Existujú určité pravidlá na porovnávanie čísel. Zvážte nasledujúci príklad.

Včera teplomer ukazoval 15˚C a dnes ukazuje 20˚C. Dnes je teplejšie ako včera. Číslo 15 je menšie ako číslo 20, môžeme ho zapísať takto: 15< 20. А, если мы представим эти числа на координатной прямой, то точка со значением 15 будет расположена левее точки со значением 20.

Teraz sa pozrime na mínusové teploty. Včera bolo vonku -12˚C a dnes -8˚C. Dnes je teplejšie ako včera. Preto sa domnievajú, že číslo -12 je menšie ako číslo -8. Na vodorovnej súradnicovej čiare je bod s hodnotou -12 umiestnený naľavo od bodu s hodnotou -8. Môžeme to zapísať takto: -12< -8.

Ak teda porovnávate čísla pomocou vodorovnej súradnicovej čiary, menšie z dvoch čísel je to, ktorého obrázok na súradnicovej čiare je umiestnený vľavo, a väčšie je to, ktorého obrázok je umiestnený vpravo. Napríklad na našom obrázku A > B a C, ale B > C.

Na súradnicovej čiare sú kladné čísla umiestnené vpravo od nuly a záporné čísla vľavo od nuly, každé kladné číslo je väčšie ako nula a každé záporné číslo je menšie ako nula, a preto každé záporné číslo menej ako akékoľvek kladné číslo.

To znamená, že prvá vec, ktorú musíte venovať pozornosť pri porovnávaní čísel, sú znaky porovnávaných čísel. Číslo s mínusom (záporné) je vždy menšie ako kladné číslo.

Ak porovnáme dve záporné čísla, potom musíme porovnať ich moduly: väčšie číslo bude číslo, ktorého modul je menší, a menšie číslo bude číslo, ktorého modul bude menší. Napríklad -7 a -5. Porovnávané čísla sú záporné. Porovnávame ich moduly 5 a 7. 7 je väčšie ako 5, čo znamená -7 je menšie ako -5. Ak označíte dve záporné čísla na súradnicovej čiare, menšie číslo bude vľavo a väčšie číslo vpravo. -7 sa nachádza naľavo od -5, čo znamená -7< -5.

Porovnávanie zlomkov

Z dvoch zlomkov s rovnakým menovateľom je zlomok s menším čitateľom menší a zlomok s väčším čitateľom väčší.

Porovnávať môžete len zlomky s rovnakými menovateľmi.

Algoritmus na porovnávanie obyčajných zlomkov

1) Ak má zlomok celočíselnú časť, začneme porovnávanie s ňou. Väčší zlomok bude ten, ktorého celá časť je väčšia. Ak zlomky nemajú celú časť alebo sú rovnaké, prejdite na ďalší bod.

2) Ak je potrebné zlomky s rôznymi menovateľmi zredukovať na spoločného menovateľa.

3) Porovnaj čitateľov zlomkov. Väčší zlomok bude ten s väčším čitateľom.

Upozorňujeme, že zlomok s celú časť Vždy bude viac zlomkov bez celej časti.

Porovnanie desatinných miest

Desatinné miesta možno porovnávať iba s rovnakým počtom číslic (miest) napravo od desatinnej čiarky.

Algoritmus na porovnávanie desatinných zlomkov

1) Venujte pozornosť počtu znakov napravo od desatinnej čiarky. Ak je počet číslic rovnaký, môžeme začať porovnávať. Ak nie, pridajte požadovaný počet núl v jednom z desatinných zlomkov.

2) Porovnajte desatinné zlomky zľava doprava: celé čísla s celými číslami, desatiny s desatinami, stotiny so stotinami atď.

3) Väčší zlomok bude ten, v ktorom je jedna z častí väčšia ako druhá časť (porovnávanie začneme celými číslami: ak je väčšia celá časť jedného zlomku, potom je väčší celý zlomok).

Porovnajme si napríklad desatinné zlomky:

1) Pridajme prvý zlomok požadované množstvo nuly na vyrovnanie počtu desatinných miest

57,300 a 57,321

2) Začneme porovnávať zľava doprava:

celé čísla s celými číslami: 57 = 57;

desatiny s desatinami: 3 = 3;

stotiny so stotinami: 0< 2.

Keďže sa stotiny prvého desatinného zlomku ukázali byť menšie, celý zlomok bude menší:

57,300 < 57,321

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Tento článok dáva podrobný prehľad najdôležitejšie body týkajúce sa porovnania racionálnych čísel. Ak sú znamienka porovnávaných čísel rôzne, tak hneď viete povedať, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie, preto sa hneď na začiatku pozrieme na pravidlo porovnávania racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. Ďalej sa zameriame na porovnanie nuly s iným racionálnym číslom. Potom sa budeme podrobne zaoberať porovnaním kladných racionálnych čísel. Nakoniec prejdime k pravidlu na porovnávanie záporných racionálnych čísel. Teóriu rozriedime riešeniami typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Porovnanie racionálnych čísel s rôznymi znakmi

Najjednoduchšie porovnanie dvoch racionálnych čísel s rôznymi znamienkami. V tomto prípade sa používa pravidlo na porovnávanie čísel s rôznymi znamienkami: každé kladné číslo je väčšie ako akékoľvek záporné a akékoľvek záporné číslo je menšie ako kladné.

Napríklad z dvoch racionálnych čísel 5/7 a -0,25 je väčšie číslo 5/7, pretože je kladné, a menšie číslo je -0,25, pretože je záporné. Ďalší príklad: záporné racionálne číslo je menšie ako kladné racionálne číslo 0,000(1) .

Porovnanie racionálneho čísla s nulou

Veľmi jednoduché porovnanie nuly s racionálnym číslom, odlišný od nuly. Platí pravidlo: každé kladné číslo je väčšie ako nula a akékoľvek záporné číslo je menšie ako nula.

Uveďme si pár príkladov porovnania racionálneho čísla s nulou. Číslo 4/9 je väčšie ako 0, keďže 4/9 je kladné číslo, na druhej strane 0 je menšie ako 4/9. Ďalší príklad: číslo 0 je väčšie ako záporné racionálne číslo −45,5, na druhej strane číslo −45,5 je menšie ako nula.

