Kosínus medzi rovinami. Nájdenie uhla medzi rovinami (dihedrálny uhol)

Pri riešení geometrických úloh v priestore sa často stretávame s takými, kde je potrebné vypočítať uhly medzi rôznymi priestorovými objektmi. V tomto článku sa budeme zaoberať otázkou hľadania uhlov medzi rovinami a medzi nimi a priamkou.

Rovná čiara v priestore

Je známe, že absolútne akúkoľvek priamku v rovine možno definovať nasledujúcou rovnosťou:

Tu a a b sú niektoré čísla. Ak si pomocou rovnakého výrazu predstavíme priamku v priestore, dostaneme rovinu rovnobežnú s osou z. Na matematické určenie priestorovej čiary sa používa iná metóda riešenia ako v dvojrozmernom prípade. Spočíva v použití pojmu „vektor smeru“.

Príklady riešenia úloh na určenie uhla priesečníka rovín

Vedieť, ako nájsť uhol medzi rovinami, vyriešime nasledujúci problém. Dané dve roviny, ktorých rovnice majú tvar:

3* x + 4 * y - z + 3 = 0;

X - 2 * y + 5 * z + 1 = 0

Aký je uhol medzi rovinami?

Aby ste odpovedali na otázku problému, nezabudnite, že koeficienty spojené s premennými v rovnici všeobecnej roviny sú súradnicami vodiaceho vektora. Pre tieto roviny máme tieto súradnice ich normál:

n1¯(3; 4; -1);

n 2 ¯ (-1; -2; 5)

Teraz nájdeme skalárny súčin týchto vektorov a ich modulov, máme:

(n1¯ * n2¯) = -3-8-5 = -16;

|n 1 ¯| = √(9 + 16 + 1) = √26;

|n 2 ¯| = √(1 + 4 + 25) = √30

Teraz môžete nájdené čísla nahradiť vzorcom uvedeným v predchádzajúcom odseku. Získame:

α = arccos(|-16 | / (√26 * √30) ≈ 55,05 o

Výsledná hodnota zodpovedá ostrému uhlu priesečníka rovín špecifikovanému v probléme.

Teraz sa pozrime na ďalší príklad. Sú dané dve roviny:

Pretínajú sa? Zapíšme si hodnoty súradníc ich smerových vektorov, vypočítajme ich skalárny súčin a moduly:

n1°(1; 1; 0);

n2°(3; 3; 0);

(n1¯ * n2¯) = 3 + 3 + 0 = 6;

|n 1 ¯| = √2;

|n 2 ¯| = √18

Potom je uhol priesečníka:

α = arccos(|6| / (√2 * √18) =0 o .

Tento uhol naznačuje, že roviny sa nepretínajú, ale sú rovnobežné. Skutočnosť, že sa navzájom nezhodujú, je ľahké skontrolovať. Ak to chcete urobiť, vezmite ľubovoľný bod patriaci prvému z nich, napríklad P(0; 3; 2). Nahradením jeho súradníc do druhej rovnice dostaneme:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

To znamená, že bod P patrí len do prvej roviny.

Dve roviny sú teda rovnobežné, keď sú ich normály také.

Ploché a rovné

V prípade zváženia relatívnu polohu Medzi rovinou a priamkou je o niečo viac možností ako pri dvoch rovinách. Táto skutočnosť je spôsobená skutočnosťou, že priamka je jednorozmerný objekt. Priamka a rovina môžu byť:

• vzájomne rovnobežné, v tomto prípade rovina nepretína priamku;
• druhá môže patriť do roviny, pričom bude s ňou tiež rovnobežná;
• oba objekty sa môžu pretínať pod určitým uhlom.

Uvažujme najskôr o poslednom prípade, pretože si vyžaduje zavedenie konceptu priesečníkového uhla.

Priamka a rovina, hodnota uhla medzi nimi

Ak rovina pretína priamku, nazýva sa vzhľadom na ňu naklonená. Priesečník sa zvyčajne nazýva základňa naklonenej čiary. Na určenie uhla medzi týmito geometrickými objektmi je potrebné spustiť rovnú kolmicu z akéhokoľvek bodu na rovinu. Potom priesečník kolmice s rovinou a priesečník naklonenej čiary s ňou tvoria priamku. Ten sa nazýva projekcia pôvodnej priamky na uvažovanú rovinu. Sharp a jeho projekcia je želaná.

Trochu mätúca definícia uhla medzi rovinou a naklonenou rovinou bude objasnená na obrázku nižšie.

Uhol ABO je tu uhol medzi priamkou AB a rovinou a.

Ak chcete zapísať vzorec, zvážte príklad. Nech existuje priamka a rovina, ktoré sú opísané rovnicami:

(x; y; z) = (x 0; y0; z 0) + X* (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D = 0

Požadovaný uhol pre tieto objekty môžete ľahko vypočítať, ak nájdete skalárny súčin medzi smerovými vektormi priamky a roviny. Výsledný ostrý uhol by sa mal odpočítať od 90 o, potom sa získa medzi priamkou a rovinou.

Vyššie uvedený obrázok ukazuje opísaný algoritmus na nájdenie príslušného uhla. Tu β je uhol medzi normálou a priamkou a α je medzi priamkou a jej priemetom do roviny. Je vidieť, že ich súčet je 90 o.

Vyššie bol uvedený vzorec, ktorý odpovedá na otázku, ako nájsť uhol medzi rovinami. Teraz dáme zodpovedajúci výraz pre prípad priamky a roviny:

α = arcsin(|a * A + b * B + c * C| / (√(a 2 + b 2 + c 2) * √(A 2 + B 2 + C 2)))

Modul vo vzorci umožňuje vypočítať iba ostré uhly. Funkcia arcsínus sa objavila namiesto arkozínu vďaka použitiu zodpovedajúceho redukčného vzorca medzi goniometrickými funkciami (cos(β) = sin(90 o-β) = sin(α)).

