Symetrické obrazce vzhľadom na os symetrie. Začnite vo vede

V širšom zmysle je symetria zachovaním niečoho nezmeneného pri niektorých transformáciách. Túto vlastnosť majú aj niektoré geometrické tvary.

Geometrická symetria

Aplikovaný na geometrický obrazec znamená, že ak sa tento útvar transformuje – napríklad pootočí – niektoré jeho vlastnosti zostanú rovnaké.

Možnosť takýchto premien sa líši od postavy k postave. Kružnicu je možné napríklad otáčať koľko len chcete okolo bodu nachádzajúceho sa v jej strede, zostane kružnicou, nič sa pre ňu nezmení.

Pojem symetria možno vysvetliť bez toho, aby sme sa uchýlili k rotácii. Stačí nakresliť stredom kruhu priamku a kdekoľvek na obrázku zostrojiť na ňu kolmú úsečku, ktorá spája dva body na kruhu. Priesečník s čiarou sa rozdelí na dve časti, ktoré si budú navzájom rovné.

Inými slovami, priamka rozdelila postavu na dve rovnaké časti. Body častí obrázku umiestnených na priamkach kolmých na daný obrázok sú od neho v rovnakej vzdialenosti. Táto priamka sa bude nazývať os symetrie. Tento druh symetrie sa nazýva osová symetria.

Počet osí symetrie

Množstvo bude iné. Napríklad kruh a guľa majú veľa takýchto osí. Rovnostranný trojuholník má os súmernosti, ktorá je kolmá na každú stranu, preto má tri osi. Štvorec a obdĺžnik môžu mať štyri osi súmernosti. Dve z nich sú kolmé na strany štvoruholníkov a ďalšie dve sú uhlopriečky. Ale rovnoramenný trojuholník má iba jednu os symetrie, ktorá sa nachádza medzi jeho rovnakými stranami.

Osová súmernosť sa vyskytuje aj v prírode. Dá sa pozorovať v dvoch verziách.

Prvým typom je radiálna symetria, ktorá zahŕňa prítomnosť niekoľkých osí. Typická je napríklad pre morské hviezdice. Vyspelejšie organizmy sa vyznačujú bilaterálnou alebo bilaterálnou symetriou s jednou osou rozdeľujúcou telo na dve časti.

Ľudské telo má tiež bilaterálnu symetriu, ale nemožno ju nazvať ideálnou. Nohy, ruky, oči, pľúca sú umiestnené symetricky, ale nie srdce, pečeň či slezina. Odchýlky od bilaterálnej symetrie sú badateľné aj navonok. Napríklad je veľmi zriedkavé, že človek má na oboch lícach rovnaké krtky.

Os symetrie je priamka, keď sa okolo nej otočí o určitý uhol, postava sa zarovná sama so sebou.

Najmenší uhol natočenia, ktorý postaví do sebazarovnania, sa nazýva elementárny uhol natočenia osi. Elementárny uhol natočenia osi  je celé číslo krát 360 :

kde n je celé číslo.

Číslo n, ktoré ukazuje, koľkokrát je elementárny uhol natočenia osi obsiahnutý v 360°, sa nazýva poradie osi.

Geometrické obrazce môžu obsahovať osi ľubovoľného rádu, počnúc osou prvého rádu a končiac osou nekonečného rádu.

Elementárny uhol natočenia osi prvého poriadku (n = 1) sa rovná 360°. Keďže každá figúrka, otočená v ľubovoľnom smere o 360 0, je kombinovaná sama so sebou, potom má každá figúrka nekonečný počet osí prvého rádu. Takéto osi nie sú charakteristické, preto sa zvyčajne neuvádzajú.

Os nekonečného poriadku zodpovedá nekonečne malému elementárnemu uhlu natočenia. Táto os je prítomná na všetkých obrázkoch otáčania ako os otáčania.

Príkladom osí tretieho, štvrtého, piateho, šiesteho atď. rádu sú kolmice na rovinu kresby, prechádzajúce stredmi pravidelných mnohouholníkov, trojuholníkov, štvorcov, päťuholníkov atď.

V geometrii teda existuje nekonečný rad osí rôznych rádov.

V kryštalických mnohostenoch nie sú možné žiadne osi symetrie, ale iba osi prvého, druhého, tretieho, štvrtého a šiesteho rádu.

Osi symetrie piateho a vyššieho ako šiesteho rádu sú v kryštáloch nemožné. Táto poloha je jedným zo základných zákonov kryštalografie a je tzv zákon symetrie kryštálov.

Podobne ako iné geometrické zákony kryštalografie, zákon kryštálovej symetrie sa vysvetľuje mriežkovou štruktúrou kryštalickej látky. Pretože symetria kryštálu je prejavom symetrie jeho vnútornej štruktúry, potom sú v kryštáloch možné len také prvky symetrie, ktoré nie sú v rozpore s vlastnosťami priestorovej mriežky.

Dokážme, že os piateho rádu nespĺňa zákony priestorovej mriežky, a tým dokážme jej nemožnosť v kryštalických mnohostenoch.

Predpokladajme, že je možná os piateho rádu v priestorovej mriežke. Nech je táto os kolmá na rovinu kreslenia, pričom ju pretína v bode O (obr. 2.9). V konkrétnom prípade sa bod O môže zhodovať s jedným z uzlov mriežky.

Ryža.

Zoberme si uzol mriežky A 1 najbližšie k osi, ležiaci v rovine výkresu. Keďže okolo osi piateho rádu sa všetko opakuje päťkrát, v rovine kreslenia by k nej malo byť len päť najbližších uzlov: A 1, A 2, A 3, A 4, A 5. Nachádzajú sa v rovnakých vzdialenostiach od bodu O vo vrcholoch pravidelného päťuholníka a pri otočení okolo O o 360/5 = 72° sú navzájom zarovnané.

