Vzdialenosť od bodu k priamke je určená rovnosťou. Najjednoduchšie problémy s čiarou v rovine. Relatívna poloha čiar. Uhol medzi rovnými čiarami

155*. Určte prirodzenú veľkosť segmentu AB priamky vo všeobecnej polohe (obr. 153, a).

Riešenie. Ako je známe, priemet priameho segmentu na ľubovoľnú rovinu sa rovná samotnému segmentu (berúc do úvahy mierku výkresu), ak je rovnobežný s touto rovinou.

(obr. 153, b). Z toho vyplýva, že transformáciou výkresu je potrebné dosiahnuť rovnobežnosť tohto segmentového štvorca. V alebo štvorec H alebo doplňte sústavu V, H o ďalšiu rovinu kolmú na štvorec. V alebo na pl. H a zároveň paralelne s týmto segmentom.

Na obr. 153, c je znázornené zavedenie ďalšej roviny S, kolmej na štvorec. H a rovnobežne s daným segmentom AB.

Projekcia a s b s sa rovná prirodzenej hodnote segmentu AB.

Na obr. 153, d znázorňuje inú techniku: segment AB sa otáča okolo priamky prechádzajúcej bodom B a kolmej na štvorec. H do rovnobežnej polohy

pl. V. V tomto prípade bod B zostáva na mieste a bod A zaujíma novú polohu A 1. Horizont je v novej polohe. projekcia a 1 b || os x Projekcia a" 1 b" sa rovná prirodzenej veľkosti segmentu AB.

156. Vzhľadom na pyramídu SABCD (obr. 154). Určte skutočnú veľkosť hrán pyramídy AS a CS metódou zmeny premietacích rovín a hrán BS a DS metódou rotácie a zoberte os rotácie kolmo na štvorec. H.

157*. Určte vzdialenosť od bodu A k priamke BC (obr. 155, a).

Riešenie. Vzdialenosť od bodu k priamke sa meria kolmým segmentom nakresleným od bodu k priamke.

Ak je priamka kolmá na ľubovoľnú rovinu (obr. 155.6), potom sa vzdialenosť od bodu k priamke meria vzdialenosťou medzi priemetom bodu a bodom priemetu priamky na túto rovinu. Ak priamka zaberá V, H v systéme všeobecné postavenie, potom na určenie vzdialenosti od bodu k priamke zmenou projekčných rovín je potrebné do systému V, H zaviesť dve ďalšie roviny.

Najprv (obr. 155, c) zadáme štvorec. S rovnobežne s úsečkou BC (nová os S/H je rovnobežná s priemetom bc) a zostrojte priemety b s c s a a s. Potom (obr. 155, d) zavedieme ďalší štvorec. T, kolmá na priamku BC (nová os T/S je kolmá na b s s s). Zostrojíme priemety priamky a bodu - s t (b t) a a t. Vzdialenosť medzi bodmi a t a c t (b t) sa rovná vzdialenosti l od bodu A po priamku BC.

Na obr. 155, d, rovnaká úloha sa vykonáva pomocou metódy otáčania vo svojej forme, ktorá sa nazýva metóda paralelného pohybu. Najprv sa priamka BC a bod A otočia okolo nejakej (na obrázku nie je vyznačená) priamky kolmej na štvorec, pričom ich vzájomná poloha zostáva nezmenená. H, takže priamka BC je rovnobežná so štvorcom. V. To je ekvivalentné pohybu bodov A, B, C v rovinách rovnobežných so štvorcom. H. Zároveň horizont. priemet daného systému (BC + A) sa nemení ani veľkosťou, ani konfiguráciou, mení sa len jeho poloha voči osi x. Umiestňujeme horizont. priemet priamky BC rovnobežnej s osou x (poloha b 1 c 1) a určte priemet a 1, pričom vyčleňte c 1 1 1 = c-1 a a 1 1 1 = a-1 a a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1. Nakreslením rovných čiar b"b" 1 , a"a" 1 , c"c" 1 rovnobežných s osou x nájdeme na nich predok. projekcie b" 1, a" 1, c" 1. Ďalej posúvame body B 1, C 1 a A 1 v rovinách rovnobežných s plochou V (aj bez zmeny ich vzájomnej polohy), aby sme dostali B 2 C 2 ⊥ štvorec H. V tomto prípade bude predný priemet priamky kolmý na osi x,b 2 c" 2 = b" 1 c" 1 a na vytvorenie projekcie a" 2 musíte vziať b" 2 2" 2 = b" 1 2" 1, nakresliť 2"a" 2 ⊥ b" 2 c" 2 a odložte bokom a" 2 2" 2 = a" 1 2" 1 . Teraz, keď ste strávili s 1 s 2 a 1 a 2 || x 1 získame priemety b 2 c 2 a a 2 a požadovanú vzdialenosť l od bodu A k priamke BC. Vzdialenosť od A po BC možno určiť otočením roviny definovanej bodom A a priamky BC okolo horizontály tejto roviny do polohy T || pl. H (obr. 155, f).

