Vzdialenosť od bodu k priamke je určená rovnosťou. Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Vzájomné usporiadanie priamych čiar. Uhol medzi priamkami

155 *. Určte skutočnú veľkosť segmentu AB priamky vo všeobecnej polohe (obr. 153, a).

Rozhodnutie. Ako viete, priemet rovného čiary v ktorejkoľvek rovine sa rovná samotnému segmentu (s prihliadnutím na mierku výkresu), ak je rovnobežný s touto rovinou

(Obr. 153, b). Z toho vyplýva, že transformáciou výkresu je potrebné dosiahnuť rovnobežnosť tohto segmentu štvorca. V alebo pl. H alebo doplniť systém V, H inou rovinou kolmou na pl. V alebo pl. H a súbežne s týmto segmentom.

Na obr. Obrázok 153 zobrazuje zavedenie ďalšej roviny S, kolmej na pl. H a rovnobežne s daným segmentom AB.

Projekcia a s bs sa rovná prirodzenej hodnote segmentu AB.

Na obr. 153, d ukazuje ďalšiu techniku: segment AB sa otáča okolo priamky prechádzajúcej bodom B a kolmo na pl. H, do polohy rovnobežnej

pl. V. V tomto prípade zostáva bod B na mieste a bod A nadobúda novú pozíciu A1. Horizont je v novej pozícii. projekcia а 1 b || os x. Projekcia a "1 b" sa rovná prirodzenej hodnote segmentu AB.

156. Je uvedená pyramídová SABCD (obr. 154). Stanovte skutočnú veľkosť hrán pyramídy AS a CS pomocou metódy zmeny projekčných rovín a hrán BS a DS pomocou metódy rotácie a zoberte os rotácie kolmo na štvorec. H.

157 *. Určite vzdialenosť od bodu A k priamke BC (Obr. 155, a).

Rozhodnutie. Vzdialenosť od bodu k priamke sa meria kolmým úsekom nakresleným od bodu k priamke.

Ak je priamka kolmá na akúkoľvek rovinu (Obr. 155.6), potom sa vzdialenosť od bodu k priamke meria vzdialenosťou medzi priemetom bodu a bodovým priemetom priamky v tejto rovine. Ak priama čiara zaujíma všeobecnú polohu v systéme V, H, potom s cieľom určiť vzdialenosť od bodu k priamke zmenou projekčných rovín, musia sa do systému V, H zaviesť dve ďalšie roviny.

Najprv (Obr. 155, c) zadáme pl. S rovnobežne so segmentom BC (nová os S / H je rovnobežná s projekciou bc) a zostavuje projekcie b s c a s s. Potom (Obr. 155, d) predstavíme ďalšiu pl. T kolmá na priamku BC (nová os T / S kolmá na b s c s). Budujeme projekcie priamky a bodu - pomocou t (b t) a t. Vzdialenosť medzi bodmi a t (bt) sa rovná vzdialenosti l od bodu A k priamke BC.

Na obr. 155e, rovnaká úloha sa dosiahne použitím spôsobu rotácie vo svojej podobe, ktorá sa nazýva metóda paralelného pohybu. Najprv priama čiara BC a bod A, pričom sa nezmení ich vzájomná poloha, otočia okolo nejakej priamky (nie je na výkrese vyznačené) kolmé na pl. H, takže čiara BC je rovnobežná so štvorcom. V. To sa rovná pohybujúcim sa bodom A, B, C v rovinách rovnobežných so štvorcom. H. V tomto prípade je to horizont. projekcia daného systému (BC + A) sa nemení ani vo veľkosti, ani v konfigurácii, mení sa iba jeho poloha vzhľadom na os x. Postavíme horizont. priemet priamky BC rovnobežnej s osou x (poloha b 1 c 1) a definovať priemet a a, odložiť c 1 1 1 \u003d c-1 a 1 1 1 \u003d a-1 a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Kreslenie priamok b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 rovnobežne s osou x, nachádzame na nich prednú časť. projekcia b "1, a" 1, c "1. Ďalej posúvajte body B1, C 1 a A1 v rovinách rovnobežných so štvorcom V (tiež bez zmeny ich relatívnej polohy), aby ste dostali B 2 C 2 ⊥ štvorec H. V tomto prípade bude predný priemet priamky umiestnený kolmo na os x, b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1 a na zostavenie priemetu a" 2 musíte vziať b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1 , nakreslite 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 a odložte "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. Teraz po c 1 s 2 a a 1 a 2 || x 1 dostaneme projekcie b 2 c 2 a a 2 a požadovaná vzdialenosť l od bodu A po priamku BC. Vzdialenosť od A do BC môžete určiť otočením roviny definovanej bodom A a priamky BC okolo horizontály tejto roviny do polohy T || pl. H (obrázok 155). , e).

