Zostrojte rez pyramídy s rovinou prechádzajúcou bodmi. Pyramída. Skrátená pyramída
Úvod
Keď sme začali študovať stereometrické obrazce, dotkli sme sa témy „Pyramída“. Táto téma sa nám páčila, pretože pyramída je veľmi často využívaná v architektúre. A od tej našej budúce povolanie architektka, inšpirovaná touto postavou, si myslíme, že nás môže dotlačiť k skvelým projektom.
Sila architektonických štruktúr je ich najdôležitejšou kvalitou. Spojenie pevnosti, po prvé, s materiálmi, z ktorých sú vytvorené, a po druhé, s vlastnosťami dizajnových riešení sa ukazuje, že pevnosť konštrukcie priamo súvisí s geometrickým tvarom, ktorý je pre ňu základ.
Inými slovami, hovoríme o o tom geometrickom útvare, ktorý možno považovať za model zodpovedajúcej architektonickej formy. Ukazuje sa, že geometrický tvar určuje aj silu architektonickej štruktúry.
Od staroveku boli egyptské pyramídy považované za najodolnejšie architektonické stavby. Ako viete, majú tvar pravidelných štvoruholníkových pyramíd.
Práve tento geometrický tvar poskytuje najväčšiu stabilitu vďaka veľkej základnej ploche. Na druhej strane pyramídový tvar zaisťuje, že hmotnosť klesá so zvyšujúcou sa výškou nad zemou. Práve tieto dve vlastnosti robia pyramídu stabilnou, a teda pevnou v podmienkach gravitácie.
Cieľ projektu: naučte sa niečo nové o pyramídach, prehĺbte si vedomosti a nájdite praktické uplatnenie.
Na dosiahnutie tohto cieľa bolo potrebné vyriešiť nasledujúce úlohy:
· Naučte sa historické informácie o pyramíde
· Zvážte pyramídu ako geometrický obrazec
· Nájsť uplatnenie v živote a architektúre
· Nájdite podobnosti a rozdiely medzi pyramídami nachádzajúcimi sa v rôznych častiach sveta
Teoretická časť
Historické informácie
Začiatok geometrie pyramídy bol položený v starovekom Egypte a Babylone, ale aktívne sa rozvíjal v r Staroveké Grécko. Prvý, kto určil objem pyramídy, bol Democritus a Eudoxus z Knidu to dokázal. Staroveký grécky matematik Euclid systematizoval poznatky o pyramíde v XII zväzku svojich „Elementov“ a odvodil aj prvú definíciu pyramídy: pevná postava ohraničená rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny do jedného bodu.
Hrobky egyptských faraónov. Najväčšie z nich – Cheopsove, Khafre a Mikerinove pyramídy v El Gíze – boli v staroveku považované za jeden zo siedmich divov sveta. Stavba pyramídy, v ktorej už Gréci a Rimania videli pomník bezprecedentnej pýchy kráľov a krutosti, ktorá odsúdila celý Egypt na nezmyselné stavanie, bola najdôležitejším kultovým činom a mala zjavne vyjadrovať mystickú identitu krajiny a jej vládcu. Obyvateľstvo krajiny pracovalo na stavbe hrobky počas časti roka bez poľnohospodárskych prác. O pozornosti a starostlivosti, ktorú samotní králi (hoci neskoršej doby) venovali stavbe svojej hrobky a jej staviteľom, svedčí množstvo textov. Je známe aj o špeciálnych kultových poctách, ktoré boli udelené samotnej pyramíde.
Základné pojmy
Pyramída je mnohosten, ktorého základňa je mnohouholník a zvyšné plochy sú trojuholníky, ktoré majú spoločný vrchol.
Apothem- výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, vedená od jej vrcholu;
Bočné plochy- trojuholníky stretávajúce sa vo vrchole;
Bočné rebrá- spoločné strany bočných plôch;
Vrchol pyramídy- bod spájajúci bočné rebrá a neležiaci v rovine základne;
Výška- kolmý segment pretiahnutý cez vrchol pyramídy k rovine jeho základne (konce tohto segmentu sú vrchol pyramídy a základňa kolmice);
Diagonálny rez pyramídy- rez pyramídy prechádzajúci vrcholom a uhlopriečkou podstavy;
Základňa- mnohouholník, ktorý nepatrí k vrcholu pyramídy.
Základné vlastnosti pravidelnej pyramídy
Bočné okraje, bočné steny a apotémy sú v tomto poradí rovnaké.
Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké.
Dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké.
Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov základne.
Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných plôch.
Základné pyramídové vzorce
Plocha bočného a celkového povrchu pyramídy.
Plocha bočnej plochy pyramídy (plná a zrezaná) je súčtom plôch všetkých jej bočných plôch, celková plocha je súčtom plôch všetkých jej plôch.
Veta: Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému pyramídy.
p- obvod základne;
h- apotéma.
Plocha bočných a úplných plôch zrezanej pyramídy.
p 1, s 2 - obvody základne;
h- apotéma.
R- celková plocha pravidelnej zrezanej pyramídy;
S strana- plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy;
S1 + S2- základná plocha
Objem pyramídy
Formulár objem ula sa používa pre pyramídy akéhokoľvek druhu.
H- výška pyramídy.
Rohy pyramídy
Uhly tvorené bočnou stenou a základňou pyramídy sa nazývajú dihedrálne uhly v základni pyramídy.
Dihedrálny uhol tvorené dvoma kolmicami.
Na určenie tohto uhla musíte často použiť vetu o troch kolmých.
Nazývajú sa uhly, ktoré zviera bočná hrana a jej priemet na základnú rovinu uhly medzi bočnou hranou a rovinou základne.
Uhol, ktorý zvierajú dve bočné hrany, sa nazýva dihedrálny uhol na bočnom okraji pyramídy.
Uhol, ktorý tvoria dve bočné hrany jednej strany pyramídy, sa nazýva uhol na vrchole pyramídy.
Úseky pyramídy
Povrch pyramídy je povrchom mnohostena. Každá z jej plôch je rovina, preto rez pyramídy definovaný rovinou rezu je prerušovaná čiara pozostávajúca z jednotlivých priamych čiar.
Diagonálny rez
Rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré neležia na rovnakej ploche, sa nazýva diagonálny rez pyramídy.
Paralelné úseky
Veta:
Ak pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou, potom sú bočné hrany a výšky pyramídy rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;
Rez tejto roviny je mnohouholník podobný základni;
Plochy rezu a základne sú vo vzájomnom vzťahu ako druhé mocniny ich vzdialeností od vrcholu.
Druhy pyramíd
Správna pyramída– pyramída, ktorej základňa je pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne.
Pre bežnú pyramídu:
1. bočné rebrá sú rovnaké
2. bočné plochy sú rovnaké
3. apotémy sú si rovné
4. Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké
5. dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké
6. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov základne
7. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných hrán
Skrátená pyramída- časť pyramídy uzavretá medzi jej základňou a rovinou rezu rovnobežnou so základňou.
Základňa a zodpovedajúca časť zrezanej pyramídy sa nazývajú základne zrezanej pyramídy.
Nazýva sa kolmica vedená z akéhokoľvek bodu jednej základne k rovine druhej výška zrezanej pyramídy.
Úlohy
č. 1. V pravidelnom štvorhrannom ihlane je bod O stred podstavy, SO=8 cm, BD=30 cm Nájdite bočnú hranu SA.
Riešenie problémov
č. 1. V pravidelnej pyramíde sú všetky plochy a hrany rovnaké.
Zvážte OSB: OSB je obdĺžnikový obdĺžnik, pretože.
SB2=S02+OB2
SB2 = 64 + 225 = 289
Pyramída v architektúre
Pyramída je monumentálna stavba vo forme obyčajnej pravidelnej geometrickej pyramídy, v ktorej sa strany zbiehajú v jednom bode. Podľa svojho funkčného účelu boli pyramídy v dávnych dobách miestami pochovávania alebo kultového kultu. Základňa pyramídy môže byť trojuholníková, štvoruholníková alebo v tvare mnohouholníka s ľubovoľným počtom vrcholov, ale najbežnejšou verziou je štvoruholníková základňa.
Existuje značné množstvo pyramíd postavených rôznymi kultúrami. Staroveký svet hlavne ako chrámy alebo pamiatky. Medzi veľké pyramídy patria egyptské pyramídy.
Po celej Zemi môžete vidieť architektonické štruktúry v podobe pyramíd. Budovy pyramíd pripomínajú dávne časy a vyzerajú veľmi krásne.
Egyptské pyramídy sú najväčšie architektonické pamiatky starovekého Egypta, vrátane jedného zo „siedmich divov sveta“, Cheopsovej pyramídy. Od úpätia po vrchol dosahuje 137,3 m, a kým nestratil vrchol, jeho výška bola 146,7 m.