Problém: rovina pretína priamku

Teraz si ukážeme, ako s daným vzorcom pracovať. Poďme vyriešiť problém: musíme vypočítať uhol medzi osou y a rovinou danou rovnicou:

Táto rovina je znázornená na obrázku.

Je vidieť, že pretína osi y a z v bodoch (0; -12; 0) a (0; 0; 12) a je rovnobežná s osou x.

Smerový vektor priamky y má súradnice (0; 1; 0). Vektor kolmý na danú rovinu je charakterizovaný súradnicami (0; 1; -1). Aplikujeme vzorec pre uhol priesečníka priamky a roviny, dostaneme:

α = arcsin(|1| / (√1 * √2)) = arcsin(1 / √2) = 45 o

Problém: priamka rovnobežná s rovinou

Teraz budeme riešiť problém podobný predchádzajúcemu, ktorého otázka je položená inak. Známe sú rovnice roviny a priamky:

x + y - z - 3 = 0;

(x; y; z) = (1; 0; 0) + λ* (0; 2; 2)

Je potrebné zistiť, či sú tieto geometrické objekty navzájom rovnobežné.

Máme dva vektory: smerová čiara sa rovná (0; 2; 2) a smerná rovina sa rovná (1; 1; -1). Nájdeme ich skalárny súčin:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Výsledná nula udáva, že uhol medzi týmito vektormi je 90 o, čo dokazuje rovnobežnosť priamky a roviny.

Teraz skontrolujeme, či je táto priamka iba rovnobežná alebo leží aj v rovine. Ak to chcete urobiť, vyberte ľubovoľný bod na priamke a skontrolujte, či patrí do roviny. Zoberme si napríklad λ = 0, potom bod P(1; 0; 0) patrí do priamky. Do rovnice dosadíme rovinu P:

Bod P nepatrí do roviny, a preto v nej neleží celá úsečka.

Kde je dôležité poznať uhly medzi uvažovanými geometrickými objektmi?

Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov nie sú len teoretického záujmu. Často sa používajú na určenie dôležitých fyzikálnych veličín skutočných trojrozmerných útvarov, ako je hranol alebo pyramída. Pri výpočte objemov obrazcov a plôch ich plôch je dôležité vedieť určiť uhol medzi rovinami. Navyše, ak v prípade priameho hranola nie je možné tieto vzorce použiť na určenie uvedených množstiev, potom sa ich použitie pre akýkoľvek typ pyramídy ukáže ako nevyhnutné.

Nižšie zvážime príklad použitia uvedenej teórie na určenie rohov pyramídy so štvorcovou základňou.

Pyramída a jej rohy

Na obrázku nižšie je znázornená pyramída, na základni ktorej leží štvorec so stranou a. Výška postavy je h. Musíte nájsť dva uhly:

• medzi bočným povrchom a základňou;
• medzi bočným rebrom a základňou.

Na vyriešenie problému musíte najskôr zaviesť súradnicový systém a určiť parametre zodpovedajúcich vrcholov. Obrázok ukazuje, že počiatok sa zhoduje s bodom v strede štvorcovej základne. V tomto prípade je základná rovina opísaná rovnicou:

To znamená, že pre ľubovoľné x a y je hodnota tretej súradnice vždy nula. Bočná rovina ABC pretína os z v bode B(0; 0; h) a os y v bode so súradnicami (0; a/2; 0). Nepretína os x. To znamená, že rovnicu roviny ABC možno zapísať takto:

y/(a/2) + z/h = 1 alebo

2 * h * y + a * z - a * h = 0

Vector AB¯ je bočná hrana. Súradnice jeho začiatku a konca sú rovnaké: A(a/2; a/2; 0) a B(0; 0; h). Potom súradnice samotného vektora:

Našli sme všetky potrebné rovnice a vektory. Teraz zostáva použiť uvažované vzorce.

Najprv vypočítame uhol v pyramíde medzi rovinami základne a strany. Zodpovedajúce normálové vektory sú rovné: n 1 ¯ (0; 0; 1) an 2 ¯ (0; 2*h; a). Potom bude uhol:

α = arccos(a / √(4 * h 2 + a 2))

Uhol medzi rovinou a hranou AB sa bude rovnať:

β = arcsin(h / √(a 2 / 2 + h 2))

Zostáva nahradiť špecifické hodnoty pre stranu základne a a výšku h, aby ste získali požadované uhly.

Tento článok je o uhle medzi rovinami a o tom, ako ho nájsť. Najprv je uvedená definícia uhla medzi dvoma rovinami a je uvedené grafické znázornenie. Potom sa analyzuje princíp hľadania uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami pomocou súradnicovej metódy a získa sa vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami pomocou známych súradníc normálových vektorov týchto rovín. Na záver sú uvedené podrobné riešenia typických problémov.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi rovinami - definícia.

Uveďme argumenty, ktoré nám umožnia postupne sa priblížiť k určeniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Dostaňme dve pretínajúce sa roviny a . Tieto roviny sa pretínajú po priamke, ktorú označujeme písmenom c. Zostrojme rovinu prechádzajúcu bodom M priamky c a kolmú na priamku c. V tomto prípade bude rovina pretínať roviny a. Priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, označme ako a a priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, ako b. Je zrejmé, že priamky a a b sa pretínajú v bode M.

Je ľahké ukázať, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b nezávisí od polohy bodu M na priamke c, ktorou rovina prechádza.

Zostrojme rovinu kolmú na priamku c a odlišnú od roviny. Rovina je pretínaná rovinami a pozdĺž priamok, ktoré označujeme ako a 1 a b 1, resp.

Zo spôsobu konštrukcie rovín vyplýva, že priamky a a b sú kolmé na priamku c a priamky a 1 a b 1 sú kolmé na priamku c. Keďže priamky a a a 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, potom sú rovnobežné. Podobne priamky b a b 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, preto sú rovnobežné. Tak je možné vykonať paralelný prenos roviny do roviny, v ktorej sa priamka a 1 zhoduje s priamkou a a priamka b s priamkou b 1. Preto je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami ai a b1 rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

To dokazuje, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b ležiacimi v pretínajúcich sa rovinách nezávisí od výberu bodu M, ktorým rovina prechádza. Preto je logické brať tento uhol ako uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Teraz môžete vyjadriť definíciu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a.

