S valcom je spojených veľa úloh. Musia nájsť polomer a výšku tela alebo typ jeho sekcie. Navyše niekedy musíte vypočítať plochu valca a jeho objem.

Ktoré teleso je valec?

V priebehu školských osnov sa študuje kruh, teda valec, ktorý je na základni. Ale tiež zvýrazňujú elipsovitý vzhľad tejto postavy. Už z názvu je jasné, že jeho základom bude elipsa alebo ovál.

Valec má dve základne. Sú si navzájom rovné a sú spojené úsečkami, ktoré zodpovedajú zodpovedajúcim základným bodom. Nazývajú sa tvoriace čiary valca. Všetky generátory sú navzájom paralelné a rovnaké. Sú to tie, ktoré tvoria bočný povrch tela.

Vo všeobecnosti je valec naklonené teleso. Ak generátory zvierajú so základňami pravý uhol, potom už hovoria o rovnej postave.

Je zaujímavé, že kruhový valec je rotačné teleso. Získava sa otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.

Hlavné prvky valca

Hlavné prvky valca vyzerajú nasledujúcim spôsobom.

1. Výška. Je to najkratšia vzdialenosť medzi základňami valca. Ak je rovná, potom sa výška zhoduje s tvoriacou čiarou.
2. Polomer. Rovnaký ako ten, ktorý sa dá nakresliť na základni.
3. Os. Toto je priamka, ktorá obsahuje stredy oboch základní. Os je vždy rovnobežná so všetkými generátormi. V priamom valci je kolmý na základne.
4. Axiálny rez. Vzniká, keď rovina, ktorá obsahuje os, pretína valec.
5. Dotyková rovina. Prechádza jednou z tvoriacich čiar a je kolmá na osový rez, ktorý je pretiahnutý touto tvoriacou čiarou.

Ako je valec spojený s hranolom, ktorý je v ňom vpísaný alebo okolo neho popísaný?

Niekedy existujú problémy, pri ktorých je potrebné vypočítať plochu valca a sú známe niektoré prvky hranola, ktoré sú s ním spojené. Ako spolu tieto čísla súvisia?

Ak je hranol vpísaný do valca, potom jeho základne sú rovnaké polygóny. Okrem toho sú vpísané do príslušných valcových podstavcov. Bočné okraje hranola sa zhodujú s tvoriacimi čiarami.

Opísaný hranol má na základniach pravidelné mnohouholníky. Sú popísané okolo kruhov valca, ktoré sú jeho základňami. Roviny, ktoré obsahujú plochy hranola, sa dotýkajú valca pozdĺž tvoriacej priamky.

O ploche bočnej plochy a základne pre rovný kruhový valec

Ak rozviniete bočný povrch, dostanete obdĺžnik. Jeho strany sa budú zhodovať s tvoriacou čiarou a obvodom základne. Preto sa bočná plocha valca bude rovnať súčinu týchto dvoch hodnôt. Ak si vzorec zapíšete, dostanete nasledovné:

S strana = l * n,

kde n je generátor, l je obvod.

Okrem toho sa posledný parameter vypočíta podľa vzorca:

l = 2 π * r,

tu r je polomer kruhu, π je číslo "pi" rovné 3,14.

Keďže základom je kruh, jeho plocha sa vypočíta pomocou nasledujúceho výrazu:

S hlavná = π * r 2.

O ploche celého povrchu rovného kruhového valca

Keďže ho tvoria dve základne a bočná plocha, je potrebné tieto tri hodnoty sčítať. To znamená, že celková plocha valca sa vypočíta podľa vzorca:

S poschodie = 2 π * r * n + 2 π * r 2.

Často sa píše v inej forme:

S poschodie = 2 π * r (n + r).

O plochách nakloneného kruhového valca

Čo sa týka základov, všetky vzorce sú rovnaké, pretože sú to stále kruhy. Ale bočný povrch už nedáva obdĺžnik.

Na výpočet plochy bočného povrchu nakloneného valca budete musieť vynásobiť hodnoty tvoriacej čiary a obvodu úseku, ktorý bude kolmý na vybranú tvoriacu čiaru.

Vzorec vyzerá takto:

Strana S = x * P,

kde x je dĺžka tvoriacej čiary valca, P je obvod rezu.

Mimochodom, je lepšie vybrať sekciu tak, aby tvorila elipsu. Potom sa zjednodušia výpočty jeho obvodu. Dĺžka elipsy sa vypočíta pomocou vzorca, ktorý dáva približnú odpoveď. Na úlohy školského kurzu však často stačí:

l = π * (a + b),

kde "a" a "b" sú poloosi elipsy, to znamená vzdialenosť od stredu k jej najbližšiemu a najvzdialenejšiemu bodu.

Plocha celého povrchu sa musí vypočítať pomocou nasledujúceho výrazu:

S poschodie = 2 π * r 2 + x * R.

Čomu sa rovnajú niektoré časti rovného kruhového valca?

Keď rez prechádza osou, potom sa jeho plocha určí ako súčin tvoriacej čiary a priemeru základne. Je to spôsobené tým, že vyzerá ako obdĺžnik, ktorého strany sa zhodujú s určenými prvkami.

