Vzťah nohy k preponovaniu. Sinusový, kosínusový, tangentný, ostrý uhol. Trigonometrické funkcie
Návod na použitie
Podobné videá
Poznámka
Pri výpočte strán pravouhlého trojuholníka môžu hrať znalosť jeho vlastností:
1) Ak rameno pravého uhla leží oproti uhlu 30 stupňov, rovná sa polovici prepony;
2) Hypotenóza je vždy dlhšia ako ktorákoľvek z nôh;
3) Ak je kruh opísaný okolo pravouhlého trojuholníka, jeho stred by mal ležať v strede prepony.
Hypotenóza je strana v pravom trojuholníku, ktorá je oproti uhlu 90 stupňov. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jedného z nôh a veľkosť jedného z ostrých uhlov trojuholníka.
Návod na použitie
Dajte nám vedieť jednu z nôh a roh priľahlý k nej. Pre jednoznačnosť, nech je to vetva | AB | a uhol a. Potom môžeme použiť vzorec pre trigonometrický pomer kosínus - kosínus priľahlého ramena k. Tie. v našom zápise cos α \u003d | AB | AC |. Odtiaľ získame dĺžku prepony | AC | \u003d | AB | / cos α.
Ak poznáme nohu | BC | a uhol α, potom použijeme vzorec na výpočet sínusového uhla - sínusový uhol sa rovná pomeru opačnej strany k prepony: sin α \u003d | BC | AC |. Zistíme, že dĺžka prepony sa zistí ako | AC | \u003d | BC | / cos α.
Kvôli prehľadnosti zvážte príklad. Nechajte dĺžku nohy | AB | \u003d 15. A uhol a \u003d 60 °. Dostaneme | AC | \u003d 15 / cos 60 ° \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.
Zvážte, ako si môžete overiť svoj výsledok pomocou Pythagorovej vety. Aby sme to dosiahli, musíme vypočítať dĺžku druhej vetvy | BC |. Použitie vzorca pre dotyčnicu uhlu opálenia α \u003d | BC | / | AC |, získame | BC | \u003d | AB | * tg a \u003d 15 * tg 60 ° \u003d 15 * -3. Ďalej použijeme Pythagorovu vetu, dostaneme 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 \u003d 30 ^ 2 \u003d\u003e 225 + 675 \u003d 900. Overenie je dokončené.
Užitočné rady
Po vypočítaní prepony skontrolujte, či získaná hodnota vyhovuje Pytagorovej vete.
zdroj:
- Pripravte stôl od 1 do 10 000
nohy nazývajú dve krátke strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria jeho vrchol, ktorého hodnota je 90 °. Tretia strana v takomto trojuholníku sa nazýva prepona. Všetky tieto strany a uhly trojuholníka sú vzájomne prepojené určitými vzťahmi, ktoré vám umožňujú vypočítať dĺžku nohy, ak je známych niekoľko ďalších parametrov.
Návod na použitie
Ak je známa dĺžka ďalších dvoch strán (B a C) pravouhlého trojuholníka, použite Pythagorovu vetu pre vetvu (A). Táto veta uvádza, že súčet štvorcových dĺžok nôh sa rovná štvorcu prepony. Z toho vyplýva, že dĺžka každej vetvy sa rovná druhej odmocnine dĺžky prepony a druhej vetvy: A \u003d √ (C²-B²).
Definíciu priamej trigonometrickej funkcie „sínus“ použite pre ostrý uhol, ak poznáte veľkosť uhla (α) ležiaceho oproti vypočítanej nohe a dĺžku prepony (C). To tvrdí, že sínus tohto známeho pomeru je dĺžka požadovanej nohy k dĺžke prepony. Je to tak, že dĺžka požadovanej nohy sa rovná súčinu dĺžky prepony pomocou sínusu so známym uhlom: A \u003d C ∗ sin (α). Pri rovnakých známych hodnotách môžete použiť cosecant a vypočítať požadovanú dĺžku vydelením dĺžky prepony pomocou cosecant známeho uhla A \u003d C / cosec (α).
