Kolmica (stredová kolmica alebo mediatrix) - priamka kolmá na daný segment a prechádzajúca jeho stredom.

Vlastnosti

$p\_a=\backslash tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_b=\backslash tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2),\; p\_c=\backslash tfrac(2cS)(\; a^2-b^2+c^2),$ kde dolný index označuje stranu, na ktorú je nakreslená kolmica, $S$ je plocha trojuholníka a tiež sa predpokladá, že strany sú spojené nerovnosťami $a\backslash geqslant\; b\backslash geqslant\; c.$ $p\_a\backslash geq\; p\_b$ A $p\_c\backslash geq\; p\_b.$ Inými slovami, najmenšia odvesna trojuholníka patrí do stredného segmentu.

Napíšte recenziu na článok "Komica os"

Poznámky

Úryvok charakterizujúci odvesnicu

Kutuzov sa zastavil, aby žuval, prekvapene hľadel na Wolzogena, akoby nerozumel tomu, čo sa mu hovorí. Wolzogen, keď si všimol vzrušenie des alten Herrn, [starý pán (Nemec)] povedal s úsmevom:
– Nepovažoval som sa za oprávneného skrývať pred vaším lordstvom, čo som videl... Vojaci sú v úplnom neporiadku...
- Videl si? Videl si?... – zakričal Kutuzov, zamračil sa, rýchlo vstal a postupoval na Wolzogen. „Ako to... ako sa opovažuješ!...“, kričal, trasúcimi sa rukami a dusením sa robil výhražné gestá. - Ako sa opovažujete, drahý pane, povedať mi to? Nič nevieš. Povedzte odo mňa generálovi Barclayovi, že jeho informácie sú nesprávne a že skutočný priebeh bitky poznám ja, hlavný veliteľ, lepšie ako on.
Wolzogen chcel namietať, ale Kutuzov ho prerušil.
- Nepriateľ je odrazený na ľavom a porazený na pravom boku. Ak ste dobre nevideli, milý pane, nedovoľte si povedať, čo neviete. Prosím, choďte za generálom Barclayom a na druhý deň mu povedzte o mojom absolútnom úmysle zaútočiť na nepriateľa,“ povedal Kutuzov stroho. Všetci boli ticho a bolo počuť len ťažké dýchanie zadýchaného starého generála. "Všade ich odrazili, za čo ďakujem Bohu a našej statočnej armáde." Nepriateľ je porazený a zajtra ho vyženieme z posvätnej ruskej zeme,“ povedal Kutuzov a prekrižoval sa; a zrazu vzlykal od sĺz, ktoré prišli. Wolzogen, pokrčil plecami a našpúlil pery, potichu odišiel nabok a čudoval sa uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [pri tejto tyranii starého pána. (nemčina)]
"Áno, tu je, môj hrdina," povedal Kutuzov bacuľatému, peknému, čiernovlasému generálovi, ktorý v tom čase vstupoval na mohylu. Bol to Raevsky, ktorý strávil celý deň na hlavnom bode poľa Borodino.
Raevskij oznámil, že jednotky sú pevne na svojich miestach a Francúzi sa už neodvážia zaútočiť. Po jeho vypočutí Kutuzov povedal po francúzsky:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous dôchodca? [Nemyslíš si teda, ako ostatní, že by sme mali ustúpiť?]

Prvá úroveň

Opísaný kruh. Vizuálny sprievodca (2019)

Prvá otázka, ktorá môže vzniknúť, je: čo je popísané – okolo čoho?

V skutočnosti sa to niekedy deje okolo čohokoľvek, ale budeme hovoriť o kruhu opísanom okolo (niekedy sa hovorí aj „okolo“) trojuholníka. Čo je to?

A len si predstavte, stane sa úžasná skutočnosť:

Prečo je táto skutočnosť prekvapujúca?

Ale trojuholníky sú iné!

A pre každého je tu kruh, ktorým prejde cez všetky tri vrcholy, teda opísaný kruh.

