Ako riešiť kvadratické rovnice pomocou diskriminačných funkcií. Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice. Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc

AT moderná spoločnosť Schopnosť vykonávať akcie pomocou rovníc obsahujúcich druhú premennú môže byť užitočná v mnohých oblastiach činnosti a je v praxi široko využívaná vo vedeckom a technickom rozvoji. Dôkazom toho je konštrukcia námorných a riečnych plavidiel, lietadiel a rakiet. Pomocou týchto výpočtov sa určujú trajektórie pohybu rôznych telies vrátane vesmírnych objektov. Príklady riešenia kvadratických rovníc nachádzajú uplatnenie nielen pri ekonomickom predpovedaní, pri projektovaní a výstavbe budov, ale aj v najbežnejších každodenných podmienkach. Môžu byť použité v turistike, v športe, v obchodoch pri nákupe a v iných veľmi bežných situáciách.

Rozdeľte výraz na jednotlivé faktory

Stupeň rovnice je určený maximálnym stupňom premennej, ktorú daný výraz obsahuje. Ak sa rovná 2, takáto rovnica sa nazýva štvorcová.

Ak sú vyjadrené v jazyku vzorcov, tieto výrazy, bez ohľadu na to, ako vyzerajú, môžu byť vždy prevedené do formy, keď ľavá strana výrazu pozostáva z troch výrazov. Medzi nimi: sekera 2 (to znamená premenná druhá mocnina s jej koeficientom), bx (neznáma bez štvorca s jej koeficientom) a c (voľná zložka, tj bežné číslo). To všetko na pravej strane sa rovná 0. V prípade, že takému polynómu chýba jeden z jeho zložkových pojmov, s výnimkou osi 2, nazýva sa to neúplná kvadratická rovnica. Príklady riešenia týchto problémov, hodnota premenných, v ktorých nie je ťažké nájsť, by sa mali zvážiť ako prvé.

Ak výraz vyzerá tak, že výrazy vo výraze na pravej strane sú dva, presnejšie ax 2 a bx, najľahšie je nájsť x tak, že premennú uvediete z hranatých zátvoriek. Teraz bude naša rovnica vyzerať takto: x (ax + b). Ďalej je zrejmé, že buď x \u003d 0 alebo je úloha zredukovaná na nájdenie premennej z nasledujúceho výrazu: ax + b \u003d 0. Uvedené je dané jednou z vlastností množenia. Pravidlo hovorí, že súčin dvoch faktorov dáva 0, iba ak sa jeden z nich rovná nule.

príklad

x \u003d 0 alebo 8x - 3 \u003d 0

Výsledkom je, že sme získali dva korene rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohto druhu môžu opisovať pohyb telies pôsobením gravitácie, ktorá sa začala pohybovať od určitého bodu považovaného za pôvod. Matematická notácia má nasledujúcu formu: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Nahradením potrebných hodnôt, vyrovnaním pravej strany 0 a nájdením možných neznámych, môžete zistiť čas, ktorý uplynie od momentu, keď telo stúpa, až kým nespadne, ako aj mnoho ďalších veličín. O tom však budeme hovoriť neskôr.

Faktorizácia výrazu

Vyššie popísané pravidlo umožňuje tieto problémy riešiť viac ťažké prípady, Zvážte príklady s riešením kvadratických rovníc tohto typu.

X2 - 33x + 200 \u003d 0

Tento trojhranný trojhran je dokončený. Najskôr skonvertujte výraz a započítajte ho. Existujú dve z nich: (x-8) a (x-25) \u003d 0. Výsledkom je, že máme dva korene 8 a 25.

Príklady riešenia kvadratických rovníc v 9. stupni umožňujú použitie tejto metódy na nájdenie premennej vo výrazoch nielen druhého, ale aj tretieho a štvrtého poriadku.

Napríklad: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Pri faktorizácii pravej strany premennej sú tri, tj (x + 1), (x-3) a (x + 3).

Výsledkom je, že táto rovnica má tri korene: -3; 1; 3.

Druhá odmocnina

Ďalší prípad neúplná rovnica druhý rád je výraz v jazyku písmen zobrazený takým spôsobom, že pravá strana je vytvorená z komponentov ax 2 a c. Na získanie hodnoty premennej sa voľný čas prevedie na pravú stranu a potom sa extrahuje z oboch strán rovnosti. odmocnina, Je potrebné poznamenať, že aj v tomto prípade zvyčajne existujú dva korene rovnice. Výnimkou môžu byť iba rovnosti, ktoré neobsahujú výraz c, kde sa premenná rovná nule, ako aj varianty výrazov, keď je pravá strana záporná. V druhom prípade riešenia vôbec neexistujú, pretože vyššie uvedené akcie nemožno vykonať s koreňmi. Musia sa zvážiť príklady riešení kvadratických rovníc tohto typu.

