Vzťah nohy k prepone. Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens ostrého uhla. Goniometrické funkcie
Inštrukcie
Video k téme
Poznámka
Pri výpočte strán pravouhlého trojuholníka môže zohrávať úlohu znalosť jeho charakteristík:
1) Ak je noha pravý uhol leží oproti uhlu 30 stupňov, potom sa rovná polovici prepony;
2) Prepona je vždy dlhšia ako ktorákoľvek z nôh;
3) Ak je kruh opísaný okolo pravouhlého trojuholníka, potom jeho stred musí ležať v strede prepony.
Prepona je strana at správny trojuholník, ktorý je oproti 90 stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a veľkosť jedného z ostrých uhlov trojuholníka.
Inštrukcie
Dajte nám vedieť jednu z nôh a uhol, ktorý k nej prilieha. Aby som bol konkrétny, nech sú tieto strany |AB| a uhol α. Potom môžeme použiť vzorec pre trigonometrický kosínus - kosínusový pomer susednej vetvy k. Tie. v našom zápise cos α = |AB| / |AC|. Z toho získame dĺžku prepony |AC| = |AB| / čos α.
Ak poznáme stranu |BC| a uhla α, potom pomocou vzorca vypočítame sínus uhla - sínus uhla sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone: sin α = |BC| / |AC|. Zistili sme, že dĺžka prepony je |AC| = |BC| / čos α.
Pre prehľadnosť sa pozrime na príklad. Nech je uvedená dĺžka nohy |AB|. = 15. A uhol α = 60°. Získame |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pozrime sa, ako môžete skontrolovať svoj výsledok pomocou Pytagorovej vety. Aby sme to dosiahli, musíme vypočítať dĺžku druhého úseku |BC|. Pomocou vzorca pre tangens uhla tan α = |BC| / |AC|, dostaneme |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Ďalej použijeme Pytagorovu vetu, dostaneme 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kontrola dokončená.
Po výpočte prepony skontrolujte, či výsledná hodnota spĺňa Pytagorovu vetu.
Zdroje:
- Tabuľka prvočísel od 1 do 10 000
Nohy sú dve krátke strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria vrchol, ktorého veľkosť je 90°. Tretia strana v takomto trojuholníku sa nazýva prepona. Všetky tieto strany a uhly trojuholníka sú vzájomne prepojené určitými vzťahmi, ktoré umožňujú vypočítať dĺžku nohy, ak je známych niekoľko ďalších parametrov.
Inštrukcie
Použite Pytagorovu vetu pre nohu (A), ak poznáte dĺžku ďalších dvoch strán (B a C) pravouhlého trojuholníka. Táto veta hovorí, že súčet štvorcových dĺžok nôh sa rovná druhej mocnine prepony. Z toho vyplýva, že dĺžka každej nohy je rovnaká odmocnina z dĺžok prepony a druhej vetvy: A=√(C²-B²).
Použite definíciu priamej goniometrickej funkcie „sínus“ pre ostrý uhol, ak poznáte veľkosť uhla (α) ležiaceho oproti vypočítavanej nohe a dĺžku prepony (C). To uvádza, že sínus tohto známeho pomeru dĺžky požadovaného ramena k dĺžke prepony. To znamená, že dĺžka požadovaného ramena sa rovná súčinu dĺžky prepony a sínusu známeho uhla: A=C∗sin(α). Pre tie isté známe veličiny môžete použiť aj kosekans a vypočítať požadovanú dĺžku vydelením dĺžky prepony kosekansom známeho uhla A=C/kosec(α).
Definíciu priamej trigonometrickej kosínusovej funkcie použite, ak je okrem dĺžky prepony (C) známa aj veľkosť ostrého uhla (β) susediaceho s požadovanou preponou. Kosínus tohto uhla je pomer dĺžok požadovaného ramena a prepony a z toho môžeme vyvodiť záver, že dĺžka ramena sa rovná súčinu dĺžky prepony a kosínusu známeho uhla: A=C∗cos(β). Môžete použiť definíciu funkcie sečny a vypočítať požadovanú hodnotu vydelením dĺžky prepony sečnicou známeho uhla A=C/sec(β).