Treba o tom tiež povedať porovnávanie nuly s nulou: nula sa rovná nule, teda 0=0 .

Tu je potrebné poznamenať, že číslo nula môže byť napísané v inom tvare ako 0. Číslo 0 skutočne zodpovedá ľubovoľnému záznamu v tvare 0/n, kde n je ľubovoľné prirodzené číslo, alebo záznamom 0,0, 0,00, ..., až 0, (0). To znamená, že napríklad pri porovnaní dvoch racionálnych čísel, ktorých položky sú 0,00 a 0/3, dospejeme k záveru, že sú rovnaké, pretože tieto položky zodpovedajú číslam 0 a 0.

Porovnanie kladných racionálnych čísel

Porovnanie kladných racionálnych čísel treba začať porovnaním ich celých častí. V tomto prípade sa používa ďalšie pravidlo: väčšie je číslo, ktorého celá časť je väčšia a menšia je číslo, ktorého celá časť je menšia.

Príklad.

Ktoré racionálne číslo je 0,76 alebo väčšie?

Riešenie.

Porovnávané racionálne čísla sú kladné a je celkom zrejmé, že celá časť čísla 0,76 rovná nule je menšia ako celá časť čísla rovná dvom (v prípade potreby pozri porovnanie celých čísel). Preto , čo znamená, že z dvoch pôvodných čísel je väčšie číslo .

odpoveď:

Nuansy pri aplikácii vyššie uvedeného pravidla môžu nastať len vtedy, keď jedno z porovnávaných čísel je periodický desatinný zlomok s bodkou 9, o ktorej sme sa zmienili v časti rovnaké a nerovnaké desatinné zlomky.

Príklad.

Porovnajte racionálne čísla 15 a 14, (9) .

Riešenie.

Periodický zlomok s bodkou 9 tvaru 14,(9) je len jednou z foriem zápisu čísla 15. To znamená, 15=14,(9) .

odpoveď:

Pôvodné racionálne čísla sú rovnaké.

Ak sú celočíselné časti porovnávaných racionálnych čísel rovnaké, konečný výsledok porovnania pomôže získať porovnanie zlomkových častí. Zlomková časť racionálneho čísla môže byť vždy reprezentovaná ako obyčajný zlomok m/n a tiež ako konečný alebo periodický desatinný zlomok. Porovnávanie zlomkových častí dvoch kladných racionálnych čísel sa teda môže vždy zredukovať na porovnávanie obyčajných zlomkov alebo na porovnávanie desatinných čísel. Výsledkom je, že z dvoch kladných racionálnych čísel s rovnakými celými časťami je väčšie to, ktorého zlomková časť je väčšia, a menšie je to, ktorého zlomková časť je menšia.

Príklad.

Porovnajte kladné racionálne čísla 3.7 a .

Riešenie.

Je zrejmé, že celé čísla porovnávaných racionálnych čísel sa rovnajú 3=3. Prejdime k porovnávaniu zlomkových častí, teda k porovnávaniu čísel 0,7 a 2/3.

Ukážeme vám dva spôsoby.

V prvom prevedieme desatinný zlomok na obyčajný zlomok: 0,7 = 7/10. Dostávame sa k porovnaniu obyčajných zlomkov 7/10 a 2/3. Po ich zredukovaní na spoločného menovateľa 30 dostaneme , čo znamená, že a . Preto, .

V druhom riešení prevedieme obyčajný zlomok na desatinný, máme. Takže z porovnania 0,7 a 2/3 sme sa dostali k porovnaniu desatinných zlomkov 0,7 a 0.(6), ktorých výsledok je: 0,7>0.(6). Preto a .

Je zrejmé, že obe metódy nás priviedli k rovnakému výsledku porovnávania pôvodných racionálnych čísel.

odpoveď:

Ak sú celé číslo aj zlomkové časti porovnávaných kladných racionálnych čísel rovnaké, potom sú tieto čísla rovnaké.

Príklad.

Porovnajte čísla 4,5 a .

Riešenie.

Je zrejmé, že celé časti čísel sú rovnaké. Zlomková časť čísla 4,5 je 0,5, prevodom tohto desatinného zlomku na obyčajný zlomok dostaneme 1/2. Zlomkové časti pôvodných čísel sú teda tiež rovnaké. Preto sú pôvodné racionálne čísla rovnaké.

odpoveď:

Dokončime tento odsek nasledujúcim tvrdením: ak sa záznamy porovnávaných čísel úplne zhodujú, potom sú tieto čísla rovnaké. V tomto prípade sú celé čísla aj zlomkové časti porovnávaných čísel rovnaké. Napríklad racionálne čísla 5,698 a 5,698 sú rovnaké a čísla a sú tiež rovnaké.

Porovnanie záporných racionálnych čísel

Porovnanie záporných racionálnych čísel dodržiava pravidlo pre porovnávanie záporných čísel: z dvoch záporných čísel je väčšie to, ktorého modul je menší, a menšie je to, ktorého modul je väčší.

Toto pravidlo redukuje porovnávanie záporných racionálnych čísel na porovnanie kladných racionálnych čísel diskutovaných v predchádzajúcom odseku.

1. Aké čísla chýbajú? a) 497, 498, ..., 500; b) 902, 901, ..., 899. Čo znamenajú jednotlivé číslice v číslach 902 a 498?
Pomenujte susedné čísla pre číslo 498, ďalšie číslo pre číslo 899, predchádzajúce pre číslo 700.

2. Porovnajte (>, 799 * 800 701 * 703
65 * 67 650 * 648
Ako porovnať viacciferné čísla?

3. Plechový drevorubač naučil Strašiaka porovnávať čísla pomocou číselnej osi. Potreboval porovnať čísla 231 a 233. Urobil to takto. Výsledok bol zapísaný: 231 Strašiak tiež naučil Cínového drevorubača porovnávať čísla. Povedal, že môže porovnávať čísla podľa hodnosti.
Napríklad: 54 700; 370; 698 * 798 456 * 458
712 * 721 534 * 367

4. Porovnaj

5. Express
a) v stovkách: 900, 700, 200, 500, 400;
b) v desiatkach: 60, 120, 240, 400.

6. Ellie prišla s problémom a urobila stôl. Aký by mohol byť text tohto problému?

7. Vyberte hodnoty premenných a vyriešte problém rôznymi spôsobmi.
Winkovci dali Statočnému levovi 3 zlaté zvony s hmotnosťou každý kg a rovnaký počet zlatých obojkov s hmotnosťou každý kg. Aká je hmotnosť všetkých týchto darov?