Týchto päť uzlov, ležiacich v rovnakej rovine, tvorí plochú sieť priestorovej mriežky a preto sú na ne aplikovateľné všetky základné vlastnosti mriežky. Ak uzly A 1 a A 2 patria do radu plochej mriežky s medzerou A 1 A 2, potom cez akýkoľvek mriežkový uzol môžete nakresliť rad rovnobežný s radom A 1 A 2. Nakreslíme takýto riadok cez uzol A 3. Tento rad, ktorý tiež prechádza cez uzol A 5, musí mať medzeru rovnajúcu sa A 1 A 2, keďže v priestorovej mriežke majú všetky rovnobežné rady rovnakú hustotu.

Preto vo vzdialenosti A 3 A x = A 1 A 2 od uzla A 3 musí byť ďalší uzol A x. Ukázalo sa však, že dodatočný uzol Ax leží bližšie k bodu O ako uzol A1, ktorý je podľa konvencie najbližšie k osi piateho rádu.

Predpoklad, ktorý sme urobili o možnosti osi piateho rádu v priestorových mriežkach, nás teda viedol k zjavnej absurdite, a preto je chybný.

Keďže existencia osi piateho rádu je nezlučiteľná so základnými vlastnosťami priestorovej mriežky, takáto os je v kryštáloch nemožná.

Podobným spôsobom je dokázaná nemožnosť existencie osí symetrie vyšších ako šiesteho rádu v kryštáloch a naopak možnosť osí druhého, tretieho, štvrtého a šiesteho rádu v kryštáloch, ktorých prítomnosť nie je v rozpore. vlastnosti priestorových mriežok.

Na označenie osí symetrie sa používa písmeno L a poradie osi je označené malým číslom umiestneným napravo od písmena (napríklad L 4 je os štvrtého rádu).

V kryštalických mnohostenoch môžu osi symetrie prechádzať stredmi protiľahlých plôch, ktoré sú na ne kolmé, cez stredy protiľahlých hrán, ktoré sú na ne kolmé (len L 2) a cez vrcholy mnohostenu. V druhom prípade sú symetrické plochy a hrany rovnako naklonené k danej osi.

Kryštál môže mať niekoľko osí symetrie rovnakého rádu, ktorých počet je označený koeficientom pred písmenom. Napríklad v pravouhlom rovnobežnostene je 3L2, t.j. tri osi symetrie druhého rádu; v kocke sú 3L 4, 4L 3 a 6L 2, teda tri osi súmernosti štvrtého rádu, štyri osi tretieho rádu a šesť osí druhého rádu atď.

« Symetria„v preklade z gréčtiny znamená „proporcionalita“ (opakovanie). Symetrické telesá a objekty pozostávajú z ekvivalentných častí, ktoré sa pravidelne opakujú v priestore. Obzvlášť rôznorodá je symetria kryštálov. Rôzne kryštály majú väčšiu alebo menšiu symetriu. Je to ich najdôležitejšia a špecifická vlastnosť, odrážajúca pravidelnosť vnútornej štruktúry.

Podľa presnejšej definície symetria- ide o prirodzené opakovanie prvkov (alebo častí) postavy alebo akéhokoľvek telesa, v ktorom sa postava spája sama so sebou za určitých transformácií (rotácia okolo osi, odraz v rovine). Prevažná väčšina kryštálov má symetriu.

Pojem symetria zahŕňa jej základné časti - prvky symetrie. Toto zahŕňa rovina symetrie, os symetrie, stred symetrie, alebo inverzný stred.

Rovina symetrie rozdeľuje kryštál na dve zrkadlovo rovnaké časti. Označuje sa písmenom P. Časti, do ktorých rovina symetrie zarezáva mnohosten, sú vo vzájomnom vzťahu, ako predmet k jeho obrazu v zrkadle Rôzne kryštály majú rôzny počet rovín symetrie, v ktorých je umiestnený pred písmenom P. Najväčší počet takýchto rovín v prírodných kryštáloch je deväť 9P . V kryštáli síry sú 3P, ale v sadre je len jeden. To znamená, že jeden kryštál môže mať niekoľko rovín symetrie. V niektorých kryštáloch nie je rovina symetrie.

Pokiaľ ide o prvky obmedzenia, rovina symetrie môže zaberať nasledujúcu polohu:

1. prechádza cez rebrá;
2. ležia kolmo na rebrá v ich stredoch;
3. prejsť cez tvár kolmo na ňu;
4. pretínajú čelné uhly v ich vrcholoch.

V kryštáloch sú možné nasledujúce počty rovín symetrie: 9P, 7P, 6P, 5P, 4P, 3P, 2P, P, žiadna rovina symetrie.

Os symetrie

Os symetrie- pomyselná os, okolo ktorej je o určitý uhol otočená postava v priestore zarovnaná sama so sebou. Označuje sa písmenom L. V kryštáloch sa pri otáčaní okolo osi symetrie o celé otočenie môžu rovnaké obmedzujúce prvky (plochy, hrany, rohy) opakovať iba 2, 3, 4, 6-krát. Podľa toho sa osi budú nazývať osami symetrie druhého, tretieho, štvrtého a šiesteho rádu a budú označené: L2, L3, L4 a L6 Poradie osi je určené počtom zarovnaní pri otočení o 360°.

Os symetrie prvého rádu sa neberie do úvahy, pretože ju vôbec nemajú postavy, vrátane asymetrických. Počet osí rovnakého rádu sa píše pred písmenom L: 6L6, 3L4 atď.