Definícia.

Uhol medzi dvoma rovinami pretínajúcimi sa v priamke a– je to uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b, pozdĺž ktorých sa roviny a pretínajú s rovinou kolmou na priamku c.

Definícia uhla medzi dvoma rovinami môže byť daná trochu inak. Ak na priamke c, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú, označte bod M a nakreslite ním priamky a a b, kolmé na priamku c a ležiace v rovinách, a potom uhol medzi priamkami a a b je uhol medzi rovinami a. Zvyčajne sa v praxi vykonávajú práve také konštrukcie, aby sa dosiahol uhol medzi rovinami.

Keďže uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami nepresahuje , z uvedenej definície vyplýva, že miera uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je vyjadrená reálnym číslom z intervalu. V tomto prípade sa nazývajú pretínajúce sa roviny kolmý, ak je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. Uhol medzi rovnobežnými rovinami buď nie je určený vôbec, alebo sa považuje za rovný nule.

Nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Zvyčajne pri hľadaní uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami musíte najskôr vykonať dodatočné konštrukcie, aby ste videli pretínajúce sa priame čiary, uhol medzi ktorými sa rovná požadovanému uhlu, a potom tento uhol spojiť s pôvodnými údajmi pomocou testov rovnosti, podobnosti testy, kosínusová veta alebo definície sínusu, kosínusu a tangens uhla. Na stredoškolskom kurze geometrie sa vyskytujú podobné problémy.

Ako príklad uveďme riešenie úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky za rok 2012 (podmienka bola zámerne zmenená, ale to nemá vplyv na princíp riešenia). V ňom ste len museli nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Príklad.

Riešenie.

Najprv urobme kresbu.

Urobme ďalšie konštrukcie, aby sme „videli“ uhol medzi rovinami.

Najprv definujme priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1. Bod B je jedným z ich spoločných bodov. Nájdime druhý spoločný bod týchto rovín. Priamky DA a D 1 E ležia v rovnakej rovine ADD 1, nie sú rovnobežné, a preto sa pretínajú. Na druhej strane priamka DA leží v rovine ABC a priamka D 1 E leží v rovine BED 1, preto priesečník priamok DA a D 1 E bude spoločným bodom rovín ABC a BED 1. Pokračujme teda v čiarach DA a D 1 E k ich priesečníku, pričom bod ich priesečníka označme písmenom F. Potom BF je priamka, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1.

Zostáva zostrojiť dve priamky ležiace v rovinách ABC a BED 1, prechádzajúce jedným bodom na priamke BF a kolmé na priamku BF - uhol medzi týmito priamkami bude podľa definície rovný požadovanému uhlu medzi lietadlá ABC a BED 1. Poďme na to.

Bodka A je priemet bodu E do roviny ABC. Nakreslíme priamku pretínajúcu priamku BF v pravom uhle v bode M. Potom je priamka AM priemetom priamky EM do roviny ABC a podľa vety o troch kolmiciach.

Požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 je teda rovný .

Z pravouhlého trojuholníka AEM vieme určiť sínus, kosínus alebo tangens tohto uhla (a teda aj samotného uhla), ak poznáme dĺžky jeho dvoch strán. Z podmienky je ľahké zistiť dĺžku AE: keďže bod E rozdeľuje stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A, a dĺžka strany AA 1 je 7, potom AE = 4. Nájdeme dĺžku AM.

Ak to chcete urobiť, zvážte pravouhlý trojuholník ABF s pravým uhlom A, kde AM je výška. Podľa podmienky AB = 2. Dĺžku strany AF môžeme zistiť z podobnosti pravouhlých trojuholníkov DD 1 F a AEF:

Pomocou Pytagorovej vety zistíme z trojuholníka ABF. Nájdeme dĺžku AM cez oblasť trojuholníka ABF: na jednej strane sa plocha trojuholníka ABF rovná , na druhej strane , kde .

Z pravého trojuholníka teda máme AEM .

Potom je požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 rovnaký (všimnite si, že ).

odpoveď:

V niektorých prípadoch je na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami vhodné nastaviť Oxyz a použiť súradnicovú metódu. Zastavme sa tam.

Stanovme si úlohu: nájdite uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a . Označme požadovaný uhol ako .

Budeme predpokladať, že v danom pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz poznáme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín a alebo máme možnosť ich nájsť. Nechaj je normálový vektor roviny a je normálový vektor roviny. Ukážeme si, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a cez súradnice normálových vektorov týchto rovín.

Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú, ako c. Cez bod M na priamke c nakreslíme rovinu kolmú na priamku c. Rovina pretína roviny a pozdĺž čiar a a b sa priamky a a b pretínajú v bode M. Podľa definície je uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

Nakreslíme normálové vektory a roviny az bodu M v rovine. V tomto prípade vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku a, a vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku b. V rovine je teda vektor normálovým vektorom priamky a, je normálovým vektorom priamky b.

V článku o hľadaní uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sme dostali vzorec, ktorý umožňuje vypočítať kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradníc normálových vektorov. Kosínus uhla medzi priamkami a a b, a teda, kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami a nachádza sa podľa vzorca, kde A sú normálové vektory rovín a, resp. Potom sa vypočíta ako .

Vyriešme predchádzajúci príklad pomocou súradnicovej metódy.

Príklad.

Je daný obdĺžnikový hranol ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 a bod E delí stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A. Nájdite uhol medzi rovinami ABC a BED 1.

Riešenie.

Keďže strany pravouhlého rovnobežnostenu v jednom vrchole sú kolmé v pároch, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém Oxyz nasledovne: zarovnajte začiatok s vrcholom C a nasmerujte súradnicové osi Ox, Oy a Oz pozdĺž strán CD. CB a CC1.

