Pravidlo na sčítanie dvoch záporných čísel. Učiteľ matematiky o práci s pravidlom na odčítanie záporných čísel
Sčítanie záporných čísel.
Súčet záporných čísel je záporné číslo. Modul súčtu sa rovná súčtu modulov pojmov.
Poďme zistiť, prečo súčet záporných čísel bude tiež záporné číslo. Pomôže nám k tomu súradnicová čiara, na ktorej sčítame čísla -3 a -5. Označme na súradnicovej čiare bod zodpovedajúci číslu -3.
K číslu -3 musíme pridať číslo -5. Kam pôjdeme z bodu zodpovedajúceho číslu -3? To je vpravo, vľavo! Pre 5 segmentov jednotky. Označíme bod a napíšeme k nemu zodpovedajúce číslo. Toto číslo je -8.
Takže pri sčítaní záporných čísel pomocou súradnicovej čiary sme vždy vľavo od začiatku, preto je jasné, že výsledkom sčítania záporných čísel je aj záporné číslo.
Poznámka. Pridali sme čísla -3 a -5, t.j. našiel hodnotu výrazu -3+(-5). Zvyčajne pri pridávaní racionálne čísla jednoducho si tieto čísla zapíšu svojimi znamienkami, ako keby vypisovali všetky čísla, ktoré treba doplniť. Tento zápis sa nazýva algebraický súčet. Použite (v našom príklade) zadanie: -3-5=-8.
Príklad. Nájdite súčet záporných čísel: -23-42-54. (Súhlasíte s tým, že tento záznam je kratší a pohodlnejší takto: -23+(-42)+(-54))?
Rozhodnime sa Podľa pravidla pre sčítanie záporných čísel: sčítame moduly výrazov: 23+42+54=119. Výsledok bude mať znamienko mínus.
Väčšinou to píšu takto: -23-42-54=-119.
Sčítanie čísel s rôznymi znakmi.
Súčet dvoch čísel s rôznymi znamienkami má znamienko člena s veľkou absolútnou hodnotou. Ak chcete nájsť modul súčtu, musíte odpočítať menší modul od väčšieho modulu..
Vykonajte sčítanie čísel s rôznymi znakmi pomocou súradnicovej čiary.
1) -4+6. K číslu -4 je potrebné pridať číslo 6. Označme číslo -4 bodkou na súradnicovej čiare. Číslo 6 je kladné, čo znamená, že od bodu so súradnicou -4 musíme ísť doprava o 6 segmentov jednotky. Ocitli sme sa napravo od začiatku (od nuly) o 2 segmenty jednotiek.
Výsledkom súčtu čísel -4 a 6 je kladné číslo 2:
- 4+6=2. Ako ste mohli získať číslo 2? Odpočítajte 4 od 6, t.j. odčítajte menší od väčšieho modulu. Výsledok má rovnaké znamienko ako výraz s veľkým modulom.
2) Vypočítajme: -7+3 pomocou súradnicovej čiary. Označte bod zodpovedajúci číslu -7. Ideme doprava pre 3 segmenty jednotiek a získame bod so súradnicou -4. Boli sme a zostávame naľavo od pôvodu: odpoveď je záporné číslo.
— 7+3=-4. Tento výsledok by sme mohli dostať takto: od väčšieho modulu sme odčítali menší, t.j. 7-3 = 4. V dôsledku toho umiestnime znamienko výrazu s väčším modulom: |-7|>|3|.
Príklady. Vypočítať: A) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.
V tomto materiáli sa dotkneme takej dôležitej témy, ako je sčítanie záporných čísel. V prvom odseku vám povieme základné pravidlo pre túto akciu a v druhom budeme analyzovať konkrétne príklady riešenie podobných problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Základné pravidlo pre sčítanie prirodzených čísel
Pred odvodením pravidla si pripomeňme, čo všeobecne vieme o pozitívnom a záporné čísla X. Predtým sme sa zhodli, že záporné čísla treba vnímať ako dlh, stratu. Modul záporného čísla vyjadruje presnú veľkosť tejto straty. Potom sčítanie záporných čísel môže byť vyjadrené ako sčítanie dvoch strát.
Pomocou tejto úvahy formulujeme základné pravidlo pre sčítanie záporných čísel.
Definícia 1
Aby bolo možné dokončiť pridanie záporných čísel, musíte sčítať hodnoty ich modulov a dať mínus pred výsledok. V doslovnom tvare vzorec vyzerá takto (− a) + (− b) = − (a + b) .
Na základe tohto pravidla môžeme usúdiť, že sčítanie záporných čísel je podobné ako sčítanie kladných, len nakoniec musíme dostať záporné číslo, pretože pred súčet modulov musíme dať znamienko mínus.