Použite definíciu priamej trigonometrickej funkcie kosínu, ak je okrem dĺžky prepony (C) známa aj hodnota ostrého uhla (β) susediaceho s požadovaným uhlom. Kosín tohto uhla je pomer dĺžok požadovanej nohy a prepony, a z toho môžeme usúdiť, že dĺžka nohy je rovná súčinu dĺžky prepony kosínom so známym uhlom: A \u003d C ∗ cos (β). Môžete použiť definíciu secantovej funkcie a vypočítať požadovanú hodnotu vydelením dĺžky prepony secantom známeho uhla A \u003d C / s (β).
Odvodte požadovaný vzorec z podobnej definície pre deriváciu trigonometrickej funkcie dotyčnice, ak je okrem ostrého uhla (a) ležiaceho oproti požadovanej vetve (A) známa dĺžka druhej vetvy (B). Dotyčnica uhla oproti požadovanej vetve je pomer dĺžky tejto vetvy k dĺžke druhej vetvy. Preto sa bude hľadaná hodnota rovnať súčinu dĺžky známej vetvy s dotyčnicou známeho uhla: A \u003d B ∗ tg (α). Iný vzorec sa dá odvodiť z rovnakých známych množstiev, ak použijeme definíciu cotangentovej funkcie. V tomto prípade, na výpočet dĺžky nohy, bude potrebné nájsť pomer dĺžky známej nohy k cotangentu známeho uhla: A \u003d B / ctg (α).
Podobné videá
Slovo „cathetus“ pochádza z ruštiny z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnice, to znamená kolmá na zemský povrch. V matematike sa nohy, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka, nazývajú nohy. Strana oproti tomuto rohu sa nazýva prepona. Termín „noha“ sa používa aj v architektúre a technológii zvárania.
Oddelenie tohto uhla sa získa vydelením prepony susednou vetvou, t.j. secCAB \u003d c / b. Ukázalo sa, že inverziou je kosínus, to znamená, že ju možno vyjadriť vzorcom secCAB \u003d 1 / cosSAB.
Koksecant sa rovná podielu delenia prepony opačnou nohou a toto je recipročné sínusové zloženie. Môže sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB \u003d 1 / sinCAB
Obe nohy sú vzájomne prepojené a postieľky. V tomto prípade bude dotyčnica pomer strany a k strane b, to znamená opačnej nohy k susednej. Tento pomer možno vyjadriť vzorcom tgCAB \u003d a / b. V súlade s tým je cotangent inverzným pomerom: ctgCAB \u003d b / a.
Pomer medzi veľkosťou prepony a obidvoch nôh bol určený starými gréckymi Pythagorami. Ľudia stále používajú vetu, jej názov. Hovorí sa, že štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, t. J. C2 \u003d a2 + b2. V súlade s tým bude každá noha rovná druhej odmocnine rozdielu druhých mocnín pomlčky a druhej vetvy. Tento vzorec sa dá písať ako b \u003d √ (c2-a2).
Dĺžka nohy sa dá vyjadriť aj pomocou vzťahov, ktoré poznáte. Podľa teórií sínusov a kosínov sa noha rovná jednej z týchto funkcií ako produkt prepony. Môžete to vyjadriť alebo preniesť. Katéter a je možné nájsť napríklad pomocou vzorca a \u003d b * tan CAB. Rovnakým spôsobom sa v závislosti od daného tangens alebo určí aj druhá vetva.
Termín „noha“ sa používa aj v architektúre. Používa sa na iónové hlavné mestá a prechádza cez stred chvosta. To znamená, že v tomto prípade je tento výraz kolmý na daný riadok.
V technológii zvárania existuje „zvarový spoj“. Rovnako ako v iných prípadoch je to najkratšia vzdialenosť. Hovoríme tu o medzere medzi jednou z častí, ktoré sa majú privariť, k hranici spoja umiestneného na povrchu druhej časti.
Podobné videá
zdroj:
- čo je noha a prepona v roku 2019
dutina ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer opak katétu na preponovanie.
Je označený nasledovne: sin α.
kosínus ostrý uhol a pravouhlého trojuholníka je pomer susednej nohy k prepony.
Je označený ako: cos α.
tangenta ostrý uhol a je pomer opačného ramena k susednému ramenu.
Je označený nasledovne: tan α.
kotangens ostrý uhol a je pomer susednej nohy k opačnej strane.
