Vstupná úroveň

Opísaný kruh. Vizuálny sprievodca (2019)

Prvá otázka, ktorá sa môže objaviť: opísaná - okolo čoho?

V skutočnosti sa niekedy stáva niečo okolo, ale hovoríme o kruhu, ktorý je ohraničený okolo trojuholníka (niekedy hovorí „asi“). Čo je to?

A teraz si predstavte úžasný fakt:

Prečo je táto skutočnosť úžasná?

Ale trojuholníky sa líšia!

A pre každého je kruh, ktorý prejde cez všetky tri vrcholy, t.j. ohraničený kruh.

Dôkaz tohto úžasného faktu nájdete v nasledujúcich úrovniach teórie, ale tu si len uvedomujeme, že ak vezmeme napríklad štvoruholník, potom pre nikoho nebude kruh prechádzajúci cez štyri vrcholy. Tu povedzme, že rovnobežník je vynikajúci štvoruholník, ale cez všetky jeho vrcholy neprechádza žiadny kruh!

A je tu iba pre obdĺžnik:

Tak tu a každý trojuholník má vždy svoj ohraničený kruh!  Aj keď je vždy dosť jednoduché nájsť stred tohto kruhu.

Vieš čo je v strede kolmá?

Teraz sa pozrime, čo sa stane, keď sa pozrieme na tri celé stredné kolmice na strany trojuholníka.

Ukázalo sa (a to sa musí iba dokázať, aj keď to tak nebude)   všetky tri kolmé sa pretínajú v jednom bode.  Pozrite sa na obrázok - všetky tri stredné kolmé sa pretínajú v jednom bode.

Myslíte si, že stred ohraničeného kruhu leží vždy vnútri trojuholníka? Predstavte si - nie vždy!

Ale ak   s ostrým uhlom, potom - vo vnútri:

Čo robiť s pravouhlým trojuholníkom?

Áno, s dodatočným bonusom:

Pretože hovoríme o polomere ohraničeného kruhu: čo je to rovnaké pre ľubovoľný trojuholník? A na túto otázku existuje odpoveď: tzv.

Ide o:

No a samozrejme

1. Existencia a stred ohraničeného kruhu

Potom vyvstáva otázka: existuje taký kruh pre akýkoľvek trojuholník? Ukazuje sa, že áno, pre každého. A okrem toho teraz vytvoríme vetu, ktorá tiež odpovedá na otázku, kde je stred ohraničeného kruhu.

Vyzerá takto:

Poďme si odvahu a dokázať túto vetu. Ak už čítate tému „“, pochopili ste, prečo sa tri križovatky pretína v jednom bode, bude to pre vás jednoduchšie, ale ak ste to nečítali, nemusíte sa obávať: teraz to vymyslíme.

Dôkaz sa vykoná pomocou koncepcie geometrického miesta bodov (ТТТ).

Napríklad, je veľa gúľ „geometrickým miestom“ pre guľaté predmety? Nie, samozrejme, pretože existujú guľaté ... vodné melóny. Existuje veľa ľudí, „geometrických miest“, ktorí môžu hovoriť? Nie príliš, pretože existujú deti, ktoré nevedia hovoriť. V živote je všeobecne ťažké nájsť príklad skutočného „geometrického miesta bodov“. V geometrii je to jednoduchšie. Tu je napríklad to, čo potrebujeme:

Tu je množina stredná kolmá a vlastnosť má byť rovnako vzdialená (špička) od koncov segmentu. “

Vyskúšajte to? Musíte sa teda uistiť o dvoch veciach:

1. Akýkoľvek bod, ktorý je rovnako vzdialený od koncov segmentu, je umiestnený v strede kolmom naň.

Spojte sa s a C. Potom je čiara stredná a výška v. Takže, - rovnoramenné - zabezpečili, aby akýkoľvek bod ležiaci v strede kolmice bol rovnako vzdialený od bodov a.

Choďte do stredu a spojte sa a. Výsledkom bol medián. Ale - podľa stavu, rovnoramenný nielen stredný, ale aj výška, to znamená stredný kolmý. Takže bod - leží iba v strede kolmo.

To je všetko! Úplne skontroloval skutočnosť, že stred kolmý na segment je geometrické miesto bodov vzdialených od koncov segmentu.

To je všetko dobré, ale zabudli sme na ohraničený kruh? Vôbec sme si pre seba pripravili „odrazový mostík pre útok“.