Odvoďte požadovaný vzorec z podobnej definície pre deriváciu tangens goniometrickej funkcie, ak je okrem hodnoty ostrého uhla (α) ležiaceho oproti požadovanému ramenu (A) známa aj dĺžka druhého ramena (B). . Tangenta uhla opačného k požadovanému ramenu je pomer dĺžky tohto ramena k dĺžke druhého ramena. To znamená, že požadovaná hodnota sa bude rovnať súčinu dĺžky známeho ramena a dotyčnice známeho uhla: A=B∗tg(α). Z tých istých známych veličín možno odvodiť ďalší vzorec, ak použijeme definíciu kotangensovej funkcie. V tomto prípade na výpočet dĺžky ramena bude potrebné nájsť pomer dĺžky známeho ramena ku kotangensu známeho uhla: A=B/ctg(α).
Video k téme
Slovo „kathet“ prišlo do ruštiny z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnica, teda kolmá na povrch zeme. V matematike sú nohy strany, ktoré tvoria pravé uhly pravouhlého trojuholníka. Strana opačná k tomuto uhlu sa nazýva prepona. Pojem „katét“ sa používa aj v architektúre a technike zváračské práce.
Sečna tohto uhla sa získa vydelením prepony susednou vetvou, to znamená secCAB = c/b. Výsledkom je prevrátená hodnota kosínusu, to znamená, že ho možno vyjadriť pomocou vzorca secCAB=1/cosSAB.
Kosekans sa rovná podielu prepony delenej opačnou stranou a je prevrátenou hodnotou sínusu. Dá sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB=1/sinCAB
Obe nohy sú navzájom spojené kotangensom. V tomto prípade bude dotyčnica pomerom strany a ku strane b, teda opačnej strany k susednej strane. Tento vzťah možno vyjadriť vzorcom tgCAB=a/b. V súlade s tým bude inverzný pomer kotangens: ctgCAB=b/a.
Vzťah medzi veľkosťou prepony a oboch nôh určil starogrécky Pytagoras. Ľudia stále používajú vetu a jeho meno. Hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh, teda c2 = a2 + b2. Podľa toho sa každá vetva bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy. Tento vzorec možno zapísať ako b=√(c2-a2).
Dĺžka nohy môže byť vyjadrená aj prostredníctvom vám známych vzťahov. Podľa teorémov sínusov a kosínusov sa noha rovná súčinu prepony a jednej z týchto funkcií. Môže byť vyjadrený ako a alebo kotangens. Nohu a možno nájsť napríklad pomocou vzorca a = b*tan CAB. Presne rovnakým spôsobom, v závislosti od danej dotyčnice alebo , sa určí druhá vetva.
V architektúre sa používa aj pojem „katét“. Aplikuje sa na iónsky kapitál a vedie cez stred jeho chrbta. To znamená, že v tomto prípade je tento výraz kolmý na danú čiaru.
V technológii zvárania existuje „noha kútového zvaru“. Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o o medzere medzi jednou z častí, ktorá je privarená k hranici švu umiestnenej na povrchu druhej časti.
Video k téme
Zdroje:
- čo sú noha a prepona v roku 2019
Sinus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer opak nohy do prepony.
Označuje sa takto: hriech α.
Kosínus Ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone.
Označuje sa takto: cos α.
Tangenta ostrý uhol α je pomer protiľahlej strany k priľahlej strane.
Označuje sa takto: tg α.
Kotangens ostrý uhol α je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.
Označuje sa takto: ctg α.
Sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla závisia len od veľkosti uhla.
pravidlá:
Základné goniometrické identity v pravouhlom trojuholníku:
(α - ostrý uhol oproti nohe b a priľahlé k nohe a . Side s – prepona. β – druhý ostrý uhol).
b | sin 2 α + cos 2 α = 1 | |
a | 1 | |
b | 1 | |
a | 1 1 | |
sinα |
Keď sa ostrý uhol zväčšujehriech α azvýšenie tg α acos α klesá.
Pre akýkoľvek ostrý uhol α:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Príklad-vysvetlenie:
Vlož pravouhlý trojuholník ABC
AB = 6,
BC = 3,
uhol A = 30°.