Ak chcete nájsť prierez valca, ktorý je rovnobežný s axiálnym, budete potrebovať aj vzorec pre obdĺžnik. V tejto situácii sa jedna jeho strana bude stále zhodovať s výškou a druhá sa rovná tetive základne. Ten sa zhoduje s čiarou rezu na základni.

Keď je rez kolmý na os, potom vyzerá ako kruh. Okrem toho je jeho plocha rovnaká ako na základni obrázku.

Priesečník pod určitým uhlom k osi je tiež možný. Potom sa v sekcii získa ovál alebo jeho časť.

Príklady úloh

Úloha číslo 1. Daný rovný valec, ktorého základná plocha je 12,56 cm2. Je potrebné vypočítať celkovú plochu valca, ak je jeho výška 3 cm.

Riešenie. Je potrebné použiť vzorec pre celkovú plochu kruhového rovného valca. Chýbajú mu však údaje, konkrétne polomer základne. Ale oblasť kruhu je známa. Z nej sa dá ľahko vypočítať polomer.

Ukazuje sa, že je to rovnocenné odmocnina z kvocientu, ktorý sa získa vydelením plochy základne pi. Po vydelení 12,56 číslom 3,14 dostanete 4. Druhá odmocnina zo 4 je 2. Polomer teda bude mať presne túto hodnotu.

Odpoveď: S podlaha = 50,24 cm2.

Úloha číslo 2. Valec s polomerom 5 cm je zachytený rovinou rovnobežnou s osou. Vzdialenosť od rezu k osi je 3 cm Výška valca je 4 cm Je potrebné nájsť plochu rezu.

Riešenie. Tvar sekcie - obdĺžnikový. Jedna jeho strana sa zhoduje s výškou valca a druhá sa rovná tetive. Ak je známa prvá hodnota, musí sa nájsť druhá.

Na tento účel by sa mala vykonať dodatočná konštrukcia. Nakreslite dva segmenty na základni. Obaja začnú v strede kruhu. Prvý bude končiť v strede tetivy a bude sa rovnať známej vzdialenosti od osi. Druhý je na konci akordu.

Vznikne vám pravouhlý trojuholník. Je v nej známa prepona a jedna z nôh. Prepona sa zhoduje s polomerom. Druhá noha sa rovná polovici akordu. Neznáma noha, vynásobená 2, poskytne požadovanú dĺžku akordu. Vypočítajme jeho hodnotu.

Aby ste našli neznámu vetvu, musíte odmocniť preponu a známu vetvu, odpočítať druhú od prvej a extrahovať druhú odmocninu. Štvorce sa rovnajú 25 a 9. Ich rozdiel je 16. Po extrakcii druhej odmocniny zostáva 4. Toto je požadovaná noha.

Tetiva bude 4 * 2 = 8 (cm). Teraz môžete vypočítať plochu prierezu: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odpoveď: S prierez sa rovná 32 cm2.

Úloha číslo 3. Je potrebné vypočítať plochu axiálneho úseku valca. Je známe, že je v ňom vpísaná kocka s hranou 10 cm.

Riešenie. Osový rez valca sa zhoduje s obdĺžnikom, ktorý prechádza štyrmi vrcholmi kocky a obsahuje uhlopriečky jej podstav. Strana kocky je tvoriacou čiarou valca a uhlopriečka podstavy sa zhoduje s priemerom. Súčin týchto dvoch hodnôt vám dá oblasť, ktorú potrebujete v probléme poznať.

Ak chcete zistiť priemer, musíte použiť vedomosť, že na základni kocky je štvorec a jeho uhlopriečka tvorí rovnostranný správny trojuholník... Jeho prepona je požadovaná uhlopriečka.

Na jej výpočet potrebujete vzorec Pytagorovej vety. Musíte odmocniť stranu kocky, vynásobiť ju 2 a extrahovať druhú odmocninu. Desať na druhú mocninu je sto. Vynásobené 2 - dvesto. Druhá odmocnina z 200 je 10√2.

Rez je opäť obdĺžnik so stranami 10 a 10√2. Jeho plochu možno jednoducho vypočítať vynásobením týchto hodnôt.

Odpoveď. S prierez = 100√2 cm 2.

Nájdite oblasť axiálneho rezu kolmého na základňu valca. Jedna zo strán tohto obdĺžnika sa rovná výške valca, druhá je priemer základnej kružnice. V súlade s tým bude plocha prierezu v tomto prípade rovná súčinu strán obdĺžnika. S = 2R * h, kde S je plocha prierezu, R je polomer základnej kružnice špecifikovaný podmienkami úlohy a h je výška valca, tiež špecifikovaná podmienkami úlohy.

Ak je rez kolmý na základne, ale neprechádza osou otáčania, obdĺžnik sa nebude rovnať priemeru kruhu. Treba to vypočítať. Na to musí problém povedať, v akej vzdialenosti od osi otáčania prechádza rovina rezu. Pre pohodlie výpočtov nakreslite kruh základne valca, nakreslite polomer a odložte naň vzdialenosť, v ktorej je časť umiestnená od stredu kruhu. Z tohto bodu nakreslite kolmice na priesečník s kružnicou. Pripojte priesečníky do stredu. Musíte nájsť akordy. Nájdite veľkosť polovice akordu pomocou Pytagorovej vety. Bude sa rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi štvorcami polomeru kruhu od stredu k čiare rezu. a2 = R2-b2. Celý akord sa bude rovnať 2a. Vypočítajte plochu prierezu, ktorá sa rovná súčinu strán obdĺžnika, to znamená S = 2a * h.

