Aký je logaritmus jednej? Logaritmy: príklady a riešenia

Uvádzajú sa základné vlastnosti prirodzeného logaritmu, graf, definičný obor, množina hodnôt, základné vzorce, derivácia, integrál, rozšírenie mocninného radu a reprezentácia funkcie ln x pomocou komplexných čísel.

Definícia

Prirodzený logaritmus je funkcia y = ln x, inverzná hodnota exponenciály, x = e y, a je logaritmus k základu čísla e: ln x = log e x.

Prirodzený logaritmus je široko používaný v matematike, pretože jeho derivát má najjednoduchšiu formu: (ln x)' = 1/ x.

Na základe definície, základom prirodzeného logaritmu je číslo e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graf funkcie y = ln x.

Graf prirodzeného logaritmu (funkcie y = ln x) sa získa z exponenciálneho grafu zrkadlovým odrazom vzhľadom na priamku y = x.

Prirodzený logaritmus je definovaný pre kladné hodnoty premennej x. Vo svojej doméne definície sa zvyšuje monotónne.

Pri x → 0 limita prirodzeného logaritmu je mínus nekonečno (-∞).

Ako x → + ∞ je limita prirodzeného logaritmu plus nekonečno (+ ∞). Pre veľké x sa logaritmus zvyšuje pomerne pomaly. Akákoľvek mocninná funkcia x a s kladným exponentom a rastie rýchlejšie ako logaritmus.

Vlastnosti prirodzeného logaritmu

Doména definície, množina hodnôt, extrémy, nárast, pokles

Prirodzený logaritmus je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti prirodzeného logaritmu sú uvedené v tabuľke.

ln x hodnoty

ln 1 = 0

Základné vzorce pre prirodzené logaritmy

Vzorce vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Akýkoľvek logaritmus možno vyjadriť prirodzenými logaritmami pomocou základného substitučného vzorca:

Dôkazy týchto vzorcov sú uvedené v časti "Logaritmus".

Inverzná funkcia

Inverzná k prirodzenému logaritmu je exponent.

Ak potom

Ak potom.

Derivát ln x

Derivácia prirodzeného logaritmu:
.
Derivácia prirodzeného logaritmu modulu x:
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodzovanie vzorcov >> >

Integrálne

Integrál sa vypočíta integráciou po častiach:
.
takže,

Výrazy využívajúce komplexné čísla

Zvážte funkciu komplexnej premennej z:
.
Vyjadrime komplexnú premennú z cez modul r a argument φ :
.
Pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo
.
Argument φ nie je jednoznačne definovaný. Ak položíte
, kde n je celé číslo,
bude to rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto prirodzený logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Keď dôjde k expanzii:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Logaritmus kladného čísla b na základ a (a>0, a sa nerovná 1) je číslo c také, že a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Všimnite si, že logaritmus nezáporného čísla nie je definovaný. Okrem toho základom logaritmu musí byť kladné číslo, ktoré sa nerovná 1. Ak napríklad odmocníme -2, dostaneme číslo 4, ale to neznamená, že základný logaritmus -2 zo 4 sa rovná do 2.

Základná logaritmická identita

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Je dôležité, aby rozsah definície pravej a ľavej strany tohto vzorca bol odlišný. Ľavá strana je definovaná len pre b>0, a>0 a a ≠ 1. Pravá strana je definovaná pre ľubovoľné b a vôbec nezávisí od a. Aplikácia základnej logaritmickej „identity“ pri riešení rovníc a nerovníc teda môže viesť k zmene OD.

Dva zrejmé dôsledky definície logaritmu

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Skutočne, keď zvýšime číslo a na prvú mocninu, dostaneme rovnaké číslo a keď ho zvýšime na nulu, dostaneme jednotku.

Logaritmus súčinu a logaritmus kvocientu

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Chcel by som varovať školákov pred bezmyšlienkovitým používaním týchto vzorcov pri riešení logaritmických rovníc a nerovníc. Pri ich použití „zľava doprava“ sa ODZ zužuje a pri prechode od súčtu alebo rozdielu logaritmov k logaritmu súčinu alebo kvocientu sa ODZ rozširuje.

