Kopievskaya vidiecka stredná škola

10 spôsobov riešenia kvadratických rovníc

Vedúci: Patrikeeva Galina Anatolevna,

učiteľ matematiky

s.Kopyevo, 2007

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starom Babylone

1.2 Ako zložil a riešil kvadratické rovnice Diophantus

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

1.4 Kvadratické rovnice v al-Khorezmi

1.5 Kvadratické rovnice v Európe XIII - XVII storočia

1.6 O Vietovej vete

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

záver

literatúra

1. História vývoja kvadratických rovníc

1.1 Kvadratické rovnice v starom Babylone

Potreba riešiť rovnice nielen prvého, ale aj druhého stupňa staroveku bola spôsobená potrebou riešiť problémy spojené s nájdením oblastí pozemných a zemných prác vojenskej povahy, ako aj s rozvojom astronómie a matematiky samotnej. Okolo roku 2000 pred Kristom boli schopní vyriešiť kvadratické rovnice. e. Babylončania.

Pomocou modernej algebraickej notácie môžeme povedať, že vo svojich klínových formách existujú okrem neúplných napríklad aj úplné kvadratické rovnice:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Pravidlo na riešenie týchto rovníc stanovené v babylonských textoch je v podstate rovnaké ako moderné, nie je však známe, ako babylončania dosiahli toto pravidlo. Takmer všetky doteraz známe klieštikové texty uvádzajú iba problémy s riešeniami uvedenými vo forme receptov, bez uvedenia spôsobu ich nájdenia.

Napriek vysokému stupňu vývoja algebry v Babylone nemajú klínové texty poňatie záporného čísla a všeobecné metódy riešenia kvadratických rovníc.

1.2 Ako Diophantus zložil a vyriešil kvadratické rovnice.

V „aritmetike“ Diophantusu neexistuje systematická prezentácia algebry, obsahuje systematickú sériu problémov sprevádzanú vysvetleniami a riešenými zostavovaním rovníc rôznych stupňov.

Pri vytváraní rovníc Diophantus šikovne vyberá neznáme, aby sa zjednodušilo riešenie.

Tu je napríklad jednou z jeho úloh.

Úloha 11. "Nájdite dve čísla s vedomím, že ich súčet je 20 a produkt je 96"

Diophantus argumentuje nasledovne: z podmienok problému vyplýva, že požadované čísla nie sú rovnaké, pretože keby boli rovnaké, ich produkt by nebol 96, ale 100. Jeden z nich bude teda viac ako polovica z ich celkového počtu, t.j. , 10 + x , druhý je menší, t. 10 je , Rozdiel medzi nimi 2x .

Preto rovnica:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - x 2 \u003d 96

x 2 - 4 \u003d 0 (1)

Odtiaľ x \u003d 2 , Jedným z hľadaných čísel je 12 ostatné 8 , rozhodnutie x \u003d -2 pre Diophantus neexistuje, pretože grécka matematika poznala iba kladné čísla.

Ak tento problém vyriešime výberom jedného z požadovaných čísel ako neznámeho, prídeme k riešeniu rovnice

y (20 - y) \u003d 96,

y2 - 20 y + 96 \u003d 0. (2)

Je zrejmé, že ak si ako neznámy vyberieme polovičný rozdiel požadovaných čísel, Diophantus zjednoduší riešenie; dokáže vyriešiť problém vyriešením neúplnej kvadratickej rovnice (1).

1.3 Kvadratické rovnice v Indii

Kvadratické rovnice sa už vyskytujú na astronomickej ceste Ariabhattiam, ktorú v roku 499 zostavil indický matematik a astronóm Ariabhatta. Iný indický vedec Brahmagupta (VII. Storočie) načrtol všeobecné pravidlo riešenia kvadratických rovníc redukovaných na jednu kanonickú formu:

ah 2+ b x \u003d c, a\u003e 0. (1)

V rovnici (1) súčinitele okrem a môže byť negatívny. Pravidlo Brahmagupty sa v zásade zhoduje s našou.

V starej Indii boli verejné súťaže na riešenie zložitých problémov rozšírené. V jednej zo starodávnych indických kníh sa o takýchto súťažiach hovorí: „Keď slnko zatieni hviezdy svojou brilanciou, tak naučená osoba zatieni slávu inej osoby v ľudových zhromaždeniach, navrhuje a rieši algebraické problémy.“ Úlohy sú často upravené v poetickej podobe.

Tu je jedna z úloh slávneho indického matematika storočia XII. Bhaskar.

Úloha 13.

"Opice strašidelného balenia a dvanásť vo viniči ..."

Jesť, baviť sa. Začali skákať, viseli ...

Na námestí je ich osem. Koľko opíc tam bolo,

V zúčtovaní pobavilo. Povedz mi to v tomto balení? “

Rozhodnutie Bhaskary svedčí o tom, že vedel o nejednoznačnosti koreňov kvadratických rovníc (obr. 3).

Rovnica zodpovedajúca problému 13:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara píše pod zámienkou:

x 2 - 64 x \u003d-768

a na doplnenie ľavej strany tejto rovnice k štvorcu sa pridá na obe strany 32 2 dostať sa potom:

x 2 - 64 x + 32 2 \u003d-768 + 1024,

(x - 32) 2 \u003d 256,

x - 32 \u003d ± 16,

x 1 \u003d 16, x 2 \u003d 48.

1.4 Kvadratické rovnice pre al - Khorezmiho

Al - Khorezmiho algebraická práca pojednáva o klasifikácii lineárnych a kvadratických rovníc. Autor má 6 typov rovníc, ktoré vyjadrujú takto:

1) „Štvorce sa rovnajú koreňom“, t. ah 2 + c \u003d b x

2) „Štvorce sa rovnajú číslu“, t. ah 2 \u003d s.

3) „Korene sa rovnajú číslu“, t. ah \u003d s.

4) „Štvorce a čísla sa rovnajú koreňom“, t. ah 2 + c \u003d b x

5) „Štvorce a korene sa rovnajú číslu“, t. ah 2+ bx \u003d s.

6) „Korene a čísla sa rovnajú štvorcom“, t.j. bx + c \u003d ax 2.

Pokiaľ ide o al - Khorezmi, bez použitia záporných čísel sú termíny každej z týchto rovníc termíny neodpočítané. V tomto prípade sa rovnice, ktoré nemajú pozitívne riešenia, zjavne nezohľadňujú. Autor nastiňuje spôsoby, ako tieto rovnice vyriešiť pomocou techník al - Jabr a al - mukabaly. Jeho rozhodnutie sa, samozrejme, nezhoduje úplne s naším rozhodnutím. Nehovoriac o skutočnosti, že je to iba rétorika, treba poznamenať napríklad, že pri riešení neúplnej kvadratickej rovnice prvého druhu

al - Khorezmi, rovnako ako všetci matematici pred 17. storočím, nezohľadňuje nulové riešenie, pravdepodobne preto, že nezáleží na konkrétnych praktických problémoch. Pri riešení úplných kvadratických rovníc al - Khorezmi pomocou konkrétnych číselných príkladov stanovuje pravidlá riešenia a potom geometrické korekcie.

Úloha 14. „Štvorec a číslo 21 sa rovnajú 10 koreňom. Nájsť koreň » (znamená koreň rovnice x 2 + 21 \u003d 10x).

Rozhodnutie autora ide niečo také: rozdelte počet koreňov na polovicu, získajte 5, vynásobte 5 sami, odčítajte 21, od produktu 4. Odoberte koreň od 4, získajte 2. Odoberte 2 od 5, získajte 3, bude to požadovaný koreň. Alebo pridajte 2 až 5, čo dáva 7, toto je tiež koreň.

