Definícia 2

Mnohouholník, ktorý spĺňa podmienku definície 1, sa nazýva opísaný okolo kruhu.

Obrázok 1. Vpísaný kruh

Veta 1 (o kruhu vpísanom do trojuholníka)

Veta 1

Kruh môžete vpísať do akéhokoľvek trojuholníka a iba do jedného.

Dôkaz.

Zvážte trojuholník $ABC$. Narysujme do nej osi, ktoré sa pretínajú v bode $O$ a nakreslime z nej kolmice na strany trojuholníka (obr. 2)

Obrázok 2. Ilustrácia 1. vety

Existencia: Narysujme kružnicu so stredom v bode $O$ a polomerom $OK.\ $Keďže bod $O$ leží na troch osiach, je rovnako vzdialený od strán trojuholníka $ABC$. To znamená $OM=OK=OL$. Následne zostrojená kružnica prechádza aj bodmi $M\ a\ L$. Pretože $OM,OK\ a\ OL$ sú kolmice na strany trojuholníka, potom podľa vety o dotyčnici kružnice sa zostrojená kružnica dotýka všetkých troch strán trojuholníka. Preto v dôsledku svojvoľnosti trojuholníka môže byť kruh vpísaný do akéhokoľvek trojuholníka.

Jedinečnosť: Predpokladajme, že ďalší kruh so stredom v bode $O"$ môže byť vpísaný do trojuholníka $ABC$. Jeho stred je rovnako vzdialený od strán trojuholníka, a preto sa zhoduje s bodom $O$ a má polomer rovný dĺžka $OK$ Ale potom sa tento kruh bude zhodovať s prvým.

Veta je dokázaná.

Dôsledok 1: Stred kružnice vpísanej do trojuholníka leží v priesečníku jej priesečníkov.

Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s konceptom vpísaného kruhu:

Nie každý štvoruholník sa zmestí do kruhu.

V každom opísanom štvoruholníku sú súčty protiľahlých strán rovnaké.

Ak sú súčty protiľahlých strán konvexného štvoruholníka rovnaké, potom je možné do neho vpísať kruh.

Definícia 3

Ak všetky vrcholy mnohouholníka ležia na kružnici, potom sa kružnica nazýva opísaná okolo mnohouholníka (obr. 3).

Definícia 4

Mnohouholník, ktorý spĺňa podmienku definície 2, je vpísaný do kruhu.

Obrázok 3. Opísaná kružnica

Veta 2 (o kružnici opísanej v trojuholníku)

Veta 2

Okolo akéhokoľvek trojuholníka môžete opísať kruh a iba jeden.

Dôkaz.

Zvážte trojuholník $ABC$. Narysujme do nej odvesny pretínajúce sa v bode $O$ a spojíme s vrcholmi trojuholníka (obr. 4)

Obrázok 4. Ilustrácia 2. vety

Existencia: Zostrojme kružnicu so stredom v bode $O$ a polomerom $OC$. Bod $O$ je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka, teda $OA=OB=OC$. Následne zostrojená kružnica prechádza všetkými vrcholmi daného trojuholníka, čo znamená, že je okolo tohto trojuholníka opísaná.

Jedinečnosť: Predpokladajme, že okolo trojuholníka $ABC$ možno opísať ďalší kruh so stredom v bode $O"$. Jeho stred je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka, a preto sa zhoduje s bodom $O$ a má polomer rovný dĺžke $OC $ Ale potom sa tento kruh zhoduje s prvým.

Veta je dokázaná.

Dôsledok 1: Stred kružnice opísanej trojuholníku sa zhoduje s jeho priesečníkom kolmé osi.

Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s pojmom opísaný kruh:

Nie vždy je možné opísať kruh okolo štvoruholníka.

V každom cyklickom štvoruholníku je súčet opačných uhlov $(180)^0$.

Ak je súčet opačných uhlov štvoruholníka $(180)^0$, potom je možné okolo neho nakresliť kružnicu.

Príklad problému o pojmoch vpísaných a opísaných kružníc

Príklad 1

V rovnoramennom trojuholníku je základňa 8 cm a strana 5 cm Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Riešenie.