V skutočnosti je výraz log a (f (x) g (x)) definovaný v dvoch prípadoch: keď sú obe funkcie striktne kladné alebo keď sú f(x) a g(x) obe menšie ako nula.

Premenou tohto výrazu na súčet log a f (x) + log a g (x) sme nútení obmedziť sa len na prípad, keď f(x)>0 a g(x)>0. Dochádza k zúženiu rozsahu prijateľných hodnôt, čo je kategoricky neprijateľné, pretože to môže viesť k strate riešení. Podobný problém existuje pre vzorec (6).

Stupeň možno odobrať zo znamienka logaritmu

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

A opäť by som chcel vyzvať na presnosť. Zvážte nasledujúci príklad:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ľavá strana rovnosti je samozrejme definovaná pre všetky hodnoty f(x) okrem nuly. Pravá strana je len pre f(x)>0! Vybratím stupňa z logaritmu opäť zúžime ODZ. Opačný postup vedie k rozšíreniu rozsahu prijateľných hodnôt. Všetky tieto poznámky platia nielen pre mocninu 2, ale aj pre akúkoľvek párnu mocninu.

Vzorec na prechod na nový základ

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Ten ojedinelý prípad, keď sa ODZ pri transformácii nemení. Ak ste múdro zvolili základ c (kladný a nie rovný 1), vzorec na prechod na nový základ je úplne bezpečný.

Ak zvolíme číslo b ako nový základ c, dostaneme dôležité špeciálny prípad vzorce (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Niekoľko jednoduchých príkladov s logaritmami

Príklad 1. Vypočítajte: log2 + log50.
Riešenie. log2 + log50 = log100 = 2. Použili sme vzorec súčtu logaritmov (5) a definíciu desiatkového logaritmu.

Príklad 2. Vypočítajte: lg125/lg5.
Riešenie. log125/log5 = log 5 125 = 3. Použili sme vzorec na prechod na nový základ (8).

Tabuľka vzorcov súvisiacich s logaritmami

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

Ako sa spoločnosť rozvíjala a výroba sa stávala zložitejšou, rozvíjala sa aj matematika. Pohyb od jednoduchého k zložitému. Od bežného účtovania metódou sčítania a odčítania sme s ich opakovaným opakovaním dospeli k pojmu násobenie a delenie. Zníženie opakovanej operácie násobenia sa stalo konceptom umocňovania. Prvé tabuľky závislosti čísel od základu a počtu umocnení zostavil už v 8. storočí indický matematik Varasena. Z nich môžete spočítať čas výskytu logaritmov.

Historický náčrt

Oživenie Európy v 16. storočí podnietilo aj rozvoj mechaniky. T vyžadovalo veľké množstvo výpočtov súvisiace s násobením a delením viacciferných čísel. Staroveké stoly mali skvelú službu. Umožnili nahradiť zložité operácie jednoduchšími – sčítanie a odčítanie. Veľkým krokom vpred bola práca matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roku 1544, v ktorej realizoval myšlienku mnohých matematikov. To umožnilo použiť tabuľky nielen pre mocniny vo forme prvočísel, ale aj pre ľubovoľné racionálne.

V roku 1614 Škót John Napier, ktorý rozvíjal tieto myšlienky, prvýkrát zaviedol nový termín „logaritmus čísla“. Boli zostavené nové komplexné tabuľky na výpočet logaritmov sínusov a kosínusov, ako aj dotyčníc. To značne znížilo prácu astronómov.

Začali sa objavovať nové tabuľky, ktoré vedci úspešne používali už tri storočia. Uplynulo veľa času, kým nová operácia v algebre nadobudla svoju hotovú podobu. Bola daná definícia logaritmu a boli študované jeho vlastnosti.

Až v 20. storočí, s príchodom kalkulačky a počítača, ľudstvo opustilo staroveké tabuľky, ktoré úspešne fungovali počas 13. storočia.

