte vykonanie JavaScriptu.
Ak chcete zobraziť riešenie, musíte povoliť JavaScript.
Tu sú pokyny, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Želám si vyriešiť úlohu je veľmi, vaša požiadavka je v súlade.
Po niekoľkých sekundách sa roztok zobrazí nižšie.
Prosím čakajte sec ...

Ak ty si všimol chybu pri riešeníMôžete o tom písať v formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte, akú úlohu Rozhodnete sa a čo zadajte pole.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie systémov lineárnych rovníc. Metóda substitúcie

Sekvencia akcií pri riešení systému lineárnych rovníc spôsobom substitúcie:
1) vyjadrené z určitej systémovej rovnice jednu premennú cez druhú;
2) Namiesto tejto variabilnej expresie nahradí ďalšiu rovnicu systému;

$$ \\ Eranget (Začiatok (pole) (L) 3x + Y \u003d 7 -5x + 2Y \u003d 3 END (ARRAY) RIGHT. $$

Express z prvej E rovnice cez X: Y \u003d 7-3x. Namiesť do druhej rovnice namiesto expresie Y 7-ZX, dostaneme systém:
$$ \\ Eranged

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém má rovnaké riešenia. V druhom systéme, druhá rovnica obsahuje iba jednu premennú. Nechajte túto rovnicu:
$$ -5x + 2 (7-3x) \u003d 3 RightArrow -5x + 14-6x \u003d 3 RightArrow -11x \u003d -11 RightArrow X \u003d 1 $$

Namiesť do rovnosti y \u003d 7-3x namiesto x číslo 1, nájdeme príslušnú hodnotu y:
$$ y \u003d 7-3 CDOT 1 RAFROW Y \u003d 4 $$

Pár (1; 4) - Systém riešenia

Systémy rovníc s dvoma premennými, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Systémy, ktoré nemajú riešenia, sa tiež považujú za ekvivalentné.

Riešenie systémov lineárnych rovníc podľa spôsobu pridávania

Zvážte ďalší spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc - spôsob pridávania. Pri riešení systémov v tejto metóde, ako pri riešení metódy substitúcie presunovíme z tohto systému do iného ekvivalentného systému, v ktorom jedna z rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Sekvencia akcií pri riešení systému lineárnych rovníc podľa prídavku:
1) znásobuje meraciu rovnicu systému, výber multiplikátorov tak, aby sa koeficienty pre jednu z premenných stali opačnými číslami;
2) Zložte meranie a pravé časti systémových rovníc;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) Nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Riešenie systému rovníc:
$$ \\ RIGHT (Začiatok (pole) (L) 2X + 3Y \u003d -5 X-3Y \u003d 38 END (ARRAY) RIGHT. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty v y opačné čísla. Po zložení ľavej a pravej časti rovníc získame rovnicu s jednou premennou 3x \u003d 33. Vymeníme jednu z rovníc systému, napríklad prvá, rovnica 3x \u003d 33. Dostávame systém
$$ \\ Eranget

Z rovnice 3x \u003d 33 Zistíme, že X \u003d 11. Nahradenie tejto hodnoty x do rovnice (X-3Y \u003d 38), získavame rovnicu s premennou y: (11-3Y \u003d 38). Nechajte túto rovnicu:
(- 3Y \u003d 27 ROFTROW Y \u003d -9

Zistili sme teda roztok systému rovníc spôsobom pridávania: (x \u003d 11; y \u003d -9) alebo ((11; -9) \\ t

Využívanie skutočnosti, že v systémových rovniciach, sú koeficienty na Y sú opačné čísla, znížili sme jeho riešenie na riešenie ekvivalentného systému (vloženie oboch častí každej rovnice zdrojového symbolu), v ktorom jedna z rovníc obsahuje Iba jedna premenná.