V rovine stanovenej bodom A a priamkou BC nakreslite vodorovnú čiaru A-1 (obr. 155, g) a okolo nej bod bodu B. Bod B sa presunie na štvorec. R (uvedené na výkrese cestou R h), kolmé na A-1; v bode O je stred otáčania bodu B. Teraz určujeme skutočnú hodnotu polomeru otáčania VO (obr. 155, c). V požadovanej polohe, t. J. Pri pl. T, definované bodom A a čiarou BC, sa zmení na || pl. H, bod B sa ukáže na Rh vo vzdialenosti Ob 1 od bodu O (na tej istej stope Rh môže byť iná poloha, ale na druhej strane O). Bod b 1 je horizont. priemet bodu B po jeho premiestnení do polohy B1 v priestore, keď rovina definovaná bodom A a čiarou BC zaujala polohu T.

Po nakreslení (Obr. 155, i) priamky b 1 1 dostaneme horizont. priemet priamky BC, už umiestnený || pl. H v rovnakej rovine s A. V tejto polohe je vzdialenosť od a do bl 1 požadovanej vzdialenosti l. Rovinu P, v ktorej ležia dané prvky, možno kombinovať s pl. H (Obr. 155, k), sústruženie pl. Horizont okolo neho. dohľadať. Pri určovaní roviny bodom A a priamkou BC k určeniu priamok BC a A-1 (Obr. 155, l) nájdeme stopy týchto priamych čiar a nakreslíme cez ne stopy P ϑ a Ph. Staviame (obr. 155, m) v kombinácii s pl. Poloha H vpredu. stopa - P ϑ0.

Nakreslite horizont cez bod a. čelná projekcia; vyrovnaný frontálny bod prechádza bodom 2 na trati súbežne s Р ϑ0. Bod A 0 - kombinovaný s pl. H je poloha bodu A. Podobne nachádzame bod Bo. Slnko v kombinácii s pl. Poloha H prechádza bodom B 0 a bodom m (vodorovná čiara).

Vzdialenosť z bodu A 0 do línie B 0 C 0 sa rovná požadovanej vzdialenosti l.

Môžete vykonať uvedenú konštrukciu a nájsť iba jednu stopu Ph (Obr. 155, n a o). Celá konštrukcia je podobná zatáčke okolo vodorovnej roviny (pozri obr. 155, g, c, i): stopa Р h je jednou z obrysov štvorca. R.

Z metód na transformáciu výkresov určených na vyriešenie tohto problému je výhodný spôsob rotácie okolo horizontálnej alebo čelnej strany.

158. Vzhľadom na pyramídu SABC (obr. 156). Určenie vzdialenosti:

a) zhora B základne na jej stranu AC paralelným pohybom;

b) od vrcholu S pyramídy po strany BC a AB základne otáčaním okolo horizontály;

c) zhora S na stranu AC základne zmenou projekčných rovín.

159. Hranol je daný (obr. 157). Určenie vzdialenosti:

a) medzi hranami AD a CF zmenou projekčných rovín;

b) medzi rebrami BE a CF otáčaním okolo čela;

c) medzi okrajmi AD a BE paralelným pohybom.

160. Určite skutočnú veľkosť štvoruholníka ABCD (Obr. 158) zarovnaním s pl. H. Použite iba vodorovnú rovinu.

161 *. Určite vzdialenosť medzi križujúcimi čiarami AB a CD (Obr. 159, a) a vytvorte projekcie kolmice, ktorá je pre nich spoločná.

Rozhodnutie. Vzdialenosť medzi krížiacimi sa priamymi čiarami sa meria segmentom (MN) kolmého k obidvom priamkam (Obr. 159, b). Je zrejmé, že ak je jedna z priamych čiar umiestnená kolmo na akýkoľvek štvorec. T potom

segment MN kolmý na obe čiary bude rovnobežný so štvorcom. Premietaním T v tejto rovine sa zobrazí požadovaná vzdialenosť. Premietanie pravouhlého menadu MN n AB na štvorec. T je tiež pravý uhol medzi m t n a a t b t, pretože jedna zo strán pravého uhla AMN, menovite MN. paralelne s pl. T.