Valec môže byť rozrezaný bez toho, aby prešiel rovinou základne. Ak priečny rez prechádza kolmo na os otáčania, potom bude predstavovať kruh. Jeho plocha sa v tomto prípade rovná ploche báz, to znamená, že sa vypočíta podľa vzorca S = πR2.

Užitočné rady

Pre presnejšiu predstavu rezu urobte nákres a ďalšie konštrukcie k nemu.

Zdroje:

• časť oblasti valca

Priamka priesečníka plochy s rovinou patrí ploche aj rovine rezu. Priesečník valcový povrch rovina rezu rovnobežná s priamou tvoriacou čiarou - priamka. Ak je rovina rezu kolmá na os rotačnej plochy, v reze bude kruh. Vo všeobecnosti je priesečník valcovej plochy s rovinou rezu zakrivená čiara.

Budete potrebovať

• Ceruzka, pravítko, trojuholník, šablóny, kružidlo, merací prístroj.

Inštrukcie

Na čelnej rovine priemetov П₂ sa čiara rezu zhoduje s priemetom roviny sečnice Σ₂ v tvare priamky.
Označte priesečníky tvoriacich čiar valca s priemetom Σ₂ 1₂, 2₂ atď. k bodom 10₂ a 11₂.

Na rovine П₁ je kruh. Body 1₂, 2₂ atď., vyznačené na rovine rezu Σ₂. pomocou projekčnej komunikácie sa premietajú na obrys tohto kruhu. Označte ich vodorovné priemety symetricky okolo vodorovnej osi kruhu.

Takto sú určené priemety požadovaného rezu: na rovine П₂ - priamka (body 1₂, 2₂… 10₂); na rovine П₁ - kruh (body 1₁, 2₁… 10₁).

Pomocou dvoch zostrojte skutočnú veľkosť rezu daného valca s rovinou nárysu Σ. Ak to chcete urobiť, použite metódu projekcie.

Nakreslite rovinu П₄ rovnobežnú s priemetom roviny Σ₂. Na tejto novej osi x₂4 označte bod 1₀. Vzdialenosť medzi bodmi 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ atď. z čelnej projekcie rezu nakreslite na os x24 tenké čiary spojenia projekcie kolmo na os x24.

Pri tejto metóde rovina П₄ nahrádza rovinu П₁, preto z horizontálnej projekcie preneste rozmery z osi do bodov na os roviny П₄.

Napríklad na П₁ pre body 2 a 3 to bude vzdialenosť od 2₁ a 3₁ k osi (bod A) atď.

Ak odložíme naznačené vzdialenosti od vodorovnej projekcie, dostaneme body 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Potom sa pre väčšiu presnosť konštrukcie určujú ostatné, medziľahlé, body.

Spojením všetkých bodov zakrivenou krivkou získate požadovaný skutočný rozmer valcovej sekcie rovinou prednej projekcie.

Zdroje:

• ako nahradiť lietadlo

Tip 3: Ako nájsť axiálnu oblasť zrezaného kužeľa

Na vyriešenie tohto problému si musíte pamätať, čo je zrezaný kužeľ a aké vlastnosti má. Uistite sa, že urobíte kresbu. To vám umožní určiť, aký geometrický tvar je sekcia. Je dosť možné, že potom už pre vás riešenie problému nebude ťažké.

Inštrukcie

Okrúhly kužeľ je teleso získané otáčaním trojuholníka okolo jednej z jeho nôh. Priame čiary vychádzajúce zhora kužeľ a základňa, ktorá ju pretína, sa nazývajú generátory. Ak sú všetky generátory rovnaké, potom je kužeľ rovný. Na základni kola kužeľ leží kruh. Kolmica spustená k základni zhora je výška kužeľ... Okrúhla rovná kužeľ výška sa zhoduje s jeho osou. Os je priamka spájajúca sa so stredom základne. Ak je horizontálna rovina rezu kruhová kužeľ, potom je jeho horná základňa kruh.

Keďže v podmienke úlohy to nie je špecifikované, v tomto prípade je daný kužeľ, môžeme usúdiť, že ide o rovný zrezaný kužeľ, ktorého horizontálny rez je rovnobežný so základňou. Jeho osový rez, t.j. zvislej rovine, ktorá je cez os obl kužeľ, je rovnoramenný lichobežník. Všetko axiálne prierezy okrúhle rovné kužeľ sú si navzájom rovné. Preto nájsť námestie axiálne prierezy, je potrebné nájsť námestie lichobežník, ktorého základne sú priemery základov skrátených kužeľ a bočné strany sú jeho generátormi. Skrátená výška kužeľ je zároveň výška lichobežníka.

Plocha lichobežníka je určená vzorcom: S = ½ (a + b) h, kde S - námestie lichobežník; a - hodnota spodnej základne lichobežníka; b - hodnota jeho horná základňa h je výška lichobežníka.

Keďže podmienka nešpecifikuje, ktoré z nich sú dané, je možné, že priemery oboch pätiek skrátených kužeľ známy: AD = d1 - priemer spodnej základne zrezaného kužeľ BC = d2 - priemer jeho hornej základne; EH = h1 - výška kužeľ.Takže námestie axiálne prierezy skrátený kužeľ je definované: S1 = ½ (d1 + d2) h1

Zdroje:

• oblasť zrezaného kužeľa

Valec je priestorový obrazec a pozostáva z dvoch rovnakých podstav, ktorými sú kruhy a bočného povrchu, ktorý spája čiary, ktoré definujú základy. Kalkulovať námestie valec, nájdite plochy všetkých jeho povrchov a spočítajte ich.

Valec (kruhový valec) - teleso, ktoré sa skladá z dvoch kruhov, kombinovaných paralelným prekladom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kruhov. Kruhy sa nazývajú základne valca a úsečky spájajúce zodpovedajúce body kružníc kruhov sa nazývajú tvoriace priamky valca.

Základy valca sú rovnaké a ležia v rovnobežných rovinách a tvoriace priamky valca sú rovnobežné a rovnaké. Povrch valca pozostáva z podstavcov a bočnej plochy. Bočná plocha je tvorená generátormi.

Valec sa nazýva rovný, ak sú jeho tvoriace priamky kolmé na základné roviny. Na valec sa možno pozerať ako na pevnú látku získanú otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán ako osi. Existujú aj iné typy valcov - eliptický, hyperbolický, parabolický. Za typ valca sa považuje aj hranol.

Obrázok 2 zobrazuje naklonený valec. Jeho základňami sú kruhy so stredmi O a O 1.

Polomer valca - polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami podstavcov. Os valca sa nazýva priamka prechádzajúca stredmi podstavcov. Je rovnobežná s tvoriacou čiarou. Rez valca rovinou prechádzajúcou osou valca sa nazýva osový rez. Rovina prechádzajúca tvoriacou čiarou priameho valca a kolmá na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina valca.

Rovina kolmá na os valca pretína jeho bočnú plochu v kruhu, rovnaký obvod dôvodov.

Hranol vpísaný do valca je hranol, ktorého základne sú rovnaké mnohouholníky vpísané do základov valca. Jeho bočné rebrá sú tvoriace čiary valca. Hranol sa nazýva opísaný okolo valca, ak jeho základne sú rovnaké polygóny opísané v blízkosti základov valca. Roviny jeho plôch sa dotýkajú bočného povrchu valca.

Plochu bočného povrchu valca možno vypočítať vynásobením dĺžky tvoriacej čiary obvodom sekcie valca rovinou kolmou na tvoriacu čiaru.

Bočný povrch rovného valca možno nájsť jeho zametaním. Rozložený valec je obdĺžnik s výškou h a dĺžkou P, ktorá sa rovná obvodu základne. V dôsledku toho sa plocha bočného povrchu valca rovná ploche jeho pohybu a vypočíta sa podľa vzorca:

Najmä pre rovný kruhový valec:

P = 2πR a Sb = 2πRh.

Celková plocha valca sa rovná súčtu plôch jeho bočného povrchu a jeho základov.

Pre rovný kruhový valec:

Sp = 2πRh + 2πR2 = 2πR (h + R)

Na zistenie objemu nakloneného valca existujú dva vzorce.

Objem nájdete vynásobením dĺžky tvoriacej čiary plochou prierezu valca rovinou kolmou na tvoriacu čiaru.

Objem nakloneného valca sa rovná súčinu plochy základne výškou (vzdialenosť medzi rovinami, v ktorých ležia základne):

V = Sh = S l sin α,

kde l je dĺžka tvoriacej priamky a α je uhol medzi tvoriacou čiarou a rovinou základne. Pre rovný valec h = l.

Vzorec na zistenie objemu kruhového valca je nasledujúci:

V = π R 2 h = π (d 2/4) h,

kde d je priemer základne.

blog. s úplným alebo čiastočným skopírovaním materiálu, vyžaduje sa odkaz na zdroj.

Stereometria je oblasť geometrie, ktorá študuje tvary v priestore. Hlavné postavy v priestore sú bod, čiara a rovina. V stereometrii sa objaví nový pohľad vzájomného usporiadania rovný: pretínajúce sa priame čiary. Toto je jeden z mála významných rozdielov medzi stereometriou a planimetriou, pretože v mnohých prípadoch sa problémy stereometrie riešia zvažovaním rôznych rovín, v ktorých sú splnené planimetrické zákony.

V prírode okolo nás je veľa predmetov, ktoré sú fyzikálnymi modelmi špecifikovanej postavy. Napríklad mnohé časti strojov sú valcové alebo ich kombinácie a majestátne valcové stĺpy chrámov a katedrál zdôrazňujú ich harmóniu a krásu.

grécky. - kyulindros. Starožitný termín. V každodennom živote - papyrusový zvitok, valec, klzisko (sloveso je krútiť, kotúľať).

