Na porovnávanie čísel existujú určité pravidlá. Zvážte nasledujúci príklad.

Včera ukazoval teplomer teplotu 15 ° C a dnes je teplota 20 ° C. Dnes je teplejšia ako včera. Číslo 15 je menšie ako číslo 20, môžeme to napísať takto: 15< 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

Teraz zvážte záporné teploty. Včera bolo vonku -12 ° C a dnes -8 ° C. Dnes je teplejšie ako včera. Preto sa predpokladá, že číslo -12 je nižšie ako číslo -8. Na vodorovnej súradnicovej osi je bod s hodnotou -12 umiestnený vľavo od bodu s hodnotou -8. Môžeme to napísať: -12< -8.

Ak teda porovnávate čísla pomocou vodorovnej súradnicovej čiary, z týchto dvoch čísiel je menšie číslo, ktorého obrázok na súradnicovej čiare je vľavo a väčší, ktorého obrázok je umiestnený vpravo. Napríklad na obrázku máme A\u003e B a C, ale B\u003e C.

Na súradnicovej línii sú kladné čísla umiestnené vpravo od nuly a záporné čísla sú vľavo od nuly, akékoľvek kladné číslo je väčšie ako nula a akékoľvek záporné číslo je menšie ako nula, a preto akékoľvek záporné číslo menšie ako akékoľvek kladné číslo.

Takže prvá vec, ktorú musíte pri porovnávaní čísel venovať, sú znaky porovnávaných čísel. Číslo mínus (záporné) je vždy menšie ako kladné.

Ak porovnáme dve záporné čísla, potom musíme porovnať ich moduly: čím väčšie je číslo, ktorého modul je menší, a menšie číslo, ktorého modul je menšie. Napríklad -7 a -5. Porovnávané čísla sú záporné. Porovnať ich moduly 5 a 7. 7 je viac ako 5, čo znamená, že -7 je menej ako -5. Ak sú na súradnicovej čiare vyznačené dve záporné čísla, potom menšie číslo bude vľavo a väčšie bude vpravo. -7 je vľavo od -5, čo znamená -7< -5.

Porovnanie bežných frakcií

Z dvoch frakcií s rovnakými menovateľmi je menšia frakcia s menším čitateľom a väčšia frakcia s väčším čitateľom.

Zlomky môžete porovnávať iba s rovnakými menovateľmi.

Algoritmus spoločného zlomku

1) Ak má zlomok celočíselnú časť, začína sa s porovnaním. Väčší bude zlomok, v ktorom je celá časť väčšia. Ak zlomky nemajú celočíselnú časť alebo sú si rovnaké, prejdite na nasledujúci odsek.

2) Ak frakcie s rôznymi menovateľmi ich musia priviesť k spoločnému menovateľovi.

3) Porovnajte čitateľa zlomkov. Zlomok s čitateľom je väčší.

Upozorňujeme, že zlomok s celočíselnou časťou bude vždy väčší ako zlomok bez celočíselnej časti.

Desatinné porovnanie

Desatinné miesta je možné porovnávať iba s rovnakým počtom číslic (znakov) napravo od čiarky.

Algoritmus porovnania desatinných miest

1) Venujte pozornosť počtu znakov napravo od čiarky. Ak je počet číslic rovnaký, môžeme začať porovnávanie. Ak nie, pridajte požadovaný počet núl do jednej z desatinných zlomkov.

2) Porovnajte desatinné zlomky zľava doprava: celé čísla s celými číslami, desatiny s desatinami, stotiny so stotinami atď.

3) Frakcia bude väčšia, v ktorej je jedna z častí väčšia ako v druhej frakcii (začneme porovnávanie s celými číslami: ak je celá časť jednej frakcie väčšia, potom je celá frakcia väčšia).

Napríklad porovnajte desatinné zlomky:

1) Pridajte prvú frakciu požadované množstvo nuly na vyrovnanie počtu desatinných miest

57,300 a 57,321

2) Začneme porovnávať zľava doprava:

celé čísla s celými číslami: 57 \u003d 57;

desatiny a desatiny: 3 \u003d 3;

stotiny a stotiny: 0< 2.

Keďže sa ukázalo, že stotiny prvej desatinnej frakcie boli menšie, bude celá frakcia menšia:

57,300 < 57,321

blog.site s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Tento článok poskytuje podrobný prehľad najdôležitejších bodov týkajúcich sa porovnávanie racionálnych čísel, Ak sú znaky porovnávaných čísel rôzne, môžete okamžite povedať, ktoré číslo je väčšie a ktoré je menšie, takže na začiatku analyzujeme pravidlo porovnávania racionálnych čísel s rôznymi znakmi. Ďalej sa budeme zaoberať porovnaním nuly s iným racionálnym číslom. Potom sa podrobne zaoberáme porovnaním pozitívnych racionálnych čísel. Nakoniec prejdeme k pravidlu porovnávania záporných racionálnych čísel. Teóriu rozriedime riešeniami typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Porovnanie racionálnych čísel s rôznymi znakmi

Najjednoduchšie na to porovnanie dvoch racionálnych čísel s rôznymi znakmi, Používa sa pravidlo porovnávania čísel s rôznymi znakmi: akékoľvek kladné číslo je väčšie ako akékoľvek záporné a akékoľvek záporné číslo je menšie ako kladné.

Napríklad z dvoch racionálnych čísel 5/7 a −0,25 je číslo 5/7 väčšie, pretože je kladné a číslo −0,25 je menšie, pretože je záporné. Ďalší príklad: záporné racionálne číslo je menšie ako kladné racionálne číslo 0,000 (1).

Porovnanie racionálneho čísla s nulou

Veľmi jednoduché porovnanie nuly s racionálnym číslomnenulové. Platí pravidlo: akékoľvek kladné číslo je väčšie ako nula a záporné číslo je menšie ako nula.

Tu je niekoľko príkladov porovnania racionálneho čísla s nulou. Číslo 4/9 je väčšie ako 0, pretože 4/9 je kladné číslo, na druhej strane 0 je menšie ako 4/9. Ďalší príklad: číslo 0 je väčšie ako záporné racionálne číslo −45,5, na druhej strane je číslo −45,5 menšie ako nula.