Na obr. 159, cad, je požadovaná vzdialenosť l určená metódou zmeny projekčných rovín. Najprv predstavíme ďalší štvorec. výčnelky S, kolmé na pl. H a rovnobežne s priamou čiarou CD (obr. 159, c). Potom predstavíme ďalší štvorec. T, kolmo na pl. S a kolmo na rovnakú priamku CD (Obr. 159, d). Teraz je možné zostaviť priemet spoločnej kolmice nakreslením m t n t z bodu c t (d t) kolmého na projekciu a t b t. Body m t a n t sú projekcie priesečníkov tejto kolmice s čiarami AB a CD. V bode m t (Obr. 159, e) nájdeme m s na a s b s: projekcia m s n s by mala byť rovnobežná s osou T / S. Ďalej m a ns nájdeme m a n na ab a cd a na nich m "a n" na "b" ac "d".

Na obr. 159, c ukazuje riešenie tohto problému metódou paralelných pohybov. Najprv vložte rovný disk CD rovnobežne so štvorcom. V: projekcia c 1 d 1 || X. Ďalej posuňte priame čiary CD a AB z pozícií C1D1 a A1B1 do pozícií C2B2 a A2B2 tak, aby C2D2 bola kolmá na H: projekcia s „2 d“ 2 ⊥ x. Úsek hľadanej kolmice je umiestnený || pl. H, a preto m 2 n 2 vyjadruje požadovanú vzdialenosť l medzi AB a CD. Nájdeme polohu výbežkov m "2 a n" 2 na "2 b" 2 a c "2 d" 2, potom výčnelky m 1 a m "1, n 1 a n" 1 a nakoniec výčnelok m "a n" ", m a n.

162. Vzhľadom na pyramídu SABC (obrázok 160). Určite vzdialenosť medzi okrajom SB a stranou AC základne pyramídy a vytvorte projekcie spoločnej kolmice na SB a AC pomocou metódy zmeny projekčných rovín.

163. Vzhľadom na pyramídu SABC (obrázok 161). Určite vzdialenosť medzi okrajom SH a stranou BC od základne pyramídy a skonštruujte priemet spoločnej kolmice na SX a BC použitím metódy paralelného pohybu.

164 *. Vzdialenosť od bodu A k rovine stanovte v prípadoch, keď je rovina daná: a) pomocou trojuholníka BCD (obrázok 162, a); b) stopy (obr. 162, b).

Rozhodnutie. Ako viete, vzdialenosť od bodu k rovine sa meria hodnotou kolmice nakreslenej z bodu do roviny. Táto vzdialenosť sa premieta na akýkoľvek štvorec. projekcie v skutočnej veľkosti, ak je táto rovina kolmá na štvorec. projekcie (Obr. 162, c). Túto situáciu je možné dosiahnuť transformáciou výkresu, napríklad zmenou štvorca. projekcie. Predstavujeme pl. S (obr. 16c, d), kolmo na pl. trojuholník BCD. Za týmto účelom míňame pl. do trojuholníka horizontálna B-1 a umiestnite projekčnú os S kolmo na priemet b-1 horizontály. Budujeme projekcie bodu a roviny - a s a segmentu c s d s. Vzdialenosť od a do c s ds sa rovná požadovanej vzdialenosti l bodu od roviny.

Na rio. 162, e, je použitá metóda paralelného pohybu. Celý systém sa posúva tak, aby vodorovná rovina B-1 bola kolmá na rovinu V: výčnelok b 1 1 1 musí byť kolmý na os x. V tejto polohe sa rovina trojuholníka stane čelnou projekciou a vzdialenosť l od bodu A k nej sa ukáže ako štvorcová. V bez skreslenia.

Na obr. 162, b je rovina definovaná stopami. Predstavujeme (obr. 162, e) ďalší štvorec. S, kolmo na pl. P: os S / H kolmá na P h. Zvyšok je zrejmý z výkresu. Na obr. 162 bol problém vyriešený jedným pohybom: pl. P prechádza do polohy P 1, to znamená, že sa stáva čelnou projekciou. Sledovať. Р 1h je kolmá na os x. V tejto polohe lietadla staviame predok. vodorovná stopa - bod n "1, n 1. Stopa P 1ϑ prechádza P 1x an n 1. Vzdialenosť od" 1 do P 1 "sa rovná požadovanej vzdialenosti l.

165. Vzhľadom na pyramídu SABC (pozri obrázok 160). Stanovte vzdialenosť od bodu A k čelnej ploche SBC pyramídy pomocou metódy paralelného pohybu.

166. Vzhľadom na pyramídu SABC (pozri obrázok 161). Výška pyramídy sa stanoví pomocou metódy paralelného pohybu.

167 *. Stanovte vzdialenosť medzi krížikmi AB a CD (pozri obrázok 159, a) ako vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi týmito čiarami.