Aké dôkazy možno poskytnúť pre toto pravidlo? Aby sme to dosiahli, musíme si zapamätať základné vlastnosti operácií s reálnymi číslami (alebo s celými číslami, alebo s racionálnymi číslami - sú rovnaké pre všetky tieto typy čísel). Aby sme to dokázali, musíme len ukázať, že rozdiel medzi ľavou a pravou stranou rovnosti (− a) + (− b) = − (a + b) bude rovný 0.
Odčítanie jedného čísla od druhého je rovnaké ako pričítanie rovnakého opačného čísla. Preto (− a) + (− b) − (− (a + b)) = (− a) + (− b) + (a + b) . Pripomeňme, že číselné výrazy so sčítaním majú dve hlavné vlastnosti – asociatívnu a komutatívnu. Potom môžeme konštatovať, že (− a) + (− b) + (a + b) = (− a + a) + (− b + b) . Keďže sčítaním opačných čísel vždy dostaneme 0, potom (− a + a) + (− b + b) = 0 + 0 a 0 + 0 = 0. Našu rovnosť môžeme považovať za dokázanú, čo znamená pravidlo pre sčítanie záporných čísel Aj sme to dokázali.
V druhom odseku si vezmeme konkrétne problémy, kde potrebujeme sčítať záporné čísla, a pokúsime sa na ne aplikovať naučené pravidlo.
Príklad 1
Nájdite súčet dvoch záporných čísel - 304 a - 18 007.
Riešenie
Vykonajte kroky krok za krokom. Najprv musíme nájsť moduly pridávaných čísel: - 304 = 304, - 180007 = 180007. Ďalej musíme vykonať akciu sčítania, na ktorú používame metódu počítania stĺpcov:
Ostáva nám už len dať pred výsledok mínus a dostať - 18,311.
odpoveď: - - 18 311 .
Aké čísla máme, závisí od toho, na čo môžeme akciu sčítania zredukovať: hľadanie súčtu prirodzených čísel, sčítanie obyčajných alebo desatinných zlomkov. Poďme analyzovať problém s týmito číslami.
Príklad N
Nájdite súčet dvoch záporných čísel - 2 5 a − 4, (12).
Riešenie
Nájdeme moduly požadovaných čísel a dostaneme 2 5 a 4, (12). Máme dva rôzne zlomky. Zredukujme problém na sčítanie dvoch obyčajných zlomkov, pre ktoré reprezentujeme periodický zlomok vo forme obyčajného zlomku:
4 , (12) = 4 + (0 , 12 + 0 , 0012 + . . .) = 4 + 0 , 12 1 - 0 , 01 = 4 + 0 , 12 0 , 99 = 4 + 12 99 = 4 + 4 33 = 136 33
Výsledkom je, že sme dostali zlomok, ktorý sa bude dať ľahko sčítať s prvým pôvodným výrazom (ak ste zabudli, ako správne sčítať zlomky s rôznymi menovateľmi, zopakujte zodpovedajúci materiál).
2 5 + 136 33 = 2 33 5 33 + 136 5 33 5 = 66 165 + 680 165 = 764 165 = 4 86 105
V dôsledku toho sme dostali zmiešané číslo, pred ktorým musíme dať iba mínus. Tým sú výpočty dokončené.
odpoveď: - 4 86 105 .
Reálne záporné čísla sa sčítavajú podobným spôsobom. Výsledok takéhoto konania sa zvyčajne zapíše číselné vyjadrenie. Jeho hodnotu nemožno vypočítať alebo obmedziť na približné výpočty. Ak teda napríklad potrebujeme nájsť súčet - 3 + (− 5), potom odpoveď napíšeme ako - 3 − 5. Sčítaniu reálnych čísel sme venovali samostatný materiál, v ktorom nájdete ďalšie príklady.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Pravidlo na sčítanie záporných čísel
Ak si pamätáte lekciu matematiky a tému „Sčítanie a odčítanie čísel s rôznymi znamienkami“, potom na pridanie dvoch záporných čísel potrebujete:
- vykonať pridanie ich modulov;
- pridajte k prijatej sume znak „–“.
Podľa pravidla sčítania môžeme písať:
$(−a)+(−b)=−(a+b)$.
Pravidlo pre sčítanie záporných čísel platí pre záporné celé čísla, racionálne čísla a reálne čísla.
Príklad 1
Pridajte záporné čísla $-185$ a $-23\789.$
Riešenie.
Použime pravidlo na sčítanie záporných čísel.
Poďme nájsť moduly týchto čísel:
$|-23 \ 789|=23 \ 789$.
Pridajme výsledné čísla:
$185+23 \ 789=23 \ 974$.
Pred nájdené číslo dáme znak $“–”$ a dostaneme $−23\974$.