Musíte tiež povedať niečo o nulové až nulové porovnanie: nula je nula, to znamená, 0 \u003d 0.

Tu treba poznamenať, že číslo nula môže byť zapísané inou formou ako 0. Číslo 0 skutočne zodpovedá každému záznamu vo formulári 0 / n, kde n je celé kladné celé číslo, alebo zápisy 0,0, 0,00, ..., až 0, (0). To znamená napríklad pri porovnaní dvoch racionálnych čísel, ktorých zápisy majú tvar 0,00 a 0/3, usudzujeme, že sú rovnaké, pretože tieto zápisy zodpovedajú číslam 0 a 0.

Porovnanie pozitívnych racionálnych čísel

Porovnanie pozitívnych racionálnych čísel začnite porovnaním ich celých častí. Je to použité podľa pravidla: čím väčšie číslo, tým väčšia časť je väčšia a čím menšie číslo, tým väčšia časť.

Príklad.

Ktoré racionálne číslo je 0,76 alebo viac?

Rozhodnutie.

Porovnávané racionálne čísla sú pozitívne a je celkom zrejmé, že celá časť čísla 0,76, ktorá sa rovná nule, je menšia ako celá časť čísla rovnajúca sa dvom (ak je to potrebné, pozri porovnanie celých čísel). To znamená, že z dvoch počiatočných čísel je väčšie číslo.

odpoveď:

Nuansy pri uplatňovaní vyššie uvedeného pravidla môžu vzniknúť iba vtedy, keď jedným z porovnávaných čísel je periodická desatinná zlomok s periódou 9, ktorú sme uviedli v oddiele rovnaké a nerovnaké desatinné zlomky.

Príklad.

Porovnať racionálne čísla 15 a 14, (9).

Rozhodnutie.

Periodická frakcia s periódou 9 formulára 14, (9) je iba jednou formou zápisu čísla 15. To znamená, 15 \u003d 14, (9).

odpoveď:

Počiatočné racionálne čísla sú rovnaké.

Ak sú celé časti porovnávaných racionálnych čísel rovnaké, konečný výsledok porovnania pomôže získať porovnanie zlomkových častí. Zlomková časť racionálneho čísla môže byť vždy reprezentovaná ako obyčajná zlomok m / n, ako aj vo forme konečnej alebo periodickej desatinnej zlomky. Porovnanie zlomkových častí dvoch pozitívnych racionálnych čísel sa teda môže vždy znížiť na porovnanie bežných zlomkov alebo na porovnanie desatinných zlomkov. Výsledkom je, že z dvoch pozitívnych racionálnych čísel s rovnakými celočíselnými časťami je väčšia jej zlomková časť väčšia a menšia zlomková časť je menšia.

Príklad.

Porovnajte kladné racionálne čísla 3.7 a.

Rozhodnutie.

Je zrejmé, že porovnávané celé čísla racionálnych čísel sú 3 \u003d 3. Prejdeme k porovnaniu zlomkových častí, to znamená k porovnaniu čísel 0,7 a 2/3.

Ukazujeme dvoma spôsobmi.

V prvom preložte desatinné číslo na obyčajné: 0,7 \u003d 7/10. Prišli sme k porovnaniu bežných frakcií 7/10 a 2/3. Po ich redukcii na spoločného menovateľa 30 sa dostaneme tam, kde to vyplýva a. Preto,.

V druhej verzii riešenia preložíme obyčajný zlomok na desatinné miesto. Takže z porovnania 0,7 a 2/3 sme dospeli k porovnaniu desatinných zlomkov 0,7 a 0, (6), ktorých výsledok je: 0,7\u003e 0, (6). Preto a.

Je zrejmé, že obe metódy nás viedli k rovnakému výsledku porovnania počiatočných racionálnych čísel.

odpoveď:

Ak sú celé a zlomkové časti porovnávaných pozitívnych racionálnych čísel rovnaké, potom sú tieto čísla rovnaké.

Príklad.

Porovnať čísla 4,5 a.

Rozhodnutie.

Je zrejmé, že celé čísla sú rovnaké. Zlomková časť číslo 4,5 sa rovná 0,5, prepočet tohto desatinného čísla na obyčajný dáva 1/2. Teda zlomkové časti pôvodných čísel sú rovnaké. Počiatočné racionálne čísla sú preto rovnaké.

odpoveď:

Záverom tohto odseku je nasledujúce tvrdenie: Ak sa údaje porovnávaných čísel úplne zhodujú, potom sú tieto čísla rovnaké. V tomto prípade sú celé čísla a zlomkové časti porovnávaných čísel rovnaké. Napríklad racionálne čísla 5 698 a 5 698 sú rovnaké a čísla sú rovnaké.

Porovnanie záporných racionálnych čísel

Porovnanie záporných racionálnych čísel dodržiava pravidlo porovnania záporných čísiel: z dvoch záporných čísiel je väčšie číslo, ktorého modul je menší, a menšie je číslo, ktorého modul je väčší.

Toto pravidlo obmedzuje porovnávanie negatívnych racionálnych čísel na porovnávanie pozitívnych racionálnych čísel diskutovaných v predchádzajúcej časti.

1. Aké čísla chýbajú? a) 497, 498, ..., 500; b) 902, 901, ..., 899. Čo znamená každá číslica v zázname čísel 902 a 498?
Aké sú susediace čísla pre číslo 498, ďalšie číslo pre číslo 899, predchádzajúce číslo pre číslo 700.

2. Porovnať (\u003e 799 * 800 701 * 703
65 * 67 650 * 648
Ako porovnávať viac číslic?

3. Tin Man naučil strašiaka, aby porovnával čísla pomocou číselnej čiary. Potreboval porovnať čísla 231 a 233. Urobil to takto. Výsledok bol zaznamenaný: 231 Strašiak tiež učil drevorubač porovnávať čísla. Povedal, že dokáže porovnávať čísla pomocou číslic.
Napríklad: 54 700; 370; 698 * 798 456 * 458
712 * 721 534 * 367

4. Porovnať

5. Express
a) v stovkách: 900, 700, 200, 500, 400;
b) v desiatkach: 60, 120, 240, 400.

6. Ellie prišla s úlohou a zostavila stôl. Aký by mohol byť text tejto úlohy?

7. Vyberte hodnoty premenných a problém vyriešite rôznymi spôsobmi.
Blinkre dali Brave Leo 3 zlaté zvony vážiace každý kilogram a každý rovnaký počet zlatých golierov vážiacich každý kilogram. Aká je hmotnosť všetkých týchto darov?