Pojednanie al - Khorezmi je prvá kniha, ktorá k nám prišla, ktorá systematicky stanovuje klasifikáciu kvadratických rovníc a poskytuje vzorce na ich riešenie.

1.5 Štvorcové rovnice v Európe XIII - XVII cc

Vzorce na riešenie kvadratických rovníc modelované na al - Khorezmi v Európe boli prvýkrát uvedené v „knihe Abacus“ napísanej v roku 1202 talianskym matematikom Leonardom Fibonacci. Toto rozsiahle dielo, ktoré odráža vplyv matematiky, tak z islamského, ako aj z antického Grécka, sa vyznačuje úplnosťou a zrozumiteľnosťou prezentácie. Autor nezávisle vypracoval niekoľko nových algebraických príkladov riešenia problémov a ako prvý v Európe zaviedol záporné čísla. Jeho kniha prispela k šíreniu algebraických znalostí nielen v Taliansku, ale aj v Nemecku, Francúzsku a ďalších európskych krajinách. Mnoho úloh z Knihy počítadla prešlo do takmer všetkých európskych učebníc 16. - 17. storočia. a čiastočne XVIII.

Všeobecné pravidlo na riešenie kvadratických rovníc zredukovaných na jednu kanonickú formu:

x 2 + bx \u003d s

so všetkými druhmi kombinácií znakov koeficientov b , s V Európe ho formuloval až v roku 1544 M. Shtifel.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice všeobecne je dostupné z Viet-u, Viet však rozpoznal iba pozitívne korene. Talianski matematici Tartaglia, Cardano, Bombelli medzi prvými v XVI. Storočí. Okrem pozitívnych sa berú do úvahy aj negatívne korene. Až v XVII. Storočí. Metóda riešenia kvadratických rovníc má vďaka práci Girarda, Descartesa, Newtona a ďalších vedcov modernú podobu.

1.6 O Vietovej vete

Vetu vyjadrujúcu vzťah medzi koeficientmi kvadratickej rovnice a jej koreňmi, nazvanou Vieta, sformuloval prvýkrát v roku 1591 takto: „Ak B + D doba - 2 rovní bd potom rovnako AT a rovnaké D ».

Aby ste pochopili Vietu, mali by ste si to pamätať A , rovnako ako všetky samohlásky, znamenalo to neznáme (naše x), samohlásky AT, D - koeficienty pre neznáme. V jazyku modernej algebry znamená vyššie uvedená formulácia Vieta: ak

(a + b ) x - x 2 \u003d ab ,

x 2 - (a + b ) x + a b = 0,

x 1 \u003d a, x 2 \u003d b .

Viet vyjadrením vzťahu medzi koreňmi a koeficientmi rovníc pomocou všeobecných vzorcov napísaných pomocou symbolov Viet zistil jednotnosť v metódach riešenia rovníc. Symbolika Vietnamu však stále nie je ani zďaleka moderná. Nerozpoznal záporné čísla, a preto pri riešení rovníc zvažoval iba prípady, keď sú všetky korene pozitívne.

2. Metódy riešenia kvadratických rovníc

Kvadratické rovnice sú základom, na ktorom spočíva veľkolepá budova algebry. Kvadratické rovnice sa široko používajú pri riešení trigonometrických, exponenciálnych, logaritmických, iracionálnych a transcendentálnych rovníc a nerovností. Všetci vieme, ako vyriešiť kvadratické rovnice od školskej lavice (8. ročník), až po maturitu.

Po získaní všeobecnej myšlienky rovnosti a po zoznámení sa s jedným z ich typov - numerickými rovnicami, môžeme začať hovoriť o inej forme rovníc, ktorá je z praktického hľadiska veľmi dôležitá - rovniciach. V tomto článku budeme analyzovať čo je rovnicaa čo sa nazýva koreň rovnice. Tu uvádzame príslušné definície, ako aj rôzne príklady rovníc a ich korene.

Navigácia na stránke.

Čo je to rovnica?

Zamerané zoznámenie sa s rovnicami zvyčajne začína v matematických triedach v 2. ročníku. V tomto okamihu sú uvedené nasledujúce. definícia rovnice:

definícia

Rovnica Je rovnosť obsahujúca neznáme číslo, ktoré sa má nájsť.

Neznáme čísla v rovniciach sa zvyčajne označujú malými latinskými písmenami, napríklad p, t, u, atď., Ale najčastejšie sa používajú písmená x, y a z.

Rovnica sa teda určuje z polohy záznamového formulára. Inými slovami, rovnosť je rovnica, keď sa riadi špecifikovanými pravidlami písania - obsahuje písmeno, ktorého hodnotu je potrebné nájsť.

Uvádzame príklady úplne prvých a najjednoduchších rovníc. Začneme rovnicami tvaru x \u003d 8, y \u003d 3 atď. Rovnice, ktoré obsahujú čísla a písmená aritmetických operácií, napríklad x + 2 \u003d 3, z - 2 \u003d 5, 3 · t \u003d 9, 8: x \u003d 2, vyzerajú trochu komplikovanejšie.

Rôznorodosť rovníc rastie po stretnutí s - začnú sa objavovať rovnice s hranatými zátvorkami, napríklad 2 · (x - 1) \u003d 18 a x + 3 · (x + 2 · (x - 2)) \u003d 3. Neznáme písmeno v rovnici môže byť prítomné niekoľkokrát, napríklad x + 3 + 3 · x - 2 - x \u003d 9, aj písmená môžu byť na ľavej strane rovnice, na jej pravej strane alebo na oboch stranách rovnice, napríklad x · (3 + 1) -4 \u003d 8, 7-3 \u003d z + 1 alebo 3 x x 4 \u003d 2, (x + 12).

Ďalej, po štúdiu prírodných čísel, sa človek zoznámi s celočíselnými, racionálnymi, reálnymi číslami, študujú sa nové matematické objekty: stupne, korene, logaritmy atď. A objavujú sa stále nové typy rovníc, ktoré tieto veci obsahujú. Ich príklady sú uvedené v článku. hlavné typy rovnícštuduje v škole.

V siedmej triede, spolu s písmenami, ktoré znamenajú niektoré konkrétne čísla, začnú uvažovať o písmenách, ktoré môžu mať rôzne významy, nazývajú sa premenné (pozri článok). V tomto prípade sa do definície rovnice vkladá slovo „premenná“ a stáva sa:

definícia

Rovnica volajú rovnosť obsahujúcu premennú, ktorej hodnotu musíte nájsť.

Napríklad rovnica x + 3 \u003d 6 x x 7 je rovnica s premennou x a 3 · z - 1 + z \u003d 0 je rovnica s premennou z.

V lekciách algebry v tom istom siedmom ročníku sa stretáva s rovnicami, ktoré neobsahujú jednu, ale dve rôzne neznáme premenné. Nazývajú sa rovnice s dvoma premennými. V budúcnosti je povolená prítomnosť troch alebo viacerých premenných v zázname rovníc.

definícia

Rovnice s jedným, dvoma, tromi atď. premenné - sú to rovnice obsahujúce vo svojom zázname jednu, dve, tri, ... neznáme premenné.

Napríklad rovnica 3,2 x + 0,5 \u003d 1 je rovnica s jednou premennou x, rovnica tvaru x - y \u003d 3 je rovnica s dvoma premennými xay. A ďalší príklad: x 2 + (y - 1) 2 + (z + 0,5) 2 \u003d 27. Je zrejmé, že takáto rovnica je rovnica s tromi neznámymi premennými x, y a z.

Čo je koreňom rovnice?

Definícia koreňa tejto rovnice priamo súvisí s definíciou rovnice. Uskutočníme niekoľko argumentov, ktoré nám pomôžu pochopiť, čo je koreň rovnice.