Stručné riešenie: $(−185)+(−23\789)=−(185+23\789)=−23\974$.
Odpoveď: $−23 \ 974$.
Pri sčítaní záporných racionálnych čísel je potrebné ich previesť do tvaru prirodzených čísel, obyčajných alebo desatinných zlomkov.
Príklad 2
Pridajte záporné čísla $-\frac(1)(4)$ a $-7,15$.
Riešenie.
Podľa pravidla na sčítanie záporných čísel musíte najskôr nájsť súčet modulov:
$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;
Je vhodné znížiť získané hodnoty na desatinné zlomky a vykonať ich sčítanie:
$\frac(1)(4)=0,25$;
$0,25+7,15=7,40$.
Pred výslednú hodnotu dáme znak $ „–“ $ a získame – 7,4 $.
Stručné zhrnutie riešenia:
$(-\frac(1)(4))+(−7,15)=−(\frac(1)(4)+7,15)=–(0,25+7,15)=−7, 4 $.
Na pridanie kladného a záporného čísla potrebujete:
- vypočítať moduly čísel;
- ak sú rovnaké, potom pôvodné čísla sú opačné a ich súčet je nula;
- ak nie sú rovnaké, musíte si zapamätať znamienko čísla, ktorého modul je väčší;
odčítajte menší od väčšieho modulu;
- Pred výslednú hodnotu uveďte znamienko čísla, ktorého modul je väčší.
porovnaj výsledné čísla:
Sčítanie čísel s opačnými znamienkami znamená odčítanie menšieho záporného čísla od väčšieho kladného čísla.
Pravidlo pre sčítanie čísel s opačnými znamienkami platí pre celé čísla, racionálne a reálne čísla.
Príklad 3
Pridajte čísla $4$ a $-8$.
Riešenie.
Musíte pridať čísla s opačnými znamienkami. Použime zodpovedajúce pravidlo sčítania.
Poďme nájsť moduly týchto čísel:
Modul čísla $−8$ je väčší ako modul čísla $4$, t.j. zapamätajte si znak $“–“$.
Pred výsledné číslo dáme znak $“–“$, ktorý sme si zapamätali, a dostaneme $−4.$
Stručné zhrnutie riešenia:
$4+(–8) = –(8–4) = –4$.
Odpoveď: $4+(−8)=−4$.
Na sčítanie racionálnych čísel s opačnými znamienkami je vhodné ich reprezentovať vo forme obyčajných alebo desatinných zlomkov.
Odčítanie čísel s rôznymi a zápornými znamienkami
Pravidlo na odčítanie záporných čísel:
Na odčítanie záporného čísla $b$ od čísla $a$ je potrebné pripočítať k minuendu $a$ číslo $−b$, ktoré je opakom subtrahendu $b$.
Podľa pravidla odčítania môžeme písať:
$a−b=a+(−b)$.
Toto pravidlo platí pre celé čísla, racionálne a reálne čísla. Pravidlo možno použiť na odčítanie záporného čísla od kladného čísla, od záporného čísla a od nuly.
Príklad 4
Odčítajte záporné číslo $-5$ od záporného čísla $-28$.
Riešenie.
Opačné číslo pre číslo $–5$ je číslo $5$.
Podľa pravidla na odčítanie záporných čísel dostaneme:
$(−28)−(−5)=(−28)+5$.
Sčítajme čísla s opačnými znamienkami:
$(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odpoveď: $(−28)−(−5)=−23$.
Pri odčítaní zápor zlomkové čísla Je potrebné previesť čísla do tvaru obyčajných zlomkov, zmiešaných čísel alebo desatinných miest.
Sčítanie a odčítanie čísel s rôznymi znamienkami
Pravidlo pre odčítanie čísel s opačnými znamienkami je rovnaké ako pravidlo pre odčítanie záporných čísel.
Príklad 5
Odčítajte kladné číslo $7$ od záporného čísla $−11$.
Riešenie.
Opakom 7 $ je $ – 7 $.
Podľa pravidla na odčítanie čísel s opačnými znamienkami dostaneme:
$(−11)−7=(–11)+(−7)$.
Pridajme záporné čísla:
$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.
Stručné riešenie: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.
Odpoveď: $(−11)−7=−18$.
Pri odčítaní zlomkových čísel s rôznymi znamienkami je potrebné čísla previesť do tvaru obyčajných alebo desatinných zlomkov.
Začnime s jednoduchý príklad. Určme, čomu sa rovná výraz 2-5. Z bodu +2 dáme dole päť dielikov, dva na nulu a tri pod nulou. Zastavme sa pri bode -3. To znamená, že 2-5=-3. Teraz si všimnite, že 2-5 sa vôbec nerovná 5-2. Ak v prípade sčítania čísel nezáleží na ich poradí, tak v prípade odčítania je všetko inak. Na poradí čísel záleží.