8. Ktoré skupiny možno rozdeliť na darčeky Migun? Aký je objem škatule, ak je jej dĺžka 5 dm, šírka 30 cm, výška 200 mm? Vyjadrte objem v kubických decimetroch. Piata časť škatule je zlatá čiapka Bastindy. Aký je objem tejto časti škatule?

Pokračujeme v štúdiu racionálnych čísel. V tejto lekcii sa ich naučíme porovnávať.

Z predchádzajúcich lekcií sme sa dozvedeli, že čím viac je číslo umiestnené na súradnicovej čiare, tým väčšie je. Čím viac je číslo vľavo umiestnené na súradnicovej čiare, tým menšie je.

Napríklad, ak porovnáte čísla 4 a 1, môžete okamžite odpovedať, že číslo 4 je viac ako 1. Toto je úplne logické vyhlásenie a všetci s tým budú súhlasiť.

Ako dôkaz môžeme uviesť súradnicu. Ukazuje, že štyri klamstvá sú vpravo od jednotky

V tomto prípade existuje pravidlo, ktoré sa môže v prípade potreby použiť. Vyzerá to takto:

Z týchto dvoch kladných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je väčší.

Ak chcete odpovedať na otázku, ktoré číslo je väčšie a ktoré je menšie, musíte najskôr nájsť moduly týchto čísel, porovnať tieto moduly a potom na otázku odpovedať.

Napríklad porovnajte rovnaké čísla 4 a 1 podľa vyššie uvedeného pravidla

Nájdite moduly čísel:

|4| = 4

|1| = 1

Porovnať nájdené moduly:

4 > 1

Odpovedáme na otázku:

4 > 1

Pre záporné čísla existuje ďalšie pravidlo, ktoré vyzerá takto:

Z týchto dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší.

Napríklad porovnajte čísla −3 a −1

Nájdite moduly čísel

|−3| = 3

|−1| = 1

Porovnať nájdené moduly:

3 > 1

Odpovedáme na otázku:

−3 < −1

Nemôžete zamieňať modul čísla so samotným číslom. Častou chybou mnohých začiatočníkov. Napríklad, ak je modul −3 väčší ako modul −1, neznamená to, že −3 je väčší ako −1.

Číslo −3 je menšie ako číslo −1. To možno pochopiť pomocou súradnicovej čiary.

Je vidieť, že číslo −3 leží vľavo ako −1. Ale vieme, že vľavo, tým menej.

Ak porovnáme záporné číslo s kladným číslom, potom bude odpoveď prosiť sama za seba. Akékoľvek záporné číslo bude menšie ako akékoľvek kladné číslo. Napríklad −4 je menej ako 2

Je vidieť, že −4 leží vľavo ako 2. A vieme, že „vľavo, tým menej“.

V prvom rade sa musíte pozrieť na znaky čísel. Mínus pred číslom povie, že číslo je záporné. Ak znamienko čísla chýba, potom je číslo kladné, ale kvôli prehľadnosti si ho môžete zapísať. Pripomeňme, že toto je znamienko plus

Ako príklad sme uvažovali celé čísla tvaru -4, −3 −1, 2. Porovnávanie týchto čísel a ich vykreslenie na súradnicovú čiaru nie je ťažké.

Je oveľa ťažšie porovnávať iné druhy čísel, ako sú bežné zlomky, zmiešané čísla a desatinné zlomky, z ktorých niektoré sú záporné. V zásade tu musíte použiť pravidlá, pretože nie vždy je možné presne zobraziť tieto čísla na súradnicovej čiare. V niektorých prípadoch bude potrebných niekoľko, aby sa uľahčilo porovnávanie a vnímanie.

Príklad 1Porovnať racionálne čísla

Takže musíte porovnať záporné číslo s kladným. Akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo. Preto, bez straty času, odpovedáme na to menej ako

Príklad 2

Je potrebné porovnať dve záporné čísla. Z týchto dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší.

Nájdite moduly čísel:

Porovnať nájdené moduly:

Príklad 3 Porovnať čísla 2.34 a

Je potrebné porovnať kladné a záporné číslo. Akékoľvek kladné číslo je väčšie ako akékoľvek záporné číslo. Preto, bez straty času, odpovedáme, že 2,34 viac ako

Príklad 4 Porovnať racionálne čísla a

Nájdite moduly čísel:

Porovnať nájdené moduly. Najprv ich však privedieme do zrozumiteľnej formy, aby sa dali ľahšie porovnávať, konkrétne prevedieme na nesprávne zlomky a privedieme k spoločnému menovateľovi.

Podľa pravidla, z dvoch záporných čísel, tým väčšie je číslo, ktorého modul je menší. Racionálny je teda väčší ako, pretože modul čísla je menší ako modul čísla

Príklad 5

Je potrebné porovnať nulu so záporným číslom. Nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo, takže bez straty času odpovedáme, že 0 je väčšie ako

Príklad 6 Porovnať racionálne čísla 0 a

Je potrebné porovnať nulu s kladným číslom. Nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo, takže bez straty času odpovedáme, že 0 je menšie ako

Príklad 7, Porovnať racionálne čísla 4.53 a 4.403

Je potrebné porovnať dve kladné čísla. Z týchto dvoch kladných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je väčší.

Urobme rovnaký počet číslic za desatinnou čiarkou v oboch zlomkoch. Aby sme to dosiahli, v zlomku 4.53 priraďujeme na konci jednu nulu

Nájdite moduly čísel

Porovnať nájdené moduly:

Podľa pravidla, z dvoch kladných čísel, tým väčšie je číslo, ktorého modul je väčší. Racionálne číslo 4.53 je teda väčšie ako 4,403, pretože modul 4.53 je väčší ako modul 4.403

Príklad 8 Porovnať racionálne čísla a

Je potrebné porovnať dve záporné čísla. Z týchto dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší.