Rozhodnutie. Na obr. 163, a ukazuje rovnobežné roviny P a Q, z ktorých pl. Q sa uskutočňuje prostredníctvom CD paralelne s AB a pl. R - cez AB rovnobežne s pl. Q. Vzdialenosť medzi týmito rovinami je vzdialenosť medzi čiarami prechodu AB a CD. Môžete sa však obmedziť na vytvorenie iba jednej roviny, napríklad Q, rovnobežnej s AB, a potom určiť vzdialenosť od aspoň bodu A k tejto rovine.

Na obr. 163c znázorňuje rovinu Q nakreslenú CD rovnobežne s AB; v projekciách nakreslených písmenom „e“ || a "b" a ce || ab. Použitie metódy zmeny štvorca. projekcie (Obr. 163, c), predstavíme ďalší štvorec. S, kolmo na pl. V a súčasne

kolmo na pl. Q. Na nakreslenie osi S / V zoberte čelný D-1 v tejto rovine. Teraz nakreslíme S / V kolmo na d "1" (Obr. 163, c). Pl. Q sa zobrazí na pl. S ako priamka s s d s. Zvyšok je zrejmý z výkresu.

168. Vzhľadom na pyramídu SABC (pozri obrázok 160). Určite vzdialenosť medzi okrajmi SC a AB. Použite: 1) spôsob zmeny štvorca. projekcie, 2) metóda paralelného pohybu.

169 *. Určite vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami, z ktorých jedna je daná priamkami AB a AC a druhá priamkami DE a DF (obrázok 164, a). Vykonajte tiež konštrukciu pre prípad, keď sú roviny dané stopami (obr. 164, b).

Rozhodnutie. Vzdialenosť (obr. 164, c) medzi rovnobežnými rovinami sa dá určiť nakreslením kolmice z ktoréhokoľvek bodu jednej roviny do druhej roviny. Na obr. 164 g zaviedlo ďalšiu pl. Kolmo na pl. H a pre obe dané roviny. Os S.H je kolmá na horizont. vodorovná projekcia nakreslená v jednej z rovín. Zostavíme priemet tejto roviny a bod v inej rovine na námestí. 5. Vzdialenosť bodu ds k priamke ls a s sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami.

Na obr. 164, d je uvedená ďalšia konštrukcia (podľa spôsobu paralelného pohybu). Aby bola rovina vyjadrená priesečníkmi priamok AB a AC kolmá na pl. V, horizont. priemet tejto vodorovnej roviny je kolmý na os x: 1 1 2 1 ⊥ x. Vzdialenosť medzi prednou časťou. priemet d "1 bod D a priamka a" 1 2 "1 (čelný priemet roviny) sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi rovinami.

Na obr. 164, e zobrazuje zavedenie ďalšieho pl. S kolmo na plochu H a na dané roviny P a Q (os S / H je kolmá na stopy P h a Q h). Budujeme stopy P a Q s. Vzdialenosť medzi nimi (pozri obr. 164, c) sa rovná požadovanej vzdialenosti l medzi rovinami P a Q.

Na obr. 164 g ukazuje pohyb rovín P 1 n Q 1 do polohy P 1 a Q 1, keď je horizont. stopy sa ukážu kolmo na os x. Vzdialenosť medzi novým predkom. po stopách P 1 a Q 1 sa rovná požadovanej vzdialenosti l.

170. Vzhľadom na rovnobežnosť ABCDEFGH (obr. 165). Určite vzdialenosti: a) medzi základňami rovnobežníka - l 1; b) medzi plochami ABFE a DCGH - 12; c) medzi okrajmi ADHE a BCGF-13.

Na výpočet vzdialenosti od daného bodu M k línii L. sa môžu použiť rôzne metódy. Napríklad, ak vezmeme ľubovoľný bod M 0 na línii L, potom môžeme definovať ortogonálna projekcia vektora M 0 M na smer normálneho vektora priamky. Táto projekcia, presná podľa značky, je požadovanou vzdialenosťou.

Ďalší spôsob, ako vypočítať vzdialenosť od bodu k čiare, je založený na použití normálna rovnica priamky... Nech je čiara L daná normálnou rovnicou (4.23). Ak bod M (x; y) neleží na priamke L, potom ortogonálna projekcia pr n OM polomerové vektory bod M v smere jednotkového normálneho vektora n priamky L sa rovná skalárnemu súčinu vektorov OM a n, t. x cosφ + y sinφ. Rovnaká projekcia sa rovná súčtu vzdialenosti p od začiatku k priamke a určitej hodnote δ (obr. 4.10). Hodnota δ v absolútnej hodnote sa rovná vzdialenosti od bodu M k priamke. Navyše, δ\u003e 0, ak sú body M a O na opačných stranách priamky a δ je odchýlka bodu M od priamky.