V rovine definovanej bodom A a priamkou BC nakreslite vodorovnú čiaru A-1 (obr. 155, g) a otočte bod B okolo nej Bod B sa posunie do štvorca. R (špecifikované na výkrese vedľa R h), kolmo na A-1; v bode O je stred otáčania bodu B. Teraz určíme prirodzenú hodnotu polomeru otáčania VO (obr. 155, c). V požadovanej polohe, teda keď pl. T, určené bodom A a priamkou BC, sa zmení na || pl. H, bod B bude na R h vo vzdialenosti Ob 1 od bodu O (na tej istej stope R h môže byť aj iná poloha, ale na druhej strane O). Bod b 1 je horizont. priemet bodu B po jeho premiestnení do polohy B 1 v priestore, keď rovina definovaná bodom A a priamkou BC zaujala polohu T.

Kreslením (obr. 155, i) priamky b 1 1 získame horizont. projekcia priamky BC, už umiestnená || pl. H je v rovnakej rovine ako A. V tejto polohe sa vzdialenosť od a do b 1 1 rovná požadovanej vzdialenosti l. Rovinu P, v ktorej ležia dané prvky, môžeme kombinovať so štvorcom. H (obr. 155, j), sústruženie štvorec. R okolo nej je horizont. stopa. Ak prejdeme od určenia roviny bodom A a priamky BC k určeniu priamok BC a A-1 (obr. 155, l), nájdeme stopy týchto priamok a nakreslíme cez ne stopy P ϑ a P h. Staviame (obr. 155, m) kombinovane s námestím. H poloha vpredu. stopa - P ϑ0 .

Cez bod a nakreslíme horizont. čelná projekcia; kombinovaný frontál prechádza bodom 2 na stope P h rovnobežnej s P ϑ0. Bod A 0 - kombinovaný so štvorcom. H je poloha bodu A. Podobne nájdeme bod B 0. Priame slnko v kombinácii s námestím. Poloha H prechádza bodom B 0 a bodom m (horizontálna stopa priamky).

Vzdialenosť od bodu A 0 k priamke B 0 C 0 sa rovná požadovanej vzdialenosti l.

Naznačenú konštrukciu môžete uskutočniť tak, že nájdete len jednu stopu P h (obr. 155, n a o). Celá konštrukcia je podobná rotácii okolo horizontály (pozri obr. 155, g, c, i): stopa P h je jednou z horizontál pl. R.

Z metód uvedených na riešenie tohto problému je preferovanou metódou transformácie kresby metóda rotácie okolo horizontály alebo čelnej strany.

158. Uvedená je pyramída SABC (obr. 156). Určite vzdialenosti:

a) z vrcholu B základne na jej stranu AC metódou paralelného pohybu;

b) od vrcholu S pyramídy do strán BC a AB základne otáčaním okolo horizontály;

c) z vrcholu S na stranu AC základne zmenou projekčných rovín.

159. Je daný hranol (obr. 157). Určite vzdialenosti:

a) medzi rebrami AD a CF zmenou projekčných rovín;

b) medzi rebrami BE a CF rotáciou okolo čela;

c) medzi hranami AD a BE paralelným pohybom.

160. Určte skutočnú veľkosť štvoruholníka ABCD (obr. 158) zarovnaním so štvorcom. N. Používajte iba horizontálnu stopu roviny.

161*. Určte vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa priamkami AB a CD (obr. 159, a) a zostrojte k nim priemety spoločnej kolmice.

Riešenie. Vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa čiarami sa meria segmentom (MN) kolmým na obe čiary (obr. 159, b). Je zrejmé, že ak je jedna z priamych čiar umiestnená kolmo na ľubovoľný štvorec. T, potom

segment MN kolmý na obe priamky bude rovnobežný so štvorcom. Jeho projekcia na túto rovinu zobrazí požadovanú vzdialenosť. Projekcia pravý uhol Menad MN n AB na pl. T sa tiež ukáže ako pravý uhol medzi m t n t a t b t, pretože jedna zo strán pravého uhla je AMN, konkrétne MN. rovnobežne s námestím T.

