Aký je logaritmus jednoty. Logaritmy: príklady a riešenia

Uvádzajú sa základné vlastnosti prírodného logaritmu, graf, doména, množina hodnôt, základné vzorce, derivácia, integrál, expanzia v mocninových radoch a znázornenie funkcie ln x pomocou komplexných čísel.

definícia

Prirodzený logaritmus  je funkcia y \u003d ln xinverzne k exponentu, x \u003d e y, a je logaritmom bázy čísla e: ln x \u003d log e x.

Prirodzený logaritmus sa vo veľkej miere používa v matematike, pretože jeho derivát má najjednoduchšiu formu: (ln x) '\u003d 1 / x.

Na základe vymedziť, základom prirodzeného logaritmu je číslo e:
e ≅ 2,718281828459045 ...;
.

Funkčný graf y \u003d ln x.

Graf prirodzeného logaritmu (funkcia y \u003d ln x) sa získa z grafu exponentu zrkadlovým odrazom vzhľadom na priamku y \u003d x.

Prirodzený logaritmus je definovaný pre kladné hodnoty premennej x. Jednoznačne rastie v oblasti svojej definície.

Ako x → 0   limit prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno (- ∞).

Ako x → + ∞ je hranica prirodzeného logaritmu plus nekonečno (+ ∞). Pre veľké x sa logaritmus zvyšuje pomerne pomaly. Akákoľvek výkonová funkcia xa s pozitívnym exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus.

Vlastnosti prírodného logaritmu

Rozsah, množina hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, a preto nemá extrémy. Hlavné vlastnosti prírodného logaritmu sú uvedené v tabuľke.

Hodnoty Ln x

ln 1 \u003d 0

Základné vzorce prírodných logaritmov

Vzorce vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavný majetok logaritmov a jeho dôsledky

Základný náhradný vzorec

Akýkoľvek logaritmus možno vyjadriť prirodzenými logaritmami pomocou vzorca na nahradenie bázy:

  Dôkazy týchto vzorcov sú uvedené v časti Logaritmus.

Inverzná funkcia

Exponentom je inverzia prirodzeného logaritmu.

Ak áno

Ak áno.

Derivát ln x

Derivát prírodného logaritmu:
.
  Derivácia prirodzeného logaritmu modulu x:
.
  N-tý derivát:
.
Odvodenie vzorcov \u003e\u003e\u003e

integrálne

Integrál sa počíta integráciou podľa častí:
.
To znamená,

Výrazy pomocou komplexných čísel

Zoberme si funkciu komplexnej premennej z:
.
  Vyjadrite zložitú premennú z  cez modul r  a argumenty φ :
.
  Pomocou vlastností logaritmu máme:
.
alebo
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Ak je uvedený
kde n je celé číslo
  potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto prirodzený logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonu

Ak dôjde k rozkladu:

Použitá literatúra:
  IN Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov technických vysokých škôl, „Doe“, 2009.

Logaritmus kladného čísla b na báze a (a\u003e 0, a sa nerovná 1) je číslo c také, že c \u003d b: log a b \u003d c ⇔ a c \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Poznámka: logaritmus záporného čísla nie je definovaný. Okrem toho musí mať základ logaritmu kladné číslo, ktoré sa nerovná 1. Napríklad, ak štvorec -2 na štvorci dostaneme číslo 4, neznamená to, že logaritmus bázy 2 je 2.

Základná logaritmická identita

   a log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1) (2)

Je dôležité, aby oblasti definície na pravej a ľavej strane tohto vzorca boli odlišné. Ľavá strana je definovaná iba pre b\u003e 0, a\u003e 0 a a ≠ 1. Pravá strana je definovaná pre všetky b, ale nezávisí od a. Aplikácia základnej logaritmickej „identity“ pri riešení rovníc a nerovností môže teda viesť k zmene DLD.

Dva zrejmé dôsledky definície logaritmu

   log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1) (3)
   log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1) (4)

Skutočne, keď zvýšime číslo a na prvú silu, dostaneme rovnaké číslo a keď zvýšime na nulovú silu, dostaneme jedno.

Logaritmus produktu a logaritmus kvocientu

   log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (5)

Log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (6)

Chcel by som varovať školákov pred bezmyšlienkovým použitím týchto vzorcov pri riešení logaritmických rovníc a nerovností. Pri ich použití „zľava doprava“ je ODZ zúžená a pri pohybe od súčtu alebo rozdielu logaritmov k logaritmu produktu alebo kvocientu dochádza k expanzii ODZ.

