Ako riešiť kvadratické rovnice pomocou diskriminantu funkcie. Odvodenie vzorca pre korene kvadratickej rovnice. Metódy riešenia úplných kvadratických rovníc

IN moderná spoločnosť schopnosť vykonávať operácie s rovnicami obsahujúcimi druhú mocninu premennej môže byť užitočná v mnohých oblastiach činnosti a je široko používaná v praxi vo vedeckom a technickom rozvoji. Dôkazom toho môžu byť návrhy námorných a riečnych plavidiel, lietadiel a rakiet. Pomocou takýchto výpočtov sa určujú trajektórie pohybu širokej škály telies vrátane vesmírnych objektov. Príklady s riešením kvadratických rovníc sa využívajú nielen v ekonomických prognózach, pri projektovaní a výstavbe budov, ale aj v najbežnejších každodenných podmienkach. Môžu byť potrebné na peších výletoch, na športových podujatiach, v obchodoch pri nákupoch a v iných veľmi bežných situáciách.

Rozložme výraz na jednotlivé faktory

Stupeň rovnice je určený maximálnou hodnotou stupňa premennej, ktorú výraz obsahuje. Ak sa rovná 2, potom sa takáto rovnica nazýva kvadratická.

Ak hovoríme jazykom vzorcov, potom uvedené výrazy, bez ohľadu na to, ako vyzerajú, môžu byť vždy uvedené do podoby, keď ľavú stranu výrazu tvoria tri výrazy. Medzi nimi: ax 2 (to znamená premenná na druhú so svojím koeficientom), bx (neznáma bez druhej mocniny s koeficientom) a c (voľná zložka, teda obyčajné číslo). To všetko na pravej strane sa rovná 0. V prípade, že takémuto polynómu chýba jeden zo svojich členov, s výnimkou osi 2, nazýva sa neúplná kvadratická rovnica. Najprv by sa mali zvážiť príklady s riešením takýchto problémov, hodnoty premenných, v ktorých je ľahké nájsť.

Ak výraz vyzerá, že má na pravej strane dva členy, presnejšie ax 2 a bx, najjednoduchší spôsob, ako nájsť x, je dať premennú zo zátvoriek. Teraz bude naša rovnica vyzerať takto: x(ax+b). Ďalej je zrejmé, že buď x=0, alebo problém spočíva v nájdení premennej z nasledujúceho výrazu: ax+b=0. Je to dané jednou z vlastností násobenia. Pravidlo hovorí, že súčin dvoch faktorov má za následok 0 iba vtedy, ak je jeden z nich nula.

Príklad

x = 0 alebo 8x - 3 = 0

Výsledkom je, že dostaneme dva korene rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohto druhu môžu opísať pohyb telies pod vplyvom gravitácie, ktoré sa začali pohybovať od určitého bodu braného ako počiatok súradníc. Tu matematický zápis má nasledujúci tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Nahradením potrebných hodnôt, prirovnaním pravej strany k 0 a zistením možných neznámych môžete zistiť čas, ktorý uplynie od okamihu, keď sa telo zdvihne do okamihu, keď klesne, ako aj mnohé ďalšie veličiny. Ale o tom si povieme neskôr.

Faktorizácia výrazu

Vyššie popísané pravidlo umožňuje riešiť tieto problémy viac ťažké prípady. Pozrime sa na príklady riešenia kvadratických rovníc tohto typu.

X 2 - 33x + 200 = 0

Táto kvadratická trojčlenka je úplná. Najprv transformujme výraz a rozložme ho. Sú dva z nich: (x-8) a (x-25) = 0. V dôsledku toho máme dva korene 8 a 25.

Príklady s riešením kvadratických rovníc v 9. ročníku umožňujú touto metódou nájsť premennú vo výrazoch nielen druhého, ale dokonca aj tretieho a štvrtého rádu.

Napríklad: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri rozkladaní pravej strany na faktory s premennou sú tri z nich, teda (x+1), (x-3) a (x+ 3).

V dôsledku toho je zrejmé, že táto rovnica má tri korene: -3; -1; 3.

Odmocnina

Ďalším prípadom neúplnej rovnice druhého rádu je výraz reprezentovaný v reči písmen tak, že pravá strana je zostrojená zo zložiek ax 2 a c. Tu, aby sa získala hodnota premennej, sa voľný člen prenesie na pravú stranu a potom sa extrahuje z oboch strán rovnosti Odmocnina. Treba poznamenať, že v tomto prípade sú zvyčajne dva korene rovnice. Výnimkou môžu byť len rovnosti, ktoré vôbec neobsahujú člen s, kde sa premenná rovná nule, ako aj varianty výrazov, keď je pravá strana záporná. V druhom prípade neexistujú žiadne riešenia, pretože vyššie uvedené akcie nemožno vykonať s koreňmi. Mali by sa zvážiť príklady riešení kvadratických rovníc tohto typu.

V tomto prípade budú koreňmi rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet plochy pozemku

Potreba tohto druhu výpočtov sa objavila v staroveku, pretože vývoj matematiky v týchto vzdialených časoch bol do značnej miery určený potrebou určiť s najväčšou presnosťou plochy a obvody pozemkov.

Mali by sme tiež zvážiť príklady riešenia kvadratických rovníc založených na problémoch tohto druhu.

Povedzme teda, že ide o obdĺžnikový pozemok, ktorého dĺžka je o 16 metrov väčšia ako šírka. Dĺžku, šírku a obvod pozemku by ste mali zistiť, ak viete, že jeho plocha je 612 m2.

Ak chcete začať, najprv vytvorte potrebnú rovnicu. Označme x šírku oblasti, potom jej dĺžka bude (x+16). Z napísaného vyplýva, že oblasť je určená výrazom x(x+16), ktorý je podľa podmienok našej úlohy 612. To znamená, že x(x+16) = 612.

Riešenie úplných kvadratických rovníc a tento výraz je presne taký, sa nedá urobiť rovnakým spôsobom. prečo? Hoci ľavá strana stále obsahuje dva faktory, ich súčin sa vôbec nerovná 0, preto sa tu používajú rôzne metódy.

Diskriminačný

Najprv urobme potrebné transformácie vzhľad tohto výrazu bude vyzerať takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že sme dostali výraz vo forme zodpovedajúcej predtým špecifikovanej norme, kde a=1, b=16, c=-612.

Toto by mohol byť príklad riešenia kvadratických rovníc pomocou diskriminantu. Tu sa vykonávajú potrebné výpočty podľa schémy: D = b 2 - 4ac. Táto pomocná veličina nielenže umožňuje nájsť požadované veličiny v rovnici druhého rádu, ale určuje aj počet možných možností. Ak D>0, sú dve; pre D=0 je jeden koreň. V prípade D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreňoch a ich vzorci

V našom prípade je diskriminant rovný: 256 - 4(-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpoveď. Ak poznáte k, riešenie kvadratických rovníc musí pokračovať pomocou nižšie uvedeného vzorca. Umožňuje vám vypočítať korene.

To znamená, že v prezentovanom prípade: x 1 = 18, x 2 = -34. Druhá možnosť v tejto dileme nemôže byť riešením, pretože rozmery pozemku nie je možné merať v záporných veličinách, čo znamená, že x (čiže šírka pozemku) je 18 m, odtiaľ vypočítame dĺžku: 18 +16=34 a obvod 2(34+18)=104(m2).

Príklady a úlohy

Pokračujeme v štúdiu kvadratických rovníc. Príklady a podrobné riešenia niekoľkých z nich budú uvedené nižšie.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Presuňme všetko na ľavú stranu rovnosti, vykonajte transformáciu, to znamená, že dostaneme typ rovnice, ktorá sa zvyčajne nazýva štandardná, a prirovnáme ju k nule.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Sčítaním podobných určíme diskriminant: D = 49 - 48 = 1. To znamená, že naša rovnica bude mať dva korene. Vypočítajme ich podľa vyššie uvedeného vzorca, čo znamená, že prvý z nich sa bude rovnať 4/3 a druhý 1.

2) Teraz poďme riešiť záhady iného druhu.

Poďme zistiť, či sú tu nejaké korene x 2 - 4x + 5 = 1? Aby sme získali komplexnú odpoveď, zredukujme polynóm na zodpovedajúcu zvyčajnú formu a vypočítajme diskriminant. Vo vyššie uvedenom príklade nie je potrebné riešiť kvadratickú rovnicu, pretože to vôbec nie je podstata problému. V tomto prípade D = 16 - 20 = -4, čo znamená, že v skutočnosti neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Kvadratické rovnice Je vhodné riešiť pomocou vyššie uvedených vzorcov a diskriminantu, keď sa druhá odmocnina berie z hodnoty druhého. Ale nie vždy sa to stane. V tomto prípade však existuje veľa spôsobov, ako získať hodnoty premenných. Príklad: riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety. Je pomenovaná po tom, kto žil v 16. storočí vo Francúzsku a vďaka svojmu matematickému talentu a konexiám na dvore urobil skvelú kariéru. Jeho portrét si môžete pozrieť v článku.

Vzor, ktorý si slávny Francúz všimol, bol nasledovný. Dokázal, že korene rovnice sa numericky sčítavajú na -p=b/a a ich súčin zodpovedá q=c/a.

Teraz sa pozrime na konkrétne úlohy.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Pre jednoduchosť transformujme výraz:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Použime Vietovu vetu, to nám dá nasledovné: súčet koreňov je -7 a ich súčin je -18. Odtiaľto dostaneme, že korene rovnice sú čísla -9 a 2. Po kontrole sa presvedčíme, že tieto hodnoty premenných skutočne zapadajú do výrazu.

Parabolový graf a rovnica

Pojmy kvadratická funkcia a kvadratické rovnice spolu úzko súvisia. Príklady toho už boli uvedené skôr. Teraz sa pozrime na niektoré matematické hádanky trochu podrobnejšie. Každá rovnica opísaného typu môže byť znázornená vizuálne. Takýto vzťah, nakreslený ako graf, sa nazýva parabola. Jeho rôzne typy sú znázornené na obrázku nižšie.

Každá parabola má vrchol, teda bod, z ktorého vychádzajú jej vetvy. Ak a>0, idú vysoko do nekonečna a keď a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuálne reprezentácie funkcií pomáhajú riešiť akékoľvek rovnice, vrátane kvadratických. Táto metóda sa nazýva grafická. A hodnota premennej x je súradnica x v bodoch, kde sa čiara grafu pretína s 0x. Súradnice vrcholu sa dajú nájsť pomocou práve daného vzorca x 0 = -b/2a. A dosadením výslednej hodnoty do pôvodnej rovnice funkcie zistíte y 0, teda druhú súradnicu vrcholu paraboly, ktorá patrí k osi y.

Priesečník vetiev paraboly s osou x

Existuje veľa príkladov riešenia kvadratických rovníc, ale existujú aj všeobecné vzorce. Pozrime sa na ne. Je jasné, že priesečník grafu s osou 0x pre a>0 je možný len vtedy, ak 0 nadobúda záporné hodnoty. A pre a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z grafu paraboly môžete určiť aj korene. Platí to aj naopak. To znamená, že ak nie je ľahké získať vizuálnu reprezentáciu kvadratickej funkcie, môžete prirovnať pravú stranu výrazu k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu. A ak poznáme priesečníky s osou 0x, je jednoduchšie zostaviť graf.

Z histórie

Pomocou rovníc obsahujúcich druhú mocninu premennej za starých čias nielen matematicky počítali a určovali plochy geometrických útvarov. Starovekí potrebovali takéto výpočty na veľké objavy v oblasti fyziky a astronómie, ako aj na vytváranie astrologických predpovedí.

Ako naznačujú moderní vedci, obyvatelia Babylonu boli medzi prvými, ktorí riešili kvadratické rovnice. Stalo sa to štyri storočia pred naším letopočtom. Samozrejme, ich výpočty boli radikálne odlišné od tých, ktoré sú v súčasnosti akceptované a ukázali sa ako oveľa primitívnejšie. Mezopotámski matematici napríklad netušili o existencii záporných čísel. Nepoznali ani ďalšie jemnosti, ktoré pozná každý moderný školák.

Možno ešte skôr ako vedci z Babylonu začal mudrc z Indie Baudhayama riešiť kvadratické rovnice. Stalo sa to asi osem storočí pred Kristovým obdobím. Je pravda, že rovnice druhého rádu, metódy riešenia, ktoré dal, boli najjednoduchšie. Okrem neho sa o podobné otázky za starých čias zaujímali aj čínski matematici. V Európe sa kvadratické rovnice začali riešiť až začiatkom 13. storočia, no neskôr ich vo svojich prácach začali používať takí veľkí vedci ako Newton, Descartes a mnohí ďalší.

Dúfam, že po preštudovaní tohto článku sa naučíte, ako nájsť korene úplnej kvadratickej rovnice.

Pomocou diskriminantu sa riešia len úplné kvadratické rovnice, na riešenie neúplných kvadratických rovníc sa používajú iné metódy, ktoré nájdete v článku „Riešenie neúplných kvadratických rovníc“.

Ktoré kvadratické rovnice sa nazývajú úplné? Toto rovnice tvaru ax 2 + b x + c = 0, kde koeficienty a, b a c sa nerovnajú nule. Aby sme teda vyriešili úplnú kvadratickú rovnicu, musíme vypočítať diskriminant D.

D = b 2 – 4ac.

Podľa hodnoty diskriminantu zapíšeme odpoveď.

Ak je diskriminant záporné číslo (D< 0),то корней нет.

Ak je diskriminant nula, potom x = (-b)/2a. Ak je diskriminant kladné číslo (D > 0),

potom x 1 = (-b - √D)/2a a x 2 = (-b + √D)/2a.

Napríklad. Vyriešte rovnicu x 2– 4x + 4 = 0.

D = 4 2 – 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

odpoveď: 2.

Vyriešte rovnicu 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Odpoveď: žiadne korene.

Vyriešte rovnicu 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 – √81)/(2 2)= (-5 – 9)/4= – 3,5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Odpoveď: – 3,5; 1.

Predstavme si teda riešenie úplných kvadratických rovníc pomocou diagramu na obrázku 1.

Pomocou týchto vzorcov môžete vyriešiť akúkoľvek úplnú kvadratickú rovnicu. Len si treba dávať pozor rovnica bola napísaná ako polynóm štandardného tvaru

A x 2 + bx + c, inak sa môžete pomýliť. Napríklad pri písaní rovnice x + 3 + 2x 2 = 0 sa môžete mylne rozhodnúť, že

a = 1, b = 3 a c = 2. Potom

D = 3 2 – 4 1 2 = 1 a potom má rovnica dva korene. A to nie je pravda. (Pozri riešenie príkladu 2 vyššie).

Ak teda rovnica nie je napísaná ako polynóm štandardného tvaru, musí sa najprv úplná kvadratická rovnica napísať ako polynóm štandardného tvaru (prvý by mal byť monomál s najväčším exponentom, tj. A x 2 , potom s menej – bx a potom voľný člen s.

Pri riešení redukovanej kvadratickej rovnice a kvadratickej rovnice s párnym koeficientom v druhom člene môžete použiť iné vzorce. Zoznámime sa s týmito vzorcami. Ak v úplnej kvadratickej rovnici má druhý člen párny koeficient (b = 2k), potom môžete rovnicu vyriešiť pomocou vzorcov znázornených v diagrame na obrázku 2.

Úplná kvadratická rovnica sa nazýva redukovaná, ak koeficient pri x 2 rovný jednej a rovnica bude mať tvar x 2 + px + q = 0. Takáto rovnica môže byť uvedená na riešenie, alebo môže byť získaná vydelením všetkých koeficientov rovnice koeficientom A, stojaci pri x 2 .

Obrázok 3 ukazuje schému riešenia zmenšeného štvorca
rovníc. Pozrime sa na príklad použitia vzorcov, o ktorých sa hovorí v tomto článku.

Príklad. Vyriešte rovnicu

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Vyriešme túto rovnicu pomocou vzorcov znázornených v diagrame na obrázku 1.

D = 6 2 – 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 – 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3

Môžete si všimnúť, že koeficient x v tejto rovnici je párne číslo, to znamená b = 6 alebo b = 2k, odkiaľ k = 3. Potom skúsme rovnicu vyriešiť pomocou vzorcov znázornených v diagrame na obrázku D 1 = 3 2 – 3 (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 – 3√3)/3 = (3 (-1 – √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3. Keď si všimneme, že všetky koeficienty v tejto kvadratickej rovnici sú deliteľné 3 a vykonáme delenie, dostaneme redukovanú kvadratickú rovnicu x 2 + 2x – 2 = 0 Vyriešte túto rovnicu pomocou vzorcov pre redukovanú kvadratickú rovnicu
rovnice obrázok 3.

D 2 = 2 2 – 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 – 2√3)/2 = (2 (-1 – √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Odpoveď: –1 – √3; –1 + √3.

Ako vidíte, pri riešení tejto rovnice pomocou rôznych vzorcov sme dostali rovnakú odpoveď. Preto po dôkladnom zvládnutí vzorcov zobrazených v diagrame na obrázku 1 budete vždy schopní vyriešiť akúkoľvek úplnú kvadratickú rovnicu.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Kvadratické rovnice sa často objavujú pri riešení rôznych problémov vo fyzike a matematike. V tomto článku sa pozrieme na to, ako riešiť tieto rovnosti univerzálnym spôsobom „cez diskriminant“. V článku sú uvedené aj príklady využitia získaných vedomostí.

O akých rovniciach sa budeme baviť?

Obrázok nižšie ukazuje vzorec, v ktorom x je neznáma premenná a latinské symboly a, b, c predstavujú niektoré známe čísla.

Každý z týchto symbolov sa nazýva koeficient. Ako vidíte, pred premennou x na druhú sa objaví číslo "a". Toto je maximálna mocnina reprezentovaného výrazu, preto sa nazýva kvadratická rovnica. Často sa používa jej iný názov: rovnica druhého rádu. Samotná hodnota a je štvorcový koeficient (pri premennej na druhú), b je lineárny koeficient (je vedľa premennej umocnený na prvú mocninu) a napokon číslo c je voľný člen.

Všimnite si, že typ rovnice zobrazený na obrázku vyššie je všeobecný klasický kvadratický výraz. Okrem toho existujú ďalšie rovnice druhého rádu, v ktorých koeficienty b a c môžu byť nulové.

Keď je úloha nastavená na riešenie danej rovnosti, znamená to, že je potrebné nájsť také hodnoty premennej x, ktoré by ju uspokojili. Prvá vec, ktorú si tu musíte zapamätať, je ďalšia vec: Keďže maximálna mocnina X je 2, tento typ výrazu nemôže mať viac ako 2 riešenia. To znamená, že ak sa pri riešení rovnice našli 2 hodnoty x, ktoré ju spĺňajú, potom si môžete byť istí, že neexistuje žiadne 3. číslo, ktoré by ho nahradilo x, rovnosť by tiež platila. Riešenia rovnice v matematike sa nazývajú jej korene.

Metódy riešenia rovníc druhého rádu

Riešenie rovníc tohto typu si vyžaduje znalosť určitej teórie o nich. V kurze školskej algebry sa berú do úvahy 4 rôzne metódy riešenia. Poďme si ich vymenovať:

• pomocou faktorizácie;
• použitie vzorca pre dokonalý štvorec;
• aplikáciou grafu zodpovedajúcej kvadratickej funkcie;
• pomocou diskriminačnej rovnice.

Výhodou prvej metódy je jej jednoduchosť, nemožno ju však použiť pre všetky rovnice. Druhá metóda je univerzálna, ale trochu ťažkopádna. Tretia metóda sa vyznačuje svojou jasnosťou, ale nie je vždy vhodná a použiteľná. A nakoniec, použitie diskriminačnej rovnice je univerzálny a pomerne jednoduchý spôsob, ako nájsť korene absolútne akejkoľvek rovnice druhého rádu. Preto v tomto článku zvážime iba to.

Vzorec na získanie koreňov rovnice

Obráťme sa na celkový vzhľad kvadratická rovnica. Zapíšme si to: a*x²+ b*x + c =0. Skôr ako použijete metódu riešenia „prostredníctvom diskriminátora“, vždy by ste mali rovnosť preniesť do jej písomnej podoby. To znamená, že musí pozostávať z troch členov (alebo menej, ak b alebo c je 0).

Napríklad, ak existuje výraz: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², potom by ste mali najskôr presunúť všetky jeho členy na jednu stranu rovnosti a pridať členy obsahujúce premennú x do rovnaké právomoci.

V tomto prípade táto operácia povedie k nasledujúcemu výrazu: -6*x²-4*x+8=0, čo je ekvivalentné rovnici 6*x²+4*x-8=0 (tu sme vynásobili ľavé a pravé strany rovnosti o -1) .

Vo vyššie uvedenom príklade a = 6, b = 4, c = -8. Všimnite si, že všetky zvažované podmienky rovnosti sú vždy sčítané, takže ak sa objaví znamienko „-“, znamená to, že zodpovedajúci koeficient je záporný, ako v tomto prípade číslo c.

Po preskúmaní tohto bodu prejdime teraz k samotnému vzorcu, ktorý umožňuje získať korene kvadratickej rovnice. Vyzerá to ako na obrázku nižšie.

Ako je zrejmé z tohto výrazu, umožňuje vám získať dva korene (dávajte pozor na znamienko „±“). Na to stačí dosadiť do nej koeficienty b, c a a.

Pojem diskriminant

V predchádzajúcom odseku bol uvedený vzorec, ktorý vám umožní rýchlo vyriešiť akúkoľvek rovnicu druhého rádu. V ňom sa radikálny výraz nazýva diskriminant, to znamená D = b²-4*a*c.

Prečo je táto časť vzorca zvýraznená a prečo má dokonca svoj vlastný názov? Faktom je, že diskriminant spája všetky tri koeficienty rovnice do jedného výrazu. Posledná skutočnosť znamená, že úplne nesie informácie o koreňoch, ktoré možno vyjadriť v nasledujúcom zozname:

1. D>0: Rovnosť má 2 rôzne riešenia, pričom obe sú reálne čísla.
2. D=0: Rovnica má iba jeden koreň a je to reálne číslo.

Úloha diskriminačného rozhodovania

Uveďme si jednoduchý príklad, ako nájsť diskriminant. Nech je daná nasledujúca rovnosť: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.

Uvedieme to do štandardného tvaru, dostaneme: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, z čoho sa dostaneme k rovnosti : -2*x² +2*x-11 = 0. Tu a=-2, b=2, c=-11.

Teraz môžete použiť vyššie uvedený vzorec pre diskriminant: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Výsledné číslo je odpoveďou na úlohu. Keďže diskriminant v príklade je menší ako nula, môžeme povedať, že táto kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene. Jeho riešením budú iba čísla komplexného typu.

Príklad nerovnosti prostredníctvom diskriminátora

Riešime úlohy trochu iného typu: pri rovnosti -3*x²-6*x+c = 0. Je potrebné nájsť hodnoty c, pre ktoré D>0.

V tomto prípade sú známe len 2 z 3 koeficientov, takže nie je možné vypočítať presnú hodnotu diskriminantu, ale je známe, že je kladná. Pri skladaní nerovnosti využijeme posledný fakt: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Riešenie výslednej nerovnosti vedie k výsledku: c>-3.

Skontrolujeme výsledné číslo. Aby sme to urobili, vypočítame D pre 2 prípady: c=-2 a c=-4. Číslo -2 vyhovuje získanému výsledku (-2>-3), príslušný diskriminant bude mať hodnotu: D = 12>0. Na druhej strane, číslo -4 nespĺňa nerovnosť (-4. Teda všetky čísla c, ktoré sú väčšie ako -3 budú spĺňať podmienku.

Príklad riešenia rovnice

Predstavme si problém, ktorý zahŕňa nielen hľadanie diskriminantu, ale aj riešenie rovnice. Je potrebné nájsť korene pre rovnosť -2*x²+7-9*x = 0.

V tomto príklade sa diskriminant rovná nasledujúcej hodnote: D = 81-4*(-2)*7= 137. Potom sa korene rovnice určia takto: x = (9±√137)/(- 4). Toto presné hodnoty korene, ak vypočítate koreň približne, dostanete čísla: x = -5,176 a x = 0,676.

Geometrický problém

Poďme vyriešiť problém, ktorý si bude vyžadovať nielen schopnosť vypočítať diskriminant, ale aj využitie schopností abstraktného myslenia a znalosti písania kvadratických rovníc.

Bob mal perinu 5 x 4 metre. Chlapec k nej chcel po celom obvode prišiť súvislý pás krásnej látky. Aký hrubý bude tento pás, ak vieme, že Bob má 10 m² látky.

Nech má prúžok hrúbku x m, potom bude plocha látky pozdĺž dlhej strany prikrývky (5+2*x)*x, a keďže existujú 2 dlhé strany, máme: 2*x *(5+2*x). Na krátkej strane bude plocha šitej látky 4*x, keďže sú tieto strany 2, dostaneme hodnotu 8*x. Všimnite si, že na dlhej strane bolo pridané 2*x, pretože dĺžka prikrývky sa o toto číslo zväčšila. Celková plocha látky prišitej k deke je 10 m². Preto dostaneme rovnosť: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.

V tomto príklade sa diskriminant rovná: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Jeho koreň je 22. Pomocou vzorca nájdeme požadované korene: x = (-18±22)/( 2 x 4) = (- 5; 0,5). Je zrejmé, že z dvoch koreňov je podľa podmienok problému vhodné iba číslo 0,5.

Teda prúžok látky, ktorý Bob prišije na svoju deku, bude široký 50 cm.

Problémy kvadratických rovníc sa študujú v školských osnovách aj na univerzitách. Znamenajú rovnice tvaru a*x^2 + b*x + c = 0, kde X- premenná, a,b,c – konštanty; a<>0 Úlohou je nájsť korene rovnice.

Geometrický význam kvadratickej rovnice

Graf funkcie, ktorá je reprezentovaná kvadratickou rovnicou, je parabola. Riešeniami (koreňmi) kvadratickej rovnice sú priesečníky paraboly s osou x. Z toho vyplýva, že existujú tri možné prípady:
1) parabola nemá žiadne priesečníky s osou x. To znamená, že je v hornej rovine s konármi hore alebo dole s konármi dole. V takýchto prípadoch kvadratická rovnica nemá skutočné korene (má dva komplexné korene).

2) parabola má jeden priesečník s osou Ox. Takýto bod sa nazýva vrchol paraboly a kvadratická rovnica v ňom nadobúda svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu. V tomto prípade má kvadratická rovnica jeden reálny koreň (alebo dva rovnaké korene).

3) Posledný prípad je v praxi zaujímavejší - existujú dva body priesečníka paraboly s osou x. To znamená, že existujú dva skutočné korene rovnice.

Na základe analýzy koeficientov mocnin premenných možno vyvodiť zaujímavé závery o umiestnení paraboly.

1) Ak je koeficient a väčší ako nula, potom vetvy paraboly smerujú nahor, ak je záporný, vetvy paraboly smerujú nadol.

2) Ak je koeficient b väčší ako nula, tak vrchol paraboly leží v ľavej polrovine, ak má zápornú hodnotu, tak v pravej.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice

Prenesme konštantu z kvadratickej rovnice

pre znamienko rovnosti dostaneme výraz

Vynásobte obe strany číslom 4a

Ak chcete získať úplný štvorec vľavo, pridajte b^2 na obe strany a vykonajte transformáciu

Odtiaľto nájdeme

Vzorec pre diskriminant a korene kvadratickej rovnice

Diskriminant je hodnota radikálneho výrazu, ak je kladný, potom má rovnica dva reálne korene, vypočítané podľa vzorca Keď je diskriminant nula, kvadratická rovnica má jedno riešenie (dva zhodné korene), ktoré možno ľahko získať z vyššie uvedeného vzorca pre D=0, keď je diskriminant záporný, rovnica nemá žiadne skutočné korene. Riešenia kvadratickej rovnice sa však nachádzajú v komplexnej rovine a ich hodnota sa vypočíta pomocou vzorca

Vietov teorém

Uvažujme dva korene kvadratickej rovnice a na ich základe zostrojme kvadratickú rovnicu samotná Vietova veta ľahko vyplýva zo zápisu: ak máme kvadratickú rovnicu tvaru potom sa súčet jej koreňov rovná koeficientu p s opačným znamienkom a súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu q. Vzorová reprezentácia vyššie uvedeného bude vyzerať takto: Ak v klasickej rovnici je konštanta a nenulová, musíte ňou rozdeliť celú rovnicu a potom použiť Vietovu vetu.

Rozvrh faktoringových kvadratických rovníc

Nech je úloha stanovená: vynásobte kvadratickú rovnicu. Aby sme to urobili, najprv vyriešime rovnicu (nájdime korene). Ďalej dosadíme nájdené korene do expanzného vzorca pre kvadratickú rovnicu. Tým sa problém vyrieši.

Úlohy kvadratických rovníc

Úloha 1. Nájdite korene kvadratickej rovnice

x^2-26x+120=0.

Riešenie: Zapíšte si koeficienty a dosaďte ich do diskriminačného vzorca

Odmocnina tejto hodnoty je 14, je ľahké ju nájsť pomocou kalkulačky alebo si ju zapamätať pri častom používaní, avšak pre pohodlie vám na konci článku uvediem zoznam druhých mocnín čísel, s ktorými sa môžete často stretnúť v takéto problémy.
Nájdenú hodnotu dosadíme do koreňového vzorca

a dostaneme

Úloha 2. Vyriešte rovnicu

2x 2 +x-3=0.

Riešenie: Máme kompletnú kvadratickú rovnicu, vypíšte koeficienty a nájdite diskriminant


Pomocou známych vzorcov nájdeme korene kvadratickej rovnice

Úloha 3. Vyriešte rovnicu

9x 2 -12x+4=0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu. Určenie diskriminantu

Máme prípad, keď sa korene zhodujú. Nájdite hodnoty koreňov pomocou vzorca

Úloha 4. Vyriešte rovnicu

x^2+x-6=0.

Riešenie: V prípadoch, keď sú pre x malé koeficienty, je vhodné použiť Vietovu vetu. Jeho podmienkou získame dve rovnice

Z druhej podmienky zistíme, že súčin sa musí rovnať -6. To znamená, že jeden z koreňov je negatívny. Máme nasledujúcu dvojicu možných riešení (-3;2), (3;-2) . Berúc do úvahy prvú podmienku, zamietame druhú dvojicu riešení.
Korene rovnice sú rovnaké

Úloha 5. Nájdite dĺžky strán obdĺžnika, ak jeho obvod je 18 cm a jeho plocha je 77 cm 2.

Riešenie: Polovica obvodu obdĺžnika sa rovná súčtu jeho priľahlých strán. Označme x ako väčšiu stranu, potom 18-x je jej menšia strana. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu týchto dĺžok:
x(18-x)=77;
alebo
x 2 -18x+77=0.
Poďme nájsť diskriminant rovnice

Výpočet koreňov rovnice

Ak x=11, To 18 = 7, platí to aj naopak (ak x=7, potom 21=9).

Úloha 6. Vynásobte kvadratickú rovnicu 10x 2 -11x+3=0.

Riešenie: Vypočítajme korene rovnice, na to nájdeme diskriminant

Nájdenú hodnotu dosadíme do koreňového vzorca a vypočítame

Aplikujeme vzorec na rozklad kvadratickej rovnice podľa koreňov

Otvorením zátvoriek získame identitu.

Kvadratická rovnica s parametrom

Príklad 1. Pri akých hodnotách parametrov A , má rovnica (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 jeden koreň?

Riešenie: Priamym dosadením hodnoty a=3 vidíme, že nemá riešenie. Ďalej využijeme fakt, že s nulovým diskriminantom má rovnica jeden koreň násobnosti 2. Vypíšme diskriminant

Zjednodušme si to a prirovnajme to k nule

Získali sme kvadratickú rovnicu vzhľadom na parameter a, ktorej riešenie možno ľahko získať pomocou Vietovej vety. Súčet koreňov je 7 a ich súčin je 12. Jednoduchým hľadaním zistíme, že čísla 3,4 budú koreňmi rovnice. Keďže sme už na začiatku výpočtov zamietli riešenie a=3, jediné správne bude - a=4. Takže keď a=4 rovnica má jeden koreň.

Príklad 2. Pri akých hodnotách parametrov A , rovnica a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 má viac ako jeden koreň?

Riešenie: Najprv zvážime singulárne body, budú to hodnoty a=0 a a=-3. Keď a=0, rovnica sa zjednoduší na tvar 6x-9=0; x=3/2 a bude tam jeden koreň. Pre a= -3 získame identitu 0=0.
Vypočítajme diskriminant

a nájdite hodnotu a, pri ktorej je kladné

Z prvej podmienky dostaneme a>3. Pre druhú nájdeme diskriminant a korene rovnice


Určme intervaly, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty. Dosadením bodu a=0 dostaneme 3>0 . Takže mimo intervalu (-3;1/3) je funkcia záporná. Nezabudni na pointu a=0, ktorý by mal byť vylúčený, pretože pôvodná rovnica má v sebe jeden koreň.
Výsledkom je, že dostaneme dva intervaly, ktoré spĺňajú podmienky úlohy

Podobných úloh bude v praxi veľa, skúste si úlohy vyrátať sami a nezabudnite brať do úvahy podmienky, ktoré sa navzájom vylučujú. Dobre si preštudujte vzorce na riešenie kvadratických rovníc, ktoré sú často potrebné pri výpočtoch v rôznych problémoch a vedách.