Na obr. 159, c a d, požadovaná vzdialenosť l sa určí metódou zmeny premietacích rovín. Najprv predstavíme ďalší štvorec. projekcie S, kolmé na štvorec. H a rovnobežne s priamkou CD (obr. 159, c). Potom zavedieme ďalší ďalší štvorec. T, kolmo na štvorec. S a kolmo na rovnakú priamku CD (obr. 159, d). Teraz môžete zostrojiť priemet všeobecnej kolmice nakreslením m t n t z bodu c t (d t) kolmého na priemet a t b t. Body m t a n t sú priemety priesečníkov tejto kolmice s priamkami AB a CD. Pomocou bodu m t (obr. 159, e) nájdeme m s na a s b s: priemet m s n s by mal byť rovnobežný s osou T/S. Ďalej z m s a n s nájdeme m a n na ab a cd a z nich m" a n" na a"b" a c"d".

Na obr. 159, c ukazuje riešenie tohto problému metódou paralelných pohybov. Najprv položíme rovnú čiaru CD rovnobežne so štvorcom. V: projekcia c 1 d 1 || X. Ďalej presunieme priamky CD a AB z pozícií C 1 D 1 a A 1 B 1 do polôh C 2 B 2 a A 2 B 2 tak, aby C 2 D 2 bola kolmá na H: priemet c" 2 d" 2 ⊥ X. Úsek požadovanej kolmice sa nachádza || pl. H, a teda m 2 n 2 vyjadruje požadovanú vzdialenosť l medzi AB a CD. Nájdeme polohu projekcií m" 2, a n" 2 na a" 2 b" 2 a c" 2 d" 2, potom projekcie m 1 a m" 1, n 1 a n" 1, nakoniec projekcie m" a n", m a n.

162. Uvedená je pyramída SABC (obr. 160). Určte vzdialenosť medzi hranou SB a stranou AC základne pyramídy a zostrojte priemety spoločnej kolmice na SB a AC pomocou metódy zmeny rovín premietania.

163. Uvedená je pyramída SABC (obr. 161). Určte vzdialenosť medzi hranou SH a stranou BC základne pyramídy a zostrojte priemety spoločnej kolmice na SX a BC pomocou metódy paralelného posunu.

164*. Určte vzdialenosť od bodu A k rovine v prípadoch, keď je rovina určená: a) trojuholníkom BCD (obr. 162, a); b) stopy (obr. 162, b).

Riešenie. Ako viete, vzdialenosť od bodu k rovine sa meria hodnotou kolmice vedenej z bodu k rovine. Táto vzdialenosť sa premietne do akejkoľvek oblasti. projekcie v plnej veľkosti, ak je táto rovina kolmá na štvorec. projekcie (obr. 162, c). Táto situácia sa dá dosiahnuť transformáciou kresby, napríklad zmenou plochy. projekcie. Predstavme si pl. S (obr. 16c, d), kolmo na štvorec. trojuholník BCD. K tomu trávime na námestí. trojuholník vodorovný B-1 a os premietania S umiestnite kolmo na priemet b-1 vodorovne. Zostrojíme priemety bodu a roviny - a s a úsečku c s d s. Vzdialenosť od a s do c s d s sa rovná požadovanej vzdialenosti l bodu od roviny.

Do Ria. 162, d je použitá metóda paralelného pohybu. Posúvame celý systém, kým sa horizontálna rovina B-1 nestane kolmou na rovinu V: priemet b 1 1 1 by mal byť kolmý na os x. V tejto polohe bude rovina trojuholníka vyčnievať dopredu a vzdialenosť l od bodu A k nej bude pl. V bez skreslenia.

Na obr. 162, b rovina je definovaná stopami. Zavádzame (obr. 162, e) dodatočný štvorec. S, kolmo na štvorec. P: Os S/H je kolmá na P h. Ostatné je jasné z nákresu. Na obr. 162, g úloha bola vyriešená pomocou jedného pohybu: pl. P prejde do polohy P 1, t. j. stane sa predným. Sledovať. P1h je kolmá na os x. V tejto polohe roviny staviame prednú časť. vodorovná stopa je bod n" 1,n 1. Stopa P 1ϑ bude prechádzať cez P 1x a n 1. Vzdialenosť od a" 1 po P 1ϑ sa rovná požadovanej vzdialenosti l.

165. Je uvedená pyramída SABC (pozri obr. 160). Určte vzdialenosť od bodu A k okraju pyramídy SBC pomocou metódy paralelného pohybu.

166. Je uvedená pyramída SABC (pozri obr. 161). Určte výšku pyramídy metódou paralelného posunu.

167*. Určte vzdialenosť medzi čiarami kríženia AB a CD (pozri obr. 159,a) ako vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami vedenými týmito čiarami.

Riešenie. Na obr. 163, a roviny P a Q sú navzájom rovnobežné, z ktorých pl. Q sa tiahne cez CD paralelne s AB a pl. P - cez AB rovnobežne so štvorcom. Q. Vzdialenosť medzi takýmito rovinami sa považuje za vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa priamkami AB a CD. Môžete sa však obmedziť na zostrojenie len jednej roviny, napríklad Q, rovnobežnej s AB, a potom určiť vzdialenosť aspoň od bodu A k tejto rovine.