Nájdite moduly čísel:

Porovnať nájdené moduly. Najprv ich však privedieme do zrozumiteľnej formy, aby bolo ľahšie ich porovnávať, konkrétne prekladáme zmiešané číslo do nesprávneho zlomku a potom obidve zlomky uvedieme do spoločného menovateľa:

Podľa pravidla, z dvoch záporných čísel, tým väčšie je číslo, ktorého modul je menší. Racionálny je teda väčší ako, pretože modul čísla je menší ako modul čísla

Porovnávanie desatinných zlomkov je oveľa jednoduchšie ako bežné zlomky a zmiešané čísla. V niektorých prípadoch, pri pohľade na celú časť takejto frakcie, môžete okamžite odpovedať na otázku, ktorá frakcia je väčšia a ktorá je menšia.

Aby ste to dosiahli, musíte porovnať moduly celých častí. Tým sa rýchlo odpovie na otázku v úlohe. Koniec koncov, ako viete, celé časti v desatinných zlomkoch majú hmotnosť väčšiu ako zlomkové.

Príklad 9 Porovnať racionálne čísla 15.4 a 2.1256

Modul celočíselnej frakcie frakcie je o 15,4 väčší ako modul celočíselnej frakcie frakcie 2.1256

preto je frakcia 15.4 väčšia ako frakcia 2.1256

15,4 > 2,1256

Inými slovami, nemuseli sme strácať čas pridávaním núl frakcie 15.4 a výsledné frakcie porovnávať ako obvykle čísla

154000 > 21256

Pravidlá porovnávania zostávajú rovnaké. V našom prípade sme porovnali kladné čísla.

Príklad 10 Porovnať racionálne čísla −15.2 a −0,152

Je potrebné porovnať dve záporné čísla. Z týchto dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší. Porovnávame však iba moduly celých čísel

Vidíme, že modul celej časti frakcie −15.2 je väčší ako modul celej časti frakcie −0,152.

Racionálny −0,152 je teda väčší ako −15,2, pretože modul celočíselnej časti −0,152 je menší ako modul celočíselnej časti −15.2

−0,152 > −15,2

Príklad 11 Porovnať racionálne čísla −3,4 a −3,7

Je potrebné porovnať dve záporné čísla. Z týchto dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší. Porovnávame však iba moduly celých častí. Problém je však v tom, že moduly celých čísel sú rovnaké:

V takom prípade budete musieť použiť starú metódu: nájdite moduly racionálnych čísel a porovnajte ich

Porovnať nájdené moduly:

Podľa pravidla, z dvoch záporných čísel, tým väčšie je číslo, ktorého modul je menší. Preto je racionálna hodnota –3,4 vyššia ako –3,7, pretože absolútna hodnota –3,4 je nižšia ako absolútna hodnota –3,7

−3,4 > −3,7

Príklad 12 Porovnajte racionálne čísla 0, (3) a

Je potrebné porovnať dve kladné čísla. A porovnajte periodickú frakciu s jednoduchou frakciou.

Preneseme periodickú frakciu 0, (3) na obyčajnú frakciu a porovnáme ju s frakciou. Po premene periodickej frakcie 0, (3) na obyčajnú sa stáva frakciou

Nájdite moduly čísel:

Porovnať nájdené moduly. Najprv ich však uvedieme do zrozumiteľnej formy, aby sa dali ľahšie porovnávať, a to spoločným menovateľom:

Podľa pravidla, z dvoch kladných čísel, tým väčšie je číslo, ktorého modul je väčší. Racionálne číslo je teda väčšie ako 0, (3), pretože modul čísla je väčší ako modul 0, (3)

Máte radi lekciu?
Pripojte sa k nám nová skupina Vkontakte a začnite dostávať oznámenia o nových lekciách

Prvá úroveň

Porovnanie čísel. Úplný sprievodca (2019)

Pri riešení rovníc a nerovností, ako aj pri problémoch s modulmi, je potrebné usporiadať nájdené korene na číselný riadok. Ako viete, nájdené korene sa môžu líšiť. Môžu byť takto: alebo môžu byť takto:,.

Preto, ak čísla nie sú racionálne, ale iracionálne (ak ste zabudli, čo to je, pozrite sa do témy), alebo ak ide o zložité matematické výrazy, ich umiestnenie na číselný riadok je veľmi problematické. Kalkulačky na skúške navyše nemožno použiť a približný výpočet neposkytuje 100% záruku, že jedno číslo je menšie ako druhé (čo ak je rozdiel medzi porovnanými číslami?).

Samozrejme viete, že kladné čísla sú vždy viac ako záporné čísla a že ak reprezentujeme číselnú os, potom pri porovnávaní budú najväčšie čísla napravo ako najmenšie :; ; atď.

Je však všetko také ľahké? Kde na číselnej osi si všimneme.

Ako ich porovnávať napríklad s číslom? To je úlovok ...)

Na úvod si povedzme všeobecne, ako a čo porovnávať.

Dôležité: Je žiaduce vykonať premeny, aby sa nezmenil príznak nerovnosti! To znamená, že počas transformácií je nežiaduce vynásobiť záporným číslom a nepovolené štvorcový, ak je jedna z častí negatívna.

Porovnanie zlomkov

Musíme teda porovnať dve frakcie: a.

Existuje niekoľko možností, ako to urobiť.

Možnosť 1. Priniesť frakcie spoločnému menovateľovi.

Píšeme vo forme bežných zlomkov:

- (ako vidíte, znížil som aj čitateľa a menovateľa).

Teraz musíme porovnať zlomky:

Teraz môžeme pokračovať v porovnávaní aj dvoma spôsobmi. Môžeme:

1. jednoducho prineste všetko spoločnému menovateľovi a obe zlomky označte ako nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ):

   Ktoré číslo je väčšie? Správne, ten s väčším čitateľom, teda prvý.