Stred symetrie

Stred symetrie- toto je bod vo vnútri kryštálu, v ktorom sa pretínajú a pretínajú čiary spájajúce identické prvky kryštálovej hranice (plochy, hrany, rohy). Označuje sa písmenom C. V praxi sa prítomnosť stredu symetrie prejaví tak, že každá hrana mnohostenu má hranu rovnobežnú so sebou, každá plocha má rovnakú zrkadlovo inverznú plochu rovnobežnú so sebou. Ak mnohosten obsahuje plochy, ktoré nemajú rovnobežné plochy, potom takýto mnohosten nemá stred symetrie.

Stačí položiť mnohosten lícom na stôl, aby ste si všimli, či je na vrchu rovnobežná s ním rovnaká zrkadlovo prevrátená plocha. Samozrejme, je potrebné skontrolovať paralelnosť všetkých typov plôch.

Existuje množstvo jednoduchých vzorov, pomocou ktorých sú prvky symetrie navzájom kombinované. Význam týchto pravidiel uľahčuje ich nájdenie.

1. Priesečník dvoch alebo viacerých rovín je osou symetrie. Poradie takejto osi sa rovná počtu rovín, ktoré sa v nej pretínajú.
2. L6 môže byť v kryštáli prítomný iba v jednotnom čísle.
3. L4 ani L3 nemožno kombinovať s L6, ale L2 možno kombinovať a L6 a L2 musia byť kolmé; v tomto prípade je prítomný 6L2.
4. L4 sa môže vyskytovať v singulári alebo v troch na seba kolmých osiach.
5. L3 sa môže vyskytovať singulárne alebo s 4L3.

Stupeň symetrie je súhrn všetkých prvkov symetrie, ktoré daný kryštál vlastní.

Kryštál v tvare kocky má vysoký stupeň symetrie. Obsahuje tri osi symetrie štvrtého rádu (3L4) prechádzajúce stredom stien kocky, štyri osi symetrie tretieho rádu (4L3) prechádzajúce cez vrcholy trojstenných uhlov a šesť osí druhého rádu (6L2) prechádzajúcich cez stredy okrajov. V priesečníku osí symetrie sa nachádza stred symetrie kocky (C). Okrem toho možno v kocke nakresliť deväť rovín symetrie (9P). Prvky symetrie kryštálu môžu byť vyjadrené kryštalografickým vzorcom.

Pre kocku je vzorec: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Ruský vedec A.V. Gadolin v roku 1869 ukázal, že kryštály majú 32 rôznych kombinácií prvkov symetrie, ktoré tvoria triedy (typy) symetrie. Trieda teda spája skupinu kryštálov s rovnakým stupňom symetrie.

Friedrich V.A. 1

Dementieva V.V. 1

1 Rozpočet obce vzdelávacia inštitúcia„Priemerný všeobecná školač. 6", Alexandrovsk, Permská oblasť

Text práce je uverejnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práca je dostupná v záložke "Pracovné súbory" vo formáte PDF

Úvod

„Stojím pred čiernou tabuľou a kreslím si na ňu

kriedou rôzne postavy,

Zrazu ma napadla myšlienka:

Prečo je symetria príjemná pre oči?

Čo je symetria?

Toto je vrodený pocit, odpovedal som si."

L.N. Tolstého

V učebnici matematiky pre 6. ročník, autor S. M. Nikolsky, na stranách 132 - 133, časť Doplňujúce úlohy ku kapitole č.3, sú úlohy na štúdium útvarov v rovine, ktoré sú symetrické vzhľadom na priamku. Táto téma ma zaujala, rozhodol som sa splniť úlohy a preštudovať si túto tému podrobnejšie.

Predmetom štúdia je symetria.

Predmetom štúdia je symetria ako základný zákon vesmíru.

Ktorú hypotézu budem testovať:

Verím, že osová súmernosť nie je len matematický a geometrický pojem a používa sa len na riešenie relevantných problémov, ale je aj základom harmónie, krásy, rovnováhy a stability. Princíp symetrie sa používa takmer vo všetkých vedách, v našej Každodenný život a je jedným zo „základných“ zákonov, na ktorých je založený vesmír ako celok.

Relevantnosť témy

Pojem symetria prechádza celou stáročnou históriou ľudskej tvorivosti. Nachádza sa už pri počiatkoch jeho vývoja. V dnešnej dobe je asi ťažké nájsť človeka, ktorý by nemal predstavu o symetrii. Svet, v ktorom žijeme, je naplnený symetriou domov, ulíc, výtvorov prírody a človeka. So symetriou sa stretávame doslova na každom kroku: v technike, umení, vede.

Preto sú znalosti a porozumenie o symetrii vo svete okolo nás povinné a nevyhnutné, čo bude v budúcnosti užitočné pri štúdiu iných vedných odborov. Toto je relevantnosť mnou zvolenej témy.

Cieľ a úlohy

Cieľ práce: zistiť, akú úlohu hrá symetria v každodennom živote človeka, v prírode, architektúre, každodennom živote, hudbe a iných vedách.

Aby som dosiahol svoj cieľ, musím splniť nasledujúce úlohy:

1. Nájdite si potrebné informácie, literatúru a fotografie. Zisťovať čo najväčšie množstvo údajov potrebných pre moju prácu pomocou zdrojov, ktoré mám k dispozícii: učebnice, encyklopédie alebo iné médiá relevantné k danej téme.

2. Uveďte všeobecný pojem symetrie, druhy symetrie a históriu vzniku pojmu.

3. Ak chcete potvrdiť svoju hypotézu, vytvorte remeslá a vykonajte experiment s týmito postavami, ktoré majú symetriu a nie sú asymetrické.

