Formulácia a dôkaz Thalesovej vety. Thalesova veta. Stredná čiara trojuholníka


Tento hrob je malý, ale sláva nad ním je nesmierna.
Pred vami je v ňom ukrytý multiinteligentný Thales.

Nápis na hrobke Tálesa z Milétu

Predstavte si tento obrázok. 600 pred Kr Egypt. Pred vami je obrovská egyptská pyramída. Aby ste faraóna prekvapili a zostali medzi jeho obľúbenými, musíte zmerať výšku tejto pyramídy. Nemáte... nič k dispozícii. Môžete upadnúť do zúfalstva, alebo sa môžete správať ako Táles z Milétu: Použite vetu o podobnosti trojuholníka. Áno, ukazuje sa, že všetko je celkom jednoduché. Táles z Milétu počkal, kým sa dĺžka jeho tieňa a jeho výška nezhodujú, a potom pomocou vety o podobnosti trojuholníkov našiel dĺžku tieňa pyramídy, ktorá sa teda rovnala tieňu, ktorý vrhá pyramída. pyramída.

Kto je tento muž? Táles z Milétu? Muž, ktorý sa preslávil ako jeden zo „siedmich múdrych mužov“ staroveku? Thales of Miletus je staroveký grécky filozof, ktorý sa vyznamenal úspechom v oblasti astronómie, ako aj matematiky a fyziky. Roky jeho života boli stanovené len približne: 625-645 pred Kristom

Medzi dôkazy Thalesových znalostí astronómie možno uviesť nasledujúci príklad. 28. mája 585 pred Kr Predpoveď Milétu o zatmení Slnka pomohla ukončiť vojnu medzi Lýdiou a Médiou, ktorá trvala 6 rokov. Tento jav vystrašil Médov natoľko, že súhlasili s nevýhodnými podmienkami pre uzavretie mieru s Lýdmi.

Existuje pomerne široko známa legenda, ktorá Thalesa charakterizuje ako vynaliezavého človeka. Thales často počúval nelichotivé komentáre o svojej chudobe. Jedného dňa sa rozhodol dokázať, že filozofi, ak chcú, môžu žiť v hojnosti. Aj v zime Thales z pozorovania hviezd určil, že v lete bude dobrá úroda olív. Zároveň si najal lisovne oleja v Miléte a Chiose. To ho stálo pomerne málo, keďže v zime po nich nie je prakticky žiadny dopyt. Keď olivy priniesli bohatú úrodu, Thales začal prenajímať svoje lisy na olej. Veľké množstvo peňazí vyzbieraných touto metódou bolo považované za dôkaz, že filozofi môžu zarábať peniaze svojou mysľou, ale ich povolanie je vyššie ako takéto pozemské problémy. Túto legendu, mimochodom, zopakoval aj samotný Aristoteles.

Pokiaľ ide o geometriu, mnohé z jeho „objavov“ boli požičané od Egypťanov. A predsa sa tento prenos vedomostí do Grécka považuje za jednu z hlavných zásluh Tálesa z Milétu.

Úspechy Thalesa sa považujú za formuláciu a dôkaz nasledujúceho vety:

  • vertikálne uhly sú rovnaké;
  • Rovnaké trojuholníky sú tie, ktorých strana a dva susedné uhly sú rovnaké;
  • uhly v základni rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké;
  • priemer rozdeľuje kruh na polovicu;
  • vpísaný uhol zovretý priemerom je pravý uhol.

Po Thalesovi je pomenovaná ďalšia veta, ktorá je užitočná pri riešení geometrických problémov. Existuje jeho zovšeobecnená a konkrétna forma, inverzná veta, formulácie sa môžu tiež mierne líšiť v závislosti od zdroja, ale význam všetkých zostáva rovnaký. Zoberme si túto vetu.

Ak rovnobežné čiary pretínajú strany uhla a odrežú rovnaké segmenty na jednej strane, potom odrežú rovnaké segmenty na druhej strane.

Povedzme, že body A 1, A 2, A 3 sú priesečníky rovnobežiek s jednou stranou uhla a B 1, B 2, B 3 sú priesečníky rovnobežiek s druhou stranou uhla. . Je potrebné dokázať, že ak A 1 A 2 = A 2 A 3, potom B 1 B 2 = B 2 B 3.

Cez bod B 2 vedieme priamku rovnobežnú s priamkou A 1 A 2. Označme nový riadok C 1 C 2. Uvažujme rovnobežníky A 1 C 1 B 2 A 2 a A 2 B 2 C 2 A 3 .