8. Do akých skupín možno rozdeliť Migunovove dary? Aký je objem škatule, ak je jej dĺžka 5 dm, šírka 30 cm, výška 200 mm? Vyjadrite objem v decimetroch kubických. Pätinu krabice zaberá Bastindin zlatý klobúk. Aký je objem tejto časti krabice?

Pokračujeme v štúdiu racionálnych čísel. V tejto lekcii sa naučíme, ako ich porovnávať.

Z predchádzajúcich lekcií sme sa naučili, že čím viac vpravo sa číslo nachádza na súradnicovej čiare, tým je väčšie. A teda čím ďalej vľavo sa číslo nachádza na súradnicovej čiare, tým je menšie.

Ak napríklad porovnáte čísla 4 a 1, môžete okamžite odpovedať, že 4 je viac ako 1. Toto je úplne logické tvrdenie a každý s ním bude súhlasiť.

Ako dôkaz môžeme uviesť súradnicovú čiaru. Ukazuje, že štyri leží napravo od jedného

Pre tento prípad existuje aj pravidlo, ktoré možno použiť, ak je to žiaduce. Vyzerá to takto:

Z dvoch kladných čísel je číslo, ktorého modul je väčší, väčšie.

Ak chcete odpovedať na otázku, ktoré číslo je väčšie a ktoré menšie, musíte najprv nájsť moduly týchto čísel, porovnať tieto moduly a potom odpovedať na otázku.

Napríklad porovnajte rovnaké čísla 4 a 1 s použitím vyššie uvedeného pravidla

Nájdenie modulov čísel:

|4| = 4

|1| = 1

Porovnajme nájdené moduly:

4 > 1

Odpovedáme na otázku:

4 > 1

Pre záporné čísla existuje ďalšie pravidlo, ktoré vyzerá takto:

Z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého modul je menší, väčšie.

Napríklad porovnajte čísla -3 a -1

Hľadanie modulov čísel

|−3| = 3

|−1| = 1

Porovnajme nájdené moduly:

3 > 1

Odpovedáme na otázku:

−3 < −1

Modul čísla by sa nemal zamieňať so samotným číslom. Bežná chyba mnohých nováčikov. Napríklad, ak je modul −3 väčší ako modul −1, neznamená to, že −3 je väčší ako −1.

Číslo -3 je menšie ako číslo -1. Dá sa to pochopiť, ak použijeme súradnicovú čiaru

Je vidieť, že číslo −3 leží ďalej vľavo ako −1. A vieme, že čím viac doľava, tým menej.

Ak porovnáte záporné číslo s kladným, odpoveď sa navrhne sama. Akékoľvek záporné číslo bude menšie ako akékoľvek kladné číslo. Napríklad -4 je menšie ako 2

Je vidieť, že −4 leží ďalej vľavo ako 2. A vieme, že „čím viac doľava, tým menej“.

Tu sa musíte najskôr pozrieť na znaky čísel. Znamienko mínus pred číslom znamená, že číslo je záporné. Ak znak čísla chýba, potom je číslo kladné, ale pre prehľadnosť si ho môžete zapísať. Pripomeňme, že toto je znamienko plus

Ako príklad sme sa pozreli na celé čísla v tvare −4, −3 −1, 2. Porovnanie takýchto čísel, ako aj ich zobrazenie na súradnicovej čiare, nie je ťažké.

Je oveľa ťažšie porovnávať iné druhy čísel, ako sú zlomky, zmiešané čísla a desatinné čísla, z ktorých niektoré sú záporné. Tu budete v podstate musieť použiť pravidlá, pretože nie vždy je možné presne zobraziť takéto čísla na súradnicovej čiare. V niektorých prípadoch bude potrebné číslo na uľahčenie porovnávania a pochopenia.

Príklad 1 Porovnajte racionálne čísla

Takže musíte porovnať záporné číslo s kladným. Akékoľvek záporné číslo je menšie ako akékoľvek kladné číslo. Preto bez straty času odpovedáme, že je to menej ako

Príklad 2

Musíte porovnať dve záporné čísla. Z dvoch záporných čísel je to, ktorého veľkosť je menšia, väčšie.

Nájdenie modulov čísel:

Porovnajme nájdené moduly:

Príklad 3 Porovnajte čísla 2,34 a

Musíte porovnať kladné číslo so záporným. Každé kladné číslo je väčšie ako akékoľvek záporné číslo. Preto bez straty času odpovedáme, že 2,34 je viac ako

Príklad 4. Porovnajte racionálne čísla a

Nájdenie modulov čísel:

Nájdené moduly porovnávame. Najprv ich však uvedieme do jasnej podoby, aby sa dali ľahšie porovnávať, konkrétne ich prevedieme na nesprávne zlomky a privedieme ich k spoločnému menovateľovi

Podľa pravidla z dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší. To znamená, že racionálne je väčšie ako , pretože modul čísla je menší ako modul čísla

Príklad 5.

Musíte porovnať nulu so záporným číslom. Nula je väčšia ako akékoľvek záporné číslo, takže bez straty času odpovieme, že 0 je väčšie ako

Príklad 6. Porovnajte racionálne čísla 0 a

Musíte porovnať nulu s kladným číslom. Nula je menšia ako akékoľvek kladné číslo, takže bez straty času odpovieme, že 0 je menšie ako

Príklad 7. Porovnajte racionálne čísla 4,53 a 4,403

Musíte porovnať dve kladné čísla. Z dvoch kladných čísel je číslo, ktorého modul je väčší, väčšie.