Dnes nazývame logaritmus b na základe čísla x, ktoré je mocninou a na vytvorenie b. Toto je napísané ako vzorec: x = log a(b).

Napríklad log 3(9) by sa rovnalo 2. To je zrejmé, ak budete postupovať podľa definície. Ak zvýšime 3 na 2, dostaneme 9.

Formulovaná definícia teda stanovuje len jedno obmedzenie: čísla a a b musia byť reálne.

Typy logaritmov

Klasická definícia sa nazýva reálny logaritmus a je vlastne riešením rovnice a x = b. Možnosť a = 1 je hraničná a nie je zaujímavá. Pozor: 1 na akúkoľvek mocninu sa rovná 1.

Skutočná hodnota logaritmu definované iba vtedy, keď základ a argument sú väčšie ako 0 a základ sa nesmie rovnať 1.

Osobitné miesto v oblasti matematiky hrať logaritmy, ktoré budú pomenované v závislosti od veľkosti ich základne:

Pravidlá a obmedzenia

Základnou vlastnosťou logaritmov je pravidlo: logaritmus súčinu sa rovná logaritmickému súčtu. log abp = log a(b) + log a(p).

Ako variant tohto tvrdenia bude: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvocientová funkcia sa rovná rozdielu funkcií.

Z predchádzajúcich dvoch pravidiel je ľahké vidieť, že: log a(b p) = p * log a(b).

Medzi ďalšie vlastnosti patrí:

Komentujte. Nie je potrebné robiť bežnú chybu - logaritmus súčtu sa nerovná súčtu logaritmov.

Po mnoho storočí bola operácia hľadania logaritmu pomerne časovo náročná úloha. Matematici použili dobre známy vzorec logaritmickej teórie expanzie polynómov:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), kde n je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré určuje presnosť výpočtu.

Logaritmy s inými bázami boli vypočítané pomocou vety o prechode z jednej bázy na druhú a vlastnosti logaritmu súčinu.

Keďže táto metóda je veľmi náročná na prácu a pri riešení praktických problémov náročné na implementáciu sme použili vopred zostavené tabuľky logaritmov, čo výrazne urýchlilo celú prácu.

V niektorých prípadoch boli použité špeciálne zostavené grafy logaritmov, ktoré poskytli menšiu presnosť, ale výrazne urýchlili hľadanie požadovanej hodnoty. Krivka funkcie y = log a(x), vytvorená cez niekoľko bodov, umožňuje pomocou bežného pravítka nájsť hodnotu funkcie v akomkoľvek inom bode. Inžinieri na tieto účely dlho používali takzvaný milimetrový papier.

V 17. storočí sa objavili prvé pomocné analógové výpočtové podmienky, ktoré 19. storočie získal hotový vzhľad. Najúspešnejšie zariadenie sa nazývalo posuvné pravítko. Napriek jednoduchosti zariadenia jeho vzhľad výrazne urýchlil proces všetkých inžinierskych výpočtov, čo je ťažké preceňovať. V súčasnosti pozná toto zariadenie len málo ľudí.

Nástup kalkulačiek a počítačov spôsobil, že používanie akýchkoľvek iných zariadení bolo zbytočné.

Rovnice a nerovnice

Na riešenie rôznych rovníc a nerovníc pomocou logaritmov sa používajú tieto vzorce:

• Presun z jednej bázy na druhú: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• V dôsledku predchádzajúcej možnosti: log a(b) = 1 / log b(a).

Na riešenie nerovností je užitočné vedieť:

• Hodnota logaritmu bude kladná iba vtedy, ak základ aj argument sú väčšie alebo menšie ako jedna; ak je porušená aspoň jedna podmienka, hodnota logaritmu bude záporná.
• Ak je logaritmická funkcia aplikovaná na pravú a ľavú stranu nerovnosti a základ logaritmu je väčší ako jedna, potom sa znamienko nerovnosti zachová; inak sa to mení.