Budova rozhlasu v hlavnom meste Slovenska, pripomínajúca obrátenú pyramídu, bola postavená v roku 1983. Okrem kancelárií a obslužných priestorov sa vo vnútri zväzku nachádza pomerne priestranná koncertná sála, ktorá má jeden z najväčších organov na Slovensku. .
Louvre, ktorý je „tichý, nemenný a majestátny ako pyramída“, prešiel v priebehu storočí mnohými zmenami, kým sa stal najväčším múzeom na svete. Zrodila sa ako pevnosť, ktorú dal postaviť Filip Augustus v roku 1190 a ktorá sa čoskoro stala kráľovskou rezidenciou. V roku 1793 sa palác stal múzeom. Zbierky sa obohacujú prostredníctvom odkazov alebo nákupov.
Pravidelný šesťhranný ihlan pretínaný čelne vyčnievajúcou rovinou R, znázornené na obr. 180.
Ako v predchádzajúcich príkladoch, čelná projekcia úseku sa zhoduje s čelným sledovaním
dom Pv lietadlo. Horizontálne a profilové priemety obrazca rezu sú konštruované pomocou bodov, ktoré sú priesečníkmi roviny R s pyramídovými okrajmi.
Skutočný vzhľad obrázku sekcie v tomto príklade je určený metódou registrácie.
Vývoj bočnej plochy zrezaného ihlana s prierezovým obrazcom a základným obrazcom je znázornený na obr. 180, b.
Najprv sa skonštruuje sken neskrátenej pyramídy, ktorej všetky plochy v tvare trojuholníka sú identické. Označte bod na rovine s l(vrchol pyramídy) a z neho, ako zo stredu, nakreslite oblúk kruhu s polomerom R, rovná skutočnej dĺžke bočnej hrany pyramídy. Skutočnú dĺžku hrany je možné určiť z projekcie profilu pyramídy, napríklad segmentov s"e" alebo s"b", pretože tieto hrany sú rovnobežné s rovinou W a sú na ňom vyobrazené so skutočnou dĺžkou. Ďalej, pozdĺž oblúka kruhu z ľubovoľného bodu, napríklad z 1, sa odloží šesť rovnakých segmentov, ktoré sa rovnajú skutočnej dĺžke strany šesťuholníka - základne pyramídy. Skutočná dĺžka strany základne pyramídy sa získa na vodorovnom priemete (segment ab). Body a 1 ...f 1 spojené priamkami s vrcholom s 1. Potom zhora 1 Na týchto priamkach sú vynesené skutočné dĺžky okrajových segmentov k rovine rezu.
Na profilovom priemete zrezaného ihlana sú skutočné dĺžky len dve
ostrý - s"5 A s"2. Skutočné dĺžky zostávajúcich segmentov sú určené metódou ich otáčania okolo osi kolmej na rovinu N a prechod cez vrchol s. Napríklad otáčaním segmentu s"6" okolo osi do polohy rovnobežnej s rovinou W, získame jeho skutočnú dĺžku na tejto rovine. Na to stačí cez bod 6" nakreslite vodorovnú čiaru, kým sa nepretína so skutočnou dĺžkou hrany S.E. alebo SB.Úsečka s "6 0"(pozri obr. 180).
Získané body 1 1 2 1 , 3 1 , atď. spojte rovnými čiarami a pomocou triangulačnej metódy pripevnite základné a prierezové figúry. Ohybové čiary na rozvinutí sú nakreslené ako prerušovaná čiara s dvoma bodkami.
Konštrukcia izometrickej projekcie zrezaného ihlana sa začína konštrukciou izometrickej projekcie základne ihlana podľa rozmerov prevzatých z horizontálneho priemetu zložitého výkresu. Potom na základnej rovine podľa súradníc bodov 1...6 zostrojte vodorovný priemet rezu (pozri tenké modré čiary na obr. 180, a, c). Z vrcholov výsledného šesťuholníka sa nakreslia zvislé priamky, na ktorých sú vynesené súradnice prevzaté z čelných alebo profilových priemetov hranola, napríklad segmenty K (, K2, K3 atď. Získané body 1...6 spojíme, dostaneme obrázok sekcie. Spájanie bodov 1...6 s vrcholmi šesťuholníka, základne ihlana, získame izometrický priemet zrezaného ihlana. Neviditeľné okraje sú zobrazené prerušovanými čiarami.