Urobme počet číslic za desatinnou čiarkou rovnaký v oboch zlomkoch. Aby sme to dosiahli, v zlomku 4,53 pridáme na koniec jednu nulu

Hľadanie modulov čísel

Porovnajme nájdené moduly:

Podľa pravidla z dvoch kladných čísel je väčšie číslo, ktorého absolútna hodnota je väčšia. To znamená, že racionálne číslo 4,53 je väčšie ako 4,403, pretože modul 4,53 je väčší ako modul 4,403

Príklad 8. Porovnajte racionálne čísla a

Musíte porovnať dve záporné čísla. Z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého modul je menší, väčšie.

Nájdenie modulov čísel:

Nájdené moduly porovnávame. Najprv ich však uvedieme do jasnej podoby, aby sa dali ľahšie porovnávať, konkrétne zmiešané číslo prevedieme na nesprávny zlomok a potom oba zlomky privedieme do spoločného menovateľa:

Podľa pravidla z dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší. To znamená, že racionálne je väčšie ako , pretože modul čísla je menší ako modul čísla

Porovnávanie desatinných miest je oveľa jednoduchšie ako porovnávanie zlomkov a zmiešaných čísel. V niektorých prípadoch môžete pri pohľade na celú časť takéhoto zlomku okamžite odpovedať na otázku, ktorý zlomok je väčší a ktorý menší.

Aby ste to dosiahli, musíte porovnať moduly celých častí. To vám umožní rýchlo odpovedať na otázku v úlohe. Koniec koncov, ako viete, celé časti v desatinných zlomkoch majú väčšiu váhu ako zlomkové časti.

Príklad 9. Porovnajte racionálne čísla 15,4 a 2,1256

Modul celej časti frakcie je o 15,4 väčší ako modul celej časti frakcie 2,1256

preto je zlomok 15,4 väčší ako zlomok 2,1256

15,4 > 2,1256

Inými slovami, nemuseli sme strácať čas pridávaním núl do zlomku 15,4 a porovnávaním výsledných zlomkov ako bežné čísla

154000 > 21256

Pravidlá porovnávania zostávajú rovnaké. V našom prípade sme porovnávali kladné čísla.

Príklad 10. Porovnajte racionálne čísla −15,2 a −0,152

Musíte porovnať dve záporné čísla. Z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého modul je menší, väčšie. Ale budeme porovnávať len moduly celočíselných častí

Vidíme, že modul celej časti frakcie je o −15,2 väčší ako modul celej časti frakcie −0,152.

To znamená, že racionálne −0,152 je väčšie ako −15,2, pretože modul celej časti čísla −0,152 je menší ako modul celej časti čísla −15,2

−0,152 > −15,2

Príklad 11. Porovnajte racionálne čísla −3,4 a −3,7

Musíte porovnať dve záporné čísla. Z dvoch záporných čísel je číslo, ktorého modul je menší, väčšie. Ale budeme porovnávať len moduly celočíselných častí. Problém je však v tom, že moduly celých čísel sú rovnaké:

V tomto prípade budete musieť použiť starú metódu: nájdite moduly racionálnych čísel a porovnajte tieto moduly

Porovnajme nájdené moduly:

Podľa pravidla z dvoch záporných čísel je väčšie číslo, ktorého modul je menší. To znamená, že racionálne −3,4 je väčšie ako −3,7, pretože modul čísla −3,4 je menší ako modul čísla −3,7

−3,4 > −3,7

Príklad 12. Porovnajte racionálne čísla 0,(3) a

Musíte porovnať dve kladné čísla. Okrem toho porovnajte periodický zlomok s jednoduchým zlomkom.

Preveďme periodický zlomok 0,(3) na obyčajný zlomok a porovnajme ho so zlomkom . Po premene periodického zlomku 0,(3) na obyčajný zlomok sa z neho stane zlomok

Nájdenie modulov čísel:

Nájdené moduly porovnávame. Najprv ich však priveďme do zrozumiteľnej podoby, aby sa dali ľahšie porovnávať, konkrétne ich priveďme k spoločnému menovateľovi:

Podľa pravidla z dvoch kladných čísel je väčšie číslo, ktorého absolútna hodnota je väčšia. To znamená, že racionálne číslo je väčšie ako 0,(3), pretože modul čísla je väčší ako modul čísla 0,(3)

Páčila sa vám lekcia?
Pridajte sa k nám nová skupina VKontakte a začnite dostávať upozornenia o nových lekciách

Prvá úroveň

Porovnanie čísel. Komplexný sprievodca (2019)

Pri riešení rovníc a nerovníc, ako aj úloh s modulmi, je potrebné umiestniť nájdené korene na číselnú os. Ako viete, nájdené korene môžu byť odlišné. Môžu byť takéto: , alebo môžu byť takéto: , .

Ak teda čísla nie sú racionálne, ale iracionálne (ak ste zabudli, čo to je, pozrite sa do témy), alebo sú to zložité matematické výrazy, potom je ich umiestnenie na číselnú os veľmi problematické. Okrem toho počas skúšky nemôžete používať kalkulačky a približné výpočty neposkytujú 100% záruku, že jedno číslo je menšie ako druhé (čo ak je medzi porovnávanými číslami rozdiel?).

Samozrejme viete, že kladné čísla sú vždy väčšie ako záporné a že ak si predstavíme číselnú os, tak pri porovnávaní budú najväčšie čísla vpravo ako najmenšie: ; ; atď.

Ale je všetko vždy také jednoduché? Kde na číselnej osi označíme, .

Ako sa dajú porovnať napríklad s číslom? Toto je bordel...)

Najprv si povedzme všeobecne o tom, ako a čo porovnávať.

Dôležité: je vhodné vykonať transformácie tak, aby sa znamienko nerovnosti nezmenilo! To znamená, že počas transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom a je zakázanéštvorec, ak je jedna z častí záporná.

Porovnanie zlomkov

Musíme teda porovnať dva zlomky: a.

Existuje niekoľko možností, ako to urobiť.

Možnosť 1. Zmenšiť zlomky na spoločného menovateľa.

Napíšme to vo forme obyčajného zlomku:

- (ako vidíte, zmenšil som aj čitateľa a menovateľa).