Uhol medzi rovinami ABC a BED 1 možno nájsť pomocou súradníc normálových vektorov týchto rovín pomocou vzorca , kde a sú normálové vektory rovín ABC a BED 1, v tomto poradí. Určme súradnice normálových vektorov.

Mierou uhla medzi rovinami je ostrý uhol tvorený dvoma priamkami ležiacimi v týchto rovinách a vedenými kolmo na priamku ich priesečníka.

Konštrukčný algoritmus

1. Z ľubovoľného bodu K sa ku každej z daných rovín vedú kolmice.
2. Otáčaním okolo nivelačnej čiary sa určí uhol γ° s vrcholom v bode K.
3. Vypočítajte uhol medzi rovinami ϕ° = 180 – γ° za predpokladu, že γ° > 90°. Ak γ°< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Na obrázku je znázornený prípad, keď sú roviny α a β dané stopami. Všetky potrebné konštrukcie boli vykonané podľa algoritmu a sú popísané nižšie.

Riešenie

1. Na ľubovoľnom mieste na výkrese označíme bod K. Z neho spustíme kolmice m a n na roviny α a β. Smer projekcií m a n je nasledujúci: m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β.
2. Skutočnú veľkosť ∠γ° určíme medzi priamkami m a n. Aby sme to urobili, okolo frontálnej f otočíme rovinu uhla s vrcholom K do polohy rovnobežnej s frontálnou rovinou priemetu. Polomer otáčania R bodu K sa rovná veľkosti prepony pravouhlého trojuholníka O""K""K 0, ktorého strana je K""K 0 = y K – y O.
3. Požadovaný uhol je ϕ° = ∠γ°, pretože ∠γ° je ostrý.

Na obrázku nižšie je znázornené riešenie problému, v ktorom je potrebné nájsť uhol γ° medzi rovinami α a β daný rovnobežkami a pretínajúcimi sa priamkami.

Riešenie

1. Smer priemetov horizontál h 1, h 2 a čiel f 1, f 2 prislúchajúcich rovinám α a β určíme v poradí označenom šípkami. Z ľubovoľného bodu K na námestí. α a β vynecháme kolmice e a k. V tomto prípade e""⊥f""1, e"⊥h"1 a k""⊥f""2, k"⊥h"2.
2. Definujeme ∠γ° medzi priamkami e a k. Za týmto účelom nakreslite vodorovnú čiaru h 3 a okolo nej otočíme bod K do polohy K 1, v ktorej sa △CKD stane rovnobežným s horizontálnou rovinou a bude sa na nej odrážať v prirodzenej veľkosti - △C"K" 1D ". Priemet stredu otáčania O" je nakreslený na h" 3 kolmo na K"O". Polomer R určíme z pravouhlého trojuholníka O"K"K 0, ktorého strana K"K 0 = Z O – Z K.
3. Hodnota požadovanej hodnoty je ∠ϕ° = ∠γ°, pretože uhol γ° je ostrý.

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

Daný pravidelný hranol ABCDA_1B_1C_1D_1, M a N sú stredy hrán AB a BC, bod K je stredom MN.

A) Dokážte, že priamky KD_1 a MN sú kolmé.

b) Nájdite uhol medzi rovinami MND_1 a ABC, ak AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Ukážte riešenie

Riešenie

A) V \triangle DCN a \triangle MAD máme: \uhol C=\uhol A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD = DA.

Preto \triangle DCN=\triangle MAD na dvoch nohách. Potom MD=DN, \trojuholník DMN rovnoramenné. To znamená, že stredná DK je zároveň výškou. Preto DK \perp MN.

DD_1 \perp MND podľa stavu, D_1K - šikmé, KD - priemet, DK \perp MN.

Preto podľa vety o troch kolmiciach MN\perp D_1K.

b) Ako bolo preukázané v A), DK \perp MN a MN \perp D_1K, ale MN je priesečník rovín MND_1 a ABC, čo znamená, že \uhol DKD_1 je lineárny uhol klinového uhla medzi rovinami MND_1 a ABC.

V \triangle DAM podľa Pytagorovej vety DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Preto v \triangle DKM podľa Pytagorovej vety nevie = \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Potom v \triangle DKD_1, tg\uhol DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

To znamená \uhol DKD_1=45^(\circ).

Odpoveď

45^(\circ).

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

V pravidelnom štvorhrannom hranole ABCDA_1B_1C_1D_1 sú strany základne rovné 4, bočné hrany sú rovné 6. Bod M je stredom hrany CC_1, bod N je označený na hrane BB_1 tak, že BN:NB_1=1:2.

A) V akom pomere rozdeľuje rovina AMN hranu DD_1?

b) Nájdite uhol medzi rovinami ABC a AMN.

Ukážte riešenie

Riešenie

A) Rovina AMN pretína hranu DD_1 v bode K, ktorý je štvrtým vrcholom rezu daného hranola touto rovinou. Prierez je rovnobežník ANMK, pretože protiľahlé strany daného hranolu sú rovnobežné.

BN =\frac13BB_1=2. Nakreslíme KL \paralelné CD, potom sú trojuholníky ABN a KLM rovnaké, čo znamená ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD = LC = 1. Potom KD_1=6-1=5.

b) Teraz môžete nájsť pomer KD:KD_1=1:5.

Trojuholníky FKD a FMC sú podobné (KD \parallel MC), preto FD:FC=KD:MC, pri riešení pomeru FD:(FD+4)=1:3 dostaneme FD=2. V pravouhlom trojuholníku AFD (\uhol D=90^(\circ)) s nohami 2 a 4 vypočítame preponu AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)=

\frac4(\sqrt 5). V pravouhlom trojuholníku KHD nájdeme tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, to znamená požadovaný uhol

Odpoveď

A) 1:5;

b) \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

arctg\frac(\sqrt 5)4.

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova. Daná pravidelná štvoruholníková pyramída KMNPQ so základnou stranou MNPQ rovnajúcou sa 6 a bočným okrajom

A) 3\sqrt (26).

b) Zostrojte rez ihlanom s rovinou prechádzajúcou priamkou NF rovnobežnou s uhlopriečkou MP, ak bod F je stredom hrany MK.

Ukážte riešenie

Riešenie

A) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a rovinou KMP. Nech KO je výška pyramídy, F stred MK ; FE\paralelný MP (v rovine PKM) . Keďže FE je stredová čiara \trojuholník PKM teda

FE=\frac(MP)2.

b) Zostrojme rez pyramídy s rovinou prechádzajúcou cez NF a rovnobežnou s MP, teda rovinou NFE. L je priesečník EF a KO. Keďže body L a N patria do požadovaného rezu a ležia v rovine KQN, potom bod T, získaný ako priesečník LN a KQ, je tiež priesečníkom požadovaného rezu a hrany KQ. NETF je požadovaná sekcia. Roviny NFE a MPK sa pretínajú pozdĺž priamky FE. To znamená, že uhol medzi týmito rovinami sa rovná lineárnemu uhlu dihedrálneho uhla OFEN, zostrojme ho: LO\perpMP, MP\paralelný FE, teda, LO\perpFE; \triangle NFE - rovnoramenný (NE=NF ako zodpovedajúce mediány rovnaké trojuholníky KPN a KMN ), NL je jeho medián (EL=LF, keďže PO=OM, a\triangle KEF \sim \triangle KPM

). Preto NL \perp FE a \angle NLO je požadovaný.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - obdĺžnikový. Noha KO podľa Pytagorovej vety sa rovná

KO=\sqrt (KN^2-ON^2). OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6=

3\sqrt 6.

tg\uhol NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

Odpoveď

arctg\frac(\sqrt 5)4.

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

\uhol NLO=30^(\circ).

A) Všetky hrany pravidelného trojuholníkového hranola ABCA_(1)B_(1)C_(1) sa rovnajú 6. Cez stredy hrán AC a BB_(1) a vrchol A_(1) je nakreslená rovina rezu.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou.

Ukážte riešenie

Riešenie

A) Nech D a E sú stredy hrán AC a BB_(1).

V rovine AA_(1)C_(1) nakreslíme priamku A_(1)D, ktorá pretína priamku CC_(1) v bode K, v rovine BB_(1)C_(1) - priamku KE, ktorý pretína hranu BC v bode F . Spojením bodov A_(1) a E, ležiacich v rovine AA_(1)B_(1), ako aj D a F, ležiacich v rovine ABC, dostaneme rez A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK pozdĺž nohy AD=DC a ostrý uhol.

\uhol ADA_(1)=\uhol CDK - ako zvislé, z toho vyplýva, že AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF a \bigtriangleup BFE sú podobné v dvoch uhloch\uhol FBE=\uhol KCF=90^\circ,

\uhol BFE=\uhol CFK - ako zvislé.\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2,

b) to znamená, že koeficient podobnosti je 2, čo znamená, že CF:FB=2:1. Vykonajme AH \perp DF. Uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou sa rovná uhlu AHA_(1).

Úsečka AH \perp DF (DF je priesečník týchto rovín) je v skutočnosti priemetom úsečky A_(1)H na základnú rovinu, preto podľa vety o troch kolmiciach A_(1)H \perp DF.

\uhol AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH).

AA_(1)=6. Poďme nájsť AH. \uhol ADH =\uhol FDC (rovnaký ako vertikálny).

Podľa kosínusovej vety v \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2-

2DF\cdot DC\cdot\cos\uhol FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \uhol FDC,\cos \uhol FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

V dôsledku základnej trigonometrickej identity \sin \uhol FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13)\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .

Z \bigtriangleup ADH nájdeme AH : AH=AD \cdot \sin \uhol ADH, (\uhol FDC=\uhol ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)). \uhol AHA_(1)=

Odpoveď

arctg\frac(AA_(1))(AH)=

arctg\frac(\sqrt 5)4.

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))=

A) arctg\frac(\sqrt(39))(3).

b) arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Ukážte riešenie

Riešenie

A) Použijeme súradnicovú metódu. Nájdite skalárny súčin vektorov \vec(PK) a \vec(PB_(1)) a potom kosínus uhla medzi týmito vektormi. Nasmerujme os Oy pozdĺž CD, os Oz pozdĺž CC_(1) a os Ox \perp CD. C je pôvod.

Potom C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0),

to jest B(5\sqrt(3); 5;0),

B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Nájdite súradnice vektorov: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\). Nech je uhol medzi \vec(PK) a \vec(PB_(1)) rovný \alpha.

dostaneme

b)\cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=

\frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0. \cos \alpha =0, ​​čo znamená \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) a čiary PK a PB_(1) sú kolmé.

Uhol medzi rovinami sa rovná uhlu medzi nenulovými vektormi kolmými na tieto roviny (alebo, ak je uhol tupý, uhol, ktorý k nemu prilieha). Takéto vektory sa nazývajú normály k rovinám. Poďme ich nájsť.

Nech \vec(n_(1))=\(x; y; z\) je kolmé na rovinu PKB_(1).

Nájdeme to riešením systému

\begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(cases) \begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(cases) \begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(cases)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(cases) Vezmime si

y = 1; z = 1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)),

\vec(n_(1))=\vľavo \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \vpravo \).

Nech \vec(n_(2))=\(x; y; z\) je kolmé na rovinu C_(1)B_(1)B.

Nájdeme to riešením systému

\begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(cases) \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(cases) \vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(cases)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(cases) \begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(cases) x = 1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\). Nájdite kosínus požadovaného uhla \beta (rovná sa modulu kosínusu uhla medzi \vec(n_(1)) a \vec(n_(2)) ).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)=

Odpoveď

\frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))=

arctg\frac(\sqrt 5)4.

ABCD je štvorec a bočné strany sú rovnaké obdĺžniky.