V Euklidovi sa valec získa otáčaním obdĺžnika. Pre Cavalieriho - pohybom tvoriacej čiary (s ľubovoľným vedením - "valcom").

Účelom tejto eseje je zvážiť geometrické teleso - valec.

Na dosiahnutie tohto cieľa je potrebné zvážiť nasledujúce úlohy:

- uveďte definície valca;

- zvážiť prvky valca;

- študovať vlastnosti valca;

- zvážiť typy sekcií valca;

- odvodiť vzorec pre plochu valca;

- odvodiť vzorec pre objem valca;

- riešiť problémy pomocou valca.

1.1. Definovanie valca

Uvažujme nejakú priamku (krivku, prerušovanú alebo zmiešanú) l, ležiacu v nejakej rovine α, a nejakú priamku S pretínajúcu túto rovinu. Cez všetky body tejto priamky l nakreslite rovné čiary rovnobežné s priamkou S; plocha α tvorená týmito čiarami sa nazýva valcová plocha. Priamka l sa nazýva smer tejto plochy, priamky s 1, s 2, s 3, ... sú jej generátormi.

Ak je vodidlom prerušovaná čiara, potom takáto valcová plocha pozostáva zo série plochých pásikov uzavretých medzi pármi rovnobežných priamych čiar a nazýva sa prizmatická plocha. Tvoriace priamky prechádzajúce cez vrcholy vodiacej lomenej čiary sa nazývajú hrany hranolovej plochy, ploché pruhy medzi nimi sa nazývajú jej plochy.

Ak narežeme ľubovoľnú valcovú plochu ľubovoľnou rovinou, ktorá nie je rovnobežná s jej tvoriacou čiarou, dostaneme priamku, ktorú možno považovať aj za vodiacu čiaru tejto plochy. Medzi vodidlami vyniká to, ktoré vybieha z rezu plochy rovinou kolmou na tvoriacu čiaru plochy. Takáto sekcia sa nazýva normálna sekcia a zodpovedajúci sprievodca sa nazýva normálny sprievodca.

Ak je vodítkom uzavretá (konvexná) čiara (prerušovaná čiara alebo krivka), potom sa zodpovedajúca plocha nazýva uzavretá (konvexná) prizmatická alebo valcová plocha. Najjednoduchšia z valcových plôch má ako normálne vedenie kruh. Vypreparujeme uzavretú konvexnú prizmatickú plochu s dvomi rovinami navzájom rovnobežnými, ale nie rovnobežnými s tvoriacou čiarou.

V rezoch dostaneme konvexné polygóny. Teraz časť hranolovej plochy, uzavretá medzi rovinami α a α", a dve výsledné polygonálne dosky v týchto rovinách ohraničujú teleso, nazývané hranolové teleso - hranol.

Valcové teleso - valec je definovaný podobne ako hranol:
Valec je teleso ohraničené zo strán uzavretou (konvexnou) valcovou plochou a z koncov dvoma plochými rovnobežnými podstavami. Obe základne valca sú rovnaké a všetky tvoriace priamky valca sú tiež rovnaké, t.j. segmenty tvoriacich priamok valcovej plochy medzi rovinami podstav.

Valec (presnejšie kruhový valec) je geometrické teleso, ktoré pozostáva z dvoch kružníc, ktoré neležia v rovnakej rovine a sú spojené rovnobežným prekladom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kružníc (obr. 1) .

Kruhy sa nazývajú základne valca a úsečky spájajúce zodpovedajúce body kružníc kruhov sa nazývajú tvoriace priamky valca.

Pretože paralelný posun je pohyb, základne valca sú rovnaké.

Keďže pri paralelnom presune rovina prechádza do rovnobežnej roviny (alebo do seba), základne valca ležia v rovnobežných rovinách.

Keďže pri paralelnom prenose sú body posunuté pozdĺž rovnobežných (alebo zhodných) priamok o rovnakú vzdialenosť, tvoriace priamky valca sú rovnobežné a rovnaké.

Povrch valca pozostáva z podstavcov a bočnej plochy. Bočný povrch tvoria generátory.

Valec sa nazýva rovný, ak jeho tvoriace priamky sú kolmé na roviny podstav.

Priamy valec možno jasne vizualizovať ako geometrické teleso, ktoré opisuje obdĺžnik, keď sa otáča okolo strany ako osi (obr. 2).

Ryža. 2 - Priamy valec

V nasledujúcom budeme uvažovať iba o priamom valci, ktorý pre stručnosť nazývame jednoducho valec.

Polomer valca je polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami jeho základní. Os valca sa nazýva priamka prechádzajúca stredmi podstavcov. Je rovnobežná s tvoriacou čiarou.

Valec sa nazýva rovnostranný, ak sa jeho výška rovná priemeru základne.

Ak sú základne valca ploché (a teda roviny, ktoré ich obsahujú, sú rovnobežné), potom sa valec nazýva stojaci na rovine. Ak sú základne valca stojaceho v rovine kolmé na tvoriacu čiaru, potom sa valec nazýva rovný.

Najmä, ak podstavou valca stojaceho na rovine je kruh, potom hovoríme o kruhovom (okrúhlom) valci; ak je elipsa elipsovitá.