2. „Zahodiť“ (vezmite do úvahy, že sme od každej frakcie odpočítali jednu frakciu a pomer frakcií k sebe navzájom sa nezmenil) a porovnáme frakcie:

   Prinášame ich tiež do spoločného menovateľa:

   Dostali sme presne rovnaký výsledok ako v predchádzajúcom prípade - prvé číslo je väčšie ako druhé:

   Tiež kontrolujeme, či sme jednotku neodčítali správne? Vypočítame rozdiel v čitateľovi pri prvom výpočte a pri druhom výpočte:
   1)
   2)

Preskúmali sme teda, ako porovnávať zlomky a viesť ich k spoločnému menovateľovi. Poďme k inej metóde - porovnaním zlomkov, ktoré ich privedú k spoločnému ... čitateľovi.

Možnosť 2. Porovnanie frakcií znížením na spoločného čitateľa.

Áno áno. Toto nie je preklep. V škole sa o tejto metóde hovorí iba zriedka, ale veľmi často je to veľmi výhodné. Aby ste rýchlo pochopili jeho podstatu, položím vám iba jednu otázku - „v ktorých prípadoch je hodnota zlomku najväčšia?“ Samozrejme, hovoríte „keď je čitateľ čo najväčší a menovateľ je čo najmenší.“

Môžete napríklad povedať, že je to pravda? A ak potrebujeme porovnávať takéto zlomky :? Myslím si, že správne umiestnite označenie, pretože v prvom prípade sú rozdelené na časti a v druhom sú celé, čo znamená, že v druhom prípade sú kusy veľmi malé, a preto: Ako vidíte, menovatelia sú rôzni, ale čitatelia sú rovnakí. Na porovnanie týchto dvoch frakcií však nemusíte hľadať spoločného menovateľa. Aj keď ... nájdite to a pozrite sa, čo keď je znak porovnávania stále nesprávny?

Ale znamenie je rovnaké.

Späť k pôvodnému zadaniu - porovnajte a. Budeme porovnávať a. Tieto zlomky dávame nie spoločnému menovateľovi, ale spoločnému čitateľovi. Len na to čitateľ a menovateľ vynásobte prvú frakciu číslom. Dostaneme:

a. Ktorý zlomok je väčší? Správne, prvý.

Možnosť 3. Porovnanie frakcií pomocou odpočítania.

Ako porovnávať frakcie pomocou odčítania? Áno, veľmi jednoduché. Z jednej frakcie odpočítame ďalšiu. Ak je výsledok pozitívny, potom je prvá frakcia (znížená) väčšia ako druhá frakcia (odpočítaná) a ak je negatívna, potom naopak.

V našom prípade sa pokúste odpočítať prvú časť od druhej:

Ako ste už pochopili, prevádzame aj bežný zlomok a dosahujeme rovnaký výsledok. Náš výraz má podobu:

Ďalej sa stále musíme uchýliť k redukcii na spoločného menovateľa. Otázka znie: po prvé, premena frakcií na zlé frakcie alebo po druhé, ako keby „odstraňovala“ jednotku? Mimochodom, táto akcia má úplne matematické odôvodnenie. pozri:

Uprednostňujem druhú možnosť, pretože množenie v čitateli pri prevode na spoločného menovateľa sa stáva oveľa ľahšie.

Prinášame spoločného menovateľa:

Hlavná vec tu nie je zamieňať sa, z čoho a odkiaľ sme vzali. Pozorne sledujte priebeh rozhodnutia a nezmieňujte príznaky náhodne. Odpočítali sme prvé od druhého čísla a dostali sme zápornú odpoveď? Potom je to správne, prvé číslo je väčšie ako druhé.

Rozumel? Skúste porovnať frakcie:

Zastav, zastav. Nájdite si čas a vydajte sa na spoločného menovateľa alebo odpočítajte. Vzhľad: dá sa ľahko previesť na desatinné miesto. Koľko to bude? Správny. Čo je nakoniec?

Toto je ďalšia možnosť - porovnanie zlomkov prevodom na desatinný zlomok.

Možnosť 4. Porovnanie frakcií pomocou delenia.

Áno áno. A tak je to tiež možné. Logika je jednoduchá: keď rozdelíme väčšie číslo na menšie, dostaneme číslo v odpovedi, viac ako jedno, a ak rozdelíme menšie číslo na väčšie, odpoveď spadá do intervalu od do.

Ak si chcete zapamätať toto pravidlo, porovnajte napríklad každé dve prvočísla a. Vieš viac? Teraz sa delte. Naša odpoveď je. Preto je teória správna. Ak sa delíme tým, čo dostaneme - menej ako jeden, čo zase potvrdzuje, že je to skutočne menej.

Pokúsme sa uplatniť toto pravidlo na bežné zlomky. porovnávať:

Rozdeľte prvú frakciu na druhú:

Znížiť o a o.

Výsledok je menší, potom je dividenda menšia ako deliteľ, tj:

Analyzovali sme všetky možné možnosti porovnania zlomkov. Ako ich vidíte 5:

• zníženie na spoločného menovateľa;
• zníženie na všeobecného čitateľa;
• odlievanie na desatinný zlomok;
• odčítanie;
• delenie.

Ste pripravení trénovať? Optimálne porovnajte frakcie:

Porovnať odpovede:

1. (- previesť na desatinné miesto)
2. (rozdelte jednu frakciu na druhú a znížte ju čitateľom a menovateľom)
3. (vyberte celočíselnú časť a porovnajte zlomky podľa zásady toho istého čitateľa)
4. (rozdelte jednu frakciu na druhú a znížte ju čitateľom a menovateľom).

2. Porovnanie stupňov

Teraz si predstavte, že musíme porovnávať nielen čísla, ale aj výrazy, v ktorých existuje stupeň ().

Samozrejme môžete ľahko dať znamenie:

Nakoniec, ak nahradíme stupeň multiplikáciou, dostaneme:

Z tohto malého a primitívneho príkladu vyplýva pravidlo:

Skúste teraz porovnať nasledujúce položky: Budete tiež ľahko dať znamenie:

Pretože ak nahradíme zvýšenie stupňa násobením ...