Teraz musíme porovnať zlomky:

Teraz môžeme pokračovať v porovnávaní dvoma spôsobmi. Môžeme:

1. jednoducho priveďte všetko k spoločnému menovateľovi, pričom oba zlomky predstavte ako nesprávne (čitateľ je väčší ako menovateľ):

   Ktoré číslo je väčšie? Správne, ten s väčším čitateľom, teda ten prvý.

2. „zahodíme“ (vezmite do úvahy, že sme odpočítali jeden od každého zlomku a pomer zlomkov k sebe sa teda nezmenil) a porovnajte zlomky:

   Prinášame ich aj spoločnému menovateľovi:

   Dostali sme presne rovnaký výsledok ako v predchádzajúcom prípade – prvé číslo je väčšie ako druhé:

   Skontrolujme aj to, či sme jeden odčítali správne? Vypočítajme rozdiel v čitateli v prvom a druhom výpočte:
   1)
   2)

Takže sme sa pozreli na to, ako porovnať zlomky a priviesť ich k spoločnému menovateľovi. Prejdime k inej metóde – porovnávaniu zlomkov, ich privádzaniu do spoločného... čitateľa.

Možnosť 2. Porovnanie zlomkov redukciou na spoločného čitateľa.

Áno áno. Toto nie je preklep. Táto metóda sa v škole len zriedka učí, ale veľmi často je veľmi pohodlná. Aby ste rýchlo pochopili jeho podstatu, položím vám iba jednu otázku - "v ktorých prípadoch je hodnota zlomku najväčšia?" Samozrejme, poviete „keď je čitateľ čo najväčší a menovateľ čo najmenší“.

Môžete napríklad určite povedať, že je to pravda? Čo ak potrebujeme porovnať nasledujúce zlomky: ? Myslím, že aj znamienko hneď umiestnite správne, pretože v prvom prípade sú rozdelené na časti a v druhom na celé, čo znamená, že v druhom prípade sú kúsky veľmi malé, a teda: . Ako vidíte, menovatelia sú tu rôzni, no čitatelia sú rovnakí. Na porovnanie týchto dvoch zlomkov však nemusíte hľadať spoločného menovateľa. Hoci... nájdite to a uvidíte, či je porovnávacie znamienko stále nesprávne?

Ale znamenie je rovnaké.

Vráťme sa k našej pôvodnej úlohe – porovnávať a... Porovnáme a... Zredukujme tieto zlomky nie na spoločného menovateľa, ale na spoločného čitateľa. Aby ste to urobili jednoducho čitateľ a menovateľ vynásobte prvý zlomok. Dostaneme:

A. Ktorý zlomok je väčší? Presne tak, ten prvý.

Možnosť 3: Porovnanie zlomkov pomocou odčítania.

Ako porovnávať zlomky pomocou odčítania? Áno, veľmi jednoduché. Od jedného zlomku odčítame ďalší. Ak je výsledok kladný, potom je prvý zlomok (minuend) väčší ako druhý (subtrahend), a ak je záporný, potom naopak.

V našom prípade skúsme odpočítať prvý zlomok od druhého: .

Ako ste už pochopili, konvertujeme aj na obyčajný zlomok a dostaneme rovnaký výsledok - . Náš výraz má tvar:

Ďalej sa budeme musieť uchýliť k redukcii na spoločného menovateľa. Otázka znie: prvým spôsobom prevod zlomkov na nesprávne, alebo druhým spôsobom, ako keby ste „odstránili“ jednotku? Mimochodom, táto akcia má úplne matematické opodstatnenie. Pozri:

Viac sa mi páči druhá možnosť, pretože násobenie v čitateli pri znížení na spoločného menovateľa je oveľa jednoduchšie.

Priveďme to k spoločnému menovateľovi:

Hlavnou vecou je nenechať sa zmiasť, z akého čísla a kde sme odpočítali. Pozorne sledujte priebeh riešenia a nenechajte si náhodou pomýliť znamienka. Odčítali sme prvé číslo od druhého čísla a dostali sme zápornú odpoveď, takže?... Je to tak, prvé číslo je väčšie ako druhé.

Mám to? Skúste porovnať zlomky:

Stop, stop. Neponáhľajte sa priviesť k spoločnému menovateľovi alebo odpočítať. Pozrite sa: môžete to ľahko previesť na desatinný zlomok. ako dlho to bude? Správny. Čo viac na záver?

Toto je ďalšia možnosť - porovnávanie zlomkov prevodom na desatinné číslo.

Možnosť 4: Porovnanie zlomkov pomocou delenia.

Áno áno. A aj toto je možné. Logika je jednoduchá: keď delíme väčšie číslo menším číslom, dostaneme odpoveď číslo väčšie ako jedna a ak menšie číslo vydelíme väčším číslom, tak odpoveď pripadá na interval od do.

Aby ste si toto pravidlo zapamätali, zoberte si na porovnanie ľubovoľné dve prvočísla, napríklad a. Vieš čo je viac? Teraz poďme rozdeliť. Naša odpoveď je. Podľa toho je teória správna. Ak vydelíme, dostaneme menej ako jedna, čo zase potvrdzuje, že je to v skutočnosti menej.

Skúsme toto pravidlo aplikovať na obyčajné zlomky. Porovnajme:

Vydeľte prvý zlomok druhým:

Skracujeme po a po.

Získaný výsledok je menší, čo znamená, že dividenda je menšia ako deliteľ, to znamená:

Pozreli sme sa na všetky možné možnosti porovnávania zlomkov. Ako ich vidíte 5:

• redukcia na spoločného menovateľa;
• redukcia na spoločného čitateľa;
• zmenšenie na tvar desatinného zlomku;
• odčítanie;
• divízie.

Ste pripravení trénovať? Porovnajte zlomky optimálnym spôsobom:

Porovnajme odpovede:

1. (- previesť na desatinné číslo)
2. (rozdeľte jeden zlomok druhým a zredukujte podľa čitateľa a menovateľa)
3. (vyberte celú časť a porovnajte zlomky na princípe rovnakého čitateľa)
4. (rozdeľte jeden zlomok druhým a zredukujte čitateľom a menovateľom).