1. 3. Časti valca

Rez valca rovinou rovnobežnou s jeho osou je obdĺžnik (obr. 3, a). Jeho dve strany sú tvoriace priamky valca a ďalšie dve sú rovnobežné tetivy podstav.

a) b)

v) G)

Ryža. 3 - Časti valca

Najmä obdĺžnik je axiálny rez. Toto je rez valca rovinou prechádzajúcou jeho osou (obr. 3, b).

Rez valca rovinou rovnobežnou so základňou - kruh (obrázok 3, c).

Rez valca s rovinou, ktorá nie je rovnobežná so základňou a jej osou, je ovál (obr. 3d).

Veta 1. Rovina rovnobežná s rovinou podstavy valca pretína jeho bočnú plochu v kruhu, ktorý sa rovná obvodu podstavy.

Dôkaz. Nech β je rovina rovnobežná s rovinou podstavy valca. Paralelný posun v smere osi valca, vyrovnávajúci rovinu β so základnou rovinou valca, vyrovnáva rez bočným povrchom rovinou β s obvodom základne. Veta je dokázaná.

Oblasť bočného povrchu valca.

Plocha bočného povrchu valca sa považuje za hranicu, ku ktorej smeruje plocha bočného povrchu pravidelného hranola vpísaného do valca, keď sa počet strán základne tohto hranola zvyšuje na neurčito.

Veta 2. Plocha bočného povrchu valca sa rovná súčinu obvodu jeho základne výškou (S strana.ts = 2πRH, kde R je polomer základne valca, H je výška valca).

A) b)
Ryža. 4 - Oblasť bočného povrchu valca

Dôkaz.

Nech P n a H sú obvod základne a výška pravidelného n-uholníkového hranola vpísaného do valca (obr. 4, a). Potom plocha bočného povrchu tohto hranola S strana.ts - P n H. Predpokladajme, že počet strán mnohouholníka vpísaného do základne rastie donekonečna (obr. 4, b). Potom obvod P n smeruje k obvodu C = 2πR, kde R je polomer podstavy valca a výška H sa nemení. Plocha bočnej plochy hranola teda smeruje k hranici 2πRH, t.j. plocha bočnej plochy valca je S strana.c = 2πRH. Veta je dokázaná.

Celková plocha valca.

Celková plocha valca je súčtom plôch bočného povrchu a dvoch základní. Plocha každej základne valca sa rovná πR 2, preto je celková plocha valca S plne vypočítaná podľa vzorca S strana.ts = 2πRH + 2πR 2.

r

T 1

T

F

F 1

F

T

a)

F

b)

Ryža. 5 - Celková plocha valca

Ak je bočný povrch valca prerezaný pozdĺž tvoriacej priamky FT (obr. 5, a) a rozšírený tak, že všetky tvoriace priamky sú v rovnakej rovine, potom ako výsledok dostaneme obdĺžnik FTT1F1, ktorý sa nazýva skenovanie bočnej čiary. povrch valca. Strana FF1 obdĺžnika je rozvinutím obvodu základne valca, teda FF1 = 2πR, a jeho strana FT sa rovná tvoriacej priamke valca, teda FT = H (obr. 5, b ). Plocha FT ∙ FF1 = 2πRH záhybu valca sa teda rovná ploche jeho bočného povrchu.

1.5. Objem valca

Ak je geometrické teleso jednoduché, to znamená, že môže byť rozdelené na konečný počet trojuholníkových pyramíd, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto pyramíd. Pre ľubovoľné teleso sa objem určuje nasledovne.

Dané teleso má objem V, ak existujú jednoduché telesá, ktoré ho obsahujú a v ňom obsiahnuté jednoduché telesá s objemom, ktorý sa len málo líši od objemu V.

Aplikujme túto definíciu na nájdenie objemu valca s polomerom základne R a výškou H.

Pri odvodzovaní vzorca pre oblasť kruhu boli skonštruované dva n-uholníky (jeden obsahuje kruh, druhý je obsiahnutý v kruhu) tak, že ich plochy s neobmedzeným nárastom n sa blížili k ploche kruhu. na dobu neurčitú. Zostrojme také polygóny pre kružnicu na základni valca. Nech P je mnohouholník obsahujúci kruh a P" mnohouholník obsiahnutý v kruhu (obr. 6).

Ryža. 7 - Valec s popísaným a vpísaným hranolom

Zostrojíme dva priame hranoly so základňami P a P" a výškou H rovnajúcou sa výške valca. Prvý hranol obsahuje valec a druhý hranol je obsiahnutý vo valci. Keďže s neobmedzeným nárastom n, plochy Základy hranolov sa neobmedzene približujú k ploche podstavy valca S, ich objemy sa nekonečne približujú k SN.Podľa definície objem valca

V = SH = πR2H.

Objem valca sa teda rovná súčinu základnej plochy výškou.

Cieľ 1

Axiálny rez valca je štvorec, ktorého plocha je Q.

Nájdite oblasť na spodnej časti valca.

Dané: valec, štvorec - osový rez valca, S štvorec = Q.

Nájdite: S hlavný cyl.

