Pri riešení sústavy lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy postupujeme nasledujúcim spôsobom:

1) vyjadriť jednu premennú cez druhú v jednej z rovníc systému (x cez y alebo y cez x);

2) výsledný výraz dosadíme do inej rovnice sústavy a získame lineárnu rovnicu s jednou premennou;

3) vyriešte výslednú lineárnu rovnicu s jednou premennou a nájdite hodnotu tejto premennej;

4) nájdenú hodnotu premennej dosadíme do výrazu (1) za inú premennú a nájdeme hodnotu tejto premennej.

Príklady. Vyriešte sústavu lineárnych rovníc pomocou substitučnej metódy.

Vyjadrime sa X cez y z 1. rovnice. Dostaneme: x=7+y. Namiesto toho dosadíme výraz (7+y). X do 2. rovnice sústavy.

Dostali sme rovnicu: 3 · (7+y)+2y=16. Toto je rovnica s jednou premennou pri. Poďme to vyriešiť. Otvoríme zátvorky: 21+3y+2y=16. Zber výrazov s premennou pri na ľavej strane a voľné termíny na pravej strane. Pri prenášaní termínu z jednej strany rovnosti na druhú zmeníme znamienko termínu na opačné.

Dostaneme: 3r+2y=16-21. V každej časti rovnosti uvádzame podobné pojmy. 5r = -5. Obe strany rovnosti vydelíme koeficientom premennej. y = -5:5; y = -1. Nahraďte túto hodnotu pri do výrazu x=7+y a nájdite X. Dostaneme: x=7-1; x=6. Dvojica premenných hodnôt x=6 a y=-1 je riešením tohto systému.

Zapíšte si: (6; -1). Odpoveď: (6; -1). Je vhodné napísať tieto argumenty tak, ako je uvedené nižšie, t.j. sústavy rovníc - vľavo pod sebou. Vpravo sú výpočty, potrebné vysvetlivky, overenie riešenia atď.

Používanie rovníc je v našich životoch veľmi rozšírené. Používajú sa pri mnohých výpočtoch, stavbe konštrukcií a dokonca aj v športe. Človek používal rovnice v staroveku a odvtedy sa ich používanie len zvyšuje. Substitučná metóda umožňuje jednoducho riešiť sústavy lineárnych rovníc ľubovoľnej zložitosti. Podstatou metódy je, že pomocou prvého výrazu systému vyjadríme „y“ a výsledný výraz potom dosadíme do druhej rovnice systému namiesto „y“. Keďže rovnica už neobsahuje dve neznáme, ale iba jednu, môžeme ľahko nájsť hodnotu tejto premennej a potom ju použiť na určenie hodnoty druhej.

Predpokladajme, že máme systém lineárnych rovníc nasledujúceho tvaru:

\[\vľavo\(\začiatok(matica) 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Vyjadrime \

\[\vľavo\(\začiatok(matica) 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Výsledný výraz dosadíme do rovnice 2:

\[\vľavo\(\začiatok(matica) y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \koniec(matica)\vpravo.\]

Poďme nájsť hodnotu \

Zjednodušme a vyriešime rovnicu otvorením zátvoriek a zohľadňme pravidlá na prenos výrazov:

Teraz poznáme hodnotu \ Použime to na nájdenie hodnoty \

Odpoveď: \[(4;2).\]

Kde môžem vyriešiť systém rovníc online pomocou substitučnej metódy?

Systém rovníc môžete vyriešiť na našej webovej stránke. Bezplatný online riešiteľ vám umožní vyriešiť online rovnice akejkoľvek zložitosti v priebehu niekoľkých sekúnd. Všetko, čo musíte urobiť, je jednoducho zadať svoje údaje do riešiteľa. Ako vyriešiť rovnicu nájdete aj na našej webovej stránke. A ak máte stále otázky, môžete sa ich opýtať v našej skupine VKontakte.

Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy a metódy sčítania.

Program dáva nielen odpoveď na problém, ale poskytuje aj podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a metódou sčítania.

Tento program môže byť užitočný pre študentov stredných škôl stredné školy v príprave na testy a skúšky, pri preverovaní vedomostí pred Jednotnou štátnou skúškou, aby rodičia ovládali riešenie mnohých problémov z matematiky a algebry. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať si tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo to len chcete mať čo najrýchlejšie hotové? domáca úloha

v matematike alebo algebre? V tomto prípade môžete využiť aj naše programy s podrobnými riešeniami.

Môžete tak viesť vlastný výcvik a/alebo výcvik svojich mladších bratov či sestier, pričom sa zvyšuje úroveň vzdelania v oblasti riešenia problémov.

Pravidlá pre zadávanie rovníc
Akékoľvek latinské písmeno môže fungovať ako premenná.

Napríklad: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) atď. Pri zadávaní rovníc môžete použiť zátvorky
. V tomto prípade sa rovnice najskôr zjednodušia.

Rovnice po zjednodušeniach musia byť lineárne, t.j. tvaru ax+by+c=0 s presnosťou poradia prvkov. Napríklad: 6x+1 = 5(x+y)+2 V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj

zlomkové čísla
vo forme desatinných miest a obyčajných zlomkov.
Napríklad: 2,1n + 3,5m = 55

Pravidlá pre zadávanie obyčajných zlomkov.
Len celé číslo môže fungovať ako čitateľ, menovateľ a celá časť zlomku.
Menovateľ nemôže byť záporný.
Pri zadávaní číselného zlomku sa čitateľ oddelí od menovateľa deliacim znamienkom: /
Celá časť je oddelená od zlomku znakom ampersand: &

Príklady.
-1&2/3r + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7 (3,5p - 2&1/8q)

Riešiť sústavu rovníc

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému neboli načítané a program nemusí fungovať.
Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ho vypnite a obnovte stránku.

JavaScript je vo vašom prehliadači zakázaný.
Aby sa riešenie objavilo, musíte povoliť JavaScript.
Tu je návod, ako povoliť JavaScript vo vašom prehliadači.

Pretože Existuje veľa ľudí ochotných vyriešiť problém, vaša požiadavka bola zaradená do frontu.
O niekoľko sekúnd sa nižšie zobrazí riešenie.
Prosím čakajte sek...

Ak ty si všimol chybu v riešení, potom o tom môžete napísať vo formulári spätnej väzby.
Nezabudni uveďte akú úlohu ty sa rozhodneš čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trochu teórie.

Riešenie sústav lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc pomocou substitučnej metódy:
1) vyjadriť jednu premennú z niektorej rovnice systému z hľadiska inej;
2) nahradiť výsledný výraz do inej rovnice systému namiesto tejto premennej;

$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Vyjadrime y pomocou x z prvej rovnice: y = 7-3x. Dosadením výrazu 7-3x do druhej rovnice namiesto y dostaneme systém:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \koniec(pole) \vpravo. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Poďme vyriešiť túto rovnicu:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Šípka doprava -5x+14-6x=3 \Šípka doprava -11x=-11 \Šípka doprava x=1 $$

Dosadením čísla 1 namiesto x do rovnosti y=7-3x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Šípka doprava y=4 $$

Dvojica (1;4) - riešenie sústavy

Nazývame sústavy rovníc v dvoch premenných, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalent. Za ekvivalentné sa považujú aj systémy, ktoré nemajú riešenia.

Riešenie sústav lineárnych rovníc sčítaním

Uvažujme o ďalšom spôsobe riešenia systémov lineárnych rovníc - metóde sčítania. Pri takomto riešení sústav, ako aj pri riešení substitúciou prechádzame z tejto sústavy do inej, ekvivalentnej sústavy, v ktorej jedna z rovníc obsahuje len jednu premennú.

Postupnosť akcií pri riešení systému lineárnych rovníc pomocou metódy sčítania:
1) vynásobte rovnice systémového člena členmi, pričom vyberte faktory tak, aby sa koeficienty jednej z premenných stali opačnými číslami;
2) pridajte ľavú a pravú stranu systémových rovníc po členoch;
3) vyriešiť výslednú rovnicu s jednou premennou;
4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Poďme vyriešiť sústavu rovníc:
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním ľavej a pravej strany rovníc po členoch dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x=33. Jednu z rovníc sústavy, napríklad prvú, nahraďme rovnicou 3x=33. Zoberme si systém
$$ \vľavo\( \začiatok(pole)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \koniec(pole) \vpravo. $$

Z rovnice 3x=33 zistíme, že x=11. Dosadením tejto hodnoty x do rovnice \(x-3y=38\) dostaneme rovnicu s premennou y: \(11-3y=38\). Poďme vyriešiť túto rovnicu:
\(-3y=27 \šípka doprava y=-9 \)

Tak sme našli riešenie sústavy rovníc sčítaním: \(x=11; y=-9\) alebo \((11;-9)\)

Využijúc fakt, že v rovniciach sústavy sú koeficienty y opačné čísla, zredukovali sme jej riešenie na riešenie ekvivalentnej sústavy (sčítaním oboch strán každej z rovníc pôvodnej sústavy), v ktorej jedna rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Knihy (učebnice) Abstrakty Jednotnej štátnej skúšky a Jednotnej štátnej skúšky testy online Hry, hádanky Kreslenie grafov funkcií Pravopisný slovník ruského jazyka Slovník slangu mládeže Katalóg ruských škôl Katalóg stredných vzdelávacích inštitúcií Ruska Katalóg ruských univerzít Zoznam úloh

Riešenie sústav rovníc substitučnou metódou

Pripomeňme si, čo je to sústava rovníc.

Systém dvoch rovníc s dvoma premennými sú dve rovnice napísané pod sebou, spojené zloženou zátvorkou. Riešiť sústavu znamená nájsť pár čísel, ktoré vyriešia prvú aj druhú rovnicu súčasne.

V tejto lekcii sa zoznámime s takou metódou riešenia systémov, ako je substitučná metóda.

Pozrime sa na sústavu rovníc:

Tento systém môžete vyriešiť graficky. Aby sme to dosiahli, budeme musieť zostaviť grafy každej z rovníc v jednom súradnicovom systéme a transformovať ich do tvaru:

Potom nájdite súradnice priesečníka grafov, ktoré budú riešením systému. Ale grafická metóda nie je vždy vhodná, pretože sa líši nízkou presnosťou, či dokonca neprístupnosťou. Skúsme sa bližšie pozrieť na náš systém. Teraz to vyzerá takto:

Môžete si všimnúť, že ľavé strany rovníc sú rovnaké, čo znamená, že aj pravé strany musia byť rovnaké. Potom dostaneme rovnicu:

Toto je známa rovnica s jednou premennou, ktorú vieme vyriešiť. Presuňme neznáme pojmy na ľavú stranu a známe na pravú, pričom pri prenose nezabudnime zmeniť znamienka + a -. Dostaneme:

Teraz dosadíme nájdenú hodnotu x do ľubovoľnej rovnice systému a nájdeme hodnotu y. V našom systéme je vhodnejšie použiť druhú rovnicu y = 3 - x po dosadení dostaneme y = 2. Teraz analyzujme vykonanú prácu. Najprv sme v prvej rovnici vyjadrili premennú y pomocou premennej x. Výsledný výraz - 2x + 4 sme potom dosadili do druhej rovnice namiesto premennej y. Potom sme výslednú rovnicu vyriešili s jednou premennou x a našli jej hodnotu. A nakoniec sme zistenú hodnotu x použili na nájdenie ďalšej premennej y. Tu vyvstáva otázka: bolo potrebné vyjadriť premennú y z oboch rovníc naraz? Samozrejme, že nie. Mohli by sme vyjadriť jednu premennú v termínoch inej iba v jednej rovnici systému a použiť ju namiesto zodpovedajúcej premennej v druhej. Okrem toho môžete vyjadriť akúkoľvek premennú z akejkoľvek rovnice. Tu výber závisí výlučne od pohodlia účtu. Matematici tento postup nazvali algoritmom na riešenie sústav dvoch rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy.

1. Vyjadrite jednu z premenných pomocou inej v jednej z rovníc sústavy.

2.Výsledný výraz namiesto zodpovedajúcej premennej dosaďte do inej rovnice sústavy.

3.Výslednú rovnicu riešte s jednou premennou.

4. Do výrazu získaného v prvom kroku dosaďte zistenú hodnotu premennej a nájdite hodnotu inej premennej.

5.Napíšte odpoveď vo forme dvojice čísel, ktoré sa našli v treťom a štvrtom kroku.

Pozrime sa na ďalší príklad. Vyriešte sústavu rovníc:

Tu je vhodnejšie vyjadriť premennú y z prvej rovnice. Dostaneme y = 8 - 2x. Výsledný výraz musí byť dosadený za y v druhej rovnici. Dostaneme:

Napíšme túto rovnicu samostatne a vyriešme ju. Najprv otvoríme zátvorky. Dostaneme rovnicu 3x - 16 + 4x = 5. Zozbierajme neznáme členy na ľavej strane rovnice a známe na pravej strane a predstavme podobné členy. Dostaneme rovnicu 7x = 21, teda x = 3.

Teraz pomocou nájdenej hodnoty x môžete nájsť:

Odpoveď: dvojica čísel (3; 2).

V tejto lekcii sme sa teda naučili riešiť sústavy rovníc s dvoma neznámymi analytickým a presným spôsobom bez toho, aby sme sa uchyľovali k pochybným grafickým metódam.

Zoznam použitej literatúry:

1. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník v 2 častiach, 1. časť, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie/ A.G. Mordkovič. – 10. vydanie, revidované – Moskva, „Mnemosyne“, 2007.
2. Mordkovich A.G., Algebra 7. ročník v 2 častiach, 2. časť, Problémová kniha pre vzdelávacie inštitúcie / [A.G. Mordkovich a ďalší]; upravil A.G. Mordkovich - 10. vydanie, revidované - Moskva, „Mnemosyne“, 2007.
3. JA. Tulchinskaya, Algebra 7. ročník. Bleskový prieskum: príručka pre študentov inštitúcií všeobecného vzdelávania, 4. vydanie, revidované a rozšírené, Moskva, Mnemosyne, 2008.
4. Alexandrova L.A., Algebra 7. ročník. Tematické testové práce v novej podobe pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií v redakcii A.G. Mordkovich, Moskva, „Mnemosyne“, 2011.
5. Alexandrova L.A. Algebra 7. ročník. Samostatné práce pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií v redakcii A.G. Mordkovich - 6. vydanie, stereotypné, Moskva, „Mnemosyne“, 2010.

1. Substitučná metóda: z ľubovoľnej rovnice sústavy vyjadríme jednu neznámu cez druhú a dosadíme ju do druhej rovnice sústavy.

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie. Z prvej rovnice sústavy vyjadrujeme pri cez X a dosaďte ho do druhej rovnice sústavy. Zoberme si systém ekvivalentný pôvodnému.

Po uvedení podobných podmienok bude mať systém podobu:

Z druhej rovnice zistíme: . Dosadenie tejto hodnoty do rovnice pri = 2 - 2X, dostaneme pri= 3. Preto riešením tejto sústavy je dvojica čísel.

2. Algebraická metóda sčítania: Pridaním dvoch rovníc získate rovnicu s jednou premennou.

Úloha. Vyriešte rovnicu systému:

Riešenie. Vynásobením oboch strán druhej rovnice číslom 2 dostaneme systém ekvivalentný pôvodnému. Sčítaním dvoch rovníc tohto systému sa dostaneme k systému

Po uvedení podobných podmienok bude mať tento systém podobu: Z druhej rovnice nájdeme . Dosadenie tejto hodnoty do rovnice 3 X + 4pri= 5, dostaneme , kde . Preto je riešením tohto systému dvojica čísel.

3. Metóda zavádzania nových premenných: hľadáme v systéme nejaké opakujúce sa výrazy, ktoré budeme označovať novými premennými, čím zjednodušíme vzhľad systému.

Úloha. Vyriešte sústavu rovníc:

Riešenie. Napíšme tento systém inak:

Nechaj x + y = u, xy = v. Potom dostaneme systém

Riešime to substitučnou metódou. Z prvej rovnice sústavy vyjadrujeme u cez v a dosaďte ho do druhej rovnice sústavy. Zoberme si systém tie.

Z druhej rovnice sústavy nájdeme v 1 = 2, v 2 = 3.

Nahradením týchto hodnôt do rovnice u = 5 - v, dostaneme u 1 = 3,
u 2 = 2. Potom máme dva systémy

Vyriešením prvej sústavy dostaneme dve dvojice čísel (1; 2), (2; 1). Druhý systém nemá riešenia.

Cvičenie pre samostatnú prácu

1. Riešiť sústavy rovníc substitučnou metódou.