2. Porovnanie stupňov

Teraz si predstavte, že musíme porovnávať nielen čísla, ale aj výrazy, kde je stupeň ().

Samozrejme, môžete ľahko umiestniť znamenie:

Koniec koncov, ak nahradíme stupeň násobením, dostaneme:

Z tohto malého a primitívneho príkladu vyplýva pravidlo:

Teraz skúste porovnať nasledovné: . Môžete tiež ľahko umiestniť znak:

Pretože ak nahradíme umocňovanie násobením...

Vo všeobecnosti rozumiete všetkému a nie je to vôbec ťažké.

Ťažkosti vznikajú len vtedy, keď majú stupne pri porovnaní rôzne základy a ukazovatele. V tomto prípade je potrebné pokúsiť sa viesť k spoločnému základu. Napríklad:

Samozrejme viete, že tento výraz má formu:

Otvorme zátvorky a porovnajme, čo dostaneme:

Trochu zvláštny prípad je, keď je základ stupňa () menší ako jedna.

Ak, potom o dva stupne a väčší je ten, ktorého index je menší.

Skúsme toto pravidlo dokázať. Nechať byť.

Zaveďme nejaké prirodzené číslo ako rozdiel medzi a.

Logické, nie?

A teraz ešte raz venujme pozornosť podmienke - .

Respektíve: . Preto, .

Napríklad:

Ako ste pochopili, zvažovali sme prípad, keď sú základy stupňov rovnaké. Teraz sa pozrime, kedy je základňa v intervale od do, ale exponenty sú rovnaké. Všetko je tu veľmi jednoduché.

Pripomeňme si, ako to porovnať na príklade:

Samozrejme, spočítali ste to rýchlo:

Preto, keď sa stretnete s podobnými problémami na porovnanie, majte na pamäti nejaký jednoduchý podobný príklad, ktorý viete rýchlo vypočítať a na základe tohto príkladu položte znamienka do zložitejšieho.

Pri vykonávaní transformácií pamätajte na to, že ak násobíte, sčítate, odčítate alebo delíte, všetky akcie sa musia vykonať s ľavou aj pravou stranou (ak násobíte, musíte vynásobiť obe).

Okrem toho existujú prípady, keď je jednoducho nerentabilné robiť akékoľvek manipulácie. Napríklad je potrebné porovnávať. V tomto prípade nie je také ťažké zvýšiť silu a usporiadať znamenie na základe toho:

Poďme cvičiť. Porovnajte stupne:

Ste pripravení porovnať odpovede? Tu je to, čo som dostal:

1. - rovnake ako
2. - rovnake ako
3. - rovnake ako
4. - rovnake ako

3. Porovnanie čísel s koreňmi

Najprv si pripomeňme, aké sú korene? Pamätáte si túto nahrávku?

Odmocninou mocniny reálneho čísla je číslo, pre ktoré platí rovnosť.

Korene nepárneho stupňa existujú pre záporné a kladné čísla a dokonca aj korene- len pre pozitívne.

Odmocnina je často nekonečná desatinná čiarka, čo sťažuje presný výpočet, preto je dôležité vedieť porovnať odmocniny.

Ak ste zabudli, čo to je a s čím sa to jedáva - . Ak si pamätáte všetko, naučme sa porovnávať korene krok za krokom.

Povedzme, že musíme porovnať:

Na porovnanie týchto dvoch koreňov nemusíte robiť žiadne výpočty, stačí analyzovať samotný pojem „koreň“. Rozumieš, o čom hovorím? Áno, o tomto: inak sa to dá napísať ako tretia mocnina nejakého čísla, ktorá sa rovná radikálnemu výrazu.

Čo je viac? alebo? Samozrejme, môžete to bez problémov porovnať. Čím väčšie číslo zvýšime na mocninu, tým väčšia bude hodnota.

Takže. Odvoďme si pravidlo.

Ak sú exponenty koreňov rovnaké (v našom prípade je to tak), potom je potrebné porovnať radikálové výrazy (a) - čím väčšie je radikálové číslo, tým väčšia je hodnota koreňa s rovnakými exponentmi.

Ťažko zapamätateľné? Potom už len majte v hlave príklad a... To viac?

Exponenty koreňov sú rovnaké, pretože koreň je štvorcový. Radikálne vyjadrenie jedného čísla () je väčšie ako druhého (), čo znamená, že pravidlo je skutočne pravdivé.

Čo ak sú radikálne výrazy rovnaké, ale stupne koreňov sú odlišné? Napríklad: .

Je tiež celkom jasné, že pri extrakcii koreňa väčšieho stupňa sa získa menšie číslo. Vezmime si napríklad:

Označme hodnotu prvého koreňa ako a druhého - ako, potom:

Ľahko zistíte, že v týchto rovniciach musí byť viac, preto:

Ak sú radikálne výrazy rovnaké(v našom prípade), a exponenty koreňov sú rôzne(v našom prípade je to a), potom je potrebné porovnať exponenty(A) - čím je ukazovateľ vyšší, tým je tento výraz menší.

Skúste porovnať nasledujúce korene:

Porovnáme výsledky?

Úspešne sme to vyriešili :). Vynára sa ďalšia otázka: čo ak sme každý iný? Aj stupeň aj radikálny prejav? Nie všetko je také zložité, len sa musíme... „zbaviť“ koreňa. Áno áno. Len sa toho zbav)

Ak máme rôzne stupne a radikálne výrazy, musíme nájsť najmenší spoločný násobok (prečítaj si časť o) pre exponenty koreňov a umocniť oba výrazy na mocninu rovnajúcu sa najmenšiemu spoločnému násobku.

Že sme všetci v slovách a slovách. Tu je príklad:

1. Pozeráme sa na ukazovatele koreňov - a. Ich najmenší spoločný násobok je .
2. Uveďme oba výrazy na mocninu:
3. Transformujme výraz a otvorme zátvorky (podrobnejšie v kapitole):
4. Spočítajme, čo sme urobili, a dajme znamenie:

4. Porovnanie logaritmov

Pomaly, ale isto sme sa teda dostali k otázke, ako porovnávať logaritmy. Ak si nepamätáte, o aký druh zvieraťa ide, odporúčam vám najprv si prečítať teóriu z tejto sekcie. čítal si to? Potom odpovedzte na niekoľko dôležitých otázok:

1. Aký je argument logaritmu a aký je jeho základ?
2. Čo určuje, či sa funkcia zvyšuje alebo znižuje?

Ak si všetko pamätáte a ovládate dokonale, začnime!