Strana námestia je. Rovná sa priemeru základne. Preto je plocha základne .

Odpoveď: S hlavný cyl. =

Cieľ 2

Vo valci je vpísaný pravidelný šesťhranný hranol. Nájdite uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca, ak sa polomer podstavy rovná výške valca.

Dané: valec, pravidelný šesťhranný hranol vpísaný do valca, polomer základne = výška valca.

Nájdite: uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca.

Riešenie: Bočné strany hranola sú štvorce, pretože strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu sa rovná polomeru.

Hrany hranola sú rovnobežné s osou valca, takže uhol medzi uhlopriečkou čela a osou valca sa rovná uhlu medzi uhlopriečkou a bočnou hranou. A tento uhol je 45 °, pretože tváre sú štvorce.

Odpoveď: uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca = 45 °.

Cieľ 3

Výška valca je 6cm, polomer podstavy je 5cm.

Nájdite plochu prierezu rovnobežnú s osou valca vo vzdialenosti 4 cm od nej.

Dané: H = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.

Nájsť: S sek.

S sek. = KM × KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Trojuholník OKM - rovnoramenný (OK = OM = R = 5 cm),

trojuholník OEK - obdĺžnikový.

Z trojuholníka OEK podľa Pytagorovej vety:

KM = 2EK = 2 × 3 = 6,

S sek. = 6 × 6 = 36 cm2.

Účel tohto abstraktu je splnený, uvažuje sa o takom geometrickom telese, akým je valec.

Zvažovali sa tieto úlohy:

- je uvedená definícia valca;

- zohľadňujú sa prvky valca;

- študoval vlastnosti valca;

- zohľadňujú sa typy sekcií valca;

- je odvodený vzorec pre oblasť valca;

- je odvodený vzorec pre objem valca;

- problémy s používaním valca sú vyriešené.

1. Pogorelov A. V. Geometria: Učebnica pre 10 - 11 ročníkov vzdelávacie inštitúcie, 1995.

2. Beskin L.N. Stereometria. Príručka pre stredoškolských učiteľov, 1999.

3. Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometria: Učebnica pre ročníky 10-11 vzdelávacích inštitúcií, 2000.

4. Alexandrov A.D., Verner A.L., Ryzhik V.I. Geometria: učebnica pre 10.-11. ročník vzdelávacích inštitúcií, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometria: Stereometria: Ročníky 10 - 11: Učebnica a problémová kniha, 2000.

Názov vedy „geometria“ sa prekladá ako „meranie zeme“. Zrodila sa vďaka úsiliu úplne prvých starovekých zememeračov. A bolo to takto: pri záplavách posvätného Nílu prúdy vody občas zmyli hranice roľníckych pozemkov a nové hranice sa nemuseli zhodovať so starými. Dane platili roľníci do faraónovej pokladnice v pomere k veľkosti prídelu pôdy. Špeciálni ľudia sa podieľali na meraní ornej pôdy v nových hraniciach po úniku. Práve v dôsledku ich činnosti vznikla nová veda, ktorá sa rozvinula v r Staroveké Grécko... Tam dostala meno a získala takmer moderný vzhľad. Neskôr sa tento termín stal medzinárodným názvom pre vedu o plochých a objemových obrazcoch.

Planimetrie je odvetvie geometrie, ktoré sa zaoberá štúdiom rovinných útvarov. Ďalším vedným odborom je stereometria, ktorá skúma vlastnosti priestorových (objemových) útvarov. K takýmto tvarom patrí aj valec opísaný v tomto článku.

Príklady prítomnosti valcových predmetov v Každodenný život dosť. Takmer všetky časti rotácie - hriadele, puzdrá, čapy, nápravy atď. majú valcový (oveľa menej často - kužeľový) tvar. Valec je široko používaný v stavebníctve: veže, podpera, ozdobné stĺpy... A okrem toho riad, niektoré druhy obalov, rúry všetkých možných priemerov. A na záver – slávne klobúky, ktoré sa na dlhú dobu stali symbolom mužskej elegancie. Zoznam je nekonečný.

Definovanie valca ako geometrického tvaru

Je zvykom nazývať valec (kruhový valec) postavou pozostávajúcou z dvoch kruhov, ktoré sa v prípade potreby kombinujú pomocou paralelného prenosu. Práve tieto kruhy sú základňami valca. Ale čiary (priame úsečky) spájajúce zodpovedajúce body sa nazývajú "generátory".

Je dôležité, aby základne valca boli vždy rovnaké (ak nie je splnená táto podmienka, potom stojíme pred zrezaným kužeľom, niečím iným, ale nie valcom) a boli v rovnobežných rovinách. Segmenty spájajúce zodpovedajúce body na kruhoch sú rovnobežné a rovnaké.

Sada nekonečnej sady generátorov nie je nič iné ako bočný povrch valca - jeden z prvkov tohto geometrického útvaru. Jeho ďalšou dôležitou súčasťou sú vyššie diskutované kruhy. Nazývajú sa základne.

Typy valcov

Najjednoduchší a najbežnejší typ valca je kruhový. Tvoria ho dva pravidelné kruhy, ktoré fungujú ako základne. Ale namiesto nich môžu byť iné postavy.