Logický výraz a (f (x) g (x)) je definovaný v dvoch prípadoch: keď sú obe funkcie prísne pozitívne alebo keď f (x) a g (x) sú obidve menšie ako nula.

Pri transformácii tohto výrazu na log súčet a f (x) + log a g (x) sme nútení obmedziť sa iba na prípad, keď f (x)\u003e 0 a g (x)\u003e 0. Zúžil sa rozsah prípustných hodnôt, čo je kategoricky neprijateľné, pretože to môže viesť k strate rozhodnutí. Podobný problém existuje pre vzorec (6).

Stupeň môže byť vyňatý z logaritmického znaku

   log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) (7)

A znova by som chcel požiadať o presnosť. Zoberme si nasledujúci príklad:

Log a (f (x) 2 \u003d 2 log a f (x)

Ľavá strana rovnice je samozrejme definovaná pre všetky hodnoty f (x) okrem nuly. Pravá strana je iba pre f (x)\u003e 0! Keď sme vyštudovali logaritmus, opäť sme zúžili ODZ. Inverzný postup rozširuje rozsah prijateľných hodnôt. Všetky tieto poznámky platia nielen pre stupeň 2, ale aj pre akýkoľvek párny stupeň.

Prechodný vzorec

   log a b \u003d log c b log ca a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1) (8)

Tento zriedkavý prípad, keď sa DLD počas konverzie nezmení. Ak ste si primerane vybrali základňu s (kladnou a nie rovnou 1), vzorec pre prechod na novú základňu je úplne bezpečný.

Ak zvolíme číslo b ako novú bázu c, získame dôležitý špeciálny prípad vzorca (8):

Log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1) (9)

Niekoľko jednoduchých príkladov logaritmov

Príklad 1. Vypočítajte: lg2 + lg50.
  Rozhodnutie. log2 + log50 \u003d log100 \u003d 2. Použili sme vzorec pre súčet logaritmov (5) a definíciu desatinného logaritmu.

Príklad 2. Vypočítajte: lg125 / lg5.
  Rozhodnutie. log125 / log5 \u003d log 5 125 \u003d 3. Použili sme vzorec na prechod na novú základňu (8).

Tabuľka logaritmických vzorcov

a log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0)

log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1)

log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1)

S rozvojom spoločnosti, zložitosťou výroby sa rozvinula aj matematika. Pohyb z jednoduchého na komplexný. Z bežného účtovníctva metódou sčítania a odčítania, s ich opakovaným opakovaním, sme sa dostali k pojmu násobenie a delenie. Zníženie mnohonásobne opakovanej operácie násobenia sa stalo konceptom exponentácie. Prvé tabuľky závislosti čísel na báze a počte vytesnení zostavil v VIII. Storočí indický matematik Varasena. Z nich je možné spočítať čas výskytu logaritmov.

Historická esej

Oživenie Európy v 16. storočí tiež podnietilo rozvoj mechaniky. T vyžadoval veľké množstvo výpočtovvzťahujúce sa na množenie a delenie čísel s viacerými hodnotami. Starodávne stoly poskytovali vynikajúce služby. Umožnili nahradiť zložité operácie jednoduchšími - sčítanie a odčítanie. Veľkým krokom vpred bola práca matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roku 1544, v ktorej si uvedomil myšlienku mnohých matematikov. To umožnilo používať tabuľky nielen pre stupne vo forme prvočísel, ale aj pre ľubovoľné racionálne tabuľky.

V roku 1614, Škót John Napier, rozvíjajúci tieto myšlienky, prvýkrát predstavil nový termín „logaritmus čísla“. Boli zostavené nové zložité tabuľky na výpočet logaritmov sínusov a kosínov, ako aj tangens. To výrazne znížilo prácu astronómov.

Začali sa objavovať nové tabuľky, ktoré vedci úspešne používali tri storočia. Trvalo dlho, kým nová operácia v algebre získala svoju hotovú formu. Bola uvedená definícia logaritmu a študovali sa jeho vlastnosti.

Až v XX storočia, s príchodom kalkulačky a počítača, ľudstvo opustilo staré stoly, ktoré úspešne fungovali po celé XIII storočia.