Predpokladajme, že čelíme rovnici s jedným písmenom (premenná). Ak namiesto písmena zahrnutého do záznamu tejto rovnice nahraďte určité číslo, potom sa rovnica zmení na numerickú rovnosť. Výsledná rovnosť môže byť navyše pravdivá aj nepravdivá. Ak napríklad namiesto písmena a v rovnici a + 1 \u003d 5 nahradíme číslo 2, dostaneme nesprávnu číselnú rovnosť 2 + 1 \u003d 5. Ak nahradíme číslo 4 namiesto a v tejto rovnici, dostaneme správnu rovnosť 4 + 1 \u003d 5.

V praxi sú vo väčšine prípadov také hodnoty premennej, o ktorých nahradenie do rovnice poskytuje správnu rovnosť, tieto hodnoty nazývajú korene alebo riešenia tejto rovnice.

definícia

Koreň rovnice - toto je hodnota písmena (premennej), keď je nahradená, rovnica sa zmení na správnu numerickú rovnosť.

Všimnite si, že koreň rovnice s jednou premennou sa tiež nazýva riešením rovnice. Inými slovami, riešenie rovnice a koreň rovnice sú rovnaké.

Predstavme si túto definíciu príkladom. Aby sme to dosiahli, vrátime sa k vyššie uvedenej rovnici a + 1 \u003d 5. Podľa uvedenej definície koreňa rovnice je číslo 4 koreňom tejto rovnice, pretože pri nahradení tohto čísla namiesto písmena a dostaneme správnu rovnosť 4 + 1 \u003d 5 a číslo 2 nie je jeho koreň, pretože má nesprávnu rovnosť tvaru 2 + 1 \u003d 5.

V tomto bode vyvstáva množstvo prirodzených otázok: „Má nejaká rovnica koreň a koľko koreňov má daná rovnica?“ Odpovieme im.

Existujú rovnice, ktoré majú korene, a rovnice, ktoré nemajú korene. Napríklad rovnica x + 1 \u003d 5 má koreň 4 a rovnica 0 · x \u003d 5 nemá korene, pretože bez ohľadu na to, aké číslo v tejto rovnici nahradíme premennou x, dostaneme nesprávnu rovnosť 0 \u003d 5.

Pokiaľ ide o počet koreňov rovnice, existujú rovnice, ktoré majú konečný počet koreňov (jeden, dva, tri atď.), Ako aj rovnice, ktoré majú nekonečne veľa koreňov. Napríklad rovnica x - 2 \u003d 4 má jeden koreň 6, korene rovnice x 2 \u003d 9 sú dve čísla -3 a 3, rovnica x · (x - 1) · (x - 2) \u003d 0 má tri korene 0, 1 a 2 a riešením rovnice x \u003d x je akékoľvek číslo, to znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Pár slov, ktoré stojí za zmienku o akceptovanom zázname koreňov rovnice. Ak rovnica nemá korene, potom obyčajne píšu „rovnica nemá korene“ alebo používajú znamienko prázdnej množiny ∅. Ak má rovnica korene, potom sa píše čiarkou alebo píše ako prvky súpravy v zátvorkách. Napríklad, ak korene rovnice sú čísla -1, 2 a 4, potom píšu -1, 2, 4 alebo (-1, 2, 4). Je tiež možné zapísať korene rovnice vo forme jednoduchých rovníc. Napríklad, ak rovnica obsahuje písmeno x a korene tejto rovnice sú čísla 3 a 5, potom môžete napísať x \u003d 3, x \u003d 5, do premennej sa často pridávajú aj indexy x 1 \u003d 3, x 2 \u003d 5, ako keby indikujúce čísla korene rovnice. Nekonečná množina koreňov rovnice sa obvykle píše vo forme, ak je to možné, používa sa aj zápis množín prírodných čísel N, celých čísel Z, reálnych čísel R. Napríklad, ak koreň rovnice s premennou x je celé číslo, potom píšu a ak korene rovnice s premennou y je akékoľvek skutočné číslo od 1 do 9 vrátane, potom napíšeme.

Pre rovnice s dvoma, tromi a veľkým počtom premenných sa spravidla termín „koreň rovnice“ nepoužíva, v týchto prípadoch hovoria „riešenie rovníc“. Čo sa nazýva riešenie rovníc s niekoľkými premennými? Dáme vhodnú definíciu.

definícia

Riešením rovnice s dvoma, tromi, atď. premenné nazýva sa pár, tri atď. hodnoty premenných, ktoré premieňajú túto rovnicu na skutočnú numerickú rovnosť.

Ukážeme príklady. Zoberme si rovnicu s dvoma premennými x + y \u003d 7. Nahradíme číslo 1 namiesto x a číslo 2 namiesto y a rovnosť 1 + 2 \u003d 7. Je zrejmé, že nie je správne, preto dvojica hodnôt x \u003d 1, y \u003d 2 nie je riešením napísanej rovnice. Ak vezmeme dvojicu hodnôt x \u003d 4, y \u003d 3, potom po nahradení do rovnice dosiahneme správnu rovnosť 4 + 3 \u003d 7, preto je táto dvojica hodnôt premenných podľa definície riešením rovnice x + y \u003d 7.

Rovnice s viacerými premennými, ako napríklad rovnice s jednou premennou, nemusia mať korene, môžu mať konečný počet koreňov a môžu mať nekonečne veľa koreňov.

Dvojice, trojčatá, štyri atď. hodnoty premenných sa často krátko zapisujú, pričom ich hodnoty sú oddelené čiarkami v zátvorkách. V tomto prípade zaznamenané čísla v zátvorkách zodpovedajú premenným v abecednom poradí. Vysvetlite tento bod a vrátime sa k predchádzajúcej rovnici x + y \u003d 7. Riešenie tejto rovnice x \u003d 4, y \u003d 3 možno stručne opísať ako (4, 3).

Najväčšia pozornosť v školskom kurze matematiky, algebry a začiatkom analýzy sa venuje nájdeniu koreňov rovníc s jednou premennou. Pravidlá tohto procesu sú podrobne rozobrané v článku. riešenie rovníc.

Bibliografia.

• matematika, 2 cl. učebnice pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie s adj. na elektrón. nosič. O 2 hodiny, časť 1 / [M. I. Moreau, M. A. Bantová, G. V. Beltyukova a ďalšie.] - 3. vydanie. - M.: Prospekt, 2012. - 96 s .: Ill. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• algebra: učebnice. pre 7 cl. všeobecné vzdelanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; pod redakciou S. A. Telyakovsky. - 17. vydanie. - M .: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• algebra: Stupeň 9: učebnica. pre všeobecné vzdelávanie. inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorov]; pod redakciou S. A. Telyakovsky. - 16. vydanie. - M .: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Problémy kvadratickej rovnice sa študujú v školských osnovách aj na univerzitách. Znamenajú rovnice tvaru a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kde x - variabilné, a, b, c - konštanty;<>0. Úlohou je nájsť korene rovnice.

Geometrický význam kvadratickej rovnice

Graf funkcie reprezentovanej kvadratickou rovnicou je parabola. Riešenia (korene) kvadratickej rovnice sú priesečníky paraboly s osou x (x). Z toho vyplýva, že existujú tri možné prípady:
1) parabola nemá priesečníkové osi s osou x. To znamená, že je v hornej rovine s vetvami nahor alebo nadol s vetvami nadol. V takýchto prípadoch nemá kvadratická rovnica skutočné korene (má dva komplexné korene).

2) parabola má jeden priesečník s osou Ox. Takýto bod sa nazýva vrchol paraboly a kvadratická rovnica v ňom získava svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu. V tomto prípade má kvadratická rovnica jeden skutočný koreň (alebo dva rovnaké korene).