V tomto prípade sú korene rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet pôdy

Potreba takýchto výpočtov sa objavila v staroveku, pretože vývoj matematiky bol do značnej miery spôsobený potrebou čo najväčšej presnosti určiť plochy a obvody pozemkov.

My by sme mali uvažovať o príkladoch riešenia kvadratických rovníc založených na problémoch tohto druhu.

Povedzme, že existuje obdĺžnikový pozemok, ktorého dĺžka je o 16 metrov väčšia ako šírka. Dĺžka, šírka a obvod lokality by sa mali zistiť, ak je známe, že jej plocha je 612 m 2.

Keď sa pustíme do práce, najprv si zostavíme potrebnú rovnicu. Označte x šírku úseku, potom bude jeho dĺžka (x + 16). Z toho, čo bolo napísané, vyplýva, že oblasť je určená výrazom x (x + 16), čo podľa stavu nášho problému je 612. To znamená, že x (x + 16) \u003d 612.

Riešenie úplných kvadratických rovníc, a toto vyjadrenie je len to, sa nedá urobiť rovnakým spôsobom. Prečo? Aj keď jeho ľavá strana stále obsahuje dva faktory, ich výsledok vôbec nie je 0, preto sa tu používajú iné metódy.

diskriminačné

Najprv urobíme potrebné transformácie vzhľad tohto výrazu bude vyzerať takto: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. To znamená, že sme dostali výraz vo forme, ktorá zodpovedá štandardu uvedenému vyššie, kde a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Toto môže byť príklad riešenia kvadratických rovníc prostredníctvom diskriminačných. Tu sa uskutočňujú potrebné výpočty podľa schémy: D \u003d b 2 - 4ac. Táto pomocná hodnota umožňuje nielen nájsť požadované veličiny v rovnici druhého poriadku, ale určuje aj počet možných volieb. V prípade D\u003e 0 sú dva; pre D \u003d 0 je jeden koreň. V prípade D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreňoch a ich vzorci

V našom prípade je diskriminačný: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. To naznačuje, že odpoveď na náš problém existuje. Ak viete k, v riešení kvadratických rovníc sa musí pokračovať podľa nasledujúceho vzorca. To vám umožní vypočítať korene.

To znamená, že v predloženom prípade: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Druhou možnosťou v tomto dileme nemôže byť riešenie, pretože veľkosť krajiny sa nedá merať v záporných hodnotách, takže x (to znamená šírka pozemku) je 18 m. Preto vypočítame dĺžku: 18 + 16 \u003d 34 a obvod 2 (34+) 18) \u003d 104 (m2).

Príklady a úlohy

Pokračujeme v štúdiu kvadratických rovníc. Príklady a podrobné riešenie niekoľkých z nich budú uvedené nižšie.

1) 15x2 + 20x + 5 \u003d 12x2 + 27x + 1

Všetko prenášame na ľavú stranu rovnosti, robíme transformáciu, to znamená, že dostávame formu rovnice, ktorá sa zvyčajne nazýva štandard, a prirovnáme ju k nule.

15 x 2 + 20 x + 5 - 12 x 2 - 27 x -1 \u003d 0

Zostavíme ich tak, že definujeme diskriminačného: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Preto bude naša rovnica mať dva korene. Vypočítame ich podľa vyššie uvedeného vzorca, čo znamená, že prvý z nich bude 4/3 a druhý 1.

2) Teraz odhalíme hádanky iného druhu.

Zistite, či existujú nejaké korene x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Aby sme dostali vyčerpávajúcu odpoveď, zredukujeme polynóm na zodpovedajúcu známu formu a vypočítame diskriminačné prvky. V tomto príklade nie je potrebné riešenie kvadratickej rovnice, pretože podstata problému vôbec nie je. V tomto prípade D \u003d 16 - 20 \u003d -4, čo znamená, že v skutočnosti neexistujú korene.

Vieta veta

Kvadratické rovnice je vhodné vyriešiť vyššie uvedené vzorce a rozlišujúce, keď druhá odmocnina je extrahovaná z jej hodnoty. Nie je to však vždy tak. V tomto prípade však existuje veľa spôsobov, ako získať hodnoty premenných. Príklad: riešenia kvadratických rovníc Vietovou vetou. Je pomenovaná po tom, čo žila v 16. storočí vo Francúzsku a urobila vynikajúcu kariéru vďaka jej matematickým talentom a väzbám na súde. Jeho portrét je uvedený v článku.

