Kvadratické rovnice. Diskriminačné. Riešenie, príklady.

Varovanie!
   Pre túto tému existujú ďalšie témy.
   Materiály uvedené v osobitnej časti 555.
   Pre tých, ktorí sú silne „nie veľmi ...“
   A pre tých, ktorí sú „veľmi ...“)

Druhy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? V termíne kvadratická rovnica  kľúčové slovo je "Námestie".  To znamená, že v rovnici nutne  X by malo byť v krabici. Okrem toho v rovnici môžu byť (alebo nemusia byť!) Jednoducho X (v prvom stupni) a len číslo (voľný člen).  A nemali by existovať X v stupni viac ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou tvaru:

tu a, b a c  - niektoré čísla. b a c  - absolútne akékoľvek, ale a- akékoľvek, okrem nuly. Napríklad:

tu a =1; b = 3; c = -4

tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

tu a =-3; b = 6; c = -18

Pochopte, že ...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je celý súbor  Členovia. X na druhú s koeficientom ax v prvom stupni s koeficientom b  a bezplatní členovia.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú dokončené.

A ak b  \u003d 0, čo získame? S nami x zmizne v prvom stupni.  Z násobenia nulou sa to stane.) Ukázalo sa napríklad:

5x2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

x 2 + 4x \u003d 0

Atď. A ak oba koeficienty, b  a c  rovná nule, je to stále jednoduchšie:

2x 2 \u003d 0,

-0,3 x 2 \u003d 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.  To je celkom logické.) Upozorňujeme, že X je štvorcový vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo a  nemôže byť nula? A namiesto toho ho nahradíte a  toe.) X zmizne na našom námestí! Rovnica sa stane lineárnou. A rozhoduje sa úplne inak ...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Kompletné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa riešia jednoducho. Podľa vzorcov a jasných jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. zobraziť:

Ak je táto rovnica už daná v tejto podobe - prvý krok sa nemusí robiť.) Hlavnou vecou je správne určiť všetky koeficienty, a, b  a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice je nasledujúci:

Vyjadruje sa výraz pod koreňovou značkou diskriminačné, Ale o ňom - \u200b\u200bnižšie. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c.   tj koeficienty z kvadratickej rovnice. Hodnoty jednoducho nahradiť a, b a c do tohto vzorca a zvážte. náhradka s vašimi znameniami!   Napríklad v rovnici:

a =1; b = 3; c  \u003d -4. Takže píšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo si nemyslíte, že sa môžete mýliť? Áno, áno ...

Najčastejšie chyby sú zámeny s hodnotami a, b a c, Skôr nie so svojimi znakmi (kde je možné ich zamieňať?), Ale so substitúciou záporných hodnôt vo vzorci na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sú problémy s výpočtami, tak to urob!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť takýto príklad:

tu = -6; b = -5; c = -1

Predpokladajme, že viete, že odpovede dostanete len zriedka.

Nebuďte leniví. Písanie riadku navyše bude trvať 30 sekúnd a počet chýb prudko poklesnúť, Takže píšeme podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak opatrne. Ale zdá sa to. Vyskúšajte to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa urobím šťastným. Po chvíli už nie je potrebné všetko natierať tak starostlivo. Ukázalo sa to správne. Najmä ak použijete praktické techniky, ktoré sú opísané nižšie. Tento zlý príklad s množstvom mínusov bude vyriešený ľahko a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Zistili ste to?) Áno! Je to tak neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené všeobecným vzorcom. Musíte len zistiť, čo sú si tu rovnaké a, b a c.

Uvedomili ste si? V prvom príklade a \u003d 1; b \u003d -4;  a c? On vôbec nie je! No áno, správne. V matematike to znamená c \u003d 0 ! To je všetko. Nahradiť nulu do vzorca c,  a uspejeme. Podobne ako v druhom príklade. Iba nula tu nie je sa b !

Avšak neúplné kvadratické rovnice sa dajú vyriešiť oveľa ľahšie. Bez vzorcov. Zoberme si prvú neúplnú rovnicu. Čo sa dá urobiť na ľavej strane? Môžete dať X z hranatých zátvoriek! Poďme na to.

A čo toto? A skutočnosť, že produkt sa rovná nule, a to len vtedy, ak sa ktorýkoľvek z faktorov rovná nule! Neveríte? Potom príďte s dvoma nenulovými číslami, ktoré po vynásobení dajú nulu!
  Nevyšlo to? To je všetko ...
  Preto môžeme s istotou napísať: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

To je všetko. Toto budú korene našej rovnice. Obe sa hodia. Nahradením ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 \u003d 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako pomocou všeobecného vzorca. Mimochodom, poznamenávam, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - je to úplne ľahostajné. Je vhodné zaznamenať v poradí, x 1  - to, čo je menšie a x 2  - to je viac.

Druhá rovnica môže byť tiež vyriešená jednoducho. Posuňte 9 doprava. Dostávame:

Zostáva extrahovať koreň z 9, a to je všetko. Ukázalo sa, že:

Tiež dva korene . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Takto sa vyriešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď vyložením x z hranatých zátvoriek, alebo jednoducho posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
  Zmätok týchto trikov je nesmierne ťažké. Len preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z X, čo je nejako nepochopiteľné, av druhom prípade nie je nič, čo by ste mali uviesť v zátvorkách ...

Diskriminačné. Diskriminačný vzorec.

Kúzelné slovo diskriminačné ! Vzácny študent strednej školy toto slovo nepočul! Fráza „rozhodnúť sa diskriminačným spôsobom“ vzbudzuje dôveru a podporuje ju. Pretože nemusíte čakať na triky od diskriminujúcich! Spracovanie je jednoduché a bezproblémové.) Spomínam si na naj všeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek  kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovou značkou sa nazýva diskriminačný. Diskriminátor je zvyčajne označený listom D, Vzorec diskriminácie:

D \u003d b2 - 4ac

A aký pozoruhodný je tento výraz? Prečo si to zaslúžilo zvláštne meno? V čom význam diskriminačného?  Koniec koncov -b,  alebo 2a  tento vzorec nie je špecificky nazývaný ... Listy a listy.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice podľa tohto vzorca iba tri prípady.

1. Diskriminačný je pozitívny.  To znamená, že z neho možno získať koreň. Dobrý koreň je extrahovaný alebo zlý - ďalšia otázka. Je dôležité, aby sa v zásade extrahoval. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminačný je nula.  Potom dostanete jedno riešenie. Pretože od sčítania nula v čitateli sa nič nezmení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dva rovnaké, V zjednodušenej verzii je však obvyklé hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminačný je negatívny.  Z záporného čísla nie je odmocnina extrahovaná. Dobre, dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, s jednoduchým riešením kvadratických rovníc nie je pojem diskriminačný naozaj potrebný. Nahraďte hodnoty koeficientov vo vzorci, áno, uvažujeme. Všetko sa tam ukázalo samo osebe a dva korene, jeden a nie jeden. Avšak pri riešení zložitejších úloh, bez vedomostí význam a vzorce diskriminácie  nechoďte spolu. Najmä v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobatikou pri štátnej automobilovej inšpekcii a jednotnej štátnej skúške!

To znamená, ako riešiť kvadratické rovnice  prostredníctvom diskriminácie si pamätáte. Alebo sa naučili, čo tiež nie je zlé.) Vedieť, ako správne určiť a, b a c, Vieš ako opatrne  nahradiť ich v koreňovom vzorci a opatrne  spočítať výsledok. Rozumiete, že kľúčové slovo je tu starostlivo?

Teraz vezmite na vedomie praktické techniky, ktoré dramaticky znižujú počet chýb. Práve tie, ktoré kvôli nedbanlivosti ... Pre ktoré sa to potom stáva bolestivé a urážlivé ...

Prvý príjem , Nenechajte sa leniví pred vyriešením kvadratickej rovnice, aby ste ju dostali do štandardnej formy. Čo to znamená?
   Predpokladajme, že po všetkých transformáciách dostanete túto rovnicu:

Nepoužívajte ponáhľať písať vzorec korene! Takmer určite budete kombinovať kurzy   a, b a c.  Zostavte príklad správne. X najprv na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Takto:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na námestí vás môže skutočne rozrušiť. Zabudnúť na to je ľahké ... Zbavte sa mínus. Ako? Áno, ako sa uvádza v predchádzajúcej téme! Celú rovnicu je potrebné vynásobiť -1. Dostávame:

A teraz môžete bezpečne napísať vzorec pre korene, zvážiť diskriminačného a dokončiť príklad. Urob to sám. Mali by ste dostať korene 2 a -1.

Prijatie druhého.   Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, vysvetlím všetko! skontrolujte posledný  Ekv. tj ten, ktorým sme si zapísali koreňový vzorec. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a \u003d 1Kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich množiť. Mali by ste získať bezplatný termín, t. v našom prípade -2. Upozorňujeme, že nie 2, ale -2! Zadarmo člen s tvojím znamením , Keby to nevyšlo, znamená to, že už sa niekde pokazili. Vyhľadajte chybu.

Ak to vyjde, musíte položiť korene. Posledná a posledná kontrola. Mali by ste získať koeficient b  s opak   podpísať. V našom prípade -1 + 2 \u003d +1. Koeficient bktorý pred x je -1. Takže, máte pravdu!
   Je škoda, že je to tak jednoduché iba pre príklady, kde je x mocnina čistá, s koeficientom a \u003d 1.  Aspoň však skontrolujte tieto rovnice! Došlo k menšiemu počtu chýb.

Tretia recepcia , Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom, ako je opísané v lekcii „Ako riešiť rovnice? Transformácie identity.“ Pri práci so zlomkami chyby z nejakého dôvodu stúpajú ...

