V tomto článku sa pozrieme na riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Najprv si však zopakujme, čo sa rovnice nazývajú kvadratické. Rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde x je premenná a koeficienty a, b a c sú nejaké čísla a a ≠ 0, sa nazýva námestie. Ako vidíme, koeficient pre x 2 sa nerovná nule, a preto koeficienty pre x alebo voľný člen sa môžu rovnať nule, v takom prípade dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu.

Existujú tri typy neúplných kvadratických rovníc:

1) Ak b = 0, c ≠ 0, potom ax 2 + c = 0;

2) Ak b ≠ 0, c = 0, potom ax 2 + bx = 0;

3) Ak b = 0, c = 0, potom ax 2 = 0.

• Poďme zistiť, ako to vyriešiť rovnice tvaru ax 2 + c = 0.

Na vyriešenie rovnice presunieme voľný člen c na pravú stranu rovnice, dostaneme

ax 2 = ‒s. Keďže a ≠ 0, obe strany rovnice vydelíme a, potom x 2 = ‒c/a.

Ak ‒с/а > 0, potom má rovnica dva korene

x = ±√(–c/a) .

Ak ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Pokúsme sa pomocou príkladov pochopiť, ako takéto rovnice vyriešiť.

Príklad 1. Vyriešte rovnicu 2x 2 ‒ 32 = 0.

Odpoveď: x 1 = - 4, x 2 = 4.

Príklad 2. Vyriešte rovnicu 2x 2 + 8 = 0.

Odpoveď: rovnica nemá riešenia.

• Poďme zistiť, ako to vyriešiť rovnice tvaru ax 2 + bx = 0.

Na vyriešenie rovnice ax 2 + bx = 0 ju rozložme na faktor, teda vyjmeme x zo zátvoriek, dostaneme x(ax + b) = 0. Súčin sa rovná nule, ak sa aspoň jeden z faktorov rovná na nulu. Potom buď x = 0, alebo ax + b = 0. Vyriešením rovnice ax + b = 0 dostaneme ax = - b, odkiaľ x = - b/a. Rovnica v tvare ax 2 + bx = 0 má vždy dva korene x 1 = 0 a x 2 = ‒ b/a. Pozrite sa, ako vyzerá riešenie rovníc tohto typu v diagrame.

Upevnime si poznatky na konkrétnom príklade.

Príklad 3. Vyriešte rovnicu 3x 2 ‒ 12x = 0.

x(3x ‒ 12) = 0

x = 0 alebo 3x – 12 = 0

Odpoveď: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Rovnice tretieho typu ax 2 = 0 sú riešené veľmi jednoducho.

Ak ax 2 = 0, potom x 2 = 0. Rovnica má dva rovnaké korene x 1 = 0, x 2 = 0.

Pre prehľadnosť sa pozrime na diagram.

Pri riešení príkladu 4 sa presvedčíme, že rovnice tohto typu sa dajú riešiť veľmi jednoducho.

Príklad 4. Vyriešte rovnicu 7x 2 = 0.

Odpoveď: x 1, 2 = 0.

Nie vždy je hneď jasné, aký typ neúplnej kvadratickej rovnice máme riešiť. Zvážte nasledujúci príklad.

Príklad 5. Vyriešte rovnicu

Vynásobme obe strany rovnice spoločným menovateľom, teda 30

Poďme to zredukovať

5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.

Otvoríme zátvorky

25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.

Dajme podobne

Presuňme 99 z ľavej strany rovnice doprava, pričom znamienko zmeníme na opačné

Odpoveď: žiadne korene.

Pozreli sme sa na to, ako sa riešia neúplné kvadratické rovnice. Dúfam, že teraz nebudete mať s takýmito úlohami žiadne ťažkosti. Buďte opatrní pri určovaní typu neúplnej kvadratickej rovnice, potom sa vám to podarí.

Ak máte otázky k tejto téme, problémy spoločne vyriešime.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť kvadratickú rovnicu.

Program nielenže dáva odpoveď na problém, ale tiež zobrazuje proces riešenia dvoma spôsobmi:
- pomocou diskriminantu
- pomocou Vietovej vety (ak je to možné).

Okrem toho sa odpoveď zobrazuje ako presná, nie približná.
Napríklad pre rovnicu \(81x^2-16x-1=0\) sa odpoveď zobrazí v nasledujúcom tvare:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ a nie takto: \(x_1 = 0,247; \quad x_2 = -0,05\)

Tento program môže byť užitočný pre študentov stredných škôl stredné školy v príprave na testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, aby rodičia ovládali riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo to len chcete mať čo najrýchlejšie hotové? domáca úloha v matematike alebo algebre? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Môžete tak viesť vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov či sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Ak nie ste oboznámení s pravidlami zadávania kvadratického polynómu, odporúčame vám sa s nimi oboznámiť.

Pravidlá pre zadávanie kvadratického polynómu

Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.
Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atď.

Čísla je možné zadať ako celé alebo zlomkové čísla.
Okrem toho je možné zadávať zlomkové čísla nielen vo forme desatinných miest, ale aj vo forme obyčajného zlomku.

Pravidlá pre zadávanie desatinných zlomkov.
V desatinných zlomkoch môže byť zlomková časť oddelená od celej časti bodkou alebo čiarkou.
Môžete napríklad zadať desatinné zlomky takto: 2,5x – 3,5x^2

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.

Menovateľ nemôže byť záporný.

Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Celá časť oddelené od zlomku ampersandom: &
Vstup: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Výsledok: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Pri zadávaní výrazu môžete použiť zátvorky. V tomto prípade sa pri riešení kvadratickej rovnice najskôr zjednoduší zavedený výraz.
Napríklad: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

=0

Rozhodnite sa

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Kvadratická rovnica a jej korene. Neúplné kvadratické rovnice

Každá z rovníc
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
vyzerá ako
\(ax^2+bx+c=0, \)
kde x je premenná, a, b a c sú čísla.
V prvej rovnici a = -1, b = 6 a c = 1,4, v druhej a = 8, b = -7 a c = 0, v tretej a = 1, b = 0 a c = 4/9. Takéto rovnice sa nazývajú kvadratické rovnice.

Definícia.
Kvadratická rovnica sa nazýva rovnica v tvare ax 2 +bx+c=0, kde x je premenná, a, b a c sú nejaké čísla a \(a \neq 0 \).

Čísla a, b a c sú koeficienty kvadratickej rovnice. Číslo a sa nazýva prvý koeficient, číslo b je druhý koeficient a číslo c je voľný člen.

V každej z rovníc tvaru ax 2 +bx+c=0, kde \(a\neq 0\), je najväčšia mocnina premennej x druhá mocnina. Odtiaľ názov: kvadratická rovnica.

Všimnite si, že kvadratická rovnica sa tiež nazýva rovnica druhého stupňa, pretože jej ľavá strana je polynómom druhého stupňa.

Kvadratická rovnica, v ktorej sa koeficient x 2 rovná 1, sa nazýva daná kvadratická rovnica. Napríklad dané kvadratické rovnice sú rovnice
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ak v kvadratickej rovnici ax 2 +bx+c=0 je aspoň jeden z koeficientov b alebo c rovný nule, potom sa takáto rovnica nazýva neúplná kvadratická rovnica. Teda rovnice -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sú neúplné kvadratické rovnice. V prvom z nich b=0, v druhom c=0, v treťom b=0 a c=0.

Existujú tri typy neúplných kvadratických rovníc:
1) ax 2 +c=0, kde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, kde \(b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.

Uvažujme o riešení rovníc každého z týchto typov.

Ak chcete vyriešiť neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 +c=0 pre \(c \neq 0 \), presuňte jej voľný člen na pravú stranu a vydeľte obe strany rovnice a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Šípka doprava x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Pretože \(c \neq 0 \), potom \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Ak \(-\frac(c)(a)>0\), potom má rovnica dva korene.

Ak \(-\frac(c)(a) Na vyriešenie neúplnej kvadratickej rovnice tvaru ax 2 +bx=0 s \(b \neq 0 \) vynásobíme jej ľavú stranu a získame rovnicu
\(x(ax+b)=0 \šípka doprava \vľavo\( \začiatok(pole)(l) x=0 \\ ax+b=0 \koniec(pole) \vpravo. \šípka doprava \vľavo\( \začiatok (pole)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(pole) \vpravo.

To znamená, že neúplná kvadratická rovnica tvaru ax 2 +bx=0 pre \(b \neq 0 \) má vždy dva korene.

Neúplná kvadratická rovnica v tvare ax 2 = 0 je ekvivalentná rovnici x 2 = 0, a preto má jeden koreň 0.

Vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Uvažujme teraz, ako vyriešiť kvadratické rovnice, v ktorých sú koeficienty neznámych aj voľný člen nenulové.

Vyriešme kvadratickú rovnicu vo všeobecnom tvare a ako výsledok získame vzorec pre korene. Tento vzorec potom možno použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vyriešte kvadratickú rovnicu ax 2 +bx+c=0

Delením oboch strán a získame ekvivalentnú redukovanú kvadratickú rovnicu
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformujme túto rovnicu výberom štvorca binomu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \šípka doprava \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \šípka doprava \) \(\vľavo(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \šípka doprava \left(x+\frac(b)(2a)\vpravo)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \šípka doprava \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Šípka doprava x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \šípka doprava \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

Radikálny výraz je tzv diskriminant kvadratickej rovnice ax 2 +bx+c=0 („diskriminačný“ v latinčine - diskriminátor). Označuje sa písmenom D, t.j.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz pomocou diskriminačného zápisu prepíšeme vzorec pre korene kvadratickej rovnice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), kde \(D= b^2-4ac \)

Je zrejmé, že:
1) Ak D>0, potom má kvadratická rovnica dva korene.
2) Ak D=0, potom má kvadratická rovnica jeden koreň \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ak D Teda v závislosti od hodnoty diskriminantu môže mať kvadratická rovnica dva korene (pre D > 0), jeden koreň (pre D = 0) alebo nemá žiadne korene (pre D Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca, je vhodné postupovať nasledovne:
1) vypočítajte diskriminant a porovnajte ho s nulou;
2) ak je diskriminant kladný alebo rovný nule, potom použite koreňový vzorec, ak je diskriminant záporný, potom zapíšte, že neexistujú žiadne korene;

Vietov teorém

Daná kvadratická rovnica ax 2 -7x+10=0 má korene 2 a 5. Súčet koreňov je 7 a súčin je 10. Vidíme, že súčet koreňov sa rovná druhému koeficientu branému s opačným znak a súčin koreňov sa rovná voľnému termínu. Túto vlastnosť má každá redukovaná kvadratická rovnica, ktorá má korene.

Súčet koreňov redukovanej kvadratickej rovnice sa rovná druhému koeficientu s opačným znamienkom a súčin koreňov sa rovná voľnému členu.

Tie. Vietova veta hovorí, že korene x 1 a x 2 redukovanej kvadratickej rovnice x 2 +px+q=0 majú vlastnosť:
\(\vľavo\( \začiatok(pole)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \koniec(pole) \vpravo. \)

Neúplné kvadratické rovnice sú špeciálny prípad rovnosti druhého rádu. Tieto rovnice je potrebné vedieť riešiť, keďže sa často vyskytujú nielen v matematických, ale aj vo fyzikálnych úlohách. Tento článok je venovaný metódam ich riešenia.

Kvadratické rovnice: úplné a neúplné

Predtým, ako sa pozriete na spôsoby riešenia neúplných kvadratických rovníc, mali by ste zvážiť, čo to je.

Obrázok nižšie ukazuje všeobecný pohľad na rovnosti druhého rádu, ktoré sa nazývajú kvôli maximálnej hodnote stupňa premennej (rovná sa 2) v nich obsiahnutej.

Kde a, b a c sú čísla (koeficienty). Neúplná rovnica sa získa, keď sa jeden z týchto koeficientov rovná nule (s výnimkou čísla a, pretože ak sa stane nulou, rovnica už nebude kvadratická). Keďže existujú iba tri možné kombinácie nulových koeficientov, rozlišujú sa tieto typy neúplných rovnosti druhého rádu:

1. Iba b=0. Potom sa rovnica transformuje do tvaru a*x 2 + c = 0. Nazýva sa čistá alebo jednoduchá neúplná rovnosť kvadratického typu.
2. Iba c=0. Potom dostaneme tvar: a*x 2 + b*x = 0. Hovorí sa tomu zmiešané nie úplná rovnica námestie.
3. Nakoniec, ak b=0 a c=0, potom máme výraz a*x 2 =0.

Posledný typ neúplnej rovnice sa v žiadnom matematickom kurze neuvažuje, pretože jej riešenie je zrejmé a jediné možné: x=0.

Je možné vyriešiť neúplné rovnice pomocou diskriminačného vzorca?

Áno, môžete, pretože táto metóda je univerzálna pre akékoľvek výrazy druhého rádu. S neúplnými kvadratickými rovnicami sa však stretávame už v 8. ročníku školy a začínajú sa učiť skôr ako úplné rovnosti tohto typu, pre ktoré je už daný vzorec s diskriminantom. Uvažovaný typ rovnosti je navyše dostatočne jednoduchý na to, aby sa na ne vzťahovali univerzálne vzorce a vykonávalo sa množstvo zbytočných výpočtov.

Uvažujme o jednoduchých a zrozumiteľných spôsoboch riešenia neúplných rovníc druhého rádu.

Riešenie jednoduchej neúplnej rovnice

Schéma na jeho riešenie vo všeobecnom prípade je znázornená na obrázku nižšie.

Dovoľte nám podrobnejšie vysvetliť každý krok, ktorý je na ňom vyznačený. Prvým krokom je uviesť rovnicu do tvaru uvedeného na začiatku tohto diagramu. Podmienku úlohy možno poskladať tak, že pôvodná rovnosť bude obsahovať viac ako dva pojmy. Všetky ich treba zjednodušiť (vynásobiť, sčítať a odčítať) do podoby čistej neúplnej rovnosti.

Potom sa voľný člen c prenesie na pravú stranu rovnosti a vydelí sa koeficientom a. Na získanie neznámych x zostáva už len vziať Odmocnina z pomeru -c/a, ale nesmieme zabúdať a brať do úvahy, že môže byť buď so znamienkom mínus, alebo s kladným znamienkom.

Čo vyplýva zo vzorca uvedeného na obrázku? Po prvé, vždy existujú 2 korene čistej neúplnej kvadratickej rovnosti, pričom obidve sú rovnaké v module, ale líšia sa znamienkom. Po druhé, ak čísla c a a majú rovnaké znamienko, potom korene x budú imaginárne, ak c a a majú rôzne znamienka, získajú sa dve reálne riešenia.

Na vyriešenie kvadratickej rovnice, pre ktorú c = 0, by ste mali urobiť rovnaký prvý krok ako v prípade určenia koreňov čistej neúplnej rovnosti, to znamená, že ju priveďte do tvaru s dvoma členmi: jeden z nich musí obsahovať x 2 a ďalšie x. Potom by ste mali použiť metódu faktorizácie, to znamená faktorizovať ľavú stranu rovnosti. Na rozdiel od úplnej rovnice je to veľmi jednoduché, pretože jedným z faktorov bude vždy x. Vyššie uvedené možno napísať ako vzorec:

Táto rovnosť má riešenie, ak je každý z jej faktorov nulový. Výsledok výpočtu koreňov je znázornený na obrázku nižšie.

Koreňmi tohto typu neúplnej rovnice budú teda vždy reálne čísla, pričom jedno z nich bude nula. Znamienko druhej odmocniny je určené pomerom nenulových koeficientov b/a.

Príklady matematických úloh

Teraz uvádzame vizuálne príklady kvadratických neúplných rovníc s riešeniami.

Príklad 1 Nájdite korene rovnosti 135-(2x + 3) (2x - 3) = 0. Otvorte zátvorky a získajte: 135-4*x 2 +9=0. Všimnite si, že výrazy obsahujúce x až prvú mocninu boli zrušené. Prevedením voľných členov na pravú stranu a ich delením číslom -4 dostaneme: x 2 = 36. Získame tak dva korene: 6 a -6.

Príklad 2 23*(x2-2)=34*x-46. Rovnako ako v prvom prípade otvoríme zátvorky a presunieme všetky výrazy na ľavú stranu. Máme: 23*x 2 -46-34*x+46=0. Teraz zredukujeme voľné členy a vynásobíme súčet, dostaneme: x*(23*x-34)=0. Z toho vyplýva, že x = 0 a x = 34/23≈1,47826.

Riešenie príkladov ukázalo, že algoritmus na nájdenie koreňov akéhokoľvek typu neúplnej rovnice druhého rádu je pomerne jednoduchý, takže nemá zmysel zapamätať si vzorce uvedené na obrázkoch vyššie.

Príklad fyzikálnej úlohy

Mnoho školákov počulo od svojho učiteľa fyziky, že Galileo Galilei v 17. storočí robil experimenty na výpočet gravitačného zrýchlenia zhadzovaním rôznych telies z veže v Pise. Mnohým sa to bude zdať kuriózne, ale neexistuje jediný historický dôkaz, že vedec skutočne robil takéto experimenty. V tom istom 17. storočí ich však predviedol iný Talian.

Giovanni Riccioli je astronóm a jezuita, ktorý dokázal skutočne vypočítať zrýchlenie voľného pádu zhodením hlinených gúľ z výšky veže Asinelli, ktorá sa nachádza v meste Bologna. Riccioli získal hodnotu zrýchlenia 9,6 m/s 2 (moderná hodnota je 9,81 m/s 2 ). Pri znalosti tohto čísla je potrebné určiť, ako dlho trvalo, kým hlinená guľa spadla na zem, vzhľadom na to, že výška veže je 97,6 metra.

Na vyriešenie úlohy je potrebné pamätať na to, že dráha pri rovnomerne zrýchlenom pohybe je vyjadrená vzorcom: l=v 0 *t+g*t 2 /2. Keďže v momente, keď Riccioli pustil loptičku, rýchlosť loptičky bola nula, potom člen v 0 *t = 0. Potom sa dostávame k rovnici: 97,6 = 9,6*t 2 /2. Odkiaľ dostaneme, že t = 4,51 sekundy (záporný koreň bol zámerne vyradený).

“, teda rovnice prvého stupňa. V tejto lekcii sa na to pozrieme čo sa nazýva kvadratická rovnica a ako to vyriešiť.

Čo je to kvadratická rovnica?

Dôležité!

Stupeň rovnice je určený najvyšším stupňom, v ktorom neznáma stojí.

Ak je maximálny výkon, v ktorom je neznáma „2“, potom máte kvadratickú rovnicu.

Príklady kvadratických rovníc

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0

Dôležité!

Všeobecný tvar kvadratickej rovnice vyzerá takto:

A x 2 + b x + c = 0

• „a“, „b“ a „c“ sú dané čísla.
• „a“ je prvý alebo najvyšší koeficient;
• „b“ je druhý koeficient;

„c“ je voľný člen.

Ak chcete nájsť „a“, „b“ a „c“, musíte porovnať svoju rovnicu so všeobecným tvarom kvadratickej rovnice „ax 2 + bx + c = 0“.

Odds c = 17 c = 8

Precvičme si určovanie koeficientov „a“, „b“ a „c“ v kvadratických rovniciach.	Rovnica
5x 2 − 14x + 17 = 0 a = 5 b = -14
−7x 2 − 13x + 8 = 0 a = -7 b = -13

1

3

= 0

• −x 2 + x +
• a = -1
• b = 1

  1

  3

c =

• x 2 + 0,25 x = 0
• a = 1
• b = 0,25

c = 0

• x 2 + 0,25 x = 0
• x 2 − 8 = 0
• b = 0

c = -8

Ako riešiť kvadratické rovnice Na rozdiel od lineárne rovnice na riešenie kvadratických rovníc, špeciálna.

vzorec na hľadanie koreňov

Pamätajte!

• Na vyriešenie kvadratickej rovnice potrebujete: znížiť kvadratickú rovnicu na celkový vzhľad
• "ax 2 + bx + c = 0". To znamená, že na pravej strane by mala zostať iba „0“;

použite vzorec pre korene:

Pozrime sa na príklad, ako použiť vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice. Poďme vyriešiť kvadratickú rovnicu.

X 2 − 3x − 4 = 0 vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice.

Určme koeficienty „a“, „b“ a „c“ pre túto rovnicu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Môže sa použiť na riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice.

Vo vzorci „x 1;2 = “ sa radikálny výraz často nahrádza
„b 2 − 4ac“ pre písmeno „D“ a nazýva sa diskriminačný. Pojem diskriminant je podrobnejšie rozobraný v lekcii „Čo je diskriminant“.

Pozrime sa na ďalší príklad kvadratickej rovnice.

x 2 + 9 + x = 7x

V tejto forme je pomerne ťažké určiť koeficienty „a“, „b“ a „c“. Najprv zredukujme rovnicu na všeobecný tvar „ax 2 + bx + c = 0“.

X2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Teraz môžete použiť vzorec pre korene.

Xi;2=
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

6

2

x = 3
Odpoveď: x = 3

Sú chvíle, keď kvadratické rovnice nemajú korene. Táto situácia nastane, keď vzorec obsahuje pod koreňom záporné číslo.

Kvadratické rovnice. Všeobecné informácie.

IN kvadratická rovnica musí tam byť x ​​na druhú (preto sa to nazýva

"námestie") Okrem toho rovnica môže (alebo nemusí!) obsahovať jednoducho X (na prvú mocninu) a

len číslo (voľný člen). A nemali by existovať žiadne X s mocninou väčšou ako dva.

Algebraická rovnica všeobecného tvaru.

Kde X- voľná premenná, a, b, c— koeficienty a a≠0 .

Napríklad:

Výraz volal kvadratická trojčlenka.

Prvky kvadratickej rovnice majú svoje vlastné názvy:

nazývaný prvý alebo najvyšší koeficient,

· nazývaný druhý alebo koeficient pri ,

· nazývaný voľný člen.

Kompletná kvadratická rovnica.

Tieto kvadratické rovnice majú na ľavej strane úplnú sadu členov. X na druhú c

koeficient A, x na prvú mocninu s koeficientom b A zadarmo členoms. IN všetky koeficienty

sa musí líšiť od nuly.

Neúplné je kvadratická rovnica, v ktorej je aspoň jeden z koeficientov, okrem

vedúci člen (buď druhý koeficient alebo voľný člen) sa rovná nule.

Predstierajme to b= 0, - X na prvú mocninu zmizne. Ukazuje sa napríklad:

2x 2 -6x=0,

A tak ďalej. A ak oba koeficienty b A c sa rovnajú nule, potom je všetko ešte jednoduchšie, Napríklad:

2x 2 = 0,

Všimnite si, že x na druhú sa objavuje vo všetkých rovniciach.

Prečo? A nemôže sa rovnať nule? Potom x na druhú zmizne a rovnica sa zmení na lineárne .

A riešenie je úplne iné...