Platí pravidlo, ako pridať dve záporné čísla. Učiteľ matematiky o práci s pravidlom negatívneho odčítania
Sčítanie záporných čísel.
Súčet záporných čísel je záporný. Modul súčtu sa rovná súčtu modulov členov.
Pozrime sa, prečo je záporný aj súčet záporných čísel. Pomôže nám v tom súradnicová čiara, na ktorej vykonáme sčítanie čísel -3 a -5. Označme na súradnicovej čiare bod zodpovedajúci číslu -3.
K číslu -3 musíme pridať -5. Kam pôjdeme z bodu zodpovedajúceho číslu -3? Pravá ľavá! 5 jednotkových segmentov. Bod označíme a napíšeme k nemu zodpovedajúce číslo. Toto číslo je -8.
Takže pri vykonávaní sčítania záporných čísel pomocou súradnicovej čiary sme neustále vľavo od počiatku, preto je zrejmé, že výsledkom sčítania záporných čísel je aj záporné číslo.
Poznámka. Doplnili sme čísla -3 a -5, t.j. našla hodnotu výrazu -3 + (- 5). Spravidla pri pridávaní racionálne čísla jednoducho zapíšu tieto čísla svojimi znakmi, ako keby vymenovali všetky čísla, ktoré je potrebné pridať. Toto sa nazýva algebraický súčet. Použite (v našom príklade) notáciu: -3-5 \u003d -8.
Príklad. Nájdite súčet záporných čísel: -23-42-54. (Súhlasíte s tým, že tento záznam je kratší a pohodlnejší takto: -23 + (- 42) + (- 54))?
Riešime podľa pravidla sčítania záporných čísel: doplňte moduly výrazov: 23 + 42 + 54 \u003d 119. Výsledok bude so znamienkom mínus.
Zvyčajne sa to píše takto: -23-42-54 \u003d -119.
Sčítanie čísel s rôznymi znamienkami.
Súčet dvoch čísel s rôznymi znamienkami má znamienko člena s veľkým modulom. Ak chcete zistiť modul súčtu, odčítajte menší od väčšieho modulu.
Sčítajme čísla s rôznymi znamienkami pomocou súradnicovej čiary.
1) -4 + 6. K číslu -4 je potrebné pridať číslo 6. Označme číslo -4 bodom na súradnicovej čiare. Číslo 6 je kladné, takže z bodu so súradnicou -4 musíme ísť doprava o 6 jednotkových segmentov. Boli sme napravo od počiatku (od nuly) na 2 jednotkových segmentoch.
Výsledkom súčtu čísel -4 a 6 je kladné číslo 2:
- 4 + 6 \u003d 2. Ako ste mohli získať číslo 2? Odpočítajte 4 od 6, t.j. od väčšieho modulu odčítajte menší. Výsledok má rovnaké znamienko ako výraz s veľkým modulom.
2) Vypočítajme: -7 + 3 pomocou súradnicovej čiary. Označíme bod zodpovedajúci číslu -7. Ideme doprava o 3 segmenty jednotky a získame bod so súradnicami -4. Boli sme a zostali sme naľavo od pôvodu: odpoveď je záporné číslo.
- 7 + 3 \u003d -4. Tento výsledok by sme mohli získať takto: od väčšieho modulu odčítame menší, t.j. 7-3 \u003d 4. Vo výsledku dáme znamienko výrazu s väčším modulom: | -7 |\u003e | 3 |.
Príklady. Vypočítať: a) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.
V rámci tohto materiálu sa budeme zaoberať tak dôležitou témou, ako je sčítanie záporných čísel. V prvom odseku vysvetlíme základné pravidlo pre túto akciu a v druhom analyzujeme konkrétne príklady riešenie podobných problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Základné pravidlo pre sčítanie prirodzených čísel
Pred odvodením pravidla si pripomeňme, čo všeobecne vieme o pozitívnych a záporné číslax. Predtým sme sa zhodli, že negatívne čísla by sa mali vnímať ako dlh, strata. Modul záporného čísla vyjadruje presnú veľkosť tejto straty. Potom sa sčítanie záporných čísel môže považovať za sčítanie dvoch strát.
Pomocou tohto uvažovania sformulujeme základné pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
Definícia 1
Aby sa splnilo sčítanie záporných čísel, musíte pridať hodnoty ich modulov a pred výsledok umiestniť mínus. V doslovnom tvare vzorec vyzerá ako (- a) + (- b) \u003d - (a + b).
Na základe tohto pravidla môžeme dospieť k záveru, že pridávanie záporných čísel je podobné ako pridávanie kladných čísel, len nakoniec musíme nevyhnutne získať záporné číslo, pretože pred súčet modulov musí byť uvedené znamienko mínus.