Odchýlka 5 pre bod M (x; y) od priamky L sa vypočíta ako rozdiel medzi priemetom pr n OM a vzdialenosťou p od začiatku k priamke (pozri obr. 4.10), t.j. δ \u003d x cosφ + y sinφ - p.

Pomocou tohto vzorca sa dá tiež získať vzdialenosť p (M, L) od bodu M (x; y) k priamke L, daná normálovou rovnicou: p (M, L) \u003d | δ | \u003d | x cosφ + φ sinφ - p |.

2 Dva susedné uhly zvyšujú až 180 °

Vzhľadom na vyššie uvedený postup prevodu všeobecná rovnica priamky do jeho normálnej rovnice dostaneme vzorec pre vzdialenosť od bodu M (x; y) k priamke L, daný jej všeobecnou rovnicou:

Príklad 4.8. Nájdeme všeobecné rovnice výšky AH, mediánu AM a deliča AD trojuholníka ABC, vychádzajúce z vrcholu A. Sú známe súradnice vrcholov trojuholníka A (-1; - 3), B (7; 3), C (1; 7).

Najprv si objasníme stav príkladu: uvedené rovnice znamenajú rovnice priamok L AH, L AM a L AD, na ktorých je umiestnená výška AH, medián AM a delič AD uvedeného trojuholníka (obr. 4.11).

Na nájdenie rovnice priamky L AM používame skutočnosť, že stredná čiara delí opačnú stranu trojuholníka na polovicu. Keď sme našli súradnice (x 1; y 1) stredu strany BC x 1 \u003d (7 + 1) / 2 \u003d 4, y 1 \u003d (3 + 7) / 2 \u003d 5, píšeme rovnicu pre L AM vo forme rovnice priamky prechádzajúcej dvoma bodmi, (x + 1) / (4 + 1) \u003d (y + 3) / (5 + 3). Po transformáciách dostaneme všeobecnú rovnicu pre medián 8x - 5y - 7 \u003d 0./p\u003e

Ak chcete nájsť rovnicu pre výšku L AH, použite skutočnosť, že výška je kolmá na opačnú stranu trojuholníka. Preto je vektor BC kolmý na výšku AH a môže byť vybraný ako normálny vektor línie L AH. Rovnica tejto čiary je získaná z (4.15), nahradením súradníc bodu A a normálneho vektora čiary L AH:

(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) \u003d 0.

Po transformáciách dostaneme všeobecnú rovnicu výšky 3x - 2r - 3 \u003d 0.

Na nájdenie rovnice priamky L AD používame skutočnosť, že priamka AD patrí do súboru tých bodov N (x; y), ktoré sú rovnako vzdialené od čiar L AB a L AC. Rovnica tejto množiny má tvar

P (N, L AB) \u003d P (N, L AC), (4,28)

a definuje dve čiary prechádzajúce bodom A a polovičné uhly medzi čiarami L AB a L AC. Pomocou rovnice priamky prechádzajúcej dvoma bodmi nájdeme všeobecné rovnice priamok L AB a L AC:

L AB: (x + 1) / (7 + 1) \u003d (y + 3) / (3 + 3), L AC: (x + 1) / (1 + 1) \u003d (y + 3) / (7 + 3)

Po transformáciách dostaneme L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Rovnica (4.28) pomocou vzorca (4.27) na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke zapíšeme tvar

Pozrime sa na to rozšírením modulov:

Výsledkom je získanie všeobecných rovníc dvoch priamok

(3 ± 25 / -26) x + (-4 ± 5 \u200b\u200b/ -26) y + (-9 ± 10 / -26) \u003d 0

Pri výbere rovnice delenia z nich berieme do úvahy, že vrcholy B a C trojuholníka sú umiestnené na protiľahlých stranách požadovanej priamky, a preto by nahradenie ich súradníc do ľavej strany všeobecnej rovnice priamky L AD malo udávať hodnoty s rôznymi znamienkami. Vyberieme rovnicu zodpovedajúcu hornému znamienku, t.

(3 - 25 / √ 26) x + (-4 + 5 / √26) y + (-9 - 10 / √26) \u003d 0

Nahradením súradníc bodu B na ľavej strane tejto rovnice sa získa záporná hodnota, pretože

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

a rovnaké znamienko sa získa pre súradnice bodu C, pretože

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Preto sú vrcholy B a C umiestnené na tej istej strane priamky so zvolenou rovnicou, a preto je rovnica deliča rovná

(3 + 25 / ~ 26) x + (-4 - 5 / -26) y + (-9 + 10 / -26) \u003d 0.