Je označený ako: ctg α.
Sinus, kosinus, tangens a cotangent uhla závisia iba od veľkosti uhla.
pravidlá:
Základné trigonometrické identity v pravom trojuholníku:
(α - ostrý uhol oproti nohe b a priliehajúce k nohe , bočné s - prepona. β - druhý ostrý uhol).
b | sin 2 a + cos 2 α \u003d 1 | |
| 1 | |
b | 1 | |
| 1 1 | |
hriech α |
So zväčšujúcim sa ostrým uhlomhriech α avzrast α α acos α sa znižuje.
Pre akýkoľvek ostrý uhol α:
sin (90 ° - a) \u003d cos a
cos (90 ° - a) \u003d sin a
Príklad vysvetlenia:
Dovolenka v pravom trojuholníku ABC
AB \u003d 6,
BC \u003d 3,
uhol A \u003d 30 °.
Zistite sínus uhla A a kosínus uhlu B.
Rozhodnutie.
1) Najprv zistíme hodnotu uhla B. Tu je všetko jednoduché: keďže súčet ostrých uhlov v pravom trojuholníku je 90 °, potom uhol B \u003d 60 °:
B \u003d 90 ° - 30 ° \u003d 60 °.
2) Vypočítame hriech A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru opačnej strany k prepony. Pokiaľ ide o uhol A, opačná strana je strana lietadla. takže:
BC 3 1
hriech A \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2
3) Teraz vypočítame cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susednej nohy k prepony. Pokiaľ ide o uhol B, susedná strana je rovnaká strana lietadla. To znamená, že musíme znova rozdeliť lietadlo na AB - to znamená vykonať rovnaké činnosti ako pri výpočte sínusového uhlu A:
BC 3 1
cos B \u003d - \u003d - \u003d -
AB 6 2
Výsledkom je:
sin A \u003d cos B \u003d 1/2.
sin 30º \u003d cos 60º \u003d 1/2.
Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku je sínus jedného ostrého uhla rovný kosínu iného ostrého uhla - a naopak. Presne to znamenajú naše dva vzorce:
sin (90 ° - a) \u003d cos a
cos (90 ° - a) \u003d sin a
Opäť to overíme:
1) Nech α \u003d 60º. Nahradením hodnoty α v sínusovom vzorci získame:
sin (90 ° - 60 °) \u003d cos 60 °.
sin 30º \u003d cos 60º.
2) Nech α \u003d 30 °. Nahradením hodnoty α vo vzorci cosine dostaneme:
cos (90 ° - 30 °) \u003d sin 30 °.
cos 60 ° \u003d sin 30 °.
(Viac informácií o trigonometrii nájdete v časti Algebra)
Pojmy sine (), cosine (), tangent (), cotangent () sú neoddeliteľne spojené s pojmom uhla. Aby sme porozumeli týmto zdanlivo komplikovaným konceptom (ktoré spôsobujú u mnohých žiakov stav hrôzy) a zabezpečili, že „diabol nie je taký hrozný, ako ho maľujú“, začneme od samého začiatku a pochopíme pojem uhla.
Uhlový koncept: radián, stupeň
Pozrime sa na obrázok. Vektor sa „obrátil“ relatívne k bodu o určité množstvo. Miera tejto rotácie vzhľadom na počiatočnú polohu teda bude uhol.
Čo ešte potrebujete vedieť o koncepte uhla? Samozrejme, uhlové jednotky!
Uhol, tak v geometrii, ako aj v trigonometrii, je možné merať v stupňoch a radiánoch.
Uhol v (jeden stupeň) je stredný uhol v kruhu, založený na kruhovom oblúku, ktorý sa rovná časti kruhu. Celý kruh sa teda skladá z „kusov“ kruhových oblúkov alebo je uhol opísaný v kruhu rovnaký.
To znamená, že vyššie uvedený obrázok ukazuje uhol rovný, to znamená, že tento uhol je založený na kruhovom oblúku s veľkosťou kruhu.
Uhol v radiáne je stredný uhol v kruhu založený na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. No, na to prišiel? Ak nie, poďme na to.