4. Predveďte a prezentujte výsledky pozorovaní vo svojom výskume.

Pre praktickú časť výskumná práca Musím urobiť nasledovné, pre ktoré som vypracoval pracovný plán:

1. Vytvorte si vlastnými rukami remeslá so špecifikovanými vlastnosťami - symetrické a nesymetrické modely, zloženie, pomocou farebného papiera, kartónu, nožníc, fixiek, lepidla atď.;

2. Vykonajte experiment s mojimi remeslami s dvoma možnosťami symetrie.

3. Skúmajte, analyzujte a systematizujte výsledky získané vytvorením tabuľky.

4. Na vizuálne a zaujímavé upevnenie získaných vedomostí pomocou aplikácie „Paint 3D“ vytvorte kresby pre prehľadnosť, ako aj nakreslite obrázky s úlohami - dokončiť kresbu symetrickej polovice (začínajúc jednoduchými kresbami a končiac zložité) a skombinovať ich, čím vznikne elektronická kniha.

Výskumné metódy:

1. Analýza článkov a všetkých informácií o symetrii.

2. Počítačové modelovanie (spracovanie fotografií pomocou grafického editora).

3. Zovšeobecnenie a systematizácia získaných údajov.

Hlavná časť.

Osová súmernosť a pojem dokonalosti

Od staroveku si človek rozvíjal predstavy o kráse a snažil sa pochopiť význam dokonalosti. Všetky výtvory prírody sú nádherné. Ľudia sú svojím spôsobom krásni, zvieratá a rastliny úžasné. Pohľad lahodí oku drahokam alebo soľný kryštál, je ťažké neobdivovať snehovú vločku alebo motýľa. Ale prečo sa to deje? Zdá sa nám, že vzhľad predmetov je správny a úplný, ktorých pravá a ľavá polovica vyzerajú rovnako.

O podstate krásy sa zrejme ako prví zamysleli ľudia umenia.

Tento koncept bol prvýkrát podložený umelcami, filozofmi a matematikmi Staroveké Grécko. Starovekí sochári, ktorí študovali štruktúru ľudského tela, už v 5. storočí pred Kristom. Začal sa používať pojem „symetria“. Toto slovo je gréckeho pôvodu a znamená harmóniu, proporcionalitu a podobnosť v usporiadaní jednotlivých častí. Staroveký grécky mysliteľ a filozof Platón tvrdil, že len to, čo je symetrické a primerané, môže byť krásne.

V skutočnosti tie javy a formy, ktoré sú proporcionálne a úplné, „potešia oko“. Nazývame ich správne.

Typy symetrie

V geometrii a matematike sa berú do úvahy tri typy symetrie: osová súmernosť (vzhľadom na priamku), stredová (vzhľadom na bod) a zrkadlová symetria (vzhľadom na rovinu).

Osová súmernosť ako matematický pojem

Body sú symetrické voči určitej priamke (osi súmernosti), ak ležia na priamke kolmej na túto priamku a v rovnakej vzdialenosti od osi súmernosti.

Obrazec sa považuje za symetrický vzhľadom na priamku, ak sa pre každý bod uvažovaného obrazca na tomto obrazci nachádza aj bod, ktorý je preň symetrický vzhľadom na danú priamku. Priamka je v tomto prípade osou symetrie postavy.

Čísla, ktoré sú symetrické podľa priamky, sú rovnaké. Ak je geometrický útvar charakterizovaný osovou symetriou, definíciu zrkadlových bodov možno vizualizovať jednoduchým ohnutím pozdĺž osi a umiestnením rovnakých polovíc „tvárou v tvár“. Požadované body sa budú navzájom dotýkať.

Príklady osi symetrie: os nerozvinutého uhla rovnoramenného trojuholníka, akákoľvek priamka vedená stredom kruhu atď. Ak je geometrický útvar charakterizovaný osovou symetriou, definíciu zrkadlových bodov možno vizualizovať jednoduchým ohnutím pozdĺž osi a umiestnením rovnakých polovíc „tvárou v tvár“. Požadované body sa budú navzájom dotýkať.

Obrázky môžu mať niekoľko osí symetrie:

· osou súmernosti uhla je priamka, na ktorej leží jeho os;

· os súmernosti kružnice a kružnice je ľubovoľná priamka prechádzajúca ich priemerom;

Rovnoramenný trojuholník má jednu os symetrie, rovnostranný trojuholník- tri osi súmernosti;

· obdĺžnik má 2 osi súmernosti, štvorec má 4 a kosoštvorec má 2 osi súmernosti.

Os symetrie je pomyselná čiara rozdeľujúca objekt na symetrické časti. Pre prehľadnosť je to znázornené na mojom výkrese.

Existujú postavy, ktoré nemajú jedinú os symetrie. Medzi takéto obrázky patrí rovnobežník, ktorý sa líši od obdĺžnika a kosoštvorca, a zmenšený trojuholník.

Osová symetria v prírode

Príroda je múdra a racionálna, preto takmer všetky jej výtvory majú harmonickú štruktúru. To platí pre živé bytosti aj neživé predmety.

Pozorné pozorovanie ukazuje, že základom krásy mnohých foriem vytvorených prírodou je symetria. Listy, kvety a plody majú výraznú symetriu. Ich zrkadlová, radiálna, stredová, osová symetria je zrejmá. Je to z veľkej časti spôsobené fenoménom gravitácie.

Geometrické tvary kryštálov s ich plochými povrchmi sú úžasným prírodným úkazom. Avšak pravý fyzická symetria kryštál sa prejavuje nie až tak v jeho vzhľad, koľko kryštalickej látky je vo vnútornej štruktúre.

Osová súmernosť v živočíšnej ríši

Symetria vo svete živých bytostí sa prejavuje v pravidelnom usporiadaní identických častí tela vzhľadom na stred alebo os. Osová symetria je bežnejšia v prírode. Určuje nielen celkovú stavbu organizmu, ale aj možnosti jeho následného vývoja. Každý živočíšny druh má charakteristickú farbu. Ak sa vo sfarbení objaví vzor, ​​je spravidla duplikovaný na oboch stranách.

Osová súmernosť a človek

Ak sa pozriete na akéhokoľvek živého tvora, okamžite vás upúta symetria stavby tela. Človek: dve ruky, dve nohy, dve oči, dve uši atď.