Všeobecne rozumiete všetkému a nie je to vôbec ťažké.

Ťažkosti nastávajú iba vtedy, keď sú pri porovnávaní stupňov dôvody a ukazovatele odlišné. V takom prípade je potrebné pokúsiť sa dosiahnuť spoločný základ. Napríklad:

Samozrejme viete, že tento výraz má preto podobu:

Otvoríme zátvorky a porovnáme, čo sa stane:

Trochu zvláštnym prípadom je, keď je základ stupňa () menší ako jeden.

Ak je to potom stupeň, ktorý je menší ako dva stupne.

Pokúsme sa dokázať toto pravidlo. Nech je.

Predstavujeme prirodzené číslo ako rozdiel medzi a.

Je to logické, však?

A teraz opäť venujeme pozornosť stavu -.

V súlade s tým:. Preto,.

Napríklad:

Ako viete, zvážili sme prípad, keď sú základy stupňov rovnaké. Teraz sa pozrime, kedy je základňa v rozsahu od do, ale exponenti sú si rovní. Tu je všetko veľmi jednoduché.

Nezabudnime, ako to porovnať pomocou príkladu:

Samozrejme, že ste rýchlo spočítali:

Preto, keď narazíte na podobné úlohy na porovnanie, nezabudnite na jednoduchý jednoduchý príklad, ktorý môžete rýchlo vypočítať a na základe tohto príkladu vložte značky do zložitejšieho.

Pri vykonávaní transformácií nezabudnite, že ak vynásobíte, sčítate, odčítate alebo rozdelíte, potom sa všetky činnosti musia vykonať na ľavej a pravej strane (ak ich vynásobíte, musíte ich vynásobiť).

Okrem toho existujú prípady, keď je akákoľvek manipulácia jednoducho nerentabilná. Napríklad musíte porovnať. V tomto prípade nie je také ťažké povýšiť na moc a na základe toho umiestniť znamenie:

Poďme trénovať. Porovnať stupne:

Ste pripravení porovnať odpovede? To som urobil:

1. - rovnake ako
2. - rovnake ako
3. - rovnake ako
4. - rovnake ako

3. Porovnanie čísel s koreňom

Najprv si pripomeňme, aké sú korene? Pamätáte si tento záznam?

Koreň stupňa z reálneho čísla je číslo, pre ktoré platí rovnosť.

korene - pre záporné a kladné čísla existujú nepárne stupne a - korene rovnomerného stupňa - iba pozitívne.

Koreňová hodnota je často nekonečná desatinná zlomok, čo sťažuje jej presný výpočet, preto je dôležité porovnávať korene.

Ak ste zabudli, o čo ide a o čo sa jedná. Ak si pamätáte všetko, naučme sa porovnávať korene krok za krokom.

Povedzme, že musíme porovnať:

Na porovnanie týchto dvoch koreňov nemusíte robiť žiadne výpočty, len analyzovať samotný pojem „root“. O čom to hovorím? Áno, ide o to: inak sa dá napísať ako tretí stupeň čísla, ktorý sa rovná radikálnemu výrazu.

Co viac? alebo? Toto si samozrejme porovnáte bez práce. Čím vyššie je číslo, ktoré zvyšujeme, tým vyššia je hodnota.

So. Odvodíme pravidlo.

Ak sú koreňové exponenty rovnaké (v našom prípade toto), je potrebné porovnať radikálne výrazy (a) - čím väčšie je radikálové číslo, tým väčšia je hodnota koreňa pre rovnaké ukazovatele.

Je ťažké si spomenúť? Potom nezabudnite na príklad. To viac?

Exponenty root sú rovnaké, pretože root je square. Koreňový výraz jedného čísla () je väčší ako druhý (), čo znamená, že pravidlo je skutočne pravdivé.

Ale čo keď sú radikálne výrazy rovnaké, ale stupne koreňov sú rôzne? Napríklad: .

Je tiež celkom zrejmé, že pri väčšej miere extrahovania koreňa sa získa menšie množstvo. Napríklad:

Označte hodnotu prvého root ako a potom ako:

Môžete ľahko vidieť, že v týchto rovniciach by malo byť viac:

Ak sú koreňové výrazy rovnaké (v našom prípade), a koreňové stupne sú rôzne (v našom prípade je to tiež) je potrebné porovnávať exponentov (a) - čím vyšší je indikátor, tým menší je daný výraz.

Skúste porovnať tieto korene:

Porovnať výsledky?

S týmto bezpečne prišiel :). Vynára sa ďalšia otázka: čo keď budeme mať všetko iné? A stupeň a koreňový výraz? Nie všetko je také komplikované, len sa musíme ... zbaviť koreňa. Áno áno. Zbav sa)

Ak máme rôzne stupne a radikálne výrazy, je potrebné nájsť najmenší spoločný násobok (prečítajte si oddiel o pro) pre koreňové indexy a zvýšiť oba výrazy na silu rovnajúcu sa najmenej spoločnému násobku.

Že sme všetci slovami a slovami. Tu je príklad:

1. Pozeráme sa na ukazovatele koreňov - a. Najmenší spoločný násobok, ktorý majú, je.
2. Zdvihnite oba výrazy k moci:
3. Transformujeme výraz a otvoríme zátvorky (viac v kapitole):
4. Vypočítame, čo sme urobili, a dáme znamenie:

4. Porovnanie logaritmov

Pomaly, ale určite sme sa dostali k otázke, ako porovnať logaritmy. Ak si nepamätáte, aké je to zviera, odporúčame vám prečítať si najskôr teóriu z tejto sekcie. Čítať Potom odpovedzte na niekoľko dôležitých otázok:

1. Čo sa nazýva argumentom logaritmu a aký je jeho základ?
2. Čo určuje, či sa funkcia zvyšuje alebo znižuje?

Ak si pamätáte všetko a dokonale ste sa to naučili - začnime!

Aby ste si mohli navzájom porovnávať logaritmy, musíte poznať iba 3 triky:

• zníženie na rovnaký základ;
• obsadenie toho istého argumentu;
• porovnanie s tretím číslom.