Oh-oh-oh-oh-oh ... no, cín, ako keby si si prečítala vetu sami \u003d) Avšak relax potom pomôže, zvlášť od dnešného dňa som si kúpil vhodné doplnky. Preto prejdeme k prvej časti, dúfam, že na konci tohto článku zostanem veselá.

Relatívna poloha dvoch priamych čiar

Prípad, keď publikum spieva spolu so zborom. Dve priamky môžu byť:

1) zápas;

2) sú rovnobežné :;

3) alebo pretínať v jednom bode:

Pomoc pre figuríny : nezabudnite na matematické znamenie križovatky , stretne sa veľmi často. Zápis označuje, že sa línia pretína s čiarou v určitom bode.

Ako zistiť relatívnu polohu dvoch priamok?

Začnime prvým prípadom:

Dve priamky sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich zodpovedajúce koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje také číslo „lambda“, že sú rovnaké

Zvážte priame čiary a zostavte tri rovnice zo zodpovedajúcich koeficientov: Z každej rovnice teda vyplýva, že sa tieto línie zhodujú.

V skutočnosti, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobte -1 (zmena znamienka) a všetky koeficienty rovnice znížená o 2 získate rovnakú rovnicu :.

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve priamky sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty pre premenné proporcionálne: ale.

Ako príklad uvážte dva riadky. Kontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však celkom jasné, že.

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve priamky sa pretínajú iba vtedy, ak ich koeficienty pre premenné NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká hodnota „lambda“ na vytvorenie rovnosti

Pre priamky teda zostavíme systém:

Z prvej rovnice z toho vyplýva az druhej rovnice :, systém je nekonzistentný (žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: pretínajú sa línie

V praktických problémoch môžete použiť práve uvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je veľmi podobný algoritmu na kontrolu vektorov na kolinearitu, ktorý sme zvažovali v lekcii Koncept lineárnej (ne) závislosti vektorov. Základy vektorov ... Existuje však civilizovanejší obal:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu priamych čiar:

rozhodnutie na základe štúdia smerových vektorov priamok:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Len pre prípad, položím kameň s ukazovateľmi na križovatku:

Zvyšok skočí cez kameň a bude pokračovať ďalej, priamo k Kaščejovi nesmrteľnému \u003d)

b) Nájdite smerové vektory priamok:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú rovnobežné alebo zhodné. Ani tu nie je potrebné počítať determinant.

Je zrejmé, že koeficienty pre neznáme sú proporcionálne, zatiaľ čo.

Zistime, či je rovnosť pravdivá:

To znamená,

c) Nájdite smerové vektory priamok:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
preto sú smerové vektory kolineárne. Rovné čiary sú rovnobežné alebo zhodné.

Koeficient proporcionality "lambda" je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa však nájsť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz zistime, či je rovnosť pravdivá. Obidva bezplatné výrazy sú nula, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (ľubovoľné číslo ju všeobecne vyhovuje).

Čiary sa teda zhodujú.

odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo ste sa už naučili) vyriešiť uvažovaný problém ústne behom niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím dôvod navrhovať niečo pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť ďalšiu dôležitú tehlu do geometrického základu:

Ako postaviť priamku rovnobežnú s danou?

Za neznalosť tejto jednoduchej úlohy, slávik zlodeja prísne potrestá.

Príklad 2

Rovná čiara je daná rovnicou. Vyrovnajte rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

rozhodnutie: Označme neznámy priamy list. Čo o nej hovorí stav? Priamka prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, potom je zrejmé, že smerovací vektor priamky "tse" je tiež vhodný na vytvorenie priamky "de".

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá jednoducho:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujte, či priame priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod spĺňa získanú rovnicu.

Analytické preskúmanie je vo väčšine prípadov ľahké vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo zistia rovnobežnosť priamych čiar bez kreslenia.

Príklady samostatného riešenia budú dnes kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Babou Yagou a ona, ako viete, je milovníkom všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Vytvorte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom rovnobežným s priamkou, ak

Existuje racionálne a nie príliš racionálne riešenie. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými čiarami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa priamok nie je zaujímavý, preto zvážte problém, ktorý je vám dobre známy z učebných osnov:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak je rovný pretínať sa v bode, potom sú jeho súradnice riešením sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Toľko pre vás geometrický význam systému dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi Sú dve protínajúce sa (najčastejšie) priamky v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

rozhodnutie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafické a analytické.