Aby ste mohli navzájom porovnávať logaritmy, potrebujete poznať iba 3 techniky:

• zníženie na rovnaký základ;
• redukcia na rovnaký argument;
• porovnanie s tretím číslom.

Spočiatku venujte pozornosť základu logaritmu. Pamätáte si, že ak je menej, funkcia sa znižuje a ak je viac, zvyšuje sa. Na tom sa budú zakladať naše úsudky.

Uvažujme o porovnaní logaritmov, ktoré už boli zredukované na rovnaký základ alebo argument.

Na začiatok si problém zjednodušíme: vpustite porovnávané logaritmy rovnaké dôvody. potom:

1. Funkcia for rastie v intervale od, čo podľa definície znamená potom („priame porovnanie“).
2. Príklad:- dôvody sú rovnaké, podľa toho porovnávame argumenty: , teda:
3. Funkcia at klesá v intervale od, čo podľa definície znamená potom („spätné porovnanie“). - základy sú rovnaké, podľa toho porovnávame argumenty: znamienko logaritmov však bude „obrátené“, pretože funkcia je klesajúca: .

Teraz zvážte prípady, keď sú dôvody odlišné, ale argumenty sú rovnaké.

1. Základňa je väčšia.
   • . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad: - argumenty sú rovnaké a. Porovnajme základy: znamienko logaritmov však bude „obrátené“:
2. Základňa a je v medzere.
   • . V tomto prípade používame „priame porovnanie“. Napríklad:
   • . V tomto prípade používame „obrátené porovnanie“. Napríklad:

Zapíšme si všetko do všeobecnej tabuľky:

, kde	, kde

V súlade s tým, ako ste už pochopili, pri porovnávaní logaritmov musíme viesť k rovnakému základu alebo argumentu.

Môžete tiež porovnať logaritmy s tretím číslom a na základe toho vyvodiť záver o tom, čo je menej a čo je viac. Zamyslite sa napríklad nad tým, ako porovnať tieto dva logaritmy?

Malá nápoveda - pre porovnanie vám veľmi pomôže logaritmus, ktorého argument bude rovnaký.

Myšlienka? Rozhodnime sa spolu.

Tieto dva logaritmy môžeme ľahko porovnať s vami:

Nevieš ako? Viď vyššie. Práve sme to vyriešili. Aké bude znamenie? Správny:

Súhlasíte?

Porovnajme medzi sebou:

Mali by ste získať nasledovné:

Teraz spojte všetky naše závery do jedného. Stalo?

5. Porovnanie goniometrických výrazov.

Čo je sínus, kosínus, tangens, kotangens? Na čo slúži jednotkový kruh a ako na ňom nájsť hodnotu goniometrické funkcie? Ak nepoznáte odpovede na tieto otázky, vrelo odporúčam prečítať si teóriu na túto tému. A ak viete, potom porovnávanie goniometrických výrazov medzi sebou nie je pre vás ťažké!

Poďme si trochu osviežiť pamäť. Narysujme jednotkový trigonometrický kruh a do neho vpísaný trojuholník. Zvládli ste to? Teraz pomocou strán trojuholníka označte, na ktorú stranu nakreslíme kosínus a na ktorú stranu sínus. (samozrejme, pamätáte si, že sínus je pomer opačnej strany k prepone a kosínus je priľahlá strana?). Nakreslili ste to? Skvelé! Posledným dotykom je dať dole, kde to budeme mať, kde atď. Dal si to dole? Fuj) Porovnajme, čo sa stalo tebe a mne.

Fíha! Teraz začnime porovnávať!

Povedzme, že musíme porovnávať a. Nakreslite tieto uhly pomocou pokynov v rámčekoch (kde sme označili kde), pričom body umiestnite na jednotkový kruh. Zvládli ste to? Tu je to, čo som dostal.

Teraz pustíme kolmicu z bodov, ktoré sme označili na kruhu, na os... Ktorú? Ktorá os ukazuje hodnotu sínusov? Správny, . Toto by ste mali dostať:

Pri pohľade na tento obrázok, ktorý je väčší: alebo? Samozrejme, lebo pointa je nad pointou.

Podobným spôsobom porovnávame hodnotu kosínusov. Spúšťame len kolmicu na os... Presne tak, . Podľa toho sa pozrieme na to, ktorý bod je vpravo (alebo vyššie, ako v prípade sínusov), potom je hodnota väčšia.

Porovnávať tangenty už asi viete, však? Všetko, čo potrebujete vedieť, je, čo je tangenta. Čo je teda tangens?) Správne, pomer sínusu ku kosínusu.

Na porovnanie dotyčníc nakreslíme uhol rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcom prípade. Povedzme, že musíme porovnať:

Nakreslili ste to? Teraz tiež označíme sínusové hodnoty na súradnicovej osi. Všimli ste si? Teraz uveďte hodnoty kosínusu na súradnicovej čiare. Stalo? Porovnajme:

Teraz analyzuj, čo si napísal. - veľký segment rozdelíme na malý. Odpoveď bude obsahovať hodnotu, ktorá je určite väčšia ako jedna. Správny?

A keď rozdelíme malú na veľkú. Odpoveďou bude číslo, ktoré je presne menšie ako jedna.

Ktorý trigonometrický výraz má teda väčšiu hodnotu?

Správny:

Ako teraz chápete, porovnávanie kotangens je to isté, len naopak: pozeráme sa na to, ako spolu súvisia segmenty, ktoré definujú kosínus a sínus.

Skúste sami porovnať nasledujúce trigonometrické výrazy:

Príklady.

Odpovede.

POROVNANIE ČÍSEL. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ.

Ktoré číslo je väčšie: alebo? Odpoveď je zrejmá. A teraz: alebo? Už to nie je také zrejmé, však? Takže: alebo?