Najprv venujte pozornosť základu logaritmu. Pamätáte si, že ak je menej, funkcia klesá a ak je viac, zvyšuje sa. Naše rozhodnutia sa budú zakladať na tomto.

Zvážte porovnanie logaritmov, ktoré sú už zredukované na rovnakú bázu alebo argument.

Najprv zjednodušujeme problém: nechajme porovnávané logaritmy rovnaké dôvody, potom:

1. Funkcia, keď sa interval zväčšuje, znamená podľa definície („priame porovnanie“).
2. Príklad: - dôvody sú rovnaké, argumenty porovnávame, preto:
3. Funkcia v klesá v intervale od, čo z definície znamená, potom ("inverzné porovnanie"). - bázy sú rovnaké, respektíve porovnávame argumenty: znak logaritmov však bude „opačný“, pretože funkcia klesá :.

Teraz zvážime prípady, keď sú základy odlišné, ale argumenty sú rovnaké.

1. Základňa je väčšia.
   • , V tomto prípade používame „spätné porovnanie“. Napríklad: - argumenty sú rovnaké a. Porovnajte dôvody: znak logaritmov bude však „opačný“:
2. Základňa a je v medzere.
   • , V tomto prípade používame „priame porovnanie“. Napríklad:
   • , V tomto prípade používame „spätné porovnanie“. Napríklad:

Píšeme všetko vo forme všeobecnej tabuľky:

, kde	, kde

Preto, ako ste už pochopili, pri porovnávaní logaritmov musíme viesť k rovnakému základu alebo argumentu. Prišli sme na rovnakú základňu pomocou vzorca na prechod z jednej základne na druhú.

Logaritmy môžete tiež porovnať s tretím číslom a na základe toho vyvodiť záver o tom, čo je menej a čo viac. Napríklad, premýšľajte o tom, ako porovnať tieto dva logaritmy?

Trochu náznak - logaritmus, ktorého argumenty budú rovnaké, vám veľa pomôže.

Myslel? Poďme sa spolu rozhodnúť.

Tieto dva logaritmy s vami môžeme ľahko porovnať:

Neviem ako? Viď vyššie. Práve sme to vyriešili. Aké znamenie tam bude? Správny:

Súhlasím?

Porovnať medzi sebou:

Mali by ste mať nasledujúce:

Teraz skombinujte všetky naše zistenia do jedného. Stalo?

5. Porovnanie trigonometrických výrazov.

Čo je sínus, kosínus, tangens, cotangent? Čo je to kruh jednotky a ako na nej nájsť hodnotu trigonometrické funkcie? Ak nepoznáte odpovede na tieto otázky, dôrazne odporúčame prečítať si teóriu k tejto téme. A ak viete, nie je pre vás ťažké porovnávať trigonometrické výrazy medzi sebou!

Trochu osviežte pamäť. Nakreslite jednotkový trigonometrický kruh a do neho vpíšte trojuholník. Urobil si to? Teraz označte, na ktorej strane kreslíme kosínus a na ktorých sínusových stranách pomocou strán trojuholníka. (Samozrejme, pamätáte si, že sínus je pomer opačnej strany k prepony a kosínus susedných?). Drew? Fine! Posledný dotyk - položte, kde to máme, kde a tak ďalej. Áno? Fuh) Porovnaj, čo sa so mnou a tebou stalo.

FUH! A teraz začneme porovnávať!

Predpokladajme, že musíme porovnať a. Nakreslite tieto rohy pomocou tipov v rámoch (kde sme označili, kde) a zakreslením bodov na kruhu jednotky. Urobil si to? To som urobil.

Teraz kvapnite kolmicu z bodov, ktoré sme označili na kruhu na osi ... Ktorý z nich? Ktorá os ukazuje hodnotu sínusov? Správny, . Tu by ste mali získať:

Pri pohľade na tento obrázok, ktorý je väčší: alebo? Samozrejme, pretože bod je nad týmto bodom.

Podobne porovnávame hodnotu kosínov. Iba kolmica, ktorá je dole k osi ... To je pravda. V súlade s tým sa pozrieme na to, ktorý bod je napravo (dobre alebo vyššie, ako v prípade sínusov), potom je hodnota vyššia.

Pravdepodobne už viete, ako porovnávať dotyčnice, však? Všetko, čo potrebujete vedieť, je tangentné. Čo je to tangens?) Správne, pomer sínus ku kosínu.

Aby sme porovnali dotyčnice, nakreslíme tiež uhol, ako v predchádzajúcom prípade. Povedzme, že musíme porovnať:

Drew? Teraz si tiež všimneme hodnoty sínusovej osi na súradnicovej osi. Poznamenať? Teraz označte kosínusovú hodnotu na súradnicovej čiare. Stalo? Poďme porovnať:

Teraz analyzujte, čo je napísané. - veľký segment rozdelíme na malý. Odpoveď bude hodnota, ktorá je presne väčšia ako jedna. Správny?

A keď rozdelíme malú na veľkú. Odpoveď bude číslo, ktoré je presne menšie ako jedno.

Takže význam ktorého trigonometrického výrazu je väčší?

Správny:

Ako ste teraz pochopili, porovnávanie detských koagulantov je rovnaké, práve naopak: pozeráme sa na to, ako sa segmenty definujúce kosínus a sínus navzájom súvisia.

Skúste sami porovnať tieto trigonometrické výrazy:

Príklady.

odpovede

POROVNANIE ČÍSEL. STREDNÁ ÚROVEŇ.

Ktoré z týchto čísel je väčšie: alebo? Odpoveď je zrejmá. A teraz: alebo? Už to nie je také zrejmé, však? A tak: alebo?

Často potrebujete vedieť, z ktorých číselné výrazy viac. Napríklad na vyriešenie nerovnosti usporiadajte body na osi v správnom poradí.

Teraz vás naučím porovnávať tieto čísla.

Ak potrebujete porovnávať čísla a medzi nimi dáme znamenie (pochádza z latinského slova Versus alebo skrátene verzus - proti) :. Toto znamienko nahrádza znamenie nerovnosti (), ktoré nám nie je známe. Ďalej uskutočníme rovnaké transformácie, až kým nebude zrejmé, ktoré znamenie treba vložiť medzi čísla.