To znamená, že existuje určitá línia, pozdĺž ktorej možno zvieratá a ľudí vizuálne „rozdeliť“ na dve rovnaké polovice, to znamená, že ich geometrická štruktúra je založená na osovej symetrii.

Ako vidno z vyššie uvedených príkladov, príroda vytvára akýkoľvek živý organizmus nie chaoticky a nezmyselne, ale podľa všeobecných zákonov svetového poriadku, pretože nič vo Vesmíre nemá čisto estetický, dekoratívny účel. Je to spôsobené prirodzenou nevyhnutnosťou.

Samozrejme, príroda sa len zriedka vyznačuje matematickou presnosťou, ale podobnosť prvkov organizmu je stále zarážajúca.

Symetria v architektúre

Od staroveku si architekti dobre uvedomovali matematické proporcie a symetriu a používali ich pri stavbe architektonických štruktúr. Napríklad architektúra Rusov Pravoslávne kostoly a katedrály Ruska: Kremeľ, Chrám Krista Spasiteľa v Moskve, Kazani a Katedrála svätého Izáka Petrohrad atď.

Rovnako ako ďalšie svetoznáme atrakcie, z ktorých mnohé sú vo všetkých krajinách sveta, stále môžeme vidieť: egyptské pyramídy, Louvre, Tádž Mahal, Kolínsku katedrálu atď. Všetky, ako vidíme, majú symetriu.

Symetria v hudbe

Študujem na hudobnej škole a bolo pre mňa zaujímavé nájsť príklady symetrie v tejto oblasti. Hudobné nástroje majú nielen zjavnú symetriu, ale aj časti hudobných diel znejú v určitom poradí, v súlade s partitúrou a zámerom skladateľa.

Napríklad repríza - (francúzska repríza, z reprendre - obnoviť). Opakovanie témy alebo skupiny tém po štádiu jej (ich) rozvoja alebo prezentácia nového tematického materiálu.

Taktiež hudobný princíp rytmu pozostáva z jednorozmerného opakovania v čase v rovnakých intervaloch.

Symetria v technológii

Žijeme v rýchlo sa meniacej high-tech, informačnej spoločnosti a nepremýšľame o tom, prečo niektoré predmety a javy okolo nás prebúdzajú zmysel pre krásu, zatiaľ čo iné nie. Nevšímame si ich, ani neuvažujeme o ich vlastnostiach.

Okrem toho však tieto technické a mechanické zariadenia, časti, mechanizmy, jednotky nebudú môcť správne fungovať a fungovať, ak sa nedodrží symetria, alebo skôr určitá os v mechanike, toto je ťažisko.

Zostatok v strede je v tomto prípade povinný technická požiadavka, ktorých dodržiavanie je prísne regulované GOST alebo TU a musí sa dodržiavať.

Symetria a vesmírne objekty

Ale možno najzáhadnejšie objekty, ktoré znepokojovali mysle mnohých už od staroveku, sú vesmírne objekty. Ktoré majú aj symetriu – slnko, mesiac, planéty.

Tento reťazec môže pokračovať, ale teraz hovoríme o niečom jedinom: že osová symetria je základným zákonom vesmíru, je základom krásy, harmónie a proporcionality a vo vzťahu k matematike.

Praktická časť

Po nájdení potrebných informácií a preštudovaní literatúry som sa presvedčil o správnosti svojej hypotézy a dospel som k záveru, že v očiach človeka je asymetria najčastejšie spojená s nepravidelnosťou alebo menejcennosťou. Preto vo väčšine výtvorov ľudských rúk možno vysledovať symetriu a harmóniu ako nevyhnutnú a povinnú požiadavku.

To je jasne viditeľné na mojej kresbe, ktorá zobrazuje prasa s neprimeranými časťami tela, čo okamžite upúta!

A až potom, čo sa na neho budete pozerať trochu dlhšie, budete ho považovať za roztomilého?

Napriek tomu, že táto téma je známa a dobre preštudovaná, všetky tieto údaje sa posudzujú samostatne v každej disciplíne. Nestretol som sa so zovšeobecnenými údajmi, že sa používa princíp symetrie a práve na ňom sú založené mnohé iné vedy a ich vzťah k matematike.

Preto som sa rozhodol svoje tvrdenie dokázať pre mňa najjednoduchšou a najdostupnejšou metódou. Domnievam sa, že toto riešenie by bolo uskutočniť experiment s testami.

Jasne dokázať, že asymetrické modely nie sú stabilné a nemajú nevyhnutné požiadavky a životne dôležité zručnosti a potvrdenie mojej hypotézy, potrebujem vytvoriť remeslá, kresby a kompozície:

Možnosť 1 - symetrická okolo osi;

Možnosť 2 - s jasným porušením symetrie.

Pretože verím, že takáto nerovnováha bude jasne viditeľná na nasledujúcich príkladoch, pre ktoré som vytvoril origami remeslá (lietadlo a žaba) z farebného papiera. Kvôli čistote experimentu boli vyrobené z rovnakého farebného papiera a boli testované za rovnakých podmienok. A kompozícia „Maják“, kde je maják vyrobený z prázdneho plastová fľaša, pokrytý farebným papierom. Na dekoráciu kompozície som použila hračkárske figúrky ľudí, modely plachetnice a člna, ozdobné kamene a na imitáciu svetla som použila batériový prvok, ktorý svieti.

Vykonal som testy s týmito remeslami, zaznamenal som všetky ukazovatele a vložil ich do tabuľky (všetky ukazovatele si môžete pozrieť v prílohe č. 1, str. 18 - 21).

Všetky remeslá boli vyrobené v súlade s bezpečnostnými predpismi (Príloha č. 2 str. 21)

Analyzoval som všetky prijaté údaje a prišiel som na toto.