Často musíte vedieť, ktoré číselné výrazy viac. Napríklad, aby sa pri riešení nerovnosti umiestnili body na osi v správnom poradí.

Teraz vás naučím, ako porovnávať takéto čísla.

Ak potrebujete porovnať čísla a, vložíme medzi ne znamienko (odvodené z latinského slova Versus alebo skrátené vs. - proti): . Toto znamienko nahrádza neznáme znamienko nerovnosti (). Ďalej vykonáme identické transformácie, kým nebude jasné, ktoré znamienko je potrebné umiestniť medzi čísla.

Podstatou porovnávania čísel je toto: so znamienkom zaobchádzame, akoby to bol nejaký druh znamienka nerovnosti. A s výrazom môžeme urobiť všetko, čo zvyčajne robíme s nerovnosťami:

• pridajte ľubovoľné číslo na obe strany (a, samozrejme, môžeme aj odčítať)
• „presunúť všetko na jednu stranu“, teda odpočítať jeden z porovnávaných výrazov z oboch častí. Na mieste odčítaného výrazu zostane: .
• vynásobte alebo vydeľte rovnakým číslom. Ak je toto číslo záporné, znamienko nerovnosti sa obráti: .
• zvýšiť obe strany na rovnakú silu. Ak je táto mocnosť párna, musíte sa uistiť, že obe časti majú rovnaké znamienko; ak sú obe časti kladné, znamienko sa pri umocnení nemení, ale ak sú záporné, zmení sa na opačný.
• extrahujte koreň rovnakého stupňa z oboch častí. Ak extrahujeme odmocninu párneho stupňa, musíme sa najprv uistiť, že oba výrazy sú nezáporné.
• akékoľvek iné ekvivalentné transformácie.

Dôležité: je vhodné vykonať transformácie tak, aby sa znamienko nerovnosti nezmenilo! To znamená, že počas transformácií je nežiaduce násobiť záporným číslom a nemôžete ho odmocniť, ak je jedna z častí záporná.

Pozrime sa na niekoľko typických situácií.

1. Umocňovanie.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Keďže obe strany nerovnosti sú kladné, môžeme ju odmocniť, aby sme sa zbavili koreňa:

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Tu ho môžeme aj štvorec, ale to nám len pomôže zbaviť sa odmocnina. Tu je potrebné ju zdvihnúť do takej miery, aby oba korene zmizli. To znamená, že exponent tohto stupňa musí byť deliteľný aj (stupeň prvého odmocniny) aj čím. Toto číslo je preto umocnené na tú mocninu:

2. Násobenie jeho konjugátom.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Vynásobme a vydeľme každý rozdiel konjugovaným súčtom:

Je zrejmé, že menovateľ na pravej strane je väčší ako menovateľ na ľavej strane. Preto je pravý zlomok menší ako ľavý:

3. Odčítanie

Zapamätajme si to.

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Samozrejme, mohli by sme všetko urovnať, preskupiť a znova urovnať. Môžete však urobiť niečo inteligentnejšie:

Je vidieť, že na ľavej strane je každý člen menší ako každý člen na pravej strane.

Súčet všetkých výrazov na ľavej strane je teda menší ako súčet všetkých výrazov na pravej strane.

Ale buď opatrný! Pýtali sme sa, čo viac...

Pravá strana je väčšia.

Príklad.

Porovnajte čísla a...

Riešenie.

Spomeňme si na trigonometrické vzorce:

Skontrolujeme, v ktorých štvrtinách na trigonometrickej kružnici sú body a ležia.

4. Rozdelenie.

Aj tu používame jednoduché pravidlo: .

Pri alebo, tj.

Keď sa zmení znamenie: .

Príklad.

Porovnaj: .

Riešenie.

5. Porovnajte čísla s tretím číslom

Ak a, potom (zákon prechodnosti).

Príklad.

Porovnaj.

Riešenie.

Porovnávajme čísla nie medzi sebou, ale s číslom.

To je zrejmé.

Na druhej strane, .

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Obe čísla sú väčšie, ale menšie. Vyberme číslo také, aby bolo väčšie ako jedno, ale menšie ako druhé. Napríklad, . Skontrolujme to:

6. Čo robiť s logaritmami?

Nič zvláštne. Ako sa zbaviť logaritmov je podrobne popísané v téme. Základné pravidlá sú:

\[(\log _a)x \vee b(\rm( )) \Šípka doľava doprava (\rm( ))\doľava[ (\begin(pole)(*(20)(l))(x \vee (a^ b)\;(\rm(at))\;a > 1)\\(x \wedge (a^b)\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\] или \[{\log _a}x \vee {\log _a}y{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \vee y\;{\rm{при}}\;a >1)\\(x \klin y\;(\rm(at))\;0< a < 1}\end{array}} \right.\]

Môžeme tiež pridať pravidlo o logaritmoch s rôznymi základňami a rovnakým argumentom:

Dá sa to vysvetliť takto: čím väčšia je základňa, tým menší stupeň bude potrebné zvýšiť, aby ste získali to isté. Ak je základňa menšia, potom je to naopak, pretože príslušná funkcia je monotónne klesajúca.

Príklad.

Porovnajte čísla: a.

Riešenie.

Podľa vyššie uvedených pravidiel:

A teraz vzorec pre pokročilých.

Pravidlo na porovnávanie logaritmov možno napísať stručnejšie:

Príklad.

Čo je viac: alebo?

Riešenie.

Príklad.

Porovnajte, ktoré číslo je väčšie: .

Riešenie.

POROVNANIE ČÍSEL. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

1. Umocňovanie

Ak sú obe strany nerovnosti kladné, možno ich odmocniť, aby sme sa zbavili koreňa

2. Násobenie jeho konjugátom

Konjugát je faktor, ktorý dopĺňa výraz rozdielu štvorcov vzorca: - konjugát pre a naopak, pretože .

3. Odčítanie

4. Rozdelenie

Kedy alebo to je

Keď sa zmení znamenie:

5. Porovnanie s tretím číslom

Ak a potom

6. Porovnanie logaritmov

Základné pravidlá.