Vzor pozorovaný Francúzom bol nasledujúci. Dokázal, že korene rovnice sú numericky rovné -p \u003d b / a a ich produkt zodpovedá q \u003d c / a.

Teraz zvážte konkrétne úlohy.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Pre jednoduchosť transformujeme výraz:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Pri použití Vietovej vety sa získa toto: súčet koreňov je -7 a ich produkt je -18. Odtiaľto dostaneme, že korene rovnice sú čísla -9 a 2. Po vykonaní kontroly sa ubezpečíme, že tieto hodnoty premenných sa skutočne hodia do výrazu.

Parabola graf a rovnica

Pojmy kvadratickej funkcie a kvadratických rovníc spolu úzko súvisia. Príklady toho už boli uvedené predtým. Teraz sa pozrime na niektoré matematické hádanky podrobnejšie. Môže byť zobrazená akákoľvek rovnica opísaného typu. Podobná závislosť nakreslená v grafe sa nazýva parabola. Jeho rôzne typy sú uvedené na obrázku nižšie.

Každá parabola má vrchol, to znamená bod, z ktorého vychádzajú jej vetvy. Ak a\u003e 0, idú vysoko do nekonečna, a keď a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuálne obrázky funkcií pomáhajú riešiť všetky rovnice, vrátane kvadratických. Táto metóda sa nazýva grafická. A hodnota premennej x je súradnica abscissa v bodoch, kde sa línia grafu pretína s 0x. Súradnice vrcholu možno nájsť podľa rovnice, ktorá je práve daná x 0 \u003d -b / 2a. A nahradením získanej hodnoty v počiatočnej rovnici funkcie nájdete y 0, to znamená druhú súradnicu vrcholu paraboly, ktorá patrí k súradnicovej osi.

Priesečník vetiev paraboly s vodorovnou osou

Existuje veľa príkladov s riešením kvadratických rovníc, existujú však všeobecné vzorce. Zvážte ich. Je zrejmé, že priesečník grafu s osou 0x pre\u003e 0 je možný iba vtedy, ak y 0 má záporné hodnoty. A na a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Podľa rozvrhu paraboly môžete určiť aj korene. Opak je tiež pravdou. To znamená, že ak nie je ľahké získať vizuálny obraz kvadratickej funkcie, môžete pravú stranu výrazu prirovnať k 0 a výslednú rovnicu vyriešiť. A poznať priesečníky s osou 0x je ľahšie vykresliť.

Z histórie

Pomocou rovníc obsahujúcich druhú mocninu v starých časoch nielen matematické výpočty a určovali plochu geometrických tvarov. Starci potrebovali takéto výpočty pre veľkolepé objavy v oblasti fyziky a astronómie, ako aj pre tvorbu astrologických predpovedí.

Ako naznačujú moderní vedci, obyvatelia Babylonu boli medzi prvými, ktorí vyriešili kvadratické rovnice. Stalo sa to štyri storočia pred príchodom našej éry. Ich výpočty sa, samozrejme, zásadne líšili od tých, ktoré sa v súčasnosti prijímajú, a ukázalo sa, že sú oveľa primitívnejšie. Napríklad mezopotámski matematici netušili o existencii záporných čísel. Boli tiež oboznámení s inými jemnosťami tých, ktoré pozná každý súčasný školák.

Možno ešte skôr ako vedci z Babylonu sa mudrc z Indie, Baudhayama, zaoberal riešením kvadratických rovníc. Stalo sa to asi osem storočí pred Kristovým príchodom. Pravda, rovnice druhého poriadku, metódy riešenia, ktoré citoval, boli najjednoduchšie. Okrem neho sa čínski matematici zaujímali o takéto otázky v staroveku. V Európe sa kvadratické rovnice začali riešiť až na začiatku XIII. Storočia, neskôr ich však vo svojich dielach používali takí veľkí vedci ako Newton, Descartes a mnoho ďalších.

Dúfam, že po prečítaní tohto článku sa naučíte nájsť korene celej kvadratickej rovnice.

S pomocou diskriminačných sa riešia iba úplné kvadratické rovnice, na riešenie neúplných kvadratických rovníc sa používajú iné metódy, ktoré nájdete v článku „Riešenie neúplných kvadratických rovníc“.

Ktoré kvadratické rovnice sa nazývajú úplné? to rovnice tvaru ax 2 + b x + c \u003d 0, kde koeficienty a, bac nie sú rovné nule. Aby sme vyriešili celú kvadratickú rovnicu, musíme vypočítať diskriminačnú D.

D \u003d b2 - 4ac.

V závislosti od významu diskriminátora napíšeme odpoveď.

Ak je diskriminujúcim záporné číslo (D< 0),то корней нет.

Ak sa diskriminátor rovná nule, potom x \u003d (-b) / 2a. Ak je diskriminujúcim kladné číslo (D\u003e 0),

potom x1 \u003d (-b - \u003d D) / 2a a x2 \u003d (-b + - D) / 2a.

Napríklad. Vyriešte rovnicu x 2 - 4x + 4 \u003d 0.

D \u003d 4 2 - 4 \u003d 4

x \u003d (- (-4)) / 2 \u003d 2

Odpoveď: 2.

Riešenie rovnice 2 x 2 + x + 3 \u003d 0.

D \u003d 1,2-2,4 \u003d 3

Odpoveď: žiadne korene.

Riešenie rovnice 2 x 2 + 5x - 7 \u003d 0.

D \u003d 5 2 - 4,2 (- 7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - -181) / (2,2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + -181) / (2,2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Odpoveď: - 3,5; 1.

Predstavte si teda riešenie úplných kvadratických rovníc obvodom na obrázku 1.

Pomocou týchto vzorcov môžete vyriešiť ľubovoľnú úplnú kvadratickú rovnicu. Musíte to iba starostlivo sledovať rovnica bola napísaná ako štandardný polynóm

a x 2 + bx + c, inak môžete urobiť chybu. Napríklad v zázname rovnice x + 3 + 2x 2 \u003d 0 sa môže mylne rozhodnúť, že

a \u003d 1, b \u003d 3 a c \u003d 2. Potom

D \u003d 3,2 - 4 · 1,2 \u003d 1 a potom má táto rovnica dva korene. A to nie je pravda. (Pozri riešenie v príklade 2 vyššie).

Preto ak rovnica nie je napísaná polynómom štandardnej formy, musí byť najprv celá kvadratická rovnica napísaná polynómom štandardnej formy (v prvom rade by mala byť monomia s najvyšším exponentom, t.j. a x 2 potom s menším počtom – bxa potom slobodný člen s.

Pri riešení kvadratickej rovnice a kvadratickej rovnice s párnym koeficientom v druhom semestri sa môžu použiť iné vzorce. Poďme sa zoznámiť s týmito vzorcami. Ak je koeficient v plnej kvadratickej rovnici s druhým členom párny (b \u003d 2k), potom je možné túto rovnicu vyriešiť pomocou vzorcov uvedených v diagrame na obrázku 2.

Úplná kvadratická rovnica sa nazýva znížená, ak je koeficient x 2 rovná jednej a rovnica má tvar x 2 + px + q \u003d 0, Takáto rovnica môže byť daná pre riešenie alebo získaná vydelením všetkých koeficientov, rovnica koeficientom astojaci na x 2 .

Obrázok 3 zobrazuje schému riešenia zmenšeného štvorca
rovnice. Zoberme si ako príklad použijeme vzorce uvedené v tomto článku.

Príklad. Vyriešte rovnicu

3x 2 + 6x - 6 \u003d 0.

Poďme vyriešiť túto rovnicu pomocou vzorcov na obrázku 1.

D \u003d 6-2 - 3,4 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D \u003d -108 \u003d √ (36,3) \u003d 6,3

x 1 \u003d (-6 - 6 - 3) / (2,3) \u003d (6 (-1 - √ (3))) / 6 \u003d -1 - √3

x 2 \u003d (-6 + 6–3) / (2,3) \u003d (6 (-1+ √ (3))) / 6 \u003d -1 + 3

Odpoveď: –1 - √3; –1 + √3

Môžete si všimnúť, že koeficient x v tejto rovnici je párne číslo, tj b \u003d 6 alebo b \u003d 2k, odtiaľ k \u003d 3. Potom sa pokúsime riešiť rovnicu pomocou vzorcov znázornených na obrázku D 1 \u003d 3 2 - 3 ) \u003d 9 + 18 \u003d 27

√ (D1) \u003d \u003d 27 \u003d √ (9,3) \u003d 3 -3

x 1 \u003d (-3 - 3 - 3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3 - 3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + 3

Odpoveď: –1 - √3; –1 + √3, Berúc na vedomie, že všetky koeficienty v tejto kvadratickej rovnici sú deliteľné 3 a vykonávame delenie, dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + 2x - 2 \u003d 0 Túto rovnicu vyriešime pomocou vzorcov pre redukovanú kvadratickú rovnicu
rovnice obrázok 3.

D2 \u003d 22-2 (4) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√ (D2) \u003d ~ 12 \u003d √ (3,4) \u003d 233

x 1 \u003d (-2 - 2 - 3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 - 3) / 2 \u003d (2 (-1+ √ (3))) / 2 \u003d - 1 + 3

Odpoveď: –1 - √3; –1 + √3.

Ako vidíte, pri riešení tejto rovnice pomocou rôznych vzorcov sme dostali rovnakú odpoveď. Preto, keď dobre zvládnete vzorce uvedené v diagrame na obrázku 1, môžete vždy vyriešiť každú úplnú kvadratickú rovnicu.

blog.site s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Kvadratické rovnice sa často objavujú pri riešení rôznych problémov fyziky a matematiky. V tomto článku sa pozrieme na to, ako vyriešiť tieto rovnosti univerzálnym spôsobom „diskrimináciou“. V článku sú tiež uvedené príklady využitia získaných poznatkov.

O ktorých rovniciach sa bude diskutovať?

Obrázok nižšie ukazuje vzorec, v ktorom x je neznáma premenná a latinské znaky a, b, c sú niektoré známe čísla.

Každý z týchto symbolov sa nazýva koeficient. Ako vidíte, číslo „a“ stojí pred premennou x na druhú. Toto je maximálny stupeň prezentovaného výrazu, preto sa nazýva kvadratická rovnica. Často používajte svoje iné meno: rovnicu druhého poriadku. Samotná hodnota je štvorcový koeficient (stojaci na druhú s premennou), b je lineárny koeficient (je vedľa premennej zvýšenej na prvý výkon) a nakoniec číslo c je voľný člen.

Všimnite si, že tvar rovnice, ktorý je zobrazený na obrázku vyššie, je bežným klasickým štvorcovým výrazom. Okrem toho existujú ďalšie rovnice druhého poriadku, v ktorých koeficienty b, c môžu byť nula.

Ak je úlohou riešiť uvažovanú rovnosť, znamená to, že sa musia nájsť také hodnoty premennej x, ktoré by ju uspokojili. Tu je prvá vec na zapamätanie ďalšia vec: pretože maximálny stupeň x je 2, tento typ výrazu nemôže mať viac ako 2 riešenia. To znamená, že ak sa pri riešení rovnice 2 zistia hodnoty x, ktoré ju uspokojujú, potom si môžete byť istí, že neexistuje žiadne 3. číslo, ktoré by nahradzovalo miesto x, rovnosť by bola tiež pravdivá. Riešenia rovnice v matematike ju nazývajú korene.

Metódy riešenia rovníc druhého poriadku

Riešenie rovníc tohto typu vyžaduje znalosť určitej teórie o nich. V školskom kurze algebry sa zvažujú 4 rôzne metódy riešenia. Uvádzame ich:

• pomocou faktorizácie;
• použitie vzorca pre celý štvorec;
• použitie grafu zodpovedajúcej kvadratickej funkcie;
• pomocou diskriminačnej rovnice.

Výhodou prvej metódy je jej jednoduchosť, nemôže sa však uplatniť na všetky rovnice. Druhá metóda je univerzálna, ale trochu ťažkopádna. Tretia metóda sa vyznačuje viditeľnosťou, nie je však vždy vhodná a použiteľná. A nakoniec, použitie diskriminačnej rovnice je univerzálny a pomerne jednoduchý spôsob, ako nájsť korene absolútne akejkoľvek rovnice druhého poriadku. V článku sa preto bude zaoberať iba ním.

Vzorec na získanie koreňov rovnice

Zaboč do všeobecný pohľad kvadratická rovnica. Píšeme to: a * x² + b * x + c \u003d 0. Pred použitím metódy „diskriminácie“ by sa rovnosť mala vždy zredukovať na písomnú formu. To znamená, že by malo pozostávať z troch výrazov (alebo menej, ak b alebo c je 0).

Napríklad, ak existuje výraz: x²-9 * x + 8 \u003d -5 * x + 7 * x², musíte najprv preniesť všetky jeho termíny na jednu stranu rovnosti a sčítať termíny obsahujúce premennú x v rovnakých stupňoch.

V tomto prípade táto operácia povedie k nasledujúcemu výrazu: -6 * x²-4 * x + 8 \u003d 0, čo je rovnica rovnice 6 * x² + 4 * x-8 \u003d 0 (tu sme vynásobili ľavú a pravú stranu rovnosti -1) ,

Vo vyššie uvedenom príklade a \u003d 6, b \u003d 4, c \u003d -8. Všimnite si, že všetci členovia posudzovanej rovnosti sa vždy spočítavajú spolu, takže ak sa objaví znak „-“, znamená to, že zodpovedajúci koeficient je záporný, ako v tomto prípade číslo c.

Po preskúmaní tejto chvíle sa teraz obraciame na samotný vzorec, ktorý umožňuje získať korene kvadratickej rovnice. Má názor, ktorý je uvedený na fotografii nižšie.

Ako vidno z tohto výrazu, umožňuje získať dva korene (mali by ste venovať pozornosť znaku „±“). Na to stačí nahradiť koeficienty b, c a a.

Pojem diskriminácie

V predchádzajúcom odseku sme dostali vzorec, ktorý vám umožňuje rýchlo vyriešiť akúkoľvek rovnicu druhého poriadku. V ňom sa radikálny výraz nazýva diskriminačný, to znamená D \u003d b²-4 * a * c.

Prečo je táto časť vzorca izolovaná a má dokonca aj svoje vlastné meno? Faktom je, že diskriminujúci spája všetky tri koeficienty rovnice do jedného výrazu. Táto posledná skutočnosť znamená, že obsahuje všetky informácie o koreňoch, ktoré možno vyjadriť v nasledujúcom zozname:

1. D\u003e 0: rovnosť má 2 rôzne riešenia, pričom obe sú skutočnými číslami.
2. D \u003d 0: rovnica má iba jeden koreň a je to skutočné číslo.

Úloha určiť diskriminujúceho

Uvádzame jednoduchý príklad, ako nájsť diskriminujúceho. Nech je táto rovnosť daná: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² \u003d 3 * x-5 * x² + 7.

Prinášame ho do štandardného tvaru, dostaneme: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) \u003d 0, odkiaľ sa dostávame k rovnosti: -2 * x² + 2 * x-11 \u003d 0. a \u003d -2, b \u003d 2, c \u003d -11.

Teraz môžeme použiť pomenovaný vzorec pre diskriminačného: D \u003d 2² - 4 * (- 2) * (- 11) \u003d -84. Výsledné číslo je odpoveďou na úlohu. Pretože diskriminačný príklad je menší ako nula, môžeme povedať, že táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene. Jeho riešením bude iba počet komplexných typov.

Príklad nerovnosti prostredníctvom diskriminácie

Riešime problémy trochu iného typu: je daná rovnosť -3 * x²-6 * x + c \u003d 0. Je potrebné nájsť hodnoty c, pre ktoré D\u003e 0.

V tomto prípade sú známe iba 2 z 3 koeficientov, preto nebude pracovať na výpočte presnej hodnoty diskriminačného prvku, je však známe, že je pozitívny. Poslednú uvedenú skutočnosť používame na vytvorenie nerovnosti: D \u003d (-6) ²-4 * (- 3) * c\u003e 0 \u003d\u003e 36 + 12 * c\u003e 0. Riešenie výslednej nerovnosti vedie k výsledku: c\u003e -3.

Skontrolujte výsledné číslo. Na tento účel vypočítajte D pre 2 prípady: c \u003d -2 a c \u003d -4. Číslo -2 vyhovuje výsledku (-2\u003e -3), zodpovedajúci diskriminátor bude mať hodnotu: D \u003d 12\u003e 0. Naopak, číslo -4 nespĺňa nerovnosť (-4) Takže akékoľvek číslo c, ktoré je väčšie ako -3, splní podmienku.

Príklad riešenia rovnice

Predstavujeme problém, ktorý spočíva nielen v nájdení diskriminačného, \u200b\u200bale aj v riešení rovnice. Je potrebné nájsť korene rovnosti 2 * x² + 7-9 * x \u003d 0.

V tomto príklade je diskriminátor rovný nasledujúcej hodnote: D \u003d 81-4 * (- 2) * 7 \u003d 137. Potom sú korene rovnice definované nasledovne: x \u003d (9 ± 7 137) / (- 4). to presné hodnoty koreňov, ak spočítame približne koreň, dostaneme čísla: x \u003d -5,176 a x \u003d 0,676.

Geometrický problém

Vyriešime problém, ktorý si bude vyžadovať nielen schopnosť vypočítať diskriminujúcich, ale aj uplatnenie schopností abstraktného myslenia a znalosť toho, ako vytvoriť kvadratické rovnice.

Bob mal prikrývku 5 x 4 metre. Chlapec chcel šiť po celom obvode nepretržitý pásik krásnej látky. Aký silný bude tento prúžok, ak je známe, že Bob má 10 m² látky.

Nechajte prúžok hrúbku x m, potom plocha látky pozdĺž dlhej strany prikrývky bude (5 + 2 * x) * x, a keďže existujú 2 dlhé strany, máme: 2 * x * (5 + 2 * x). Na krátkej strane bude plocha šitej látky 4 x x, pretože tam sú 2 z týchto strán, dostaneme hodnotu 8 x x. Všimnite si, že hodnota 2 * x bola pridaná na dlhú stranu, pretože dĺžka prikrývky sa zvýšila o toto číslo. Celková plocha textilu prišitá k prikrývke je 10 m². Preto dostaneme rovnosť: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x \u003d 10 \u003d\u003e 4 * x² + 18 * x-10 \u003d 0.

V tomto príklade je diskriminačný: D \u003d 18²-4 * 4 * (- 10) \u003d 484. Jeho koreň je 22. Pomocou vzorca nájdeme požadované korene: x \u003d (-18 ± 22) / (2 * 4) \u003d (- - 5; 0,5). Je zrejmé, že z týchto dvoch koreňov je podľa stavu problému vhodný iba číslo 0,5.

Prúžok látky, ktorý Bob šije na svoju prikrývku, bude mať šírku 50 cm.

Problémy kvadratickej rovnice sa študujú v školských osnovách aj na univerzitách. Znamenajú rovnice tvaru a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kde x - variabilné, a, b, c - konštanty;<>0. Úlohou je nájsť korene rovnice.

Geometrický význam kvadratickej rovnice

Graf funkcie reprezentovanej kvadratickou rovnicou je parabola. Riešenia (korene) kvadratickej rovnice sú priesečníky paraboly s osou x (x). Z toho vyplýva, že existujú tri možné prípady:
1) parabola nemá priesečníkové osi s osou x. To znamená, že je v hornej rovine s vetvami nahor alebo nadol s vetvami nadol. V takýchto prípadoch nemá kvadratická rovnica skutočné korene (má dva komplexné korene).

2) parabola má jeden priesečník s osou Ox. Takýto bod sa nazýva vrchol paraboly a kvadratická rovnica v ňom získava svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu. V tomto prípade má kvadratická rovnica jeden skutočný koreň (alebo dva rovnaké korene).

3) Posledný prípad v praxi je zaujímavejší - sú tu dva priesečníky paraboly s vodorovnou osou. To znamená, že existujú dva skutočné korene rovnice.

Na základe analýzy koeficientov stupňov premenných je možné vyvodiť zaujímavé závery o umiestnení paraboly.

1) Ak je koeficient a väčší ako nula, potom je parabola nasmerovaná nahor, ak je záporná, parabola sa rozvetví nadol.

2) Ak je koeficient b väčší ako nula, potom vrchol paraboly leží v ľavej polovici roviny, ak má zápornú hodnotu, potom vpravo.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice

Konštantu prenášame z kvadratickej rovnice

pre rovnaké znamienko dostaneme výraz

Vynásobte obe strany číslom 4a

Ak chcete získať celý štvorec vľavo, pridajte b ^ 2 na oboch stranách a vykonajte transformáciu

Odtiaľto nájdeme

Vzorec diskriminačného a korene kvadratickej rovnice

Diskriminačný je hodnota radikálneho výrazu. Ak je kladný, potom má rovnica dva skutočné korene, vypočítané podľa vzorca Pre nulovú diskrimináciu má kvadratická rovnica jedno riešenie (dva koreňové korene), ktoré možno ľahko získať z vyššie uvedeného vzorca pre D \u003d 0. Pre záporných diskriminantov neexistujú žiadne reálne koreňové rovnice. Napodobnite však riešenia kvadratickej rovnice v komplexnej rovine a ich hodnota sa vypočíta pomocou vzorca

Vieta veta

Zoberme si dva korene kvadratickej rovnice a skonštruujte kvadratickú rovnicu na ich základe. Vietorova veta samotná ľahko vyplýva z notácie: ak máme kvadratickú rovnicu tvaru potom súčet jeho koreňov sa rovná koeficientu p prijatému s opačným znamienkom a súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu q. Vzorec pre vyššie uvedené bude vyzerať, že ak je v klasickej rovnici konštanta a odlišná od nuly, musíte do nej rozdeliť celú rovnicu a potom použiť Vieta teorém.

Multiplikátor kvadratických rovníc

Nech je úloha nastavená: faktor kvadratickej rovnice. Aby sme to vykonali, najprv vyriešime rovnicu (nájdeme korene). Ďalej nahradíme nájdené korene v expanznom vzorci kvadratickej rovnice, čím sa problém vyrieši.

Kvadratické problémy

Úloha 1 Nájdite korene kvadratickej rovnice

x ^ 2-26x + 120 \u003d 0.

Riešenie: Píšeme koeficienty a nahrádzame diskriminačným vzorcom

Koreň tejto hodnoty sa rovná 14, je ľahké ju nájsť pomocou kalkulačky alebo si ju zapamätať pri častom používaní, avšak na konci článku vám dám zoznam štvorcov čísel, ktoré sa pri takýchto úlohách môžu často vyskytnúť.
Nájdenú hodnotu nahraďte v koreňovom vzorci

a dostať sa

Úloha 2 Vyriešte rovnicu

2x 2 + x-3 \u003d 0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu, napíšeme koeficienty a nájdeme diskriminačného


Pomocou známych vzorcov nájdeme korene kvadratickej rovnice

Úloha 3. Vyriešte rovnicu

9x2 -12x + 4 \u003d 0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu. Určte diskriminujúceho

Mám prípad, keď sa korene zhodujú. Koreňové hodnoty nájdeme podľa vzorca

Úloha 4. Vyriešte rovnicu

x ^ 2 + x-6 \u003d 0.

Riešenie: V prípadoch, keď existujú malé koeficienty pre x, je vhodné použiť Vieta teorém. Jeho stavom dostaneme dve rovnice

Z druhej podmienky dostaneme, že produkt sa musí rovnať -6. To znamená, že jeden z koreňov je negatívny. Máme nasledujúce možné dvojice roztokov (-3; 2), (3; -2). Vzhľadom na prvú podmienku odmietame druhú dvojicu riešení.
Korene tejto rovnice sú

Úloha 5. Nájdite dĺžky strán obdĺžnika, ak je jeho obvod 18 cm a plocha je 77 cm 2.

Riešenie: Polovica obvodu obdĺžnika sa rovná súčtu susedných strán. Nech x je väčšia strana, potom 18-x jeho menšia strana. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu týchto dĺžok:
x (18 s) \u003d 77;
alebo
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Nájdite rozlišovateľa rovnice

Počítame korene rovnice

ak x \u003d 11potom 18 \u003d 7, naopak, je to tiež pravda (ak x \u003d 7, potom 21-x \u003d 9).

Úloha 6. Faktor kvadratických rovníc 10x2 -11x + 3 \u003d 0.

Riešenie: Počítame korene rovnice, preto nájdeme diskriminačného

Nájdenú hodnotu nahradiť v koreňovom vzorci a vypočítať

Použijeme vzorec pre expanziu kvadratickej rovnice v koreňoch

Po otvorení zátvoriek získame identitu.

Kvadratická rovnica s parametrom

Príklad 1. Na aké hodnoty parametrov a, rovnica (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 \u003d 0 má jeden koreň?

Riešenie: Priamou substitúciou hodnoty a \u003d 3 vidíme, že nemá riešenie. Ďalej využívame skutočnosť, že pre nulovú diskrimináciu má rovnica jeden koreň multiplicity 2. Píšeme diskriminačné

zjednodušiť a nastaviť na nulu

Získali sme kvadratickú rovnicu s ohľadom na parameter a, ktorého riešenie sa dá ľahko získať Vietovou vetou. Súčet koreňov je 7 a ich produkt je 12. Jednoduchým vyčerpávajúcim hľadaním zistíme, že čísla 3.4 budú koreňmi rovnice. Keďže sme riešenie a \u003d 3 už na začiatku výpočtov zamietli, bude jediným správnym riešením - a \u003d 4.Takže pre a \u003d 4 má táto rovnica jeden koreň.

Príklad 2. Na aké hodnoty parametrov a, rovnica a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 \u003d 0má viac ako jeden koreň?

Riešenie: Najprv vezmeme do úvahy singulárne body, budú to hodnoty a \u003d 0 a a \u003d -3. Keď a \u003d 0, rovnica sa zjednoduší na formu 6x-9 \u003d 0; x \u003d 3/2 a bude existovať jeden koreň. Pre a \u003d -3 dostaneme identitu 0 \u003d 0.
Počítame diskriminačného

a nájdite hodnoty, pre ktoré je pozitívny

Z prvej podmienky dostaneme\u003e 3. Po druhé, nájdeme diskriminačného a korene rovnice


Definujte intervaly, v ktorých má funkcia kladné hodnoty. Nahradením bodu a \u003d 0 dostaneme 3>0 . Takže mimo intervalu (-3; 1/3) je funkcia negatívna. Nezabudnite na to a \u003d 0,čo by malo byť vylúčené, pretože v ňom pôvodná rovnica má jeden koreň.
Výsledkom je, že dostaneme dva intervaly, ktoré zodpovedajú stavu problému

V praxi bude veľa podobných úloh, pokúste sa ich zvládnuť sami a nezabudnite vziať do úvahy podmienky, ktoré sa vzájomne vylučujú. Dobre si prečítajte vzorce na riešenie kvadratických rovníc, ktoré sú často potrebné pri výpočtoch v rôznych problémoch a vedách.