Nájdite vzdialenosť medzi bodom a čiarovým vzorcom. Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Relatívna poloha čiar. Uhol medzi rovnými čiarami
Tento článok hovorí o téme « vzdialenosť od bodu k čiare », Rozoberá definíciu vzdialenosti od bodu k priamke s ilustrovanými príkladmi pomocou súradnicovej metódy. Každý teoretický blok na konci ukázal príklady riešenia podobných problémov.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vzdialenosť od bodu k čiare sa zistí určením vzdialenosti od bodu k bodu. Poďme sa na to pozrieť bližšie.
Nech existuje priamka a a bod M 1, ktorý do danej priamky nepatrí. Cez ňu nakreslíme priamku b, umiestnenú kolmo na priamku a. Zoberme si priesečník čiar ako H 1. Získame, že M 1 H 1 je kolmica, ktorá bola spustená z bodu M 1 na priamku a.
Definícia 1
Vzdialenosť od bodu M 1 k priamke a sa nazýva vzdialenosť medzi bodmi M1 a H1.
Existujú definície, ktoré zahŕňajú dĺžku kolmice.
Definícia 2
Vzdialenosť od bodu k čiare je dĺžka kolmice vedenej z daného bodu k danej priamke.
Definície sú ekvivalentné. Zvážte obrázok nižšie.
Je známe, že vzdialenosť od bodu k priamke je najmenšia zo všetkých možných. Pozrime sa na to na príklade.
Ak vezmeme bod Q ležiaci na priamke a, ktorý sa nezhoduje s bodom M 1, potom dostaneme, že úsečka M 1 Q sa nazýva naklonená úsečka, znížená z M 1 na priamku a. Je potrebné uviesť, že kolmica z bodu M 1 je menšia ako akákoľvek iná naklonená čiara vedená z bodu k priamke.
Aby sme to dokázali, uvažujme trojuholník M 1 Q 1 H 1, kde M 1 Q 1 je prepona. Je známe, že jeho dĺžka je vždy väčšia ako dĺžka ktorejkoľvek z nôh. To znamená, že máme M1H1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Počiatočné údaje na zistenie z bodu do priamky umožňujú použiť niekoľko metód riešenia: prostredníctvom Pytagorovej vety, určenie sínusu, kosínusu, tangens uhla a iné. Väčšina úloh tohto typu sa rieši v škole na hodinách geometrie.
Keď je pri zisťovaní vzdialenosti od bodu k priamke možné zaviesť pravouhlý súradnicový systém, potom sa použije súradnicová metóda. V tomto odseku zvážime hlavné dve metódy hľadania požadovanej vzdialenosti od daného bodu.
Prvá metóda zahŕňa hľadanie vzdialenosti ako kolmice vedenej z M 1 na priamku a. Druhá metóda používa normálnu rovnicu priamky a na nájdenie požadovanej vzdialenosti.
Ak sa v rovine nachádza bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1), ktorý sa nachádza v pravouhlom súradnicovom systéme, priamka a, a potrebujete nájsť vzdialenosť M 1 H 1, môžete vykonať výpočet v dvoch spôsoby. Pozrime sa na ne.
Prvý spôsob
Ak sú súradnice bodu H 1 rovné x 2, y 2, potom sa vzdialenosť od bodu k priamke vypočíta pomocou súradníc zo vzorca M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Teraz prejdime k hľadaniu súradníc bodu H 1.
Je známe, že priamka v O x y zodpovedá rovnici priamky v rovine. Zoberme si metódu definovania priamky a napísaním všeobecnej rovnice priamky alebo rovnice s uhlovým koeficientom. Zostavíme rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom M 1 kolmým na danú priamku a. Označme priamku písmenom b. H 1 je priesečník čiar a a b, čo znamená, že na určenie súradníc potrebujete použiť článok, v ktorom hovoríme o o súradniciach priesečníkov dvoch priamok.
Je vidieť, že algoritmus na nájdenie vzdialenosti od daného bodu M 1 (x 1, y 1) k priamke a sa vykonáva podľa bodov:
Definícia 3
- nájdenie všeobecnej rovnice priamky a, ktorá má tvar A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, alebo rovnice s uhlovým koeficientom, ktorá má tvar y = k 1 x + b 1;
- získanie všeobecnej rovnice priamky b, ktorá má tvar A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 alebo rovnice s uhlovým koeficientom y = k 2 x + b 2, ak priamka b pretína bod M 1 a je kolmá na daný riadok a;
- určenie súradníc x 2, y 2 bodu H 1, ktorý je priesečníkom a a b, na tento účel je riešená sústava lineárne rovnice Aix + B1y + C1 = 0 A2 x + B2y + C2 = 0 alebo y = k1 x + b1 y = k2 x + b2;
- výpočet požadovanej vzdialenosti od bodu k priamke pomocou vzorca M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
Druhý spôsob
Veta môže pomôcť odpovedať na otázku, ako nájsť vzdialenosť od daného bodu k danej priamke v rovine.
Veta
Pravouhlý súradnicový systém má O x y má bod M 1 (x 1, y 1), z ktorého je do roviny vedená priamka, daná normálnou rovnicou roviny, v tvare cos α x + cos β y - p = 0, rovná sa Absolútna hodnota získaná na ľavej strane normálnej rovnice priamky, vypočítaná pri x = x 1, y = y 1, znamená, že M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · r 1 - str.
Dôkaz
Priamka a zodpovedá normálnej rovnici roviny, ktorá má tvar cos α x + cos β y - p = 0, potom n → = (cos α, cos β) sa považuje za normálový vektor priamky a vo vzdialenosti od počiatok na líniu a s jednotkami p . Je potrebné zobraziť všetky údaje na obrázku, pridať bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1), kde je polomerový vektor bodu M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Z bodu do priamky je potrebné viesť priamku, ktorú označíme ako M 1 H 1 . Je potrebné znázorniť priemety M 2 a H 2 bodov M 1 a H 2 na priamku prechádzajúcu bodom O so smerovým vektorom v tvare n → = (cos α, cos β) a označiť numerický priemet vektora ako O M 1 → = (x 1, y 1) do smeru n → = (cos α , cos β) ako n p n → O M 1 → .
Variácie závisia od umiestnenia samotného bodu M1. Pozrime sa na obrázok nižšie.
Výsledky fixujeme pomocou vzorca M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Potom privedieme rovnosť do tohto tvaru M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, aby sme získali n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .
Výsledkom skalárneho súčinu vektorov je transformovaný vzorec v tvare n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , čo je súčin v súradnicovom tvare. tvaru n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . To znamená, že dostaneme, že n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Z toho vyplýva, že M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Veta bola dokázaná.
Zistili sme, že na nájdenie vzdialenosti od bodu M 1 (x 1 , y 1) k priamke a v rovine je potrebné vykonať niekoľko akcií:
Definícia 4
- získanie normálnej rovnice priamky a cos α · x + cos β · y - p = 0 za predpokladu, že to nie je v úlohe;
- výpočet výrazu cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, kde výsledná hodnota nadobúda M 1 H 1.
Aplikujme tieto metódy na riešenie problémov s hľadaním vzdialenosti od bodu k rovine.
Príklad 1
Nájdite vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (- 1, 2) k priamke 4 x - 3 y + 35 = 0.
Riešenie
Na riešenie použijeme prvú metódu.
Na to je potrebné nájsť všeobecnú rovnicu priamky b, ktorá prechádza daným bodom M 1 (- 1, 2), kolmým na priamku 4 x - 3 y + 35 = 0. Z podmienky je zrejmé, že priamka b je kolmá na priamku a, potom jej smerový vektor má súradnice rovné (4, - 3). Máme teda možnosť zapísať kanonickú rovnicu priamky b na rovinu, keďže tam sú súradnice bodu M 1, ktorý patrí priamke b. Určme súradnice smerového vektora priamky b. Dostaneme, že x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Výslednú kanonickú rovnicu je potrebné previesť na všeobecnú. Potom to dostaneme
x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0
Nájdite súradnice priesečníkov čiar, ktoré označíme ako H 1. Transformácie vyzerajú takto:
4 x - 3 r + 35 = 0 3 x + 4 r - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 r. - 35 4 3 x + 4 r. - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 r. - 35 4 3 3 4 r. - 35 4 + 4 r - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 r - 35 4 r = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 4 r = 5 ⇔ x = - 5 r = 5
Z toho, čo bolo napísané vyššie, máme, že súradnice bodu H 1 sa rovnajú (- 5; 5).
Je potrebné vypočítať vzdialenosť od bodu M 1 k priamke a. Máme, že súradnice bodov M 1 (- 1, 2) a H 1 (- 5, 5), potom ich dosadíme do vzorca, aby sme našli vzdialenosť a dostali
M1H1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5
Druhé riešenie.
Na riešenie iným spôsobom je potrebné získať normálnu rovnicu priamky. Vypočítame hodnotu normalizačného faktora a vynásobíme obe strany rovnice 4 x - 3 y + 35 = 0. Odtiaľto dostaneme, že normalizačný faktor sa rovná - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5 a normálna rovnica bude mať tvar - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .
Podľa výpočtového algoritmu je potrebné získať normálnu rovnicu čiary a vypočítať ju s hodnotami x = - 1, y = 2. Potom to dostaneme
4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5
Z toho dostaneme, že vzdialenosť od bodu M 1 (- 1, 2) k danej priamke 4 x - 3 y + 35 = 0 má hodnotu - 5 = 5.
odpoveď: 5 .
Je vidieť, že pri tejto metóde je dôležité použiť normálnu rovnicu priamky, keďže táto metóda je najkratšia. Ale prvá metóda je vhodná, pretože je konzistentná a logická, aj keď má viac výpočtových bodov.
Príklad 2
V rovine je pravouhlý súradnicový systém O x y s bodom M 1 (8, 0) a priamkou y = 1 2 x + 1. Nájdite vzdialenosť od daného bodu k priamke.
Riešenie
Riešenie prvým spôsobom zahŕňa zmenšenie danej rovnice so sklonom k rovnici všeobecný pohľad. Pre zjednodušenie to môžete urobiť inak.
Ak má súčin uhlových koeficientov kolmých priamok hodnotu -1, potom uhlový koeficient priamky kolmej na danú priamku y = 1 2 x + 1 má hodnotu 2. Teraz dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodom so súradnicami M 1 (8, 0). Máme, že y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .
Pristúpime k hľadaniu súradníc bodu H 1, teda priesečníkov y = - 2 x + 16 a y = 1 2 x + 1. Zostavíme sústavu rovníc a dostaneme:
y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H1 (6, 4)
Z toho vyplýva, že vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (8, 0) k priamke y = 1 2 x + 1 sa rovná vzdialenosti od počiatočného a koncového bodu so súradnicami M 1 (8, 0) a H1(6,4). Vypočítajme a zistíme, že M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.
Riešením druhým spôsobom je prejsť od rovnice s koeficientom k jej normálnemu tvaru. To znamená, že dostaneme y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, potom hodnota normalizačného faktora bude - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Z toho vyplýva, že normálna rovnica priamky má tvar - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Vykonajte výpočet z bodu M 1 8, 0 na priamku v tvare - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Dostaneme:
M1H1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5
odpoveď: 2 5 .
Príklad 3
Je potrebné vypočítať vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (- 2, 4) k čiaram 2 x - 3 = 0 a y + 1 = 0.
Riešenie
Získame rovnicu normálneho tvaru priamky 2 x - 3 = 0:
2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0
Potom pristúpime k výpočtu vzdialenosti od bodu M 1 - 2, 4 k priamke x - 3 2 = 0. Dostaneme:
M1H1 = -2-32 = 312
Rovnica priamky y + 1 = 0 má normalizačný faktor s hodnotou rovnou -1. To znamená, že rovnica bude mať tvar - y - 1 = 0. Pristúpime k výpočtu vzdialenosti od bodu M 1 (- 2, 4) k priamke - y - 1 = 0. Zistili sme, že sa rovná - 4 - 1 = 5.
odpoveď: 3 1 2 a 5.
Pozrime sa bližšie na zistenie vzdialenosti od daného bodu v rovine k súradnicovým osám O x a O y.
V pravouhlom súradnicovom systéme má os y rovnicu priamky, ktorá je neúplná a má tvar x = 0, a O x - y = 0. Rovnice sú normálne pre súradnicové osi, potom je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 x 1, y 1 k priamkam. Toto sa robí na základe vzorcov M1H1 = x 1 a M1H1 = y1. Pozrime sa na obrázok nižšie.
Príklad 4
Nájdite vzdialenosť od bodu M 1 (6, - 7) k súradnicovým čiaram ležiacim v rovine O x y.
Riešenie
Keďže rovnica y = 0 sa vzťahuje na priamku O x, vzdialenosť od M 1 s danými súradnicami k tejto priamke môžete nájsť pomocou vzorca. Dostaneme, že 6 = 6.
Keďže rovnica x = 0 sa vzťahuje na priamku O y, vzdialenosť od M 1 k tejto priamke môžete nájsť pomocou vzorca. Potom dostaneme, že - 7 = 7.
odpoveď: vzdialenosť od Mi po Ox má hodnotu 6 a od Mi po Oy má hodnotu 7.
Keď máme v trojrozmernom priestore bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1), je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu A k priamke a.
Zoberme si dve metódy, ktoré vám umožňujú vypočítať vzdialenosť od bodu k priamke a umiestnenej v priestore. Prvý prípad uvažuje vzdialenosť od bodu M 1 k priamke, kde bod na priamke sa nazýva H 1 a je základňou kolmice vedenej z bodu M 1 k priamke a. Druhý prípad naznačuje, že body tejto roviny treba hľadať ako výšku rovnobežníka.
Prvý spôsob
Z definície máme, že vzdialenosť od bodu M 1 ležiaceho na priamke a je dĺžka kolmice M 1 H 1, potom získame, že s nájdenými súradnicami bodu H 1 nájdeme vzdialenosť medzi M 1 (x1, y1, zi) a H1 (x1, y1, z1), na základe vzorca M1H1 = x2-x12+y2-y12+z2 - z 1 2.
Zistili sme, že celé riešenie smeruje k nájdeniu súradníc základne kolmice vedenej z M 1 k priamke a. Toto sa vyrába nasledujúcim spôsobom: H 1 je bod, kde sa priamka a pretína s rovinou, ktorá daným bodom prechádza.
To znamená, že algoritmus na určenie vzdialenosti od bodu M 1 (x 1, y 1, z 1) k priamke a v priestore zahŕňa niekoľko bodov:
Definícia 5
- zostavenie rovnice roviny χ ako rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom ležiacim kolmo na priamku;
- určenie súradníc (x 2, y 2, z 2) prislúchajúcich bodu H 1, ktorý je priesečníkom priamky a a roviny χ;
- výpočet vzdialenosti od bodu k priamke pomocou vzorca M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.
Druhý spôsob
Z podmienky máme priamku a, potom môžeme určiť smerový vektor a → = a x, a y, a z so súradnicami x 3, y 3, z 3 a určitým bodom M 3 patriacim priamke a. Ak máte súradnice bodov M 1 (x 1, y 1) a M 3 x 3, y 3, z 3, môžete vypočítať M 3 M 1 →:
M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)
Vektory a → = a x , a y , a z a M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 z bodu M 3 by sme mali vyčleniť, spojiť a dostať rovnobežník obrázok. M 1 H 1 je výška rovnobežníka.
Pozrime sa na obrázok nižšie.
Máme, že výška M 1 H 1 je požadovaná vzdialenosť, potom je potrebné ju nájsť pomocou vzorca. To znamená, že hľadáme M 1 H 1.
Označme oblasť rovnobežníka písmenom S, zisteným vzorcom pomocou vektora a → = (a x, a y, a z) a M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Plošný vzorec je S = a → × M 3 M 1 → . Tiež plocha obrázku sa rovná súčinu dĺžok jeho strán a výšky, dostaneme, že S = a → · M 1 H 1 s a → = a x 2 + a y 2 + a z 2, čo je dĺžka vektora a → = (a x, a y, a z), ktorá sa rovná strane rovnobežníka. To znamená, že M 1 H 1 je vzdialenosť od bodu k priamke. Nájdeme ho pomocou vzorca M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Ak chcete nájsť vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) k priamke a v priestore, musíte vykonať niekoľko krokov algoritmu:
Definícia 6
- určenie smerového vektora priamky a - a → = (a x, a y, a z);
- výpočet dĺžky smerového vektora a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
- získanie súradníc x 3 , y 3 , z 3 prislúchajúcich bodu M 3 ležiacemu na priamke a;
- výpočet súradníc vektora M 3 M 1 → ;
- nájdenie vektorového súčinu vektorov a → (a x, a y, a z) a M 3 M 1 → = x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ako a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 na získanie dĺžky pomocou vzorca a → × M 3 M 1 →;
- výpočet vzdialenosti od bodu k priamke M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .
Riešenie problémov hľadania vzdialenosti od daného bodu k danej priamke v priestore
Príklad 5Nájdite vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 2, - 4, - 1 k priamke x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.
Riešenie
Prvá metóda začína napísaním rovnice roviny χ prechádzajúcej cez M 1 a kolmej na daný bod. Dostaneme výraz ako:
2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0
Je potrebné nájsť súradnice bodu H 1, ktorý je priesečníkom s rovinou χ k priamke určenej podmienkou. Mali by ste prejsť z kanonického pohľadu na pretínajúci sa pohľad. Potom dostaneme sústavu rovníc v tvare:
x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0
Je potrebné vypočítať sústavu x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 Cramerovou metódou, potom dostaneme, že:
∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0
Odtiaľto máme H 1 (1, - 1, 0).
M1H1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11
Druhá metóda musí začať hľadaním súradníc v kanonickej rovnici. Aby ste to dosiahli, musíte venovať pozornosť menovateľom zlomku. Potom a → = 2, - 1, 5 je smerový vektor priamky x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Je potrebné vypočítať dĺžku pomocou vzorca a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.
Je jasné, že priamka x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 pretína bod M 3 (- 1 , 0 , - 5), takže vektor s počiatkom M 3 (- 1 , 0 , - 5) a jeho koniec v bode M 1 2, - 4, - 1 je M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Nájdite vektorový súčin a → = (2, - 1, 5) a M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).
Dostaneme vyjadrenie tvaru a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →
zistíme, že dĺžka vektorového súčinu sa rovná a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.
Máme všetky údaje na to, aby sme mohli použiť vzorec na výpočet vzdialenosti od bodu pre priamku, tak to aplikujme a získajme:
M1H1 = a → × M3 M1 → a → = 330 30 = 11
odpoveď: 11 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice vedenej od bodu k priamke. V deskriptívnej geometrii sa určuje graficky pomocou nižšie uvedeného algoritmu.
Algoritmus
- Priamka sa presunie do polohy, v ktorej bude rovnobežná s akoukoľvek rovinou premietania. Na tento účel sa používajú metódy transformácie ortogonálnych projekcií.
- Z bodu je nakreslená kolmica na priamku. Táto konštrukcia je založená na projekčnej vete pravý uhol.
- Dĺžka kolmice sa určuje transformáciou jej priemetov alebo metódou pravouhlého trojuholníka.
Nasledujúci obrázok znázorňuje komplexný výkres bodu M a priamky b, definovaného segmentom CD. Musíte nájsť vzdialenosť medzi nimi.
Podľa nášho algoritmu prvá vec, ktorú musíte urobiť, je presunúť čiaru do polohy rovnobežnej s rovinou projekcie. Je dôležité pochopiť, že po vykonaní transformácií by sa skutočná vzdialenosť medzi bodom a čiarou nemala meniť. Preto je tu vhodné použiť metódu výmeny roviny, ktorá nezahŕňa pohyb postáv v priestore.
Výsledky prvej etapy výstavby sú uvedené nižšie. Obrázok ukazuje, ako sa zavedie ďalšia čelná rovina P 4 rovnobežne s b. IN nový systém(P 1, P 4) body C"" 1, D"" 1, M"" 1 sú v rovnakej vzdialenosti od osi X 1 ako C"", D"", M"" od osi X.
Pri vykonávaní druhej časti algoritmu z M"" 1 spustíme kolmicu M"" 1 N"" 1 na priamku b"" 1, pretože pravý uhol MND medzi b a MN sa premieta do roviny P. 4 v plnej veľkosti. Pomocou komunikačnej linky určíme polohu bodu N" a vykonáme projekciu M"N" segmentu MN.
V záverečnej fáze musíte určiť veľkosť segmentu MN z jeho projekcií M"N" a M"" 1 N"" 1. Pre toto staviame správny trojuholník M"" 1 N"" 1 N 0, ktorého noha N"" 1 N 0 sa rovná rozdielu (Y M 1 – Y N 1) vzdialenosti bodov M" a N" od osi X 1. Dĺžka prepony M"" 1 N 0 trojuholníka M"" 1 N"" 1 N 0 zodpovedá požadovanej vzdialenosti od M po b.
Druhé riešenie
- Paralelne s CD zavádzame novú čelnú rovinu P 4. Pretína P1 pozdĺž osi X1 a X1∥C"D". V súlade so spôsobom nahradenia rovín určíme priemety bodov C"" 1, D"" 1 a M"" 1, ako je znázornené na obrázku.
- Kolmo na C"" 1 D"" 1 postavíme ďalšiu vodorovnú rovinu P 5, na ktorú sa premietne priamka b do bodu C" 2 = b" 2.
- Vzdialenosť medzi bodom M a čiarou b je určená dĺžkou úsečky M" 2 C" 2 vyznačenej červenou farbou.
Podobné úlohy:
Na výpočet vzdialenosti od daného bodu M k priamke L môžete použiť rôzne cesty. Napríklad, ak vezmeme ľubovoľný bod M 0 na priamke L, potom môžeme určiť ortogonálny priemet vektora M 0 M na smer normálového vektora priamky. Táto projekcia až po značku je požadovaná vzdialenosť.
Ďalší spôsob výpočtu vzdialenosti od bodu k priamke je založený na použití normálna rovnica priamky. Nech je priamka L daná normálnou rovnicou (4.23). Ak bod M(x; y) neleží na priamke L, potom kolmý priemet pr n OM vektor polomeru bod M do smeru jednotkového normálového vektora n priamky L sa rovná skalárnemu súčinu vektorov OM a n, t.j. x cosφ + y sinφ. Rovnaké premietanie sa rovná súčtu vzdialenosti p od začiatku k priamke a určitej hodnoty δ (obr. 4.10). Absolútna hodnota δ sa rovná vzdialenosti od bodu M k priamke. Okrem toho δ > 0, ak sú body M a O umiestnené na opačných stranách priamky, a δ je odchýlka bodu M od priamky.
Odchýlku δ pre bod M(x; y) od priamky L vypočítame ako rozdiel priemetu pr n OM a vzdialenosti p od začiatku k priamke (pozri obr. 4.10), t.j. δ = x cosφ + y sinφ - p.
Pomocou tohto vzorca môžete tiež získať vzdialenosť p(M, L) od bodu M(x; y) k priamke L, ktorá je daná normálnou rovnicou: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.
2 Dva susedné uhly tvoria spolu 180°
Vzhľadom na vyššie uvedený postup konverzie všeobecná rovnica priamky do jej normálnej rovnice dostaneme vzorec pre vzdialenosť od bodu M(x; y) k priamke L, daný jej všeobecnou rovnicou:
Príklad 4.8. Nájdite všeobecné rovnice pre výšku AH, medián AM a os AD trojuholníka ABC vychádzajúceho z vrcholu A. Súradnice vrcholov trojuholníka sú známe: A(-1;- 3), B(7; 3 C(1;7).
Najprv si ujasnime podmienku príkladu: pod naznačenými rovnicami rozumieme rovnice priamok L AH, L AM a L AD, na ktorých sa nachádza výška AH, medián AM a stred osy AD zadaného trojuholníka. , respektíve (obr. 4.11).
Na nájdenie rovnice priamky L AM využívame skutočnosť, že medián rozdeľuje opačnú stranu trojuholníka na polovicu. Po zistení súradníc (x 1 ; y 1) stredu strany BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5 napíšeme rovnicu pre L AM vo forme rovnice priamky prechádzajúcej cez dva body,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Po transformáciách dostaneme všeobecnú rovnicu mediánu 8x - 5y - 7 = 0./p>
Na nájdenie rovnice pre výšku L AH využijeme fakt, že výška je kolmá na opačnú stranu trojuholníka. Preto je vektor BC kolmý na výšku AH a možno ho zvoliť ako normálový vektor priamky LAH. Rovnicu tejto priamky získame z (4.15) dosadením súradníc bodu A a normálového vektora priamky L AH:
(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) = 0.
Po transformáciách dostaneme všeobecnú výškovú rovnicu 3x - 2y - 3 = 0.
Na nájdenie rovnice osi L AD využívame skutočnosť, že osi AD patrí do množiny tých bodov N(x; y), ktoré sú rovnako vzdialené od priamok L AB a L AC. Rovnica tejto množiny má tvar
P(N, L AB) = P(N, L AC), (4,28)
a definuje dve priamky prechádzajúce bodom A a deliace uhly medzi priamkami L AB a L AC na polovicu. Pomocou rovnice priamky prechádzajúcej dvoma bodmi nájdeme všeobecné rovnice priamok L AB a L AC:
L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)
Po transformáciách dostaneme L AB: 3x - 4y - 9 = 0, L AC: 5x - y + 2 = 0. Pomocou vzorca (4.27) na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke napíšeme rovnicu (4.28) v formulár
Poďme to transformovať rozšírením modulov:
V dôsledku toho získame všeobecné rovnice dvoch riadkov
(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0
Aby sme z nich vybrali rovnicu osy, berieme do úvahy, že vrcholy B a C trojuholníka sú umiestnené na opačných stranách požadovanej priamky, a preto nahradenie ich súradníc na ľavú stranu všeobecnej rovnice priamky L AD by mala uvádzať hodnoty s rôznymi znakmi. Zvolíme rovnicu zodpovedajúcu hornému znamienku, t.j.
(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0
Nahradením súradníc bodu B do ľavej strany tejto rovnice dostaneme zápornú hodnotu, pretože
(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26
a rovnaké znamienko sa získa pre súradnice bodu C, keďže
(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34
V dôsledku toho sú vrcholy B a C umiestnené na rovnakej strane priamky s vybranou rovnicou, a preto je rovnica osi
(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.
155*. Určte prirodzenú veľkosť segmentu AB priamky vo všeobecnej polohe (obr. 153, a).
Riešenie. Ako je známe, priemet priameho segmentu na ľubovoľnú rovinu sa rovná samotnému segmentu (berúc do úvahy mierku výkresu), ak je rovnobežný s touto rovinou.
(obr. 153, b). Z toho vyplýva, že transformáciou výkresu je potrebné dosiahnuť rovnobežnosť tohto segmentového štvorca. V alebo štvorec H alebo doplňte sústavu V, H o ďalšiu rovinu kolmú na štvorec. V alebo na pl. H a zároveň paralelne s týmto segmentom.
Na obr. 153, c znázorňuje zavedenie ďalšej roviny S, kolmej na štvorec. H a rovnobežne s daným segmentom AB.
Projekcia a s b s sa rovná prirodzenej hodnote segmentu AB.
Na obr. 153, d znázorňuje inú techniku: segment AB sa otáča okolo priamky prechádzajúcej bodom B a kolmej na štvorec. H do rovnobežnej polohy
pl. V. V tomto prípade bod B zostáva na mieste a bod A zaujíma novú polohu A 1. Horizont je v novej polohe. projekcia a 1 b || os x Projekcia a" 1 b" sa rovná prirodzenej veľkosti segmentu AB.
156. Vzhľadom na pyramídu SABCD (obr. 154). Určte skutočnú veľkosť hrán pyramídy AS a CS pomocou metódy zmeny rovín premietania a hrán BS a DS pomocou metódy rotácie a zoberte os rotácie kolmo na štvorec. H.
157*. Určte vzdialenosť od bodu A k priamke BC (obr. 155, a).
Riešenie. Vzdialenosť od bodu k priamke sa meria kolmým segmentom nakresleným od bodu k priamke.
Ak je priamka kolmá na ľubovoľnú rovinu (obr. 155.6), potom sa vzdialenosť od bodu k priamke meria vzdialenosťou medzi priemetom bodu a bodom priemetu priamky na túto rovinu. Ak priamka zaberá V, H v systéme všeobecné postavenie, potom na určenie vzdialenosti od bodu k priamke zmenou projekčných rovín je potrebné do systému V, H zaviesť dve ďalšie roviny.
Najprv (obr. 155, c) zadáme štvorec. S rovnobežne s úsečkou BC (nová os S/H je rovnobežná s priemetom bc) a zostrojte priemety b s c s a a s. Potom (obr. 155, d) zavedieme ďalší štvorec. T, kolmá na priamku BC (nová os T/S je kolmá na b s s s). Zostrojíme priemety priamky a bodu - s t (b t) a a t. Vzdialenosť medzi bodmi a t a c t (b t) sa rovná vzdialenosti l od bodu A po priamku BC.
Na obr. 155, d, rovnaká úloha sa vykonáva pomocou metódy otáčania vo svojej forme, ktorá sa nazýva metóda paralelného pohybu. Najprv sa priamka BC a bod A otočia okolo nejakej (na obrázku nie je vyznačená) priamky kolmej na štvorec, pričom ich vzájomná poloha zostáva nezmenená. H, takže priamka BC je rovnobežná so štvorcom. V. To je ekvivalentné pohybu bodov A, B, C v rovinách rovnobežných so štvorcom. H. Zároveň horizont. priemet daného systému (BC + A) sa nemení ani veľkosťou, ani konfiguráciou, mení sa len jeho poloha voči osi x. Umiestňujeme horizont. priemet priamky BC rovnobežnej s osou x (poloha b 1 c 1) a určte priemet a 1, pričom vyčleňte c 1 1 1 = c-1 a a 1 1 1 = a-1 a a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Nakreslením rovných čiar b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 rovnobežných s osou x nájdeme na nich predok. projekcie b" 1, a" 1, c" 1. Ďalej posúvame body B 1, C 1 a A 1 v rovinách rovnobežných s plochou V (aj bez zmeny ich vzájomnej polohy), aby sme dostali B 2 C 2 ⊥ štvorec H. V tomto prípade bude predný priemet priamky kolmý na osi x,b 2 c" 2 = b" 1 c" 1 a na vytvorenie projekcie a" 2 musíte vziať b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, nakresliť 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 a odložte bokom a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Teraz, keď ste strávili s 1 s 2 a 1 a 2 || x 1 získame priemety b 2 c 2 a a 2 a požadovanú vzdialenosť l od bodu A k priamke BC. Vzdialenosť od A po BC možno určiť otočením roviny definovanej bodom A a priamky BC okolo horizontály tejto roviny do polohy T || pl. H (obr. 155, f).
V rovine definovanej bodom A a priamkou BC nakreslite vodorovnú čiaru A-1 (obr. 155, g) a otočte bod B okolo nej Bod B sa posunie do štvorca. R (špecifikované na výkrese vedľa R h), kolmo na A-1; v bode O je stred otáčania bodu B. Teraz určíme prirodzenú hodnotu polomeru otáčania VO (obr. 155, c). V požadovanej polohe, teda keď pl. T, určené bodom A a priamkou BC, sa zmení na || pl. H, bod B bude na R h vo vzdialenosti Ob 1 od bodu O (na tej istej stope R h môže byť aj iná poloha, ale na druhej strane O). Bod b 1 je horizont. priemet bodu B po jeho premiestnení do polohy B 1 v priestore, keď rovina definovaná bodom A a priamkou BC zaujala polohu T.
Kreslením (obr. 155, i) priamky b 1 1 získame horizont. projekcia priamky BC, už umiestnená || pl. H je v rovnakej rovine ako A. V tejto polohe sa vzdialenosť od a do b 1 1 rovná požadovanej vzdialenosti l. Rovinu P, v ktorej ležia dané prvky, môžeme kombinovať so štvorcom. H (obr. 155, j), sústruženie štvorec. R okolo nej je horizont. stopa. Ak prejdeme od určenia roviny bodom A a priamky BC k určeniu priamok BC a A-1 (obr. 155, l), nájdeme stopy týchto priamok a nakreslíme cez ne stopy P ϑ a P h. Staviame (obr. 155, m) kombinovane s námestím. H poloha vpredu. stopa - P ϑ0 .
Cez bod a nakreslíme horizont. čelná projekcia; kombinovaný frontál prechádza bodom 2 na stope P h rovnobežnej s P ϑ0. Bod A 0 - kombinovaný so štvorcom. H poloha bodu A. Podobne nájdeme bod B 0. Priame slnko v kombinácii s námestím. Poloha H prechádza bodom B 0 a bodom m (horizontálna stopa priamky).
Vzdialenosť od bodu A 0 k priamke B 0 C 0 sa rovná požadovanej vzdialenosti l.
Naznačenú konštrukciu môžete uskutočniť tak, že nájdete len jednu stopu P h (obr. 155, n a o). Celá konštrukcia je podobná rotácii okolo horizontály (pozri obr. 155, g, c, i): stopa P h je jednou z horizontál pl. R.
Z metód transformácie výkresu uvedených na vyriešenie tohto problému je preferovanou metódou metóda rotácie okolo horizontály alebo čelnej strany.
158. Uvedená je pyramída SABC (obr. 156). Určite vzdialenosti:
a) z vrcholu B základne na jej stranu AC metódou paralelného pohybu;
b) od vrcholu S pyramídy do strán BC a AB základne otáčaním okolo horizontály;
c) z vrchu S na stranu AC podstavy zmenou projekčných rovín.
159. Je daný hranol (obr. 157). Určite vzdialenosti:
a) medzi rebrami AD a CF zmenou projekčných rovín;
b) medzi rebrami BE a CF rotáciou okolo čela;
c) medzi hranami AD a BE paralelným pohybom.
160. Určte skutočnú veľkosť štvoruholníka ABCD (obr. 158) zarovnaním so štvorcom. N. Používajte iba horizontálnu stopu roviny.
161*. Určte vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa priamkami AB a CD (obr. 159, a) a zostrojte k nim priemety spoločnej kolmice.
Riešenie. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami sa meria segmentom (MN) kolmým na obe čiary (obr. 159, b). Je zrejmé, že ak je jedna z priamych čiar umiestnená kolmo na ľubovoľný štvorec. T, potom
segment MN kolmý na obe priamky bude rovnobežný so štvorcom. Jeho projekcia na túto rovinu zobrazí požadovanú vzdialenosť. Priemet pravého uhla menády MN n AB na štvorec. T sa tiež ukáže ako pravý uhol medzi m t n t a t b t, pretože jedna zo strán pravého uhla je AMN, konkrétne MN. rovnobežne s námestím T.
Na obr. 159, c a d, požadovaná vzdialenosť l sa určí metódou zmeny premietacích rovín. Najprv predstavíme ďalší štvorec. projekcie S, kolmé na štvorec. H a rovnobežne s priamkou CD (obr. 159, c). Potom zavedieme ďalší ďalší štvorec. T, kolmo na štvorec. S a kolmo na rovnakú priamku CD (obr. 159, d). Teraz môžete zostrojiť priemet všeobecnej kolmice nakreslením m t n t z bodu c t (d t) kolmého na priemet a t b t. Body m t a n t sú priemety priesečníkov tejto kolmice s priamkami AB a CD. Pomocou bodu m t (obr. 159, e) nájdeme m s na a s b s: priemet m s n s by mal byť rovnobežný s osou T/S. Ďalej z m s a n s nájdeme m a n na ab a cd a z nich m" a n" na a"b" a c"d".
Na obr. 159, c ukazuje riešenie tohto problému metódou paralelných pohybov. Najprv položíme rovnú čiaru CD rovnobežne so štvorcom. V: projekcia c 1 d 1 || X. Ďalej presunieme priamky CD a AB z pozícií C 1 D 1 a A 1 B 1 do polôh C 2 B 2 a A 2 B 2 tak, aby C 2 D 2 bola kolmá na H: priemet c" 2 d" 2 ⊥ X. Úsek požadovanej kolmice sa nachádza || pl. H, a teda m 2 n 2 vyjadruje požadovanú vzdialenosť l medzi AB a CD. Nájdeme polohu projekcií m" 2, a n" 2 na a" 2 b" 2 a c" 2 d" 2, potom projekcie m 1 a m" 1, n 1 a n" 1, nakoniec projekcie m" a n", m a n.
162. Uvedená je pyramída SABC (obr. 160). Určte vzdialenosť medzi hranou SB a stranou AC základne pyramídy a zostrojte priemety spoločnej kolmice na SB a AC pomocou metódy zmeny rovín premietania.
163. Uvedená je pyramída SABC (obr. 161). Určte vzdialenosť medzi hranou SH a stranou BC základne pyramídy a zostrojte priemety spoločnej kolmice na SX a BC pomocou metódy paralelného posunu.
164*. Určte vzdialenosť od bodu A k rovine v prípadoch, keď je rovina určená: a) trojuholníkom BCD (obr. 162, a); b) stopy (obr. 162, b).
Riešenie. Ako viete, vzdialenosť od bodu k rovine sa meria hodnotou kolmice vedenej z bodu k rovine. Táto vzdialenosť sa premietne do akejkoľvek oblasti. projekcie v plnej veľkosti, ak je táto rovina kolmá na štvorec. projekcie (obr. 162, c). Táto situácia sa dá dosiahnuť transformáciou kresby, napríklad zmenou plochy. projekcie. Predstavme si pl. S (obr. 16c, d), kolmo na štvorec. trojuholník BCD. K tomu trávime na námestí. trojuholník vodorovný B-1 a os premietania S umiestnite kolmo na priemet b-1 vodorovne. Zostrojíme priemety bodu a roviny - a s a úsečku c s d s. Vzdialenosť od a s do c s d s sa rovná požadovanej vzdialenosti l bodu od roviny.
Do Ria. 162, d je použitá metóda paralelného pohybu. Posúvame celý systém, kým sa horizontálna rovina B-1 nestane kolmou na rovinu V: priemet b 1 1 1 by mal byť kolmý na os x. V tejto polohe bude rovina trojuholníka vyčnievať dopredu a vzdialenosť l od bodu A k nej bude pl. V bez skreslenia.
Na obr. 162, b rovina je definovaná stopami. Zavádzame (obr. 162, e) dodatočný štvorec. S, kolmo na štvorec. P: Os S/H je kolmá na P h. Ostatné je jasné z nákresu. Na obr. 162, g úloha bola vyriešená pomocou jedného pohybu: pl. P prejde do polohy P1, t.j. stane sa predným. Sledovať. P1h je kolmá na os x. V tejto polohe roviny staviame prednú časť. vodorovná stopa je bod n" 1,n 1. Stopa P 1ϑ bude prechádzať cez P 1x a n 1. Vzdialenosť od a" 1 po P 1ϑ sa rovná požadovanej vzdialenosti l.
165. Je uvedená pyramída SABC (pozri obr. 160). Určte vzdialenosť od bodu A k okraju pyramídy SBC pomocou metódy paralelného pohybu.
166. Je uvedená pyramída SABC (pozri obr. 161). Určte výšku pyramídy metódou paralelného posunu.
167*. Určte vzdialenosť medzi čiarami kríženia AB a CD (pozri obr. 159,a) ako vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami vedenými týmito čiarami.
Riešenie. Na obr. 163, a roviny P a Q sú navzájom rovnobežné, z ktorých pl. Q sa tiahne cez CD paralelne s AB a pl. P - cez AB rovnobežne so štvorcom. Q. Vzdialenosť medzi takýmito rovinami sa považuje za vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa priamkami AB a CD. Môžete sa však obmedziť na zostrojenie len jednej roviny, napríklad Q, rovnobežnej s AB, a potom určiť vzdialenosť aspoň od bodu A k tejto rovine.
Na obr. 163, c znázorňuje rovinu Q vedenú cez CD rovnobežnú s AB; v projekciách vykonaných s "e" || a"b" a ce || ab. Pomocou metódy zmeny pl. projekcie (obr. 163, c), zavádzame ďalší štvorec. S, kolmo na štvorec. V a zároveň
kolmo na štvorec Q. Ak chcete nakresliť os S/V, zoberte prednú D-1 v tejto rovine. Teraz nakreslíme S/V kolmo na d"1" (obr. 163, c). Pl. Na námestí bude vyobrazený Q. S ako priamka so s d s. Ostatné je jasné z nákresu.
168. Uvedená je pyramída SABC (pozri obr. 160). Určte vzdialenosť medzi rebrami SC a AB Aplikujte: 1) spôsob zmeny plochy. projekcie, 2) metóda paralelného pohybu.
169*. Určte vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami, z ktorých jedna je definovaná priamkami AB a AC a druhá priamkami DE a DF (obr. 164, a). Konštrukciu vykonajte aj pre prípad, keď sú roviny definované stopami (obr. 164, b).
Riešenie. Vzdialenosť (obr. 164, c) medzi rovnobežnými rovinami možno určiť nakreslením kolmice z ľubovoľného bodu jednej roviny do druhej roviny. Na obr. 164, g bol zavedený ďalší štvorec. S kolmá na štvorec. H a do oboch daných rovín. Os S.H je kolmá na horizontálu. horizontálna projekcia nakreslená v jednej z rovín. Na štvorec zostrojíme priemet tejto roviny a bod v inej rovine. 5. Vzdialenosť bodu d s k priamke l s a s sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami.
Na obr. 164, d je daná iná konštrukcia (podľa spôsobu paralelného pohybu). Aby rovina vyjadrená pretínajúcimi sa priamkami AB a AC bola kolmá na štvorec. V, horizont. Horizontálny priemet tejto roviny nastavíme kolmo na os x: 1 1 2 1 ⊥ x. Vzdialenosť medzi prednou časťou priemet d" 1 bodu D a priamka a" 1 2" 1 (predný priemet roviny) sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi rovinami.
Na obr. 164, e ukazuje zavedenie dodatočného štvorca. S, kolmá na plochu H a na dané roviny P a Q (os S/H je kolmá na stopy P h a Q h). Vytvárame stopy P s a Q s. Vzdialenosť medzi nimi (pozri obr. 164, c) sa rovná požadovanej vzdialenosti l medzi rovinami P a Q.
Na obr. 164, g znázorňuje pohyb rovín P 1 n Q 1, do polohy P 1 a Q 1, keď je horizont. stopy sa ukážu ako kolmé na os x. Vzdialenosť medzi novými frontami. stopy P 1ϑ a Q 1ϑ sa rovnajú požadovanej vzdialenosti l.
170. Vzhľadom na rovnobežnosten ABCDEFGH (obr. 165). Určte vzdialenosti: a) medzi základňami rovnobežnostena - l 1; b) medzi stenami ABFE a DCGH - l 2; c) medzi plochami ADHE a BCGF-1 3.