Keďže rovina rezu prechádza bodmi M a D rovnobežnými s uhlopriečkou AC, potom na jej zostrojenie v rovine A_(1)AC cez bod M nakreslíme úsečku MN rovnobežnú s AC. AC \parallel (MDN) získame na základe rovnobežnosti priamky a roviny.

Rovina MDN pretína rovnobežné roviny A_(1)AD a B_(1)BC, potom na základe vlastnosti rovnobežných rovín priesečníky plôch A_(1)ADD_(1) a B_(1)BCC_( 1) rovinou MDN sú rovnobežné.

Nakreslíme úsečku SV rovnobežnú s úsečkou MD.

Štvoruholník DMEN je požadovaná sekcia.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou. Nech rovina rezu pretína základnú rovinu pozdĺž priamky p prechádzajúcej bodom D. AC \parallel MN, teda AC \parallel p (ak rovina prechádza priamkou rovnobežnou s inou rovinou a pretína túto rovinu, potom je priesečnica rovín rovnobežná s touto priamkou). BD \perp AC ako uhlopriečky štvorca, čo znamená BD \perp p.

BD je priemet ED do roviny ABC, potom podľa vety o troch kolmiciach ED \perp p, teda \uhol EDB je lineárny uhol klinového uhla medzi rovinou rezu a základnou rovinou.

Nastavte typ štvoruholníka DMEN. MD \parallel EN, podobne ako ME \parallel DN, čo znamená, že DMEN je rovnobežník, a keďže MD=DN (pravoúhlé trojuholníky MAD a NCD sú rovnaké na dvoch nohách: AD=DC ako strany štvorca, AM=CN ako vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami AC a MN), preto je DMEN kosoštvorec. Preto je F stredom MN. Potom podľa podmienky AM:MA_(1)=2:3

AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6). AMNC je obdĺžnik, F je stred MN, O je stred AC. znamená, FO\paralelný MA, FO\perp AC,

FO=MA=2\sqrt(6). Vedieť, že uhlopriečka štvorca je a\sqrt(2), kde a je strana štvorca, dostaneme BD=4\sqrt(2).

OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2). V pravouhlom trojuholníku FOD\enspace tg \uhol FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3).

Preto \uhol FDO=60^\circ.

\(\blacktriangleright\) Dihedrálny uhol je uhol tvorený dvoma polrovinami a priamkou \(a\), ktorá je ich spoločnou hranicou. \(\blacktriangleright\) Ak chcete nájsť uhol medzi rovinami \(\xi\) a \(\pi\) , musíte nájsť lineárny uhol (a pikantné alebo priamy

Krok 1: nechajme \(\xi\cap\pi=a\) (priesečník rovín). V rovine \(\xi\) označíme ľubovoľný bod \(F\) a nakreslíme \(FA\perp a\) ;

Krok 2: vykonajte \(FG\perp \pi\) ;

Krok 3: podľa TTP (\(FG\) – kolmá, \(FA\) – šikmá, \(AG\) – projekcia) máme: \(AG\perp a\) ;

Krok 4: Uhol \(\uhol FAG\) sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria roviny \(\xi\) a \(\pi\) .

Všimnite si, že trojuholník \(AG\) je pravouhlý.
Všimnite si tiež, že rovina \(AFG\) skonštruovaná týmto spôsobom je kolmá na obidve roviny \(\xi\) a \(\pi\) . Preto to môžeme povedať inak: uhol medzi rovinami\(\xi\) a \(\pi\) je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa čiarami \(c\in \xi\) a \(b\in\pi\) tvoriacimi rovinu kolmú na a \(\xi\ ) a \(\pi\) .

Úloha 1 #2875

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Dana štvorhranná pyramída, ktorého všetky hrany sú rovnaké a základňa je štvorec. Nájdite \(6\cos \alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi jeho susednými bočnými plochami.

Nech \(SABCD\) je daná pyramída (\(S\) je vrchol), ktorého hrany sa rovnajú \(a\) . V dôsledku toho sú všetky bočné steny rovnaké rovnostranné trojuholníky. Nájdite uhol medzi plochami \(SAD\) a \(SCD\) .

Urobme \(CH\perp SD\) . Pretože \(\triangle SAD=\trojuholník SCD\), potom \(AH\) bude tiež výškou \(\trojuholník SAD\) . Preto, podľa definície, \(\uhol AHC=\alpha\) je lineárny uhol dihedrálneho uhla medzi stenami \(SAD\) a \(SCD\) .
Keďže základom je štvorec, potom \(AC=a\sqrt2\) . Všimnite si tiež, že \(CH=AH\) je výška rovnostranný trojuholník so stranou \(a\) , teda \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Potom pomocou kosínusovej vety z \(\trojuholník AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

odpoveď: -2

Úloha 2 #2876

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Roviny \(\pi_1\) a \(\pi_2\) sa pretínajú pod uhlom, ktorého kosínus sa rovná \(0,2\). Roviny \(\pi_2\) a \(\pi_3\) sa pretínajú v pravom uhle a priesečník rovín \(\pi_1\) a \(\pi_2\) je rovnobežný s priesečníkom roviny \(\pi_2\) a \(\ pi_3\) . Nájdite sínus uhla medzi rovinami \(\pi_1\) a \(\pi_3\) .

Priesečník \(\pi_1\) a \(\pi_2\) nech je priamka \(a\), priesečník \(\pi_2\) a \(\pi_3\) nech je priamka priamka \(b\) a priesečník \(\pi_3\) a \(\pi_1\) – priamka \(c\) . Keďže \(a\paralelný b\) , potom \(c\paralelný a\paralelný b\) (podľa vety z časti teoretického odkazu „Geometria v priestore“ \(\rightarrow\) „Úvod do stereometrie, paralelizmus“).