Poďme zistiť sínus uhla A a kosínus uhla B.
Riešenie .
1) Najprv nájdeme hodnotu uhla B. Tu je všetko jednoduché: keďže v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90º, potom uhol B = 60º:
B = 90º – 30º = 60º.
2) Vypočítajme sin A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru opačnej strany k prepone. Pre uhol A je opačná strana strana BC. Takže:
BC 3 1
hriech A = -- = - = -
AB 6 2
3) Teraz vypočítajme cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru susednej vetvy k prepone. Pre uhol B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme vydeliť BC AB - to znamená, že vykonáme rovnaké akcie ako pri výpočte sínusu uhla A:
BC 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2
Výsledkom je:
sin A = cos B = 1/2.
sin 30º = cos 60º = 1/2.
Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku je sínus jedného ostrého uhla rovný kosínusu iného ostrého uhla - a naopak. Presne toto znamenajú naše dva vzorce:
sin (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α
Presvedčíme sa o tom ešte raz:
1) Nech α = 60º. Dosadením hodnoty α do sínusového vzorca dostaneme:
hriech (90º – 60º) = cos 60º.
hriech 30º = cos 60º.
2) Nech α = 30º. Dosadením hodnoty α do kosínusového vzorca dostaneme:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = hriech 30°.
(Viac informácií o trigonometrii nájdete v časti Algebra)
Pojmy sínus (), kosínus (), tangens (), kotangens () sú neoddeliteľne spojené s pojmom uhol. Aby sme týmto na prvý pohľad zložitým pojmom (ktoré u mnohých školákov vyvolávali hrôzu) dobre porozumeli, a aby sme sa uistili, že „čert nie je taký strašný, ako ho natierajú“, začnime od úplne začať a pochopiť pojem uhla.
Pojem uhla: radián, stupeň
Pozrime sa na obrázok. Vektor sa „otočil“ vzhľadom k bodu o určitú hodnotu. Takže miera tejto rotácie vzhľadom na počiatočnú polohu bude rohu.
Čo ešte potrebujete vedieť o koncepte uhla? No, samozrejme, uhlové jednotky!
Uhol v geometrii aj trigonometrii možno merať v stupňoch a radiánoch.
Uhol (jeden stupeň) je stredový uhol v kruhu ohraničenom kruhovým oblúkom, ktorý sa rovná časti kruhu. Celý kruh sa teda skladá z „kúskov“ kruhových oblúkov alebo je uhol opísaný kruhom rovnaký.
To znamená, že obrázok vyššie ukazuje uhol rovný, to znamená, že tento uhol spočíva na kruhovom oblúku veľkosti obvodu.
Uhol v radiánoch je stredový uhol v kruhu zovretom kruhovým oblúkom, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu. No, prišli ste na to? Ak nie, poďme na to z výkresu.
Obrázok teda ukazuje uhol rovný radiánu, to znamená, že tento uhol spočíva na kruhovom oblúku, ktorého dĺžka sa rovná polomeru kruhu (dĺžka sa rovná dĺžke alebo polomer sa rovná dĺžka oblúka). Dĺžka oblúka sa teda vypočíta podľa vzorca:
Kde je stredový uhol v radiánoch.
Keď to viete, viete odpovedať, koľko radiánov je obsiahnutých v uhle opísanom kružnicou? Áno, na to si musíte zapamätať vzorec pre obvod. Tu je:
Teraz porovnajme tieto dva vzorce a zistíme, že uhol opísaný kruhom je rovnaký. To znamená, že koreláciou hodnoty v stupňoch a radiánoch to dostaneme. Respektíve, . Ako vidíte, na rozdiel od „stupňov“ je vynechané slovo „radián“, pretože merná jednotka je zvyčajne jasná z kontextu.
Koľko je tam radiánov? To je správne!
Mám to? Potom pokračujte a opravte to:
Máte ťažkosti? Potom sa pozrite odpovede:
Pravý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla
Takže sme prišli na koncept uhla. Ale čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla? Poďme na to. K tomu nám pomôže pravouhlý trojuholník.