Grafickým spôsobom je jednoducho nakresliť údajové čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je náš názor :. Ak ju chcete skontrolovať, nahraďte jej súradnice v každej rovnici priamky, musia sa tam a tam zmestiť. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením pre systém. V skutočnosti sme preskúmali grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda samozrejme nie je zlá, ale sú tu značné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedme zrovnávače tak rozhodnú, faktom je, že bude potrebné čas na správne a presné vykreslenie. Okrem toho nie je také ľahké vybudovať niektoré riadky a dokonca aj samotný priesečník sa môže nachádzať niekde v päťdesiatych rokoch kráľovstva mimo listu poznámkového bloku.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na vyriešenie systému bola použitá metóda postupného sčítania rovníc. Navštívte lekciu a získajte relevantné zručnosti. Ako vyriešiť systém rovníc?

odpoveď:

Kontrola je triviálna - súradnice priesečníka musia vyhovovať každej rovnici systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Je vhodné rozdeliť úlohu do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Vytvorte rovnicu priamky.
2) Vytvorte rovnicu priamky.
3) Zistite relatívnu polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, potom nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnoho geometrických problémov, na ktoré sa opakovane zameriavam.

Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu:

Pár topánok ešte nebolo opotrebovaných, keďže sme sa dostali k druhej časti hodiny:

Kolmé priamky. Vzdialenosť od bodu k priamke.
Uhol medzi priamkami

Začnime s typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili, ako postaviť priamku rovnobežnú s touto, a teraz sa chata na kuracích stehnách zmení na 90 stupňov:

Ako postaviť priamku kolmú na daný?

Príklad 6

Rovná čiara je daná rovnicou. Vytvorte rovnicu pre kolmú priamku prechádzajúcu bodom.

rozhodnutie: Podľa podmienky je známe, že. Bolo by pekné nájsť smerovací vektor linky. Pretože čiary sú kolmé, zameranie je jednoduché:

Z rovnice „odstránime“ normálny vektor :, ktorý bude smerovým vektorom priamky.

Zostavme rovnicu priamky podľa bodu a smerového vektora:

odpoveď:

Poďme rozšíriť geometrický náčrt:

Hmmm ... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Z rovníc vyberieme smerové vektory as pomocou skalárny súčin vektorov dospeli sme k záveru, že priame čiary sú skutočne kolmé:

Mimochodom, môžete použiť bežné vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje rovnici .

Kontrola je opäť ľahko vykonateľná ústne.

Príklad 7

Ak je známa rovnica, nájdite priesečník kolmých čiar a bod.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. V úlohe je niekoľko akcií, preto je vhodné usporiadať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k priamke

Pred nami je priamy pruh rieky a našou úlohou je dosiahnuť ju čo najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšia trasa bude jazdiť pozdĺž kolmice. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmej línie.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom „ro“, napríklad: - vzdialenosť od bodu „em“ k priamke „de“.

Vzdialenosť od bodu k priamke vyjadrené vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

rozhodnutie: všetko, čo potrebujete, je starostlivo nahradiť čísla vo vzorci a vykonať výpočty:

odpoveď:

Poďme vykonať výkres:

Vzdialenosť od bodu k nájdenej čiare je presne dĺžka červenej čiary. Ak kreslíte kresbu na šachovnicový papier v mierke 1 jednotka. \u003d 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť merať pomocou bežného pravítka.

Zvážte ďalšiu úlohu v rovnakom výkrese:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku ... Navrhujem vykonať akcie sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite čiaru, ktorá je kolmá na čiaru.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Oba kroky sú podrobne opísané v tomto návode.

3) Bod je stredom úsečky. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. podľa vzorce pre súradnice stredu segmentu nájdeme.

Nebude zbytočné kontrolovať, či je vzdialenosť tiež 2,2 jednotiek.

Pri výpočtoch sa môžu vyskytnúť ťažkosti, ale mikro kalkulačka pomáha vypočítať bežné frakcie vo veži. Opakovane odporúčané, bude radiť a znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Poviem vám trochu: existuje nekonečne veľa riešení. Na konci hodiny sme mali dohady, ale radšej sa pokúste uhádnuť sami seba, myslím, že sa vášmu dôvtipu podarilo dobre rozptýliť.

Uhol medzi dvoma priamkami

Každý uhol je stĺpik:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami považuje za najmenší uhol, z ktorého automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi priesečníkmi priamok. A jeho "zelený" sused sa považuje za taký, alebo opačne orientovaný Roh „Malina“.

Ak sú čiary kolmé, môže sa za uhol medzi nimi považovať ktorýkoľvek zo 4 uhlov.

Ako sa líšia uhly? Orientácie. Po prvé, smer rohu „rolovania“ má zásadný význam. Po druhé, záporne orientovaný uhol je napísaný znamienkom mínus, napríklad, ak.