Zvážte trojuholník. Nakreslite dve stredné kolmice a povedzme na segmenty a. Protínajú sa v určitom okamihu, ktorý zavoláme.

A teraz, pozornosť!

Tento bod leží v strede kolmice;
  bod leží v strede kolmom.
  A to znamená, a.

Odtiaľto nasleduje niekoľko vecí:

Po prvé, bod musí ležať na treťom strede kolmom na segment.

To znamená, že stredná kolmica je tiež povinná prejsť bodom a všetky tri stredné kolmice sa pretínajú v jednom bode.

Po druhé: ak nakreslíme kružnicu sústredenú v bode a polomere, potom táto kružnica tiež prejde bodom a bodom, to znamená, že to bude ohraničený kruh. Už teda existuje, že priesečník troch stredných kolmíc je stredom ohraničeného kruhu pre akýkoľvek trojuholník.

A posledná: o jedinečnosti. Je zrejmé (takmer), že bod je možné získať jedinečným spôsobom, preto je kruh jedinečný. No, ale „takmer“ - nechajme to na premýšľaní. To potvrdilo vetu. Môžete kričať „Hurá!“.

A ak je problém „nájsť polomer ohraničeného kruhu“? Alebo naopak, polomer je daný, ale je potrebné nájsť niečo iné? Existuje vzorec spájajúci polomer ohraničeného kruhu s ostatnými prvkami trojuholníka?

Dávajte pozor: to hovorí sínusová veta aby ste našli polomer ohraničeného kruhu, potrebujete jednu stranu (ľubovoľnú!) a opačný uhol, A to je všetko!

3. Stred kruhu - vnútri alebo vonku

A teraz je tu otázka: môže stred ohraničeného kruhu ležať mimo trojuholníka.
  Odpoveď: rovnako ako môžete. Navyše sa to vždy deje v tupom trojuholníku.

A všeobecne:

OPIS OKRUHU. STRUČNÉ INFORMÁCIE O HLAVE

1. Kruh opísaný v blízkosti trojuholníka

Toto je kruh, ktorý prechádza všetkými tromi vrcholmi tohto trojuholníka.

2. Existencia a stred ohraničeného kruhu

Téma sa skončila. Ak prečítate tieto riadky, potom ste v pohode.

Pretože iba 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť samo. A ak budete čítať do konca, potom ste sa dostali do týchto 5%!

Teraz najdôležitejšia vec.

Prišli ste na túto tému teórie. A opäť, toto ... je to jednoducho super! Už ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je v tom, že to nemusí stačiť ...

Za čo?

Za úspešné absolvovanie skúšky, za prijatie do inštitútu na rozpočet a, DÔLEŽITÉ, na celý život.

Nebudem vás nič presvedčovať, len povedzte jednu vec ...

Ľudia, ktorí majú dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Toto však nie je hlavná vec.

Hlavná vec je, že sú VIAC HAPPY (takéto štúdie existujú). Možno preto, že otvárajú oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? Neviem ...

Ale myslite na seba ...

Čo je potrebné, aby boli určite lepšie ako ostatní na USE a aby boli nakoniec ... šťastnejšie?

BEAT VAŠE RUČNÉ RIEŠENIE PROBLÉMOV TÉTO TÉMA.

Na skúške vás nebude žiadať teória.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (MUCH!), Určite si niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nemáte čas.

Je to ako v športe - ak chcete určite vyhrať, musíte sa mnohokrát opakovať.

Nájdite, kde chcete zbierku, nevyhnutne s riešeniami, podrobnou analýzou  a rozhodnúť, rozhodnúť, rozhodnúť!

Môžete využiť naše úlohy (nie sú potrebné) a určite ich odporúčame.

Ak chcete naplniť ruku pomocou našich úloh, musíte predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Existujú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku - 299 rub
2. Otvorený prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 499 rub

Áno, v učebnici máme 99 takýchto článkov a môžete okamžite otvoriť prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je zabezpečený vždy, keď web existuje.

A na záver ...

Ak sa vám naše úlohy nepáčia, nájdite ďalšie. Len sa nezastavujte na teóriu.

„Porozumenie“ a „Môžem sa rozhodnúť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájsť úlohy a riešiť!

Pri riešení geometrických problémov je veľmi často potrebné konať s pomocnými útvarmi. Nájdite napríklad polomer vpísaného alebo ohraničeného kruhu atď. Tento článok ukáže, ako nájsť polomer kruhu ohraničeného okolo trojuholníka. Inými slovami polomer kruhu, do ktorého je vpísaný trojuholník.