Dnes nazývame logaritmus b na základe čísla x, ktoré je mocnosťou a, na získanie čísla b. Je to vo forme vzorca: x \u003d log a (b).

Napríklad log 3 (9) bude 2. To je zrejmé, ak budete postupovať podľa definície. Ak je 3 zvýšené na silu 2, dostaneme 9.

Takto formulovaná definícia ukladá iba jedno obmedzenie, čísla aab musia byť skutočné.

Odrody logaritmov

Klasická definícia sa nazýva skutočný logaritmus a je vlastne riešením rovnice a x \u003d b. Možnosť a \u003d 1 je hraničná a nie je predmetom záujmu. Poznámka: 1 sa v akomkoľvek stupni rovná 1.

Skutočný význam logaritmu  definované iba vtedy, keď je báza a argument väčší ako 0, zatiaľ čo báza by nemala byť 1.

Zvláštne miesto v matematike  hrajte logaritmy, ktoré sa budú volať v závislosti od veľkosti ich základne:

Pravidlá a obmedzenia

Základnou vlastnosťou logaritmov je pravidlo: logaritmus produktu sa rovná logaritmickému súčtu. log abp \u003d log a (b) + log a (p).

Ako variant tohto príkazu bude: log with (b / p) \u003d log with (b) - log with (p), funkcia kvocientu sa rovná rozdielu funkcií.

Z predchádzajúcich dvoch pravidiel je zrejmé, že: log a (b p) \u003d p * log a (b).

Medzi ďalšie vlastnosti môžeme rozlíšiť:

Pozn. Netreba robiť spoločnú chybu - logaritmus súčtu sa nerovná súčtu logaritmov.

Po mnoho storočí bola operácia logaritmu pomerne časovo náročná. Matematici použili dobre známy vzorec logaritmickej teórie rozkladu na polynóm:

ln (1 + x) \u003d x - (x ^ 2) / 2 + (x ^ 3) / 3 - (x ^ 4) / 4 + ... + ((-1) ^ (n + 1)) * (( x ^ n) / n), kde n je kladné celé číslo väčšie ako 1, ktoré určuje presnosť výpočtu.

Logaritmy s inými bázami sa vypočítali pomocou vety o prechode z jednej bázy na druhú a vlastnosti logaritmu produktu.

Pretože táto metóda je časovo veľmi náročná a pri riešení praktických problémov  ťažké implementovať, potom použili vopred zostavené tabuľky logaritmov, ktoré značne urýchlili celú prácu.

V niektorých prípadoch boli použité špeciálne navrhnuté grafy logaritmov, ktoré dávali menšiu presnosť, ale výrazne urýchlili vyhľadávanie požadovanej hodnoty. Krivka funkcie y \u003d log a (x), skonštruovaná na niekoľkých bodoch, umožňuje pomocou obvyklého pravítka nájsť hodnoty funkcie v ktoromkoľvek inom bode. Inžinieri dlho používali tzv. Milimetrový papier.

V 17. storočí sa objavili prvé pomocné analógové výpočtové podmienky, ktoré do 19. storočia získali úplnú podobu. Najúspešnejším zariadením sa stalo pravidlo snímania. Napriek jednoduchosti zariadenia jeho vzhľad výrazne urýchlil proces všetkých technických výpočtov a je ťažké ho preceňovať. V súčasnosti je s týmto zariadením málo ľudí oboznámených.

S príchodom kalkulačiek a počítačov bolo použitie akýchkoľvek iných zariadení zbytočné.

Rovnice a nerovnosti

Na riešenie rôznych rovníc a nerovností pomocou logaritmov sa používajú nasledujúce vzorce:

• Prechod z jednej základne na druhú: log a (b) \u003d log c (b) / log c (a);
• V dôsledku predchádzajúcej verzie: log a (b) \u003d 1 / log b (a).

Na vyriešenie nerovností je užitočné poznať:

• Hodnota logaritmu bude kladná, iba ak základňa aj argument sú väčšie alebo menšie ako jedna; ak dôjde k porušeniu aspoň jednej podmienky, hodnota logaritmu bude záporná.
• Ak je funkcia logaritmu aplikovaná na pravú a ľavú stranu nerovnosti a základňa logaritmu je väčšia ako jednota, znak nerovnosti sa zachová; inak sa zmení.

Príklady úloh

Zvážte niekoľko možností použitia logaritmov a ich vlastností. Príklady riešenia rovníc:

Zvážte možnosť umiestnenia logaritmu do stupňa:

• Problém 3. Vypočítajte 25 ^ log 5 (3). Riešenie: V podmienkach problému je záznam podobný nasledujúcemu (5 ^ 2) ^ log5 (3) alebo 5 ^ (2 * log 5 (3)). Prepíšeme to inak: 5 ^ log 5 (3 * 2) alebo druhú mocninu čísla ako argument funkcie možno zapísať ako druhú mocninu samotnej funkcie (5 ^ log 5 (3)) ^ 2. Použitím vlastností logaritmov je tento výraz 3 ^ 2. Odpoveď: ako výsledok výpočtu dostaneme 9.

Praktická aplikácia

Keďže sa jedná výlučne o matematický nástroj, zdá sa, že logaritmus neočakávane nadobudol veľký význam pre opis objektov skutočného sveta. Je ťažké nájsť vedu, kde sa nepoužíva. To sa v plnej miere týka nielen prírodných, ale aj humanitárnych oblastí poznania.

Logaritmické závislosti

Tu je niekoľko príkladov číselných závislostí:

Mechanika a fyzika

Historicky sa mechanika a fyzika vždy vyvíjali pomocou matematických výskumných metód a zároveň slúžili ako stimul pre rozvoj matematiky vrátane logaritmov. Teória väčšiny fyzikálnych zákonov je napísaná v jazyku matematiky. Uvádzame iba dva príklady opisu fyzikálnych zákonov pomocou logaritmu.

Je možné vyriešiť problém výpočtu tak komplexného množstva, ako je raketová rýchlosť, pomocou Tsiolkovského vzorca, ktorý položil základy teórie vesmírneho prieskumu:

V \u003d I * ln (M1 / M2), kde

• V je konečná rýchlosť lietadla.
• I je špecifický impulz motora.
• M 1 - počiatočná hmotnosť rakety.
• M2 je konečná hmotnosť.

Ďalší dôležitý príklad  - Toto je použitie vo vzorci iného veľkého vedca Maxa Plancka, ktorý slúži na hodnotenie rovnovážneho stavu v termodynamike.

S \u003d k * ln (Ω), kde

• S je termodynamická vlastnosť.
• k je Boltzmannova konštanta.
• Ω je štatistická hmotnosť rôznych stavov.

chémia

Menej zrejmé bude použitie vzorcov v chémii obsahujúcich pomer logaritmov. Uvádzame iba dva príklady:

• Nernstova rovnica, stav redoxného potenciálu média vzhľadom na aktivitu látok a rovnovážnu konštantu.
• Výpočet takých konštánt ako ukazovateľa autoprolýzy a kyslosti roztoku tiež nemôže fungovať bez našej funkcie.

Psychológia a biológia

A je úplne nepochopiteľné, čo s tým má psychológia spoločné. Ukazuje sa, že sila snímania je touto funkciou dobre opísaná ako inverzný pomer hodnoty intenzity stimulu k nižšej hodnote intenzity.

Po vyššie uvedených príkladoch už nie je prekvapujúce, že téma logaritmov sa tiež bežne používa v biológii. Celé zväzky sa dajú písať o biologických formách zodpovedajúcich logaritmickým špirálam.

Iné oblasti

Zdá sa, že existencia sveta je nemožná bez prepojenia s touto funkciou a riadi všetky zákony. Najmä vtedy, keď sú prírodné zákony spojené s geometrickým vývojom. Je potrebné odkázať na webovú stránku MatProfi a existuje mnoho takýchto príkladov v nasledujúcich oblastiach činnosti:

Zoznam môže byť nekonečný. Po zvládnutí základných zákonov tejto funkcie sa môžete ponoriť do sveta nekonečnej múdrosti.

V pomere

môže byť nastavená úloha nájsť ktorékoľvek z troch čísel z ostatných dvoch uvedených čísel. Ak je uvedené a a potom sa zistí, že N je exponentia. Ak je N a a je nájdené extrahovaním koreňa stupňa x (alebo zvýšením na moc). Teraz uvažujeme prípad, kedy pre dané a a N je potrebné nájsť x.