3) Posledný prípad v praxi je zaujímavejší - sú tu dva priesečníky paraboly s vodorovnou osou. To znamená, že existujú dva skutočné korene rovnice.

Na základe analýzy koeficientov stupňov premenných je možné vyvodiť zaujímavé závery o umiestnení paraboly.

1) Ak je koeficient a väčší ako nula, potom je parabola nasmerovaná nahor, ak je záporná, parabola sa rozvetví nadol.

2) Ak je koeficient b väčší ako nula, potom vrchol paraboly leží v ľavej polovici roviny, ak má zápornú hodnotu, potom vpravo.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice

Konštantu prenášame z kvadratickej rovnice

pre rovnaké znamienko dostaneme výraz

Vynásobte obe strany číslom 4a

Ak chcete získať celý štvorec vľavo, pridajte b ^ 2 na oboch stranách a vykonajte transformáciu

Odtiaľto nájdeme

Vzorec diskriminačného a korene kvadratickej rovnice

Diskriminačný je hodnota radikálneho výrazu. Ak je kladný, potom má rovnica dva skutočné korene, vypočítané podľa vzorca Pre nulovú diskrimináciu má kvadratická rovnica jedno riešenie (dva koreňové korene), ktoré možno ľahko získať z vyššie uvedeného vzorca pre D \u003d 0. Pre záporných diskriminantov neexistujú žiadne reálne koreňové rovnice. Napodobnite však riešenia kvadratickej rovnice v komplexnej rovine a ich hodnota sa vypočíta pomocou vzorca

Vieta veta

Zohľadňujeme dva korene kvadratickej rovnice a na ich základe konštruujeme kvadratickú rovnicu. Vieta samotná veta ľahko vyplýva z notácie: ak máme kvadratickú rovnicu tvaru potom súčet jeho koreňov sa rovná koeficientu p prijatému s opačným znamienkom a súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu q. Vzorec pre vyššie uvedené bude vyzerať, že ak je v klasickej rovnici konštanta a odlišná od nuly, musíte do nej rozdeliť celú rovnicu a potom použiť Vieta teorém.

Multiplikátor kvadratických rovníc

Nech je úloha nastavená: faktor kvadratickej rovnice. Aby sme to vykonali, najprv vyriešime rovnicu (nájdeme korene). Ďalej nahradíme nájdené korene v expanznom vzorci kvadratickej rovnice, čím sa problém vyrieši.

Kvadratické problémy

Úloha 1 Nájdite korene kvadratickej rovnice

x ^ 2-26x + 120 \u003d 0.

Riešenie: Píšeme koeficienty a nahrádzame diskriminačným vzorcom

Koreň tejto hodnoty sa rovná 14, je ľahké ju nájsť pomocou kalkulačky alebo si ju zapamätať pri častom používaní, avšak na konci článku vám dám zoznam štvorcov čísel, ktoré sa často môžu vyskytnúť pri podobných úlohách.
Nájdenú hodnotu nahraďte v koreňovom vzorci

a dostať sa

Úloha 2 Vyriešte rovnicu

2x 2 + x-3 \u003d 0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu, napíšeme koeficienty a nájdeme diskriminačného


Pomocou známych vzorcov nájdeme korene kvadratickej rovnice

Úloha 3. Vyriešte rovnicu

9x2 -12x + 4 \u003d 0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu. Určte diskriminujúceho

Mám prípad, keď sa korene zhodujú. Koreňové hodnoty nájdeme podľa vzorca

Úloha 4. Vyriešte rovnicu

x ^ 2 + x-6 \u003d 0.

Riešenie: V prípadoch, keď existujú malé koeficienty pre x, je vhodné použiť Vieta teorém. Jeho stavom dostaneme dve rovnice

Z druhej podmienky dostaneme, že produkt sa musí rovnať -6. To znamená, že jeden z koreňov je negatívny. Máme nasledujúce možné dvojice roztokov (-3; 2), (3; -2). Vzhľadom na prvú podmienku odmietame druhú dvojicu riešení.
Korene tejto rovnice sú

Úloha 5. Nájdite dĺžky strán obdĺžnika, ak je jeho obvod 18 cm a plocha je 77 cm 2.

Riešenie: Polovica obvodu obdĺžnika sa rovná súčtu susedných strán. Nech x je väčšia strana, potom 18-x je jeho menšia strana. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu týchto dĺžok:
x (18 s) \u003d 77;
alebo
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Nájdite rozlišovateľa rovnice

Počítame korene rovnice

ak x \u003d 11potom 18 \u003d 7, naopak, je to tiež pravda (ak x \u003d 7, potom 21-x \u003d 9).

Úloha 6. Faktor kvadratických rovníc 10x2 -11x + 3 \u003d 0.

Riešenie: Počítame korene rovnice, preto nájdeme diskriminačného

Nájdenú hodnotu nahradiť v koreňovom vzorci a vypočítať

Použijeme vzorec pre expanziu kvadratickej rovnice v koreňoch

Po otvorení zátvoriek získame identitu.

Kvadratická rovnica s parametrom

Príklad 1. Na aké hodnoty parametrov a, rovnica (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 \u003d 0 má jeden koreň?

Riešenie: Priamou substitúciou hodnoty a \u003d 3 vidíme, že nemá riešenie. Ďalej využívame skutočnosť, že pre nulovú diskrimináciu má rovnica jeden koreň multiplicity 2. Píšeme diskriminačné

zjednodušiť a nastaviť na nulu

Získali sme kvadratickú rovnicu s ohľadom na parameter a, ktorého riešenie sa dá ľahko získať Vietovou vetou. Súčet koreňov je 7 a ich produkt je 12. Jednoduchým vyčerpávajúcim hľadaním zistíme, že čísla 3.4 budú koreňmi rovnice. Keďže sme riešenie a \u003d 3 už na začiatku výpočtov zamietli, bude jediným správnym riešením - a \u003d 4.Takže pre a \u003d 4 má táto rovnica jeden koreň.

Príklad 2. Na aké hodnoty parametrov a, rovnica a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 \u003d 0má viac ako jeden koreň?

Riešenie: Najprv vezmeme do úvahy singulárne body, budú to hodnoty a \u003d 0 a a \u003d -3. Keď a \u003d 0, rovnica sa zjednoduší na formu 6x-9 \u003d 0; x \u003d 3/2 a bude existovať jeden koreň. Pre a \u003d -3 dostaneme identitu 0 \u003d 0.
Počítame diskriminačného

a nájdite hodnoty, pre ktoré je pozitívny

Z prvej podmienky dostaneme\u003e 3. Po druhé, nájdeme diskriminačného a korene rovnice


Definujte intervaly, v ktorých má funkcia kladné hodnoty. Nahradením bodu a \u003d 0 dostaneme 3>0 . Takže mimo intervalu (-3; 1/3) je funkcia negatívna. Nezabudnite na to a \u003d 0,čo by malo byť vylúčené, pretože v ňom pôvodná rovnica má jeden koreň.
Výsledkom je, že dostaneme dva intervaly, ktoré zodpovedajú stavu problému

V praxi bude veľa podobných úloh, pokúste sa ich zvládnuť sami a nezabudnite vziať do úvahy podmienky, ktoré sa vzájomne vylučujú. Dobre si prečítajte vzorce na riešenie kvadratických rovníc, ktoré sú často potrebné pri výpočtoch v rôznych problémoch a vedách.

Kvadratické rovnice. Diskriminačné. Riešenie, príklady.

Pozor!
Pre túto tému existujú ďalšie témy.
Materiály uvedené v osobitnej časti 555.
Pre tých, ktorí sú silne „nie veľmi ...“
A pre tých, ktorí sú „veľmi ...“)

Druhy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? V termíne kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". To znamená, že v rovnici nutne X by malo byť v krabici. Okrem toho v rovnici môžu byť (alebo nemusia byť!) Jednoducho X (v prvom stupni) a len číslo (voľný člen). A nemali by existovať X v stupni viac ako dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou tvaru:

Tu a, b a c - niektoré čísla. b a c - absolútne akékoľvek, ale a- akékoľvek iné ako nula. Napríklad:

Tu a =1; b = 3; c = -4

Tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu a =-3; b = 6; c = -18

Pochopte, že ...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je plný set Členovia. X na druhú s koeficientom ax v prvom stupni s koeficientom b a bezplatní členovia.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú dokončené.

A keď b \u003d 0, čo získame? Máme x zmizne v prvom stupni. Z násobenia nulou sa to stane.) Ukázalo sa napríklad:

5x2 -25 \u003d 0,

2x 2 -6x \u003d 0,

x 2 + 4x \u003d 0

Atď. A ak oba koeficienty, b a c zmizne, je to stále jednoduchšie:

2x 2 \u003d 0,

-0,3 x 2 \u003d 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice. To je celkom logické.) Upozorňujeme, že X je štvorcový vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo a nemôže byť nula? A namiesto toho ho nahradíte a toe.) Zmizneme X na druhú! Rovnica sa stane lineárnou. A rozhoduje sa úplne inak ...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Kompletné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa riešia jednoducho. Podľa vzorcov a jasných jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. zobraziť:

Ak je táto rovnica už uvedená v tejto podobe - nemusíte urobiť prvý krok.) Hlavnou vecou je správne určiť všetky koeficienty, a, b a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice je nasledujúci:

Vyjadruje sa výraz pod koreňovou značkou diskriminačné, Ale o ňom - \u200b\u200bnižšie. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Hodnoty jednoducho nahradiť a, b a c do tohto vzorca a zvážte. náhradka s vašimi znameniami! Napríklad v rovnici:

a =1; b = 3; c \u003d -4. Takže píšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo si nemyslíte, že sa môžete mýliť? Áno, áno ...

Najčastejšie chyby - zámena so znakom hodnôt a, b a c, Skôr nie so svojimi znakmi (kde je možné ich zamieňať?), Ale so substitúciou záporných hodnôt vo vzorci na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sú problémy s výpočtami, tak to urob!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť takýto príklad:

Tu = -6; b = -5; c = -1

Predpokladajme, že viete, že odpovede dostanete len zriedka.

Nebuďte leniví. Písanie riadku navyše bude trvať 30 sekúnd a počet chýb prudko poklesnúť, Takže píšeme podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak opatrne. Ale zdá sa to. Pokúsiť sa. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa urobím šťastným. Po chvíli už nie je potrebné všetko natierať tak starostlivo. Ukázalo sa to správne. Najmä ak použijete praktické techniky, ktoré sú opísané nižšie. Tento zlý príklad s množstvom mínusov bude vyriešený ľahko a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Zistili ste to?) Áno! to neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené všeobecným vzorcom. Musíte len zistiť, čo sú si tu rovnaké a, b a c.

Uvedomili ste si? V prvom príklade a \u003d 1; b \u003d -4; a c? On vôbec nie je! No áno, správne. V matematike to znamená c \u003d 0 ! To je všetko. Namiesto toho vo vzorci nahradíme nulu c a uspejeme. Podobne ako v druhom príklade. Iba nula tu nie je sa b !

Avšak neúplné kvadratické rovnice sa dajú vyriešiť oveľa ľahšie. Bez vzorcov. Zoberme si prvú neúplnú rovnicu. Čo sa dá urobiť na ľavej strane? Môžete dať X z hranatých zátvoriek! Poďme na to.

A čo z toho? A skutočnosť, že produkt sa rovná nule, a to len vtedy, ak sa ktorýkoľvek z faktorov rovná nule! Neveríte? Potom prídeme s dvoma nenulovými číslami, ktoré po vynásobení nulou dajú!
Nefunguje? To je všetko ...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 4.

All. Toto budú korene našej rovnice. Obe sa hodia. Nahradením ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 \u003d 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako pomocou všeobecného vzorca. Mimochodom, poznamenávam, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - je to úplne ľahostajné. Je vhodné zaznamenať v poradí, x 1 - to, čo je menšie a x 2 - to je viac.

Druhá rovnica môže byť tiež vyriešená jednoducho. Posuňte 9 doprava. Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň 9, a to je všetko. Ukázalo sa, že:

Tiež dva korene . x 1 \u003d -3, x 2 \u003d 3.

Takto sa vyriešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď vyložením x z hranatých zátvoriek, alebo jednoducho posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Zmätok týchto trikov je nesmierne ťažké. Len preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z X, čo je nejako nepochopiteľné, av druhom prípade nie je nič, čo by ste mali uviesť v zátvorkách ...

Diskriminačné. Diskriminačný vzorec.

Kúzelné slovo diskriminačné ! Vzácny študent strednej školy toto slovo nepočul! Fráza „rozhodnúť sa diskriminačne“ vzbudzuje dôveru a je povzbudivá. Pretože nemusíte čakať na triky od diskriminujúcich! Spracovanie je jednoduché a bezproblémové.) Spomínam si na naj všeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovou značkou sa nazýva diskriminačný. Diskriminátor je zvyčajne označený listom D, Vzorec diskriminácie:

D \u003d b2 - 4ac

A aký pozoruhodný je tento výraz? Prečo si to zaslúžilo zvláštne meno? V čom význam diskriminačného? Po všetkom -b alebo 2a tento vzorec nie je špecificky nazývaný ... Listy a listy.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca iba tri prípady.

1. Diskriminačný je pozitívny. To znamená, že z neho môžete extrahovať koreň. Dobrý koreň je extrahovaný alebo zlý - ďalšia otázka. Je dôležité, aby sa v zásade extrahoval. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminačný je nula. Potom dostanete jedno riešenie. Pretože od sčítania nula v čitateli sa nič nezmení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dva rovnaké, V zjednodušenej verzii je však obvyklé hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminačný je negatívny. Z záporného čísla nie je odmocnina extrahovaná. Dobre, dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, s jednoduchým riešením kvadratických rovníc nie je pojem diskriminačný naozaj potrebný. Nahraďte hodnoty koeficientov vo vzorci, áno, uvažujeme. Všetko sa tam ukázalo samo osebe a dva korene, jeden a nie jeden. Avšak pri riešení zložitejších úloh, bez vedomostí význam a vzorce diskriminácie nedostatočné. Najmä v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobatikou pri štátnej automobilovej inšpekcii a jednotnej štátnej skúške!

takže, ako riešiť kvadratické rovnice prostredníctvom diskriminácie si pamätáte. Alebo sa to naučili, čo tiež nie je zlé.) Vedieť, ako správne určiť a, b a c, Ty vieš ako opatrne nahradiť ich v koreňovom vzorci a opatrne spočítať výsledok. Rozumiete, že kľúčové slovo je tu starostlivo?

Teraz vezmite na vedomie praktické techniky, ktoré dramaticky znižujú počet chýb. Práve tie, ktoré v dôsledku nepozornosti ... Pre ktoré sa potom stáva bolestivé a urážlivé ...

Prvý príjem , Nenechajte sa leniví pred vyriešením kvadratickej rovnice, aby ste ju dostali do štandardnej formy. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po všetkých transformáciách dostanete túto rovnicu:

Nepoužívajte ponáhľať písať vzorec korene! Takmer určite premiešate šance a, b a c. Zostavte príklad správne. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na námestí vás môže rozrušiť. Zabudnúť na to je ľahké ... Zbavte sa mínus. Ako? Áno, ako sa uvádza v predchádzajúcej téme! Celú rovnicu je potrebné vynásobiť -1. Dostaneme:

A teraz môžete bezpečne napísať vzorec pre korene, zvážiť diskriminačného a dokončiť príklad. Urob si sám. Mali by ste dostať korene 2 a -1.

Prijatie druhého. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, vysvetlím všetko! check posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme si zapísali koreňový vzorec. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a \u003d 1Kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich množiť. Mali by ste získať bezplatný termín, t. v našom prípade -2. Upozorňujeme, že nie 2, ale -2! Zadarmo člen s tvojím znamením , Keby to nevyšlo, znamená to, že sa niekde prepadli. Vyhľadajte chybu.

Ak to vyjde, musíte položiť korene. Posledná a posledná kontrola. Mali by ste získať koeficient b s opak oboznámený. V našom prípade -1 + 2 \u003d +1. Koeficient bktorý pred x je -1. Takže, máte pravdu!
Je škoda, že je to tak jednoduché iba pre príklady, kde je x mocnina čistá, s koeficientom a \u003d 1. Aspoň však skontrolujte tieto rovnice! Došlo k menšiemu počtu chýb.

Tretia recepcia , Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom, ako je opísané v lekcii „Ako riešiť rovnice? Transformácie identity“. Pri práci so zlomkami chyby z nejakého dôvodu stúpajú ...

Mimochodom, sľúbil som, že zjednoduším zlý príklad s množstvom mínusov. Rado sa stalo! Tam je.

Aby sme sa nezmýlili v mínusoch, vynásobíme rovnicu -1. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodovanie je potešením!

Takže zhrnúť tému.

Praktické tipy:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správne.

2. Ak je pred štvorcom x záporný koeficient, eliminujeme ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, odstránime zlomky vynásobením celej rovnice zodpovedajúcim faktorom.

4. Ak je x mocnina čistá, koeficient sa rovná jednote, riešenie sa dá ľahko skontrolovať Vietovou vetou. Urob to!

Teraz sa môžete rozhodnúť.)

Riešenie rovníc:

8x 2 - 6x + 1 \u003d 0

x 2 + 3x + 8 \u003d 0

x 2 - 4x + 4 \u003d 0

(x + 1) 2 + x + 1 \u003d (x + 1) (x + 2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 \u003d 0
x 2 \u003d 5

x 1,2 \u003d2

x 1 \u003d 2
x 2 \u003d -0,5

x je akékoľvek číslo

x 1 \u003d -3
x 2 \u003d 3

žiadne riešenia

x 1 \u003d 0,25
x 2 \u003d 0,5

Je to všetko v poriadku? Fine! Kvadratické rovnice nie sú vaše bolesti hlavy. Prvé tri sa ukázali a ostatné nie? Potom problém nie je v kvadratických rovniciach. Problémom sú transformácie identity rovníc. Prejdite na odkaz, je to užitočné.

Nie celkom dobre? Alebo to vôbec nefunguje? Potom vám pomôže oddiel 555. Tam sú analyzované všetky tieto príklady. ukazujúci hlavný chyby v rozhodnutí. Hovorí samozrejme aj o použití rovnakých transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľa pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči ...

Mimochodom, mám pre vás pár zaujímavejších miest.)

Môžete precvičiť príklady riešenia a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Prvá úroveň

Kvadratické rovnice. Úplný sprievodca (2019)

V termíne „kvadratická rovnica“ je kľúčom slovo „kvadratický“. To znamená, že premenná musí mať na druhú tú istú premennú (tú istú x) a zároveň by nemala byť x v treťom (alebo vyššom) stupni.

Riešenie mnohých rovníc sa redukuje na riešenie presne kvadratických rovníc.

Naučme sa určiť, že máme kvadratickú rovnicu a nie iné.

Príklad 1

Zbavte sa menovateľa a vynásobte každý člen rovnice

Posuňte všetko doľava a usporiadajte členov v zostupnom poradí x

Teraz môžeme s istotou povedať, že táto rovnica je kvadratická!

Príklad 2

Ľavú a pravú stranu vynásobíme:

Táto rovnica, hoci v nej bola pôvodne, nie je štvorcová!

Príklad 3

Vynásobte všetko:

Strachom? Štvrtý a druhý stupeň ... Ak však urobíme náhradu, uvidíme, že máme jednoduchú kvadratickú rovnicu:

Príklad 4

Vyzerá to tak, ale pozrime sa bližšie. Presuňte všetko na ľavú stranu:

Vidíte, to sa zmenšilo - a teraz je to jednoduchá lineárna rovnica!

Teraz sa pokúste sami určiť, ktoré z nasledujúcich rovníc sú kvadratické a ktoré nie:

Príklady:

odpovede:

1. námestie;
2. námestie;
3. nie štvorcový;
4. nie štvorcový;
5. nie štvorcový;
6. námestie;
7. nie štvorcový;
8. námestie.

Matematici podmienene rozdelia všetky kvadratické rovnice do podoby:

• Kompletné kvadratické rovnice - rovnice, v ktorých sa koeficienty, ako aj voľný člen s nerovná nule (ako v príklade). Okrem toho medzi úplnými kvadratickými rovnicami daný - sú to rovnice, v ktorých je koeficient (rovnica z príkladu jedna nielen úplná, ale aj znížená!)

• Neúplné kvadratické rovnice - rovnice, v ktorých sa koeficient a / alebo voľný člen s rovná nule:

  Sú neúplné, pretože im chýba nejaký prvok. Ale rovnica musí vždy obsahovať x na druhú !!! Inak to nebude štvorcová, ale nejaká iná rovnica.

Prečo ste prišli s takým rozdelením? Zdá sa, že existuje X na druhú a je v poriadku. Toto rozdelenie je spôsobené metódami riešenia. Zoberme si podrobnejšie každú z nich.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Začnem tým, že sa budeme zaoberať riešením neúplných kvadratických rovníc - sú oveľa jednoduchšie!

Neúplné kvadratické rovnice sú typov:

1. , v tejto rovnici je koeficient.
2. , v tejto rovnici je voľný pojem rovnaký.
3. , v tejto rovnici sú koeficient a voľný člen rovnaké.

1. a. Pretože vieme, ako extrahovať druhú odmocninu, vyjadrme sa z tejto rovnice

Výraz môže byť negatívny alebo pozitívny. Štvorcové číslo nemôže byť záporné, pretože ak vynásobíte dve záporné alebo dve kladné čísla, výsledkom bude vždy kladné číslo, takže ak: potom rovnica nemá žiadne riešenia.

A ak, potom dostaneme dva korene. Tieto vzorce sa nemusia zapamätať. Hlavná vec je, že by ste mali vždy vedieť a pamätať si, že to nemôže byť menej.

Skúsme vyriešiť niekoľko príkladov.

Príklad 5:

Vyriešte rovnicu

Teraz zostáva extrahovať koreň z ľavej a pravej strany. Koniec koncov, pamätáte si, ako extrahovať korene?

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamením !!!

Príklad 6:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 7:

Vyriešte rovnicu

Oh! Štvorec čísla nemôže byť záporný, čo znamená rovnicu

žiadne korene!

Pre také rovnice, v ktorých nie sú korene, matematici prišli so špeciálnou ikonou - (prázdna množina). Odpoveď možno písať takto:

odpoveď:

Táto kvadratická rovnica má teda dva korene. Neexistujú žiadne obmedzenia, pretože sme nevyťažili koreň.
Príklad 8:

Vyriešte rovnicu

Oddeľte zátvorky:

Touto cestou,

Táto rovnica má dva korene.

odpoveď:

Najjednoduchší typ neúplných kvadratických rovníc (hoci sú všetky jednoduché, všakže?). Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Tu sa môžeme obísť bez príkladov.