  Ako nájsť polomer kruhu ohraničeného okolo trojuholníka - všeobecný vzorec

Všeobecný vzorec je nasledujúci: R \u003d abc / 4√p (p - a) (p - b) (p - c), kde R je polomer ohraničenej kružnice, p je obvod trojuholníka delený 2 (polovica obvodu). a, b, c sú strany trojuholníka.

Nájdite polomer ohraničenej kružnice trojuholníka, ak a \u003d 3, b \u003d 6, c \u003d 7.

Na základe vyššie uvedeného vzorca vypočítame polovičný obvod:
  p \u003d (a + b + c) / 2 \u003d 3 + 6 + 7 \u003d 16. \u003d\u003e 16/2 \u003d 8.

Nahraďte hodnoty vo vzorci a získajte:
  R \u003d 3 × 6 × 7 / 4√8 (8 - 3) (8 - 6) (8 - 7) \u003d 126 / 4√ (8 × 5 × 2 × 1) \u003d 126 / 4√80 \u003d 126/16 √5.

Odpoveď: R \u003d 126/165

  Ako nájsť polomer kruhu opísaného v blízkosti rovnostranného trojuholníka

Na nájdenie polomeru kruhu opísaného v blízkosti rovnostranného trojuholníka existuje pomerne jednoduchý vzorec: R \u003d a / √3, kde a je veľkosť jeho strany.

Príklad: Strana rovnostranného trojuholníka je 5. Nájdite polomer ohraničenej kružnice.

Pretože rovnostranný trojuholník má všetky strany rovnaké, na vyriešenie problému stačí zadať jeho hodnotu do vzorca. Dostaneme: R \u003d 5 / √3.

Odpoveď: R \u003d 5 / -3.

  Ako nájsť polomer kruhu ohraničeného pri pravom trojuholníku

Vzorec je nasledujúci: R \u003d 1/2 × √ (a² + b²) \u003d c / 2, kde aab sú nohy a c je prepona. Ak pridáme štvorce nôh do pravouhlého trojuholníka, dostaneme štvorec prepony. Ako vidno zo vzorca, tento výraz je pod koreňom. Vypočítaním koreňa štvorca prepony dostaneme samotnú dĺžku. Násobenie výslednej expresie 1/2 nás nakoniec vedie k expresii 1/2 × c \u003d c / 2.

Príklad: Vypočítajte polomer ohraničeného kruhu, ak sú nohy trojuholníka 3 a 4. Nahraďte hodnoty vo vzorci. Získame: R \u003d 1/2 × √ (3² + 4²) \u003d 1/2 × √25 \u003d 1/2 × 5 \u003d 2,5.

V tomto výraze je 5 dĺžka prepony.

Odpoveď: R \u003d 2,5.

  Ako nájsť polomer kruhu ohraničeného okolo rovnoramenného trojuholníka

Vzorec je nasledujúci: R \u003d a² / √ (4a² - b²), kde a je dĺžka stehna trojuholníka ab je dĺžka základne.

Príklad: Vypočítajte polomer kruhu, ak je jeho bok \u003d 7 a základňa \u003d 8.

Riešenie: Tieto hodnoty nahradíme do vzorca a dostaneme: R \u003d 7² / √ (4 × 7² - 8²).

R \u003d 49/13 (196 - 64) \u003d 49/132. Odpoveď môže byť napísaná priamo takto.

Odpoveď: R \u003d 49 / -132

  Online zdroje na výpočet polomeru kruhu

Vo všetkých týchto vzorcoch sa môžete veľmi ľahko zmiasť. Preto, ak je to potrebné, môžete použiť online kalkulačky, ktoré vám pomôžu pri riešení problémov pri zisťovaní polomeru. Princíp fungovania takýchto mini-programov je veľmi jednoduchý. Nahraďte hodnotu strany do príslušného poľa a získajte pripravenú odpoveď. Môžete vybrať niekoľko možností zaokrúhľovania odpovede: na desatinu, stotiny, tisíciny, atď.

Trojuholník sa nazýva nápisom, ak všetky jeho vrcholy ležia na kruhu. V tomto prípade sa kruh volá popísané  okolo trojuholníka. Vzdialenosť od jeho stredu k jednotlivým vrcholom trojuholníka bude rovnaká a rovná polomeru tohto kruhu. Okolo ľubovoľného trojuholníka môžete opísať kruh, ale iba jeden.