Nech je číslo N kladné: číslo a je kladné a nerovná sa jednote :.

Definícia. Logaritmus čísla N na základe a je exponent, na ktorý sa musí zvýšiť, aby sa získalo číslo N; logaritmus je označený

V rovnici (26.1) sa teda exponent nachádza ako logaritmus N na základe a. záznam

majú rovnaký význam. Rovnosť (26.1) sa niekedy nazýva základná identita teórie logaritmov; v skutočnosti vyjadruje definíciu pojmu logaritmus. Podľa tejto definície je základ logaritmu a vždy pozitívny a odlišný od jednoty; logaritmické číslo N je kladné. Záporné čísla a nula nemajú logaritmy. Je možné dokázať, že akékoľvek číslo pre daný základ má dobre definovaný logaritmus. Preto si vyžaduje rovnosť. Všimnite si, že podmienka je tu nevyhnutná, inak by záver nebol opodstatnený, pretože rovnosť platí pre všetky hodnoty x a y.

Príklad 1. Nájsť

Rozhodnutie. Na získanie čísla by sa základňa 2 mala zvýšiť na silu Preto.

Pri riešení takýchto príkladov si môžete robiť poznámky v nasledujúcej podobe:

Príklad 2. Nájsť.

Rozhodnutie. Máme

V príkladoch 1 a 2 sme ľahko našli požadovaný logaritmus, ktorý predstavuje logaritmické číslo ako stupeň bázy s racionálnym exponentom. Vo všeobecnosti napríklad pre atď. Sa to nedá urobiť, pretože logaritmus má iracionálnu hodnotu. Venujme pozornosť jednej otázke týkajúcej sa tohto tvrdenia. V odseku 12 sme dali koncept možnosti určiť akýkoľvek skutočný stupeň daného kladného čísla. Bolo to potrebné na zavedenie logaritmov, ktoré môžu byť vo všeobecnosti iracionálnymi číslami.

Pozrime sa na niektoré vlastnosti logaritmov.

Vlastnosť 1. Ak je číslo a báza rovnaké, potom je logaritmus rovný jednej a naopak, ak je logaritmus rovný jednej, potom sú číslo a báza rovnaké.

Dôkaz. Let Podľa definície logaritmu máme

Naopak nechajme teda podľa definície

Vlastnosť 2. Logaritmus jednotky pre akúkoľvek základňu je nula.

Dôkaz. Z definície sa logaritmus (nulový stupeň akejkoľvek pozitívnej bázy rovná jednote, pozri (10.1)). Odtiaľto

podľa potreby dokázať.

Opak je tiež pravdou: ak, potom N \u003d 1. Skutočne áno.

Pred formulovaním nasledujúcej vlastnosti logaritmov súhlasíme s tým, že dve čísla aab sú na jednej strane tretieho čísla c, ak sú obe väčšie ako c alebo menšie ako c. Ak je jedno z týchto čísel väčšie ako c a druhé menšie ako c, potom hovoríme, že leží na opačných stranách c.

Vlastnosť 3. Ak je číslo a základňa na tej istej strane jednoty, potom je logaritmus kladný; ak číslo a základňa ležia na opačných stranách jednoty, potom je logaritmus záporný.

Dôkaz o vlastníctve 3 je založený na skutočnosti, že stupeň a je väčší ako jednota, ak je báza väčšia ako jednota a exponent je pozitívny alebo ak je základ menej ako jednota a exponent je negatívny. Stupeň je menší ako jeden, ak je základňa viac ako jedna a indikátor je negatívny alebo základňa je nižšia ako jedna a indikátor je pozitívny.

Je potrebné zvážiť štyri prípady:

Obmedzíme sa na analýzu prvého z nich, čitateľ zváži zvyšok sám.

Predpokladajme teda, že pri rovnosti nemôže byť exponent ani negatívny, ani rovný nule, preto je pozitívny, t. J. Podľa potreby.

Príklad 3. Zistite, ktoré z nasledujúcich logaritmov sú pozitívne a ktoré sú negatívne:

Riešenie, a) pretože číslo 15 a základňa 12 sú umiestnené na jednej strane jednotky;

b) od 1000 a 2 sú umiestnené na jednej strane jednotky; nie je nevyhnutné, aby základňa bola väčšia ako číslo logaritmu;

c) keďže 3.1 a 0.8 leží na protiľahlých stranách jednotky;

g); Prečo?

d); Prečo?

Nasledujúce vlastnosti 4 až 6 sa často nazývajú pravidlá logaritmu: umožňujú znalosť logaritmov niektorých čísel nájsť logaritmy ich produktu, kvocientu, stupňa každého z nich.

Vlastnosť 4 (pravidlo logaritmu produktu). Logaritmus súčinu niekoľkých pozitívnych čísel na danej báze sa rovná súčtu logaritmov týchto čísel na rovnakej báze.

Dôkaz. Nech sú kladné čísla.

Pre logaritmus ich produktu píšeme logaritmus definujúci rovnosť (26.1):

Odtiaľto nájdeme

Porovnaním exponentov prvého a posledného výrazu získame požadovanú rovnosť:

Upozorňujeme, že podmienka je nevyhnutná; logaritmus produktu dvoch záporných čísel má zmysel, ale v tomto prípade dostaneme

Vo všeobecnosti, ak je súčin viacerých faktorov pozitívny, potom sa jeho logaritmus rovná súčtu logaritmov modulov týchto faktorov.

Vlastnosť 5 (kvocient logaritmu pravidla). Logaritmus podielu kladných čísel je rozdiel medzi logaritmami dividendy a deliteľa, branými na rovnakom základe. Dôkaz. Dôsledne nájdite

podľa potreby dokázať.

Vlastnosť 6 (pravidlo logaritmu stupňa). Logaritmus stupňa kladného čísla sa rovná logaritmu tohto čísla násobku exponentu.

Dôkaz. Znovu opíšeme základnú identitu (26.1) pre číslo:

podľa potreby dokázať.

Dôsledok. Logaritmus koreňa kladného čísla sa rovná logaritmu koreňového čísla vydelenému indexom root:

Tento dôsledok možno dokázať znázornením spôsobu a použitia majetku 6.

Príklad 4. Prologaritmus na základe:

a) (predpokladá sa, že všetky množstvá b, c, d, e sú kladné);

b) (predpokladá sa, že).

Riešenie, a) Je vhodné preniesť tento výraz do zlomkových právomocí:

Na základe rovnosti (26.5) - (26.7) môžeme teraz napísať:

Všimli sme si, že jednoduchšie akcie sa vykonávajú v logaritmických číslach ako s číslami samotnými: keď sa vynásobia čísla, ich logaritmy sa sčítajú, keď sa rozdelia, odčítajú sa atď.

Preto sa logaritmy používajú vo výpočtovej praxi (pozri s. 29).

Akcia opačná k logaritmu sa nazýva potenciacia, konkrétne: potenciacia je akcia, ktorou sa toto číslo nájde z daného logaritmu čísla. V podstate potenciacia nie je nijaká špeciálna akcia: ide o zvýšenie základne na moc (rovná logaritmu čísla). Výraz „potenciácia“ sa môže považovať za synonymum výrazu „exponentiácia“.

Pri potenciovaní je potrebné použiť pravidlá, ktoré sú inverzné vzhľadom na pravidlá logaritmu: nahradiť súčet logaritmov logaritmom produktu, rozdiel medzi logaritmami logaritmom kvocientu atď. Najmä ak existuje nejaký faktor pred logaritmom, mal by sa previesť na exponenta. stupňov pod logaritmickou značkou.

Príklad 5. Nájdite N, ak je známe, že

Rozhodnutie. V súvislosti s práve stanoveným pravidlom potenciacie sa faktory 2/3 a 1/3, ktoré čelia znakom logaritmov na pravej strane tejto rovnosti, prevedú na exponentov pod znakmi týchto logaritmov; dostaneme

Teraz nahradíme rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu:

aby sme dostali posledný zlomok v tomto reťazci rovnosti, oslobodili sme predchádzajúci zlomok od iracionality v menovateli (bod 25).

Vlastnosť 7. Ak je báza väčšia ako jedna, potom väčšie číslo má väčší logaritmus (a menšie je menšie), ak je základňa menšia ako jednota, potom väčšie číslo má menší logaritmus (a menšie je väčšie).

Táto vlastnosť je tiež spravidla formulovaná ako logaritmus nerovností, pričom obe strany sú pozitívne:

V prípade logaritmu nerovností na základni väčšieho ako jednota sa znak nerovnosti zachová a pri logaritmizácii základne menej ako jednota sa znak nerovnosti zmení opačným spôsobom (pozri tiež bod 80).