Riešenie úplných kvadratických rovníc

Spomeňte si, že úplná kvadratická rovnica je rovnica rovnice tvaru kde

Riešenie úplných kvadratických rovníc je trochu komplikovanejšie (len trochu) ako vyššie uvedené.

Majte na pamäti, akákoľvek kvadratická rovnica sa dá vyriešiť pomocou diskriminačného! Dokonca aj neúplné.

Iné metódy vám pomôžu urobiť to rýchlejšie, ale ak máte problémy s kvadratickými rovnicami, na úvod sa naučte riešenie pomocou diskriminačného.

1. Riešenie kvadratických rovníc pomocou diskriminačných metód.

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je veľmi jednoduché, hlavná vec, ktorú si treba zapamätať, je postupnosť krokov a niekoľko vzorcov.

Ak má potom táto rovnica koreň, osobitná pozornosť by sa mala venovať určitému kroku. Diskriminačný () označuje počet koreňov rovnice.

• Ak sa potom vzorec v kroku zníži na. Rovnica tak bude mať celkový koreň.
• Ak, potom nemôžeme extrahovať koreň z diskriminačného v kroku. To znamená, že rovnica nemá korene.

Vráťme sa k našim rovniciam a zvážme niekoľko príkladov.

Príklad 9:

Vyriešte rovnicu

Krok 1 skákanie.

Krok 2

Nájdeme diskriminačného:

Rovnica má dva korene.

Krok 3

odpoveď:

Príklad 10:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je preto uvedená v štandardnej forme Krok 1 skákanie.

Krok 2

Nájdeme diskriminačného:

Rovnica má teda jeden koreň.

odpoveď:

Príklad 11:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je preto uvedená v štandardnej forme Krok 1 skákanie.

Krok 2

Nájdeme diskriminačného:

Takže nemôžeme extrahovať koreň z diskriminujúceho. Korene rovnice neexistujú.

Teraz vieme, ako správne napísať takéto odpovede.

odpoveď:Žiadne korene

2. Riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety.

Ak si pamätáte, existuje rovnica nazývaná redukovaná (keď je koeficient a rovný):

Takéto rovnice sa dajú veľmi ľahko vyriešiť pomocou Vietovej vety:

Súčet koreňov daný kvadratická rovnica je rovnaká a súčin koreňov je rovnaký.

Príklad 12:

Vyriešte rovnicu

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože ,

Súčet koreňov rovnice je rovnaký, t.j. dostaneme prvú rovnicu:

Produkt je:

Zostavujeme a riešime systém:

• a. Suma je rovnaká;
• a. Suma je rovnaká;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

odpoveď: ; .

Príklad 13:

Vyriešte rovnicu

odpoveď:

Príklad 14:

Vyriešte rovnicu

Rovnica je daná, čo znamená:

odpoveď:

QUADRATICKÉ ZARIADENIA. STREDNÁ ÚROVEŇ

Čo je to kvadratická rovnica?

Inými slovami, kvadratická rovnica je rovnica tvaru, kde nie je známa, navyše sú niektoré čísla.

Číslo sa nazýva vysoké alebo prvý koeficient kvadratická rovnica, - druhý koeficienta - voľný člen.

Prečo? Pretože ak sa rovnica okamžite stane lineárnou, pretože zmizne.

Okrem toho sa môžu rovnať nule. V tejto stolici sa rovnica nazýva neúplná. Ak sú splnené všetky podmienky, je rovnica úplná.

Riešenie rôznych typov kvadratických rovníc

Metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc:

Najprv budeme analyzovať metódy riešenia neúplných kvadratických rovníc - sú jednoduchšie.

Rozlišujeme typ rovníc:

I., v tejto rovnici sú koeficient a voľný člen rovnaké.

II. , v tejto rovnici je koeficient.

III. , v tejto rovnici je voľný pojem rovnaký.

Teraz zvážte riešenie každého z týchto podtypov.

Je zrejmé, že táto rovnica má vždy iba jeden koreň:

Štvorcové číslo nemôže byť záporné, pretože keď vynásobíte dve záporné alebo dve kladné čísla, výsledkom bude vždy kladné číslo. Z tohto dôvodu:

ak potom rovnica nemá riešenia;

ak máme dva korene

Tieto vzorce sa nemusia zapamätať. Hlavná vec, ktorú treba pamätať, je, že to nemôže byť menej.

Príklady:

riešenie:

odpoveď:

Nikdy nezabudnite na korene so záporným znamením!

Štvorec čísla nemôže byť záporný, čo znamená rovnicu

žiadne korene.

Aby sme si v krátkosti popísali, že problém nemá riešenie, použijeme ikonu prázdnej sady.

odpoveď:

Táto rovnica má teda dve korene: a.

odpoveď:

Oddeľte zátvorky:

Produkt je nula, ak je aspoň jeden z faktorov nula. To znamená, že rovnica má riešenie, keď:

Táto kvadratická rovnica má dva korene: a.

Príklad:

Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie:

Faktor na ľavej strane rovnice a nájsť korene:

odpoveď:

Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc:

1. Diskriminačný

Riešenie kvadratických rovníc týmto spôsobom je ľahké, hlavná vec je pamätať si na postupnosť krokov a niekoľko vzorcov. Pamätajte, že akákoľvek kvadratická rovnica sa dá vyriešiť pomocou diskriminačného! Dokonca aj neúplné.

Všimli ste si diskriminačného koreňa v koreňovom vzorci? Diskriminačný môže byť negatívny. Čo robiť? Osobitná pozornosť by sa mala venovať kroku 2. Diskriminátor nám naznačuje počet koreňov rovnice.

• Ak má potom rovnica koreň:
• Ak má potom rovnica rovnaký koreň, ale v skutočnosti jeden koreň:

  Takéto korene sa nazývajú dvojité.

• Ak, potom nie je extrahovaný koreň diskriminátora. To znamená, že rovnica nemá korene.

Prečo je možný iný počet koreňov? Obráťme sa na geometrický význam kvadratickej rovnice. Funkčný graf je parabola:

V konkrétnom prípade je to kvadratická rovnica. A to znamená, že korene kvadratickej rovnice sú priesečníky s osou x (os). Parabola nesmie pretínať os vôbec, ani ju pretínať v jednom (keď vrchol paraboly leží na osi) alebo v dvoch bodoch.

Okrem toho je koeficient zodpovedný za smer vetiev paraboly. Ak, potom sú vetvy paraboly nasmerované nahor a ak - potom dole.

Príklady:

riešenie:

odpoveď:

Odpoveď:.

odpoveď:

Neexistujú teda žiadne riešenia.

Odpoveď:.

2. Vieta veta

Použitie Vietovej vety je veľmi jednoduché: stačí si vyzdvihnúť pár čísel, ktorých súčin sa rovná voľnému termínu rovnice, a súčet je druhý koeficient vzatý s opačným znamienkom.

Je dôležité pamätať na to, že Vieta teorém možno použiť iba na redukované kvadratické rovnice ().