Stred ohraničeného kruhu leží v priesečníku stredných kolmíc nakreslených na každej strane trojuholníka. Ak je kruh ohraničený okolo pravouhlého trojuholníka, jeho stred bude ležať v strede prepony. Pre akýkoľvek trojuholník, okolo ktorého je opísaný kruh, platí vzorec pre oblasť trojuholníka cez polomer ohraničenej kružnice:

kde a, b, c sú strany trojuholníka a R je polomer ohraničenej kružnice.

Príklad výpočtu plochy trojuholníka polomerom ohraničenej kružnice:
  Nechajte dať trojuholník so stranami a \u003d 5 cm, b \u003d 6 cm, c \u003d 4 cm. Okolo neho je opísaný kruh s R \u003d 3 cm. Nájdite oblasť.
Po zadaní všetkých požadovaných údajov jednoducho nahradíme hodnoty vo vzorci:

  Plocha trojuholníka bude 10 metrov štvorcových. vidieť

Pomerne často za daných podmienok nájdete danú oblasť ohraničeného kruhu, ktorá sa musí použiť na nájdenie oblasti vpísaného trojuholníka. Vzorec pre oblasť trojuholníka cez oblasť ohraničenej kružnice sa zistí po vypočítaní polomeru. Dá sa vypočítať niekoľkými spôsobmi. Na začiatok zvážte vzorec pre oblasť kruhu:
  Transformáciou tohto vzorca získame tento polomer:
  Pomocou tohto vzorca zistíme, že ak poznáme plochu ohraničeného kruhu, môžeme nájsť oblasť trojuholníka nasledujúcim spôsobom:

Ak poznáte všetky tri strany daného trojuholníka, môžete požiadať o nájdenie oblasti. Z toho je tiež možné nájsť polomer ohraničeného kruhu. To znamená, že ak sú v podmienkach dané všetky strany trojuholníka a vyžaduje sa hľadanie oblasti polomerom ohraničeného kruhu, musíme ju najprv vypočítať pomocou vzorca:

  To znamená, že poznáme dĺžky všetkých strán trojuholníka, môžeme nájsť oblasť trojuholníka cez polomer ohraničenej kružnice.

Príklad výpočtu plochy trojuholníka cez oblasť ohraničeného kruhu:
  Je uvedený trojuholník, okolo ktorého je opísaný kruh s plochou 8 metrov štvorcových. Po stranách trojuholníka a \u003d 4 cm, b \u003d 3 cm, c \u003d 5 cm Najprv nájdite polomer kruhu cez jeho plochu:

  Pokúsme sa nájsť polomer pomocou iného vzorca, ktorý sme odvodili z metódy zisťovania

Ako nájsť polomer kruhu? Táto otázka je vždy relevantná pre študentov študujúcich planimetriu. Ďalej sa pozrieme na niekoľko príkladov, ako sa s touto úlohou vysporiadať.

V závislosti od stavu problému možno polomer kruhu nájsť nasledovne.

Vzorec 1: R \u003d L / 2π, kde L je a π je konštanta rovnajúca sa 3,141 ...

Vzorec 2: R \u003d √ (S / π), kde S je veľkosť plochy kruhu.

Vzorec 1: R \u003d B / 2, kde B je prepona.

Vzorec 2: R \u003d M * B, kde B je prepona a M je medián, ktorý je k nej pritiahnutý.

Ako nájsť polomer kruhu, ak je opísaný okolo pravidelného mnohouholníka

Vzorec: R \u003d A / (2 * sin (360 / (2 * n))), kde A je dĺžka jednej zo strán obrázku a n je počet strán na danom geometrickom obrázku.

Ako nájsť polomer vpísaného kruhu

Ak sa dotýka všetkých strán mnohouholníka, nazýva sa zapísaný kruh. Pozrime sa na niekoľko príkladov.

Vzorec 1: R \u003d S / (P / 2), kde - S a P sú plocha a obvod obrázku.

Vzorec 2: kde R je (P / 2 - A) * tg (a / 2), kde P je obvod, A je dĺžka jednej zo strán a je uhol opačný k tejto strane.

Ako nájsť polomer kruhu, ak je zapísaný v pravom trojuholníku

Vzorec 1:

Polomer kruhu vpísaný v kosoštvorci

Kruh je možné vložiť do ľubovoľného kosoštvorca, rovnostranného aj nerovnostranného.