Príklad rezu trojuholníkovou nepravidelnou pyramídou s čelne vyčnievajúcou rovinou je na obr. 181.
Všetky hrany na troch projekčných rovinách sú zobrazené skreslene. Horizontálna projekcia
základňa predstavuje jej skutočný vzhľad, pretože základňa pyramídy je umiestnená v rovine N.
Platné zobrazenie 1 0 , 2 0 , 3 0 na obrázku rezu sa získa zmenou projekčných rovín. IN v tomto príklade horizontálna projekčná rovina N nahradená novou rovinou, ktorá je rovnobežná s rovinou R; nová náprava x 1 v kombinácii so stopou P V(Obr. 181, A).
Buduje sa zástavba povrchu pyramídy nasledujúcim spôsobom. Pomocou rotačnej metódy sa zistí skutočná dĺžka hrán pyramídy a ich segmentov od základne po rovinu rezu R.
Napríklad skutočné dĺžky hrán S.C. a jeho segment NW rovná dĺžke čelnej projekcie s"c" hrany a segment c 1′ 3 1 po zákrute.
Potom postavia vývoj trojuholníkového nepravidelného ihlana (obr. 181, c). Ak to chcete urobiť, z ľubovoľného bodu S nakreslite k mačke priamku, označte skutočnú dĺžku rebra S.A. Z pointy s urobte zárez s polomerom R1, rovná skutočnej dĺžke hrany SB, a od hrotu zárez s polomerom R2, rovná strane základne pyramídy AB, výsledkom je bod b 1 a okraj s 1 b 1 a 1 . Potom z bodov s A b 1 ako zo stredov urobte pätky s polomermi rovnými skutočnej dĺžke okraja S.C. a bočné slnko získať výhodu s 1 b 1 s 1 pyramídy. Okraj je tiež konštruovaný s 1 s 1 a 1.
Z bodov a 1 b 1 A od 1 určiť skutočné dĺžky segmentov rebier, ktoré sa odoberajú na čelnom výbežku (segmenty a 1 ′1 1 ′, b 1 ′2 1 ′, с 1 ′3 1 ′). Pomocou metódy triangulácie je pripojený základný a rezný obrázok.
Ak chcete zostrojiť izometrickú projekciu zrezaného ihlana (obr. 181, b), nakreslite izometrickú os X. Podľa súradníc T A P budovanie základne pyramídy ABC. Základná strana AC rovnobežne s osou X alebo sa zhoduje s osou X. Rovnako ako v predchádzajúcom príklade sa zostrojí izometrický priemet horizontálneho priemetu rezu 1 2 2 2 3 2 (pomocou bodov I, III a IV). Z týchto bodov sú nakreslené vertikálne priame čiary, na ktoré sú položené segmenty prevzaté z čelného alebo profilového priemetu hranola. K 1, K 2 A K 3. Získané body 1 , 2, 3 sú spojené priamkami navzájom a s vrcholmi základne.
Definícia. Bočný okraj- je to trojuholník, v ktorom jeden uhol leží na vrchole pyramídy a opačná strana sa zhoduje so stranou základne (mnohouholníka).
Definícia. Bočné rebrá- to sú spoločné strany bočných plôch. Pyramída má toľko hrán, koľko je uhlov mnohouholníka.
Definícia. Výška pyramídy- je to kolmica spustená zhora k základni pyramídy.
Definícia. Apothem- toto je kolmica na bočnú plochu pyramídy, spustená z vrcholu pyramídy na stranu základne.
Definícia. Diagonálny rez- je to rez pyramídy rovinou prechádzajúcou vrcholom pyramídy a uhlopriečkou podstavy.
Definícia. Správna pyramída je pyramída, ktorej základňou je pravidelný mnohouholník a výška padá do stredu základne.
Objem a povrch pyramídy
Vzorec. Objem pyramídy cez základnú plochu a výšku:
Vlastnosti pyramídy
Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom je možné okolo základne pyramídy nakresliť kruh a stred základne sa zhoduje so stredom kruhu. Taktiež kolmica spadnutá zhora prechádza stredom základne (kruhu).
Ak sú všetky bočné okraje rovnaké, potom sú naklonené k rovine základne v rovnakých uhloch.
Bočné hrany sú rovnaké, keď zvierajú rovnaké uhly s rovinou základne alebo ak je možné okolo základne pyramídy opísať kruh.
Ak sú bočné steny naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom je možné do základne pyramídy vpísať kruh a vrchol pyramídy sa premieta do jej stredu.
Ak sú bočné plochy naklonené k rovine základne pod rovnakým uhlom, potom sú apotémy bočných plôch rovnaké.
Vlastnosti pravidelnej pyramídy
1. Vrch pyramídy je rovnako vzdialený od všetkých rohov základne.
2. Všetky bočné okraje sú rovnaké.
3. Všetky bočné rebrá sú naklonené v rovnakých uhloch k základni.
4. Apotémy všetkých bočných stien sú rovnaké.
5. Plochy všetkých bočných plôch sú rovnaké.
6. Všetky plochy majú rovnaké dihedrálne (ploché) uhly.
7. Okolo pyramídy možno opísať guľu. Stred opísanej gule bude priesečníkom kolmic, ktoré prechádzajú stredom hrán.
8. Do pyramídy môžete vložiť guľu. Stred vpísanej gule bude priesečníkom priesečníkov vychádzajúcich z uhla medzi okrajom a základňou.
9. Ak sa stred vpísanej gule zhoduje so stredom opísanej gule, potom sa súčet rovinných uhlov vo vrchole rovná π alebo naopak, jeden uhol sa rovná π/n, kde n je číslo uhlov na základni pyramídy.
Spojenie medzi pyramídou a guľou
Guľa môže byť opísaná okolo pyramídy, keď na základni pyramídy je mnohosten, okolo ktorého možno opísať kruh (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Stred gule bude priesečníkom rovín prechádzajúcich kolmo cez stredy bočných hrán pyramídy.
Vždy je možné opísať guľu okolo akejkoľvek trojuholníkovej alebo pravidelnej pyramídy.
Guľa môže byť vpísaná do pyramídy, ak sa osové roviny vnútorných dihedrálnych uhlov pyramídy pretínajú v jednom bode (nevyhnutná a postačujúca podmienka). Tento bod bude stredom gule.
Spojenie pyramídy s kužeľom
Kužeľ sa hovorí, že je vpísaný do pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je vpísaná do základne pyramídy.
Kužeľ môže byť vpísaný do pyramídy, ak sú apotémy pyramídy navzájom rovnaké.
Kužeľ je opísaný okolo pyramídy, ak sa ich vrcholy zhodujú a základňa kužeľa je opísaná okolo základne pyramídy.
Kužeľ môže byť opísaný okolo pyramídy, ak sú všetky bočné hrany pyramídy rovnaké.
Vzťah medzi pyramídou a valcom
Pyramída sa nazýva vpísaná do valca, ak vrchol pyramídy leží na jednej základni valca a základňa pyramídy je vpísaná do inej základne valca.
Valec môže byť opísaný okolo pyramídy, ak je možné opísať kruh okolo základne pyramídy.
Štvorsten má štyri steny a štyri vrcholy a šesť hrán, pričom žiadne dve hrany nemajú spoločné vrcholy, ale nedotýkajú sa.
Každý vrchol pozostáva z troch plôch a hrán, ktoré tvoria trojuholníkový uhol.
Segment spájajúci vrchol štvorstena so stredom protiľahlej plochy sa nazýva medián štvorstenu(GM).
Bimedián nazývaný segment spájajúci stredy protiľahlých hrán, ktoré sa nedotýkajú (KL).
Všetky bimediány a mediány štvorstenu sa pretínajú v jednom bode (S). V tomto prípade sú bimediány rozdelené na polovicu a mediány sú rozdelené v pomere 3: 1, začínajúc zhora.
Definícia. Akútna uhlová pyramída- pyramída, v ktorej má apotéma viac ako polovicu dĺžky strany podstavy.
Definícia. Tupá pyramída- pyramída, v ktorej má apotém menej ako polovicu dĺžky strany podstavy.
Definícia. Pravidelný štvorsten- štvorsten, v ktorom sú všetky štyri steny rovnostranné trojuholníky. Je to jeden z piatich pravidelných mnohouholníkov. V pravidelnom štvorstene sú všetky dihedrálne uhly (medzi plochami) a trojstenné uhly (vo vrchole) rovnaké.
Definícia. Obdĺžnikový štvorsten je štvorsten s pravým uhlom medzi tromi hranami na vrchole (hrany sú kolmé). Vytvárajú sa tri tváre pravouhlý trojuholníkový uhol a okraje sú pravouhlé trojuholníky a základňou je ľubovoľný trojuholník. Apotém akejkoľvek tváre sa rovná polovici strany základne, na ktorú padá apotém.
Definícia. Izoedrický štvorsten sa nazýva štvorsten, ktorého bočné strany sú si navzájom rovné a základňa je pravidelný trojuholník. Takýto štvorsten má steny, ktoré sú rovnoramennými trojuholníkmi.
Definícia. Ortocentrický štvorsten sa nazýva štvorsten, v ktorom sa všetky výšky (kolmice), ktoré sú znížené zhora na opačnú stranu, pretínajú v jednom bode.
Definícia. Hviezdna pyramída nazývaný mnohosten, ktorého základňou je hviezda.
Pozrime sa, ako zostrojiť časť pyramídy pomocou konkrétne príklady. Keďže v pyramíde nie sú žiadne rovnobežné roviny, zostrojenie priesečníka (stopy) roviny rezu s rovinou plochy najčastejšie zahŕňa nakreslenie priamky cez dva body ležiace v rovine tejto plochy.
V najjednoduchších úlohách musíte zostrojiť časť pyramídy s rovinou prechádzajúcou danými bodmi, ktoré už ležia na tej istej ploche.
Príklad.
Zostrojenie rovinného rezu (MNP)
Triangle MNP - pyramídový rez
Body M a N ležia v rovnakej ABS rovine, preto cez ne môžeme nakresliť priamku. Stopa tejto čiary je segment MN. Je viditeľný, čo znamená, že spojíme M a N plnou čiarou.
Body M a P ležia v rovnakej rovine ACS, takže cez ne vedieme priamku. Trace je segmentový MP. Nevidíme to, takže segment MP nakreslíme ťahom. Rovnakým spôsobom zostrojíme stopu PN.
Trojuholník MNP je požadovaný úsek.
Ak bod, cez ktorý chcete nakresliť rez, neleží na hrane, ale na ploche, nebude to koniec segmentu stopy.
Príklad. Zostrojte rez pyramídy s rovinou prechádzajúcou bodmi B, M a N, kde body M a N patria stenám ABS a BCS.
Body B a M ležia na rovnakej ploche ABS, takže cez ne môžeme nakresliť priamku.
Podobne nakreslíme priamku cez body B a P. Získali sme stopy BK a BL.
Body K a L ležia na rovnakej ploche ACS, takže cez ne môžeme nakresliť priamku. Jeho stopa je segment KL.
Trojuholník BKL je požadovaný úsek.
Nie vždy je však možné nakresliť priamku cez dáta v bodovom stave. V tomto prípade musíte nájsť bod ležiaci na priesečníku rovín obsahujúcich plochy.
Príklad. Zostrojte rez pyramídy s rovinou prechádzajúcou bodmi M, N, P.
Body M a N ležia v rovnakej rovine ABS, takže cez ne možno nakresliť priamku. Získame stopu MN. Rovnako - NP. Obe značky sú viditeľné, preto ich spojíme plnou čiarou.
Body M a P ležia v rôznych rovinách. Preto ich nemôžeme spojiť priamkou.
Pokračujme po rovinke NP.
Leží v rovine tváre BCS. NP sa pretína len s priamkami ležiacimi v rovnakej rovine. Máme tri takéto priame linky: BS, CS a BC. Priamky BS a CS už majú priesečníky - sú to len N a P. To znamená, že hľadáme priesečník NP s priamkou BC.
Priesečník (nazvime ho H) získame pokračovaním čiar NP a BC až po križovatku.
Tento bod H patrí rovine (BCS), keďže leží na priamke NP, aj rovine (ABC), keďže leží na priamke BC.
Takto sme dostali ďalší bod roviny rezu ležiaci v rovine (ABC).
Môžeme nakresliť priamku cez H a bod M ležiaci v tej istej rovine.
Získame stopu MT.
T je priesečník priamok MH a AC.
Keďže T patrí k priamke AC, môžeme cez ňu a bod P nakresliť priamku, pretože obe ležia v rovnakej rovine (ACS).
4-uholníkový MNPT je požadovaný rez pyramídy rovinou prechádzajúcou danými bodmi M,N,P.
Pracovali sme s priamkou NP, predlžovali sme ju, aby sme našli priesečník roviny rezu s rovinou (ABC). Ak pracujeme s priamym MN, dospejeme k rovnakému výsledku.
Uvažujeme takto: priamka MN leží v rovine (ABS), preto sa môže pretínať iba s priamkami ležiacimi v tej istej rovine. Máme tri takéto linky: AB, BS a AS. Ale s priamkami AB a BS už existujú priesečníky: M a N.
To znamená, že pri predĺžení MN hľadáme jeho priesečník s priamkou AS. Nazvime tento bod R.
Bod R leží na priamke AS, čo znamená, že tiež leží v rovine (ACS), do ktorej patrí priamka AS.
Keďže bod P leží v rovine (ACS), môžeme nakresliť priamku cez R a P. Dostávame stopu PT.
Bod T leží v rovine (ABC), takže cez neho a bod M môžeme nakresliť priamku.
Takto sme získali rovnaký prierez MNPT.
Pozrime sa na ďalší príklad tohto druhu.
Zostrojte rez pyramídy s rovinou prechádzajúcou bodmi M, N, P.
Nakreslite priamku cez body M a N ležiace v rovnakej rovine (BCS). Získame stopu MN (viditeľnú).
Cez body N a P ležiace v rovnakej rovine (ACS) nakreslite priamku. Získame PN (neviditeľnú) stopu.
Nemôžeme nakresliť priamku cez body M a P.
1) Priamka MN leží v rovine (BCS), kde sú ďalšie tri priamky: BC, SC a SB. Priamky SB a SC už majú priesečníky: M a N. Preto hľadáme priesečník MN s BC. Pokračujúc v týchto riadkoch dostaneme bod L.
Bod L patrí priamke BC, čo znamená, že leží v rovine (ABC). Preto môžeme nakresliť priamku cez L a P, ktorá tiež leží v rovine (ABC). Jej stopa je PF.
F leží na priamke AB, a teda v rovine (ABS). Preto cez F a bod M, ktorý tiež leží v rovine (ABS), nakreslíme priamku. Jej stopa je FM. Štvoruholník MNPF je požadovaný úsek.
2) Ďalší spôsob je pokračovať rovno PN. Leží v rovine (ACS) a v bodoch P a N pretína priamky AC a CS ležiace v tejto rovine.
To znamená, že hľadáme priesečník PN s treťou priamkou tejto roviny - s AS. Pokračujeme AS a PN, na priesečníku dostaneme bod E. Keďže bod E leží na priamke AS, patriacej rovine (ABS), môžeme viesť priamku cez E a bod M, ktorý tiež leží v (ABS) . Jej stopa je FM. Body P a F ležia na vodnej rovine (ABC), nakreslite cez ne priamku a získajte stopu PF (neviditeľnú).
Pyramída. Skrátená pyramída
Pyramída je mnohosten, ktorého jedna plocha je mnohouholník ( základňu ) a všetky ostatné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom ( bočné steny ) (obr. 15). Pyramída je tzv správne , ak je jeho základňa pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne (obr. 16). Trojuholníková pyramída so všetkými rovnakými okrajmi sa nazýva štvorsten .
Bočné rebro pyramídy je strana bočnej steny, ktorá nepatrí k základni Výška pyramída je vzdialenosť od jej vrcholu k rovine základne. Všetky bočné hrany pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné, všetky bočné steny sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy vytiahnutej z vrcholu sa nazýva apotéma . Diagonálny rez sa nazýva rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.
Bočný povrch pyramída je súčet plôch všetkých bočných stien. Celková plocha povrchu sa nazýva súčet plôch všetkých bočných plôch a základne.
Vety
1. Ak sú v pyramíde všetky bočné hrany rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kružnice opísanej v blízkosti podstavy.
2. Ak v pyramíde majú všetky bočné hrany rovnakú dĺžku, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kružnice opísanej blízko základne.
3. Ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine základne, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kruhu vpísaného do základne.
Na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy je správny vzorec:
Kde V- objem;
S základňa– základná plocha;
H- výška pyramídy.
Pre bežnú pyramídu sú správne nasledujúce vzorce:
Kde p– obvod základne;
h a– apotéma;
H- výška;
S plný
S strana
S základňa– základná plocha;
V– objem pravidelnej pyramídy.
Skrátená pyramída nazývaná časť pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy (obr. 17). Pravidelná zrezaná pyramída je časť pravidelnej pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy.
Dôvody zrezaná pyramída - podobné mnohouholníky. Bočné plochy – lichobežníky. Výška zrezanej pyramídy je vzdialenosť medzi jej základňami. Uhlopriečka zrezaný ihlan je segment spájajúci jeho vrcholy, ktoré neležia na rovnakej ploche. Diagonálny rez je rez zrezaného ihlana rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.
Pre skrátenú pyramídu platia nasledujúce vzorce:
(4)
Kde S 1 , S 2 – plochy hornej a dolnej podstavy;
S plný– celková plocha;
S strana- bočný povrch;
H- výška;
V– objem zrezanej pyramídy.
Pre pravidelnú skrátenú pyramídu je vzorec správny:
Kde p 1 , p 2 – obvody podstavcov;
h a– apotéma pravidelného zrezaného ihlana.
Príklad 1 V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde je dihedrálny uhol pri základni 60º. Nájdite dotyčnicu uhla sklonu bočnej hrany k rovine základne.
Riešenie. Urobme si nákres (obr. 18).
 |
Pyramída je správna, to znamená na základni rovnostranný trojuholník a všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Dihedrálny uhol pri základni je uhol sklonu bočnej plochy pyramídy k rovine základne. Lineárny uhol je uhol a medzi dvoma kolmicami: atď. Vrchol pyramídy sa premieta do stredu trojuholníka (stred opísanej kružnice a vpísanej kružnice trojuholníka ABC). Uhol sklonu bočnej hrany (napr S.B.) je uhol medzi samotnou hranou a jej priemetom na rovinu základne. Pre rebro S.B. tento uhol bude uhol SBD. Ak chcete nájsť dotyčnicu, musíte poznať nohy SO A O.B.. Nechajte dĺžku segmentu BD rovná sa 3 A. Bodka Oúsečka BD sa delí na časti: a Od nachádzame SO: 
Z toho nájdeme: 
odpoveď:
Príklad 2 Nájdite objem správneho skráteného štvorhranná pyramída, ak sú uhlopriečky jeho základov rovné cm a cm a jeho výška je 4 cm.
Riešenie. Na zistenie objemu zrezanej pyramídy použijeme vzorec (4). Ak chcete nájsť oblasť základní, musíte nájsť strany základných štvorcov a poznať ich uhlopriečky. Strany podstavcov sa rovnajú 2 cm a 8 cm, to znamená plochy podstavcov a Nahradením všetkých údajov do vzorca vypočítame objem zrezanej pyramídy:
odpoveď: 112 cm 3.
Príklad 3 Nájdite plochu bočnej steny pravidelnej trojuholníkovej zrezanej pyramídy, ktorej strany základne sú 10 cm a 4 cm a výška pyramídy je 2 cm.
Riešenie. Urobme si nákres (obr. 19).
Bočná strana tejto pyramídy je rovnoramenný lichobežník. Na výpočet plochy lichobežníka potrebujete poznať základňu a výšku. Základy sú dané podľa stavu, neznáma ostáva len výška. Odkiaľ ju nájdeme A 1 E kolmo od bodu A 1 v rovine spodnej základne, A 1 D– kolmo od A 1 os AC. A 1 E= 2 cm, pretože toto je výška pyramídy. Nájsť DE Urobme si dodatočný nákres zobrazujúci pohľad zhora (obr. 20). Bodka O– premietanie stredov hornej a dolnej základne. keďže (pozri obr. 20) a Na druhej strane OK– polomer vpísaný do kruhu a 
OM- polomer vpísaný do kruhu:
MK = DE.
Podľa Pytagorovej vety z
Oblasť bočnej tváre: 
odpoveď:
Príklad 4. Na základni pyramídy leží rovnoramenný lichobežník, ktorého základne A A b (a> b). Každá bočná plocha zviera uhol rovný rovine základne pyramídy j. Nájdite celkovú plochu pyramídy.
Riešenie. Urobme si nákres (obr. 21). Celková plocha pyramídy SABCD rovná súčtu plôch a plochy lichobežníka A B C D.
Použime tvrdenie, že ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol premieta do stredu kružnice vpísanej do podstavy. Bodka O– vrcholová projekcia S na základni pyramídy. Trojuholník SOD je ortogonálny priemet trojuholníka CSD do roviny základne. Pomocou vety o oblasti ortogonálnej projekcie rovinného útvaru získame:
Rovnako to znamená 
Problém sa teda zmenšil na nájdenie oblasti lichobežníka A B C D. Nakreslíme lichobežník A B C D samostatne (obr. 22). Bodka O– stred kruhu vpísaného do lichobežníka.
Keďže kruh môže byť vpísaný do lichobežníka, potom alebo Z Pytagorovej vety máme