Obrázok teda ukazuje uhol rovnajúci sa polomeru, to znamená, že tento uhol je založený na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu (dĺžka sa rovná dĺžke alebo polomer sa rovná dĺžke oblúka). Dĺžka oblúka sa teda vypočíta podľa vzorca:
Kde je stredový uhol v radiánoch.
Viete, viete, odpovedať, do akej miery obsahuje radián uhol opísaný kruhom? Áno, na to musíme pripomenúť vzorec obvodu. Tu je:
Teraz korelujeme tieto dva vzorce a zistíme, že uhol opísaný v kruhu je rovnaký. To znamená, že koreláciou hodnoty v stupňoch a radiánoch to získame. V súlade s tým,. Ako vidíte, na rozdiel od „stupňov“ sa slovo „radián“ vynecháva, pretože merná jednotka je obvykle z kontextu zrejmá.
A koľko je radiánov? To je správne!
Mám to? Potom sa upevnite vpred:
Mať problémy? Potom sa pozrite odpovede:
Pravý trojuholník: sínusový, kosínusový, tangensový, uhlový
Takže prišiel na to koncept uhlu. Čo je však sínusový, kosínusový, tangensový, uhlový? Poďme na to. Z tohto dôvodu nám pomôže pravouhlý trojuholník.
Aké sú strany pravého trojuholníka? Je to tak, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana); nohy sú dve zostávajúce strany a (tie, ktoré sú priľahlé k pravému uhlu), a ak vezmeme do úvahy nohy vzhľadom na uhol, je noha susednou nohou a noha je opačnou nohou. Takže teraz odpovieme na otázku: Čo je to sínus, kosinus, tangens a cotangent z uhla?
Slanina - je to pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepony.
V našom trojuholníku.
Kosmický uhol - Toto je pomer susediacej (blízkej) nohy k preponovaniu.
V našom trojuholníku.
Uhlový dotykový - je to pomer opačnej (vzdialenej) nohy k susednej (blízkej) nohe.
V našom trojuholníku.
Cotangent uhol - je to pomer susediacej (blízkej) nohy k opačnej (vzdialenej) nohe.
V našom trojuholníku.
Tieto definície sú potrebné. pamätať! Aby bolo ľahšie zapamätať si, ktorá noha je rozdelená na to, čo je potrebné jasne pochopiť tangenta a kotangens sedí iba nohy a prepona sa objaví iba v dutina a kosínus, A potom môžete prísť s reťazcom združení. Napríklad tento:
Kozmetika → dotknite sa → dotknite sa → susediacich
Cotangent → dotknite sa → dotknite sa → susediaceho.
Najskôr je potrebné si uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a cotangent ako pomer strán trojuholníka nezávisí od dĺžok týchto strán (v jednom uhle). Neveríte? Potom sa uistite, že sa pozriete na obrázok:
Zoberme si napríklad kosínus uhla. Podľa definície z trojuholníka :, ale môžeme vypočítať kosínus uhla z trojuholníka :. Vidíte, dĺžky strán sú rôzne a kosínusová hodnota jedného uhla je rovnaká. Preto hodnoty sínus, kosínus, tangens a cotangent závisia výlučne od veľkosti uhla.
Ak rozumiete definíciám, pokračujte a opravte ich!
Nájdeme trojuholník uvedený nižšie na obrázku.
Dobre, chytili ste to? Potom to vyskúšajte sami: počítajte rovnako do rohu.
Jednotkový (trigonometrický) kruh
Po pochopení pojmov stupeň a radián sme skúmali kruh s polomerom rovným. Tento kruh sa nazýva jednoposteľová, Je to veľmi užitočné pri štúdiu trigonometrie. Z tohto dôvodu sa v ňom zdržiavame trochu podrobnejšie.
Ako vidíte, tento kruh je zabudovaný v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu je jednotný, zatiaľ čo stred kruhu leží na začiatku, počiatočná poloha vektora polomeru je fixná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).
Každý bod kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnica pozdĺž osi a súradnica pozdĺž osi. A aké sú tieto súradnicové čísla? A všeobecne, čo majú spoločné s diskutovanou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si uvedomiť pravý trojuholník. Na obrázku vyššie si môžete všimnúť až dva pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.