Analýza prijatých údajov

Pokus č.1

Skúška- skok do diaľky žiab, merajúci túto vzdialenosť.

Zelená žaba (symetrická) skáče plynulo, na väčšiu vzdialenosť, zatiaľ čo Červená (nie symetrická) nikdy neskočila rovno, vždy s otočením alebo preklopením do strany, na vzdialenosť 2 - 3 krát menšiu.

Môžeme teda konštatovať, že takéto zviera nebude schopné rýchlo loviť alebo naopak utiecť, efektívne získavať potravu, čo znižuje šance na prežitie, čo dokazuje, že v prírode je všetko vyvážené, proporčné, správne - symetrické .

Pokus č.2

Typ testu- vypustenie lietadla do letu a meranie vzdialenosti dĺžky letu.

Lietadlo č. 1 „Ružové“ (symetrické) letí 10-krát, 8-krát hladko a rovno, na maximálnu dĺžku (t.j. celú dĺžku mojej izby) a dráhu letu lietadla č.2 „Oranžové“ (nie symetrické ) od 10-krát - nikdy neletel rovno, vždy s otočkou alebo preklopením, na kratšiu vzdialenosť. To znamená, že ak by išlo o skutočné lietadlo, nedokázalo by plynulo letieť správnym smerom. Takýto let by bol pre ľudí (aj pre vtáky) veľmi nepohodlný až nebezpečný a autá a iné vozidlá by nemohli jazdiť, plávať atď. v požadovanom smere.

Pokus č.3

Typ testu - kontrola stability budovy Mayak, keď sa uhol sklonu konštrukcie vzhľadom na povrch znižuje.

1. Po vytvorení kompozície „Mayak“ som ju nainštaloval rovno, t.j. kolmo (v uhle 90 0) vzhľadom na steny konštrukcie k povrchu. Táto konštrukcia stojí na úrovni a môže podporovať inštalovaný svetelný prvok a ľudskú postavu.

2. Pre ďalšie uskutočnenie experimentu som potreboval nakresliť základňu veže v uhloch rovných 10 0.

Potom som zo základne odrezal uhol rovnajúci sa 10 0.

V uhle 80 0 stojí budova krivo, kýve sa, ale znesie dodatočné zaťaženie.

3. Po odrezaní ďalších 10 0 som dostal uhol sklonu 70 0, pri ktorom sa celá moja konštrukcia zrúti.

Táto skúsenosť dokazuje, že historicky založená tradícia stavania v pravom uhle a zachovania symetrie samotnej stavby je nevyhnutnou podmienkou udržateľnej spoľahlivej výstavby a prevádzky architektonických budov a stavieb.

Pre jasný príklad osovej súmernosti a dôkaz tvrdenia, že človek vníma akékoľvek predmety okolo seba, obrazy zvierat atď. len symetricky, teda keď sú obe strany, „polovice“ rovnaké, rovnaké, som vytvorila elektronickú omaľovánku, ktorá sa dá vytlačiť a tvorí detskú omaľovánku. Táto príručka pomôže všetkým, ktorí chcú lepšie porozumieť téme, zaujímavo a s radosťou stráviť voľný čas (Na tomto obrázku je zobrazená titulná strana, ostatné obrázky sa nachádzajú v prílohe č. 3, s. 21 -24).

Experimenty, ktoré som robil, dokazujú, že symetria nie je len matematický a geometrický pojem, ale je to sféra, prostredie nášho života, určitá technická požiadavka a tiež nevyhnutná podmienka prežitia vo všeobecnosti pre ľudí aj zvieratá. Symetria to všetko spája a ďaleko presahuje bežnú vedu!

Záver

Závery:

Zistil som, že symetria je jednou z hlavných zložiek každodenného života človeka, v domácnostiach, architektúre, technike, prírode, hudbe, vede atď.

výsledok:

Našiel som potrebné informácie, dokázal som svoju hypotézu, testoval a experimentálne potvrdil. Vytvoril som remeslá, kompozície, kresby a elektronickú maľovanku, aby som experiment mohol vizuálne vykonať.

Zistil som, že všetky zákony prírody – biologické, chemické, genetické, astronomické – súvisia so symetriou. Prakticky všetko, čo nás obklopuje, čo je vytvorené človekom, podlieha zásadám symetrie, ktoré sú nám všetkým spoločné, keďže majú závideniahodný systém. Rovnováha, identita ako princíp má teda univerzálny rozsah.

Môžeme povedať, že symetria je základným zákonom, na ktorom sú založené základné zákony vedy? Možno áno.

Veľkí myslitelia ľudstva sa snažili pochopiť toto tajomstvo. Aj my sme dnes ponorení do riešenia tejto záhady.

Jeden zo slávnych matematikov Hermann Weil napísal, že „symetria je myšlienka, prostredníctvom ktorej sa človek po stáročia snažil pochopiť a vytvoriť poriadok, krásu a dokonalosť“.

Možno sme našli tajomstvo vytvárania krásy, dokonalosti alebo dokonca vytvárania základných zákonov vesmíru? Možno je to symetria?