Mimochodom, sľúbil som, že zjednoduším zlý príklad s množstvom mínusov. Prosím! Tam je.

Aby sme sa nezmýlili v mínusoch, vynásobíme rovnicu -1. Dostávame:

To je všetko! Riešenie je potešenie!

Takže zhrnúť tému.

Praktické tipy:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správne.

2. Ak je pred štvorcom x záporný koeficient, eliminujeme ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, odstránime zlomky vynásobením celej rovnice zodpovedajúcim faktorom.

4. Ak je x mocnina čistá, koeficient sa rovná jednote, riešenie sa dá ľahko skontrolovať Vietovou vetou. Urob to!

Teraz sa môžete rozhodnúť.)

Riešenie rovníc:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1,2 \u003d2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x je akékoľvek číslo

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

žiadne riešenia

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Je to všetko v poriadku? Výborne! Kvadratické rovnice nie sú vaše bolesti hlavy. Prvé tri sa ukázali a ostatné nie? Potom problém nie je v kvadratických rovniciach. Problémom sú transformácie identity rovníc. Prejdite na odkaz, je to užitočné.

Nie celkom dobre? Alebo vôbec zlyhá? Potom vám pomôže oddiel 555. Tam sú analyzované všetky tieto príklady. ukazujúci hlavné  chyby v rozhodnutí. Hovorí samozrejme aj o použití rovnakých transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľa to pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči ...

Mimochodom, mám pre vás pár zaujímavejších miest.)

Môžete precvičiť príklady riešenia a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

  Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Just. Podľa vzorcov a jasných jednoduchých pravidiel. V prvej fáze

je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. zobraziť:

Ak je táto rovnica už uvedená v tejto podobe - prvý krok nie je potrebný. Najdôležitejšie je správne

určte všetky koeficienty a, b  a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice.

Vyjadruje sa výraz pod koreňovou značkou diskriminačné   , Ako vidíte, na nájdenie X sme

použitie iba a, b a c.   tj koeficienty z kvadratická rovnica, Len jemne nahradiť

význam a, b a c  do tohto vzorca a zvážte. Nahradiť jeho  príznaky!

Napríkladv rovnici:

a =1; b = 3; c = -4.

Nahradíme hodnoty a píšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Najčastejšie chyby sú zámeny s hodnotami a, ba   s, Skutočnejšie, s náhradou

záporné hodnoty vo vzorci na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca

s konkrétnymi číslami. Ak máte problémy s výpočtami, urobte to!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť takýto príklad:

tu = -6; b = -5; c = -1

Opatrne maľujeme všetko podrobne, bez chýbajúcich údajov so všetkými znakmi a zátvorkami:

Kvadratické rovnice často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Teraz vezmite na vedomie praktické techniky, ktoré dramaticky znižujú počet chýb.

Prvý príjem, Nebuď pred tým lenivý riešenie kvadratickej rovnice  priviesť ho k štandardnému vzhľadu.

Čo to znamená?

Predpokladajme, že po všetkých transformáciách dostanete túto rovnicu:

Nepoužívajte ponáhľať písať vzorec korene! Takmer určite budete kombinovať kurzy a, b a c.

Zostavte príklad správne. X najprv na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Takto:

Zbavte sa mínus. Ako? Celú rovnicu je potrebné vynásobiť -1. Dostávame:

A teraz môžete bezpečne napísať vzorec pre korene, zvážiť diskriminačného a dokončiť príklad.

Urob to sám. Mali by ste dostať korene 2 a -1.

Prijatie druhého.  Skontrolujte korene! na vieta veta.

Na vyriešenie daných kvadratických rovníc, t. ak je koeficient

x 2 + bx + c \u003d 0,

potom  x 1 x 2 \u003d c

x 1 + x 2 \u003d -b

Pre celú kvadratickú rovnicu, v ktorej a ≠ 1:

x 2 +bx +c=0,

vydeľte celú rovnicu a:

→ →

kde x 1  a x  2 - korene rovnice.

Tretia recepcia, Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Domnozhte

rovnica spoločného menovateľa.

Záver. Praktické tipy:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správne.

2. Ak je pred štvorcom x záporný koeficient, eliminujeme ho vynásobením všetkého

rovnice o -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, vylúčime zlomky vynásobením celej rovnice zodpovedajúcim

faktorom.

4. Ak je x mocnina čistá, koeficient sa rovná jednému, roztok sa dá ľahko skontrolovať pomocou

Pokračovanie v téme „Riešenie rovníc“ vám v tomto článku predstaví kvadratické rovnice.

Zvážime všetko podrobne: podstatu a zápis kvadratickej rovnice, stanovíme sprievodné termíny, budeme analyzovať schému riešenia neúplných a úplných rovníc, zoznámime sa s koreňovým vzorcom a diskriminačným, vytvoríme vzťah medzi koreňmi a koeficientmi a samozrejme poskytneme jasné riešenie praktickým príkladom.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnica, jej typy

   Definícia 1

Kvadratická rovnica  Je rovnica napísaná ako a x 2 + b x x + c \u003d 0kde   x  - premenná a, b a   C  - niektoré čísla nie nula.

Kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnicami druhého stupňa, pretože v podstate je kvadratická rovnica algebraickou rovnicou druhého stupňa.

Uvádzame príklad na ilustráciu danej definície: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0 atď. Sú kvadratické rovnice.

Definícia 2

Čísla a, b a   C  Sú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x x + c \u003d 0, zatiaľ čo koeficient    sa nazýva prvý alebo vyšší alebo koeficient v x 2, b - druhý koeficient alebo koeficient v   xa   C  nazval slobodným členom.

Napríklad v kvadratickej rovnici   6 x 2 - 2 x 11 \u003d 0  vyšší koeficient je 6, druhý koeficient je − 2 a voľný čas je − 11 , Venujte pozornosť skutočnosti, že keď sú koeficienty   ba / alebo c sú negatívne, potom sa použije krátka forma zápisu formy   6 x 2 - 2 x 11 \u003d 0ale nie   6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Objasňujeme tiež tento aspekt: \u200b\u200bak sú koeficienty    a / alebo   b  sú si rovní 1   alebo − 1 , potom sa nemusia výslovne podieľať na písaní kvadratickej rovnice, čo sa vysvetľuje zvláštnosťou písania uvedených číselných koeficientov. Napríklad v kvadratickej rovnici   y2 - y + 7 \u003d 0  vyšší koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Podľa hodnoty prvého koeficientu sú kvadratické rovnice rozdelené na redukovanú a neredukovanú.

Definícia 3

Kvadratická rovnica  Je kvadratická rovnica, kde počiatočný koeficient je 1. Pri ostatných hodnotách najvyššieho koeficientu sa kvadratická rovnica nezníži.

Uvádzame príklady: Kvadratické rovnice x 2 - 4 · x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 sú redukované, pričom v každej z nich je najvyšší koeficient 1.

  9 x 2 - x - 2 \u003d 0  - neredukovaná kvadratická rovnica, kde prvý koeficient je odlišný od 1 .

Akákoľvek neredukovaná kvadratická rovnica je možné transformovať na redukovanú rovnicu, ak obe jej časti rozdelíme na prvý koeficient (ekvivalentná transformácia). Transformovaná rovnica bude mať rovnaké korene ako daná neredukovaná rovnica alebo vôbec žiadne korene.

Zváženie konkrétneho príkladu nám umožní jasne demonštrovať implementáciu prechodu z neredukovanej kvadratickej rovnice na danú.

Príklad 1

Rovnica je uvedená: 6x2 + 18x - 7 \u003d 0 .   Je potrebné previesť pôvodnú rovnicu na daný tvar.

rozhodnutie

Podľa vyššie uvedenej schémy delíme obe strany pôvodnej rovnice úvodným koeficientom 6. Potom dostaneme:   (6 x 2 + 18 · x - 7): 3 \u003d 0: 3a je to rovnaké ako:   (6 x x 2): 3 + (18 x x): 3 - 7: 3 \u003d 0  a ďalej:   (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0.  Odtiaľto:   x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Takto sa získa rovnica ekvivalentná danej rovnici.

Odpoveď znie:   x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Kompletné a neúplné kvadratické rovnice

Obraciame sa na definíciu kvadratickej rovnice. V tom sme to objasnili   a ≠ 0, Podobné podmienky sú potrebné pre rovnicu a x 2 + b x x + c \u003d 0  bol presne štvorcový, pretože kedy   a \u003d 0  v podstate sa prevádza na lineárnu rovnicu   bx + c \u003d 0.

V prípade, že koeficienty   b  a   Csú rovné nule (čo je možné, jednotlivo aj spoločne), kvadratická rovnica sa nazýva neúplná.

Definícia 4

Neúplná kvadratická rovnica  Je to kvadratická rovnica   a x 2 + b x x + c \u003d 0,kde aspoň jeden z koeficientov   ba   C(alebo oboje) je nula.

Plná kvadratická rovnica  - kvadratická rovnica, v ktorej všetky číselné koeficienty nie sú rovné nule.

Poďme diskutovať o tom, prečo sú týmto typom kvadratických rovníc dané také mená.

Pre b \u003d 0 má tvar kvadratická rovnica   a x 2 + 0 x x c \u003d 0to je to isté ako   a x 2 + c \u003d 0, na   c \u003d 0  kvadratická rovnica je napísaná ako   a x 2 + b x x 0 \u003d 0čo je ekvivalentné   a x 2 + b x \u003d 0, na   b \u003d 0  a   c \u003d 0  rovnica bude mať podobu   a x 2 \u003d 0, Rovnice, ktoré sme získali, sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé časti neobsahujú ani výraz s premennou x, alebo voľný termín, alebo oboje naraz. V skutočnosti táto skutočnosť dala názov tomuto typu rovníc - neúplná.