Ako sa nazývajú strany pravouhlého trojuholníka? Správne, prepona a nohy: prepona je strana, ktorá leží oproti pravému uhlu (v našom príklade je to strana); nohy sú dve zostávajúce strany a (tie susediace s pravým uhlom) a ak vezmeme do úvahy nohy vzhľadom na uhol, potom noha je susedná noha a noha je opačná. Takže teraz odpovedzme na otázku: čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla?
Sínus uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku.
Kosínus uhla- toto je pomer priľahlej (blízkej) nohy k prepone.
V našom trojuholníku.
Tangenta uhla- to je pomer opačnej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej).
V našom trojuholníku.
Kotangens uhla- to je pomer susednej (blízkej) nohy k opačnej (ďalekej).
V našom trojuholníku.
Tieto definície sú potrebné zapamätaj si! Aby ste si ľahšie zapamätali, ktorú nohu na čo rozdeliť, musíte tomu jasne rozumieť dotyčnica A kotangens sedia len nohy a prepona sa objavuje len v sínus A kosínus. A potom môžete prísť s reťazcom asociácií. Napríklad tento:
Kosínus→dotyk→dotyk→priľahlý;
Kotangens→dotyk→dotyk→priľahlý.
V prvom rade si treba uvedomiť, že sínus, kosínus, tangens a kotangens ako pomery strán trojuholníka nezávisia od dĺžok týchto strán (v rovnakom uhle). neveríte? Potom sa presvedčte pohľadom na obrázok:
Zoberme si napríklad kosínus uhla. Podľa definície z trojuholníka: , ale môžeme vypočítať kosínus uhla z trojuholníka: . Vidíte, dĺžky strán sú rôzne, ale hodnota kosínusu jedného uhla je rovnaká. Hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens teda závisia výlučne od veľkosti uhla.
Ak rozumiete definíciám, pokračujte a konsolidujte ich!
Pre trojuholník zobrazený na obrázku nižšie nájdeme.
Dobre, pochopili ste to? Potom to skúste sami: vypočítajte to isté pre uhol.
Jednotkový (trigonometrický) kruh
Pochopením pojmov stupňov a radiánov sme uvažovali o kružnici s polomerom rovným. Takýto kruh sa nazýva slobodný. Bude to veľmi užitočné pri štúdiu trigonometrie. Preto sa na to pozrime trochu podrobnejšie.
Ako vidíte, tento kruh je zostrojený v karteziánskom súradnicovom systéme. Polomer kruhu rovný jednej, zatiaľ čo stred kruhu leží v počiatku súradníc, počiatočná poloha vektora polomeru je pevná pozdĺž kladného smeru osi (v našom príklade je to polomer).
Každý bod na kruhu zodpovedá dvom číslam: súradnici osi a súradnici osi. Aké sú tieto súradnicové čísla? A vo všeobecnosti, čo majú spoločné s danou témou? Aby sme to dosiahli, musíme si pamätať na uvažovaný pravouhlý trojuholník. Na obrázku vyššie môžete vidieť dva celé pravouhlé trojuholníky. Zvážte trojuholník. Je obdĺžnikový, pretože je kolmý na os.
Čomu sa rovná trojuholník? To je správne. Okrem toho vieme, že ide o polomer jednotkovej kružnice, čo znamená . Dosaďte túto hodnotu do nášho vzorca pre kosínus. Čo sa stane:
Čomu sa rovná trojuholník? No, samozrejme,! Do tohto vzorca nahraďte hodnotu polomeru a získajte:
Viete teda povedať, aké súradnice má bod patriaci do kruhu? No v žiadnom prípade? Čo ak si to uvedomujete a sú to len čísla? Akej súradnici zodpovedá? No, samozrejme, súradnice! A akej súradnici to zodpovedá? Presne tak, súradnice! Teda bodka.
Čo teda sú a čomu sa rovnajú? Správne, použime zodpovedajúce definície tangens a kotangens a získajme to, a.
Čo ak je uhol väčší? Napríklad ako na tomto obrázku:
Čo sa zmenilo v v tomto príklade? Poďme na to. Aby sme to urobili, otočme sa znova na pravouhlý trojuholník. Uvažujme pravouhlý trojuholník: uhol (ako susediaci s uhlom). Aké sú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pre uhol? Správne, dodržiavame zodpovedajúce definície goniometrických funkcií:
No, ako vidíte, hodnota sínusu uhla stále zodpovedá súradnici; hodnota kosínusu uhla - súradnice; a hodnoty tangens a kotangens k zodpovedajúcim pomerom. Tieto vzťahy teda platia pre akúkoľvek rotáciu vektora polomeru.
Už bolo spomenuté, že počiatočná poloha vektora polomeru je pozdĺž kladného smeru osi. Doteraz sme tento vektor otáčali proti smeru hodinových ručičiek, ale čo sa stane, ak ho otočíme v smere hodinových ručičiek? Nič mimoriadne, získate aj uhol určitej hodnoty, ale iba negatívny. Pri otáčaní vektora polomeru proti smeru hodinových ručičiek teda dostaneme kladné uhly a pri otáčaní v smere hodinových ručičiek - negatívne.
Takže vieme, že celá otáčka vektora polomeru okolo kruhu je alebo. Je možné otočiť vektor polomeru na alebo na? No, samozrejme, že môžete! V prvom prípade teda vektor polomeru urobí jednu celú otáčku a zastaví sa v polohe resp.
V druhom prípade, to znamená, že vektor polomeru vykoná tri plné otáčky a zastaví sa v polohe resp.
Z vyššie uvedených príkladov teda môžeme vyvodiť záver, že uhly, ktoré sa líšia o alebo (kde je akékoľvek celé číslo), zodpovedajú rovnakej polohe vektora polomeru.
Obrázok nižšie ukazuje uhol. Rovnaký obrázok zodpovedá rohu atď. Tento zoznam môže pokračovať donekonečna. Všetky tieto uhly možno zapísať všeobecným vzorcom alebo (kde je akékoľvek celé číslo)
Teraz, keď poznáte definície základných goniometrických funkcií a pomocou jednotkového kruhu, skúste odpovedať, aké sú hodnoty:
Tu je kruh jednotiek, ktorý vám pomôže:
Máte ťažkosti? Potom poďme na to prísť. Takže vieme, že:
Odtiaľ určíme súradnice bodov zodpovedajúcich určitým mieram uhla. No, začnime po poriadku: uhol v zodpovedá bodu so súradnicami, preto:
Neexistuje;
Ďalej, pri dodržaní rovnakej logiky, zistíme, že rohy v zodpovedajú bodom so súradnicami, resp. S týmto vedomím je ľahké určiť hodnoty goniometrických funkcií v zodpovedajúcich bodoch. Najprv si to vyskúšajte a potom skontrolujte odpovede.
Odpovede:
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Neexistuje
Môžeme teda zostaviť nasledujúcu tabuľku:
Nie je potrebné si pamätať všetky tieto hodnoty. Stačí si zapamätať zhodu medzi súradnicami bodov na jednotkovej kružnici a hodnotami trigonometrických funkcií:
Ale hodnoty goniometrických funkcií uhlov v a uvedené v tabuľke nižšie, treba pamätať:
Nezľaknite sa, teraz vám ukážeme jeden príklad pomerne jednoduché zapamätanie zodpovedajúcich hodnôt:
Na použitie tejto metódy je dôležité zapamätať si hodnoty sínusu pre všetky tri miery uhla (), ako aj hodnotu tangens uhla. Keď poznáte tieto hodnoty, je celkom jednoduché obnoviť celú tabuľku - hodnoty kosínusu sa prenášajú v súlade so šípkami, to znamená:
Keď to viete, môžete obnoviť hodnoty pre. Čitateľ „ “ sa bude zhodovať a menovateľ „ “ sa bude zhodovať. Hodnoty kotangens sa prenášajú v súlade so šípkami uvedenými na obrázku. Ak to pochopíte a zapamätáte si diagram so šípkami, bude stačiť zapamätať si všetky hodnoty z tabuľky.
Súradnice bodu na kružnici
Je možné nájsť bod (jeho súradnice) na kružnici, poznať súradnice stredu kružnice, jej polomer a uhol natočenia?
No, samozrejme, že môžete! Poďme na to všeobecný vzorec na zistenie súradníc bodu.
Napríklad tu je kruh pred nami:
Je nám dané, že bod je stredom kruhu. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením bodu o stupne.
Ako je zrejmé z obrázku, súradnica bodu zodpovedá dĺžke segmentu. Dĺžka segmentu zodpovedá súradnici stredu kruhu, to znamená, že je rovnaká. Dĺžka segmentu môže byť vyjadrená pomocou definície kosínusu:
Potom to máme pre súradnicu bodu.
Pomocou rovnakej logiky nájdeme hodnotu súradnice y pre bod. teda
Takže v všeobecný pohľad súradnice bodov sú určené vzorcami:
Súradnice stredu kruhu,
Polomer kruhu,
Uhol natočenia polomeru vektora.
Ako vidíte, pre jednotkový kruh, ktorý uvažujeme, sú tieto vzorce výrazne znížené, pretože súradnice stredu sa rovnajú nule a polomer sa rovná jednej:
Vyskúšame si tieto vzorce precvičovaním hľadania bodov na kruhu?
1. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej rotáciou bodu ďalej.
2. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
3. Nájdite súradnice bodu na jednotkovej kružnici získanej otočením bodu ďalej.
4. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
5. Bod je stred kružnice. Polomer kruhu je rovnaký. Je potrebné nájsť súradnice bodu získané otočením vektora počiatočného polomeru o.
Máte problém nájsť súradnice bodu na kruhu?
Vyriešte týchto päť príkladov (alebo sa zdokonalte v ich riešení) a naučíte sa ich nájsť!
1.
Môžete si to všimnúť. Vieme však, čo zodpovedá úplnej revolúcii východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
2. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Vieme, čo zodpovedá dvom úplným otáčkam východiskového bodu. Požadovaný bod bude teda v rovnakej polohe ako pri otáčaní. Keď to vieme, nájdeme požadované súradnice bodu:
Sínus a kosínus sú tabuľkové hodnoty. Pripomíname si ich význam a dostávame:
Požadovaný bod má teda súradnice.
3. Jednotkový kruh je vycentrovaný v bode, čo znamená, že môžeme použiť zjednodušené vzorce:
Môžete si to všimnúť. Znázornime príslušný príklad na obrázku:
Polomer vytvára uhly rovnaké s osou as osou. Keď vieme, že tabuľkové hodnoty kosínusu a sínusu sú rovnaké, a keď sme určili, že kosínus tu má zápornú hodnotu a sínus má kladnú hodnotu, máme:
Takéto príklady sú podrobnejšie diskutované pri štúdiu vzorcov na zníženie goniometrických funkcií v téme.
Požadovaný bod má teda súradnice.
4.
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky)
Na určenie zodpovedajúcich znamienok sínusu a kosínusu zostrojíme jednotkový kruh a uhol:
Ako vidíte, hodnota, to jest, je kladná a hodnota, teda záporná. Keď poznáme tabuľkové hodnoty zodpovedajúcich goniometrických funkcií, získame, že:
Nahraďte získané hodnoty do nášho vzorca a nájdime súradnice:
Požadovaný bod má teda súradnice.
5. Na vyriešenie tohto problému používame vzorce vo všeobecnom tvare, kde
Súradnice stredu kruhu (v našom príklade
Polomer kruhu (podľa podmienky)
Uhol natočenia polomeru vektora (podľa podmienky).
Nahraďte všetky hodnoty do vzorca a získame:
a - tabuľkové hodnoty. Zapamätáme si ich a dosadíme do vzorca:
Požadovaný bod má teda súradnice.
SÚHRN A ZÁKLADNÉ VZORCE
Sínus uhla je pomer opačnej (vzdialenej) nohy k prepone.
Kosínus uhla je pomer priľahlého (blízkeho) ramena k prepone.
Tangenta uhla je pomer protiľahlej (vzdialenej) strany k susednej (blízkej) strane.
Kotangens uhla je pomer priľahlej (blízkej) strany k opačnej (vzdialenej) strane.