Dôkaz toho úžasný fakt nájdete v nasledujúcich úrovniach teórie, ale tu len poznamenávame, že ak si vezmeme napríklad štvoruholník, tak nie pre každého bude kruh prechádzajúci cez štyri vrcholy. Napríklad rovnobežník je vynikajúci štvoruholník, ale cez všetky jeho štyri vrcholy neprechádza žiadna kružnica!

A existuje len pre obdĺžnik:

Nech sa páči, a každý trojuholník má vždy svoju kružnicu opísanú! A dokonca je vždy celkom ľahké nájsť stred tohto kruhu.

Vieš čo to je? kolmica?

Teraz sa pozrime, čo sa stane, ak vezmeme do úvahy až tri kolmice na strany trojuholníka.

Ukazuje sa (a to je presne to, čo treba dokázať, hoci to neurobíme), že všetky tri kolmice sa pretínajú v jednom bode. Pozrite sa na obrázok - všetky tri kolmé osi sa pretínajú v jednom bode.

Myslíte si, že stred opísanej kružnice vždy leží vo vnútri trojuholníka? Predstavte si - nie vždy!

Ale ak ostrý uhol, potom - vnútri:

Čo robiť s pravouhlým trojuholníkom?

A s bonusom navyše:

Keďže hovoríme o polomere kružnice opísanej: čomu sa rovná pre ľubovoľný trojuholník? A na túto otázku existuje odpoveď: tzv.

menovite:

A samozrejme,

1. Existencia a stred opísanej kružnice

Tu vyvstáva otázka: existuje taký kruh pre každý trojuholník? Ukazuje sa, že áno, pre všetkých. A navyše teraz sformulujeme vetu, ktorá odpovedá aj na otázku, kde sa nachádza stred kružnice opísanej.

Pozri, takto:

Buďme odvážni a dokážme túto vetu. Ak ste si už prečítali tému „“ a pochopili ste, prečo sa tri osi pretínajú v jednom bode, bude to pre vás jednoduchšie, ale ak ste to nečítali, nebojte sa: teraz na to prídeme.

Dôkaz vykonáme pomocou konceptu lokusu bodov (GMT).

Je napríklad sada loptičiek „geometrickým miestom“ okrúhlych predmetov? Nie, samozrejme, pretože sú tu okrúhle... vodné melóny. Je to súbor ľudí, „geometrické miesto“, ktorí môžu hovoriť? Ani nie, pretože sú deti, ktoré nevedia rozprávať. V živote je vo všeobecnosti ťažké nájsť príklad skutočného „geometrického umiestnenia bodov“. V geometrii je to jednoduchšie. Tu je napríklad presne to, čo potrebujeme:

Tu je množina kolmica a vlastnosť „ “ je „byť v rovnakej vzdialenosti (bod) od koncov segmentu.

Skontrolujeme? Takže sa musíte uistiť o dvoch veciach:

1. Akýkoľvek bod, ktorý je rovnako vzdialený od koncov úsečky, je umiestnený na kolmici k nej.

Spojme c a c. Potom je čiara stredom a výškou b. To znamená - rovnoramenné - dbali sme na to, aby každý bod ležiaci na odvesne bol rovnako vzdialený od bodov a.

Vezmeme stred a spojíme a. Výsledkom je medián. Ale podľa podmienky nie je rovnoramenný len stred, ale aj výška, teda odvesna. To znamená, že bod presne leží na kolmici.

Všetky! Túto skutočnosť sme si plne overili Kolmica úsečky je miestom bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od koncov úsečky.

To je všetko v poriadku, ale zabudli sme na opísaný kruh? Vôbec nie, práve sme si pripravili „odrazový mostík pre útok“.

Zvážte trojuholník. Narysujme dve kolmice na osi a povedzme na segmenty a. V určitom bode sa pretnú, ktorý pomenujeme.

Teraz dávajte pozor!

Bod leží na kolmici;
bod leží na kolmici.
A to znamená, a.

Z toho vyplýva niekoľko vecí:

Po prvé, bod musí ležať na tretej osi kolmo na segment.

To znamená, že bodom musí prechádzať aj odvesna a všetky tri odvesny sa pretínajú v jednom bode.

Po druhé: ak nakreslíme kružnicu so stredom v bode a polomerom, tak aj táto kružnica bude prechádzať bodom aj bodom, čiže pôjde o kružnicu opísanú. To znamená, že už platí, že priesečník troch odvesničiek je stredom kružnice opísanej pre ľubovoľný trojuholník.

A posledná vec: o jedinečnosti. Je jasné (takmer), že bod sa dá získať jedinečným spôsobom, preto je kruh jedinečný. „Takmer“ necháme na vaše zamyslenie. Tak sme dokázali vetu. Môžete kričať "Hurá!"

Čo ak sa problém pýta „nájdite polomer opísanej kružnice“? Alebo naopak, rádius je daný, ale potrebujete nájsť niečo iné? Existuje vzorec, ktorý spája polomer kružnice opísanej s ostatnými prvkami trojuholníka?

Poznámka: Sínusová veta to hovorí aby ste našli polomer opísanej kružnice, potrebujete jednu stranu (akúkoľvek!) a uhol oproti nej. To je všetko!

3. Stred kruhu - vnútri alebo vonku

Otázka teraz znie: môže stred kružnice opísanej ležať mimo trojuholníka?
Odpoveď: čo najviac. Navyše sa to vždy deje v tupom trojuholníku.

A všeobecne povedané:

CIRCULAR CIRCLE. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

1. Kružnica opísaná trojuholníku

Toto je kruh, ktorý prechádza všetkými tromi vrcholmi tohto trojuholníka.

2. Existencia a stred opísanej kružnice

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

Prečo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že sa pred nimi otvára oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku - 299 rubľov.
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 499 rubľov.

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

Na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

V predchádzajúcej lekcii sme sa pozreli na vlastnosti osi uhla, uzavretého v trojuholníku a voľného. Trojuholník obsahuje tri uhly a pre každý z nich sú zachované uvažované vlastnosti osi.

Veta:

Priesečníky AA 1, BB 1, СС 1 trojuholníka sa pretínajú v jednom bode O (obr. 1).

Ryža. 1. Ilustrácia k vete

dôkaz:

Zoberme si najprv dve osi BB 1 a CC 1. Pretínajú sa, priesečník O existuje. Aby sme to dokázali, predpokladajme opak: nech sa dané priesečníky nepretínajú, v takom prípade sú rovnobežné. Potom priamka BC je sečna a súčet uhlov je , to je v rozpore so skutočnosťou, že v celom trojuholníku je súčet uhlov .

Existuje teda bod O priesečníka dvoch osi. Pozrime sa na jeho vlastnosti:

Bod O leží na osi uhla, čo znamená, že je rovnako vzdialený od svojich strán BA a BC. Ak je OK kolmá na BC, OL je kolmá na BA, potom sú dĺžky týchto kolmíc rovnaké - . Taktiež bod O leží na osnici uhla a je rovnako vzdialený od jeho strán CB a CA, kolmice OM a OK sú rovnaké.

Získali sme nasledujúce rovnosti:

, to znamená, že všetky tri kolmice spadnuté z bodu O na strany trojuholníka sú si navzájom rovné.

Zaujíma nás rovnosť kolmíc OL a OM. Táto rovnosť hovorí, že bod O je rovnako vzdialený od strán uhla, z toho vyplýva, že leží na jeho stredovej osi AA 1.

Dokázali sme teda, že všetky tri osi trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Navyše trojuholník pozostáva z troch segmentov, čo znamená, že by sme mali zvážiť vlastnosti jednotlivých segmentov.

Je daný segment AB. Každý segment má stred a cez neho možno nakresliť kolmicu - označme to ako p. P je teda odvesna.

Ryža. 2. Ilustrácia k vete

Akýkoľvek bod ležiaci na kolmici je rovnako vzdialený od koncov úsečky.

Dokážte to (obr. 2).

dôkaz:

Zvážte trojuholníky a . Sú obdĺžnikové a rovnaké, pretože majú spoločnú nohu OM a nohy AO a OB sú rovnaké podľa podmienky, takže máme dve správny trojuholník, rovnaké na dvoch nohách. Z toho vyplýva, že prepony trojuholníkov sú tiež rovnaké, teda to, čo bolo potrebné dokázať.

Opačná veta je pravdivá.

Každý bod rovnako vzdialený od koncov úsečky leží na kolmici na túto úsečku.

Daný je úsečka AB, jej kolmica p a bod M rovnako vzdialený od koncov úsečky. Dokážte, že bod M leží na kolmici na úsečku (obr. 3).

Ryža. 3. Ilustrácia k vete

dôkaz:

Zvážte trojuholník. Je rovnoramenný, podľa stavu. Uvažujme stred trojuholníka: bod O je stred základne AB, OM je stred. Podľa vlastnosti rovnoramenného trojuholníka je stredom k jeho základni nadmorská výška aj os. Z toho vyplýva, že . Ale priamka p je tiež kolmá na AB. Vieme, že v bode O je možné nakresliť jedinú kolmicu na úsečku AB, čo znamená, že priamky OM a p sa zhodujú, z toho vyplýva, že bod M patrí priamke p, čo sme potrebovali dokázať.

Priame a opačné vety sa dajú zovšeobecniť.

Bod leží na kolmici úsečky práve vtedy, ak je rovnako vzdialený od koncov úsečky.

Zopakujme si teda, že v trojuholníku sú tri úsečky a pre každý z nich platí vlastnosť odvesny.

Veta:

Odvesny trojuholníka sa pretínajú v jednom bode.

Je daný trojuholník. Kolmice na jej strany: P 1 na stranu BC, P 2 na stranu AC, P 3 na stranu AB.

Dokážte, že kolmice P 1, P 2 a P 3 sa pretínajú v bode O (obr. 4).

Ryža. 4. Ilustrácia k vete

dôkaz:

Uvažujme dve kolmé osi P 2 a P 3, pretínajú sa, priesečník O existuje. Dokážme túto skutočnosť protirečením - nech sú kolmice P 2 a P 3 rovnobežné. Potom sa uhol obráti, čo je v rozpore so skutočnosťou, že súčet troch uhlov trojuholníka je . Existuje teda bod O priesečníka dvoch z troch kolmých osi. Vlastnosti bodu O: leží na priesečníku na stranu AB, čo znamená, že je rovnako vzdialený od koncov úsečky AB: . Leží tiež na kolmici na stranu AC, čo znamená . Získali sme nasledujúce rovnosti.

Inštrukcie

Nakreslite priamku cez priesečníky kružníc. Získali ste kolmicu na daný segment.

Teraz dostaneme bod a čiaru. Je potrebné nakresliť kolmicu z tohto bodu do bodu. Nakreslite kruh s polomerom (polomer musí byť od bodu po priamku, aby kruh mohol pretínať priamku v dvoch bodoch). Teraz máte dva body na priamke. Tieto body vytvárajú úsečku. Zostrojte kolmicu na úsečku, jej konce sú výsledné body podľa algoritmu uvedeného vyššie. Kolmica musí prechádzať počiatočným bodom.

Konštrukcia priamych čiar je základom technického kreslenia. V dnešnej dobe sa to čoraz viac robí pomocou grafických editorov, ktoré poskytujú dizajnérom skvelé príležitosti. Niektoré princípy konštrukcie však zostávajú rovnaké ako pri klasickom kreslení – pomocou ceruzky a pravítka.

Budete potrebovať

• - papier;
• - ceruzka;
• - pravítko;
• - počítač s programom AutoCAD.