Napríklad x 2 + 3 · x + 4 \u003d 0 a - 7 x 2 - 2 x x 1, 3 \u003d 0 sú plné kvadratické rovnice; x2 \u003d 0, - 5 x x \u003d 0; 11 · x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 · x \u003d 0 - nekompletné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Uvedená definícia umožňuje rozlíšiť tieto typy neúplných kvadratických rovníc:

•   a x 2 \u003d 0, táto rovnica zodpovedá koeficientom   b \u003d 0  a c \u003d 0;
• a · x 2 + c \u003d 0 pri b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 pre c \u003d 0.

Pozrime sa postupne na riešenie každého typu nekompletnej kvadratickej rovnice.

Riešenie rovnice a · x 2 \u003d 0

Ako bolo uvedené vyššie, koeficienty zodpovedajú tejto rovnici   b  a   Crovná nule. rovnice   a x 2 \u003d 0  je možné previesť na ekvivalentnú rovnicu   x 2 \u003d 0ktoré dostaneme vydelením oboch strán pôvodnej rovnice číslom  nerovná sa nule. Zrejmou skutočnosťou je, že koreň rovnice   x 2 \u003d 0  je to nula, pretože 0 2 = 0 , Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo je vysvetlené vlastnosťami stupňa: pre akékoľvek číslo   p,nerovná sa nule, nerovnosť je pravdivá   p2\u003e 0, z čoho vyplýva, že s   p ≠ 0  rovnosť   p2 \u003d 0nikdy sa nedosiahne.

Definícia 5

Preto pre neúplnú kvadratickú rovnicu a · x 2 \u003d 0 existuje jedinečný koreň   x \u003d 0.

Príklad 2

Napríklad vyriešime neúplnú kvadratickú rovnicu   - 3 x 2 \u003d 0, Rovnica je pre neho rovnocenná   x 2 \u003d 0jeho jediný koreň je   x \u003d 0, potom pôvodná rovnica má jeden koreň - nula.

V krátkosti sa rozhodnutie prijíma takto:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Riešenie rovnice a · x 2 + c \u003d 0

Ďalším krokom je vyriešenie neúplných kvadratických rovníc, kde b \u003d 0, c ≠ 0, tj rovnice tvaru   a x 2 + c \u003d 0, Túto rovnicu transformujeme presunutím pojmu z jednej časti rovnice do druhej, zmenou znamienka na opačnú a rozdelením oboch strán rovnice číslom, ktoré sa nerovná nule:

• tolerovaná   C  na pravú stranu, ktorá dáva rovnicu   a x 2 \u003d - c;
• delte obe strany rovnice  dostaneme x \u003d - c a.

Naše transformácie sú rovnocenné, respektíve výsledná rovnica je tiež rovnocenná s pôvodnou, a táto skutočnosť umožňuje vyvodiť záver o koreňoch rovnice. Z čo sú významy    a   Chodnota výrazu závisí od c a: môže mať znamienko mínus (napríklad, ak   a \u003d 1  a   c \u003d 2, potom - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) alebo znamienko plus (napríklad, ak   a \u003d - 2  a   c \u003d 6potom - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); to nie je nula, pretože   c ≠ 0, Budeme sa venovať situáciám, keď - c a< 0 и - c a > 0 .

V prípade, keď - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа   p  rovnosť p 2 \u003d - c a nemôže byť pravda.

Všetko je iné, keď - c a\u003e 0: nezabudnite na druhú odmocninu a bude zrejmé, že koreň rovnice x 2 \u003d - c a bude číslo - ca, pretože - c a 2 \u003d - c a. Je ľahké pochopiť, že číslo - - a - je tiež koreňom rovnice x 2 \u003d - c a: skutočne, - - c a 2 \u003d - c a.

Rovnica nebude mať žiadne iné korene. Môžeme to demonštrovať opačnou metódou. Najprv označme korene uvedené vyššie ako   x 1  a   - x 1, Predpokladajme, že rovnica x 2 \u003d - c a má tiež koreň   x 2čo sa líši od koreňov   x 1  a   - x 1, Vieme to, namiesto toho v rovnici nahradíme   x  jeho korene, premeníme rovnicu na spravodlivú numerickú rovnosť.

pre   x 1  a   - x 1  píšeme: x 1 2 \u003d - ca, a pre   x 2 - x 2 2 \u003d - a a. Na základe vlastností numerických rovníc odčítame jednu pravú rovnosť od iného termínu po termíne, čo nám dáva:   x 1 2 - x 2 2 \u003d 0, Použite vlastnosti akcie s číslami na prepísanie poslednej rovnosti ako   (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0, Je známe, že súčin dvoch čísel je nula, a to iba vtedy, ak aspoň jedno z týchto čísiel je nula. Z vyššie uvedeného vyplýva, že   x 1 - x 2 \u003d 0  a / alebo   x 1 + x 2 \u003d 0to isté   x 2 \u003d x 1  a / alebo   x 2 \u003d - x 1, Tam bol zrejmý rozpor, pretože spočiatku bolo dohodnuté, že koreň rovnice   x 2  iné ako   x 1  a   - x 1, Dokázali sme teda, že rovnica nemá iné korene ako x \u003d - ca a x \u003d - - a.

Sumarizujeme všetky vyššie uvedené argumenty.

Definícia 6

Neúplná kvadratická rovnica   a x 2 + c \u003d 0  je ekvivalentná rovnici x 2 \u003d - ca, ktorá:

• nebude mať žiadne korene v - c a< 0 ;
• bude mať dva korene x \u003d - ca a x \u003d - - ca pre - c a\u003e 0.

Uvádzame príklady riešenia rovníc   a x 2 + c \u003d 0.

Príklad 3

Je uvedená kvadratická rovnica   9 x 2 + 7 \u003d 0.Je potrebné nájsť riešenie.

rozhodnutie

Voľný výraz prevádzame na pravú stranu rovnice, potom sa rovnica prejaví   9 x 2 \u003d - 7.
  Vydeľte obe strany výslednej rovnice 9 , dostávame sa k x 2 \u003d - 7 9. Na pravej strane vidíme číslo so znamienkom mínus, čo znamená: daná rovnica nemá korene. Potom počiatočná neúplná kvadratická rovnica   9 x 2 + 7 \u003d 0  nebude mať korene.

Odpoveď znie:  rovnica   9 x 2 + 7 \u003d 0nemá korene.

Príklad 4

Rovnicu je potrebné vyriešiť   - x 2 + 36 \u003d 0.

rozhodnutie

Presunúť 36 doprava:   - x 2 \u003d - 36.
  Vydeľte obe strany − 1 dostaneme   x 2 \u003d 36, Na pravej strane je kladné číslo, z ktorého môžeme vyvodiť záver   x \u003d 36 alebo   x \u003d - 36.
  Vyťažíme koreň a napíšeme konečný výsledok: neúplnú kvadratickú rovnicu   - x 2 + 36 \u003d 0  má dva korene   x \u003d 6  alebo   x \u003d - 6.

Odpoveď znie:   x \u003d 6  alebo   x \u003d - 6.

Riešenie rovnice a · x 2 + b · x \u003d 0

Analyzujeme tretiu formu neúplných kvadratických rovníc, keď   c \u003d 0, Nájsť riešenie neúplnej kvadratickej rovnice   a x 2 + b x \u003d 0, používame metódu faktorizácie. Faktor polynómu na ľavej strane rovnice sa vynásobí spoločným faktorom   x, Tento krok umožní transformovať pôvodnú neúplnú kvadratickú rovnicu na jej ekvivalent   x · (a · x + b) \u003d 0, A táto rovnica je zase ekvivalentná množine rovníc   x \u003d 0  a   a x + b \u003d 0, rovnice   a x + b \u003d 0  lineárny a jeho koreň:   x \u003d - b a.

Definícia 7

Takže neúplná kvadratická rovnica   a x 2 + b x \u003d 0  bude mať dva korene   x \u003d 0  a   x \u003d - b a.

Opravte materiál ako príklad.

Príklad 5

Je potrebné nájsť riešenie rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0.

rozhodnutie

Vyberte   x  mimo zátvoriek a získame rovnicu x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Táto rovnica je ekvivalentná rovniciam   x \u003d 0  a 2 3x - 2 2 7 \u003d 0. Teraz je potrebné vyriešiť získanú lineárnu rovnicu: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Krátko napíšeme riešenie rovnice nasledovne:

2 3 · x 2 - 2 2 7 · x \u003d 0 x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 alebo 2 3 x -2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 alebo x \u003d 3 3 7

Odpoveď znie:  x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminačný, vzorec koreňov kvadratickej rovnice

Na nájdenie riešenia kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec:

Definícia 8

x \u003d - b ± D2 · a, kde   D \u003d b2 - 4  - tzv. diskriminátor kvadratickej rovnice.

Zápis x \u003d - b ± D2 · a v podstate znamená, že x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Bude užitočné pochopiť, ako bol tento vzorec odvodený a ako ho používať.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Postavme sa pred problém vyriešenia kvadratickej rovnice a x 2 + b x x + c \u003d 0, Vykonávame množstvo ekvivalentných transformácií:

• delte obe strany rovnice číslom nenulové, dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• vyberte plný štvorec na ľavej strane výslednej rovnice:
     x 2 + ba · x + ca \u003d x 2 + 2 · b 2 · a · x + B 2 · a 2 - B2 · a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + ca
     Potom, čo táto rovnica nadobudne tvar: x + b2 · a2 - b2 · a 2 + c a \u003d 0;
• teraz je možné preniesť posledné dva výrazy na pravú stranu zmenou značky na opačnú stranu, po ktorej dostaneme: x + b2 · a 2 \u003d b2 · a 2 - c a;
• nakoniec transformujeme výraz napísaný na pravej strane poslednej rovnosti:
     b2 · a 2 - c a \u003d b2 4 · a 2 - c a \u003d b2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 \u003d B2 - 4 · a · c 4 · a2.