Aký dôkaz o tomto pravidle možno podať? Aby sme to dosiahli, musíme si zapamätať základné vlastnosti akcií s reálnymi číslami (buď s celými číslami, alebo s racionálnymi - sú rovnaké pre všetky tieto typy čísel). Aby sme to dokázali, stačí preukázať, že rozdiel medzi ľavou a pravou stranou rovnosti (- a) + (- b) \u003d - (a + b) bude rovný 0.
Odčítanie jedného čísla od druhého je rovnaké ako pridanie rovnakého opačného čísla. Preto (- a) + (- b) - (- (a + b)) \u003d (- a) + (- b) + (a + b). Pripomeňme, že číselné výrazy s prídavkom majú dve hlavné vlastnosti - kombinačné a posunové. Potom môžeme dospieť k záveru, že (- a) + (- b) + (a + b) \u003d (- a + a) + (- b + b). Od pridania opačných čísel dostaneme vždy 0, potom (- a + a) + (- b + b) \u003d 0 + 0 a 0 + 0 \u003d 0. Naša rovnosť sa dá považovať za preukázanú, čo znamená, že pravidlo pre sčítanie záporné čísla sme to dokázali tiež.
V druhom odseku sa zameriame na konkrétne problémy, pri ktorých je potrebné pridať záporné čísla, a pokúsime sa na ne uplatniť naučené pravidlo.
Príklad 1
Nájdite súčet dvoch záporných čísel - 304 a - 18 007.
Rozhodnutie
Postupujme podľa krokov krok za krokom. Najskôr musíme nájsť moduly čísel, ktoré sa majú pridať: - 304 \u003d 304, - 180007 \u003d 180007. Ďalej musíme vykonať akciu sčítania, pre ktorú použijeme metódu počítania stĺpcov:
Ostáva nám iba dať mínus pred výsledok a získať - 18 311.
Odpoveď: - - 18 311 .
Závisí to od toho, aké čísla máme, k tomu, čo môžeme znížiť sčítaním: k nájdeniu súčtu prirodzených čísel, k sčítaniu bežných alebo desatinných zlomkov. Poďme analyzovať problém s takýmito číslami.
Príklad N
Nájdite súčet dvoch záporných čísel - 2 5 a - 4, (12).
Rozhodnutie
Nájdite moduly požadovaných čísel a získate 2 5 a 4, (12). Skončili sme s dvoma rôznymi frakciami. Zredukujme problém na pridanie dvoch bežných zlomkov, pre ktoré reprezentujeme periodický zlomok vo forme obyčajného:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Vo výsledku sme dostali zlomok, ktorý bude ľahké pridať s prvým začiatočným termínom (ak ste zabudli, ako správne pridať zlomky s rôznymi menovateľmi, opakujte príslušný materiál).
2 5 + 136 33 \u003d 2 33 5 33 + 136 5 33 5 \u003d 66 165 + 680 165 \u003d 764 165 \u003d 4 86 105
Vo výsledku sme dostali zmiešané číslo, pred ktoré nám stačí vložiť iba mínus. Týmto sú výpočty dokončené.
Odpoveď: - 4 86 105 .
Skutočné záporné čísla sa pridávajú podobným spôsobom. Zvyčajne sa zaznamenáva výsledok takejto akcie. číselné vyjadrenie... Jeho hodnotu nemožno vypočítať alebo obmedziť na približné výpočty. Napríklad, ak potrebujeme zistiť súčet - 3 + (- 5), odpoveď napíšeme ako - 3 - 5. Sčítaniu reálnych čísel sme venovali samostatný materiál, v ktorom nájdete ďalšie príklady.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter
Pravidlo sčítania záporných čísel
Ak si spomeniete na hodinu matematiky a na tému „Sčítanie a odčítanie čísel s rôznymi znamienkami“, potom na doplnenie dvoch záporných čísel potrebujete:
- pridať ich moduly;
- pridať k prijatej sume znamienko „-“.
Podľa pravidla pridávania môžete písať:
$ (- a) + (- b) \u003d - (a + b) $.
Pravidlo záporného sčítania platí pre záporné celé čísla, racionálne čísla a reálne čísla.
Príklad 1
Pridajte záporné čísla $ −185 $ a $ −23 \\ 789 $
Rozhodnutie.
Použime pravidlo sčítania záporných čísel.
Nájdeme dátové moduly čísel:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Sčítajme získané čísla:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Pred nájdené číslo vložte znak $ „-“ $ a získate $ −23 \\ 974 $.
Stručná notácia riešenia: $ (- 185) + (- 23 \\ 789) \u003d - (185 + 23 \\ 789) \u003d - 23 \\ 974 $.
Odpoveď: $−23 \ 974$.
Pri sčítaní záporných racionálnych čísel je potrebné ich prevádzať do formy prirodzených čísel, bežných alebo desatinných zlomkov.
Príklad 2
Pridajte záporné čísla $ - \\ frac (1) (4) $ a $ −7,15 $.
Rozhodnutie.
Podľa pravidla pre pridávanie záporných čísel musíte najskôr zistiť súčet modulov:
$ | - \\ frac (1) (4) | \u003d \\ frac (1) (4) $;
Je vhodné redukovať získané hodnoty na desatinné zlomky a vykonať ich sčítanie:
$ \\ frac (1) (4) \u003d 0,25 $;
$0,25+7,15=7,40$.
Vložte znak $ „-“ $ pred výslednú hodnotu a získajte $ –7,4 $.
Zhrnutie riešenia:
$ (- \\ frac (1) (4)) + (- 7,15) \u003d - (\\ frac (1) (4) +7,15) \u003d - (0,25 + 7,15) \u003d - 7, 4 doláre.
Ak chcete pridať kladné a záporné číslo, musíte:
- vypočítať moduly čísel;
- ak sú rovnaké, potom sú pôvodné čísla opačné a ich súčet sa rovná nule;
- ak nie sú rovnaké, musíte si zapamätať znamienko čísla, ktoré má väčší modul;
odčítajte menší od väčšieho modulu;
- pred prijatú hodnotu vložte znamienko čísla s najväčším modulom.
porovnaj získané čísla:
Sčítanie čísel s opačnými znamienkami sa rovná odpočítaniu menšieho záporného čísla od väčšieho kladného čísla.
Pravidlo pre sčítanie čísel s opačnými znamienkami je splnené pre celé čísla, racionálne a reálne čísla.
Príklad 3
Sčítajte čísla $ 4 $ a $ −8 $.
Rozhodnutie.
Je potrebné vykonať sčítanie čísel s opačnými znamienkami. Použime príslušné pravidlo sčítania.
Nájdeme dátové moduly čísel:
Modul čísla $ −8 $ je väčší ako modul čísla $ 4 $, t.j. pamätajte na znamienko $ "-" $.
Pred výsledné číslo dáme znak $ „-“ $, ktorý sa pamätal, a dostaneme $ −4. $
Zhrnutie riešenia:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Odpoveď: $4+(−8)=−4$.
Ak chcete pridať racionálne čísla s opačnými znamienkami, je vhodné ich reprezentovať ako bežné alebo desatinné zlomky.
Odčítajte čísla s rôznymi a zápornými znamienkami
Pravidlo pre odpočítanie záporných čísel:
Ak chcete odpočítať záporné číslo $ b $ od čísla $ a $, pridajte číslo $ −b $ k zníženému $ a $, čo je opak odčítaného $ b $.
Podľa pravidla odčítania môžete písať:
$ a - b \u003d a + (- b) $.
Toto pravidlo platí pre celé čísla, racionálne a reálne čísla. Pravidlo sa dá použiť pri odčítaní záporného čísla od kladného čísla, od záporného čísla a od nuly.
Príklad 4
Od záporného čísla $ −28 $ odčítajte záporné číslo $ -5 $.
Rozhodnutie.
Opačné číslo pre $ –5 $ je $ 5 $.
Podľa pravidla pre odčítanie záporných čísel dostaneme:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Pridajme čísla s opačnými znamienkami:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odpoveď: $(−28)−(−5)=−23$.
Pri odčítaní záporného zlomkové čísla musíte previesť čísla na formu bežných zlomkov, zmiešaných čísel alebo desatinných zlomkov.
Sčítanie a odčítanie čísel s rôznymi znamienkami
Pravidlo pre odpočítanie čísel s opačnými znamienkami je rovnaké ako pravidlo pre odpočítanie záporných čísel.
Príklad 5
Od kladného čísla $ −11 $ odpočítajte kladné číslo.
Rozhodnutie.
Opačné číslo pre $ 7 $ je $ –7 $.
Podľa pravidla pre odčítanie čísel s opačnými znamienkami dostaneme:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Pridajme záporné čísla:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Stručná notácia riešenia: $ (- 28) - (- 5) \u003d (- 28) +5 \u003d - (28−5) \u003d - 23 $.
Odpoveď: $(−11)−7=−18$.
Pri odčítaní zlomkov s rôznymi znamienkami je potrebné previesť čísla na formu bežných alebo desatinných zlomkov.
Začnime s jednoduchý príklad... Určte, čo sa rovná výraz 2-5. Z bodu +2 odložte päť dielikov, dve na nulu a tri pod nulu. Zastavme sa v bode -3. To znamená, 2-5 \u003d -3. Teraz si všimnite, že 2-5 sa vôbec nerovná 5-2. Ak v prípade sčítania čísel nezáleží na ich poradí, tak v prípade odčítania je všetko inak. Na poradí čísel záleží.
Teraz poďme na negatívna oblasť váhy. Predpokladajme, že musíte pridať +5 do -2. (Odteraz budeme dávať znamienka „+“ pred kladné čísla a do zátvoriek uvádzať kladné aj záporné čísla, aby sme nezamieňali znamienka pred číslami so znakmi sčítania a odčítania.) Teraz náš problém môže písať ako (-2) + (+5). Ak to chcete vyriešiť, choďte hore o päť divízií z bodu -2 a ocitnite sa v bode +3.
Má táto úloha nejaký praktický význam? Samozrejme. Predpokladajme, že máte dlhy 2 doláre a zarobili ste 5 dolárov. Po splatení dlhu teda budete mať 3 doláre.
Môžete sa tiež posunúť nadol v zápornej oblasti stupnice. Predpokladajme, že musíte odpočítať 5 od -2 alebo (-2) - (+ 5). Od bodu -2 na stupnici odložte päť divízií a ocitnite sa v bode -7. Aký je praktický význam tejto úlohy? Predpokladajme, že ste mali dlh 2 doláre a museli ste si požičať ďalších 5 dolárov. Teraz je váš dlh 7 dolárov.
Vidíme to so zápornými číslami rovnaké operácie sčítania a odčítaniaako s pozitívnymi.
Je pravda, že ešte nemáme zvládnuté všetky operácie. Pridali sme iba k záporným číslam a od záporných čísel sme odčítali iba kladné čísla. Čo však v prípade, že potrebujete sčítať záporné čísla alebo odčítať záporné čísla od záporných čísel?
V praxi je to podobné ako pri dlhových transakciách. Predpokladajme, že vám bol odpísaný dlh vo výške 5 dolárov, to znamená to isté, ako keby ste dostali 5 dolárov. Na druhej strane, ak vás nejako prinútim prijať zodpovednosť za dlh niekoho v hodnote 5 dolárov, je to to isté, ako keby vám tých 5 dolárov odobrali. To znamená, že odčítanie -5 je to isté ako pridanie +5. A pripočítanie -5 je to isté ako odčítanie +5.
To nám umožňuje zbaviť sa operácie odčítania. „5-2“ je v skutočnosti to isté ako (+5) - (+ 2) alebo podľa nášho pravidla (+5) + (- 2). V obidvoch prípadoch dostaneme rovnaký výsledok. Z bodu +5 na stupnici musíme ísť dole o dve divízie a dostaneme +3. V prípade 5-2 je to zrejmé, pretože odčítanie je pohyb nadol.
V prípade (+5) + (- 2) je to menej zrejmé. Pridáme číslo, čo znamená posunúť sa o stupnicu vyššie, ale pridáme záporné číslo, to znamená, že urobíme opak, a tieto dva faktory, dohromady, znamenajú, že sa musíme posunúť nie po stupnici, ale naopak smer, to je cesta dole.
Takto opäť dostávame odpoveď +3.
Prečo v skutočnosti potrebujete nahradiť odčítanie sčítaním? Prečo postupovať hore „v opačnom zmysle“? Nie je jednoduchšie len posunúť sa nadol? Dôvod je ten, že v prípade sčítania nezáleží na poradí výrazov, zatiaľ čo v prípade odčítania je to veľmi dôležité.
Už sme skôr zistili, že (+5) - (+ 2) nie je to isté ako (+2) - (+ 5). V prvom prípade je odpoveď +3 a v druhom -3. Na druhej strane, (-2) + (+ 5) a (+5) + (- 2) poskytujú +3. Takže prechodom na operácie sčítania a opustením operácií odčítania sa môžeme vyhnúť náhodným chybám spojeným s preskupením výrazov.
Podobne môžete postupovať pri odčítaní záporného čísla. (+5) - (- 2) je rovnaké ako (+5) + (+ 2). V obidvoch prípadoch dostaneme odpoveď +7. Začíname v bode +5 a pohybujeme sa „nadol v opačnom smere“, to znamená nahor. Rovnakým spôsobom by sme postupovali aj pri riešení výrazu (+5) + (+ 2).
Študenti aktívne využívajú nahradenie odčítania sčítaním, keď začnú študovať algebru, a preto sa táto operácia nazýva „Algebraické doplnenie“... To v skutočnosti nie je tak celkom pravda, pretože takáto operácia je zjavne aritmetická a už vôbec nie algebraická.
Tieto vedomosti sú nemenné pre všetkých, takže aj keď študujete v Rakúsku cez www.salls.ru, aj keď je štúdium v \u200b\u200bzahraničí cennejšie, budete tam môcť tieto pravidlá uplatniť.