Vstupná úroveň

Opísaný kruh. Vizuálny sprievodca (2019)

Prvá otázka, ktorá môže vzniknúť, je: čo je popísané – okolo čoho?

V skutočnosti sa to niekedy deje okolo čohokoľvek, ale budeme hovoriť o kruhu opísanom okolo (niekedy sa hovorí aj „okolo“) trojuholníka. čo je to?

A len si predstavte, stane sa úžasná skutočnosť:

Prečo je táto skutočnosť prekvapujúca?

Ale trojuholníky sú iné!

A pre každého je tu kruh, ktorým prejde cez všetky tri vrcholy, teda opísaný kruh.

Dôkaz toho úžasný fakt nájdete v nasledujúcich úrovniach teórie, ale tu len poznamenávame, že ak si vezmeme napríklad štvoruholník, tak nie pre každého bude kruh prechádzajúci cez štyri vrcholy. Napríklad rovnobežník je vynikajúci štvoruholník, ale cez všetky jeho štyri vrcholy neprechádza žiadna kružnica!

A existuje len pre obdĺžnik:

tu máš, a každý trojuholník má vždy svoju kružnicu opísanú! A dokonca je vždy celkom ľahké nájsť stred tohto kruhu.

Vieš čo to je? kolmica?

Teraz sa pozrime, čo sa stane, ak vezmeme do úvahy až tri kolmice na strany trojuholníka.

Ukazuje sa (a to je presne to, čo treba dokázať, hoci to neurobíme), že všetky tri kolmice sa pretínajú v jednom bode. Pozrite sa na obrázok - všetky tri kolmé osi sa pretínajú v jednom bode.

Myslíte si, že stred opísanej kružnice vždy leží vo vnútri trojuholníka? Predstavte si - nie vždy!

Ale keby ostrý uhol, potom - vnútri:

Čo robiť s pravouhlým trojuholníkom?

A s bonusom navyše:

Keďže hovoríme o polomere kružnice opísanej: čomu sa rovná pre ľubovoľný trojuholník? A na túto otázku existuje odpoveď: tzv.

menovite:

a samozrejme

1. Existencia a stred opísanej kružnice

Tu vyvstáva otázka: existuje taký kruh pre každý trojuholník? Ukazuje sa, že áno, pre všetkých. A navyše teraz sformulujeme vetu, ktorá odpovedá aj na otázku, kde sa nachádza stred kružnice opísanej.

Pozri, takto:

Buďme odvážni a dokážme túto vetu. Ak ste si už prečítali tému „“ a pochopili ste, prečo sa tri osi pretínajú v jednom bode, bude to pre vás jednoduchšie, ale ak ste to nečítali, nebojte sa: teraz na to prídeme.

Dôkaz vykonáme pomocou konceptu lokusu bodov (GLP).

Je napríklad sada loptičiek „geometrickým miestom“ okrúhlych predmetov? Nie, samozrejme, pretože sú tu okrúhle... vodné melóny. Je to súbor ľudí, „geometrické miesto“, ktorí môžu hovoriť? Ani nie, pretože sú deti, ktoré nevedia rozprávať. V živote je vo všeobecnosti ťažké nájsť príklad skutočného „geometrického umiestnenia bodov“. V geometrii je to jednoduchšie. Tu je napríklad presne to, čo potrebujeme:

Tu je množina kolmica a vlastnosť „ “ je „byť v rovnakej vzdialenosti (bod) od koncov segmentu.

Skontrolujeme? Takže sa musíte uistiť o dvoch veciach:

1. Akýkoľvek bod, ktorý je rovnako vzdialený od koncov úsečky, je umiestnený na kolmici k nej.

Spojme c a c. Potom je čiara stredom a výškou b. To znamená - rovnoramenné - dbali sme na to, aby každý bod ležiaci na odvesne bol rovnako vzdialený od bodov a.

Vezmeme stred a spojíme a. Výsledkom je medián. Ale podľa podmienky nie je rovnoramenný len stred, ale aj výška, teda odvesna. To znamená, že bod presne leží na kolmici.

Všetky! Túto skutočnosť sme si plne overili Kolmica úsečky je miestom bodov, ktoré sú rovnako vzdialené od koncov úsečky.

To je všetko v poriadku, ale zabudli sme na opísaný kruh? Vôbec nie, práve sme si pripravili „odrazový mostík pre útok“.

Zvážte trojuholník. Narysujme dve kolmice na osi a povedzme na segmenty a. V určitom bode sa pretnú, ktorý pomenujeme.

Teraz dávajte pozor!

Bod leží na kolmici;
bod leží na kolmici.
A to znamená, a.

Z toho vyplýva niekoľko vecí:

Po prvé, bod musí ležať na tretej osi kolmo na segment.

To znamená, že bodom musí prechádzať aj odvesna a všetky tri odvesny sa pretínajú v jednom bode.

Po druhé: ak nakreslíme kružnicu so stredom v bode a polomerom, tak aj táto kružnica bude prechádzať bodom aj bodom, čiže pôjde o kružnicu opísanú. To znamená, že už existuje priesečník troch kolmé osi- stred opísanej kružnice pre ľubovoľný trojuholník.

A posledná vec: o jedinečnosti. Je jasné (takmer), že bod sa dá získať jedinečným spôsobom, preto je kruh jedinečný. „Takmer“ necháme na vaše zamyslenie. Tak sme dokázali vetu. Môžete kričať "Hurá!"

Čo ak sa problém pýta „nájdite polomer opísanej kružnice“? Alebo naopak, rádius je daný, ale potrebujete nájsť niečo iné? Existuje vzorec, ktorý spája polomer kružnice opísanej s ostatnými prvkami trojuholníka?

Poznámka: Sínusová veta to hovorí aby ste našli polomer opísanej kružnice, potrebujete jednu stranu (akúkoľvek!) a uhol oproti nej. To je všetko!

3. Stred kruhu - vnútri alebo vonku

Teraz otázka znie: môže stred kružnice opísanej ležať mimo trojuholníka?
Odpoveď: čo najviac. Navyše sa to vždy deje v tupom trojuholníku.

A vo všeobecnosti:

CIRCULAR CIRCLE. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

1. Kružnica opísaná trojuholníku

Toto je kruh, ktorý prechádza všetkými tromi vrcholmi tohto trojuholníka.

2. Existencia a stred opísanej kružnice

No, téma je ukončená. Ak čítate tieto riadky, znamená to, že ste veľmi cool.

Pretože len 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť sami. A ak dočítate až do konca, tak ste v týchto 5%!

Teraz to najdôležitejšie.

Pochopili ste teóriu na túto tému. A opakujem, toto... toto je proste super! Už teraz ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je, že to nemusí stačiť...

za čo?

Za úspešné absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky, za vstup na vysokú školu s obmedzeným rozpočtom a HLAVNE, na celý život.

nebudem ta o nicom presviedcat, poviem len jedno...

Ľudia, ktorí získali dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nezískali. Toto je štatistika.

Ale to nie je to hlavné.

Hlavne, že sú ŠŤASTNEJŠÍ (existujú také štúdie). Možno preto, že je pred nimi oveľa otvorenejšie viac možností a život bude jasnejší? neviem...

Ale zamysli sa nad sebou...

Čo je potrebné na to, aby ste boli na jednotnej štátnej skúške lepší ako ostatní a nakoniec boli... šťastnejší?

ZÍSKAJTE SI RUKU RIEŠENÍM PROBLÉMOV V TEJTO TÉME.

Na skúške od vás nebudú žiadať teóriu.

Budete potrebovať riešiť problémy s časom.

A ak ste ich nevyriešili (VEĽA!), určite niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nebudete mať čas.

Je to ako v športe – treba to veľakrát zopakovať, aby ste vyhrali.

Nájdite kolekciu kdekoľvek chcete, nutne s riešeniami, podrobnou analýzou a rozhodni sa, rozhodni sa, rozhodni sa!

Môžete využiť naše úlohy (voliteľné) a my ich, samozrejme, odporúčame.

Ak chcete lepšie používať naše úlohy, musíte pomôcť predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Sú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku - 299 rubľov.
2. Odomknite prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 499 rubľov.

Áno, takýchto článkov máme v našej učebnici 99 a prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich je možné okamžite otvoriť.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je poskytovaný po CELÚ životnosť stránky.

A na záver...

Ak sa vám nepáčia naše úlohy, nájdite si iné. Len neostávajte pri teórii.

„Rozumiem“ a „Viem vyriešiť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájdite problémy a riešte ich!

Veľmi často pri riešení geometrických problémov musíte vykonávať akcie s pomocnými postavami. Napríklad nájdenie polomeru vpísanej alebo opísanej kružnice atď. Tento článok vám ukáže, ako nájsť polomer kružnice opísanej trojuholníkom. Alebo inými slovami, polomer kružnice, do ktorej je trojuholník vpísaný.

Ako nájsť polomer kružnice opísanej trojuholníku - všeobecný vzorec

Všeobecný vzorec vyzerá nasledovne: R = abc/4√p(p – a)(p – b)(p – c), kde R je polomer kružnice opísanej, p je obvod trojuholníka delený 2 (polobvod). a, b, c – strany trojuholníka.

Nájdite obvod trojuholníka, ak a = 3, b = 6, c = 7.

Na základe vyššie uvedeného vzorca teda vypočítame polobvod:
p = (a + b + c)/2 = 3 + 6 + 7 = 16. => 16/2 = 8.

Hodnoty dosadíme do vzorca a dostaneme:
R = 3 × 6 × 7/4√8(8 – 3)(8 – 6)(8 – 7) = 126/4√(8 × 5 × 2 × 1) = 126/4√80 = 126/16 √5.

Odpoveď: R = 126/16√5

Ako nájsť polomer kružnice opísanej rovnostrannému trojuholníku

Ak chcete nájsť polomer kružnice opísanej okolo rovnostranný trojuholník, je ich dosť jednoduchý vzorec: R = a/√3, kde a je veľkosť jeho strany.

Príklad: Strana rovnostranného trojuholníka je 5. Nájdite polomer kružnice opísanej.

Keďže všetky strany rovnostranného trojuholníka sú rovnaké, na vyriešenie problému stačí zadať jeho hodnotu do vzorca. Dostaneme: R = 5/√3.

Odpoveď: R = 5/√3.

Ako nájsť polomer kružnice opísanej pravouhlému trojuholníku

Vzorec je nasledujúci: R = 1/2 × √(a² + b²) = c/2, kde aab sú nohy a c je prepona. Ak spočítate štvorce nôh v pravouhlom trojuholníku, dostanete druhú mocninu prepony. Ako je zrejmé zo vzorca, tento výraz je pod koreňom. Výpočtom odmocniny druhej mocniny prepony dostaneme samotnú dĺžku. Vynásobením výsledného výrazu 1/2 sa nakoniec dostaneme k výrazu 1/2 × c = c/2.

Príklad: Vypočítajte polomer opísanej kružnice, ak sú ramená trojuholníka 3 a 4. Dosaďte hodnoty do vzorca. Získame: R = 1/2 × √(3² + 4²) = 1/2 × √25 = 1/2 × 5 = 2,5.

V tomto výraze je 5 dĺžka prepony.

Odpoveď: R = 2,5.

Ako nájsť polomer kružnice opísanej rovnoramennému trojuholníku

Vzorec je nasledujúci: R = a²/√(4a² – b²), kde a je dĺžka stehna trojuholníka a b je dĺžka základne.

Príklad: Vypočítajte polomer kruhu, ak jeho bok = 7 a základňa = 8.

Riešenie: Dosaďte tieto hodnoty do vzorca a získajte: R = 7²/√(4 × 7² – 8²).

R = 49/√(196 – 64) = 49/√132. Odpoveď sa dá napísať priamo takto.

Odpoveď: R = 49/√132

Online zdroje na výpočet polomeru kruhu

Vo všetkých týchto vzorcoch sa môže veľmi ľahko zmiasť. Preto v prípade potreby môžete použiť online kalkulačky, ktorý vám pomôže pri riešení problémov s nájdením polomeru. Princíp fungovania takýchto mini-programov je veľmi jednoduchý. Doplňte vedľajšiu hodnotu do príslušného poľa a získajte hotovú odpoveď. Môžete si vybrať niekoľko možností zaokrúhľovania odpovede: na desatinné miesta, stotiny, tisíciny atď.

Trojuholník sa nazýva vpísaný, ak všetky jeho vrcholy ležia na kružnici. V tomto prípade sa nazýva kruh popísané okolo trojuholníka. Vzdialenosť od jeho stredu ku každému vrcholu trojuholníka bude rovnaká a rovná sa polomeru tohto kruhu. Akýkoľvek trojuholník môže byť obklopený kruhom, ale iba jedným.

Stred kružnice opísanej bude ležať v priesečníku kolmic nakreslených na každú stranu trojuholníka. Ak je kruh opísaný okolo pravouhlý trojuholník, potom bude jeho stred ležať v strede prepony. Pre každý trojuholník, okolo ktorého je opísaný kruh, platí vzorec pre oblasť trojuholníka z hľadiska polomeru opísanej kružnice:

kde a, b, c sú strany trojuholníka a R je polomer kružnice opísanej.

Príklad výpočtu plochy trojuholníka pomocou polomeru opísanej kružnice:
Nech je daný trojuholník so stranami a = 5 cm, b = 6 cm, c = 4 cm Okolo neho je opísaná kružnica s R = 3 cm.
Po všetkých požadovaných údajoch jednoducho dosadíme hodnoty do vzorca:

Plocha trojuholníka bude 10 metrov štvorcových. cm

Pomerne často, podľa podmienok, môžete nájsť danú oblasť opísanej kružnice, ktorá sa musí použiť na nájdenie oblasti vpísaného trojuholníka. Vzorec pre oblasť trojuholníka cez oblasť opísanej kružnice sa nachádza po výpočte polomeru. Dá sa vypočítať niekoľkými spôsobmi. Najprv zvážte vzorec pre oblasť kruhu:
Transformáciou tohto vzorca dostaneme, že polomer je:
Pomocou tohto vzorca zistíme, že ak poznáme oblasť opísanej kružnice, môžeme nájsť oblasť trojuholníka nasledujúcim spôsobom:

Na nájdenie oblasti sa dá použiť znalosť všetkých troch strán daného trojuholníka. Z nej môžete zistiť aj polomer opísanej kružnice. To znamená, že ak sú v podmienkach uvedené všetky strany trojuholníka a potrebujeme nájsť oblasť cez polomer opísanej kružnice, musíme ju najskôr vypočítať pomocou vzorca:

To znamená, že ak poznáme dĺžky všetkých strán trojuholníka, môžeme nájsť oblasť trojuholníka cez polomer opísanej kružnice.

Príklad výpočtu plochy trojuholníka pomocou plochy opísanej kružnice:
Daný trojuholník, okolo ktorého je opísaný kruh s plochou 8 metrov štvorcových. cm strany trojuholníka sú a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm, najprv nájdime polomer kruhu:

Skúsme nájsť polomer pomocou iného vzorca, ktorý sme odvodili z metódy hľadania

Ako zistiť polomer kruhu? Táto otázka je vždy relevantná pre školákov, ktorí študujú planimetriu. Nižšie sa pozrieme na niekoľko príkladov, ako sa s touto úlohou môžete vyrovnať.

V závislosti od podmienok problému môžete nájsť polomer kruhu takto.

Vzorec 1: R = L / 2π, kde L je a π je konštanta rovná 3,141...

Vzorec 2: R = √(S / π), kde S je plocha kruhu.

Vzorec 1: R = B/2, kde B je prepona.

Vzorec 2: R = M*B, kde B je prepona a M je k nej nakreslený medián.

Ako zistiť polomer kruhu, ak je opísaný okolo pravidelného mnohouholníka

Vzorec: R = A / (2 * sin (360/(2*n))), kde A je dĺžka jednej zo strán obrázku a n je počet strán tohto geometrického útvaru.

Ako nájsť polomer vpísanej kružnice

Vpísaná kružnica sa nazýva, keď sa dotýka všetkých strán mnohouholníka. Pozrime sa na pár príkladov.

Vzorec 1: R = S / (P/2), kde - S a P sú plocha a obvod obrázku.

Vzorec 2: R = (P/2 - A) * tg (a/2), kde P je obvod, A je dĺžka jednej zo strán a je uhol oproti tejto strane.

Ako nájsť polomer kruhu, ak je vpísaný do pravouhlého trojuholníka

Formula 1:

Polomer kruhu, ktorý je vpísaný do kosoštvorca

Kruh môže byť vpísaný do akéhokoľvek kosoštvorca, rovnostranného aj nerovnakého.

Vzorec 1: R = 2 * H, kde H je výška geometrického útvaru.

Vzorec 2: R = S / (A*2), kde S je a A je dĺžka jeho strany.

Vzorec 3: R = √((S * sin A)/4), kde S je plocha kosoštvorca a sin A je sínus ostrý uhol tohto geometrického útvaru.

Vzorec 4: R = B*G/(√(B² + G²), kde B a G sú dĺžky uhlopriečok geometrického útvaru.

Vzorec 5: R = B*sin (A/2), kde B je uhlopriečka kosoštvorca a A je uhol vo vrcholoch spájajúcich uhlopriečku.

Polomer kruhu, ktorý je vpísaný do trojuholníka

Ak máte v probléme uvedené dĺžky všetkých strán obrázku, potom najprv vypočítajte (P) a potom polobvod (p):

P = A+B+C, kde A, B, C sú dĺžky strán geometrického útvaru.

Vzorec 1: R = √((p-A)*(p-B)*(p-B)/p).

A ak poznáte všetky rovnaké tri strany, dostanete aj jednu, potom môžete vypočítať požadovaný polomer nasledovne.

Vzorec 2: R = S * 2 (A + B + C)

Vzorec 3: R = S/n = S / (A+B+B)/2), kde - n je polobvod geometrického útvaru.

Vzorec 4: R = (n - A) * tan (A/2), kde n je polobvod trojuholníka, A je jedna z jeho strán a tan (A/2) je tangens polovice uhla oproti tejto strane.

A vzorec nižšie vám pomôže nájsť polomer kruhu, ktorý je vpísaný

Vzorec 5: R = A * √3/6.

Polomer kruhu, ktorý je vpísaný do pravouhlého trojuholníka

Ak problém udáva dĺžky nôh, ako aj preponu, potom sa polomer vpísanej kružnice určí nasledovne.

Vzorec 1: R = (A+B-C)/2, kde A, B sú nohy, C je prepona.

V prípade, že máte len dve nohy, je čas zapamätať si Pytagorovu vetu, aby ste našli preponu a použili vyššie uvedený vzorec.

C = √(A²+B²).

Polomer kruhu, ktorý je vpísaný do štvorca

Kruh, ktorý je vpísaný do štvorca, rozdeľuje v miestach dotyku všetky 4 jeho strany presne na polovicu.

Vzorec 1: R = A/2, kde A je dĺžka strany štvorca.

Vzorec 2: R = S / (P/2), kde S a P sú plocha a obvod štvorca.

Téma „Vpísané a opísané kružnice v trojuholníkoch“ je jednou z najťažších v kurze geometrie. V triede trávi veľmi málo času.

Geometrické úlohy na túto tému sú zahrnuté v druhej časti Jednotnej štátnej skúšky pre stredoškolský kurz. Úspešné zvládnutie týchto úloh si vyžaduje solídne znalosti základných geometrických faktov a určité skúsenosti s riešením geometrických úloh.
Pre každý trojuholník existuje iba jedna kružnica opísaná. Ide o kružnicu, na ktorej ležia všetky tri vrcholy trojuholníka s danými parametrami. Nájdenie jeho polomeru môže byť potrebné nielen na hodine geometrie. Neustále sa s tým musia potýkať dizajnéri, rezači, mechanici a zástupcovia mnohých ďalších profesií. Aby ste našli jeho polomer, potrebujete poznať parametre trojuholníka a jeho vlastnosti. Stred kružnice opísanej je v priesečníku odvesničiek trojuholníka.
Dávam do pozornosti všetky vzorce na nájdenie polomeru kružnice opísanej a nielen trojuholníka. Vzorce pre vpísaný kruh je možné zobraziť.

a, b. s - strany trojuholníka

α - opačný uhola,
S-oblasť trojuholníka,

p- poloobvod

Potom nájdite polomer ( R) opísanej kružnice pomocou vzorcov:

Na druhej strane možno plochu trojuholníka vypočítať pomocou jedného z nasledujúcich vzorcov:

Tu je niekoľko ďalších vzorcov.

1. Polomer kružnice opísanej okolo rovnostranného trojuholníka. Ak a potom strana trojuholníka

2. Polomer kružnice opísanej okolo rovnoramenného trojuholníka. Nechaj a, b- strany trojuholníka teda