Čo sa rovná trojuholníku? To je správne. Okrem toho vieme, že - toto je polomer kruhovej jednotky, a teda aj. Túto hodnotu v našom vzorci nahradzujeme kosínom. Tu je výsledok:
A čo sa rovná trojuholníku? No, samozrejme,! Nahraďte hodnotu polomeru v tomto vzorci a získajte:
Môžete teda povedať, aké súradnice má bod patriaci do kruhu? V žiadnom prípade? A ak si to uvedomíte - sú to len čísla? Ktorej súradnici zodpovedá? Samozrejme, koordinujte sa! A s akou súradnicou to zodpovedá? Správne, koordinujte! Takže bod.
A čo potom rovnaké? Správne, používame zodpovedajúce definície tangens a cotangent a dostaneme to, a.
Ale čo keď je uhol väčší? Tu napríklad, ako na tomto obrázku:
Čo sa v tomto príklade zmenilo? Poďme na to. Aby sme to dosiahli, znova sa obrátime na pravý trojuholník. Zvážte pravouhlý trojuholník: uhol (priľahlý k rohu). Aká je hodnota sínus, kosínus, tangens a cotangent pre uhol? Je to tak, dodržiavame zodpovedajúce definície trigonometrických funkcií:
Ako vidíte, hodnota sínusového uhla stále zodpovedá súradnici; cosinus uhla je súradnica; a hodnoty tangens a cotangent sú zodpovedajúce pomery. Tieto vzťahy sú teda použiteľné na akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.
Už bolo uvedené, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Zatiaľ sme tento vektor otočili proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíte v smere hodinových ručičiek? Nič neobvyklé, uhol určitej veľkosti sa tiež neobjaví, ale iba záporný. Keď sa teda vektor polomeru otáča proti smeru hodinových ručičiek, pozitívne uhlya pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.
Takže vieme, že celá revolúcia vektora polomeru v kruhu je alebo. Je možné zapnúť alebo vypnúť vektor polomeru? Samozrejme môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru vykoná jednu úplnú otáčku a zastaví sa na alebo.
V druhom prípade to znamená, že vektor polomeru urobí tri plné zákruty a zastaví sa na alebo.
Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme dospieť k záveru, že uhly, ktoré sa líšia alebo (kde je akékoľvek celé číslo) zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.
Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam pokračuje ďalej. Všetky tieto uhly môžu byť napísané všeobecným vzorcom alebo (kde je celé číslo)
Teraz, poznať definície hlavných trigonometrických funkcií a pomocou kruhu jednotiek, skúste odpovedať na to, čo sú rovnaké hodnoty:
Tu je jeden kruh, ktorý vám pomôže:
Mať problémy? Potom poďme na to. Takže vieme, že:
Od tejto chvíle určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mierkam uhla. Začnime teda v poradí: bod v súradniciach zodpovedá rohu v:
Neexistuje;
Ďalej pri dodržaní rovnakej logiky zistíme, že rohy zodpovedajú bodom so súradnicami. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty trigonometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv to vyskúšajte sami a potom skontrolujte odpovede.
odpovede:
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Môžeme teda vyrobiť nasledujúcu dosku:
Nie je potrebné pamätať si na všetky tieto významy. Stačí si spomenúť na súradnice bodov na kruhu jednotky a na hodnoty trigonometrických funkcií:
Ale hodnoty trigonometrických funkcií uhlov va uvedených v tabuľke nižšie treba pamätať:
Netreba sa báť, teraz ukážeme jeden príklad pomerne jednoduché uloženie zodpovedajúcich hodnôt:
Na použitie tejto metódy je dôležité pamätať na hodnoty sínusovej hodnoty pre všetky tri miery uhla (), ako aj na hodnotu dotyčnice uhla b. Znalosť týchto hodnôt, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku ako celok - hodnoty kosínusov sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:
S týmto vedomím môžete obnoviť hodnoty. Čitateľ sa bude zhodovať a menovateľ sa bude zhodovať. Hodnoty Cotangent sa prenášajú podľa šípok uvedených na obrázku. Ak tomu rozumiete a pamätáte si diagram pomocou šípok, potom si stačí zapamätať všetky hodnoty z tabuľky.