Vzorové problémy

Zvážme niekoľko možností použitia logaritmov a ich vlastností. Príklady s riešením rovníc:

Zvážte možnosť umiestniť logaritmus do mocniny:

• Úloha 3. Vypočítajte 25^log 5(3). Riešenie: v podmienkach problému je zadanie podobné nasledujúcemu (5^2)^log5(3) alebo 5^(2 * log 5(3)). Napíšme to inak: 5^log 5(3*2), alebo druhú mocninu čísla ako argument funkcie možno zapísať ako druhú mocninu samotnej funkcie (5^log 5(3))^2. Použitím vlastností logaritmov sa tento výraz rovná 3^2. Odpoveď: ako výsledok výpočtu dostaneme 9.

Praktické využitie

Keďže ide o čisto matematický nástroj, zdá sa ďaleko od skutočného života, že logaritmus zrazu nadobudol veľký význam pre popis objektov. reálny svet. Je ťažké nájsť vedu, kde sa nepoužíva. V plnej miere to platí nielen pre prírodné, ale aj humanitárne oblasti poznania.

Logaritmické závislosti

Tu je niekoľko príkladov numerických závislostí:

Mechanika a fyzika

Historicky sa mechanika a fyzika vždy rozvíjali pomocou matematických výskumných metód a zároveň slúžili ako stimul pre rozvoj matematiky, vrátane logaritmov. Teória väčšiny fyzikálnych zákonov je napísaná v jazyku matematiky. Uveďme len dva príklady opisu fyzikálnych zákonov pomocou logaritmu.

Problém výpočtu takého zložitého množstva, ako je rýchlosť rakety, možno vyriešiť pomocou vzorca Tsiolkovského, ktorý položil základ pre teóriu prieskumu vesmíru:

V = I * ln (M1/M2), kde

• V je konečná rýchlosť lietadla.
• I – špecifický impulz motora.
• M 1 – počiatočná hmotnosť rakety.
• M 2 – výsledná hmotnosť.

Ďalší dôležitý príklad- to je použité vo vzorci iného veľkého vedca Maxa Plancka, ktorý slúži na vyhodnotenie rovnovážneho stavu v termodynamike.

S = k * ln (Ω), kde

• S – termodynamická vlastnosť.
• k – Boltzmannova konštanta.
• Ω je štatistická váha rôznych stavov.

Chémia

Menej zrejmé je použitie vzorcov v chémii obsahujúcich pomer logaritmov. Uveďme len dva príklady:

• Nernstova rovnica, stav redoxného potenciálu prostredia vo vzťahu k aktivite látok a rovnovážnej konštante.
• Výpočet takých konštánt, ako je index autolýzy a kyslosť roztoku, sa tiež nezaobíde bez našej funkcie.

Psychológia a biológia

A vôbec nie je jasné, čo s tým má psychológia spoločné. Ukazuje sa, že silu vnemu táto funkcia dobre popisuje ako inverzný pomer hodnoty intenzity stimulu k nižšej hodnote intenzity.

Po vyššie uvedených príkladoch už nie je prekvapujúce, že téma logaritmov je v biológii široko používaná. O biologických formách zodpovedajúcich logaritmickým špirálam by sa dali písať celé zväzky.

Ostatné oblasti

Zdá sa, že existencia sveta je nemožná bez spojenia s touto funkciou a riadi všetky zákony. Najmä keď sú prírodné zákony spojené s geometrickým postupom. Stojí za to obrátiť sa na webovú stránku MatProfi a existuje veľa takýchto príkladov v nasledujúcich oblastiach činnosti:

Zoznam môže byť nekonečný. Po zvládnutí základných princípov tejto funkcie sa môžete ponoriť do sveta nekonečnej múdrosti.

Vo vzťahu k

možno nastaviť úlohu nájsť ľubovoľné z troch čísel z ďalších dvoch daných. Ak je dané a a potom N, zistíme ich umocnením. Ak N a potom a sú dané prevzatím odmocniny zo stupňa x (alebo jeho umocnením). Teraz zvážte prípad, keď za predpokladu a a N potrebujeme nájsť x.

Nech je číslo N kladné: číslo a je kladné a nerovná sa jednej: .

Definícia. Logaritmus čísla N k základu a je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sa získalo číslo N; logaritmus je označený

V rovnosti (26.1) teda nájdeme exponent ako logaritmus N k základu a. Príspevky

majú rovnaký význam. Rovnosť (26.1) sa niekedy nazýva hlavnou identitou teórie logaritmov; v skutočnosti vyjadruje definíciu pojmu logaritmus. Podľa tejto definície je základ logaritmu a vždy kladný a odlišný od jednoty; logaritmické číslo N je kladné. Záporné čísla a nula nemajú logaritmy. Dá sa dokázať, že každé číslo s daným základom má dobre definovaný logaritmus. Rovnosť teda znamená . Všimnite si, že podmienka je tu nevyhnutná, inak by záver nebol opodstatnený, pretože rovnosť platí pre všetky hodnoty x a y.

Príklad 1. Nájdite

Riešenie. Ak chcete získať číslo, musíte zvýšiť základnú 2 na silu Preto.

Pri riešení takýchto príkladov si môžete robiť poznámky v nasledujúcom tvare:

Príklad 2. Nájdite .

Riešenie. Máme

V príkladoch 1 a 2 sme ľahko našli požadovaný logaritmus reprezentovaním logaritmického čísla ako mocniny základu s racionálnym exponentom. Vo všeobecnom prípade, napríklad pre atď., to nemožno urobiť, pretože logaritmus má iracionálnu hodnotu. Venujme pozornosť jednej otázke súvisiacej s týmto tvrdením. V odseku 12 sme uviedli koncept možnosti určenia akejkoľvek skutočnej mocniny daného kladného čísla. Bolo to potrebné na zavedenie logaritmov, ktoré vo všeobecnosti môžu byť iracionálne čísla.

Pozrime sa na niektoré vlastnosti logaritmov.

Vlastnosť 1. Ak sa číslo a základ rovnajú, potom sa logaritmus rovná jednej, a naopak, ak sa logaritmus rovná jednej, potom sa číslo a základ rovnajú.

Dôkaz. Nech Podľa definície logaritmu máme a odkiaľ

Naopak, nech Potom podľa definície

Vlastnosť 2. Logaritmus jedna k ľubovoľnému základu sa rovná nule.

Dôkaz. Podľa definície logaritmu (nulová mocnina akejkoľvek kladnej bázy sa rovná jednej, pozri (10.1)). Odtiaľ

Q.E.D.

Platí aj opačné tvrdenie: ak , potom N = 1. V skutočnosti máme .

Pred formulovaním ďalšej vlastnosti logaritmov sa dohodneme, že dve čísla a a b ležia na rovnakej strane od tretieho čísla c, ak sú obe väčšie ako c alebo menšie ako c. Ak je jedno z týchto čísel väčšie ako c a druhé menšie ako c, potom povieme, že ležia na opačných stranách c.

Vlastnosť 3. Ak číslo a základ ležia na tej istej strane jednotky, potom je logaritmus kladný; Ak číslo a základ ležia na opačných stranách jednej, potom je logaritmus záporný.

Dôkaz vlastnosti 3 je založený na skutočnosti, že mocnina a je väčšia ako jedna, ak je základ väčší ako jeden a exponent je kladný alebo základ je menší ako jeden a exponent je záporný. Mocnina je menšia ako jedna, ak je základ väčší ako jedna a exponent je záporný, alebo ak je základ menší ako jedna a exponent je kladný.

Je potrebné zvážiť štyri prípady:

Obmedzíme sa na analýzu prvého z nich, zvyšok si čitateľ zváži sám.

Nech potom v rovnosti exponent nemôže byť ani záporný, ani rovný nule, preto je kladný, t.

Príklad 3. Zistite, ktoré z nižšie uvedených logaritmov sú kladné a ktoré záporné:

Riešenie, a) keďže číslo 15 a základňa 12 sú umiestnené na tej istej strane jednej;

b) keďže 1000 a 2 sú umiestnené na jednej strane jednotky; v tomto prípade nie je dôležité, aby bol základ väčší ako logaritmické číslo;

c) keďže 3,1 a 0,8 ležia na opačných stranách jednoty;

G); prečo?

d) ; prečo?

Nasledujúce vlastnosti 4-6 sa často nazývajú pravidlá logaritmácie: umožňujú, poznajúc logaritmy niektorých čísel, nájsť logaritmy ich súčinu, kvocientu a mocniny každého z nich.

Vlastnosť 4 (pravidlo logaritmu súčinu). Logaritmus súčinu niekoľkých kladných čísel podľa tento základ rovná súčtu logaritmov týchto čísel k rovnakému základu.

Dôkaz. Nech sú dané čísla kladné.

Pre logaritmus ich súčinu napíšeme rovnosť (26.1), ktorá definuje logaritmus:

Odtiaľto nájdeme

Porovnaním exponentov prvého a posledného výrazu získame požadovanú rovnosť:

Všimnite si, že podmienka je nevyhnutná; logaritmus súčinu dvoch záporné čísla dáva zmysel, ale v tomto prípade dostaneme

Vo všeobecnosti, ak je súčin viacerých faktorov kladný, potom sa jeho logaritmus rovná súčtu logaritmov absolútnych hodnôt týchto faktorov.

Vlastnosť 5 (pravidlo pre logaritmy kvocientov). Logaritmus kvocientu kladných čísel sa rovná rozdielu medzi logaritmami dividendy a deliteľa, berúc do úvahy rovnaký základ. Dôkaz. Dôsledne nachádzame

Q.E.D.

Vlastnosť 6 (pravidlo mocninového logaritmu). Logaritmus mocniny ľubovoľného kladného čísla sa rovná logaritmu tohto čísla vynásobenému exponentom.

Dôkaz. Napíšme znova hlavnú identitu (26.1) pre číslo:

Q.E.D.

Dôsledok. Logaritmus odmocniny kladného čísla sa rovná logaritmu radikálu deleného exponentom odmocniny:

Platnosť tohto následku možno preukázať predstavou, ako a použitím vlastnosti 6.

Príklad 4. Zoberte logaritmus na základ a:

a) (predpokladá sa, že všetky hodnoty b, c, d, e sú kladné);

b) (predpokladá sa, že ).

Riešenie, a) V tomto výraze je vhodné prejsť na zlomkové mocniny:

Na základe rovnosti (26,5)-(26,7) môžeme teraz napísať:

Všimli sme si, že s logaritmami čísel sa vykonávajú jednoduchšie operácie ako so samotnými číslami: pri násobení čísel sa ich logaritmy sčítajú, pri delení sa odčítajú atď.

Preto sa vo výpočtovej praxi používajú logaritmy (pozri odsek 29).

Inverzná akcia logaritmu sa nazýva potenciácia, konkrétne: potenciácia je akcia, pri ktorej sa z daného logaritmu čísla zistí samotné číslo. Potenciácia v podstate nie je žiadnou špeciálnou činnosťou: ide o zvýšenie základu na mocninu (rovnajúcu sa logaritmu čísla). Pojem "potenciácia" možno považovať za synonymum pojmu "umocnenie".

Pri potencovaní musíte použiť pravidlá inverzné k pravidlám logaritmácie: nahradiť súčet logaritmov logaritmom súčinu, rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu atď. Najmä ak je v popredí faktor znamienka logaritmu, potom sa musí pri potenciácii preniesť na stupne exponentov pod znamienko logaritmu.

Príklad 5. Nájdite N, ak je to známe

Riešenie. V súvislosti s práve uvedeným pravidlom potenciácie prenesieme faktory 2/3 a 1/3 stojace pred znamienkami logaritmov na pravej strane tejto rovnosti do exponentov pod znamienkami týchto logaritmov; dostaneme

Teraz nahradíme rozdiel logaritmov logaritmom kvocientu:

aby sme získali posledný zlomok v tomto reťazci rovnosti, oslobodili sme predchádzajúci zlomok od iracionality v menovateli (klauzula 25).

Vlastnosť 7. Ak je základ väčší ako jedna, potom väčšie číslo má väčší logaritmus (a menšie má menší), ak je základ menší ako jeden, potom väčšie číslo má menší logaritmus (a menšie jeden má väčší).