Pozrime sa na niekoľko príkladov:

Príklad č. 1:

Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie:

Táto rovnica je vhodná na riešenie pomocou Vietovej vety, pretože , Ostatné koeficienty :; ,

Súčet koreňov rovnice sa rovná:

Produkt je:

Vyberáme dvojice čísel, ktorých produkt je rovnaký a skontrolujeme, či sa ich suma rovná:

• a. Suma je rovnaká;
• a. Suma je rovnaká;
• a. Suma je rovnaká.

a sú riešením systému:

Tak, a sú korene našej rovnice.

odpoveď:; ,

Príklad č. 2:

rozhodnutie:

Vyberieme také dvojice čísel, ktoré udávajú v produkte, a potom skontrolujeme, či sa ich suma rovná:

a: uveďte celkom.

a: uveďte celkom. Ak chcete získať, stačí zmeniť znamenia údajných koreňov: a nakoniec produkt.

odpoveď:

Príklad 3:

rozhodnutie:

Voľný čas rovnice je záporný, a preto je výsledok koreňov záporné číslo. To je možné iba vtedy, ak je jeden z koreňov negatívny a druhý pozitívny. Súčet koreňov je preto rozdiely ich modulov.

Vyberáme také dvojice čísel, ktoré udávajú v produkte a ktorých rozdiel sa rovná:

a: ich rozdiel je rovnaký - nevhodný;

a: - nevhodné;

a: - nevhodné;

a: - vhodné. Zostáva len pripomenúť, že jeden z koreňov je negatívny. Pretože ich suma sa musí rovnať, menší koreň musí byť záporný: Kontrolujeme:

odpoveď:

Príklad 4:

Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie:

Rovnica je daná, čo znamená:

Voľný termín je negatívny, a preto je produkt koreňov negatívny. A to je možné iba vtedy, keď je jeden koreň rovnice záporný a druhý kladný.

Vyberáme páry čísel, ktorých produkt je rovnaký a potom určíme, aké korene by mali mať záporné znamienka:

Je zrejmé, že iba korene a:

odpoveď:

Príklad č. 5:

Vyriešte rovnicu.

rozhodnutie:

Rovnica je daná, čo znamená:

Súčet koreňov je negatívny, čo znamená, že aspoň jeden z koreňov je negatívny. Ale pretože ich produkt je pozitívny, znamená to obe korene so znamienkom mínus.

Vyberáme dvojice čísel, ktorých produkt sa rovná:

Je zrejmé, že korene sú čísla a.

odpoveď:

Súhlasíte, že je veľmi užitočné prísť s koreňmi verbálne namiesto toho, aby ste počítali s týmto nepríjemným diskriminujúcim. Pokúste sa čo najčastejšie používať Vieta teorém.

Vietorova veta je však potrebná, aby sa uľahčilo a urýchlilo nájdenie koreňov. Ak chcete, aby ste ju mohli využívať, musíte túto akciu automatizovať. A na tento účel vyriešite ďalších päť príkladov. Ale nie podvádzať: nemôžete použiť diskriminačný! Iba Vietova veta:

Riešenie úloh pre samostatnú prácu:

Úloha 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Podľa Vietovej vety:

Ako obvykle, začneme výberom produktu:

Nie je vhodné ako množstvo;

: suma je to, čo potrebujete.

odpoveď:; ,

Úloha 2.

A opäť, naša obľúbená Vieta veta: mala by fungovať celkom, ale produkt je rovnaký.

Ale keďže by to nemalo byť, meníme príznaky koreňov: (a celkom).

odpoveď:; ,

Úloha 3.

Hmm ... A kde to je?

Všetky podmienky je potrebné previesť do jednej časti:

Súčet koreňov je rovnaký, produkt.

Tak prestaň! Rovnica nie je uvedená. Ale Vietova veta je použiteľná iba vo vyššie uvedených rovniciach. Najprv musíte priniesť rovnicu. Ak vedenie zlyhá, zrušte tento podnik a rozhodnite sa iným spôsobom (napríklad prostredníctvom diskriminačného). Dovoľte mi pripomenúť, že priniesť kvadratickú rovnicu znamená vyrovnať vyšší koeficient:

Fine. Potom je súčet koreňov rovnaký a produkt.

Tu je ľahšie si vybrať: je to vynikajúci produkt (prepáčte za tautológiu).

odpoveď:; ,

Úloha 4.

Zadarmo člen je negatívny. Čo je na tom také zvláštne? A skutočnosť, že korene budú rôzne znaky. A teraz pri výbere nekontrolujeme súčet koreňov, ale rozdiel ich modulov: tento rozdiel je rovnaký, ale produkt.

Takže korene sú rovnaké a jeden z nich s mínusom. Vietova veta hovorí, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom, to znamená. Takže menší koreň bude mať mínus: a od tej doby.

odpoveď:; ,

Úloha 5.

Čo musíte urobiť ako prvé? Správne zadajte rovnicu:

Opäť: vyberáme faktory čísla a ich rozdiel by sa mal rovnať:

Korene sú rovnaké a jeden z nich je negatívny. Ktorý? Ich suma by mala byť rovnaká, čo znamená, že bude mať väčší koreň s mínusom.

odpoveď:; ,

Zhrnúť:

1. Vietova veta sa používa iba v daných kvadratických rovniciach.
2. Pomocou Vietovej vety je možné nájsť korene výberom, a to ústne.
3. Ak rovnica nie je daná alebo nie je nájdený vhodný pár faktorov voľného termínu, potom neexistujú žiadne celočíselné korene a musia sa riešiť iným spôsobom (napríklad prostredníctvom diskriminačného).

3. Metóda zvýraznenia celého štvorca

Ak sú všetky výrazy obsahujúce neznáme údaje reprezentované ako výrazy zo vzorcov skráteného násobenia - druhá mocnina súčtu alebo rozdielu - potom po zmene premenných možno rovnicu reprezentovať ako neúplnú kvadratickú rovnicu typu.

Napríklad:

Príklad 1:

Vyriešte rovnicu:

rozhodnutie:

odpoveď:

Príklad 2:

Vyriešte rovnicu:

rozhodnutie:

odpoveď:

Vo všeobecnosti bude transformácia vyzerať takto:

To znamená:.

Nepodobá sa nič? To je diskriminačné! To je všetko, získal sa diskriminačný vzorec.

QUADRATICKÉ ZARIADENIA. STRUČNÉ INFORMÁCIE O HLAVE

Kvadratická rovnicaje rovnica tvaru, kde nie je známa, sú koeficienty kvadratickej rovnice, je voľný pojem.

Plná kvadratická rovnica - rovnicu, v ktorej koeficienty nie sú rovné nule.

Kvadratická rovnica - rovnicu, v ktorej je koeficient, tj:

Neúplná kvadratická rovnica - rovnica, v ktorej sa koeficient a / alebo voľný člen s rovná nule:

• ak je koeficient, rovnica má tvar :,
• ak je voľný termín, má rovnica tvar :,
• ak a, rovnica má tvar:

1. Algoritmus na riešenie neúplných kvadratických rovníc

1.1. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vyjadrite neznáme :,

2) Skontrolujte znak výrazu:

• ak potom rovnica nemá riešenia,
• ak, potom má táto rovnica dva korene.

1.2. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

1) Vydeľte spoločný faktor z hranatých zátvoriek :,

2) Produkt sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Preto má táto rovnica dva korene:

1.3. Neúplná kvadratická rovnica tvaru, kde:

Táto rovnica má vždy iba jeden koreň :.

2. Algoritmus na riešenie úplných kvadratických rovníc tvaru kde

2.1. Diskriminačné rozhodnutie

1) Prinášame rovnicu do štandardného tvaru :,

2) Počítame diskriminačného vzorca pomocou vzorca:, ktorý udáva počet koreňov rovnice:

3) Nájdite korene rovnice:

• ak, potom má rovnica korene, ktoré sa nachádzajú podľa vzorca:
• ak, potom má rovnica koreň, ktorý sa nachádza podľa vzorca:
• ak, potom rovnica nemá korene.

2.2. Riešenie pomocou vietovej vety

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice (rovnice tvaru, kde) je rovnaký a súčin koreňov je rovnaký, t.j. a.

2.3. Úplné štvorcové riešenie