Aplikácie

Príloha č. 1 Testovacia tabuľka:

Pokus č.1
Pokus č.	Typ testu	"Zelená žaba" (symetrický)	Výsledok a vlastnosti testu "Červená žaba" (nie symetrické)
	Žaba skok do diaľky (miera v cm)		6,0 doľava
		14.4 s miernou zákrutou doprava	9.0 spätné preklopenie
		10,5 takmer presne	2.0 prevrat
		9,5 s miernym otočením doprava	5.0 odbočte doľava
		10.6 s miernou zákrutou doprava	3.0 doľava
		9.0 prevrat	9.0 odbočte doľava
		13,5 takmer presne	1,5 späť, odbočenie doľava
			9,5 vľavo s preklopením
		21.2 takmer presne	4,5 doľava s preklopením
Pokus č.2
		Lietadlo "ružové" (Symetrické)	Lietadlo "oranžový" (Nie symetrické)
	Štart lietadla Maximálne (5,1 metra)	5.1 s 2 preklopeniami	3.04 s preklopením doprava
			2,78 s preklopením doprava
		5.1 naklonený doprava	3,65 s preklopením doprava
		5.1 naklonený doprava	1,51 takmer presne
		5.1 takmer presne	4,73 s preklopením doprava
		5.1 so sklonom doľava	3,82 odbočte doprava
		5.1 takmer presne	3,41 s preklopením
		5.1 takmer presne	3.37 odbočte doľava
		5.1 s inverziou	3,51 s preklopením doľava
		5.1 takmer presne	3.19 s preklopením doprava

Pokus č.3
Pokus č.	Charakteristika vlastností objekt	Typ a charakteristiky testu	Výsledok
	Budova stojí kolmo na povrch (t. j. pod uhlom 90°)	Inštalácia prídavnej záťaže: svetelný prvok a hračka postavičky človeka	Maják stojí vodorovne a bezpečne
	Pod uhlom 80°	Zo základne majáku som podlial a odrezal uhol 10 0	Maják vydrží záťaž, no stojí nespoľahlivo a kýve sa
	Pod uhlom 70°	Zo základne majáku som ešte raz odrezal 10 0	Budova spadne a zrúti sa

Príloha č.2

Pri výrobe mojich remesiel boli dodržané bezpečnostné opatrenia, a to:

Nožnice alebo nôž musia byť dobre nabrúsené a nastavené.

Musí byť uložený na špecifickom a bezpečnom mieste alebo v krabici.

Pri používaní nožníc (nožov) sa nemôžete nechať rozptyľovať, treba byť maximálne pozorný a disciplinovaný.

Pri podávaní nožníc (nožov) ich držte za zatvorené čepele (okraj).

Umiestnite nožnice (nôž) na pravú stranu so zatvorenými čepeľami (hranami) smerujúcimi od vás.

Pri strihaní by mala byť úzka čepeľ nožníc (špička noža) dole.

Po použití lepidla si umyte ruky.

Príloha č.3

Elektronická omaľovánka

symetria-

To znamená, že jedna časť objektu je podobná inej.

Osová súmernosť je súmernosť okolo priamky (priamky).

Os symetrie je pomyselná čiara rozdeľujúca objekt na symetrické časti. Pre názornosť je to znázornené na obrázkoch.

V tejto knihe je potrebné doplniť kresby spájaním bodiek.

Potom môžete vyfarbiť, čo máte.

Pokúste sa dokončiť tieto kresby:

Srdce

Trojuholník Dom

Hviezdny list

Myš vianočný stromček

pesZámok

TO Okrem osovej súmernosti existuje aj súmernosť okolo bodu.

Táto guľa je symetrická

A ďalším typom symetrie je zrkadlová symetria.

Zrkadlová symetria -

toto je symetria okolo roviny. Napríklad v súvislosti so zrkadlom.

Symetria je -

Použité knihy

2. Herman Weyl „Symmetry“ (Vydavateľstvo „Nauka“, hlavná redakcia fyzikálnej a matematickej literatúry, Moskva 1968)

4. Moje kresby a fotografie.

5. Príručka strojárstva, zväzok 1, (Štátne vedecké a technické vydavateľstvo strojárskej literatúry, Moskva 1960)

6. Fotografie a kresby z internetu.

Životy ľudí sú plné symetrie. Je to pohodlné, krásne a nie je potrebné vymýšľať nové štandardy. Ale čo to v skutočnosti je a je to také krásne v prírode, ako sa bežne verí?

Symetria

Od staroveku sa ľudia snažili usporiadať svet okolo seba. Preto sa niektoré veci považujú za krásne a niektoré až tak nie. Z estetického hľadiska sa za atraktívny považuje zlatý a strieborný pomer, samozrejme aj symetria. Tento výraz je gréckeho pôvodu a doslova znamená „proporcionalita“. Samozrejme hovoríme o nielen o náhode na tomto základe, ale aj na niektorých iných. Vo všeobecnom zmysle je symetria vlastnosťou objektu, keď sa v dôsledku určitých útvarov výsledok rovná pôvodným údajom. K tomu dochádza v živote aj v neživej prírode, ako aj v predmetoch vyrobených človekom.

Po prvé, pojem "symetria" sa používa v geometrii, ale nachádza uplatnenie v mnohých vedných oblastiach a jeho význam zostáva vo všeobecnosti nezmenený. Tento jav sa vyskytuje pomerne často a považuje sa za zaujímavý, keďže viaceré jeho typy, ako aj prvky sa líšia. Zaujímavé je aj využitie symetrie, pretože ju nájdeme nielen v prírode, ale aj vo vzoroch na tkaninách, okrajoch budov a mnohých iných umelých predmetoch. Stojí za to zvážiť tento fenomén podrobnejšie, pretože je mimoriadne fascinujúci.

Použitie termínu v iných vedných oblastiach

V nasledujúcom texte sa symetria bude posudzovať z geometrického hľadiska, ale stojí za to spomenúť dané slovo využívané nielen tu. Biológia, virológia, chémia, fyzika, kryštalografia - to všetko je neúplný zoznam oblastí, v ktorých tento javštudovali z rôznych uhlov pohľadu a za rôznych podmienok. Napríklad klasifikácia závisí od toho, na akú vedu sa tento pojem vzťahuje. Rozdelenie na typy sa teda značne líši, hoci niektoré základné možno zostávajú nezmenené.

Klasifikácia

Existuje niekoľko hlavných typov symetrie, z ktorých tri sú najbežnejšie:

Okrem toho sa v geometrii rozlišujú aj tieto typy, sú oveľa menej bežné, ale nie menej zaujímavé:

• posuvné;
• rotačné;
• bod;
• progresívny;
• skrutka;
• fraktál;
• atď.