Na obr. 163, c znázorňuje rovinu Q vedenú cez CD rovnobežnú s AB; v projekciách vykonaných s "e" || a"b" a ce || ab. Pomocou metódy zmeny pl. projekcie (obr. 163, c), zavádzame ďalší štvorec. S, kolmo na štvorec. V a zároveň

kolmo na štvorec Q. Ak chcete nakresliť os S/V, zoberte prednú D-1 v tejto rovine. Teraz nakreslíme S/V kolmo na d"1" (obr. 163, c). Pl. Na námestí bude vyobrazený Q. S ako priamka so s d s. Ostatné je jasné z nákresu.

168. Je uvedená pyramída SABC (pozri obr. 160). Určte vzdialenosť medzi rebrami SC a AB Aplikujte: 1) spôsob zmeny plochy. projekcie, 2) metóda paralelného pohybu.

169*. Určte vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami, z ktorých jedna je definovaná priamkami AB a AC a druhá priamkami DE a DF (obr. 164, a). Konštrukciu vykonajte aj pre prípad, keď sú roviny špecifikované stopami (obr. 164, b).

Riešenie. Vzdialenosť (obr. 164, c) medzi rovnobežnými rovinami možno určiť nakreslením kolmice z ľubovoľného bodu jednej roviny do druhej roviny. Na obr. 164, g bol zavedený ďalší štvorec. S kolmá na štvorec. H a do oboch daných rovín. Os S.H je kolmá na horizontálu. horizontálna projekcia nakreslená v jednej z rovín. Na štvorec zostrojíme priemet tejto roviny a bod v inej rovine. 5. Vzdialenosť bodu d s k priamke l s a s sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami.

Na obr. 164, d je daná iná konštrukcia (podľa spôsobu paralelného pohybu). Aby rovina vyjadrená pretínajúcimi sa priamkami AB a AC bola kolmá na štvorec. V, horizont. Horizontálny priemet tejto roviny nastavíme kolmo na os x: 1 1 2 1 ⊥ x. Vzdialenosť medzi prednou časťou. priemet d" 1 bodu D a priamka a" 1 2" 1 (predný priemet roviny) sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi rovinami.

Na obr. 164, e ukazuje zavedenie dodatočného štvorca. S, kolmá na plochu H a na dané roviny P a Q (os S/H je kolmá na stopy P h a Q h). Vytvárame stopy P s a Q s. Vzdialenosť medzi nimi (pozri obr. 164, c) sa rovná požadovanej vzdialenosti l medzi rovinami P a Q.

Na obr. 164, g znázorňuje pohyb rovín P 1 n Q 1, do polohy P 1 a Q 1, keď je horizont. stopy sa ukážu ako kolmé na os x. Vzdialenosť medzi novými frontami. stopy P 1ϑ a Q 1ϑ sa rovnajú požadovanej vzdialenosti l.

170. Vzhľadom na rovnobežnosten ABCDEFGH (obr. 165). Určte vzdialenosti: a) medzi základňami rovnobežnostena - l 1; b) medzi stenami ABFE a DCGH - l 2; c) medzi plochami ADHE a BCGF-1 3.

Na výpočet vzdialenosti od daného bodu M k priamke L môžete použiť rôzne cesty. Napríklad, ak vezmeme ľubovoľný bod M 0 na priamke L, potom môžeme určiť ortogonálny priemet vektora M 0 M na smer normálového vektora priamky. Táto projekcia až po značku je požadovaná vzdialenosť.

Ďalší spôsob výpočtu vzdialenosti od bodu k priamke je založený na použití normálna rovnica priamky. Nech je priamka L daná normálnou rovnicou (4.23). Ak bod M(x; y) neleží na priamke L, potom kolmé premietanie pr n OM vektor polomeru bod M do smeru jednotkového normálového vektora n priamky L sa rovná skalárnemu súčinu vektorov OM a n, t.j. x cosφ + y sinφ. Rovnaké premietanie sa rovná súčtu vzdialenosti p od začiatku k priamke a určitej hodnoty δ (obr. 4.10). Absolútna hodnota δ sa rovná vzdialenosti od bodu M k priamke. V tomto prípade δ > 0, ak sú body M a O umiestnené na opačných stranách priamky, a δ je odchýlka bodu M od priamky.

Odchýlku δ pre bod M(x; y) od priamky L vypočítame ako rozdiel priemetu pr n OM a vzdialenosti p od začiatku k priamke (pozri obr. 4.10), t.j. δ = x cosφ + y sinφ - p.