Zvážte trojuholník $ABC$. Dôsledkom 1 vieme, že stred kružnice leží v priesečníku priesečníkov. Nakreslíme osi $AK$ a $BM$, ktoré sa pretínajú v bode $O$. Nakreslíme kolmicu $OH$ z bodu $O$ na stranu $BC$. Nakreslíme obrázok:

Obrázok 5.

Keďže trojuholník je rovnoramenný, potom $BM$ je stred aj nadmorská výška. Podľa Pytagorovej vety $(BM)^2=(BC)^2-(MC)^2,\ BM=\sqrt((BC)^2-\frac((AC)^2)(4))=\ sqrt (25-16)=\sqrt(9)=3 doláre. $OM=OH=r$ -- požadovaný polomer vpísanej kružnice. Pretože $MC$ a $CH$ sú segmenty pretínajúcich sa dotyčníc, potom podľa vety o pretínajúcich sa dotyčniciach máme $CH=MC=4\cm$. Preto $BH=5-4=1\ cm$. $BO=3-r$. Z trojuholníka $OHB$ podľa Pytagorovej vety dostaneme:

\[((3-r))^2=r^2+1\] \ \ \

odpoveď:$\frac(4)(3)$.

Polomer je úsečka, ktorá spája ľubovoľný bod na kružnici s jej stredom. Toto je jedna z najdôležitejších charakteristík tohto čísla, pretože na jeho základe je možné vypočítať všetky ostatné parametre. Ak viete, ako nájsť polomer kruhu, môžete vypočítať jeho priemer, dĺžku a plochu. V prípade, že je daný obrazec napísaný alebo opísaný okolo iného, ​​možno vyriešiť množstvo ďalších problémov. Dnes sa pozrieme na základné vzorce a vlastnosti ich aplikácie.

Známe množstvá

Ak viete, ako nájsť polomer kruhu, ktorý sa zvyčajne označuje písmenom R, potom sa dá vypočítať pomocou jednej charakteristiky. Tieto hodnoty zahŕňajú:

• obvod (C);
• priemer (D) - segment (alebo skôr tetiva), ktorý prechádza stredovým bodom;
• plocha (S) - priestor, ktorý je obmedzený daným obrazcom.

Obvod

Ak je v úlohe známa hodnota C, potom R = C / (2 * P). Tento vzorec je odvodený. Ak vieme, aký je obvod, potom si ho už nemusíme pamätať. Predpokladajme, že v úlohe C = 20 m Ako nájsť polomer kruhu v tomto prípade? Známu hodnotu jednoducho dosadíme do vyššie uvedeného vzorca. Všimnite si, že v takýchto problémoch je vždy implikovaná znalosť čísla P. Pre zjednodušenie výpočtov berieme jeho hodnotu ako 3,14. Riešenie v tomto prípade vyzerá takto nasledujúcim spôsobom: zapíšeme, aké množstvá sú dané, odvodíme vzorec a vykonáme výpočty. V odpovedi píšeme, že polomer je 20 / (2 * 3,14) = 3,19 m Je dôležité nezabudnúť na to, čo sme vypočítali, a uviesť názov jednotiek merania.

Podľa priemeru

Hneď zdôrazníme, že ide o najjednoduchší typ úlohy, ktorý sa pýta, ako nájsť polomer kružnice. Ak ste pri teste narazili na takýto príklad, môžete byť pokojní. Tu nepotrebujete ani kalkulačku! Ako sme už povedali, priemer je segment alebo správnejšie tetiva, ktorá prechádza stredom. V tomto prípade sú všetky body kruhu rovnako vzdialené. Preto sa tento akord skladá z dvoch polovíc. Každý z nich je polomer, čo z jeho definície vyplýva ako úsečka, ktorá spája bod na kružnici a jej stred. Ak je priemer v probléme známy, potom na nájdenie polomeru stačí túto hodnotu vydeliť dvoma. Vzorec je nasledujúci: R = D / 2. Napríklad, ak je priemer v probléme 10 m, potom je polomer 5 metrov.