V biológii sa všetky druhy nazývajú trochu inak, aj keď v podstate môžu byť rovnaké. Rozdelenie do určitých skupín nastáva na základe prítomnosti alebo neprítomnosti, ako aj množstva určitých prvkov, ako sú stredy, roviny a osi symetrie. Mali by sa posudzovať samostatne a podrobnejšie.

Základné prvky

Tento jav má určité črty, z ktorých jedna je nevyhnutne prítomná. Medzi takzvané základné prvky patria roviny, stredy a osi súmernosti. Typ sa určuje v súlade s ich prítomnosťou, neprítomnosťou a množstvom.

Stred symetrie je bod vo vnútri postavy alebo kryštálu, v ktorom sa zbiehajú čiary spájajúce v pároch všetky strany navzájom rovnobežné. Samozrejme, nie vždy existuje. Ak existujú strany, ku ktorým neexistuje paralelný pár, potom takýto bod nemožno nájsť, pretože neexistuje. Podľa definície je zrejmé, že stred symetrie je ten, cez ktorý sa postava môže odrážať na sebe. Príkladom môže byť napríklad kruh a bod v jeho strede. Tento prvok sa zvyčajne označuje ako C.

Rovina symetrie je, samozrejme, imaginárna, ale je to práve ona, ktorá rozdeľuje postavu na dve rovnaké časti. Môže prechádzať jednou alebo viacerými stranami, byť s ňou rovnobežné alebo ich rozdeľovať. Pre ten istý obrázok môže existovať niekoľko rovín naraz. Tieto prvky sú zvyčajne označené ako P.

Ale možno najbežnejšie je to, čo sa nazýva „os symetrie“. Ide o bežný jav, ktorý možno vidieť v geometrii aj v prírode. A to si zaslúži samostatné zváženie.

Nápravy

Prvok, vo vzťahu ku ktorému možno postavu nazvať symetrickou, je často

objaví sa priamka alebo segment. V žiadnom prípade nehovoríme o bode alebo rovine. Potom sa zvažujú čísla. Môže ich byť veľa a môžu byť umiestnené akýmkoľvek spôsobom: rozdeľujúc strany alebo sú s nimi rovnobežné, ako aj pretínajúce sa rohy alebo nie. Osi symetrie sú zvyčajne označené ako L.

Príklady zahŕňajú rovnoramenné a V prvom prípade bude existovať vertikálna os symetrie, na ktorej oboch stranách sú rovnaké plochy, a v druhom prípade budú čiary pretínať každý uhol a zhodovať sa so všetkými osami, stredmi a nadmorskými výškami. Bežné trojuholníky to nemajú.

Mimochodom, súhrn všetkých vyššie uvedených prvkov v kryštalografii a stereometrii sa nazýva stupeň symetrie. Tento indikátor závisí od počtu osí, rovín a stredov.

Príklady v geometrii

Bežne môžeme celý súbor predmetov štúdia matematikov rozdeliť na figúry, ktoré majú os symetrie, a tie, ktoré ju nemajú. Všetky kruhy, ovály, ako aj niektoré špeciálne prípady automaticky spadajú do prvej kategórie, zatiaľ čo zvyšok spadá do druhej skupiny.

Rovnako ako v prípade, keď sme hovorili o osi súmernosti trojuholníka, tento prvok nie vždy existuje pre štvoruholník. Pre štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec alebo rovnobežník je to tak, ale pre nepravidelný obrazec nie. V prípade kruhu sú osi symetrie množinou priamych čiar, ktoré prechádzajú jeho stredom.

Okrem toho je zaujímavé zvážiť trojrozmerné postavy z tohto hľadiska. Okrem všetkých pravidelných mnohouholníkov a lopty budú mať niektoré kužele, ako aj pyramídy, rovnobežníky a niektoré ďalšie, aspoň jednu os symetrie. Každý prípad treba posudzovať samostatne.

Príklady v prírode

V živote sa to nazýva bilaterálne, vyskytuje sa najviac
často. Každý človek a mnohé zvieratá sú toho príkladom. Axiálny sa nazýva radiálny a vo svete rastlín sa spravidla vyskytuje oveľa menej často. A predsa existujú. Oplatí sa napríklad zamyslieť nad tým, koľko osí symetrie má hviezda a má vôbec nejakú? Samozrejme, hovoríme o morskom živote, a nie o predmete štúdia astronómov. A správna odpoveď by bola: závisí to od počtu lúčov hviezdy, napríklad päť, ak je päťcípa.

Okrem toho je radiálna symetria pozorovaná u mnohých kvetov: sedmokrásky, nevädze, slnečnice atď. Príkladov je obrovské množstvo, sú doslova všade okolo.

Arytmia

Tento pojem v prvom rade najviac pripomína medicínu a kardiológiu, no spočiatku má trochu iný význam. V tomto prípade bude synonymom „asymetria“, to znamená absencia alebo porušenie pravidelnosti v tej či onej forme. Dá sa nájsť ako náhoda a niekedy sa z toho môže stať úžasná technika, napríklad v odevoch alebo architektúre. Symetrických budov je predsa veľa, no tá slávna je mierne naklonená a hoci nie je jediná, je najznámejším príkladom. Je známe, že sa to stalo náhodou, no má to svoje čaro.

Navyše je zrejmé, že tváre a telá ľudí a zvierat tiež nie sú úplne symetrické. Dokonca existujú štúdie, ktoré ukazujú, že „správne“ tváre sú považované za neživé alebo jednoducho neatraktívne. Napriek tomu je vnímanie symetrie a tento fenomén sám osebe úžasný a ešte nebol úplne preskúmaný, a preto je mimoriadne zaujímavý.