Súradnice bodu v kruhu
Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kruhu, poznať súradnice stredu kruhu, jeho polomer a uhol natočenia?
Samozrejme môžete! Poďme na to všeobecný vzorec na nájdenie súradníc bodu.
Napríklad tu máme taký kruh:
Je nám dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získaného otočením bodu o stupne.
Ako je možné vidieť na obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že je rovná. Dĺžku segmentu je možné vyjadriť pomocou definície kosínu:
Potom tu máme súradnicu.
Rovnakou logikou nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. Touto cestou,
Všeobecne sú súradnice bodov určené vzorcami:
Súradnice stredu kruhu,
Polomer kruhu
Uhol natočenia polomeru vektora.
Ako vidíte, pre uvažovaný kruh jednotiek sa tieto vzorce výrazne zmenšujú, pretože stredové súradnice sú nulové a polomer je jednota:
Poďme ochutnať tieto vzorce cvičením nájdenia bodov v kruhu?
1. Nájdite súradnice bodu v kruhu jednotky, ktoré získate jeho zapnutím.
2. Nájdite súradnice bodu v kruhu jednotky, ktoré získate jeho zapnutím.
3. Nájdite súradnice bodu v kruhu jednotky, ktoré získate jeho zapnutím.
4. Bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získaného otáčaním vektora počiatočného polomeru o.
5. Bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získaného otáčaním vektora počiatočného polomeru o.
Máte ťažkosti s nájdením súradníc bodu na kruhu?
Vyriešte týchto päť príkladov (alebo to v riešení dobre zistite) a naučte sa ich nájsť!
1.
Môžete si to všimnúť. Vieme však, že to zodpovedá úplnej revolúcii východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri zapnutí. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
2. Kruh jednotky je zameraný na bod, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Vieme, že to zodpovedá dvom úplným otáčkam východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri zapnutí. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Spomeňte si na ich hodnoty a získajte:
Požadovaný bod má teda súradnice.
3. Kruh jednotky je zameraný na bod, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Uvažovaný príklad znázorníme na obrázku:
Polomer tvorí uhly, ktoré sa rovnajú osi a s ňou. S vedomím, že hodnoty kosínu a sínusu v tabuľke sú rovnaké, a keď sme zistili, že kosínus tu berie zápornú hodnotu a sínus je pozitívny, máme:
Takéto príklady sú podrobnejšie preskúmané pri štúdiu vzorcov na priblíženie trigonometrických funkcií k téme.
Požadovaný bod má teda súradnice.
4.
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienok)
Na určenie zodpovedajúcich znakov sínusovej a kosínusovej konštrukcie zostavíme kruhový kruh a uhol jednotky:
Ako vidíte, význam, to znamená, je pozitívny a význam, to znamená, je negatívny. Známe tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich trigonometrických funkcií:
Nahraďte získané hodnoty v našom vzorci a vyhľadajte súradnice:
Požadovaný bod má teda súradnice.
5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnej forme, kde
Súradnice stredu kruhu (v našom príklade
Polomer kruhu (podľa podmienok)
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienok).
Nahraďte všetky hodnoty vo vzorci a získajte:
a sú tabuľkové hodnoty. Pamätajte a nahradiť ich vo vzorci:
Požadovaný bod má teda súradnice.
ZHRNUTIE A ZÁKLADNÉ FORMULÁRY
Sínusový uhol je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepony.
Kosínový uhol je pomer susednej (blízkej) nohy k prepony.
Tangens uhla je pomer opačného (vzdialeného) ramena k susednému (blízkemu).
Uhlový spolupôsobiaci prostriedok je pomer susednej (blízkej) nohy k opačnej (vzdialenej) nohe.
V živote sa často musíme zaoberať matematickými problémami: v škole, na univerzite a potom pomáhať dieťaťu s domácimi úlohami. Ľudia niektorých profesií sa denne stretávajú s matematikou. Preto je užitočné pamätať si alebo pripomínať matematické pravidlá. V tomto článku budeme analyzovať jednu z nich: nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka.
Čo je to pravouhlý trojuholník?