Základy valcov môžu tvoriť (okrem kruhov) elipsy, iné uzavreté tvary. Valec však nemusí mať nevyhnutne uzavretý tvar. Základom valca môže byť napríklad parabola, hyperbola alebo iná otvorená funkcia. Takýto valec bude otvorený alebo roztiahnutý.

Z hľadiska uhla sklonu tvoriacich čiar k základniam môžu byť valce rovné alebo šikmé. Pre rovný valec sú tvoriace čiary striktne kolmé na základnú rovinu. Ak sa tento uhol líši od 90°, valec je naklonený.

Čo je povrch revolúcie

Priamy kruhový valec je bezpochyby najbežnejšou rotačnou plochou používanou v strojárstve. Niekedy sa z technických dôvodov používajú kužeľové, guľové, niektoré iné typy povrchov, ale 99% všetkých rotujúcich hriadeľov, náprav atď. vyrobené presne vo forme valcov. Aby sme lepšie pochopili, čo je rotačný povrch, môžeme zvážiť, ako je vytvorený samotný valec.

Povedzme, že existuje určitá priamka a umiestnené vertikálne. ABCD - obdĺžnik, ktorého jedna zo strán (segment AB) leží na priamke a... Ak otočíte obdĺžnik okolo priamky, ako je znázornené na obrázku, objem, ktorý pri otáčaní zaberie, bude naše rotačné teleso - rovný kruhový valec s výškou H = AB = DC a polomerom R = AD = BC.

V tomto prípade sa v dôsledku otáčania tvaru - obdĺžnika - získa valec. Otáčaním trojuholníka môžete získať kužeľ, otáčanie polkruhu - guľu atď.

Povrch valca

Na výpočet povrchovej plochy obyčajného pravého kruhového valca je potrebné vypočítať plochy základne a bočného povrchu.

Najprv sa pozrime na to, ako sa vypočíta plocha bočného povrchu. Ide o súčin obvodu a výšky valca. Obvod sa zasa rovná dvojnásobku súčinu univerzálneho čísla NS podľa polomeru kruhu.

Ako viete, plocha kruhu sa rovná produktu NS na štvorcový polomer. Takže sčítaním vzorcov pre oblasť určenia bočného povrchu so zdvojeným výrazom pre oblasť základne (sú dve) a vykonaním jednoduchých algebraických transformácií získame konečný výraz na určenie povrchu. plocha valca.

Určenie objemu postavy

Objem valca je určený štandardná schéma: Plocha základne sa vynásobí výškou.

Výsledný vzorec teda vyzerá takto: želaný je definovaný ako súčin telesnej výšky univerzálnym číslom NS a druhou mocninou polomeru základne.

Výsledný vzorec, musím povedať, je použiteľný na riešenie najneočakávanejších problémov. Rovnakým spôsobom ako napríklad objem valca sa určuje objem elektrického vedenia. To je niekedy potrebné na výpočet hmotnosti drôtov.

Jediné rozdiely vo vzorci sú v tom, že namiesto polomeru jedného valca je priemer drôteného jadra polovičný a počet jadier v drôte sa objavuje vo výraze N... Namiesto výšky sa tiež používa dĺžka drôtu. Objem "valca" sa teda vypočíta nie jedným, ale počtom pletených drôtov.

Takéto výpočty sa v praxi často vyžadujú. Koniec koncov, významná časť vodných nádrží je vyrobená vo forme potrubia. A často je potrebné vypočítať objem valca aj v domácnosti.

Ako však už bolo spomenuté, tvar valca môže byť odlišný. A v niektorých prípadoch je potrebné vypočítať, čomu sa rovná objem nakloneného valca.

Rozdiel je v tom, že povrchová plocha základne sa nenásobí dĺžkou tvoriacej čiary, ako v prípade priameho valca, ale vzdialenosťou medzi rovinami - kolmým segmentom postaveným medzi nimi.

Ako je zrejmé z obrázku, takýto segment sa rovná súčinu dĺžky tvoriacej priamky a sínusu uhla sklonu tvoriacej priamky k rovine.

Ako postaviť valec v rozloženom stave

V niektorých prípadoch je potrebné vystrihnúť valec. Obrázok nižšie ukazuje pravidlá, podľa ktorých sa vyrába polotovar na výrobu valca s danou výškou a priemerom.

Treba mať na pamäti, že obrázok je zobrazený bez zohľadnenia švov.

Rozdiely v skosených valcoch

Predstavme si istý priamy valec ohraničený na jednej strane rovinou kolmou na tvoriacu čiaru. Ale rovina, ktorá ohraničuje valec, na druhej strane nie je kolmá na tvoriacu čiaru a nie je rovnobežná s prvou rovinou.

Na obrázku je znázornený skosený valec. Lietadlo a v určitom uhle inom ako 90° ku generátorom pretína obrazec.

Tento geometrický tvar je v praxi bežnejší vo forme spojov rúr (kolená). Existujú však aj budovy postavené vo forme skoseného valca.

Skosená geometria valca

Sklon jednej z rovín skoseného valca mierne mení poradie výpočtu plochy takejto postavy a jej objemu.