Označme body \(A\v a, B\v b\) tak, že \(AB\perp a, AB\perp b\) (to je možné už od \(a\paralelné b\) ). Označme \(C\in c\) tak, že \(BC\perp c\) , teda \(BC\perp b\) . Potom \(AC\perp c\) a \(AC\perp a\) .
Pretože \(AB\perp b, BC\perp b\) , potom \(b\) je kolmé na rovinu \(ABC\) . Keďže \(c\rovnobežka a\rovnobežka b\), potom sú priamky \(a\) a \(c\) tiež kolmé na rovinu \(ABC\), a teda na akúkoľvek priamku z tejto roviny, najmä , riadok \ (AC\) .

Z toho vyplýva \(\uhol BAC=\uhol (\pi_1, \pi_2)\), \(\uhol ABC=\uhol (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\uhol BCA=\uhol (\pi_3, \pi_1)\). Ukazuje sa, že \(\trojuholník ABC\) je obdĺžnikový, čo znamená \[\sin \uhol BCA=\cos \uhol BAC=0,2.\]

Odpoveď: 0,2

Úloha 3 #2877

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Dané priamky \(a, b, c\) pretínajúce sa v jednom bode a uhol medzi akýmikoľvek dvoma z nich je rovný \(60^\circ\) . Nájdite \(\cos^(-1)\alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi rovinou vytvorenou priamkami \(a\) a \(c\) a rovinou vytvorenou priamkami \( b\) a \(c\) . Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Nech sa priamky pretínajú v bode \(O\) . Pretože uhol medzi ľubovoľnými dvoma z nich je rovný \(60^\circ\), potom všetky tri priamky nemôžu ležať v rovnakej rovine. Označme bod \(A\) na priamke \(a\) a nakreslite \(AB\perp b\) a \(AC\perp c\) . Potom \(\trojuholník AOB=\trojuholník AOC\) ako pravouhlé pozdĺž prepony a ostrého uhla. Preto \(OB=OC\) a \(AB=AC\) .
Urobme \(AH\perp (BOC)\) . Potom podľa vety o troch kolmiciach \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Od \(AB=AC\) , teda \(\trojuholník AHB=\trojuholník AHC\) ako pravouhlé pozdĺž prepony a nohy. Preto \(HB=HC\) . To znamená, že \(OH\) ​​​​je os uhla \(BOC\) (keďže bod \(H\) je rovnako vzdialený od strán uhla).

Všimnite si, že týmto spôsobom sme zostrojili aj lineárny uhol dihedrálneho uhla, ktorý tvoria roviny tvorené priamkami \(a\) a \(c\) a rovina tvorená priamkami \(b\) a \(c \) . Toto je uhol \(ACH\) .

Poďme nájsť tento uhol. Keďže sme si bod \(A\) zvolili ľubovoľne, zvoľme ho tak, že \(OA=2\) . Potom v obdĺžnikovom \(\trojuholník AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Pretože \(OH\) ​​​​je os, potom \(\uhol HOC=30^\circ\) , teda v obdĺžniku \(\trojuholník HOC\): \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Potom z obdĺžnika \(\trojuholník ACH\) : \[\cos\uhol \alpha=\cos\uhol ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

odpoveď: 3

Úloha 4 #2910

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

Roviny \(\pi_1\) a \(\pi_2\) sa pretínajú pozdĺž priamky \(l\), na ktorej ležia body \(M\) a \(N\). Segmenty \(MA\) a \(MB\) sú kolmé na priamku \(l\) a ležia v rovinách \(\pi_1\) a \(\pi_2\) a \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Nájdite \(3\cos\alpha\) , kde \(\alpha\) je uhol medzi rovinami \(\pi_1\) a \(\pi_2\) .

Trojuholník \(AMN\) je pravouhlý, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\), odkiaľ \ Trojuholník \(BMN\) je pravouhlý, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\), z ktorého \Napíšeme kosínusovú vetu pre trojuholník \(AMB\): \ Potom \ Keďže uhol \(\alpha\) medzi rovinami je ostrý a \(\uhol AMB\) sa ukázal byť tupý, potom \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Potom \

Odpoveď: 1.25

Úloha 5 #2911

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) je rovnobežnosten, \(ABCD\) je štvorec so stranou \(a\), bod \(M\) je základňou kolmice spadnutej z bodu \(A_1\) do roviny \ ((ABCD)\) , navyše \(M\) je priesečník uhlopriečok štvorca \(ABCD\) . To je známe \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Nájdite uhol medzi rovinami \((ABCD)\) a \((AA_1B_1B)\) . Svoju odpoveď uveďte v stupňoch.

Zostrojme \(MN\) kolmo na \(AB\), ako je znázornené na obrázku.

Pretože \(ABCD\) je štvorec so stranou \(a\) a \(MN\perp AB\) a \(BC\perp AB\) , potom \(MN\paralelná BC\) . Keďže \(M\) je priesečník uhlopriečok štvorca, potom \(M\) je stred \(AC\), preto \(MN\) je stredná čiara a \(MN =\frac12BC= \frac(1)(2)a\).
\(MN\) je projekcia \(A_1N\) do roviny \((ABCD)\) a \(MN\) je kolmá na \(AB\), potom podľa vety o troch kolmách \ (A_1N\) je kolmá na \(AB \) a uhol medzi rovinami \((ABCD)\) a \((AA_1B_1B)\) je \(\uhol A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \uhol A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Rightarrow\qquad\uhol A_1NM = 60^(\circ)\]

odpoveď: 60

Úloha 6 #1854

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

V štvorci \(ABCD\) : \(O\) – priesečník uhlopriečok; \(S\) – neleží v rovine štvorca, \(SO \perp ABC\) . Nájdite uhol medzi rovinami \(ASD\) a \(ABC\), ak \(SO = 5\) a \(AB = 10\) .

Pravé trojuholníky \(\trojuholník SAO\) a \(\trojuholník SDO\) sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi (\(SO \perp ABC\) \(\Pravá šípka\) \(\uhol SOA = \uhol SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\), pretože \(O\) – priesečník uhlopriečok štvorca, \(SO\) – spoločná strana) \(\Šípka doprava\) \(AS = SD\) \(\Šípka doprava\) \(\trojuholník ASD\ ) – rovnoramenné. Bod \(K\) je stredom \(AD\), potom \(SK\) je výška v trojuholníku \(\trojuholník ASD\) a \(OK\) je výška v trojuholníku \( AOD\) \(\ Rightarrow\) rovina \(SOK\) je kolmá na roviny \(ASD\) a \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\uhol SKO\) – lineárny uhol rovný požadovanému dihedrálny uhol.

V \(\triangle SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cdot AB = \frac(1)(2)\cdot 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\trojuholník SOK\) – rovnoramenný pravouhlý trojuholník \(\Rightarrow\) \(\uhol SKO = 45^\circ\) .

odpoveď: 45

Úloha 7 #1855

Úroveň úlohy: Náročnejšia ako jednotná štátna skúška

V štvorci \(ABCD\) : \(O\) – priesečník uhlopriečok; \(S\) – neleží v rovine štvorca, \(SO \perp ABC\) . Nájdite uhol medzi rovinami \(ASD\) a \(BSC\), ak \(SO = 5\) a \(AB = 10\) .

Pravouhlé trojuholníky \(\trojuholník SAO\) , \(\trojuholník SDO\) , \(\trojuholník SOB\) a \(\trojuholník SOC\) sú rovnaké v dvoch stranách a uhol medzi nimi (\(SO \perp ABC \) \(\šípka doprava\) \(\uhol SOA = \uhol SOD = \uhol SOB = \uhol SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\), pretože \(O\) – priesečník uhlopriečok štvorca, \(SO\) – spoločná strana) \(\Šípka doprava\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Šípka doprava\) \( \triangle ASD\) a \(\triangle BSC\) sú rovnoramenné. Bod \(K\) je stredom \(AD\), potom \(SK\) je výška v trojuholníku \(\trojuholník ASD\) a \(OK\) je výška v trojuholníku \( AOD\) \(\ Rightarrow\) rovina \(SOK\) je kolmá na rovinu \(ASD\) . Bod \(L\) je stredom \(BC\), potom \(SL\) je výška v trojuholníku \(\triangle BSC\) a \(OL\) je výška v trojuholníku \( BOC\) \(\ Rightarrow\) rovina \(SOL\) (aka rovina \(SOK\)) je kolmá na rovinu \(BSC\) . Takto získame, že \(\uhol KSL\) je lineárny uhol rovný požadovanému dihedrálnemu uhlu.

\(KL = KO + OL = 2\cbodka OL = AB = 10\)\(\Šípka doprava\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) – výšky v rovnakých rovnoramenných trojuholníkoch, ktoré možno nájsť pomocou Pytagorovej vety: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Dá sa to všimnúť \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) pre trojuholník \(\trojuholník KSL\) inverzná Pytagorova veta platí \(\Rightarrow\) \(\trojuholník KSL\) – pravouhlý trojuholník \(\Rightarrow\) \(\uhol KSL = 90 ^\ circ\) .

odpoveď: 90

Príprava študentov na absolvovanie Jednotnej štátnej skúšky z matematiky spravidla začína opakovaním základných vzorcov vrátane tých, ktoré vám umožňujú určiť uhol medzi rovinami. Napriek tomu, že táto časť geometrie je dostatočne podrobne spracovaná v rámci školských osnov, mnohí absolventi si potrebujú základnú látku zopakovať. Po pochopení toho, ako nájsť uhol medzi rovinami, budú študenti stredných škôl schopní rýchlo vypočítať správnu odpoveď pri riešení problému a počítať s tým, že získajú slušné skóre z výsledkov zloženia jednotnej štátnej skúšky.

Hlavné nuansy

Aby ste zabezpečili, že otázka, ako nájsť dihedrálny uhol, nespôsobí ťažkosti, odporúčame vám postupovať podľa algoritmu riešenia, ktorý vám pomôže zvládnuť úlohy jednotnej štátnej skúšky.

Najprv musíte určiť priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú.

Potom musíte vybrať bod na tejto čiare a nakresliť na ňu dve kolmice.

Ďalším krokom je nájdenie goniometrická funkcia dihedrálny uhol tvorený kolmicami. Najpohodlnejší spôsob, ako to urobiť, je pomocou výsledného trojuholníka, ktorého súčasťou je uhol.

Odpoveďou bude hodnota uhla alebo jeho goniometrická funkcia.

Príprava na test so Shkolkovo je kľúčom k vášmu úspechu

Počas tried v predvečer absolvovania jednotnej štátnej skúšky sa mnohí školáci stretávajú s problémom hľadania definícií a vzorcov, ktoré im umožňujú vypočítať uhol medzi 2 rovinami. Školská učebnica nie je vždy po ruke presne vtedy, keď ju treba. A nájsť potrebné vzorce a ich príklady správna aplikácia, vrátane hľadania uhla medzi lietadlami na internete online, niekedy musíte stráviť veľa času.

Matematický portál Shkolkovo ponúka nový prístup k príprave na štátnu skúšku. Triedy na našej webovej stránke pomôžu študentom identifikovať pre seba najťažšie úseky a vyplniť medzery vo vedomostiach.

Všetko sme pripravili a prehľadne odprezentovali požadovaný materiál. Základné definície a vzorce sú uvedené v časti „Teoretické informácie“.

Pre lepšie pochopenie látky navrhujeme aj precvičenie vhodných cvičení. Veľký výber úloh rôzneho stupňa zložitosti je napríklad uvedený v časti „Katalóg“. Všetky úlohy obsahujú podrobný algoritmus na nájdenie správnej odpovede. Zoznam cvikov na stránke je neustále dopĺňaný a aktualizovaný.

Pri precvičovaní riešenia problémov, ktoré si vyžadujú nájdenie uhla medzi dvoma rovinami, majú študenti možnosť uložiť ľubovoľnú úlohu online ako „Obľúbené“. Vďaka tomu sa k nemu budú môcť vrátiť požadované množstvo krát a prediskutovať postup jeho riešenia s učiteľom školy alebo tútorom.