Podstata porovnávania čísel je táto: so znakom zaobchádzame tak, akoby to bol nejaký znak nerovnosti. A s výrazom môžeme robiť to isté, čo zvyčajne robíme s nerovnosťami:

• pridať ľubovoľné číslo do oboch častí (a samozrejme odpočítať, môžeme tiež)
• „Preneste všetko jedným smerom,“ odpočítajte jeden z porovnávaných výrazov od oboch častí. Namiesto odpočítaného výrazu bude existovať :.
• vynásobte alebo vydeľte rovnakým číslom. Ak je toto číslo záporné, obráti sa znak nerovnosti:
• zdvihnite obe časti do rovnakej miery. Ak je tento stupeň vyrovnaný, musíte sa uistiť, že obe časti majú rovnaké označenie; ak sú obe časti pozitívne, pri zvýšení výkonu sa značka nezmení a ak je negatívna, zmení sa na opačný.
• extrahujte koreň rovnakého stupňa z oboch častí. Ak extrahujeme koreň rovnomerného stupňa, musíte sa najprv uistiť, že oba výrazy nie sú záporné.
• akékoľvek iné ekvivalentné transformácie.

Dôležité: Je žiaduce vykonať premeny, aby sa nezmenil príznak nerovnosti! To znamená, že počas transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom, a ak nie je jedna z častí záporná, nie je ju možné na druhú mocninu.

Poďme analyzovať niekoľko typických situácií.

1. Vyhynutie.

Príklad.

Čo je väčšie: alebo?

Rozhodnutie.

Pretože obe strany nerovnosti sú pozitívne, môžeme sa odmocniť, aby sme sa zbavili koreňa:

Príklad.

Čo je väčšie: alebo?

Rozhodnutie.

Tu môžeme tiež štvorček, ale pomôže nám to zbaviť sa iba odmocnina, Tu je potrebné povýšiť do tej miery, že oba korene zmiznú. Ukazovateľ tohto stupňa by sa preto mal rozdeliť na (stupeň prvého koreňa) a. Toto číslo je preto zvyšujúce sa do deviateho stupňa:

2. Násobenie konjugátom.

Príklad.

Čo je väčšie: alebo?

Rozhodnutie.

Vynásobte a vydeľte každý rozdiel konjugovanou sumou:

Je zrejmé, že menovateľ vpravo je väčší ako menovateľ vľavo. Pravý zlomok je preto menší ako ľavý:

3. Odčítanie

Pripomeňme si to.

Príklad.

Čo je väčšie: alebo?

Rozhodnutie.

Samozrejme, že by sme mohli všetko zaskočiť, preskupiť a znova zaskočiť. Ale môžete robiť zložitejšie:

Je vidieť, že na ľavej strane je každý člen menší ako každý člen napravo.

Preto je súčet všetkých výrazov na ľavej strane menší ako súčet všetkých výrazov na pravej strane.

Ale buď opatrný! Spýtali sme sa nás, čo viac ...

Pravá strana je väčšia.

Príklad.

Porovnať čísla a.

Rozhodnutie.

Spomeňte si na trigonometrické vzorce:

Pozrime sa, v ktorých štvrtinách body a ležíme na trigonometrickom kruhu.

4. Divízia.

Tu tiež používame jednoduché pravidlo:

Kedy alebo, to je.

Keď sa značka zmení :.

Príklad.

Vykonajte porovnanie :.

Rozhodnutie.

5. Porovnajte čísla s tretím číslom

Ak a potom (zákon o tranzite).

Príklad.

Porovnávať.

Rozhodnutie.

Porovnajte čísla nie medzi sebou, ale s číslom.

Je to zrejmé.

Na druhej strane, .

Príklad.

Čo je väčšie: alebo?

Rozhodnutie.

Obidve čísla sú väčšie, ale menšie. Vyberte číslo tak, aby bolo viac ako jedno, ale menšie ako druhé. Napríklad, . kontrola:

6. Čo robiť s logaritmami?

Nič zvláštne. Ako sa zbaviť logaritmov je podrobne popísané v tejto téme. Základné pravidlá sú tieto:

\\ [((\\ log _a) x \\ vee b (\\ rm ()) \\ Leftrightarrow (\\ rm ()) \\ left [(\\ begin (array) (* (20) (l)) (x \\ vee (a ^ b) \\; (\\ rm (for)) \\; a\u003e 1) \\\\ (x \\ wedge (a ^ b) \\; (\\ rm (for)) \\; 0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a > 1) \\\\ (x \\ wedge y \\; (\\ rm (for)) \\; 0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Môžeme tiež pridať pravidlo o logaritmoch s rôznymi základmi a rovnakým argumentom:

Dá sa to vysvetliť takto: čím väčšia je základňa, tým menšie bude potrebné zdvihnúť, aby sa získala rovnaká základňa. Ak je základňa menšia, potom je pravdou opak, pretože zodpovedajúca funkcia monotónne klesá.

Príklad.

Porovnať čísla: a.

Rozhodnutie.

Podľa vyššie uvedených pravidiel:

Teraz pre pokročilý vzorec.

Pravidlo na porovnávanie logaritmov možno písať kratšie:

Príklad.

Čo je väčšie: alebo?

Rozhodnutie.

Príklad.

Porovnajte, ktoré z týchto čísiel je väčšie:

Rozhodnutie.

POROVNANIE ČÍSEL. STRUČNÉ INFORMÁCIE O HLAVE

1. Vyhynutie

Ak sú obe strany nerovnosti pozitívne, môžu sa na druhú mocninu zbaviť koreňa

2. Násobenie konjugátom

Konjugát je faktor, ktorý dopĺňa výraz do vzorca rozdielu štvorcov: - je konjugát pre a naopak, pretože ,

3. Odčítanie

4. Divízia

Kedy alebo tak je

Keď sa značka zmení:

5. Porovnanie s tretím číslom

Ak a potom

6. Porovnanie logaritmov

Základné pravidlá.