Prečo som to povedal? Zdá sa, že je možné upustiť od obvyklého konceptu uhla. Faktom je, že vo vzorcoch, podľa ktorých nájdeme uhly, môžete ľahko získať negatívny výsledok, a to by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je horší a má veľmi špecifický geometrický význam. Na výkrese určite uveďte záporný uhol jeho orientácie šípkou (v smere hodinových ručičiek).

Ako nájsť uhol medzi dvoma priamkami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi priamkami

rozhodnutie a Metóda jedna

Zoberme si dve priame čiary dané rovnicami všeobecne:

Ak je rovný nie kolmépotom orientovaný uhol medzi nimi sa dá vypočítať pomocou vzorca:

Venujme pozornosti menovateľovi - presne to je skalárny produkt smerové vektory priamok:

Ak potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a priame priamky sú kolmé. Preto sa uplatňuje výhrada voči kolmosti čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je vhodné usporiadať riešenie v dvoch krokoch:

1) Vypočítame skalárny súčin smerujúcich vektorov čiar:
, takže čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi priamkami je daný vzorcom:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný roh. V tomto prípade použijeme zvláštnosť arctangentu (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií ):

odpoveď:

V odpovedi uvádzame presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch) vypočítanú pomocou kalkulačky.

No, mínus, tak mínus, to je v poriadku. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že uhol sa ukázal byť v negatívnej orientácii, pretože v stave problému je prvé číslo priamka a „odskrutkovanie“ uhla sa začalo práve od neho.

Ak naozaj chcete získať pozitívny uhol, musíte zamieňať priame čiary, to znamená, že z druhej rovnice si vezmite koeficienty. a koeficienty sú prevzaté z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamkou .

Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice klesnutej z bodu k priamke. V popisnej geometrii sa určuje graficky pomocou algoritmu uvedeného nižšie.

algoritmus

1. Rovná čiara sa presunie do polohy, v ktorej bude rovnobežná s akoukoľvek projekčnou rovinou. Na tento účel sa používajú metódy transformácie ortogonálnych projekcií.
2. Z bodu je kolmica nakreslená na priamku. Základom tejto konštrukcie je veta o premietaní v pravom uhle.
3. Dĺžka kolmice je určená konverziou jej projekcií alebo použitím metódy pravouhlého trojuholníka.

Nasledujúci obrázok ukazuje komplexný nákres bodu M a čiary b definovanej segmentom CD. Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi nimi.

Podľa nášho algoritmu je prvou vecou, \u200b\u200bktorá sa má preložiť, linka do polohy rovnobežnej s rovinou premietania. Je dôležité pochopiť, že po transformáciách by sa skutočná vzdialenosť medzi bodom a čiarou nemala meniť. Preto je tu vhodné použiť metódu nahradenia lietadiel, ktorá nezahŕňa pohyb figúr v priestore.

Výsledky prvej fázy výstavby sú uvedené nižšie. Obrázok ukazuje, ako rovnobežne s b sa zaviedla ďalšia čelná rovina P4. V novom systéme (P 1, P 4) sú body C "" 1, D "" 1, M "" 1 v rovnakej vzdialenosti od osi X ako C "", D "", M "" od osi X.

Pri vykonávaní druhej časti algoritmu z M "" 1 znížime kolmý M "" 1 N "" 1 na priamku b "" 1, pretože pravý uhol MND medzi b a MN sa premieta na rovinu P4 v plnej veľkosti. Určíme polohu bodu N "pozdĺž komunikačnej čiary a nakreslíme priemet M" N "segmentu MN.

V záverečnej fáze je potrebné určiť veľkosť segmentu MN z jeho výčnelkov M "N" a M "" 1 N "" 1. Na tento účel skonštruujte pravouhlý trojuholník M "" 1 N "" 1 N 0, ktorého vetva N "" 1 N 0 sa rovná rozdielu (Y M 1 - Y N 1) vzdialenosti bodov M "a N" od osi X 1. Dĺžka prepony M "" 1 N 0 trojuholníka M "" 1 N "" 1 N 0 zodpovedá požadovanej vzdialenosti od M do b.

Druhý spôsob riešenia

• Paralelne s CD predstavujeme novú čelnú rovinu P 4. Pretína П 1 pozdĺž osi X 1 a X 1 ∥C „D“. V súlade s metódou výmeny lietadiel určujeme priemet bodov C "" 1, D "" 1 a M "" 1, ako je to znázornené na obrázku.
• Kolmo na C "" D "" 1 postavíme ďalšiu horizontálnu rovinu P 5, na ktorú priamka b vyčnieva do bodu C "2 \u003d b" 2.
• Vzdialenosť medzi bodom M a čiarou b je určená dĺžkou úseku M "2 C" 2, označeného červenou farbou.

Podobné úlohy: