Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". To znamená, že v rovnici Nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem toho rovnica môže (ale nemusí!) obsahovať len X (na prvú mocninu) a len číslo (voľný člen). A nemali by tam byť žiadne X do stupňa dva.

Z matematického hľadiska je kvadratická rovnica rovnicou v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale A– čokoľvek iné ako nula. Napríklad:

Tu A =1; b = 3; c = -4

Tu A =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu A =-3; b = 6; c = -18

No chápeš...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je Plný setčlenov. X na druhú s koeficientom A, x na prvú mocninu s koeficientom b A voľný člen s.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú plný.

A keď b= 0, čo získame? Máme X zmizne na prvý stupeň. To sa stane, keď sa vynásobí nulou.) Ukáže sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2+4x=0

A tak ďalej. A ak oba koeficienty b A c sa rovnajú nule, potom je to ešte jednoduchšie:

2x 2 = 0,

-0,3 x 2 = 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Upozorňujeme, že x na druhú je prítomné vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo A nemôže sa rovnať nule? A namiesto toho nahrádzate A nula.) Naša X na druhú zmizne! Rovnica sa stane lineárnou. A riešenie je úplne iné...

To sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. do formulára:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, A, b A c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný. Ale viac o ňom nižšie. Ako vidíte, na nájdenie X používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c Počítame podľa tohto vzorca. Poďme nahradiť s vlastnými znakmi! Napríklad v rovnici:

A =1; b = 3; c= -4. Tu si to zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo, myslíte si, že nie je možné urobiť chybu? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena s hodnotami znamienka a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa zmiasť?), ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu pomáha podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, urob to!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku a počtu chýb bude trvať asi 30 sekúnd sa prudko zníži. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké písať tak opatrne. Ale to sa len zdá. Pokúsiť sa. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo zapisovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak používate praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Spoznali ste to?) Áno! Toto neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené pomocou všeobecného vzorca. Len treba správne pochopiť, čomu sa tu rovnajú. a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; A c? Vôbec to tam nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto toho do vzorca nahraďte nulu c, a uspejeme. To isté s druhým príkladom. Len my tu nemáme nulu S, A b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Uvažujme o prvom neúplná rovnica. Čo môžete robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule práve vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš mi? Dobre, potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetky. Toto budú korene našej rovnice. Obe sú vhodné. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie všeobecného vzorca. Dovoľte mi poznamenať, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - absolútne ľahostajné. Je vhodné písať v poradí, x 1- čo je menšie a x 2- to, čo je väčšie.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva len extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením X mimo hranatých zátvoriek, alebo jednoduchým posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať odmocninu X, čo je akosi nezrozumiteľné a v druhom prípade nie je čo vyťahovať zo zátvoriek...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Málokedy toto slovo nepočul stredoškolák! Fráza „riešime prostredníctvom diskriminátora“ vzbudzuje dôveru a istotu. Pretože od diskriminujúceho netreba očakávať triky! Je jednoduchý a bezproblémový na používanie.) Pripomínam najvšeobecnejší vzorec na riešenie akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Typicky je diskriminant označený písmenom D. Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také pozoruhodné? Prečo si zaslúžilo špeciálne pomenovanie? Čo čo znamená diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci to konkrétne nenazývajú nijako... Písmená a písmená.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej možno extrahovať koreň. Či sa koreň extrahuje dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je to, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom budete mať jedno riešenie. Keďže pripočítaním alebo odčítaním nuly v čitateli sa nič nemení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Od záporné číslo druhá odmocnina sa neberie. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, kedy jednoduché riešenie kvadratických rovníc, nie je pojem diskriminant zvlášť potrebný. Hodnoty koeficientov dosadíme do vzorca a počítame. Všetko sa tam deje samo, dva korene, jeden a žiadny. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a vzorec diskriminantu nedostatočné. Najmä v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobaciou pre štátnu skúšku a jednotnú štátnu skúšku!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo ste sa naučili, čo tiež nie je zlé.) Viete správne určiť a, b a c. Vieš ako? pozorne nahradiť ich do koreňového vzorca a pozorne spočítať výsledok. pochopil si to kľúčové slovo Tu - pozorne?

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Tie isté, ktoré sú spôsobené nepozornosťou... Pre ktoré sa to neskôr stáva bolestivé a urážlivé...

Prvé stretnutie . Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice a priveďte ju do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Povedzme, že po všetkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred X na druhú vás môže poriadne rozčúliť. Je ľahké zabudnúť... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a dokončiť riešenie príkladu. Rozhodnite sa sami. Teraz by ste mali mať korene 2 a -1.

Recepcia ako druhá. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorý sme použili na zapisovanie koreňového vzorca. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Výsledkom by mal byť voľný člen, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyjde, znamená to, že to už niekde pokazili. Hľadajte chybu.

Ak to funguje, musíte pridať korene. Posledná a posledná kontrola. Koeficient by mal byť b S opak známy. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred X, sa rovná -1. Takže všetko je správne!
Je škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale skontrolujte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude stále menej.

Tretia recepcia . Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v lekcii "Ako riešiť rovnice? Transformácie identity." Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu neustále vkrádajú chyby...

Mimochodom, sľúbil som, že zlý príklad zjednoduším s kopou mínusov. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nenechali zmiasť mínusmi, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Riešenie je radosť!

Poďme si teda zhrnúť tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a zostavíme ju Správny.

2. Ak je pred druhou mocninou X záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak x na druhú je čistý, jeho koeficient rovný jednej, riešenie možno jednoducho overiť pomocou Vietovej vety. Urob to!

Teraz sa môžeme rozhodnúť.)

Riešte rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1) (x+2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Sedí všetko? Skvelé! Kvadratické rovnice vás nebolí. Prvé tri fungovali, ale zvyšok nie? Potom problém nie je s kvadratickými rovnicami. Problém je v identických transformáciách rovníc. Pozrite si odkaz, je to užitočné.

Celkom to nejde? Alebo to vôbec nejde? Potom vám pomôže oddiel 555. Všetky tieto príklady sú tam rozpísané. Zobrazené Hlavná chyby v riešení. Samozrejme, hovoríme aj o použití identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľa pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učme sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Len. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze

je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. do formulára:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu. Najdôležitejšie je urobiť to správne

určiť všetky koeficienty, A, b A c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice.

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný . Ako vidíte, aby sme našli X, my

používame iba a, b a c. Tie. koeficienty od kvadratická rovnica. Len opatrne vložte

hodnoty a, b a c Počítame podľa tohto vzorca. Nahrádzame s ich znamenia!

Napríklad, v rovnici:

A =1; b = 3; c = -4.

Nahradíme hodnoty a napíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Najčastejšími chybami je zámena s hodnotami znamienka a, b A S. Alebo skôr s náhradou

záporné hodnoty do vzorca na výpočet koreňov. Tu prichádza na pomoc podrobný záznam vzorca

s konkrétnymi číslami. Ak máte problémy s výpočtami, urobte to!

Predpokladajme, že musíme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Všetko popisujeme podrobne, starostlivo, bez toho, aby niečo chýbalo so všetkými znakmi a zátvorkami:

Kvadratické rovnice často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb.

Prvé stretnutie. Predtým nebuďte leniví riešenie kvadratickej rovnice uviesť do štandardnej formy.

Čo to znamená?

Povedzme, že po všetkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c.

Správne zostavte príklad. Najprv X na druhú, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

Zbavte sa mínusov. Ako? Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a dokončiť riešenie príkladu.

Rozhodnite sa sami. Teraz by ste mali mať korene 2 a -1.

Recepcia ako druhá. Skontrolujte korene! Autor: Vietov teorém.

Na riešenie daných kvadratických rovníc, t.j. ak koeficient

x 2 +bx+c=0,

Potomx 1 x 2 = c

x 1 + x 2 =-b

Pre úplnú kvadratickú rovnicu, v ktorej a≠1:

x 2 +bx+c=0,

vydeľte celú rovnicu o A:

→ →

Kde x 1 A X 2 - korene rovnice.

Tretia recepcia. Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte

rovnica so spoločným menovateľom.

Záver. Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru a zostavíme ju Správny.

2. Ak je pred druhou mocninou X záporný koeficient, odstránime ho vynásobením všetkého

rovnice o -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice zodpovedajúcim

faktor.