Pomocou tohto vzorca môžete tiež získať vzdialenosť p(M, L) od bodu M(x; y) k priamke L, ktorá je daná normálnou rovnicou: p(M, L) = |δ | = |x cosφ + y sinφ - p|.

2 Dva susedné uhly tvoria spolu 180°

Vzhľadom na vyššie uvedený postup konverzie všeobecná rovnica priamky do jej normálnej rovnice dostaneme vzorec pre vzdialenosť od bodu M(x; y) k priamke L, daný jej všeobecnou rovnicou:

Príklad 4.8. Nájdite všeobecné rovnice pre výšku AH, medián AM a os AD trojuholníka ABC vychádzajúceho z vrcholu A. Súradnice vrcholov trojuholníka A(-1;- 3), B(7; 3), C (1;7) sú známe.

Najprv si ujasnime podmienku príkladu: pod naznačenými rovnicami rozumieme rovnice priamok L AH, L AM a L AD, na ktorých sa nachádza výška AH, medián AM a stred osy AD zadaného trojuholníka. , respektíve (obr. 4.11).

Na nájdenie rovnice priamky L AM využívame skutočnosť, že medián rozdeľuje opačnú stranu trojuholníka na polovicu. Po zistení súradníc (x 1 ; y 1) stredu strany BC x 1 = (7 + 1)/2 = 4, y 1 = (3 + 7)/2 = 5 napíšeme rovnicu pre L AM vo forme rovnice priamky prechádzajúcej cez dva body,(x + 1)/(4 + 1) = (y + 3)/(5 + 3). Po transformáciách dostaneme všeobecnú rovnicu mediánu 8x - 5y - 7 = 0./p>

Na nájdenie rovnice pre výšku L AH využijeme fakt, že výška je kolmá na opačnú stranu trojuholníka. Preto je vektor BC kolmý na výšku AH a možno ho zvoliť ako normálový vektor priamky LAH. Rovnicu tejto priamky získame z (4.15) dosadením súradníc bodu A a normálového vektora priamky L AH:

(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) = 0.

Po transformáciách dostaneme všeobecnú výškovú rovnicu 3x - 2y - 3 = 0.

Na nájdenie rovnice osi L AD využívame skutočnosť, že osi AD patrí do množiny tých bodov N(x; y), ktoré sú rovnako vzdialené od priamok L AB a L AC. Rovnica tejto množiny má tvar

P(N, L AB) = P(N, L AC), (4,28)

a definuje dve priamky prechádzajúce bodom A a deliace uhly medzi priamkami L AB a L AC na polovicu. Pomocou rovnice priamky prechádzajúcej dvoma bodmi nájdeme všeobecné rovnice priamok L AB a L AC:

L AB: (x + 1)/(7 + 1) = (y + 3)/(3 + 3), L AC: (x + 1)/(1 + 1) = (y + 3)/(7 + 3)

Po transformáciách dostaneme L AB: 3x - 4y - 9 = 0, L AC: 5x - y + 2 = 0. Rovnicu (4.28) napíšeme pomocou vzorca (4.27) na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke v formulár

Poďme to transformovať rozšírením modulov:

V dôsledku toho získame všeobecné rovnice dvoch riadkov

(3 ± 25/√26)x + (-4 ± 5/√26)y + (-9 ± 10/√26) = 0

Aby sme z nich vybrali rovnicu osy, berieme do úvahy, že vrcholy B a C trojuholníka sa nachádzajú na opačných stranách požadovanej priamky, a preto náhrada ich súradníc na ľavú stranu všeobecnej rovnice priamky L AD by mala uveďte hodnoty s rôznymi znakmi. Zvolíme rovnicu zodpovedajúcu hornému znamienku, t.j.

(3 - 25/√26)x + (-4 + 5/√26)y + (-9 - 10/√26) = 0

Nahradením súradníc bodu B do ľavej strany tejto rovnice dostaneme zápornú hodnotu, pretože

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

a rovnaké znamienko sa získa pre súradnice bodu C, keďže

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

V dôsledku toho sú vrcholy B a C umiestnené na rovnakej strane priamky s vybranou rovnicou, a preto je rovnica osi

(3 + 25/√26)x + (-4 - 5/√26)y + (-9 + 10/√26) = 0.

Ach-och-och-och-och... no je to ťažké, akoby si čítal vetu sám pre seba =) Relax však pomôže neskôr, najmä keď som si dnes kúpila príslušné doplnky. Preto poďme k prvej časti, dúfam, že do konca článku si udržím veselú náladu.

Relatívna poloha dvoch priamych čiar

To je prípad, keď publikum spieva v zbore. Dve rovné čiary môžu:

1) zápas;

2) byť paralelné: ;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode: .