Táto vlastnosť je tiež formulovaná ako pravidlo pre logaritmy nerovností, ktorých obe strany sú kladné:

Pri logaritmovaní nerovností so základom väčším ako jedna sa znamienko nerovnosti zachová a pri logaritmovaní so základom menším ako jedna sa znamienko nerovnosti zmení na opačné (pozri aj odsek 80).

Dôkaz je založený na vlastnostiach 5 a 3. Uvažujme prípad, keď If , then a logaritmovaním dostaneme

(a a N/M ležia na rovnakej strane jednoty). Odtiaľ

V nasledujúcom prípade na to čitateľ príde sám.

Inštrukcie

Napíšte daný logaritmický výraz. Ak výraz používa logaritmus 10, potom sa jeho zápis skráti a vyzerá takto: lg b je desiatkový logaritmus. Ak má logaritmus ako základ číslo e, napíšte výraz: ln b – prirodzený logaritmus. Rozumie sa, že výsledkom akéhokoľvek je mocnina, na ktorú sa musí zvýšiť základné číslo, aby sa získalo číslo b.

Pri hľadaní súčtu dvoch funkcií ich jednoducho musíte po jednej diferencovať a výsledky sčítať: (u+v)" = u"+v";

Pri hľadaní derivácie súčinu dvoch funkcií je potrebné vynásobiť deriváciu prvej funkcie druhou a pridať deriváciu druhej funkcie vynásobenú prvou funkciou: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Aby sme našli deriváciu kvocientu dvoch funkcií, je potrebné od súčinu derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa odpočítať súčin derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa a rozdeliť to všetko pomocou funkcie deliteľa na druhú. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ak je daná komplexná funkcia, potom je potrebné vynásobiť deriváciu vnútornej funkcie a deriváciu vonkajšej. Nech y=u(v(x)), potom y"(x)=y"(u)*v"(x).

Pomocou vyššie získaných výsledkov môžete rozlíšiť takmer akúkoľvek funkciu. Pozrime sa teda na niekoľko príkladov:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Existujú aj problémy týkajúce sa výpočtu derivácie v bode. Nech je daná funkcia y=e^(x^2+6x+5), musíte nájsť hodnotu funkcie v bode x=1.
1) Nájdite deriváciu funkcie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Vypočítajte hodnotu funkcie v danom bode y"(1)=8*e^0=8

Video k téme

Užitočné rady

Naučte sa tabuľku základných derivácií. To výrazne ušetrí čas.

Zdroje:

• derivácia konštanty

Aký je teda rozdiel medzi iracionálnou a racionálnou rovnicou? Ak je neznáma premenná pod znamienkom odmocnina, potom sa rovnica považuje za iracionálnu.

Inštrukcie

Hlavnou metódou riešenia takýchto rovníc je metóda konštrukcie oboch strán rovnice do štvorca. Avšak. je to prirodzené, prvá vec, ktorú musíte urobiť, je zbaviť sa znamienka. Táto metóda nie je technicky náročná, ale niekedy môže viesť k problémom. Napríklad rovnica je v(2x-5)=v(4x-7). Umocnením oboch strán získate 2x-5=4x-7. Riešenie takejto rovnice nie je ťažké; x=1. Ale číslo 1 nebude dané rovnice. prečo? Namiesto hodnoty x dosaďte do rovnice jednotku a pravá a ľavá strana budú obsahovať výrazy, ktoré nedávajú zmysel, tzn. Táto hodnota neplatí pre druhú odmocninu. Preto je 1 cudzí koreň, a preto táto rovnica nemá korene.

Iracionálna rovnica sa teda rieši metódou kvadratúry oboch jej strán. A po vyriešení rovnice je potrebné odrezať cudzie korene. Za týmto účelom nahraďte nájdené korene do pôvodnej rovnice.