4. Ak je x na druhú čistú, jeho koeficient je rovný jednej, riešenie sa dá ľahko skontrolovať pomocou

V pokračovaní témy „Riešenie rovníc“ vám materiál v tomto článku predstaví kvadratické rovnice.

Zvážme všetko podrobne: podstatu a záznam kvadratickej rovnice, definujte súvisiace pojmy, analyzujte schému riešenia neúplných a úplné rovnice, zoznámime sa so vzorcom koreňov a diskriminantu, nadviažeme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi a samozrejme názorne vyriešime praktické príklady.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kvadratická rovnica, jej typy

Definícia 1

Kvadratická rovnica je rovnica napísaná ako a x 2 + b x + c = 0, Kde X– premenné, a , b a c– niektoré čísla, kým a nie je nula.

Kvadratické rovnice sa často nazývajú aj rovnice druhého stupňa, pretože kvadratická rovnica je v podstate algebraická rovnica druhého stupňa.

Uveďme príklad na ilustráciu danej definície: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 atď. Toto sú kvadratické rovnice.

Definícia 2

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, pričom koeficient a sa nazýva prvý, alebo senior, alebo koeficient pri x 2, b - druhý koeficient, alebo koeficient pri X, A c nazývaný voľný člen.

Napríklad v kvadratickej rovnici 6 x 2 − 2 x − 11 = 0 vodiaci koeficient je 6, druhý koeficient je − 2 , a voľný termín sa rovná − 11 . Venujme pozornosť tomu, že keď koeficienty b a/alebo c sú negatívne, potom sa použije krátka forma formulára 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Ujasnime si aj tento aspekt: ​​ak koeficienty a a/alebo b rovný 1 alebo − 1 , potom sa nemôžu explicitne podieľať na písaní kvadratickej rovnice, čo sa vysvetľuje zvláštnosťami zápisu uvedených číselných koeficientov. Napríklad v kvadratickej rovnici y2 − y + 7 = 0 vodiaci koeficient je 1 a druhý koeficient je − 1 .

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

Na základe hodnoty prvého koeficientu sa kvadratické rovnice delia na redukované a neredukované.

Definícia 3

Redukovaná kvadratická rovnica je kvadratická rovnica, kde vodiaci koeficient je 1. Pre ostatné hodnoty vedúceho koeficientu je kvadratická rovnica neredukovaná.

Uveďme príklady: kvadratické rovnice x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 sú redukované, z ktorých je vodiaci koeficient 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- neredukovaná kvadratická rovnica, kde prvý koeficient je odlišný od 1 .

Akákoľvek neredukovaná kvadratická rovnica môže byť prevedená na redukovanú rovnicu vydelením oboch strán prvým koeficientom (ekvivalentná transformácia). Transformovaná rovnica bude mať rovnaké korene ako daná neredukovaná rovnica alebo tiež nebude mať žiadne korene.

Úvaha konkrétny príklad nám umožní názorne demonštrovať prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad 1

Vzhľadom na rovnicu 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Pôvodnú rovnicu je potrebné previesť do redukovanej podoby.

Riešenie

Podľa vyššie uvedenej schémy vydelíme obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 6. Potom dostaneme: (6 x 2 + 18 x − 7): 3 = 0: 3 a toto je to isté ako: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 a ďalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0. Odtiaľ: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Takto sa získa rovnica ekvivalentná danej rovnici.

odpoveď: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Poďme k definícii kvadratickej rovnice. V ňom sme to špecifikovali a ≠ 0. Podobná podmienka je potrebná pre rovnicu a x 2 + b x + c = 0 bol presne štvorcový, keďže o hod a = 0 v podstate sa premieňa na lineárna rovnica b x + c = 0.

V prípade, že koeficienty b A c sa rovnajú nule (čo je možné jednotlivo aj spoločne), kvadratická rovnica sa nazýva neúplná.

Definícia 4

Neúplná kvadratická rovnica- taká kvadratická rovnica a x 2 + b x + c = 0, kde je aspoň jeden z koeficientov b A c(alebo oboje) je nula.

Kompletná kvadratická rovnica– kvadratická rovnica, v ktorej sa všetky číselné koeficienty nerovnajú nule.

Poďme diskutovať o tom, prečo sa typom kvadratických rovníc dávajú práve tieto názvy.

Keď b = 0, kvadratická rovnica nadobúda tvar a x 2 + 0 x + c = 0, ktorý je rovnaký ako a x 2 + c = 0. O c = 0 kvadratická rovnica je napísaná ako a x 2 + b x + 0 = 0, čo je ekvivalentné a x 2 + b x = 0. O b = 0 A c = 0 rovnica bude mať tvar a x 2 = 0. Rovnice, ktoré sme získali, sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. V skutočnosti táto skutočnosť dala tomuto typu rovnice názov – neúplná.

Napríklad x 2 + 3 x + 4 = 0 a − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 sú úplné kvadratické rovnice; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Vyššie uvedená definícia umožňuje rozlíšiť nasledujúce typy neúplných kvadratických rovníc:

• a x 2 = 0, táto rovnica zodpovedá koeficientom b = 0 a c = 0;
• a x2 + c = 0 pri b = 0;
• a x 2 + b x x = 0 pri c = 0.

Uvažujme postupne o riešení každého typu neúplnej kvadratickej rovnice.

Riešenie rovnice a x 2 =0

Ako bolo uvedené vyššie, táto rovnica zodpovedá koeficientom b A c, rovná nule. Rovnica a x 2 = 0 možno previesť na ekvivalentnú rovnicu x 2 = 0, ktorý dostaneme vydelením oboch strán pôvodnej rovnice číslom a, nerovná sa nule. Zjavným faktom je, že koreň rovnice x 2 = 0 toto je nula, pretože 0 2 = 0 . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo možno vysvetliť vlastnosťami stupňa: pre ľubovoľné číslo p, nerovná sa nule, nerovnosť je pravdivá p2 > 0, z ktorého vyplýva, že kedy p ≠ 0 rovnosť p2 = 0 sa nikdy nedosiahne.

Definícia 5

Pre neúplnú kvadratickú rovnicu a x 2 = 0 teda existuje jedinečný koreň x = 0.

Príklad 2

Napríklad vyriešme neúplnú kvadratickú rovnicu − 3 x 2 = 0. Je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, jej jediným koreňom je x = 0, potom má pôvodná rovnica jediný koreň - nulu.

Stručne povedané, riešenie je napísané takto:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Riešenie rovnice a x 2 + c = 0

Ďalšie v poradí je riešenie neúplných kvadratických rovníc, kde b = 0, c ≠ 0, teda rovnice tvaru a x 2 + c = 0. Transformujme túto rovnicu presunutím člena z jednej strany rovnice na druhú, zmenou znamienka na opačnú stranu a vydelením oboch strán rovnice číslom, ktoré sa nerovná nule:

• prevod c na pravú stranu, čo dáva rovnicu a x 2 = − c;
• vydeľte obe strany rovnice a, skončíme s x = - c a .

Naše transformácie sú ekvivalentné, výsledná rovnica je tiež ekvivalentná pôvodnej a táto skutočnosť umožňuje vyvodiť závery o koreňoch rovnice. Z toho, aké sú hodnoty a A c hodnota výrazu - c a závisí: môže mať znamienko mínus (napríklad ak a = 1 A c = 2, potom - c a = - 2 1 = - 2) alebo znamienko plus (napríklad ak a = - 2 A c = 6 potom - ca = - 6 - 2 = 3); nie je to nula, pretože c ≠ 0. Zastavme sa podrobnejšie pri situáciách, keď - c a< 0 и - c a > 0 .

V prípade, keď - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p rovnosť p 2 = - c a nemôže byť pravdivá.

Všetko je iné, keď - c a > 0: zapamätajte si druhú odmocninu a bude zrejmé, že koreň rovnice x 2 = - c a bude číslo - c a, keďže - c a 2 = - c a. Nie je ťažké pochopiť, že číslo - - c a je tiež koreňom rovnice x 2 = - c a: skutočne - - c a 2 = - c a.

Rovnica nebude mať žiadne iné korene. Môžeme to demonštrovať pomocou metódy protirečenia. Na začiatok definujme zápisy pre korene nájdené vyššie ako x 1 A − x 1. Predpokladajme, že aj rovnica x 2 = - c a má koreň x 2, ktorý sa líši od koreňov x 1 A − x 1. Poznáme to dosadením do rovnice X jej korene, transformujeme rovnicu na spravodlivú číselnú rovnosť.

Pre x 1 A − x 1 píšeme: x 1 2 = - c a , a pre x 2- x 2 2 = - c a . Na základe vlastností číselných rovníc odčítame jeden správny člen rovnosti po člene od druhého, čím získame: x 1 2 − x 2 2 = 0. Vlastnosti operácií s číslami využívame na prepísanie poslednej rovnosti ako (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Je známe, že súčin dvoch čísel je nula vtedy a len vtedy, ak aspoň jedno z čísel je nula. Z uvedeného vyplýva, že x 1 − x 2 = 0 a/alebo x 1 + x 2 = 0, čo je to isté x 2 = x 1 a/alebo x 2 = − x 1. Vznikol zjavný rozpor, pretože najprv sa zhodlo, že koreň rovnice x 2 sa líši od x 1 A − x 1. Takže sme dokázali, že rovnica nemá iné korene ako x = - ca a x = - - c a.

Zhrňme si všetky vyššie uvedené argumenty.

Definícia 6

Neúplná kvadratická rovnica a x 2 + c = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = - c a, ktorá:

• nebude mať korene v - c a< 0 ;
• bude mať dva korene x = - ca a x = - - c a pre - c a > 0.

Uveďme príklady riešenia rovníc a x 2 + c = 0.

Príklad 3

Daná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0. Je potrebné nájsť riešenie.

Riešenie

Presuňme voľný člen na pravú stranu rovnice, potom bude mať rovnica tvar 9 x 2 = - 7.
Vydelme obe strany výslednej rovnice o 9 , dospejeme k x 2 = - 7 9 . Na pravej strane vidíme číslo so znamienkom mínus, čo znamená: daná rovnica nemá korene. Potom pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nebude mať korene.

odpoveď: rovnica 9 x 2 + 7 = 0 nemá korene.

Príklad 4

Je potrebné vyriešiť rovnicu − x 2 + 36 = 0.

Riešenie

Presuňme sa o 36 na pravú stranu: − x 2 = − 36.
Rozdeľme obe časti podľa − 1 , dostaneme x 2 = 36. Na pravej strane je kladné číslo, z čoho to môžeme usúdiť x = 36 resp x = -36.
Vyberme koreň a zapíšme si konečný výsledok: neúplná kvadratická rovnica − x 2 + 36 = 0 má dva korene x=6 alebo x = − 6.

odpoveď: x=6 alebo x = − 6.

Riešenie rovnice a x 2 +b x=0

Analyzujme tretí typ neúplných kvadratických rovníc, keď c = 0. Nájsť riešenie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 + b x = 0, použijeme metódu faktorizácie. Rozložme polynóm, ktorý je na ľavej strane rovnice, a vyberme spoločný faktor zo zátvoriek X. Tento krok umožní transformovať pôvodnú neúplnú kvadratickú rovnicu na jej ekvivalent x (a x + b) = 0. A táto rovnica je zase ekvivalentná množine rovníc x = 0 A a x + b = 0. Rovnica a x + b = 0 lineárny a jeho koreň: x = − b a.

Definícia 7

Teda neúplná kvadratická rovnica a x 2 + b x = 0 bude mať dva korene x = 0 A x = − b a.

Posilnime materiál príkladom.

Príklad 5

Je potrebné nájsť riešenie rovnice 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Riešenie

Vytiahneme to X mimo zátvorky dostaneme rovnicu x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Táto rovnica je ekvivalentná s rovnicami x = 0 a 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz by ste mali vyriešiť výslednú lineárnu rovnicu: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Stručne napíšte riešenie rovnice takto:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 alebo x = 3 3 7

odpoveď: x = 0, x = 3 3 7.

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na nájdenie riešení kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec:

Definícia 8

x = - b ± D 2 · a, kde D = b 2 − 4 a c– takzvaný diskriminant kvadratickej rovnice.

Zápis x = - b ± D 2 · a v podstate znamená, že x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Bolo by užitočné pochopiť, ako bol tento vzorec odvodený a ako ho aplikovať.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Postavme sa pred úlohu vyriešiť kvadratickú rovnicu a x 2 + b x + c = 0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• vydeľte obe strany rovnice číslom a, odlišné od nuly, dostaneme nasledujúcu kvadratickú rovnicu: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Vyberme celý štvorec na ľavej strane výslednej rovnice:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a
  Potom rovnica nadobudne tvar: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• Teraz je možné preniesť posledné dva pojmy na pravú stranu, pričom znamienko zmeníme na opačné, po čom dostaneme: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Nakoniec transformujeme výraz napísaný na pravej strane poslednej rovnosti:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Dostávame sa teda k rovnici x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , ekvivalentnej pôvodnej rovnici a x 2 + b x + c = 0.

Riešenie takýchto rovníc sme skúmali v predchádzajúcich odsekoch (riešenie neúplných kvadratických rovníc). Už získané skúsenosti umožňujú vyvodiť záver o koreňoch rovnice x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• s b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• keď b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, rovnica je x + b 2 · a 2 = 0, potom x + b 2 · a = 0.

Odtiaľ je zrejmý jediný koreň x = - b 2 · a;

• pre b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 bude platiť nasledovné: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 alebo x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , čo je rovnaké ako x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 alebo x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, t.j. rovnica má dva korene.

Je možné dospieť k záveru, že prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a teda pôvodnej rovnice) závisí od znamienka výrazu b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 napísané na pravej strane. A znak tohto výrazu je daný znakom čitateľa (menovateľ 4 a 2 bude vždy kladný), teda znak výrazu b 2 − 4 a c. Tento výraz b 2 − 4 a c je uvedený názov - diskriminant kvadratickej rovnice a písmeno D je definované ako jej označenie. Tu môžete napísať podstatu diskriminantu - na základe jeho hodnoty a znamienka môžu usúdiť, či kvadratická rovnica bude mať skutočné korene, a ak áno, aký je počet koreňov - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Prepíšme to pomocou diskriminačného zápisu: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Znova sformulujme naše závery:

Definícia 9

• pri D< 0 rovnica nemá skutočné korene;
• pri D = 0 rovnica má jeden koreň x = - b 2 · a ;
• pri D > 0 rovnica má dva korene: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 alebo x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Na základe vlastností radikálov možno tieto korene zapísať v tvare: x = - b 2 · a + D 2 · a alebo - b 2 · a - D 2 · a. A keď otvoríme moduly a zlomky privedieme k spoločnému menovateľovi, dostaneme: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

Takže výsledkom našej úvahy bolo odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, diskriminant D vypočítané podľa vzorca D = b 2 − 4 a c.

Tieto vzorce umožňujú určiť oba skutočné korene, keď je diskriminant väčší ako nula. Keď je diskriminant nulový, použitie oboch vzorcov poskytne rovnaký koreň ako jediné riešenie kvadratickej rovnice. V prípade, že je diskriminant záporný, ak sa pokúsime použiť vzorec kvadratickej odmocniny, budeme čeliť potrebe vziať druhú odmocninu zo záporného čísla, čím sa dostaneme za hranice reálnych čísel. S negatívnym diskriminantom nebude mať kvadratická rovnica skutočné korene, ale je možný pár komplexne konjugovaných koreňov, určených rovnakými koreňovými vzorcami, aké sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

Je možné vyriešiť kvadratickú rovnicu okamžitým použitím koreňového vzorca, ale vo všeobecnosti sa to robí, keď je potrebné nájsť zložité korene.

Vo väčšine prípadov to zvyčajne znamená hľadanie nie komplexných, ale skutočných koreňov kvadratickej rovnice. Potom je optimálne pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv určiť diskriminant a uistiť sa, že nie je záporný (inak dôjdeme k záveru, že rovnica nemá žiadne skutočné korene), a potom pristúpiť k výpočtu hodnotu koreňov.

Vyššie uvedené úvahy umožňujú formulovať algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice.

Definícia 10

Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 + b x + c = 0, potrebné:

• podľa vzorca D = b 2 − 4 a c nájsť diskriminačnú hodnotu;
• v D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• pre D = 0 nájdite jediný koreň rovnice pomocou vzorca x = - b 2 · a ;
• pre D > 0 určte dva reálne korene kvadratickej rovnice pomocou vzorca x = - b ± D 2 · a.

Všimnite si, že keď je diskriminant nulový, môžete použiť vzorec x = - b ± D 2 · a, poskytne rovnaký výsledok ako vzorec x = - b 2 · a.

Pozrime sa na príklady.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uveďme riešenia príkladov pre rôzne hodnoty diskriminantu.

Príklad 6

Musíme nájsť korene rovnice x 2 + 2 x − 6 = 0.

Riešenie

Zapíšme si číselné koeficienty kvadratickej rovnice: a = 1, b = 2 a c = - 6. Ďalej postupujeme podľa algoritmu, t.j. Začnime s výpočtom diskriminantu, za ktorý dosadíme koeficienty a, b A c do diskriminačného vzorca: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Takže dostaneme D > 0, čo znamená, že pôvodná rovnica bude mať dva skutočné korene.
Na ich nájdenie použijeme koreňový vzorec x = - b ± D 2 · a a dosadením zodpovedajúcich hodnôt dostaneme: x = - 2 ± 28 2 · 1. Zjednodušme výsledný výraz odstránením faktora z koreňového znamienka a následným zmenšením zlomku:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 alebo x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 alebo x = - 1 - 7

odpoveď: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.

Príklad 7

Treba vyriešiť kvadratickú rovnicu − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Riešenie

Definujme diskriminant: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Pri tejto hodnote diskriminantu bude mať pôvodná rovnica len jeden koreň, určený vzorcom x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

odpoveď: x = 3,5.

Príklad 8

Je potrebné vyriešiť rovnicu 5 y2 + 6 y + 2 = 0

Riešenie

Číselné koeficienty tejto rovnice budú: a = 5, b = 6 a c = 2. Na nájdenie diskriminantu použijeme tieto hodnoty: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Vypočítaný diskriminant je záporný, takže pôvodná kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene.

V prípade, že úlohou je označiť zložité korene, použijeme koreňový vzorec a vykonáme akcie s komplexné čísla:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 alebo x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i alebo x = - 3 5 - 1 5 · i.

odpoveď: neexistujú žiadne skutočné korene; komplexné korene sú nasledovné: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

V školských osnovách nie je štandardne stanovená požiadavka hľadať komplexné korene, preto, ak sa pri riešení určí, že diskriminant je záporný, okamžite sa zapíše odpoveď, že žiadne skutočné korene neexistujú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Koreňový vzorec x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) umožňuje získať iný vzorec, kompaktnejší, umožňujúci nájsť riešenia kvadratických rovníc s párnym koeficientom pre x ( alebo s koeficientom v tvare 2 · n, napríklad 2 3 alebo 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Ukážme si, ako je tento vzorec odvodený.

Stojíme pred úlohou nájsť riešenie kvadratickej rovnice a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postupujeme podľa algoritmu: určíme diskriminant D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a.

Označme výraz n 2 − a · c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 · n bude mať tvar:

x = - n ± D 1 a, kde D 1 = n 2 − a · c.

Je ľahké vidieť, že D = 4 · D 1 alebo D 1 = D 4. Inými slovami, D 1 je štvrtina diskriminantu. Je zrejmé, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D, čo znamená, že znamienko D 1 môže slúžiť aj ako indikátor prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Definícia 11

Na nájdenie riešenia kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n je teda potrebné:

• nájdite D 1 = n 2 − a · c ;
• v D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• keď D 1 = 0, určte jediný koreň rovnice pomocou vzorca x = - n a;
• pre D 1 > 0 určte dva skutočné korene pomocou vzorca x = - n ± D 1 a.

Príklad 9

Je potrebné vyriešiť kvadratickú rovnicu 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Riešenie

Druhý koeficient danej rovnice môžeme reprezentovať ako 2 · (− 3) . Potom danú kvadratickú rovnicu prepíšeme ako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, kde a = 5, n = − 3 a c = − 32.

Vypočítajme štvrtú časť diskriminantu: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Výsledná hodnota je kladná, čo znamená, že rovnica má dva reálne korene. Určme ich pomocou zodpovedajúceho koreňového vzorca:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 alebo x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 alebo x = - 2

Bolo by možné vykonať výpočty pomocou obvyklého vzorca pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo riešenie ťažkopádnejšie.

odpoveď: x = 315 alebo x = -2.

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy je možné optimalizovať tvar pôvodnej rovnice, čo zjednoduší proces výpočtu koreňov.

Napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 je jednoznačne vhodnejšie vyriešiť ako 1 200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

Častejšie sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice vykonáva vynásobením alebo delením jej oboch strán určitým číslom. Napríklad vyššie sme ukázali zjednodušené znázornenie rovnice 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, získanej delením oboch strán číslom 100.

Takáto transformácia je možná, keď koeficienty kvadratickej rovnice nie sú prvočísla. Potom zvyčajne delíme obe strany rovnice najväčším spoločným deliteľom absolútnych hodnôt jej koeficientov.

Ako príklad použijeme kvadratickú rovnicu 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Určme GCD absolútnych hodnôt jeho koeficientov: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Vydelme obe strany pôvodnej kvadratickej rovnice 6 a získame ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Vynásobením oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne zbavíte zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa vynásobia najmenším spoločným násobkom menovateľov jeho koeficientov. Napríklad, ak sa každá časť kvadratickej rovnice 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 vynásobí LCM (6, 3, 1) = 6, zapíše sa viac v jednoduchej forme x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Nakoniec si všimneme, že mínus na prvom koeficiente kvadratickej rovnice sa takmer vždy zbavíme zmenou znamienka každého člena rovnice, čo sa dosiahne vynásobením (alebo delením) oboch strán − 1. Napríklad z kvadratickej rovnice − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 môžete prejsť na jej zjednodušenú verziu 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi

Nám už známy vzorec pre korene kvadratických rovníc x = - b ± D 2 · a vyjadruje korene rovnice prostredníctvom jej číselných koeficientov. Na základe tohto vzorca máme možnosť špecifikovať ďalšie závislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce sú Vietov teorém:

x 1 + x 2 = - ba a x 2 = c a.

Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu je súčet koreňov druhým koeficientom s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad pri pohľade na tvar kvadratickej rovnice 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 je možné okamžite určiť, že súčet jej koreňov je 7 3 a súčin koreňov je 22 3.

Medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice môžete nájsť aj množstvo ďalších súvislostí. Napríklad súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice možno vyjadriť pomocou koeficientov:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Pokračujeme v štúdiu témy " riešenie rovníc" S lineárnymi rovnicami sme sa už zoznámili a pokračujeme v zoznamovaní kvadratické rovnice.

Najprv sa pozrieme na to, čo je kvadratická rovnica, ako sa píše vo všeobecnom tvare a uvedieme súvisiace definície. Potom pomocou príkladov podrobne preskúmame, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Ďalej prejdeme k riešeniu úplných rovníc, získame koreňový vzorec, zoznámime sa s diskriminantom kvadratickej rovnice a zvážime riešenia typických príkladov. Nakoniec vystopujme súvislosti medzi koreňmi a koeficientmi.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická rovnica? Ich typy

Najprv musíte jasne pochopiť, čo je kvadratická rovnica. Preto je logické začať konverzáciu o kvadratických rovniciach definíciou kvadratickej rovnice, ako aj príbuzných definícií. Potom môžete zvážiť hlavné typy kvadratických rovníc: redukované a neredukované, ako aj úplné a neúplné rovnice.

Definícia a príklady kvadratických rovníc

Definícia.

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru a x 2 + b x + c = 0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a a je nenulové.

Povedzme hneď, že kvadratické rovnice sa často nazývajú rovnice druhého stupňa. Je to spôsobené tým, že kvadratická rovnica je algebraická rovnica druhého stupňa.

Uvedená definícia nám umožňuje uviesť príklady kvadratických rovníc. Takže 2 x 2 + 6 x + 1 = 0, 0,2 x 2 + 2,5 x + 0,03 = 0 atď. Toto sú kvadratické rovnice.

Definícia.

čísla a, b a c sa nazývajú koeficienty kvadratickej rovnice a·x 2 +b·x+c=0 a koeficient a sa nazýva prvý alebo najvyšší alebo koeficient x 2, b je druhý koeficient alebo koeficient x a c je voľný člen .

Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 −2 x −3=0, tu je vodiaci koeficient 5, druhý koeficient sa rovná −2 a voľný člen sa rovná −3. Upozorňujeme, že ak sú koeficienty b a/alebo c záporné, ako v práve uvedenom príklade, skrátená forma kvadratickej rovnice je 5 x 2 −2 x−3=0 , a nie 5 x 2 +(−2 ) ·x+(-3)=0.

Stojí za zmienku, že keď sa koeficienty a a/alebo b rovnajú 1 alebo -1, potom zvyčajne nie sú explicitne prítomné v kvadratickej rovnici, čo je spôsobené zvláštnosťami ich písania. Napríklad v kvadratickej rovnici y 2 −y+3=0 je vedúci koeficient jedna a koeficient y sa rovná −1.

Redukované a neredukované kvadratické rovnice

V závislosti od hodnoty vedúceho koeficientu sa rozlišujú redukované a neredukované kvadratické rovnice. Uveďme zodpovedajúce definície.

Definícia.

Nazýva sa kvadratická rovnica, v ktorej je vedúci koeficient 1 daná kvadratická rovnica. Inak platí kvadratická rovnica nedotknuté.

Podľa tejto definície kvadratické rovnice x 2 −3·x+1=0, x 2 −x−2/3=0 atď. – daný, v každom z nich je prvý koeficient rovný jednej. A 5 x 2 −x−1=0 atď. - neredukované kvadratické rovnice, ich vodiace koeficienty sú odlišné od 1.

Z akejkoľvek neredukovanej kvadratickej rovnice vydelením oboch strán vodiacim koeficientom môžete prejsť k redukovanej. Táto akcia je ekvivalentnou transformáciou, to znamená, že takto získaná redukovaná kvadratická rovnica má rovnaké korene ako pôvodná neredukovaná kvadratická rovnica, alebo podobne ako ona nemá žiadne korene.

Pozrime sa na príklad, ako sa vykonáva prechod z neredukovanej kvadratickej rovnice na redukovanú.

Príklad.

Z rovnice 3 x 2 +12 x−7=0 prejdite na zodpovedajúcu redukovanú kvadratickú rovnicu.

Riešenie.

Potrebujeme len vydeliť obe strany pôvodnej rovnice vodiacim koeficientom 3, je nenulový, aby sme mohli vykonať túto akciu. Máme (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, čo je rovnaké, (3x2):3+(12 x):3−7:3=0 a potom (3: 3) x 2 + (12:3) x−7:3=0, odkiaľ . Takto sme získali redukovanú kvadratickú rovnicu, ktorá je ekvivalentná pôvodnej.

odpoveď:

Úplné a neúplné kvadratické rovnice

Definícia kvadratickej rovnice obsahuje podmienku a≠0. Táto podmienka je potrebná, aby rovnica a x 2 + b x + c = 0 bola kvadratická, pretože keď a = 0, stáva sa vlastne lineárnou rovnicou v tvare b x + c = 0.

Pokiaľ ide o koeficienty b a c, môžu sa rovnať nule, jednotlivo aj spolu. V týchto prípadoch sa kvadratická rovnica nazýva neúplná.

Definícia.

Kvadratická rovnica a x 2 +b x+c=0 sa nazýva neúplné, ak sa aspoň jeden z koeficientov b, c rovná nule.

Vo svojom poradí

Definícia.

Kompletná kvadratická rovnica je rovnica, v ktorej sú všetky koeficienty odlišné od nuly.

Takéto mená neboli dané náhodou. To bude zrejmé z nasledujúcich diskusií.

Ak je koeficient b nula, potom má kvadratická rovnica tvar a·x 2 +0·x+c=0 a je ekvivalentná rovnici a·x 2 +c=0. Ak c=0, to znamená, že kvadratická rovnica má tvar a·x 2 +b·x+0=0, potom ju možno prepísať ako a·x 2 +b·x=0. A s b=0 ac=0 dostaneme kvadratickú rovnicu a·x 2 =0. Výsledné rovnice sa líšia od úplnej kvadratickej rovnice tým, že ich ľavé strany neobsahujú ani člen s premennou x, ani voľný člen, ani oboje. Odtiaľ pochádza ich názov – neúplné kvadratické rovnice.

Takže rovnice x 2 +x+1=0 a −2 x 2 −5 x+0,2=0 sú príklady úplných kvadratických rovníc a x 2 =0, −2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 sú neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc

Z informácií v predchádzajúcom odseku vyplýva, že existuje tri typy neúplných kvadratických rovníc:

• a·x 2 =0, zodpovedajú tomu koeficienty b=0 a c=0;
• ax2+c=0, keď b=0;
• a ax2+bx=0, keď c=0.

Pozrime sa v poradí, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice každého z týchto typov.

a x 2 = 0

Začnime riešením neúplných kvadratických rovníc, v ktorých sú koeficienty b a c rovné nule, teda rovnicami v tvare a x 2 =0. Rovnica a·x 2 =0 je ekvivalentná rovnici x 2 =0, ktorá sa získa z originálu delením oboch častí nenulovým číslom a. Je zrejmé, že koreň rovnice x 2 = 0 je nula, pretože 0 2 = 0. Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa vysvetľuje tým, že pre akékoľvek nenulové číslo p platí nerovnosť p 2 >0, čo znamená, že pre p≠0 sa nikdy nedosiahne rovnosť p 2 =0.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 =0 má teda jeden koreň x=0.

Ako príklad uvedieme riešenie neúplnej kvadratickej rovnice −4 x 2 =0. Je ekvivalentná rovnici x 2 =0, jej jediným koreňom je x=0, preto má pôvodná rovnica jeden koreň nula.

Krátke riešenie v tomto prípade možno napísať takto:
−4 x 2 = 0 ,
x 2 = 0,
x=0.

a x 2 + c = 0

Teraz sa pozrime, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice, v ktorých je koeficient b nula a c≠0, teda rovnice tvaru a x 2 +c=0. Vieme, že presun člena z jednej strany rovnice na druhú s opačným znamienkom, ako aj delenie oboch strán rovnice nenulovým číslom, dáva ekvivalentnú rovnicu. Preto môžeme vykonať nasledujúce ekvivalentné transformácie neúplnej kvadratickej rovnice a x 2 +c=0:

• presuňte c na pravú stranu, čím získate rovnicu a x 2 =−c,
• a vydelíme obe strany a, dostaneme .

Výsledná rovnica nám umožňuje vyvodiť závery o jej koreňoch. V závislosti od hodnôt a a c môže byť hodnota výrazu záporná (napríklad ak a=1 a c=2, potom ) alebo kladná (napríklad ak a=−2 a c=6, potom ), nerovná sa nule, pretože podľa podmienky c≠0. Budeme samostatne analyzovať prípady a.

Ak , potom rovnica nemá korene. Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporné číslo. Z toho vyplýva, že keď , potom pre žiadne číslo p nemôže platiť rovnosť.

Ak , potom je situácia s koreňmi rovnice iná. V tomto prípade, ak si spomenieme na , potom je koreň rovnice okamžite zrejmý, pretože . Je ľahké uhádnuť, že číslo je tiež koreňom rovnice, skutočne, . Táto rovnica nemá žiadne iné korene, čo sa dá ukázať napríklad protirečením. Poďme na to.

Označme korene práve oznámenej rovnice ako x 1 a −x 1 . Predpokladajme, že rovnica má ešte jeden koreň x 2, odlišný od uvedených koreňov x 1 a −x 1. Je známe, že dosadením jej koreňov do rovnice namiesto x sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť. Pre x 1 a −x 1 máme , a pre x 2 máme . Vlastnosti numerických rovníc nám umožňujú vykonávať odčítanie správnych numerických rovníc po členoch, takže odčítanie zodpovedajúcich častí rovnosti dáva x 1 2 −x 2 2 =0. Vlastnosti operácií s číslami nám umožňujú prepísať výslednú rovnosť ako (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Vieme, že súčin dvoch čísel sa rovná nule práve vtedy, ak sa aspoň jedno z nich rovná nule. Z výslednej rovnosti teda vyplýva, že x 1 −x 2 =0 a/alebo x 1 +x 2 =0, čo je rovnaké, x 2 =x 1 a/alebo x 2 =−x 1. Došli sme teda k rozporu, keďže na začiatku sme povedali, že koreň rovnice x 2 je odlišný od x 1 a −x 1. To dokazuje, že rovnica nemá iné korene ako a .

Zhrňme si informácie v tomto odseku. Neúplná kvadratická rovnica a x 2 +c=0 je ekvivalentná rovnici, ktorá

• nemá korene, ak,
• má dva korene a ak .

Uvažujme príklady riešenia neúplných kvadratických rovníc v tvare a·x 2 +c=0.

Začnime kvadratickou rovnicou 9 x 2 +7=0. Po presunutí voľného člena na pravú stranu rovnice bude mať tvar 9 x 2 =−7. Vydelením oboch strán výslednej rovnice číslom 9 sa dostaneme k . Keďže pravá strana má záporné číslo, táto rovnica nemá korene, preto pôvodná neúplná kvadratická rovnica 9 x 2 +7 = 0 nemá korene.

Vyriešme ďalšiu neúplnú kvadratickú rovnicu −x 2 +9=0. Presunieme deviatku na pravú stranu: −x 2 =−9. Teraz vydelíme obe strany −1, dostaneme x 2 =9. Na pravej strane je kladné číslo, z ktorého usudzujeme, že alebo . Potom zapíšeme konečnú odpoveď: neúplná kvadratická rovnica −x 2 +9=0 má dva korene x=3 alebo x=−3.

a x 2 + b x = 0

Zostáva sa zaoberať riešením posledného typu neúplných kvadratických rovníc pre c=0. Neúplné kvadratické rovnice tvaru a x 2 + b x = 0 umožňujú riešiť faktorizačná metóda. Je zrejmé, že môžeme, nachádzame sa na ľavej strane rovnice, pre ktorú stačí vyňať spoločný faktor x zo zátvoriek. To nám umožňuje prejsť od pôvodnej neúplnej kvadratickej rovnice k ekvivalentnej rovnici v tvare x·(a·x+b)=0. A táto rovnica je ekvivalentná množine dvoch rovníc x=0 a a·x+b=0, z ktorých druhá je lineárna a má koreň x=−b/a.

Neúplná kvadratická rovnica a·x 2 +b·x=0 má teda dva korene x=0 a x=−b/a.

Pre konsolidáciu materiálu rozoberieme riešenie na konkrétnom príklade.

Príklad.

Vyriešte rovnicu.

Riešenie.

Vybratím x zo zátvoriek dostaneme rovnicu . Je ekvivalentom dvoch rovníc x=0 a . Vyriešime výslednú lineárnu rovnicu: a delením zmiešaného čísla obyčajným zlomkom nájdeme . Preto korene pôvodnej rovnice sú x=0 a .

Po získaní potrebnej praxe je možné riešenia takýchto rovníc stručne napísať:

odpoveď:

x=0, .

Diskriminant, vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Na riešenie kvadratických rovníc existuje koreňový vzorec. Poďme si to zapísať vzorec pre korene kvadratickej rovnice: , Kde D=b2-4a c- tzv diskriminant kvadratickej rovnice. Zápis v podstate znamená, že .

Je užitočné vedieť, ako bol odvodený koreňový vzorec a ako sa používa pri hľadaní koreňov kvadratických rovníc. Poďme na to.

Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice

Potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu a·x 2 +b·x+c=0. Urobme niekoľko ekvivalentných transformácií:

• Obe strany tejto rovnice môžeme vydeliť nenulovým číslom a, výsledkom čoho je nasledujúca kvadratická rovnica.
• Teraz vyberte celý štvorec na jeho ľavej strane: . Potom bude mať rovnica tvar .
• V tejto fáze je možné preniesť posledné dva pojmy na pravú stranu s opačným znamienkom, máme .
• A tiež transformujme výraz na pravej strane: .

Výsledkom je, že dospejeme k rovnici, ktorá je ekvivalentná pôvodnej kvadratickej rovnici a·x 2 +b·x+c=0.

Rovnice podobného tvaru sme už riešili v predchádzajúcich odsekoch, keď sme skúmali. To nám umožňuje vyvodiť nasledujúce závery týkajúce sa koreňov rovnice:

• ak , potom rovnica nemá žiadne reálne riešenia;
• if , tak rovnica má tvar , teda , z ktorej je viditeľný jej jediný koreň;
• if , then or , čo je rovnaké ako alebo , to znamená, že rovnica má dva korene.

Prítomnosť alebo neprítomnosť koreňov rovnice, a teda aj pôvodnej kvadratickej rovnice, závisí od znamienka výrazu na pravej strane. Znamienko tohto výrazu je zasa určené znamienkom čitateľa, keďže menovateľ 4·a 2 je vždy kladný, teda znamienkom výrazu b 2 −4·a·c. Tento výraz b 2 −4 a c bol nazvaný diskriminant kvadratickej rovnice a označený listom D. Odtiaľ je jasná podstata diskriminantu - na základe jeho hodnoty a znamienka usudzujú, či má kvadratická rovnica skutočné korene, a ak áno, aké je ich číslo - jeden alebo dva.

Vráťme sa k rovnici a prepíšme ju pomocou diskriminačného zápisu: . A vyvodíme závery:

• ak D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• ak D=0, potom táto rovnica má jeden koreň;
• nakoniec, ak D>0, tak rovnica má dva korene alebo, ktoré môžeme prepísať do tvaru alebo a po rozšírení a privedení zlomkov na spoločného menovateľa dostaneme.

Odvodili sme teda vzorce pre korene kvadratickej rovnice, vyzerajú ako , kde diskriminant D vypočítame podľa vzorca D=b 2 −4·a·c.

S ich pomocou, s kladným diskriminantom, môžete vypočítať oba skutočné korene kvadratickej rovnice. Keď je diskriminant rovný nule, obidva vzorce dávajú rovnakú hodnotu odmocniny, zodpovedajúcu jediné riešenie kvadratická rovnica. A so záporným diskriminantom, keď sa pokúšame použiť vzorec pre korene kvadratickej rovnice, čelíme extrakcii odmocnina zo záporného čísla, čím sa dostávame nad rámec školských osnov. So záporným diskriminantom nemá kvadratická rovnica skutočné korene, ale má pár komplexný konjugát korene, ktoré možno nájsť pomocou rovnakých koreňových vzorcov, ktoré sme získali.

Algoritmus riešenia kvadratických rovníc pomocou koreňových vzorcov

V praxi pri riešení kvadratických rovníc môžete okamžite použiť koreňový vzorec na výpočet ich hodnôt. Ale to skôr súvisí s hľadaním zložitých koreňov.

V kurze školskej algebry to však zvyčajne je hovoríme o nie o komplexných, ale o skutočných koreňoch kvadratickej rovnice. V tomto prípade je vhodné pred použitím vzorcov pre korene kvadratickej rovnice najprv nájsť diskriminant, uistiť sa, že je nezáporný (v opačnom prípade môžeme konštatovať, že rovnica nemá skutočné korene), a až potom vypočítajte hodnoty koreňov.

Vyššie uvedená úvaha nám umožňuje písať Algoritmus na riešenie kvadratickej rovnice. Na vyriešenie kvadratickej rovnice a x 2 +b x+c=0 potrebujete:

• pomocou diskriminačného vzorca D=b 2 −4·a·c vypočítajte jeho hodnotu;
• dospieť k záveru, že kvadratická rovnica nemá skutočné korene, ak je diskriminant záporný;
• vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca, ak D=0;
• nájdite dva skutočné korene kvadratickej rovnice pomocou koreňového vzorca, ak je diskriminant kladný.

Tu si všimneme, že ak je diskriminant rovný nule, môžete použiť aj vzorec, ktorý dá rovnakú hodnotu ako .

Môžete prejsť na príklady použitia algoritmu na riešenie kvadratických rovníc.

Príklady riešenia kvadratických rovníc

Uvažujme riešenia troch kvadratických rovníc s kladným, záporným a nulovým diskriminantom. Po ich riešení bude možné analogicky vyriešiť akúkoľvek inú kvadratickú rovnicu. Poďme začať.

Príklad.

Nájdite korene rovnice x 2 +2·x−6=0.

Riešenie.

V tomto prípade máme nasledujúce kurzy kvadratická rovnica: a=1, b=2 a c=−6. Podľa algoritmu musíte najprv vypočítať diskriminant, dosadíme naznačené a, b a c do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Keďže 28>0, teda diskriminant je väčší ako nula, má kvadratická rovnica dva reálne korene. Poďme ich nájsť pomocou koreňového vzorca, dostaneme, tu môžete zjednodušiť výsledné výrazy tým, že urobíte posunutie násobiteľa za koreňový znak nasleduje redukcia frakcie:

odpoveď:

Prejdime k ďalšiemu typickému príkladu.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu −4 x 2 +28 x−49=0 .

Riešenie.

Začneme hľadaním diskriminačného prvku: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Preto má táto kvadratická rovnica jeden koreň, ktorý nájdeme ako , tj.

odpoveď:

x = 3,5.

Zostáva zvážiť riešenie kvadratických rovníc so záporným diskriminantom.

Príklad.

Riešte rovnicu 5·y 2 +6·y+2=0.

Riešenie.

Tu sú koeficienty kvadratickej rovnice: a=5, b=6 a c=2. Tieto hodnoty dosadíme do diskriminačného vzorca, máme D=b2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Diskriminant je záporný, preto táto kvadratická rovnica nemá skutočné korene.

Ak potrebujete uviesť zložité korene, potom použijeme známy vzorec pre korene kvadratickej rovnice a vykonáme operácie s komplexnými číslami:

odpoveď:

neexistujú skutočné korene, zložité korene sú: .

Ešte raz si všimnime, že ak je diskriminant kvadratickej rovnice záporný, potom v škole zvyčajne okamžite zapíšu odpoveď, v ktorej naznačujú, že neexistujú žiadne skutočné korene a komplexné korene sa nenachádzajú.

Koreňový vzorec pre párne sekundové koeficienty

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice, kde D=b 2 −4·a·c vám umožňuje získať vzorec kompaktnejšieho tvaru, ktorý vám umožňuje riešiť kvadratické rovnice s párnym koeficientom pre x (alebo jednoducho s a koeficient, ktorý má napríklad tvar 2·n alebo 14·ln5=2·7·ln5). Poďme ju dostať von.

Povedzme, že potrebujeme vyriešiť kvadratickú rovnicu v tvare a x 2 +2 n x+c=0. Poďme nájsť jeho korene pomocou vzorca, ktorý poznáme. Na tento účel vypočítame diskriminant D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c) a potom použijeme koreňový vzorec:

Označme výraz n 2 −a c ako D 1 (niekedy sa označuje aj D "). Potom vzorec pre korene uvažovanej kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2 n bude mať tvar , kde D 1 = n 2 −a·c.

Je ľahké vidieť, že D=4·D1 alebo D1=D/4. Inými slovami, D 1 je štvrtá časť rozlišovacieho znaku. Je jasné, že znamienko D 1 je rovnaké ako znamienko D . To znamená, že znamienko D 1 je tiež indikátorom prítomnosti alebo neprítomnosti koreňov kvadratickej rovnice.

Takže na vyriešenie kvadratickej rovnice s druhým koeficientom 2·n potrebujete

• Vypočítajte D 1 =n 2 −a·c ;
• Ak D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Ak D 1 = 0, potom vypočítajte jediný koreň rovnice pomocou vzorca;
• Ak D 1 >0, potom pomocou vzorca nájdite dva skutočné korene.

Uvažujme o riešení príkladu pomocou koreňového vzorca získaného v tomto odseku.

Príklad.

Vyriešte kvadratickú rovnicu 5 x 2 −6 x −32=0 .

Riešenie.

Druhý koeficient tejto rovnice môže byť reprezentovaný ako 2·(−3) . To znamená, že môžete prepísať pôvodnú kvadratickú rovnicu v tvare 5 x 2 +2 (−3) x−32=0, tu a=5, n=−3 a c=−32, a vypočítať štvrtú časť diskriminačný: D 1 = n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Keďže jej hodnota je kladná, rovnica má dva skutočné korene. Poďme ich nájsť pomocou príslušného koreňového vzorca:

Všimnite si, že bolo možné použiť obvyklý vzorec pre korene kvadratickej rovnice, ale v tomto prípade by bolo potrebné vykonať viac výpočtovej práce.

odpoveď:

Zjednodušenie tvaru kvadratických rovníc

Niekedy predtým, ako začnete počítať korene kvadratickej rovnice pomocou vzorcov, nezaškodí položiť si otázku: „Je možné zjednodušiť formu tejto rovnice? Súhlaste s tým, že z hľadiska výpočtov bude jednoduchšie vyriešiť kvadratickú rovnicu 11 x 2 −4 x−6=0 ako 1100 x 2 −400 x−600=0.

Typicky sa zjednodušenie tvaru kvadratickej rovnice dosiahne vynásobením alebo delením oboch strán určitým číslom. Napríklad v predchádzajúcom odseku bolo možné zjednodušiť rovnicu 1100 x 2 −400 x −600=0 vydelením oboch strán číslom 100.

Podobná transformácia sa vykonáva s kvadratickými rovnicami, ktorých koeficienty nie sú . V tomto prípade sú obe strany rovnice zvyčajne rozdelené absolútnymi hodnotami jej koeficientov. Vezmime si napríklad kvadratickú rovnicu 12 x 2 −42 x+48=0. absolútne hodnoty jeho koeficientov: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Vydelením oboch strán pôvodnej kvadratickej rovnice číslom 6 dostaneme ekvivalentnú kvadratickú rovnicu 2 x 2 −7 x+8=0.

A násobenie oboch strán kvadratickej rovnice sa zvyčajne robí, aby sa zbavili zlomkových koeficientov. V tomto prípade sa násobenie vykonáva menovateľmi jeho koeficientov. Napríklad, ak sú obe strany kvadratickej rovnice vynásobené LCM(6, 3, 1)=6, potom bude mať jednoduchší tvar x 2 +4·x−18=0.

Na záver tohto bodu poznamenávame, že takmer vždy sa zbavia mínusu pri najvyššom koeficiente kvadratickej rovnice zmenou znamienka všetkých členov, čo zodpovedá vynásobeniu (alebo deleniu) oboch strán −1. Napríklad zvyčajne sa prejde od kvadratickej rovnice −2 x 2 −3 x+7=0 k riešeniu 2 x 2 +3 x−7=0 .

Vzťah medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice vyjadruje korene rovnice prostredníctvom jej koeficientov. Na základe koreňového vzorca môžete získať ďalšie vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi.

Najznámejšie a použiteľné vzorce z Vietovej vety sú tvaru a . Konkrétne pre danú kvadratickú rovnicu sa súčet koreňov rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu. Napríklad, keď sa pozrieme na tvar kvadratickej rovnice 3 x 2 −7 x + 22 = 0, môžeme okamžite povedať, že súčet jej koreňov sa rovná 7/3 a súčin koreňov sa rovná 22. /3.

Pomocou už napísaných vzorcov môžete získať množstvo ďalších spojení medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice. Môžete napríklad vyjadriť súčet druhých mocnín koreňov kvadratickej rovnice prostredníctvom jej koeficientov: .

Bibliografia.

• Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14.00 hod. 1. časť Učebnica pre žiakov vzdelávacie inštitúcie/ A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.

Po získaní všeobecnej predstavy o rovnosti a po oboznámení sa s jedným z ich typov - číselnými rovnosťami, môžete začať hovoriť o inom type rovnosti, ktorý je z praktického hľadiska veľmi dôležitý - o rovniciach. V tomto článku sa pozrieme na čo je rovnica a čo sa nazýva koreň rovnice. Tu uvedieme zodpovedajúce definície, ako aj rôzne príklady rovníc a ich koreňov.

Navigácia na stránke.

čo je rovnica?

Cielený úvod do rovníc sa zvyčajne začína na hodinách matematiky v 2. ročníku. V tomto čase je uvedené nasledovné definícia rovnice:

Definícia.

Rovnica je rovnosť obsahujúca neznáme číslo, ktoré je potrebné nájsť.

Neznáme čísla v rovniciach sa zvyčajne označujú malými latinskými písmenami, napríklad p, t, u atď., ale najčastejšie sa používajú písmená x, y a z.

Teda rovnica je určená z hľadiska formy zápisu. Inými slovami, rovnosť je rovnica, keď dodržiava určené pravidlá písania – obsahuje písmeno, ktorého hodnotu je potrebné nájsť.

Uveďme príklady úplne prvých a najjednoduchších rovníc. Začnime rovnicami v tvare x=8, y=3 atď. Rovnice, ktoré obsahujú aritmetické znaky spolu s číslami a písmenami, vyzerajú trochu komplikovanejšie, napríklad x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Rôznorodosť rovníc narastá po oboznámení sa s - začínajú sa objavovať rovnice so zátvorkami, napríklad 2·(x−1)=18 a x+3·(x+2·(x−2))=3. Neznáme písmeno v rovnici sa môže objaviť niekoľkokrát, napríklad x+3+3·x−2−x=9, písmená môžu byť aj na ľavej strane rovnice, na jej pravej strane alebo na oboch stranách rovnice. rovnica, napríklad x (3+1)−4=8, 7−3=z+1 alebo 3·x−4=2·(x+12) .