Knihy (učebnice) Abstraktné EGE a OGE Tests Online hry, Puzzle Stavebné grafy funkcií Speld Slovník ruského jazyka Slovník školy Slang Školské katalóg Ruska Katalóg DZUZOV Rusko Katalóg univerzít v Rusku

Riešenie systémov rovníc pomocou substitúcie

Pripomeňme, že takýto systém rovníc.

Systém dvoch rovníc s dvoma premennými sú dve rovnice zjednotené navzájom s frekvenčnou konzolou. Vyriešiť systém znamená nájsť takýto pár čísel, ktorý bude riešenie a prvá, a druhá rovnica súčasne.

V tejto lekcii sa zoznámujeme s týmto spôsobom riešenia systémov ako metódy.

Pozrime sa na systém rovníc:

Tento systém môžete vyriešiť graficky. Na tento účel budeme musieť byť postavený v jednom systéme súradníc grafov každej rovnice, čo ich premieňa na formu:

Potom nájdite súradnice priesečníckych bodov grafov, ktoré budú vyriešené systémom. Ale grafická metóda je ďaleko od vždy pohodlného, \u200b\u200bpretože Má nízku presnosť a dokonca aj neprístupnosť. Pokúsme sa pozorne zvážiť náš systém. Teraz má formulár:

Je možné poznamenať, že ľavé časti rovníc sú rovnaké, a preto by sa mali rovnať správnemu. Potom dostaneme rovnicu:

Toto je známa rovnica s jednou premennou, ktorú môžeme vyriešiť. Trpíme neznáme pojmy na ľavej strane a dobre známe - vpravo, bez toho, aby ste zabudli zmeniť značky +, - pri prevode. Dostaneme:

Teraz nahrádzame našu hodnotu X v akomkoľvek systémovej rovnici a nájdeme hodnotu y. V našom systéme je vhodnejšie použiť druhú rovnicu y \u003d tretí, po substitúcii získame y \u003d 2. A teraz budeme analyzovať vykonanú prácu. Po prvé, vyjadrili sme premennú z premennej X v prvej rovnici. Získaná expresia - 2x + 4 bola potom podložená do druhej rovnice namiesto variabilného y. Potom vyriešili získanú rovnicu z jednej premennej X a našli jeho význam. A v závere použil hodnotu zisteného x, aby ste našli ďalšiu premennú y. Vzniká otázka: bolo potrebné vyjadriť premennú z oboch rovníc naraz? Samozrejme, že nie. Mohli by sme vyjadriť jednu premennú cez druhú len v jednej rovnici systému a použiť ho namiesto zodpovedajúcej premennej v druhom. Okrem toho môžete vyjadriť akúkoľvek premennú z akejkoľvek rovnice. Tu výber závisí výlučne z pohodlia účtu. Takýto postup pre činnosť matematiky sa nazýva algoritmus na riešenie systémov dvoch rovníc s dvoma premennými substitučnou metódou. To, čo to vyzerá.

1. Presná jedna z premenných prostredníctvom iného v jednej zo systémových rovníc.

2. Umiestnite výsledný výraz namiesto zodpovedajúcej premennej na inú rovnicu systému.

3. Držte získanú rovnicu s jednou premennou.

4. Hodnota premennej hodnoty na nahradenie výrazu získanej v prvom odseku a nájsť hodnotu inej premennej.

5. Zaregistrujte odpoveď vo forme dvojice čísel, ktoré boli nájdené v treťom a štvrtom kroku.

Poďme zvážiť ďalší príklad. Riešiť systém rovníc:

Je vhodnejšie vyjadriť premennú z prvej rovnice. Získame y \u003d 8 - 2x. Výsledný výraz musí byť nahradený namiesto druhej rovnice. Dostaneme:

Pite túto rovnicu oddelene a vyriešite ho. Prvé, otvorené konzoly. Získavame rovnicu 3x - 16 + 4x \u003d 5. Zbierame neznáme pojmy v ľavej časti rovnice a dobre známe - vpravo a my to poskytneme takéto komponenty. Získame rovnicu 7x \u003d 21, teda x \u003d 3.