Vzorec 1: R \u003d 2 * H, kde H je výška geometrického útvaru.

Vzorec 2: R \u003d S / (A * 2), kde S je a a A je dĺžka jeho strany.

Vzorec 3: R \u003d √ ((S * sin A) / 4), kde S je plocha kosoštvorca a sin A je sínus ostrého uhla daného geometrického útvaru.

Vzorec 4: R \u003d * * Г / (√ (² + Г²)), kde ² a Г sú dĺžky uhlopriečok geometrického útvaru.

Vzorec 5: R \u003d B * sin (A / 2), kde B je uhlopriečka kosoštvorca a A je uhol v vrcholoch spájajúcich diagonálu.

Polomer kruhu vpísaný do trojuholníka

V prípade, že v stave problému dostávate dĺžky všetkých strán obrázka, potom najprv vypočítajte (P) a potom polovicu obvodu (p):

P \u003d A + B + C, kde A, B, C sú dĺžky strán geometrického útvaru.

Vzorec 1: R \u003d √ ((p-A) * (p-B) * (p-B) / p).

A ak viete všetky rovnaké tri strany, dostanete aj to, že môžete vypočítať požadovaný polomer nasledovne.

Vzorec 2: R \u003d S * 2 (A + B + C)

Vzorec 3: R \u003d S / n \u003d S / (A + B + C) / 2), kde - n je poloperimetr geometrického útvaru.

Vzorec 4: R \u003d (n - A) * tg (A / 2), kde n je semiperimeter trojuholníka, A je jednou z jeho strán a tg (A / 2) je dotyčnica polovice uhla oproti tejto strane.

A nižšie uvedený vzorec vám pomôže nájsť polomer kruhu, ktorý je vpísaný

Vzorec 5: R \u003d A * 3/6.

Polomer kruhu vpísaný v pravom trojuholníku

Ak sú v probléme uvedené dĺžky nôh a prepona, potom sa polomer vyznačeného kruhu rozozná nasledovne.

Vzorec 1: R \u003d (A + B-C) \u200b\u200b/ 2, kde A, B - nohy, C - prepona.

V prípade, že máte iba dve nohy, je čas si vziať Pythagorovu vetu, aby ste našli a použili vyššie uvedený vzorec.

C \u003d √ (A2 + B2).

Polomer kruhu napísaný na štvorci

Kruh, ktorý je uvedený na štvorci, rozdeľuje všetky svoje 4 strany presne v polovici v miestach dotyku.

Vzorec 1: R \u003d A / 2, kde A je dĺžka strany štvorca.

Vzorec 2: R \u003d S / (P / 2), kde S a P sú plocha a obvod štvorca.

Téma „Vpsané a ohraničené kruhy v trojuholníkoch“ je jednou z najťažších v priebehu geometrie. Na hodinách trvá veľmi málo času.

Geometrické úlohy tejto témy sú obsiahnuté v druhej časti skúšky pre stredoškolské štúdium. Úspešné splnenie týchto úloh si vyžaduje solídne znalosti základných geometrických faktov a určité skúsenosti s riešením geometrických problémov.
Pre každý trojuholník existuje iba jeden ohraničený kruh. Je to taký kruh, na ktorom ležia všetky tri vrcholy trojuholníka s danými parametrami. Možno bude potrebné nájsť jej polomer nielen v lekcii geometrie. Návrhári, rezači, zámočníci a predstavitelia mnohých ďalších profesií sa s tým musia neustále vysporiadať. Na zistenie jeho polomeru je potrebné poznať parametre trojuholníka a jeho vlastnosti. Stred ohraničenej kružnice je v priesečníku stredných kolmíc trojuholníka.
  Upozorňujem na všetky vzorce na nájdenie polomeru ohraničeného kruhu a nielen trojuholníka. Môžete zobraziť vzorce pre vpísaný kruh.

a, b. s -strana trojuholníka

α - opačný uhol  a,
S -oblasť trojuholníka,

p -polovica obvodu.

Potom vyhľadajte polomer ( R) ohraničeného kruhu používajú vzorce:

Plocha trojuholníka sa zase môže vypočítať pomocou jedného z nasledujúcich vzorcov:

A tu je niekoľko ďalších vzorcov.

1. Polomer ohraničeného kruhu v blízkosti pravidelného trojuholníka. ak   strana trojuholníka

2. Polomer ohraničenej kružnice okolo rovnoramenného trojuholníka. nechať a, b  sú potom stranami trojuholníka