Teraz poďme na negatívna oblasť váhy. Predpokladajme, že musíme pridať +5 k -2. (Odteraz budeme pred kladné čísla umiestňovať znamienka „+“ a kladné aj záporné čísla uzatvárame do zátvoriek, aby sme si znamienka pred číslami nezamieňali so znamienkami sčítania a odčítania.) Teraz môžeme napísať náš problém ako (-2)+ (+5). Aby sme to vyriešili, ideme z bodu -2 nahor o päť dielikov a skončíme v bode +3.
Má táto úloha nejaký praktický význam? Samozrejme, že mám. Povedzme, že máte dlh vo výške 2 USD a zarobili ste 5 USD. Takto vám po splatení dlhu zostanú 3 doláre.
Môžete sa tiež posunúť nadol po zápornej oblasti stupnice. Predpokladajme, že potrebujete odpočítať 5 od -2 alebo (-2)-(+5). Od bodu -2 na stupnici sa posuňte o päť dielikov nadol a skončte na bode -7. Aký je praktický význam tejto úlohy? Povedzme, že ste dlhovali 2 $ a museli ste si požičať ďalších 5 $. Teraz dlhujete 7 $.
Vidíme, že so zápornými číslami môžeme urobiť to isté operácie sčítania a odčítania, ako pri tých pozitívnych.
Je pravda, že ešte nemáme zvládnuté všetky operácie. Pričítali sme iba k záporným číslam a od záporných čísel odpočítavali iba kladné. Čo by ste mali robiť, ak potrebujete sčítať záporné čísla alebo odčítať záporné čísla od záporných čísel?
V praxi je to podobné ako pri dlhových transakciách. Povedzme, že vám bol naúčtovaný dlh vo výške 5 USD, znamená to to isté, ako keby ste dostali 5 USD. Na druhej strane, ak vás nejakým spôsobom prinútim prijať zodpovednosť za dlh niekoho iného vo výške 5 USD, bolo by to rovnaké, ako keby som vám vzal tých 5 USD. To znamená, že odčítanie -5 je rovnaké ako pričítanie +5. A pridanie -5 je to isté ako odčítanie +5.
To nám umožňuje zbaviť sa operácie odčítania. „5-2“ je v skutočnosti to isté ako (+5)-(+2) alebo podľa nášho pravidla (+5)+(-2). V oboch prípadoch dostaneme rovnaký výsledok. Od bodu +5 na stupnici musíme ísť o dva dieliky nižšie a dostaneme +3. V prípade 5-2 je to zrejmé, pretože odčítanie je pohyb nadol.
V prípade (+5)+(-2) je to menej zrejmé. Pridáme číslo, čo znamená, že sa posúvame nahor na stupnici, ale pridávame záporné číslo, čo znamená, že robíme opak, a tieto dva faktory spolu znamenajú, že sa nemusíme posúvať po stupnici, ale naopak. smer, to je dole.
Opäť teda dostávame odpoveď +3.
Prečo, presne, je to potrebné? nahradiť odčítanie sčítaním? Prečo ísť hore „v opačnom zmysle“? Nie je jednoduchšie prejsť nadol? Dôvodom je, že v prípade sčítania nezáleží na poradí členov, ale v prípade odčítania je to veľmi dôležité.
Už skôr sme zistili, že (+5)-(+2) vôbec nie je to isté ako (+2)-(+5). V prvom prípade je odpoveď +3 a v druhom -3. Na druhej strane, (-2)+(+5) a (+5)+(-2) majú za následok +3. Prepnutím na operácie sčítania a opustenia operácií odčítania sa teda môžeme vyhnúť náhodným chybám spojeným s preskupením sčítancov.
To isté môžete urobiť pri odčítaní záporu. (+5)-(-2) je to isté ako (+5)+(+2). V oboch prípadoch dostaneme odpoveď +7. Začneme v bode +5 a pohybujeme sa „dole v opačnom smere“, teda hore. Presne rovnako by sme postupovali aj pri riešení výrazu (+5)+(+2).
Študenti aktívne využívajú nahrádzanie odčítania sčítaním, keď začínajú študovať algebru, a preto sa táto operácia nazýva "algebraické sčítanie". V skutočnosti to nie je úplne spravodlivé, pretože takáto operácia je zjavne aritmetická a vôbec nie algebraická.
Tieto znalosti sú nezmenené pre každého, takže aj keď sa vzdelávate v Rakúsku prostredníctvom www.salls.ru, aj keď je štúdium v zahraničí hodnotené viac, tieto pravidlá budete môcť uplatniť aj tam.