Takto sme dospeli k rovnici x + b2 · a 2 \u003d b2 - 4 · a · c 4 · a 2, ktorá je ekvivalentná pôvodnej rovnici a x 2 + b x x + c \u003d 0.

Riešenie týchto rovníc sme analyzovali v predchádzajúcich odsekoch (riešenie neúplných kvadratických rovníc). Už získané skúsenosti umožňujú vyvodiť záver o koreňoch rovnice x + b2 · a 2 \u003d b2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• pri b 2 - 4 · a · c 4 · a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• keď b2 - 4 · a · c · · 2 \u003d 0, rovnica má tvar x + b2 · a 2 \u003d 0, potom x + b2 · a \u003d 0.

Z toho je zrejmý jediný koreň x \u003d - b 2 · a;

• pre b2 - 4 · a · c4 · a2\u003e 0 to bude platiť: x + b2 · a \u003d b2-4 · a · c4 · a2 alebo x \u003d b2 · a - b2 - 4 · a · c4 · a 2, ktoré sú rovnaké ako x + - b2 · a \u003d b2-4 · a · c4 · a2 alebo x \u003d - B2 · a - b2 - 4 · a · c4 · a 2, t.j. rovnica má dva korene.

Je možné urobiť záver, že prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice x + b2 · a 2 \u003d b2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a teda pôvodnej rovnice) závisí od znamienka výrazu b2 - 4 · a · c 4 · A2 zaznamenané vpravo. A znamenie tohto výrazu je dané znamením čitateľa (menovateľ)   4 · a 2  bude vždy pozitívny), to znamená znakom vyjadrenia   b 2 - 4 · a · c, K tomuto výrazu   b 2 - 4 · a · c  meno je dané - rozlišovač kvadratickej rovnice a písmeno D je definované ako jeho označenie. Tu môžete napísať podstatu diskriminátora - podľa jeho hodnoty a znamenia, že uzatvárajú, či kvadratická rovnica bude mať skutočné korene, a ak áno, aký je počet koreňov - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici x + b2 · a 2 \u003d b2 - 4 · a · c 4 · a 2. Prepíšeme to pomocou zápisu diskriminačného: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Znova formulujeme závery:

Definícia 9

• na   D< 0   rovnica nemá skutočné korene;
• na   D \u003d 0  rovnica má jeden koreň x \u003d - b2 · a;
• na   D\u003e 0  rovnica má dva korene: x \u003d - b2 · a + D4 · a2 alebo x \u003d - b2 · a - D4 · a2. Na základe vlastností radikálov môžu byť tieto korene napísané vo forme: x \u003d - b2 · a + D2 · a alebo - b2 · a - D2 · a. A keď rozšírime moduly a zredukujeme ich frakcie na spoločného menovateľa, dostaneme: x \u003d - b + D2 · a, x \u003d - b - D2 · a.

Výsledkom nášho zdôvodnenia bolo odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

x \u003d - b + D2 · a, x \u003d - b - D2 · a, rozlišujúce   D  vypočítané podľa vzorca   D \u003d b2 - 4.

Tieto vzorce umožňujú, ak je diskriminačný väčší ako nula, určiť obe skutočné korene. Ak je diskriminačný nula, použitie oboch vzorcov dá rovnaký koreň ako jediné riešenie kvadratickej rovnice. V prípade, že je diskriminujúci záporný, pokúsime sa použiť koreňový vzorec kvadratickej rovnice, stretneme sa s potrebou extrahovať druhú odmocninu záporného čísla, čo nás povedie nad rámec reálnych čísel. Ak je diskriminačný negatívny, kvadratická rovnica nebude mať žiadne skutočné korene, ale je možné pár komplexných združených koreňov, určených rovnakými koreňovými vzorcami, aké sme získali.

Algoritmus na riešenie kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

Kvadratickú rovnicu je možné vyriešiť okamžitým použitím koreňového vzorca, v zásade však nájdeme zložité korene.

Vo väčšine prípadov sa zvyčajne nepočíta s hľadaním komplexu, ale skutočných koreňov kvadratickej rovnice. Potom, pred použitím koreňového vzorca kvadratickej rovnice, je optimálne najprv určiť diskriminačného a uistiť sa, že nie je negatívny (inak dospejeme k záveru, že rovnica nemá skutočné korene), a potom pokračujeme vo výpočte hodnôt koreňov.

Vyššie uvedené zdôvodnenie umožňuje formulovať algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice.

Definícia 10

Riešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x x + c \u003d 0, Musíte:

• podľa vzorca   D \u003d b2 - 4  nájsť zmysel diskriminujúceho;
• v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pre D \u003d 0 nájdite jedinečný koreň rovnice pomocou vzorca x \u003d - b2 · a;
• pre D\u003e 0 stanovte dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou vzorca x \u003d - b ± D2 · a.

Všimnite si, že keď je diskriminujúci nula, môžete použiť vzorec x \u003d - b ± D2 · a, dá rovnaký výsledok ako vzorec x \u003d - b 2 · a.

Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Dávame riešenie príkladov pre rôzne hodnoty diskriminujúceho.

Príklad 6

Je potrebné nájsť korene rovnice   x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

rozhodnutie

Píšeme numerické koeficienty kvadratickej rovnice: a \u003d 1, b \u003d 2 a   c \u003d - 6, Ďalej postupujeme podľa algoritmu, t. pristúpime k výpočtu diskriminačného faktora, pre ktorý nahradíme koeficienty a, b a   C  do diskriminačného vzorca:   D \u003d b2 - 4 · a · c \u003d 22-2,4 (\u003d 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Dostali sme teda D\u003e 0, čo znamená, že pôvodná rovnica bude mať dva skutočné korene.
  Na ich nájdenie použijeme koreňový vzorec x \u003d - b ± D2 · a a nahradením zodpovedajúcich hodnôt dostaneme: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Zjednodušte výsledný výraz odstránením faktora podľa znamienka koreňa a následným znížením frakcie:

x \u003d -2 ± 2,7 2

x \u003d - 2 + 2 · 7 2 alebo x \u003d - 2 - 2,7 2

x \u003d - 1 + 7 alebo x \u003d - 1-7

Odpoveď znie:  x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1-7.

Príklad 7

Kvadratickú rovnicu je potrebné vyriešiť   - 4x 2 + 28x - 49 \u003d 0.

rozhodnutie

Definujte diskriminujúceho:   D \u003d 282 - 4- (4) · (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0, Pri tejto rozlišovacej hodnote bude mať pôvodná rovnica iba jeden koreň, určený vzorcom x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 282 · (- 4) x \u003d 3,5;

Odpoveď znie:   x \u003d 3, 5.

Príklad 8

Rovnicu je potrebné vyriešiť   5 rokov 2 + 6 rokov + 2 \u003d 0

rozhodnutie

Numerické koeficienty tejto rovnice budú: a \u003d 5, b \u003d 6 a c \u003d 2. Tieto hodnoty používame na nájdenie diskriminačného: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 \u003d 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Vypočítaná diskriminácia je záporná, takže pôvodná kvadratická rovnica nemá skutočné korene.

V prípade, že úlohou je označiť zložité korene, použijeme koreňový vzorec vykonaním akcií s komplexnými číslami:

x \u003d - 6 ± -4,4,5,

x \u003d - 6 + 2 · 10 alebo x \u003d - 6 - 2 · 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i alebo x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Odpoveď znie:  žiadne platné korene; komplexné korene sú nasledujúce: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

V školských osnovách neexistuje štandardná požiadavka na hľadanie komplexných koreňov, a preto ak je diskriminant počas riešenia definovaný ako negatívny, okamžite sa zaznamená odpoveď, že neexistujú skutočné korene.

Koreňový vzorec pre párne koeficienty

Koreňový vzorec x \u003d - b ± D2 · a (D \u003d b2 - 4 · a · c) umožňuje získať ďalší kompaktnejší vzorec, ktorý umožňuje nájsť riešenia kvadratických rovníc s párnym koeficientom na x (alebo s koeficientom tvaru 2 ·). n napríklad 2, 3 alebo 14, ln \u003d 2, 7, ln 5). Ukážme, ako sa odvodzuje tento vzorec.

Úlohou je nájsť riešenie kvadratickej rovnice a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Konáme podľa algoritmu: určíme rozlišujúceho D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2 - 4 · a · c \u003d 4 (n 2 - a · c) a potom použijeme koreňový vzorec:

x \u003d - 2 · n ± D 2 · a, x \u003d - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c2 · a, x \u003d - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a, x \u003d - n ± n 2 - a

Nech je výraz n 2 - a · c označený ako D1 (niekedy sa označuje ako D "). Potom má vzorec koreňov uvažovanej kvadratickej rovnice uvažovaný s druhým koeficientom 2 · n tvar:

x \u003d - n ± Dl, kde Dl \u003d n2 - a · c.

Je ľahké vidieť, že D \u003d 4 · D1 alebo D1 \u003d D4. Inými slovami, Dl je štvrtina diskriminujúceho. Je zrejmé, že znamienko Dl je rovnaké ako znamienko D, čo znamená, že znamienko Dl môže tiež slúžiť ako indikátor prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Definícia 11

Preto je potrebné nájsť riešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n:

• nájdenie Dl \u003d n2 - a · c;
• v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• ak D 1 \u003d 0, určte jedinečný koreň rovnice pomocou vzorca x \u003d - n a;
• pre Dl\u003e 0 stanovte dva skutočné korene pomocou vzorca x \u003d - n ± Dl.