V živote sa s tým budeme musieť často vysporiadať matematické problémy: v škole, na univerzite a potom pomáhať dieťaťu s dokončením domáca úloha. Ľudia v určitých profesiách sa s matematikou budú stretávať denne. Preto je užitočné zapamätať si alebo pripomenúť si matematické pravidlá. V tomto článku sa pozrieme na jeden z nich: nájdenie strany pravouhlého trojuholníka.
Čo je pravouhlý trojuholník
Najprv si pripomeňme, čo je pravouhlý trojuholník. Pravý trojuholník je geometrický obrazec troch segmentov, ktoré spájajú body, ktoré neležia na rovnakej priamke, a jeden z uhlov tohto obrázku je 90 stupňov. Strany tvoriace pravý uhol sa nazývajú nohy a strana, ktorá leží oproti pravému uhlu, sa nazýva prepona.
Nájdenie nohy pravouhlého trojuholníka
Existuje niekoľko spôsobov, ako zistiť dĺžku nohy. Chcel by som ich zvážiť podrobnejšie.
Pytagorova veta na nájdenie strany pravouhlého trojuholníka
Ak poznáme preponu a nohu, potom môžeme zistiť dĺžku neznámej vetvy pomocou Pytagorovej vety. Znie to takto: "Štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh." Vzorec: c²=a²+b², kde c je prepona, a a b sú nohy. Transformujeme vzorec a dostaneme: a²=c²-b².
Príklad. Prepona je 5 cm a noha je 3 cm Transformujeme vzorec: c²=a²+b² → a²=c²-b². Ďalej riešime: a²=5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a=√16; a = 4 (cm).
Trigonometrické pomery na nájdenie ramena pravouhlého trojuholníka
Môžete tiež nájsť neznámu nohu, ak je známa akákoľvek iná strana a akýkoľvek ostrý uhol pravouhlého trojuholníka. Existujú štyri možnosti nájdenia nohy pomocou goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens, kotangens. Nižšie uvedená tabuľka nám pomôže vyriešiť problémy. Zvážme tieto možnosti.
Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou sínusu
Sínus uhla (sin) je pomer opačnej strany k prepone. Vzorec: sin=a/c, kde a je rameno oproti danému uhlu a c je prepona. Ďalej vzorec transformujeme a dostaneme: a=sin*c.
Príklad. Prepona je 10 cm a uhol A je 30 stupňov. Pomocou tabuľky vypočítame sínus uhla A, rovná sa 1/2. Potom pomocou transformovaného vzorca riešime: a=sin∠A*c; a = 1/2 x 10; a = 5 (cm).
Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kosínusu
Kosínus uhla (cos) je pomer priľahlého ramena k prepone. Vzorec: cos=b/c, kde b je rameno susediace s daným uhlom a c je prepona. Transformujme vzorec a získame: b=cos*c.
Príklad. Uhol A sa rovná 60 stupňom, prepona sa rovná 10 cm Pomocou tabuľky vypočítame kosínus uhla A, rovná sa 1/2. Ďalej riešime: b=cos∠A*c; b = 1/2 x 10, b = 5 (cm).
Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou dotyčnice
Tangenta uhla (tg) je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Vzorec: tg=a/b, kde a je protiľahlá strana uhla a b je priľahlá strana. Transformujme vzorec a získame: a=tg*b.
Príklad. Uhol A sa rovná 45 stupňom, prepona sa rovná 10 cm Pomocou tabuľky vypočítame tangens uhla A, rovná sa Riešenie: a=tg∠A*b; a = 1 x 10; a = 10 (cm).
Nájdite nohu pravouhlého trojuholníka pomocou kotangens
Kotangens uhla (ctg) je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane. Vzorec: ctg=b/a, kde b je rameno susediace s uhlom a je protiľahlé rameno. Inými slovami, kotangens je „obrátená tangenta“. Dostaneme: b=ctg*a.
Príklad. Uhol A je 30 stupňov, protiľahlá noha je 5 cm Podľa tabuľky je dotyčnica uhla A √3. Vypočítame: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b = 5°3 (cm).
Takže teraz viete, ako nájsť nohu v pravouhlom trojuholníku. Ako vidíte, nie je to také ťažké, hlavnou vecou je zapamätať si vzorce.