Najskôr nezabudnite, čo je pravouhlý trojuholník. Pravouhlý trojuholník je geometrický útvar troch segmentov, ktoré spájajú body, ktoré nespočívajú na jednej priamke, a jeden z rohov tohto obrázka je 90 stupňov. Strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy a strana, ktorá leží oproti pravému uhlu, sa nazýva prepona.
Nájdite nohu pravého trojuholníka
Existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť dĺžku nohy. Chcel by som ich podrobnejšie zvážiť.
Pythagorova veta na nájdenie pravého trojuholníkového ramena
Ak poznáme preponu a nohu, potom zistíme dĺžku neznámej nohy podľa Pythagorovej vety. Znie to takto: „Štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh.“ Vzorec: c² \u003d a² + b², kde c je prepona, aab sú nohy. Transformujeme vzorec a dostaneme: a² \u003d c²-b².
Príklad. Prepona je 5 cm a noha je 3 cm. Premieňame vzorec: c² \u003d a² + b² → a² \u003d c²-b². Potom sa rozhodneme: a² \u003d 5²-3²; a2 \u003d 25-9; a² \u003d 16; a \u003d -16; a \u003d 4 (cm).
Trigonometrické pomery na nájdenie pravého trojuholníkového ramena
Môžete tiež nájsť neznámu nohu, ak je známa iná strana a akýkoľvek ostrý uhol pravouhlého trojuholníka. Existujú štyri možnosti na nájdenie nohy pomocou trigonometrických funkcií: pomocou sínusovej, kosínusovej, tangentnej, cotangentnej. Na vyriešenie problémov nám pomôže nasledujúca tabuľka. Zvážte tieto možnosti.
Nájdite nohu pravého trojuholníka so sínusom
Sinus uhla (sin) je pomer opačnej strany k prepony. Vzorec: sin \u003d a / c, kde a je noha, ktorá je oproti danému uhlu, a c je prepona. Ďalej transformujeme vzorec a získame: a \u003d sin * c.
Príklad. Hypotenóza je 10 cm, uhol A je 30 stupňov. Podľa tabuľky vypočítame sínus uhla A, je to 1/2. Potom pomocou transformovaného vzorca vyriešime: a \u003d sin∠А * c; a \u003d 1/2 * 10; a \u003d 5 (cm).
Nájdite stranu pravouhlého trojuholníka pomocou kosínu
Kosínový uhol (cos) je pomer susednej nohy k prepony. Vzorec: cos \u003d b / c, kde b je noha priliehajúca k tomuto uhlu a c je prepona. Transformujeme vzorec a dostaneme: b \u003d cos * c.
Príklad. Uhol A je 60 stupňov, prepona je 10 cm. Podľa tabuľky vypočítame kosínus uhla A, ktorý je 1/2. Ďalej sa rozhodneme: b \u003d cos∠A * c; b \u003d 1/2 x 10, b \u003d 5 (cm).
Nájdite nohu pravého trojuholníka pomocou dotyčnice
Uhlový tangens (tg) je pomer opačného ramena k susednému ramenu. Vzorec: tg \u003d a / b, kde a je noha protiľahlá k rohu a b je susedná noha. Transformujeme vzorec a získame: a \u003d tg * b.
Príklad. Uhol A je 45 stupňov, prepona je 10 cm. Podľa tabuľky vypočítame dotyčnicu uhla A, rovná sa Decide: a \u003d tg∠A * b; a \u003d 1 x 10; a \u003d 10 (cm).
Nájdite nohu pravého trojuholníka pomocou cotangentu
Uhlový cotangent (ctg) je pomer susednej nohy k opačnej nohe. Vzorec: ctg \u003d b / a, kde b je noha priliehajúca k rohu a a je opačná noha. Inými slovami, cotangent je „obrátený tangens“. Dostaneme: b \u003d ctg * a.
Príklad. Uhol A je 30 stupňov, opačná noha je 5 cm, podľa tabuľky je dotyčnica uhla A √3. Vypočítajte: b \u003d ctg∠A * a; b \u003d -3 * 5; b \u003d 5 - 3 (cm).
Takže teraz viete, ako nájsť nohu v pravom trojuholníku. Ako vidíte, nie je to také ťažké, hlavnou vecou je pamätať si vzorce.