Príklad 9

Kvadratickú rovnicu je potrebné vyriešiť 5 x 2 - 6 x x 32 \u003d 0.

rozhodnutie

Druhý koeficient danej rovnice môže byť vyjadrený ako 2 (- 3). Potom prepíšeme danú kvadratickú rovnicu ako 5 x 2 + 2 · (- 3) · x - 32 \u003d 0, kde a \u003d 5, n \u003d - 3 a c \u003d - 32.

Vypočítame štvrtú časť diskriminačného prvku: D1 \u003d n2 - a · c \u003d (- 3) 2 - 5 · (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Výsledná hodnota je kladná, čo znamená, že rovnica má dva skutočné korene. Definujeme ich podľa zodpovedajúceho koreňového vzorca:

x \u003d - n ± Dl, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 135 alebo x \u003d 3 - 135

x \u003d 3 1 5 alebo x \u003d - 2

Pri výpočtoch by bolo možné použiť obvyklý vzorec koreňov kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by riešenie bolo ťažkopádnejšie.

Odpoveď znie:  x \u003d 3 1 5 alebo x \u003d - 2.

Zjednodušenie formy kvadratických rovníc

Niekedy je možné optimalizovať podobu pôvodnej rovnice, ktorá zjednoduší proces výpočtu koreňov.

Napríklad kvadratická rovnica 12 x 2 - 4 x x 7 \u003d 0 je jednoznačne vhodnejšia na riešenie ako 1200 x 2 - 400 x x 700 \u003d 0.

Zjednodušenie formy kvadratickej rovnice sa častejšie uskutočňuje tak, že sa obe časti vynásobia alebo vydelia určitým číslom. Napríklad vyššie sme ukázali zjednodušenú notáciu rovnice 1200 x 2 - 400 x x 700 \u003d 0, získanú vydelením oboch jej častí číslom 100.

Takáto transformácia je možná, keď koeficienty kvadratickej rovnice nie sú náhodné. Potom obvykle delia obe časti rovnice najväčším spoločným deliteľom absolútnych hodnôt jeho koeficientov.

Ako príklad používame kvadratickú rovnicu 12 · x 2 - 42 · x + 48 \u003d 0. Definujeme GCD absolútnych hodnôt jeho koeficientov: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Vydeľujeme obe strany pôvodnej kvadratickej rovnice 6 a získame ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 - 7 x x 8 \u003d 0.

Vynásobením obidvoch strán kvadratickej rovnice sa zlomkové koeficienty zvyčajne eliminujú. V takom prípade vynásobte najmenší spoločný násobok menovateľov svojich koeficientov. Napríklad, ak sa každá časť kvadratickej rovnice 1 6 · x 2 + 2 3 · x - 3 \u003d 0 vynásobí NOC (6, 3, 1) \u003d 6, potom sa zapíše jednoduchšou formou x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Nakoniec si všimneme, že takmer vždy sa zbavíme mínusu prvým koeficientom kvadratickej rovnice, zmenou znakov každého člena rovnice, čo sa dosiahne vynásobením (alebo delením) obidvoch častí -1. Napríklad z kvadratickej rovnice - 2 · x 2 - 3 · x + 7 \u003d 0 môžete prejsť na jej zjednodušenú verziu 2 · x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi

Vzorec koreňov kvadratických rovníc x \u003d - b ± D 2 · a, ktoré sú nám známe, vyjadruje korene rovnice v zmysle jej číselných koeficientov. Na základe tohto vzorca sme schopní špecifikovať ďalšie závislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Najslávnejšie a použiteľné sú vzorce vietovej vety:

x 1 + x 2 \u003d - ba a x 2 \u003d ca.

Najmä pre danú kvadratickú rovnicu je súčet koreňov druhým koeficientom s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad pomocou kvadratickej rovnice 3 x 2 - 7 x x 22 \u003d 0 je okamžite možné určiť, že súčet jej koreňov je 7 3 a súčin koreňov je 223.

Môžete tiež nájsť množstvo ďalších vzťahov medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice môže byť vyjadrený pomocou koeficientov:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 · ca \u003d b 2 a 2 - 2 · ca \u003d b 2 - 2 · a · ca 2.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Pokračujeme v štúdiu témy “ riešenie rovníc". Už sme sa oboznámili s lineárnymi rovnicami a posunuli sa k známemu kvadratické rovnice.

Najprv analyzujeme, čo je kvadratická rovnica, ako je napísaná vo všeobecnej podobe a poskytneme súvisiace definície. Potom budeme podrobne analyzovať, ako vyriešiť neúplné kvadratické rovnice. Ďalej prejdeme k riešeniu úplných rovníc, získame koreňový vzorec, zoznámime sa s rozlišovačom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia typických príkladov. Nakoniec sledujeme vzťah medzi koreňmi a koeficientmi.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická rovnica? Ich druh

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať konverzáciu o kvadratických rovniciach definíciou kvadratickej rovnice, ako aj súvisiacimi definíciami. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.

Definícia a príklady kvadratických rovníc

Definícia.

Kvadratická rovnica  Je rovnicou formy a x 2 + b x x + c \u003d 0  , kde x je premenná, a, b a c sú niektoré čísla a a je nenulové.

Musíme hneď povedať, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnicami druhého stupňa. Je to preto, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica  druhý stupeň.

Definícia zvuku vám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 · x 2 + 6 · x + 1 \u003d 0, 0,2 · x 2 + 2,5 · x + 0,03 \u003d 0 atď. Sú kvadratické rovnice.

Definícia.

Čísla a, b a c sa nazývajú kvadratické koeficienty  a · x 2 + b · x + c \u003d 0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo najvyšší, alebo koeficient v x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient v x a c je voľný člen.

Napríklad vezmeme kvadratickú rovnicu tvaru 5 x 2 −2 · x - 3 \u003d 0, tu je najvyšší koeficient 5, druhý koeficient je –2 a voľný člen je -3. Všimnite si, že keď sú koeficienty b a / alebo záporné, ako je uvedené v príklade, použije sa krátka forma zápisu kvadratickej rovnice tvaru 5 x 2 −2 · x - 3 \u003d 0 a nie 5 x x 2 + (- 2 ) X + (-3) \u003d 0.

Stojí za zmienku, že keď sú koeficienty a a / alebo b rovné 1 alebo -1, potom zvyčajne nie sú výslovne prítomné v kvadratickej rovnici, ktorá je spojená s osobitosťami písania takýchto. Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y + 3 \u003d 0 je vedúcim koeficientom jednota a koeficient pre y je −1.

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

V závislosti od hodnoty najvyššieho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uvádzame príslušné definície.

Definícia.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 kvadratická rovnica, Inak je kvadratická rovnica neredukovaný.

Podľa tejto definície sú kvadratické rovnice x 2 −3 · x + 1 \u003d 0, x 2 −x - 2/3 \u003d 0 atď. - ak je v každom z nich prvý koeficient rovný jednému. A 5x 2 −x - 1 \u003d 0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich najvyššie koeficienty sa líšia od 1.

Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch jej častí vyšším koeficientom môžeme ísť hore. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica alebo podobne nemá korene.

Pozrime sa na príklad, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad.

Z rovnice 3 x 2 + 12 · x - 7 \u003d 0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.

Rozhodnutie.

Postačuje, aby sme rozdelili obe časti pôvodnej rovnice na vyšší koeficient 3, je to nenulové, takže môžeme vykonať túto akciu. Máme (3 · x 2 + 12 · x - 7): 3 \u003d 0: 3, ktoré je rovnaké, (3 · x 2): 3+ (12 · x): 3–7: 3 \u003d 0, a potom (3: 3) x 2 + (12: 3) x - 7: 3 \u003d 0, odtiaľ. Dostali sme teda redukovanú kvadratickú rovnicu ekvivalentnú tej pôvodnej.

Odpoveď znie:

Kompletné a neúplné kvadratické rovnice

Definícia kvadratickej rovnice obsahuje podmienku a ≠ 0. Táto podmienka je potrebná, aby rovnica a · x 2 + b · x + c \u003d 0 bola presne kvadratická, pretože pre a \u003d 0 sa v skutočnosti stáva lineárnou rovnicou tvaru b · x + c \u003d 0.

Pokiaľ ide o koeficienty bac, môžu sa rovnať nule, jednotlivo aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.

Definícia.

Zavolá sa kvadratická rovnica a · x 2 + b · x + c \u003d 0 neúplnýak sa aspoň jeden z koeficientov b, c rovná nule.

Na druhej strane

Definícia.

Plná kvadratická rovnica  Je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty nenulové.

Takéto mená sa neuvádzajú náhodne. Z nasledujúceho zdôvodnenia bude zrejmé.

Ak sa koeficient b rovná nule, potom kvadratická rovnica má tvar a · x 2 + 0 · x + c \u003d 0 a je ekvivalentná s rovnicou a · x 2 + c \u003d 0. Ak c \u003d 0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a · x 2 + b · x + 0 \u003d 0, možno ju prepísať ako · x 2 + b · x \u003d 0. A pre b \u003d 0 ac \u003d 0 dostaneme kvadratickú rovnicu a · x 2 \u003d 0. Získané rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé časti neobsahujú ani výraz s premennou x, ani voľný člen, ani obidve. Preto ich meno - neúplné kvadratické rovnice.

Takže rovnice x 2 + x + 1 \u003d 0 a −2 · x 2 −5 · x + 0,2 \u003d 0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 \u003d 0, −2 · x 2 \u003d 0, 5 · x 2 + 3 \u003d 0, −x 2 −5 · x \u003d 0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Z informácií v predchádzajúcom bode vyplýva, že tri typy neúplných kvadratických rovníc:

• a · x 2 \u003d 0, koeficienty b \u003d 0 ac \u003d 0 zodpovedajú tomuto;
• a · x 2 + c \u003d 0, keď b \u003d 0;
• a a x 2 + b · x \u003d 0, keď c \u003d 0.

Analyzujme, ako sa vyriešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.

a x 2 \u003d 0

Začneme riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty bac rovné nule, to znamená z rovníc tvaru a · x 2 \u003d 0. Rovnica a · x 2 \u003d 0 je ekvivalentná rovnici x 2 \u003d 0, ktorá sa získa z originálu vydelením oboch jeho častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 \u003d 0 je nula, pretože 0 \u003d \u003d 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo je vysvetlené, pre každé nenulové číslo p platí nerovnosť p2\u003e 0, z čoho vyplýva, že pre p ≠ sa rovnosť p 2 \u003d 0 nikdy nedosiahne.

Neúplná kvadratická rovnica a · x 2 \u003d 0 má teda jedinečný koreň x \u003d 0.

Ako príklad uvádzame riešenie nekompletnej kvadratickej rovnice −4 · x 2 \u003d 0. Rovnica x 2 \u003d 0 je ekvivalentná, jej jediný koreň je x \u003d 0, preto má pôvodná rovnica tiež jedinečnú koreňovú nulu.

Stručné riešenie v tomto prípade môže byť urobené takto:
−4x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x \u003d 0.

a x 2 + c \u003d 0

Teraz zvážte, ako sa riešia parciálne kvadratické rovnice, v ktorých je koeficient b nula ac \u003d 0, to znamená rovnice tvaru a · x 2 + c \u003d 0. Vieme, že prevod pojmu z jednej časti rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj rozdelenie oboch častí rovnice nenulovým číslom poskytujú ekvivalentnú rovnicu. Preto môžeme vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a · x 2 + c \u003d 0:

• posun c na pravú stranu, ktorá dáva rovnicu a · x 2 \u003d −c,
• a rozdelíme obidve jeho časti a, dostaneme.

Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt aac môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a \u003d 1 ac \u003d 2) alebo kladná (napríklad ak a \u003d −2 ac \u003d 6), potom sa nerovná nule , pretože hypotézou c ≠ 0. Budeme osobitne analyzovať prípady a.

Ak potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď potom nemôže byť rovnosť pre žiadne číslo p pravdivá.

Ak je, potom situácia s koreňmi rovnice je iná. V tomto prípade, ak si spomeniete, okamžite sa objaví koreň rovnice, pretože je to číslo. Je ľahké uhádnuť, že číslo je skutočne tiež koreňom rovnice. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo je možné ukázať napríklad opačným spôsobom. Poďme na to.

Označme práve vyjadrené korene rovnice ako x 1 a −x 1. Predpokladajme, že rovnica má iný koreň x 2 odlišný od naznačených koreňov x 1 a −x 1. Je známe, že nahradenie koreňov rovnicou namiesto x zmení rovnicu na skutočnú numerickú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme a pre x 2 máme. Vlastnosti numerických rovníc nám umožňujú vykonávať odpočítanie pravých číselných rovníc po termíne, takže odčítaním zodpovedajúcich častí rovníc sa získa x 1 2 −x 2 2 \u003d 0. Vlastnosti akcií s číslami nám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 −x 2) · (x 1 + x 2) \u003d 0. Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule len vtedy, ak sa aspoň jedno z nich rovná nule. Z dosiahnutej rovnosti teda vyplýva, že x 1 xx2 \u003d 0 a / alebo x 1 + x 2 \u003d 0, ktoré sú rovnaké, x 2 \u003d x 1 a / alebo x 2 \u003d −x 1. Tak sme sa dostali do rozporu, pretože na začiatku sme povedali, že koreň rovnice x 2 je odlišný od x 1 a −x 1. To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a.

Zhrňte informácie uvedené v tomto odseku. Neúplná kvadratická rovnica a · x 2 + c \u003d 0 je ekvivalentná rovnici, ktorá

• nemá korene, ak
• má dva korene a ak.

Zvážte príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc tvaru a · x 2 + c \u003d 0.

Začneme kvadratickou rovnicou 9x 2 + 7 \u003d 0. Po prenose voľného termínu na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9 · x 2 \u003d −7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 sa dostaneme k. Pretože záporné číslo sa získa na pravej strane, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 \u003d 0 nemá korene.

Riešime ďalšiu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 + 9 \u003d 0. Posuňte deväť doprava: −x 2 \u003d −9. Teraz delíme obe strany −1, dostaneme x 2 \u003d 9. Na pravej strane je kladné číslo, z ktorého sme dospeli k záveru, že alebo. Potom napíšeme konečnú odpoveď: neúplná kvadratická rovnica −x 2 + 9 \u003d 0 má dva korene x \u003d 3 alebo x \u003d −3.

a x 2 + b x \u003d 0

Zostáva sa zaoberať riešením druhého typu neúplných kvadratických rovníc pre c \u003d 0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a · x 2 + b · x \u003d 0 vám umožňujú riešiť metóda faktoringu, Je zrejmé, že môžeme umiestniť na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vynásobiť spoločný faktor x. To nám umožňuje prejsť z pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice na ekvivalentnú rovnicu tvaru x · (a · x + b) \u003d 0. A táto rovnica je ekvivalentná kombinácii dvoch rovníc x \u003d 0 a a · x + b \u003d 0, z ktorých posledná je lineárna a má koreň x \u003d −b / a.

Neúplná kvadratická rovnica a · x 2 + b · x \u003d 0 má teda dve korene x \u003d 0 a x \u003d −b / a.

Na konsolidáciu materiálu budeme analyzovať riešenie konkrétneho príkladu.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Rozhodnutie.

Vymeňte x z hranatých zátvoriek, čím získate rovnicu. Je ekvivalentná s dvoma rovnicami x \u003d 0 a. Získanú lineárnu rovnicu vyriešime: a po delení zmiešaného čísla obyčajnou zlomkou nájdeme. Preto korene pôvodnej rovnice sú x \u003d 0 a.

Po získaní potrebnej praxe je možné krátko opísať riešenia týchto rovníc:

Odpoveď znie:

x \u003d 0 ,.

Diskriminačný, vzorec koreňov kvadratickej rovnice

Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Píšeme vzorec koreňov kvadratickej rovnice: kde D \u003d b2 -4   - tzv diskriminujúci kvadratickú rovnicu, Záznam v podstate znamená, že.

Je užitočné vedieť, ako sa získal koreňový vzorec a ako sa používa na nájdenie koreňov kvadratických rovníc. Budeme sa tým zaoberať.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Predpokladajme, že musíme vyriešiť kvadratickú rovnicu a · x 2 + b · x + c \u003d 0. Vykonávame niektoré ekvivalentné transformácie:

• Obe časti tejto rovnice môžeme deliť nenulovým číslom a, čím dostaneme zníženú kvadratickú rovnicu.
• teraz vyberte celý štvorec  v ľavej časti: Potom bude mať rovnica podobu.
• V tejto fáze môžeme uskutočniť presun posledných dvoch výrazov na pravú stranu opačným znamienkom.
• A my transformujeme výraz, ktorý sa objaví na pravej strane :.

Výsledkom je rovnica, ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a · x 2 + b · x + c \u003d 0.

Keď sme demontovali, už sme vyriešili podobné tvarové rovnice v predchádzajúcich odsekoch. To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:

• ak potom rovnica nemá reálne riešenia;
• ak má potom táto rovnica tvar, odkiaľ je viditeľný jej jediný koreň;
• ak potom je to rovnaké alebo rovnica má dva korene.

Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda pôvodnej kvadratickej rovnice, teda závisí od znaku výrazu na pravej strane. Naopak, znamienko tohto výrazu je určené znamienkom čitateľa, pretože menovateľ 4 · a 2 je vždy kladný, to znamená, že výraz výrazu b2-4 · a · c. Tento výraz b2-4 · a · c sa nazýval diskriminujúci kvadratickú rovnicu  a označené písmenom D, Z toho vyplýva, že podstata diskriminátora je jasná - svojou hodnotou a znamením uzatvára, či má kvadratická rovnica skutočné korene, a ak áno, aký je ich počet - jedna alebo dve.

Vrátime sa k rovnici, prepíšeme ju pomocou zápisu diskriminačného :. Z toho vyvodzujeme:

• ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ak D \u003d 0, potom táto rovnica má jeden koreň;
• nakoniec, ak D\u003e 0, potom táto rovnica má dva korene alebo, ktoré sa dajú precízne prepísať ako alebo a po rozšírení a znížení frakcií na spoločného menovateľa dostaneme.

Odvodili sme teda vzorce koreňov kvadratickej rovnice, ktoré majú tvar, v ktorom sa diskriminačný D vypočíta pomocou vzorca D \u003d b2 −4 · a · c.

S ich pomocou môžete s pozitívnym rozlišovačom vypočítať obe skutočné korene kvadratickej rovnice. Ak je diskriminant rovný nule, obidve vzorce dávajú rovnakú koreňovú hodnotu, ktorá zodpovedá jedinečnému riešeniu kvadratickej rovnice. A s negatívnym diskriminujúcim, keď sa snažíme použiť vzorec koreňov kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii druhej odmocniny záporného čísla, ktorá nás presahuje rámec školských osnov. Kvôli negatívnej diskriminácii nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má dvojicu komplexný konjugát  korene, ktoré možno nájsť podľa rovnakých koreňových vzorcov, aké sme získali.

Algoritmus na riešenie kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

V praxi pri riešení kvadratických rovníc môžete okamžite použiť koreňový vzorec, pomocou ktorého môžete vypočítať ich hodnoty. Ide však skôr o nájdenie zložitých koreňov.

Avšak v školskom kurze v algebre to zvyčajne nie je o zložitých, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné použiť vzorce koreňov kvadratickej rovnice, aby sme najskôr našli diskriminačnú, uistili sa, že nie je negatívna (inak môžeme dospieť k záveru, že rovnica nemá skutočné korene), a potom vypočítať hodnoty koreňov.

Vyššie uvedené odôvodnenie nám umožňuje písať algoritmus kvadratickej rovnice, Ak chcete vyriešiť kvadratickú rovnicu a · x 2 + b · x + c \u003d 0, musíte:

• pomocou diskriminačného vzorca D \u003d b 2 −4 · a · c vypočítajte jeho hodnotu;
• usúdiť, že kvadratická rovnica nemá reálne korene, ak je diskriminujúci negatívny;
• vypočítať jediný koreň rovnice podľa vzorca, ak D \u003d 0;
• nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminačný pozitívny.

Tu si len uvedomujeme, že pre diskriminačného rovníka nula je možné použiť aj vzorec, ktorý dá rovnakú hodnotu ako.

Môžeme pristúpiť k príkladom aplikácie algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Zoberme si riešenia troch kvadratických rovníc s pozitívnou, negatívnou a nulovou diskrimináciou. Po riešení ich riešenia bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Začnime.

Príklad.

Nájdite korene rovnice x 2 + 2x - 6 \u003d 0.

Rozhodnutie.

V tomto prípade máme nasledujúce koeficienty kvadratickej rovnice: a \u003d 1, b \u003d 2 a c \u003d −6. Podľa algoritmu musíme najprv vypočítať diskriminačného, \u200b\u200bpreto nahradíme označené a, b a c do diskriminačného vzorca, D \u003d b2−4 · a · c \u003d 2 2–4 · 1 · (−6) \u003d 4 + 24 \u003d 28, Pretože 28\u003e 0, to znamená, že diskriminačný je väčší ako nula, má kvadratická rovnica dva skutočné korene. Nájdeme ich podľa vzorca koreňov, dostaneme, tu môžete výsledný výraz zjednodušiť faktoring z koreňového znamenia  s následným znížením frakcie:

Odpoveď znie:

Prejdeme k nasledujúcemu charakteristickému príkladu.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu −4 · x 2 + 28 · x - 49 \u003d 0.

Rozhodnutie.

Začneme tým, že zistíme diskriminujúceho: D \u003d 282 -4 (4) · (-49) \u003d 784 - 784 \u003d 0, Táto kvadratická rovnica má preto jediný koreň, ktorý nájdeme ako napr.

Odpoveď znie:

x \u003d 3,5.

Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc s negatívnym diskriminujúcim.

Príklad.

Vyriešte rovnicu 5-y2 + 6-y + 2 \u003d 0.

Rozhodnutie.

Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a \u003d 5, b \u003d 6 a c \u003d 2. Tieto hodnoty nahrádzame diskriminačným vzorcom D \u003d b2–4 · a · c \u003d 6 2–4 · 5 · 2 \u003d 36–40 \u003d −4, Diskriminačný je negatívny, preto táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene.

Ak je potrebné uviesť zložité korene, použijeme známy vzorec koreňov kvadratickej rovnice a vykonáme zložité počet akcií:

Odpoveď znie:

neexistujú žiadne skutočné korene, zložité korene sú:

Opäť si všimneme, že ak je diskriminátor kvadratickej rovnice záporný, odpoveď sa zvyčajne napíše v škole, v ktorej naznačujú, že neexistujú skutočné korene a zložité korene sa nenájdu.

Koreňový vzorec pre párne koeficienty

Vzorec koreňov kvadratickej rovnice, kde D \u003d b 2 −4 ln5 \u003d 2,7 · ln5). Dajte ju von.

Predpokladajme, že musíme vyriešiť kvadratickú rovnicu tvaru a · x 2 + 2 · n · x + c \u003d 0. Jeho korene nájdeme pomocou známeho vzorca. Za týmto účelom vypočítame diskriminačného D \u003d (2 · n) 2 - 4 · a · c \u003d 4 · n 2–4 · a · c \u003d 4 (n 2 −a · c)a potom použite koreňový vzorec:

Výraz n 2 −a · c označíme ako D 1 (niekedy sa označuje aj D “). Potom sa získa vzorec koreňov uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 · n , kde D1 \u003d n2a-c.

Je ľahké vidieť, že D \u003d 4 · D1 alebo D1 \u003d D / 4. Inými slovami, D1 je štvrtá časť diskriminácie. Rozumie sa, že značka D1 je rovnaká ako značka D. To znamená, že znamienko Dl je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Aby sme vyriešili kvadratickú rovnicu s druhým koeficientom 2 n, je potrebné

• Vypočítajte Dl \u003d n2a-c;
• Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ak D 1 \u003d 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice podľa vzorca;
• Ak Dl\u003e 0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.

Zvážte riešenie príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tejto časti.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu 5 x x −6 · x - 32 \u003d 0.

Rozhodnutie.

Druhý koeficient tejto rovnice môže byť vyjadrený ako 2 · (−3). To znamená, že môžeme prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu vo forme 5 · x 2 + 2 · (−3) · x - 32 \u003d 0, tu a \u003d 5, n \u003d −3 ac \u003d −32, a vypočítať štvrtú časť diskriminátora: D 1 \u003d n 2 −a · c \u003d (- 3) 2 −5 · (−32) \u003d 9 + 160 \u003d 169, Pretože jej hodnota je kladná, má táto rovnica dva skutočné korene. Nájdite ich pomocou vhodného koreňového vzorca:

Všimnite si, že by sa mohol použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.

Odpoveď znie:

Zjednodušenie formy kvadratických rovníc

Niekedy, skôr ako sa pustíme do výpočtu koreňov kvadratickej rovnice pomocou vzorcov, nie je na škodu položiť otázku: „Je možné zjednodušiť formu tejto rovnice?“ Dohodnite sa, že z hľadiska výpočtov bude ľahšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 · x 2 −4 · x - 6 \u003d 0 ako 1100 · x 2 −400 · x - 600 \u003d 0.

Zvyčajne sa zjednodušenie formy kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo rozdelením obidvoch jej častí určitým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku bolo možné zjednodušiť rovnicu 1100 x 2 −400 · x - 600 \u003d 0 vydelením oboch jej častí číslom 100.

Podobná transformácia sa uskutočňuje s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú. V tomto prípade sa obe časti rovnice obvykle rozdelia na absolútne hodnoty svojich koeficientov. Napríklad vezmite kvadratickú rovnicu 12 · x 2 −42 · x + 48 \u003d 0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: GCD (12, 42, 48) \u003d GCD (GCD (12, 42), 48) \u003d GCD (6, 48) \u003d 6. Ak delíme obe strany pôvodnej kvadratickej rovnice 6, dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x x −7 · x + 8 \u003d 0.

A znásobenie obidvoch častí kvadratickej rovnice sa zvyčajne vykonáva preto, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa vynásobenie uskutoční menovateľmi jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe strany kvadratickej rovnice vynásobené LCL (6, 3, 1) \u003d 6, potom bude mať jednoduchšiu formu x 2 + 4 · x - 18 \u003d 0.

Na záver tejto časti si všimneme, že takmer vždy sa zbavíme mínus s najvyšším koeficientom kvadratickej rovnice, pričom zmeníme znamienka všetkých výrazov, ktoré zodpovedajú znásobeniu (alebo deleniu) oboch častí koeficientom -1. Napríklad z kvadratickej rovnice −2 · x 2 −3 · x + 7 \u003d 0 choďte do roztoku 2 x 2 + 3 · x - 7 \u003d 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice z hľadiska jej koeficientov. Na základe vzorca koreňov je možné získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.

Najslávnejšie a použiteľné vzorce z vietovej vety:. Najmä pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad pomocou kvadratickej rovnice 3 · x 2 −7 · x + 22 \u003d 0 môžeme okamžite povedať, že súčet jej koreňov je 7/3 a súčin koreňov je 22/3.

Pomocou už napísaných vzorcov je možné získať aj množstvo ďalších vzťahov medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Napríklad môžete vyjadriť súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice z hľadiska jej koeficientov :.

Referencie.

• algebra:  Proc. pre 8 cl. všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; pod redakciou S. A. Telyakovsky. - 16. vydanie. - M .: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G.  Algebra. 8. ročník. O 2 hodiny Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vydanie. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s .: Ill. ISBN 978-5-346-01155-2.

Po získaní všeobecnej myšlienky rovnosti a po zoznámení sa s jedným z ich typov - numerickými rovnicami, môžeme začať hovoriť o inej forme rovníc, ktorá je z praktického hľadiska veľmi dôležitá - rovniciach. V tomto článku budeme analyzovať čo je rovnicaa čo sa nazýva koreň rovnice. Tu uvádzame príslušné definície, ako aj rôzne príklady rovníc a ich korene.

Navigácia na stránke.

Čo je to rovnica?

Zamerané zoznámenie sa s rovnicami zvyčajne začína v matematických triedach v 2. ročníku. V tomto okamihu sú uvedené nasledujúce. definícia rovnice:

Definícia.

rovnice Je rovnosť obsahujúca neznáme číslo, ktoré sa má nájsť.

Neznáme čísla v rovniciach sa obvykle označujú malými latinskými písmenami, napríklad p, t, u atď., Ale najčastejšie sa používajú písmená x, y a z.

Rovnica sa teda určuje z polohy záznamového formulára. Inými slovami, rovnosť je rovnica, keď sa riadi špecifikovanými pravidlami písania - obsahuje písmeno, ktorého hodnotu je potrebné nájsť.

Uvádzame príklady úplne prvých a najjednoduchších rovníc. Začneme rovnicami tvaru x \u003d 8, y \u003d 3 atď. Rovnice, ktoré obsahujú čísla a písmená spolu so znakmi aritmetických operácií, napríklad x + 2 \u003d 3, z - 2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2, vyzerajú trochu komplikovanejšie.

Rôznorodosť rovníc rastie po stretnutí s - začnú sa objavovať rovnice s hranatými zátvorkami, napríklad 2 · (x - 1) \u003d 18 a x + 3 · (x + 2 · (x - 2)) \u003d 3. Neznáme písmeno v rovnici môže byť prítomné niekoľkokrát, napríklad x + 3 + 3 · x - 2 - x \u003d 9, aj písmená môžu byť na ľavej strane rovnice, na jej pravej strane alebo na oboch stranách rovnice, napríklad x · (3 + 1) -4 \u003d 8, 7-3 \u003d z + 1 alebo 3 x x 4 \u003d 2, (x + 12).

Ďalej, po štúdiu prírodných čísel, sa človek zoznámi s celočíselnými, racionálnymi, reálnymi číslami, študujú sa nové matematické objekty: stupne, korene, logaritmy atď., Zatiaľ čo sa objavuje stále viac nových typov rovníc, ktoré tieto veci obsahujú. Ich príklady sú uvedené v článku. hlavné typy rovnícštuduje v škole.

V siedmej triede, spolu s písmenami, ktoré znamenajú niektoré konkrétne čísla, začnú uvažovať o písmenách, ktoré môžu mať rôzne významy, nazývajú sa premenné (pozri článok). V tomto prípade sa do definície rovnice vkladá slovo „premenná“ a stáva sa takto:

Definícia.

Rovnica  volajú rovnosť obsahujúcu premennú, ktorej hodnotu musíte nájsť.

Napríklad rovnica x + 3 \u003d 6 x x 7 je rovnica s premennou x a 3 · z - 1 + z \u003d 0 je rovnica s premennou z.

V lekciách algebry v tom istom siedmom ročníku je stretnutie s rovnicami, ktoré neobsahujú jednu, ale dve rôzne neznáme premenné. Nazývajú sa rovnice s dvoma premennými. V budúcnosti je povolená prítomnosť troch alebo viacerých premenných v zázname rovníc.

Definícia.

Rovnice s jedným, dvoma, tromi atď. premenné  - sú to rovnice obsahujúce vo svojom zázname jednu, dve, tri, ... neznáme premenné.

Napríklad rovnica 3,2 x + 0,5 \u003d 1 je rovnica s jednou premennou x, rovnica tvaru x - y \u003d 3 je rovnica s dvoma premennými xay. A ďalší príklad: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0,5) 2 \u003d 27. Je zrejmé, že takáto rovnica je rovnica s tromi neznámymi premennými x, y a z.

Čo je koreňom rovnice?

Definícia rovnice priamo súvisí s definíciou koreňa tejto rovnice. Uskutočníme niekoľko argumentov, ktoré nám pomôžu pochopiť, čo je koreň rovnice.

Povedzme, že máme rovnicu s jedným písmenom (premenná). Ak namiesto písmena v zázname tejto rovnice nahraďte určité číslo, potom sa táto rovnica zmení na numerickú rovnosť. Výsledná rovnosť môže byť navyše pravdivá aj nepravdivá. Napríklad, ak nahradíte číslo 2 namiesto písmena a v rovnici a + 1 \u003d 5, dostanete zlú rovnosť čísel 2 + 1 \u003d 5. Ak nahradíme číslo 4 namiesto a v tejto rovnici, dostaneme správnu rovnosť 4 + 1 \u003d 5.

V praxi sú vo väčšine prípadov také variabilné hodnoty zaujímavé, ktorých nahradenie do rovnice poskytuje správnu rovnosť, tieto hodnoty sa nazývajú korene alebo riešenia tejto rovnice.

Definícia.

Koreň rovnice  - toto je hodnota písmena (premennej), keď je nahradená, rovnica sa zmení na správnu numerickú rovnosť.

Všimnite si, že koreň rovnice s jednou premennou sa tiež nazýva riešením rovnice. Inými slovami, riešenie rovnice a koreň rovnice sú rovnaké.

Predstavme si túto definíciu príkladom. Aby sme to dosiahli, vrátime sa k vyššie uvedenej rovnici a + 1 \u003d 5. Podľa uvedenej definície koreňa rovnice je číslo 4 koreňom tejto rovnice, pretože pri nahradení tohto čísla namiesto písmena a dostaneme správnu rovnosť 4 + 1 \u003d 5 a číslo 2 nie je jeho koreň, pretože má nesprávnu rovnosť tvaru 2 + 1 \u003d 5.

V tomto bode vyvstáva množstvo prirodzených otázok: „Má nejaká rovnica koreň a koľko koreňov má daná rovnica?“ Odpovieme im.

Existujú rovnice, ktoré majú korene, a rovnice, ktoré nemajú korene. Napríklad rovnica x + 1 \u003d 5 má koreň 4 a rovnica 0 · x \u003d 5 nemá korene, pretože bez ohľadu na to, aké číslo v tejto rovnici nahradíme premennou x, dostaneme nesprávnu rovnosť 0 \u003d 5.

Pokiaľ ide o počet koreňov rovnice, existujú rovnice, ktoré majú konečný počet koreňov (jeden, dva, tri atď.), Ako aj rovnice, ktoré majú nekonečne veľa koreňov. Napríklad rovnica x - 2 \u003d 4 má jediný koreň 6, korene rovnice x 2 \u003d 9 sú dve čísla -3 a 3, rovnica x · (x - 1) · (x - 2) \u003d 0 má tri korene 0, 1 a 2 a riešením rovnice x \u003d x je akékoľvek číslo, to znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Pár slov, ktoré stojí za zmienku o akceptovanom zázname koreňov rovnice. Ak rovnica nemá korene, potom obyčajne píšu „rovnica nemá korene“ alebo používajú znamienko prázdnej množiny ∅. Ak má rovnica korene, potom sa píše čiarkou alebo píše ako prvky súpravy  v zátvorkách. Napríklad, ak korene rovnice sú čísla -1, 2 a 4, potom píšu -1, 2, 4 alebo (-1, 2, 4). Je tiež možné zapísať korene rovnice vo forme jednoduchých rovníc. Napríklad, ak rovnica obsahuje písmeno x a korene tejto rovnice sú čísla 3 a 5, potom môžete napísať x \u003d 3, x \u003d 5 a predplatné x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5 sa často pridajú do premennej, ako keby označovali čísla korene rovnice. Nekonečná množina koreňov rovnice sa obvykle píše vo forme, ak je to možné, používa sa aj zápis množín prírodných čísel N, celých čísel Z, reálnych čísel R. Napríklad, ak koreň rovnice s premennou x je celé číslo, potom píšu a ak korene rovnice s premennou y je akékoľvek skutočné číslo od 1 do 9 vrátane, potom napíšeme.

Pre rovnice s dvoma, tromi a veľkým počtom premenných sa spravidla nepoužíva výraz „koreň rovnice“, v týchto prípadoch sa hovorí „riešenie rovnice“. Čo sa nazýva riešenie rovníc s niekoľkými premennými? Dáme vhodnú definíciu.

Definícia.

Riešením rovnice s dvoma, tromi, atď. premenné  nazýva sa pár, tri atď. hodnoty premenných, ktoré premieňajú túto rovnicu na skutočnú numerickú rovnosť.

Ukážeme príklady. Zoberme si rovnicu s dvoma premennými x + y \u003d 7. Nahradíme číslo 1 namiesto x a číslo 2 namiesto y a rovnosť 1 + 2 \u003d 7. Je zrejmé, že nie je správne, preto dvojica hodnôt x \u003d 1, y \u003d 2 nie je riešením napísanej rovnice. Ak vezmeme dvojicu hodnôt x \u003d 4, y \u003d 3, potom po nahradení do rovnice dosiahneme správnu rovnosť 4 + 3 \u003d 7, preto táto dvojica hodnôt premenných je podľa definície riešením rovnice x + y \u003d 7.

Rovnice s niekoľkými premennými, napríklad rovnice s jednou premennou, nemusia mať korene, môžu mať konečný počet koreňov a môžu mať nekonečne veľa koreňov.

Dvojice, trojčatá, štyri atď. hodnoty premenných sa často krátko zapisujú, pričom ich hodnoty sú oddelené čiarkami v zátvorkách. V tomto prípade zaznamenané čísla v zátvorkách zodpovedajú premenným v abecednom poradí. Vysvetlite tento bod a vrátime sa k predchádzajúcej rovnici x + y \u003d 7. Riešenie tejto rovnice x \u003d 4, y \u003d 3 možno stručne opísať ako (4, 3).

Najväčšia pozornosť v školskom kurze matematiky, algebry a začiatkom analýzy sa venuje nájdeniu koreňov rovníc s jednou premennou. Pravidlá tohto procesu sú podrobne rozobrané v článku. riešenie rovníc.

Referencie.

• matematika, 2 cl. Proc. pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie s adj. na elektrón. nosič. O 2 hodiny, časť 1 / [M. I. Moreau, M. A. Bantová, G. V. Beltyukova a ďalšie.] - 3. vydanie. - M .: Prospekt, 2012. - 96 s .: Ill. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• algebra:  Proc. pre 7 cl. všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; pod redakciou S. A. Telyakovsky. - 17. vydanie. - M .: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra:  Stupeň 9: učebnica. pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; pod redakciou S. A. Telyakovsky. - 16. vydanie. - M .: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.