Podľa oblasti kruhu

Tento typ problému sa zvyčajne nazýva najťažší. Je to spôsobené predovšetkým neznalosťou vzorca. Ak viete, ako v tomto prípade nájsť polomer kruhu, zvyšok je otázkou techniky. V kalkulačke si stačí vopred nájsť ikonu výpočtu druhej odmocniny. Plocha kruhu je súčinom čísla P a polomeru vynásobeného sebou samým. Vzorec je nasledujúci: S = P * R 2. Izoláciou polomeru na jednej strane rovnice môžete problém ľahko vyriešiť. Bude sa rovnať druhej odmocnine podielu plochy vydelenej číslom P. Ak S = 10 m, potom R = 1,78 metra. Rovnako ako v predchádzajúcich problémoch je dôležité pamätať na použité merné jednotky.

Ako nájsť cirkumrádius kruhu

Predpokladajme, že a, b, c sú strany trojuholníka. Ak poznáte ich hodnoty, môžete nájsť polomer kruhu popísaný okolo neho. Aby ste to dosiahli, musíte najskôr nájsť polobvod trojuholníka. Pre ľahšie pochopenie ho označme malým písmenom p. Bude sa rovnať polovici súčtu strán. Jeho vzorec: p = (a + b + c) / 2.

Vypočítame aj súčin dĺžok strán. Pre zjednodušenie si ho označme písmenom S. Vzorec pre polomer opísanej kružnice bude vyzerať takto: R = S / (4 * √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Pozrime sa na príklad úlohy. Máme kruh opísaný okolo trojuholníka. Dĺžky jeho strán sú 5, 6 a 7 cm Najprv vypočítame polobvod. V našom probléme to bude rovných 9 centimetrov. Teraz vypočítajme súčin dĺžok strán - 210. Výsledky medzivýpočtov dosadíme do vzorca a zistíme výsledok. Polomer opísanej kružnice je 3,57 centimetra. Odpoveď si zapíšeme, pričom nezabudneme na merné jednotky.

Ako nájsť polomer vpísanej kružnice

Predpokladajme, že a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Ak poznáte ich hodnoty, môžete nájsť polomer kruhu, ktorý je v ňom vpísaný. Najprv musíte nájsť jeho polobvod. Pre ľahšie pochopenie ho označme malým písmenom p. Vzorec na jej výpočet je nasledovný: p = (a + b + c) / 2. Tento typ úlohy je o niečo jednoduchší ako predchádzajúci, takže nie sú potrebné žiadne ďalšie prechodné výpočty.

Polomer vpísanej kružnice sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca: R = √((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Pozrime sa na to konkrétny príklad. Predpokladajme, že úloha opisuje trojuholník so stranami 5, 7 a 10 cm, do ktorého je vpísaná kružnica, ktorej polomer je potrebné nájsť. Najprv nájdeme polobvod. V našom probléme sa bude rovnať 11 cm. Teraz to dosadíme do hlavného vzorca. Polomer bude rovný 1,65 centimetra. Odpoveď si zapíšeme a nezabudneme na správne merné jednotky.

Kruh a jeho vlastnosti

Každý geometrický útvar má svoje vlastné charakteristiky. Správnosť riešenia problémov závisí od ich pochopenia. Kruh ich má tiež. Často sa používajú pri riešení príkladov s popísanými alebo vpísanými obrázkami, pretože poskytujú jasný obraz o takejto situácii. Medzi nimi:

• Priamka môže mať nula, jeden alebo dva priesečníky s kružnicou. V prvom prípade sa s ním nepretína, v druhom ide o dotyčnicu, v treťom o sečnicu.
• Ak vezmete tri body, ktoré neležia na tej istej čiare, potom je možné cez ne nakresliť iba jeden kruh.
• Priamka môže byť dotyčnicou dvoch číslic naraz. V tomto prípade bude prechádzať bodom, ktorý leží na segmente spájajúcom stredy kruhov. Jeho dĺžka sa rovná súčtu polomerov týchto obrázkov.
• Cez jeden alebo dva body možno nakresliť nekonečné množstvo kruhov.

obvod - geometrický obrazec, zoznámenie s ktorým sa vyskytuje späť v predškolskom veku. Neskôr sa dozviete jeho vlastnosti a vlastnosti. Ak vrcholy ľubovoľného mnohouholníka ležia na kruhu a samotná postava je v nej umiestnená, potom máte v kruhu vpísaný geometrický obrazec.

Pojem polomer charakterizuje vzdialenosť od akéhokoľvek bodu na kruhu k jeho stredu. Ten sa nachádza v priesečníku kolmíc na každú stranu mnohouholníka. Po rozhodnutí o terminológii zvážime výrazy, ktoré pomôžu nájsť polomer pre akýkoľvek typ polygónu.

Ako zistiť polomer kružnice opísanej - pravidelný mnohouholník

Tento obrazec môže mať ľubovoľný počet vrcholov, ale všetky jeho strany sú rovnaké. Na zistenie polomeru kružnice, v ktorej je umiestnený pravidelný mnohouholník, stačí poznať počet strán obrazca a ich dĺžku.
R = b/2sin(180°/n),
b - dĺžka strany,
n je počet vrcholov (alebo strán) obrázku.
Daný vzťah pre prípad šesťuholníka bude mať nasledujúci tvar:
R = b/2sin(180°/6) = b/2sin30°,
R = b.

Ako nájsť cirkumrádius obdĺžnika

Keď je štvoruholník umiestnený v kruhu, ktorý má 2 páry rovnobežných strán a vnútorné rohy 90°, priesečníkom uhlopriečok mnohouholníka bude jeho stred. Pomocou Pytagorovho vzťahu, ako aj vlastností obdĺžnika, získame výrazy potrebné na nájdenie polomeru:
R = (√m2 + l2)/2,
R = d/2,
m, l – strany obdĺžnika,
d je jeho uhlopriečka.

Ako zistiť polomer kružnice opísanej - štvorca

Do kruhu umiestnite štvorec. Ten je pravidelným mnohouholníkom so 4 stranami. Pretože Keďže štvorec je špeciálnym prípadom obdĺžnika, jeho uhlopriečky sú tiež rozdelené na polovicu v ich priesečníku.
R = (√m2 + l2)/2 = (√m2 + m2)/2 = m√2/2 = m/√2,
R = d/2,
m – strana námestia,
d je jeho uhlopriečka.

Ako zistiť polomer kružnice opísanej - rovnoramenný lichobežník

Ak je lichobežník umiestnený v kruhu, potom na určenie polomeru budete potrebovať poznať dĺžky jeho strán a uhlopriečku.
R = m*l*d/4√p(p – m)*(p – l)*(p – d),
p = (m + l + d)/2,
m, l – strany lichobežníka,
d je jeho uhlopriečka.

Ako zistiť polomer kružnice opísanej - trojuholníka

Voľný trojuholník

• Na určenie polomeru kružnice opisujúcej trojuholník stačí poznať veľkosť jeho strán.
  R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k),
  p = (m + l + k)/2,
  m, l, k – strany trojuholníka.
• Ak je známa dĺžka strany a miera uhla oproti nej, polomer sa určí takto:
  Pre trojuholník MLK
  R = m/2sinM = l/2sinL = k/2sinK,
  
  M, L, K – jeho uhly (vrcholy).
• Vzhľadom na plochu obrázku môžete vypočítať aj polomer kruhu, v ktorom je umiestnený:
  R = m*l*k/4S,
  m, l, k – strany trojuholníka,
  S je jeho oblasť.

Rovnoramenný trojuholník

Ak je trojuholník rovnoramenný, potom sú jeho 2 strany rovnaké. Pri popise takéhoto obrázku možno polomer nájsť pomocou nasledujúceho vzťahu:
R = m*l*k/4√p(p – m)*(p – l)*(p – k), ale m = l
R = m2/√(4m2 – k2),
m, k – strany trojuholníka.

Správny trojuholník

Ak je jeden z uhlov trojuholníka pravý a okolo obrázku je opísaný kruh, potom na určenie dĺžky jeho polomeru bude potrebná prítomnosť známych strán trojuholníka.
R = (√m2 + l2)/2 = k/2,
m, l – nohy,
k – prepona.

V modernom strojárstve sa používa veľa prvkov a náhradných dielov, ktoré majú vo svojej štruktúre vonkajšie aj vnútorné kruhy. Najvýraznejšími príkladmi sú ložiskové skrine, časti motora, zostavy nábojov a oveľa viac. Pri ich výrobe sa využívajú nielen high-tech zariadenia, ale aj poznatky z geometrie, najmä informácie o kružniciach trojuholníka. S takýmito poznatkami sa podrobnejšie zoznámime nižšie.

V kontakte s

Ktorý kruh je vpísaný a ktorý je opísaný?

V prvom rade si pamätajte, že kruh je nekonečný množina bodov v rovnakej vzdialenosti od stredu. Ak je vo vnútri mnohouholníka možné zostrojiť kružnicu, ktorá má len jeden spoločný priesečník s každou stranou, potom sa bude nazývať vpísaná. Opísaná kružnica (nie kružnica, to sú rôzne pojmy) je geometrické miesto bodov také, že zostrojený obrazec s daným mnohouholníkom má spoločné body iba vo vrcholoch mnohouholníka. Zoznámime sa s týmito dvoma pojmami na názornejšom príklade (pozri obrázok 1.).

Obrázok 1. Vpísaná a opísaná kružnica trojuholníka

Na obrázku sú zostrojené dva obrazce veľkého a malého priemeru, ktorých stredy sú G a I. Kruh väčšej hodnoty sa nazýva kružnica opísaná Δ ABC a malá naopak vpísaná Δ ABC.

Aby bolo možné opísať okolie trojuholníka, je potrebné nakreslite kolmú čiaru cez stred každej strany(t.j. pod uhlom 90°) je priesečník, hrá kľúčovú úlohu. Bude to stred opísanej kružnice. Pred nájdením kruhu, jeho stredu v trojuholníku, musíte zostrojiť pre každý uhol a potom vybrať priesečník čiar. Na druhej strane to bude stred zapísanej oblasti a jej polomer bude za akýchkoľvek podmienok kolmý na ktorúkoľvek zo strán.

Na otázku: „Koľko vpísaných kruhov môže mať polygón s tromi? Hneď odpovedzme, že kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek trojuholníka a iba do jedného. Pretože existuje len jeden priesečník všetkých priesečníkov a jeden priesečník kolmíc vychádzajúcich zo stredov strán.

Vlastnosť kružnice, do ktorej patria vrcholy trojuholníka

Opísaná kružnica, ktorá závisí od dĺžok strán základne, má svoje vlastnosti. Označme vlastnosti kružnice opísanej:

Aby sme jasnejšie pochopili princíp opísanej kružnice, riešime jednoduchá úloha. Predpokladajme, že máme trojuholník Δ ABC, ktorého strany sú 10, 15 a 8,5 cm Polomer opísanej kružnice okolo trojuholníka (FB) je 7,9 cm oblasť trojuholníka.

Obrázok 2. Nájdenie polomeru kružnice pomocou pomeru strán a sínusov uhlov

Riešenie: na základe už spomínanej sínusovej vety zistíme hodnotu sínusu každého uhla zvlášť. Podľa podmienky je známe, že strana AB je 10 cm Vypočítajme hodnotu C:

Pomocou hodnôt Bradisovej tabuľky zistíme, že miera uhla C je 39°. Rovnakým spôsobom môžeme nájsť zostávajúce miery uhlov:

Ako vieme, že CAB = 33° a ABC = 108°. Teraz, keď poznáme hodnoty sínusov každého z uhlov a polomerov, nájdime oblasť nahradením nájdených hodnôt:

Odpoveď: Plocha trojuholníka je 40,31 cm² a uhly sú 33°, 108° a 39°.

Dôležité! Pri riešení problémov tohto druhu by bolo užitočné mať vo svojom smartfóne vždy tabuľky Bradis alebo príslušnú aplikáciu, pretože manuálny proces môže trvať dlho. Aby sa ušetrilo viac času, nie je potrebné zostrojiť všetky tri stredy kolmice alebo tri osi. Akákoľvek tretina z nich sa bude vždy pretínať v priesečníku prvých dvoch. A pre ortodoxnú stavbu je zvyčajne dokončená tretia. Možno je to nesprávne z hľadiska algoritmu, ale na jednotnej štátnej skúške alebo iných skúškach to šetrí veľa času.

Výpočet polomeru vpísanej kružnice

Všetky body kruhu sú rovnako vzdialené od jeho stredu v rovnakej vzdialenosti. Dĺžka tohto segmentu (od a do) sa nazýva polomer. Podľa toho, aké máme prostredie, existujú dva typy – vnútorné a vonkajšie. Každý z nich sa vypočíta pomocou vlastného vzorca a priamo súvisí s výpočtom parametrov, ako sú:

• námestie;
• miera stupňa každého uhla;
• dĺžka strán a obvod.

Obrázok 3. Umiestnenie vpísanej kružnice vo vnútri trojuholníka

Dĺžku vzdialenosti od stredu k bodu dotyku na oboch stranách môžete vypočítať nasledujúcimi spôsobmi: h cez boky, boky a rohy(pre rovnoramenný trojuholník).

Pomocou semi-obvodu

Polovica obvodu je polovica súčtu dĺžok všetkých strán. Táto metóda je považovaná za najobľúbenejšiu a univerzálnu, pretože bez ohľadu na to, aký typ trojuholníka je daný podľa stavu, je vhodný pre každého. Postup výpočtu je nasledovný:

Ak je uvedené "správne"

Jednou z malých výhod „ideálneho“ trojuholníka je, že vpísaná a opísaná kružnica majú stred v rovnakom bode. To je výhodné pri konštrukcii figúrok. Avšak v 80 % prípadov je odpoveď „škaredá“. Ide tu o to, že veľmi zriedkavo bude okruh zapísanej štvrte celý, skôr naopak. Pre zjednodušený výpočet použite vzorec pre polomer vpísanej kružnice v trojuholníku:

Ak sú strany rovnako dlhé

Jeden z podtypov úloh pre štát. skúšky budú zisťovať polomer vpísanej kružnice trojuholníka, ktorého dve strany sú si rovné a tretia nie. V tomto prípade odporúčame použiť tento algoritmus, ktorý výrazne ušetrí čas pri hľadaní priemeru vpísanej oblasti. Polomer vpísanej kružnice v trojuholníku s rovnakými „stranami“ sa vypočíta podľa vzorca:

Jasnejšiu aplikáciu týchto vzorcov demonštrujeme v nasledujúcom probléme. Majme trojuholník (Δ HJI), do ktorého je vpísané okolie v bode K. Dĺžka strany HJ = 16 cm, JI = 9,5 cm a strany HI je 19 cm (obrázok 4). Nájdite polomer zapísanej štvrte a poznajte strany.

Obrázok 4. Zistenie hodnoty polomeru vpísanej kružnice

Riešenie: na nájdenie polomeru zapísaného prostredia nájdeme polobvod:

Odtiaľ, keď poznáme mechanizmus výpočtu, zistíme nasledujúcu hodnotu. Na to budete potrebovať dĺžky každej strany (dané podľa stavu), ako aj polovicu obvodu, ukazuje sa:

Z toho vyplýva, že požadovaný polomer je 3,63 cm Podľa podmienky sú všetky strany rovnaké, potom sa požadovaný polomer bude rovnať:

Za predpokladu, že mnohouholník je rovnoramenný (napríklad i = h = 10 cm, j = 8 cm), priemer vnútorného kruhu so stredom v bode K sa bude rovnať:

Úloha môže obsahovať trojuholník s uhlom 90°, v tomto prípade nie je potrebné zapamätať si vzorec. Prepona trojuholníka sa bude rovnať priemeru. Jasnejšie to vyzerá takto:

Dôležité! Ak je úlohou nájsť vnútorný polomer, neodporúčame vykonávať výpočty s použitím hodnôt sínusov a kosínusov uhlov, ktorých tabuľková hodnota nie je presne známa. Ak nie je možné zistiť dĺžku inak, nepokúšajte sa „vytiahnuť“ hodnotu spod koreňa. Pri 40% problémov bude výsledná hodnota transcendentálna (t.j. nekonečná) a komisia nemusí odpoveď (aj keď je správna) započítať pre jej nepresnosť alebo nesprávnu formu prezentácie. Venujte zvláštnu pozornosť tomu, ako možno upraviť vzorec pre obvod trojuholníka v závislosti od navrhovaných údajov. Takéto „prázdne miesta“ vám umožňujú „vidieť“ scenár riešenia problému vopred a vybrať si najhospodárnejšie riešenie.

Polomer a plocha vnútorného kruhu

Na výpočet plochy trojuholníka vpísaného do kruhu použite iba polomer a dĺžky strán mnohouholníka:

Ak problémové vyhlásenie neudáva priamo hodnotu polomeru, ale iba oblasť, potom sa uvedený vzorec oblasti transformuje na nasledujúci:

Pozrime sa na účinok posledného vzorca pomocou konkrétnejšieho príkladu. Predpokladajme, že máme trojuholník, do ktorého je vpísané okolie. Plocha okolia je 4π a strany sú 4, 5 a 6 cm, v uvedenom poradí, vypočítajme plochu daného mnohouholníka výpočtom polobvodu.

Pomocou vyššie uvedeného algoritmu vypočítame plochu trojuholníka cez polomer vpísanej kružnice:

Vzhľadom k tomu, že kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek trojuholníka, počet variácií pri hľadaní oblasti sa výrazne zvyšuje. Tie. Nájdenie oblasti trojuholníka vyžaduje poznať dĺžku každej strany, ako aj hodnotu polomeru.

Trojuholník vpísaný do kruhu geometrie stupňa 7

Pravé trojuholníky vpísané do kruhu

Záver

Z týchto vzorcov si môžete byť istí, že zložitosť akéhokoľvek problému s použitím vpísaných a opísaných kruhov spočíva iba v dodatočných akciách na nájdenie požadovaných hodnôt. Problémy tohto typu si vyžadujú len dôkladné pochopenie podstaty vzorcov, ako aj racionality ich aplikácie. Z praxe riešenia poznamenávame, že v budúcnosti sa stred opísanej kružnice objaví v ďalších témach geometrie, preto by sa s ňou nemalo začínať. V opačnom prípade môže byť riešenie oneskorené pomocou zbytočných ťahov a logických záverov.

Je vidieť, že každá strana trojuholník, kolmica vedená z jej stredu a segmenty spájajúce priesečník kolmice s vrcholmi tvoria dva rovnaké pravouhlé trojuholník. Segmenty MA, MB, MC sú rovnaké.

Je vám daný trojuholník. Nájdite stred každej strany - vezmite si pravítko a zmerajte jeho strany. Výsledné rozmery rozdeľte na polovicu. Z vrchnej časti každého odložte polovicu jeho veľkosti. Výsledky označte bodkami.

Z každého bodu nakreslite kolmicu na stranu. Priesečník týchto kolmic bude stredom kružnice opísanej. Na nájdenie stredu kruhu stačia dve kolmice. Tretí je určený na samotestovanie.

Všimnite si, že v trojuholníku, kde sú všetky uhly ostré, sú priesečníky vo vnútri trojuholník. V pravouhlom trojuholníku leží na prepone. B – je mimo neho. Navyše, kolmica na stranu oproti tupému uhlu nie je k stredu trojuholník a von.

Poznámka

Existuje sínusová veta, ktorá stanovuje vzťah medzi stranami trojuholníka, jeho uhlami a polomermi kružnice opísanej. Táto závislosť je vyjadrená vzorcom: a/sina = b/sinb = с/sinc = 2R, kde a, b, c sú strany trojuholníka; sina, sinb, sinc – sínusy uhlov protiľahlých k týmto stranám; R je polomer kruhu, ktorý možno opísať okolo trojuholníka.

Zdroje:

• ako opísať obvod štvoruholníka

Podľa definície, popísané kruh musí prechádzať cez všetky vrcholy rohov daného mnohouholníka. V tomto prípade vôbec nezáleží na tom, o aký polygón ide – trojuholník, štvorec, obdĺžnik, lichobežník alebo niečo iné. Nezáleží ani na tom, či je polygón pravidelný alebo nepravidelný. Len treba brať do úvahy, že okolo sú polygóny kruh nemožno opísať. Vždy sa dá popísať kruh okolo trojuholníka. Čo sa týka štvoruholníkov teda kruh môžu byť opísané okolo štvorca alebo obdĺžnika alebo rovnoramenného lichobežníka.

Budete potrebovať

• Zadaný mnohouholník
• Pravítko
• Námestie
• Ceruzka
• Kompas
• Uhlomer
• Sínusové a kosínusové tabuľky
• Matematické pojmy a vzorce
• Pytagorova veta
• Sínusová veta
• Kosínusová veta
• Znaky podobnosti trojuholníkov

Inštrukcie

Zostrojte polygón s danými parametrami a či je možné okolo neho popísať kruh. Ak dostanete štvoruholník, vypočítajte súčet jeho opačných uhlov. Každý z nich by sa mal rovnať 180°.

Popísať kruh, musíte vypočítať jeho polomer. Pamätajte, kde v rôznych mnohouholníkoch leží stred kruhu. V trojuholníku je v priesečníku všetkých výšok daného trojuholníka. V štvorci a obdĺžnikoch - v bode priesečníka uhlopriečok, pre lichobežník - v bode priesečníka osi symetrie s čiarou spájajúcou stredy bočných strán a pre akýkoľvek iný konvexný mnohouholník - v bode priesečníka stredových kolmíc na strany.

Vypočítajte priemer kružnice opísanej okolo štvorca a obdĺžnika pomocou Pytagorovej vety. Bude to rovné odmocnina zo súčtu štvorcov strán obdĺžnika. Pre štvorec so všetkými rovnakými stranami sa uhlopriečka rovná druhej odmocnine dvojnásobku druhej mocniny strany. Vydelením priemeru 2 získate polomer.

Vypočítajte obvod trojuholníka. Keďže parametre trojuholníka sú uvedené v podmienkach, vypočítajte polomer pomocou vzorca R = a/(2·sinA), kde a je jedna zo strán trojuholníka, ? - uhol oproti nemu. Namiesto tejto strany si môžete vziať stranu a uhol oproti nej.

Vypočítajte polomer kružnice opísanej okolo lichobežníka. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) V tomto vzorci sú a a b základne lichobežníka známeho z podmienok, h je výška, d je uhlopriečka, p = 1/ 2*(a+d+c) . Vypočítajte chýbajúce hodnoty. Výšku možno vypočítať pomocou vety o sínusoch alebo kosínusoch dĺžky strán lichobežníka a uhly sú uvedené v podmienkach. Keď poznáte výšku a vezmite do úvahy podobnosti trojuholníkov, vypočítajte uhlopriečku. Potom zostáva vypočítať polomer pomocou vyššie uvedeného vzorca.

Video k téme

Užitočné rady

Na výpočet polomeru kružnice opísanej okolo iného mnohouholníka vykonajte niekoľko dodatočných konštrukcií. Získajte jednoduchšie figúrky, ktorých parametre poznáte.

Tip 3: Ako kresliť správny trojuholník ostrým uhlom a preponou

Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak uhol v jednom z jeho vrcholov je 90°. Strana oproti tomuto uhlu sa nazýva prepona a strany oproti dvom ostrým uhlom trojuholníka sa nazývajú nohy. Ak je dĺžka prepony a hodnota jednej z prepony ostré rohy, potom tieto údaje stačia na zostrojenie trojuholníka aspoň dvoma spôsobmi.