Zvážte inú.
2х+vх-3=0
Samozrejme, že táto rovnica môže byť vyriešená pomocou rovnakej rovnice ako predchádzajúca. Presuňte zlúčeniny rovnice, ktoré nemajú odmocninu, na pravú stranu a potom použite metódu odmocnenia. vyriešiť výslednú racionálnu rovnicu a korene. Ale aj inú, elegantnejšiu. Zadajte novú premennú; vх=y. Podľa toho dostanete rovnicu v tvare 2y2+y-3=0. Teda bežné kvadratická rovnica. Nájdite jeho korene; y1 = 1 a y2 = -3/2. Ďalej vyriešte dve rovnice vх=1; vх=-3/2. Druhá rovnica nemá korene z prvej zistíme, že x=1. Nezabudnite skontrolovať korene.

Riešenie identít je celkom jednoduché. Na to je potrebné vykonávať identické transformácie, kým sa nedosiahne stanovený cieľ. S pomocou jednoduchých aritmetických operácií sa teda daný problém vyrieši.

Budete potrebovať

• - papier;
• - pero.

Inštrukcie

Najjednoduchšou z takýchto transformácií sú algebraické skrátené násobenia (napríklad druhá mocnina súčtu (rozdiel), rozdiel druhých mocnín, súčet (rozdiel), druhá mocnina súčtu (rozdiel)). Okrem toho existuje veľa goniometrických vzorcov, ktoré sú v podstate rovnakými identitami.

Druhá mocnina súčtu dvoch členov sa skutočne rovná druhej mocnine prvého a dvojnásobku súčinu prvého a druhého a plus druhej mocniny druhého, teda (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Zjednodušte oboje

Všeobecné princípy riešenia

Zopakujte si z učebnice matematickej analýzy alebo vyššej matematiky, čo je to určitý integrál. Ako je známe, riešením určitého integrálu je funkcia, ktorej derivácia poskytne integrand. Táto funkcia sa nazýva primitívna. Na základe tohto princípu sú konštruované hlavné integrály.
Určte podľa typu integrandu, ktorý z tabuľkových integrálov je v tomto prípade vhodný. Nie vždy sa to dá okamžite určiť. Často sa tabuľková forma stane viditeľnou až po niekoľkých transformáciách, aby sa integrand zjednodušil.

Variabilná náhradná metóda

Ak funkcia integrand je goniometrická funkcia, ktorého argument obsahuje nejaký polynóm, potom skúste použiť metódu nahradenia premenných. Aby ste to dosiahli, nahraďte polynóm v argumente integrandu nejakou novou premennou. Na základe vzťahu medzi novými a starými premennými určte nové hranice integrácie. Odlíšením tohto výrazu nájdite nový diferenciál v . Získate tak nový tvar predchádzajúceho integrálu, blízky alebo dokonca zodpovedajúci nejakému tabuľkovému.

Riešenie integrálov druhého druhu

Ak je integrál integrálom druhého druhu, vektorovou formou integrandu, potom budete musieť použiť pravidlá na prechod z týchto integrálov na skalárne. Jedným z takýchto pravidiel je Ostrogradského-Gaussov vzťah. Tento zákon nám umožňuje prejsť od rotorového toku určitej vektorovej funkcie k trojnému integrálu cez divergenciu daného vektorového poľa.

Substitúcia integračných limitov

Po nájdení primitívneho prvku je potrebné dosadiť hranice integrácie. Najprv dosaďte do výrazu pre primitívnu hodnotu hodnotu hornej hranice. Dostanete nejaké číslo. Potom od výsledného čísla odčítajte ďalšie číslo získané zo spodnej hranice do primitívnej funkcie. Ak je jednou z limitov integrácie nekonečno, tak pri jej dosadení do primitívnej funkcie je potrebné ísť na limitu a nájsť, k čomu výraz smeruje.
Ak je integrál dvojrozmerný alebo trojrozmerný, potom budete musieť geometricky reprezentovať hranice integrácie, aby ste pochopili, ako integrál vyhodnotiť. V skutočnosti v prípade, povedzme, trojrozmerného integrálu, limity integrácie môžu byť celé roviny, ktoré obmedzujú objem, ktorý sa integruje.