Teraz pomocou nájdenej hodnoty X nájdete:

Odpoveď: pár čísel (3; 2).

V tejto lekcii sa preto dozvedeli, ako riešiť systémy rovníc s dvomi neznámymi analytickými, presnými metódami, bez toho, aby sa uchýlili k pochybnej grafike.

Zoznam referencií:

1. Mordkovich A.G, ALGEBRA GRADE 7 v 2 dieloch, časť 1, tutoriál všeobecné vzdelávacie inštitúcie/ A.g. Mordkovich. - 10. ed., Recyklovaný - Moskva, Mnemozina, 2007.
2. Mordkovich A.G., ALGEBRA GRADE 7 IN 2 ČASTI, ČASŤ 2, TACACON PRE VŠEOBECNÉ VZDELÁVANIE INŠTITÚCIE / [A.G. Mordkovich et al.]; Upravené A.G. Mordkovich - 10. vydanie, recyklované - Moskva, Mnemozina, 2007.
3. Jej. Tulchinskaya, algebra trieda 7. Blitz Anketa: Manuál pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií, 4. vydanie, opravené a doplnené, Moskva, Mnemozina, 2008.
4. Alexandrova L.A., ALGEBRA GRADE 7. Tematický audit pracuje v novom formulári pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií, ktoré upravili A.G. Mordkovich, Moskva, Mnemozina, 2011.
5. Alexandrova L.A. ALGEBRA GRADE 7. Nezávislá práca pre študentov všeobecných vzdelávacích inštitúcií, ktorú upravili A.G. Mordkovich - 6. vydanie, stereotyp, Moskva, "Mnemozina", 2010.

1. Metóda substitúcie: Z akejkoľvek rovnici systému, vyjadrujeme jeden neznámy prostredníctvom inej a nahradiť v druhej rovnici systému.

Úloha. Riešiť systém rovníc:

Rozhodnutie. Z prvej rovnice systému Express w. prostredníctvom h. A nahrádzame v druhej rovnici systému. Dostávame systém ekvivalentný zdroj.

Po prinápení podobných členov, systém bude mať formu:

Z druhej rovnice nájdeme :. Nahradenie tejto hodnoty rovnicu w. = 2 - 2h.dostať sa w. \u003d 3. V dôsledku toho je riešenie tohto systému pár čísel.

2. Spôsob algebraického pridávania: Pridaním dvoch rovníc na získanie rovnice s jednou premennou.

Úloha. Riešenie systémovej rovnice:

Rozhodnutie. Vynásobením oboch častí druhej rovnice na 2, dostaneme systém ekvivalentný zdroj. Skladanie dvoch rovníc tohto systému, prídeme do systému

Po prinápení takýchto členov tento systém bude mať formu: Z druhej rovnice nájdeme. Nahradenie tejto hodnoty na rovnicu 3 h. + 4w. \u003d 5, dostaneme Odkiaľ. V dôsledku toho je riešenie tohto systému pár čísel.

3. Spôsob zavedenia nových premenných: Hľadáme niektoré opakujúce sa výrazy v systéme, ktoré sme označili nové premenné, čím sa zjednoduší typ systému.

Úloha. Riešiť systém rovníc:

Rozhodnutie.Tento systém napíšeme inak:

Byť x + U. = u, HU. = v. Potom dostaneme systém

Riešením substitúciou. Z prvej rovnice systému vyjadrujeme u.prostredníctvom v.a nahrádzame v druhej rovnici systému. Dostávame systém tí.

Z druhej rovnice systému nájdeme v.1 = 2, v.2 = 3.

Nahradenie týchto hodnôt rovnicu u. = 5 - v.dostať sa u.1 = 3,
u.2 \u003d 2. Potom máme dva systémy

Riešenie prvého systému, získame dva páry čísel (1; 2), (2; 1). Systém druhého riešenia nemá č.

Cvičenia pre nezávislú prácu

1. Ak chcete vyriešiť systém rovníc substitúciou.