Pomoc pre figuríny : prosím, zapamätajte si matematický znak križovatky, bude sa to vyskytovať veľmi často. Zápis znamená, že čiara sa pretína s čiarou v bode .

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch čiar?

Začnime prvým prípadom:

Dve čiary sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú ich zodpovedajúce koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje číslo „lambda“ také, že sú splnené rovnosti

Uvažujme priame čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov vytvorte tri rovnice: . Z každej rovnice vyplýva, že tieto čiary sa teda zhodujú.

Vskutku, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobte –1 (znamienka zmeny) a všetky koeficienty rovnice znížením o 2, dostanete rovnakú rovnicu: .

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve čiary sú rovnobežné vtedy a len vtedy, ak sú ich koeficienty premenných úmerné: , Ale.

Ako príklad zvážte dve priame čiary. Skontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však celkom zrejmé, že.

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve čiary sa pretínajú vtedy a len vtedy, ak ich koeficienty premenných NIE sú proporcionálne, to znamená, že NEEXISTUJE taká hodnota „lambda“, aby boli splnené rovnosti

Takže pre priame čiary vytvoríme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že , a z druhej rovnice: , čo znamená systém je nekonzistentný (žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických problémoch môžete použiť práve diskutovanú schému riešenia. Mimochodom, veľmi to pripomína algoritmus na kontrolu kolinearity vektorov, na ktorý sme sa pozreli v triede Koncept lineárnej (ne)závislosti vektorov. Základy vektorov . Existuje však civilizovanejší obal:

Príklad 1

Zistite vzájomnú polohu čiar:

Riešenie založené na štúdiu smerových vektorov priamych čiar:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, čo znamená, že vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre každý prípad dám na križovatku kameň so značkami:

Zvyšok preskočte kameň a choďte ďalej, priamo ku Kašchei nesmrteľnému =)

b) Nájdite smerové vektory čiar:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo zhodné. Tu nie je potrebné počítať determinant.

Je zrejmé, že koeficienty neznámych sú úmerné a .

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

teda

c) Nájdite smerové vektory čiar:

Vypočítajme determinant tvorený súradnicami týchto vektorov:
, preto sú smerové vektory kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné alebo zhodné.

Koeficient proporcionality „lambda“ je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Dá sa to však zistiť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Oba voľné termíny sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (vo všeobecnosti ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo ste sa dokonca už naučili) riešiť diskutovaný problém doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tomto ohľade nevidím zmysel ponúkať čokoľvek pre nezávislé riešenie, je lepšie položiť ďalšiu dôležitú tehlu do geometrického základu:

Ako zostrojiť priamku rovnobežnú s danou?

Pre neznalosť tohto najjednoduchšia úloha Zbojník slávik prísne trestá.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu pre rovnobežku, ktorá prechádza bodom.

Riešenie: Neznámy riadok označme písmenom . Čo o nej hovorí stav? Priamka prechádza bodom. A ak sú čiary rovnobežné, potom je zrejmé, že smerový vektor priamky „tse“ je vhodný aj na zostrojenie priamky „de“.

Z rovnice vyberieme smerový vektor:

Odpoveď:

Príklad geometrie vyzerá jednoducho:

Analytické testovanie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či priamky majú rovnaký smerový vektor (ak rovnica priamky nie je správne zjednodušená, vektory budú kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici.

Vo väčšine prípadov možno analytické testovanie ľahko vykonať ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo určia rovnobežnosť čiar bez akéhokoľvek kreslenia.

Príklady nezávislých riešení dnes budú kreatívne. Pretože stále budete musieť súťažiť s Babou Yagou a ona, viete, je milovníčkou najrôznejších hádaniek.

Príklad 3

Napíšte rovnicu pre priamku prechádzajúcu bodom rovnobežným s priamkou ak

Existuje racionálny a nie až taký racionálny spôsob, ako to vyriešiť. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými líniami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhodujúcich sa línií je málo zaujímavý, preto sa pozrime na problém, ktorý je vám veľmi známy zo školských osnov:

Ako nájsť priesečník dvoch čiar?

Ak rovno pretínajú v bode , potom sú riešením jeho súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník čiar? Vyriešte systém.

Nech sa páči geometrický význam systému dvoch lineárne rovnice s dvoma neznámymi- sú to dve pretínajúce sa (najčastejšie) čiary v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník čiar

Riešenie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafická metóda je jednoducho nakresliť dané čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je naša pointa: . Pre kontrolu by ste mali nahradiť jej súradnice do každej rovnice čiary, mali by sa zmestiť tam aj tam. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému. V podstate sme sa pozreli na grafické riešenie sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda samozrejme nie je zlá, no sú tu citeľné nevýhody. Nie, nejde o to, že siedmaci sa takto rozhodujú, ide o to, že vytvorenie správneho a PRESNEHO nákresu zaberie čas. Navyše, niektoré rovné čiary nie je také ľahké zostrojiť a samotný priesečník sa môže nachádzať niekde v tridsiatom kráľovstve mimo zošitového listu.