Dôkaz je založený na vlastnostiach 5 a 3. Zvážte prípad, keď Ak, potom, a vezmeme logaritmus, dostaneme

(a a N / M ležia na tej istej strane jednoty). Odtiaľto

Nasleduje prípad, ktorý čitateľ zanalyzuje samostatne.

Návod na použitie

Zaznamenajte daný logaritmický výraz. Ak výraz používa logaritmus 10, jeho zápis sa skráti a vyzerá takto: lg b je desatinný logaritmus. Ak má logaritmus číslo e ako základ, napíšte výraz: ln b je prirodzený logaritmus. Rozumie sa, že výsledkom akéhokoľvek stupňa je stupeň, v akom musí byť základné číslo zvýšené, aby sa získalo číslo b.

Ak hľadáte súčet dvoch funkcií, stačí ich rozlíšiť jeden po druhom a pridať výsledky: (u + v) "\u003d u" + v ";

Pri hľadaní derivátu produktu dvoch funkcií je potrebné vynásobiť derivát prvej funkcie druhou a pridať derivát druhej funkcie vynásobený prvou funkciou: (u * v) "\u003d u" * v + v "* u;

Aby sa zistil derivát kvocientu dvoch funkcií, je potrebné od súčinu derivátu dividendy vynásobeného funkciou deliteľa odpočítať produkt derivátu deliteľa vynásobený funkciou dividendy a to všetko delené druhou mocninou funkcie deliteľa. (u / v) "\u003d (u" * v-v "* u) / v ^ 2;

Ak je daná komplexná funkcia, je potrebné vynásobiť derivát vnútornej funkcie a derivát vonkajšej. Nech y \u003d u (v (x)), potom y "(x) \u003d y" (u) * v "(x).

Pomocou vyššie uvedeného môžete rozlíšiť takmer akúkoľvek funkciu. Pozrime sa na niekoľko príkladov:

y \u003d x ^ 4, y "\u003d 4 * x ^ (4-1) \u003d 4 * x ^ 3;

y \u003d 2 * x ^ 3 * (e ^ xx ^ 2 + 6), y "\u003d 2 * (3 * x ^ 2 * (e ^ xx ^ 2 + 6) + x ^ 3 * (e ^ x-2 * x));
Problémy sa vyskytujú aj pri výpočte derivátu. Nech je daná funkcia y \u003d e ^ (x ^ 2 + 6x + 5), musíme nájsť hodnotu funkcie v bode x \u003d 1.
1) Nájdite derivát funkcie: y "\u003d e ^ (x ^ 2-6x + 5) * (2 * x +6).

2) Vypočítajte hodnotu funkcie v danom bode y "(1) \u003d 8 * e ^ 0 \u003d 8

Súvisiace videá

Užitočné rady

Naučte sa tabuľku elementárnych derivátov. Ušetrite tým veľa času.

zdroj:

• derivát konštanty

Aký je teda rozdiel medzi iracionálnou a racionálnou rovnicou? Ak je neznáma premenná pod druhou odmocninou, potom sa táto rovnica považuje za iracionálnu.

Návod na použitie

Hlavnou metódou riešenia týchto rovníc je konštrukcia oboch častí rovnice  na námestí. Však. je to prirodzené, prvá vec, ktorú musíte zbaviť znamenia. Technicky nie je táto metóda komplikovaná, ale niekedy môže viesť k problémom. Napríklad rovnica v (2x-5) \u003d v (4x-7). Vyrovnaním oboch strán získate 2x-5 \u003d 4x-7. Nie je ťažké vyriešiť takúto rovnicu; x \u003d 1. Číslo 1 však nebude uvedené rovnice, Prečo? Nahraďte jeden z rovnice namiesto hodnoty x. A pravá a ľavá strana bude obsahovať výrazy, ktoré nedávajú zmysel, to znamená. Táto hodnota nie je platná pre druhú odmocninu. Preto 1 je cudzí koreň, a preto táto rovnica nemá korene.

Iracionálna rovnica sa teda rieši pomocou metódy porovnania obidvoch jej častí. A po vyriešení rovnice je potrebné odrezať cudzie korene. Nahraďte nájdené korene v pôvodnej rovnici.

Zvážte ešte jednu.
2x + vx-3 \u003d 0
Túto rovnicu je možné samozrejme vyriešiť rovnakým spôsobom ako predchádzajúca rovnica. Presuňte zložené rovnicektoré nemajú pravú stranu s druhou odmocninou a potom použijú metódu porovnania. vyriešiť výslednú racionálnu rovnicu a korene. Ale ďalšie, elegantnejšie. Zadajte novú premennú; vx \u003d y. Podobne dostanete rovnicu tvaru 2y2 + y-3 \u003d 0. To je obvyklá kvadratická rovnica. Nájdite svoje korene; y1 \u003d 1 a y2 \u003d -3 / 2. Ďalej rozhodnite o dvoch rovnice  vx \u003d 1; vx \u003d -3/2. Druhá rovnica nemá korene, z prvej zistíme, že x \u003d 1. Nezabudnite na potrebu skontrolovať korene.

Riešenie identít je dosť jednoduché. Z tohto dôvodu je potrebné vykonať rovnaké transformácie, až kým sa nedosiahne cieľ. Teda s použitím najjednoduchších aritmetických operácií bude problém vyriešený.

Budete potrebovať

• - papier;
• - pero.

Návod na použitie

Najjednoduchšou takou transformáciou je algebraické skrátené násobenie (ako je druhá mocnina súčtu (rozdiel), rozdiel štvorcov, súčet (rozdiel), kocka súčtu (rozdiel)). Okrem toho existuje veľa trigonometrických vzorcov, ktoré sú v podstate rovnaké.

Štvorec súčtu dvoch výrazov sa skutočne rovná štvorcu prvého plus dvojitého produktu prvého a druhého a plus štvorca druhého, t.j. (a + b) ^ 2 \u003d (a + b) (a + b) \u003d a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \u003d a ^ 2 + 2ab + b ^ 2.

Zjednodušte oboje

Všeobecné zásady rozhodovania

Zopakujte učebnicu o matematickej analýze alebo vyššej matematike, čo je určitý integrál. Ako viete, riešenie určitého integrálu je funkciou, ktorej derivácia poskytne integrand. Táto funkcia sa nazýva antiderivatívum. Na základe tohto princípu sa vytvárajú hlavné integrály.
Podľa typu integrandu určte, ktorý z integrálov tabuľky je v tomto prípade vhodný. Nie vždy je možné to okamžite zistiť. Tabulárny pohľad sa často stáva viditeľným až po niekoľkých transformáciách na zjednodušenie integrandu.

Variabilná metóda výmeny

Ak integrand je trigonometrická funkcia s polynómom vo svojom argumente, skúste použiť metódu nahradenia premenných. Za týmto účelom nahraďte polynóm v argumente integrand inou novou premennou. Pomerom medzi novou a starou premennou určte nové limity integrácie. Odlíšením tohto výrazu nájdite nový rozdiel v jazyku. Takto získate nový druh predošlého integrálu, blízky alebo dokonca zodpovedajúci nejakému tabuľkovému.

Riešenie integrálov druhého druhu

Ak je integrál integrálom druhého druhu, vektorovej formy integrandu, budete musieť použiť pravidlá pre prechod z týchto integrálov na skalárne. Jedným z týchto pravidiel je pomer Ostrogradsky-Gauss. Tento zákon nám umožňuje prejsť od toku rotora určitej vektorovej funkcie k trojitému integrálu cez divergenciu daného vektorového poľa.

Nahradenie integračných limitov

Po nájdení antiderivatívu je potrebné nahradiť limity integrácie. Najskôr nahraďte hornú medznú hodnotu vo výraze antiderivative. Získate nejaké číslo. Ďalej odpočítajte od výsledného čísla ďalšie číslo získané od dolného limitu v antideriváte. Ak je jednou z hraníc integrácie nekonečno, potom pri jej nahradení do primitívnej funkcie je potrebné ísť k hranici a nájsť, čo výraz hľadá.
Ak je integrál dvojrozmerný alebo trojrozmerný, budete musieť geometricky nakresliť hranice integrácie, aby ste pochopili, ako sa má integrál vypočítať. V prípade napríklad trojrozmerného integrálu môžu byť integračné limity celé roviny, ktoré obmedzujú integrovateľný objem.