Ďalej, po štúdiu prirodzených čísel sa človek zoznámi s celými, racionálnymi, reálnymi číslami, študujú sa nové matematické objekty: mocniny, odmocniny, logaritmy atď., a objavuje sa stále viac nových typov rovníc, ktoré tieto veci obsahujú. Príklady z nich nájdete v článku základné typy rovnícštúdium na škole.

V 7. ročníku spolu s písmenami, ktoré znamenajú nejaké konkrétne čísla, začínajú zvažovať písmená, ktoré môžu zabrať rôzne významy, nazývajú sa premenné (pozri článok). Zároveň sa do definície rovnice vkladá slovo „premenná“ a stáva sa takto:

Definícia.

Rovnica nazývaná rovnosť obsahujúca premennú, ktorej hodnotu je potrebné nájsť.

Napríklad rovnica x+3=6·x+7 je rovnica s premennou x a 3·z−1+z=0 je rovnica s premennou z.

Na hodinách algebry v tom istom 7. ročníku sa stretávame s rovnicami obsahujúcimi nie jednu, ale dve rôzne neznáme premenné. Nazývajú sa rovnice v dvoch premenných. V budúcnosti je v rovniciach povolená prítomnosť troch alebo viacerých premenných.

Definícia.

Rovnice s jedným, dvoma, tromi atď. premenných– ide o rovnice obsahujúce vo svojom zápise jednu, dve, tri, ... neznáme premenné, resp.

Napríklad rovnica 3,2 x+0,5=1 je rovnica s jednou premennou x, rovnica v tvare x−y=3 je rovnica s dvomi premennými x a y. A ešte jeden príklad: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Je zrejmé, že takáto rovnica je rovnica s tromi neznámymi premennými x, y a z.

Čo je koreňom rovnice?

Definícia rovnice priamo súvisí s definíciou koreňa tejto rovnice. Urobme nejaké úvahy, ktoré nám pomôžu pochopiť, čo je koreňom rovnice.

Povedzme, že máme rovnicu s jedným písmenom (premennou). Ak sa namiesto písmena zahrnutého v položke tejto rovnice nahradí určité číslo, rovnica sa zmení na číselnú rovnosť. Navyše výsledná rovnosť môže byť pravdivá alebo nepravdivá. Ak napríklad v rovnici a+1=5 dosadíte namiesto písmena a číslo 2, dostanete nesprávnu číselnú rovnosť 2+1=5. Ak do tejto rovnice dosadíme číslo 4 namiesto a, dostaneme správnu rovnosť 4+1=5.

V praxi sa v drvivej väčšine prípadov zaujímajú tie hodnoty premennej, ktorých substitúcia do rovnice dáva správnu rovnosť, sa nazývajú korene alebo riešenia tejto rovnice.

Definícia.

Koreň rovnice- je to hodnota písmena (premennej), pri ktorej dosadení sa rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť.

Všimnite si, že koreň rovnice v jednej premennej sa nazýva aj riešenie rovnice. Inými slovami, riešenie rovnice a koreň rovnice sú to isté.

Vysvetlime si túto definíciu na príklade. Aby sme to urobili, vráťme sa k rovnici napísanej vyššie a+1=5. Podľa uvedenej definície koreňa rovnice je číslo 4 koreňom tejto rovnice, keďže pri dosadení tohto čísla namiesto písmena a dostaneme správnu rovnosť 4+1=5 a číslo 2 nie je jej koreň, keďže zodpovedá nesprávnej rovnosti tvaru 2+1= 5 .

V tomto bode vyvstáva množstvo prirodzených otázok: „Má nejaká rovnica koreň a koľko koreňov má daná rovnica? My im odpovieme.

Existujú rovnice, ktoré majú korene a rovnice, ktoré nemajú korene. Napríklad rovnica x+1=5 má koreň 4, ale rovnica 0 x=5 nemá korene, keďže bez ohľadu na to, aké číslo do tejto rovnice dosadíme namiesto premennej x, dostaneme nesprávnu rovnosť 0=5 .

Pokiaľ ide o počet koreňov rovnice, existujú rovnice, ktoré majú určitý konečný počet koreňov (jeden, dva, tri atď.), ako aj rovnice, ktoré majú nekonečný počet koreňov. Napríklad rovnica x−2=4 má jeden koreň 6, korene rovnice x 2 =9 sú dve čísla −3 a 3, rovnica x·(x−1)·(x−2)=0 má tri korene 0, 1 a 2 a riešením rovnice x=x je ľubovoľné číslo, to znamená, že má nekonečný počet koreňov.

Malo by sa povedať niekoľko slov o akceptovanom zápise koreňov rovnice. Ak rovnica nemá korene, potom zvyčajne píšu „rovnica nemá korene“ alebo používajú znak prázdnej množiny ∅. Ak má rovnica korene, potom sa píšu oddelené čiarkami alebo sa píšu ako prvky súpravy v zložených zátvorkách. Napríklad, ak sú koreňmi rovnice čísla −1, 2 a 4, napíšte −1, 2, 4 alebo (−1, 2, 4). Je tiež prípustné zapísať korene rovnice vo forme jednoduchých rovníc. Napríklad, ak rovnica obsahuje písmeno x a korene tejto rovnice sú čísla 3 a 5, potom môžete napísať x=3, x=5 a často sa pridávajú dolné indexy x 1 =3, x 2 =5 k premennej, ako keby označoval korene čísel rovnice. Nekonečná množina koreňov rovnice sa zvyčajne zapisuje v tvare a ak je to možné, používa sa zápis množín prirodzených čísel N, celých čísel Z a reálnych čísel R. Napríklad, ak koreň rovnice s premennou x je ľubovoľné celé číslo, potom napíšte , a ak korene rovnice s premennou y sú akékoľvek reálne číslo od 1 do 9 vrátane, potom napíšte .

Pre rovnice s dvomi, tromi alebo viacerými premennými sa pojem „koreň rovnice“ spravidla nepoužíva, v týchto prípadoch sa hovorí o „riešení rovnice“. Čo sa nazýva riešenie rovníc s viacerými premennými? Uveďme zodpovedajúcu definíciu.

Definícia.

Riešenie rovnice s dvoma, tromi atď. premenných nazývaný pár, tri atď. hodnoty premenných, čím sa táto rovnica zmení na správnu číselnú rovnosť.

Ukážme vysvetľujúce príklady. Uvažujme rovnicu s dvoma premennými x+y=7. Dosadíme namiesto x číslo 1 a namiesto y číslo 2 a máme rovnosť 1+2=7. Je zrejmé, že je to nesprávne, preto pár hodnôt x=1, y=2 nie je riešením napísanej rovnice. Ak vezmeme pár hodnôt x=4, y=3, tak po dosadení do rovnice dospejeme k správnej rovnosti 4+3=7, preto je tento pár premenných hodnôt podľa definície riešením na rovnicu x+y=7.

Rovnice s niekoľkými premennými, podobne ako rovnice s jednou premennou, nemusia mať žiadne korene, môžu mať konečný počet koreňov alebo môžu mať nekonečný počet koreňov.

Dvojica, trojica, štvorica atď. Hodnoty premenných sa často píšu stručne, pričom ich hodnoty sú oddelené čiarkami v zátvorkách. V tomto prípade čísla napísané v zátvorkách zodpovedajú premenným v abecednom poradí. Ujasnime si tento bod návratom k predchádzajúcej rovnici x+y=7. Riešenie tejto rovnice x=4, y=3 môžeme stručne zapísať ako (4, 3).

Najväčšia pozornosť v školskom kurze matematiky, algebry a začiatkov analýzy je venovaná hľadaniu koreňov rovníc s jednou premennou. O pravidlách tohto procesu budeme veľmi podrobne diskutovať v článku. riešenie rovníc.

Bibliografia.

• Matematika. 2 triedy Učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie s adj. na elektrón dopravca. O 14. hodine 1. časť / [M. I. Moro, M. A. Bantová, G. V. Beltyuková atď.] - 3. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2012. - 96 s.: chor. - (Ruská škola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: učebnica pre 7. ročník všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 17. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 240 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. ročník: výchovný. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.