Inštrukcie

Začnite s klasickou konštrukciou. Určte si rovinu, v ktorej budete líniu stavať. Nech je to rovina listu papiera. V závislosti od podmienok problému usporiadajte . Môžu byť ľubovoľné, ale je možné, že je daný súradnicový systém. Umiestnite náhodné bodky tam, kde sa vám to najviac páči. Označte ich A a B. Pomocou pravítka ich spojte. Podľa axiómy je vždy možné nakresliť priamku cez dva body, a to iba jeden.

Nakreslite súradnicový systém. Nech dostanete body A (x1; y1). Aby ste ich vyrobili, musíte nakresliť požadované číslo pozdĺž osi x a nakresliť priamku rovnobežnú s osou y cez označený bod. Potom nakreslite hodnotu rovnajúcu sa y1 pozdĺž príslušnej osi. Z označeného bodu nakreslite kolmicu, kým sa nepretína s. Miestom ich priesečníka bude bod A. Rovnakým spôsobom nájdite bod B, ktorého súradnice možno označiť ako (x2; y2). Spojte oba body.

V AutoCADe je možné vytvoriť priamku pomocou niekoľkých . Funkcia "by" je zvyčajne nainštalovaná štandardne. V hornom menu nájdite kartu „Domov“. Pred sebou uvidíte panel Draw. Nájdite tlačidlo s obrázkom priamky a kliknite naň.

AutoCAD tiež umožňuje určiť súradnice oboch. Do príkazového riadku nižšie zadajte (_xline). Stlačte Enter. Zadajte súradnice prvého bodu a tiež stlačte enter. Rovnakým spôsobom určte druhý bod. Dá sa určiť aj kliknutím myšou a umiestnením kurzora na požadované miesto na obrazovke.

V AutoCADe môžete postaviť priamku nielen dvoma bodmi, ale aj uhlom sklonu. V kontextovej ponuke Kresliť vyberte Čiara a potom možnosť Uhol. Počiatočný bod je možné nastaviť kliknutím myši alebo pomocou , ako v predchádzajúcej metóde. Potom nastavte veľkosť uhla a stlačte enter. Štandardne bude priamka umiestnená v požadovanom uhle k horizontále.

Video k téme

Na zložitom výkrese (diagrame) kolmosť rovný a lietadlo určené základnými ustanoveniami: ak jedna strana pravý uhol paralelný lietadlo projekcie, potom sa na túto rovinu premietne pravý uhol bez skreslenia; ak je priamka kolmá na dve pretínajúce sa priamky lietadlo, je na to kolmá lietadlo.

Budete potrebovať

• Ceruzka, pravítko, uhlomer, trojuholník.

Inštrukcie

Príklad: nakreslite kolmicu cez bod M k lietadlo Ak chcete nakresliť kolmicu na lietadlo, ležia v ňom dve pretínajúce sa čiary lietadlo a zostrojte na ne kolmú priamku. Ako tieto dve pretínajúce sa čiary sú zvolené čelná a horizontálna. lietadlo.

Frontálna f(f₁f₂) je priamka ležiaca v lietadlo a rovnobežne s frontálnym lietadlo projekcie P₂. To znamená, že f₂ je jeho prirodzená hodnota a f1 je vždy rovnobežné s x₁2. Z bodu A₂ nakreslite h2 rovnobežne s x₁₂ a získajte bod 1₂ na B₂C₂.

Pomocou projekčnej komunikačnej linky bod 11 až B₁C1. Spojte sa s A₁ - to je h₁ - prirodzená hodnota horizontály. Z bodu B₁ nakreslite f₁‖x₁₂, pri A₁C₁ získate bod 2₁. Pomocou spojovacej čiary projekcie nájdite bod 2₂ na A₂C₂. Pripojte sa k bodu B₂ – to bude f₂ – prirodzená veľkosť prednej časti.

Skonštruované prirodzené horizontály h₁ a frontály f₂ projekcií kolmých na lietadlo. Z bodu M₂ nakreslite jeho predný priemet a₂ pod uhlom 90