Vlastnosti rovnobežníka nám umožňujú konštatovať, že A1A2 = C 1 B 2 a A 2 A 3 = B 2 C 2. A keďže podľa našej podmienky A 1 A 2 = A 2 A 3, potom C 1 B 2 = B 2 C 2.

A nakoniec uvažujme trojuholníky Δ C 1 B 2 B 1 a Δ C 2 B 2 B 3 .

C1B2 = B2C2 (dokázané vyššie).

To znamená, že Δ C 1 B 2 B 1 a Δ C 2 B 2 B 3 sa budú rovnať podľa druhého znamienka rovnosti trojuholníkov (pri vedľajších a susedných uhloch).

Thalesova veta je teda dokázaná.

Použitie tejto vety výrazne uľahčí a urýchli riešenie geometrických úloh. Veľa šťastia pri zvládnutí tejto zábavnej vedy matematiky!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

O paralelách a sekánach.

Mimo ruskojazyčnej literatúry sa Thalesova veta niekedy nazýva iná veta planimetrie, a to: vyhlásenie, že, Čo vpísaný uhol, založené na priemer kruh, je priamy. Objav tejto vety sa skutočne pripisuje Thalesovi, o čom svedčí Prokla.

Formulácie

Ak je niekoľko rovnakých segmentov usporiadaných za sebou na jednej z dvoch čiar a cez ich konce, ktoré pretínajú druhú čiaru, sú nakreslené rovnobežné čiary, odrežú rovnaké časti na druhej čiare.

Všeobecnejšia formulácia, tiež tzv veta o proporcionálnom segmente

Paralelné čiary sú odrezané na sečniciach proporcionálne segmenty :

A1A2B1B2 = A2A3B2B3 = A1A3B1B3. (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Poznámky

  • Veta nemá žiadne obmedzenia na relatívnu polohu sekanty(to platí pre pretínajúce sa aj rovnobežné čiary). Nezáleží ani na tom, kde sa segmenty na sečanoch nachádzajú.
  • Thalesova veta je špeciálnym prípadom vety o proporcionálnych segmentoch, pretože rovnaké segmenty možno považovať za proporcionálne segmenty s koeficientom proporcionality rovným 1.

Dôkaz v prípade sekantov

Zoberme si možnosť s neprepojenými pármi segmentov: nechajte uhol pretínať priame čiary A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) a kde A B = CD (\displaystyle AB=CD).

Dôkaz v prípade rovnobežných línií

Urobme direkt B.C.. Uhly ABC A BCD rovnaké ako vnútorné ležať krížom krážom s rovnobežnými čiarami AB A CD a sekant B.C. a uhly ACB A CBD rovnaké ako vnútorné priečne ležiace s rovnobežnými čiarami A.C. A BD a sekant B.C.. Potom podľa druhé kritérium pre rovnosť trojuholníkov trojuholníky ABC A DCB sú si rovní. Z toho vyplýva A.C. = BD A AB = CD. ■

Variácie a zovšeobecnenia

Konverzná veta

Ak v Thalesovej vete rovnaké segmenty začínajú od vrcholu (táto formulácia sa často používa v školskej literatúre), potom bude platiť aj opačná veta. Pre priesečníky je formulovaný takto:

V Thalesovej konverznej vete je dôležité, aby rovnaké segmenty začínali od vrcholu

Teda (pozri obrázok) zo skutočnosti, že C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), nasleduje za tým A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Ak sú sečany rovnobežné, potom je potrebné vyžadovať, aby úsečky na oboch sečniach boli navzájom rovnaké, inak sa toto tvrdenie stáva nepravdivým (protipríkladom je lichobežník pretínaný priamkou prechádzajúcou stredmi báz).

Táto veta sa používa v navigácii: kolízia medzi loďami pohybujúcimi sa konštantnou rýchlosťou je nevyhnutná, ak je zachovaný smer z jednej lode na druhú.

Sollertinského lemma

Nasledujúce vyhlásenie je duálne Sollertinského lemma :

Nechaj f (\displaystyle f) - projektívna korešpondencia medzi bodmi na priamke l (\displaystyle l) a rovno m (\displaystyle m). Potom množina čiar bude množinou dotyčníc k niektorým kužeľová časť(možno degenerovať).

V prípade Thalesovej vety bude kužeľosečkou bod v nekonečne, zodpovedajúci smeru rovnobežiek.

Toto vyhlásenie je zase obmedzujúcim prípadom nasledujúceho vyhlásenia:

Nechaj f (\displaystyle f)- projektívna premena kužeľosečky. Potom obálka množiny priamych čiar X f (X) (\displaystyle Xf(X)) bude kužeľovitý (možno degenerovaný).

O paralelách a sekánach.

Mimo ruskojazyčnú literatúru sa Thalesova veta niekedy nazýva iná veta o planimetrie, konkrétne tvrdenie, že vpísaný uhol zovretý priemerom kruhu je správny. Objav tejto vety sa skutočne pripisuje Thalesovi, čo dokazuje Proclus.

Formulácie

Ak je niekoľko rovnakých segmentov usporiadaných za sebou na jednej z dvoch čiar a cez ich konce, ktoré pretínajú druhú čiaru, sú nakreslené rovnobežné čiary, odrežú rovnaké časti na druhej čiare.

Všeobecnejšia formulácia, tiež tzv veta o proporcionálnom segmente

Rovnobežné čiary oddeľujú proporcionálne segmenty na sečniciach:

A1A2B1B2 = A2A3B2B3 = A1A3B1B3. (\displaystyle (\frac (A_(1)A_(2))(B_(1)B_(2)))=(\frac (A_(2)A_(3))(B_(2)B_(3) ))=(\frac (A_(1)A_(3))(B_(1)B_(3))).)

Poznámky

  • Veta nemá žiadne obmedzenia na relatívnu polohu sečans (platí pre pretínajúce sa aj rovnobežné čiary). Nezáleží ani na tom, kde sa segmenty na sečanoch nachádzajú.
  • Thalesova veta je špeciálnym prípadom vety o proporcionálnych segmentoch, pretože rovnaké segmenty možno považovať za proporcionálne segmenty s koeficientom proporcionality rovným 1.

Dôkaz v prípade sekantov

Zoberme si možnosť s neprepojenými pármi segmentov: nechajte uhol pretínať priame čiary A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\displaystyle AA_(1)||BB_(1)||CC_(1)||DD_(1)) a kde A B = CD (\displaystyle AB=CD).

  1. Poďme kresliť cez body A (\displaystyle A) A C (\displaystyle C) priamky rovnobežné s druhou stranou uhla. A B 2 B 1 A 1 (\displaystyle AB_(2)B_(1)A_(1)) A C D 2 D 1 C 1 (\displaystyle CD_(2)D_(1)C_(1)). Podľa vlastnosti rovnobežníka: A B 2 = A 1 B 1 (\displaystyle AB_(2)=A_(1)B_(1)) A CD 2 = C 1 D 1 (\displaystyle CD_(2)=C_(1)D_(1)).
  2. Trojuholníky △ A B B 2 (\displaystyle \bigtriangleup ABB_(2)) A △ CD D 2 (\displaystyle \bigtriangleup CDD_(2)) sú rovnaké na základe druhého znamienka rovnosti trojuholníkov

Dôkaz v prípade rovnobežných línií

Urobme direkt B.C.. Uhly ABC A BCD rovnaké ako vnútorné priečne ležiace s rovnobežnými čiarami AB A CD a sekant B.C. a uhly ACB A CBD rovnaké ako vnútorné priečne ležiace s rovnobežnými čiarami A.C. A BD a sekant B.C.. Potom podľa druhého kritéria pre rovnosť trojuholníkov, trojuholníky ABC A DCB sú si rovní. Z toho vyplýva A.C. = BD A AB = CD. ■

Variácie a zovšeobecnenia

Konverzná veta

Ak v Thalesovej vete rovnaké segmenty začínajú od vrcholu (táto formulácia sa často používa v školskej literatúre), potom bude platiť aj opačná veta. Pre priesečníky je formulovaný takto:

Teda (pozri obrázok) zo skutočnosti, že C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … (\displaystyle (\frac (CB_(1))(CA_(1)))=(\frac (B_(1)B_(2))(A_ (1)A_(2)))=\ldots ), nasleduje za tým A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\displaystyle A_(1)B_(1)||A_(2)B_(2)||\ldots ).

Ak sú sečany rovnobežné, potom je potrebné vyžadovať, aby úsečky na oboch sečniach boli navzájom rovnaké, inak sa toto tvrdenie stáva nepravdivým (protipríkladom je lichobežník pretínaný priamkou prechádzajúcou stredmi báz).

Táto veta sa používa v navigácii: kolízia medzi loďami pohybujúcimi sa konštantnou rýchlosťou je nevyhnutná, ak je zachovaný smer z jednej lode na druhú.

Sollertinského lemma

Nasledujúce tvrdenie je duálne k Sollertinského lemme:

Nechaj f (\displaystyle f)- projektívna zhoda medzi bodmi na priamke l (\displaystyle l) a rovno m (\displaystyle m). Potom súbor čiar X f (X) (\displaystyle Xf(X)) bude množinou dotyčníc k niektorým

Ak rovnobežné čiary pretínajúce strany uhla odrežú rovnaké segmenty na jednej strane, odrežú rovnaké segmenty na druhej strane.

Dôkaz. Nech A 1, A 2, A 3 sú priesečníky rovnobežiek s jednou zo strán uhla a A 2 leží medzi A 1 a A 3 (obr. 1).

Nech B 1 B 2, B 3 sú zodpovedajúce priesečníky týchto priamok s druhou stranou uhla. Dokážme, že ak A 1 A 2 = A 2 A 3, potom B 1 B 2 = B 2 B 3.

Nakreslíme priamku EF cez bod B 2 rovnobežnú s priamkou A 1 A 3. Vlastnosťou rovnobežníka A 1 A 2 = FB 2, A 2 A 3 = B 2 E.

A keďže A 1 A 2 = A 2 A 3, potom FB 2 = B 2 E.

Trojuholníky B 2 B 1 F a B 2 B 3 E sú rovnaké podľa druhého kritéria. Majú B 2 F = B 2 E podľa dokázaného. Uhly vo vrchole B2 sú rovnaké ako vertikálne a uhly B2FB1 a B2EB3 sú rovnaké ako vnútorné priečne ležiace s rovnobežkami A1B1 a A3B3 a sečnicou EF. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť strán: B 1 B 2 = B 2 B 3. Veta bola dokázaná.

Pomocou Thalesovej vety je stanovená nasledujúca veta.

Veta 2. Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s treťou stranou a rovná sa jej polovici.

Stredová čiara trojuholníka je segment spájajúci stredy jeho dvoch strán. Na obrázku 2 je segment ED stredná čiara trojuholníka ABC.

ED - stredná čiara trojuholníka ABC

Príklad 1 Rozdeľte tento segment na štyri rovnaké časti.

Riešenie. Nech AB je daný segment (obr. 3), ktorý je potrebné rozdeliť na 4 rovnaké časti.

Rozdelenie segmentu na štyri rovnaké časti

Za týmto účelom nakreslite ľubovoľnú polpriamku a cez bod A a nakreslite na ňu postupne štyri rovnaké segmenty AC, CD, DE, EK.

Spojme body B a K úsečkou. Cez zvyšné body C, D, E nakreslíme priamky rovnobežné s priamkou BK tak, aby pretínali úsečku AB.

Podľa Thalesovej vety bude segment AB rozdelený na štyri rovnaké časti.

Príklad 2 Uhlopriečka obdĺžnika je a. Aký je obvod štvoruholníka, ktorého vrcholy sú stredmi strán obdĺžnika?

Riešenie. Nech obrázok 4 spĺňa podmienky problému.

Potom EF je stredná čiara trojuholníka ABC a teda podľa vety 2. $$ EF = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) $$

Podobne $$ HG = \frac(1)(2)AC = \frac(a)(2) , EH = \frac(1)(2)BD = \frac(a)(2) , FG = \frac( 1)(2)BD = \frac(a)(2) $$ a preto obvod štvoruholníka EFGH je 2a.

Príklad 3 Strany trojuholníka sú 2 cm, 3 cm a 4 cm a jeho vrcholy sú stredmi strán iného trojuholníka. Nájdite obvod veľkého trojuholníka.

Riešenie. Nech obrázok 5 spĺňa podmienky problému.

Segmenty AB, BC, AC sú stredné čiary trojuholníka DEF. Preto podľa vety 2 $$ AB = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ BC = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ AC = \frac(1)(2) DF $$ alebo $$ 2 = \frac(1)(2)EF\ \ ,\ \ 3 = \frac(1)(2)DE\ \ ,\ \ 4 = \frac(1)(2)DF $ $ odkiaľ $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$, a preto je obvod trojuholníka DEF 18 cm.

Príklad 4. V pravouhlom trojuholníku sú cez stred jeho prepony rovné čiary rovnobežné s jeho nohami. Nájdite obvod výsledného obdĺžnika, ak sú strany trojuholníka 10 cm a 8 cm.

Riešenie. V trojuholníku ABC (obr. 6)

∠ A je priamka, AB = 10 cm, AC = 8 cm, KD a MD sú stredové čiary trojuholníka ABC, odkiaľ $$ KD = \frac(1)(2)AC = 4 cm. frac(1) (2)AB = 5 cm $$ Obvod obdĺžnika K DMA je 18 cm.


2024 sattarov.ru.