Preto je vhodnejšie hľadať priesečník analytickou metódou. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda sčítania rovníc po členoch. Ak chcete rozvíjať príslušné zručnosti, vezmite si lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Kontrola je triviálna - súradnice priesečníka musia spĺňať každú rovnicu systému.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Je vhodné rozdeliť úlohu do niekoľkých etáp. Analýza stavu naznačuje, že je potrebné:
1) Napíšte rovnicu priamky.
2) Vytvorte rovnicu priamky.
3) Zistite vzájomnú polohu čiar.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj akčného algoritmu je typický pre mnohé geometrické problémy a budem sa na to opakovane zameriavať.

Kompletné riešenie a odpoveď na konci lekcie:

Predtým, ako sme sa dostali k druhej časti lekcie, neboli opotrebované ani topánky:

Kolmé čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi rovnými čiarami

Začnime typickou a veľmi dôležitou úlohou. V prvej časti sme sa naučili, ako postaviť priamku rovnobežnú s touto, a teraz sa chatrč na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako zostrojiť priamku kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou. Napíšte rovnicu kolmú na priamku prechádzajúcu bodom.

Riešenie: Podľa podmienok je známe, že . Bolo by pekné nájsť smerový vektor čiary. Keďže čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstránime“ normálový vektor: , ktorý bude smerovacím vektorom priamky.

Zostavme rovnicu priamky pomocou bodu a smerového vektora:

Odpoveď:

Rozšírime geometrický náčrt:

Hmmm... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Z rovníc vyberieme smerové vektory a s pomocou skalárny súčin vektorov prichádzame k záveru, že priamky sú skutočne kolmé: .

Mimochodom, môžete použiť normálne vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod vyhovuje výslednej rovnici .

Test je opäť jednoduché vykonať ústne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je rovnica známa a bodka.

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Problém má viacero akcií, preto je vhodné formulovať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Máme pred sebou rovný pás rieky a našou úlohou je dostať sa k nemu najkratšou cestou. Neexistujú žiadne prekážky a najoptimálnejšou trasou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmého segmentu.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom „rho“, napríklad: – vzdialenosť od bodu „em“ k priamke „de“.

Vzdialenosť od bodu k čiare vyjadrené vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k čiare

Riešenie: všetko, čo musíte urobiť, je starostlivo nahradiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Urobme výkres:

Nájdená vzdialenosť od bodu k čiare je presne dĺžka červeného segmentu. Ak nakreslíte kresbu na kockovaný papier v mierke 1 jednotky. = 1 cm (2 bunky), potom možno vzdialenosť odmerať obyčajným pravítkom.

Uvažujme o ďalšej úlohe založenej na rovnakom výkrese:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku . Navrhujem vykonať kroky sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s priebežnými výsledkami:

1) Nájdite čiaru, ktorá je kolmá na čiaru.

2) Nájdite priesečník čiar: .

Obe akcie sú podrobne diskutované v tejto lekcii.

3) Bod je stredom segmentu. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredu segmentu nájdeme .

Bolo by dobré skontrolovať, či je vzdialenosť tiež 2,2 jednotky.

Pri výpočtoch tu môžu nastať ťažkosti, ale vo veži je veľkým pomocníkom mikrokalkulačka, ktorá vám umožní vypočítať bežné zlomky. Už som Vám mnohokrát poradil a budem Vás odporúčať znova.

Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad, aby ste sa rozhodli sami. Dám vám malú nápovedu: existuje nekonečne veľa spôsobov, ako to vyriešiť. Zhrnutie na konci lekcie, ale je lepšie sa pokúsiť uhádnuť sami, myslím, že vaša vynaliezavosť bola dobre vyvinutá.

Uhol medzi dvoma priamymi čiarami

Každý roh je zárubňou:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamkami považuje za MENŠÍ uhol, z čoho automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepovažuje za uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami. A jeho “zelený” sused resp opačne orientované„malinový“ kútik.

Ak sú čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, zásadne dôležitý je smer, v ktorom sa uhol „posúva“. Po druhé, negatívne orientovaný uhol sa zapíše so znamienkom mínus, napríklad ak .

Prečo som ti to povedal? Zdá sa, že si vystačíme s obvyklou koncepciou uhla. Faktom je, že vzorce, podľa ktorých nájdeme uhly, môžu ľahko vyústiť do negatívneho výsledku, a to by vás nemalo zaskočiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi špecifický geometrický význam. V prípade záporného uhla na výkrese nezabudnite označiť jeho orientáciu šípkou (v smere hodinových ručičiek).

Ako nájsť uhol medzi dvoma priamkami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi čiarami

Riešenie A Metóda jedna

Uvažujme dve priame čiary dané rovnicami v všeobecný pohľad:

Ak rovno nie kolmá, To orientovaný Uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Pozorne si všímajme menovateľa – presne taký je skalárny produkt smerovanie vektorov priamych čiar:

Ak , potom sa menovateľ vzorca stane nulou a vektory budú ortogonálne a čiary budú kolmé. Preto bola vznesená výhrada k nekolmosti priamych čiar vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je vhodné formalizovať riešenie v dvoch krokoch:

1) Vypočítajme skalárny súčin smerových vektorov priamok:
, čo znamená, že čiary nie sú kolmé.

2) Nájdite uhol medzi priamymi čiarami pomocou vzorca:

Pomocou inverznej funkcie je ľahké nájsť samotný uhol. V tomto prípade používame nepárnosť arkustangens (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií ):

Odpoveď:

V odpovedi uvádzame presná hodnota, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch a radiánoch), vypočítanú pomocou kalkulačky.

No, mínus, mínus, nič veľké. Tu je geometrická ilustrácia:

Nie je prekvapujúce, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože v probléme je prvé číslo priamka a „odskrutkovanie“ uhla začalo presne s ním.

Ak naozaj chcete získať kladný uhol, musíte zameniť čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a zoberte koeficienty z prvej rovnice. Stručne povedané, musíte začať s priamym .

Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice vedenej od bodu k priamke. V deskriptívnej geometrii sa určuje graficky pomocou nižšie uvedeného algoritmu.

Algoritmus

1. Priamka sa presunie do polohy, v ktorej bude rovnobežná s akoukoľvek rovinou premietania. Na tento účel sa používajú metódy transformácie ortogonálnych projekcií.
2. Z bodu je nakreslená kolmica na priamku. Táto konštrukcia je založená na teoréme o premietaní pravého uhla.
3. Dĺžka kolmice sa určuje transformáciou jej priemetov alebo metódou pravouhlého trojuholníka.

Nasledujúci obrázok znázorňuje komplexný výkres bodu M a priamky b, definovaného segmentom CD. Musíte nájsť vzdialenosť medzi nimi.

Podľa nášho algoritmu prvá vec, ktorú musíte urobiť, je presunúť čiaru do polohy rovnobežnej s rovinou projekcie. Je dôležité pochopiť, že po vykonaní transformácií by sa skutočná vzdialenosť medzi bodom a čiarou nemala meniť. Preto je tu vhodné použiť metódu náhrady roviny, ktorá nezahŕňa pohyb postáv v priestore.

Výsledky prvej etapy výstavby sú uvedené nižšie. Obrázok ukazuje, ako sa zavedie ďalšia čelná rovina P 4 rovnobežne s b. IN nový systém(P 1, P 4) body C"" 1, D"" 1, M"" 1 sú v rovnakej vzdialenosti od osi X 1 ako C"", D"", M"" od osi X.

Pri vykonávaní druhej časti algoritmu z M"" 1 spustíme kolmicu M"" 1 N"" 1 na priamku b"" 1, pretože pravý uhol MND medzi b a MN sa premieta do roviny P. 4 v plnej veľkosti. Pomocou komunikačnej linky určíme polohu bodu N" a vykonáme projekciu M"N" segmentu MN.

V záverečnej fáze musíte určiť veľkosť segmentu MN z jeho projekcií M"N" a M"" 1 N"" 1. Pre toto staviame správny trojuholník M"" 1 N"" 1 N 0, ktorého noha N"" 1 N 0 sa rovná rozdielu (Y M 1 – Y N 1) vzdialenosti bodov M" a N" od osi X 1. Dĺžka prepony M"" 1 N 0 trojuholníka M"" 1 N"" 1 N 0 zodpovedá požadovanej vzdialenosti od M po b.

Druhé riešenie

• Paralelne s CD zavádzame novú čelnú rovinu P 4. Pretína P1 pozdĺž osi X1 a X1∥C"D". V súlade so spôsobom nahradenia rovín určíme priemety bodov C"" 1, D"" 1 a M"" 1, ako je znázornené na obrázku.
• Kolmo na C"" 1 D"" 1 postavíme ďalšiu vodorovnú rovinu P 5, na ktorú sa premietne priamka b do bodu C" 2 = b" 2.
• Vzdialenosť medzi bodom M a čiarou b je určená dĺžkou úsečky M" 2 C" 2 vyznačenej červenou farbou.

Podobné úlohy: