S valcom je spojené veľké množstvo problémov. V nich musíte nájsť polomer a výšku tela alebo typ jeho sekcie. Navyše niekedy musíte vypočítať plochu valca a jeho objem.

Ktoré teleso je valec?

V školských osnovách sa študuje kruhový valec, teda valec na základni. Vyznačuje sa však aj elipsovitým vzhľadom tejto postavy. Už z názvu je jasné, že jeho základom bude elipsa alebo ovál.

Valec má dve základne. Sú si navzájom rovné a sú spojené segmentmi, ktoré kombinujú zodpovedajúce body základov. Nazývajú sa generátory valca. Všetky generátory sú navzájom paralelné a rovnaké. Tvoria bočný povrch tela.

Vo všeobecnosti je valec naklonené teleso. Ak generátory zvierajú so základňami pravý uhol, potom hovoríme o priamom obrazci.

Je zaujímavé, že kruhový valec je rotačné teleso. Získava sa otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.

Hlavné prvky valca

Hlavné prvky valca vyzerajú nasledujúcim spôsobom.

1. Výška. Je to najkratšia vzdialenosť medzi základňami valca. Ak je rovná, potom sa výška zhoduje s tvoriacou čiarou.
2. Polomer. Zhoduje sa s tým, ktorý sa dá nakresliť na základni.
3. Os. Toto je priamka, ktorá obsahuje stredy oboch základní. Os je vždy rovnobežná so všetkými generátormi. V priamom valci je kolmý na základne.
4. Axiálny rez. Vzniká, keď valec pretína rovinu obsahujúcu os.
5. Dotyková rovina. Prechádza jednou z tvoriacich čiar a je kolmá na osový rez, ktorý je pretiahnutý touto tvoriacou čiarou.

Ako je valec spojený s hranolom, ktorý je do neho vpísaný alebo popísaný okolo neho?

Niekedy existujú problémy, pri ktorých je potrebné vypočítať plochu valca, ale sú známe niektoré prvky súvisiaceho hranola. Ako spolu tieto čísla súvisia?

Ak je hranol vpísaný do valca, potom jeho základne sú rovnaké polygóny. Okrem toho sú vpísané do zodpovedajúcich základov valca. Bočné okraje hranola sa zhodujú s generátormi.

Opísaný hranol má na svojej základni pravidelné mnohouholníky. Sú popísané okolo kruhov valca, ktoré sú jeho základňami. Roviny, ktoré obsahujú plochy hranola, sa dotýkajú valca pozdĺž ich generátorov.

Na ploche bočnej plochy a základne pre pravý kruhový valec

Ak rozbalíte bočnú plochu, dostanete obdĺžnik. Jeho strany sa budú zhodovať s tvoriacou čiarou a obvodom základne. Preto sa bočná plocha valca bude rovnať súčinu týchto dvoch množstiev. Ak si vzorec zapíšete, dostanete nasledovné:

S strana = l * n,

kde n je generátor, l je obvod.

Okrem toho sa posledný parameter vypočíta podľa vzorca:

l = 2 π * r,

tu r je polomer kruhu, π je číslo „pi“ rovné 3,14.

Keďže základom je kruh, jeho plocha sa vypočíta pomocou nasledujúceho výrazu:

S main = π * r 2 .

Na ploche celého povrchu pravého kruhového valca

Keďže je tvorený dvoma základňami a bočnou plochou, musíte tieto tri množstvá pridať. To znamená, že celková plocha valca sa vypočíta podľa vzorca:

S poschodie = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Často sa píše v inej forme:

S poschodie = 2 π * r (n + r).

Na plochách nakloneného kruhového valca

Pokiaľ ide o základy, všetky vzorce sú rovnaké, pretože sú to stále kruhy. Ale bočný povrch už nedáva obdĺžnik.

Na výpočet plochy bočného povrchu nakloneného valca budete musieť vynásobiť hodnoty tvoriacej čiary a obvodu úseku, ktorý bude kolmý na vybranú tvoriacu čiaru.

Vzorec vyzerá takto:

Strana S = x * P,

kde x je dĺžka tvoriacej čiary valca, P je obvod rezu.

Mimochodom, je lepšie zvoliť časť tak, aby tvorila elipsu. Potom sa zjednodušia výpočty jeho obvodu. Dĺžka elipsy sa vypočíta pomocou vzorca, ktorý dáva približnú odpoveď. Na úlohy školského kurzu však často stačí:

l = π * (a + b),

kde „a“ a „b“ sú poloosi elipsy, to znamená vzdialenosť od stredu k jej najbližšiemu a najvzdialenejšiemu bodu.

Plocha celého povrchu sa musí vypočítať pomocou nasledujúceho výrazu:

S poschodie = 2 π * r 2 + x * R.

Aké sú niektoré časti pravého kruhového valca?

Keď úsek prechádza osou, jeho plocha je určená ako súčin tvoriacej čiary a priemeru základne. Vysvetľuje to skutočnosť, že má tvar obdĺžnika, ktorého strany sa zhodujú s určenými prvkami.

Ak chcete nájsť prierez valca, ktorý je rovnobežný s axiálnym, budete potrebovať aj vzorec pre obdĺžnik. V tejto situácii sa jedna z jej strán bude stále zhodovať s výškou a druhá sa bude rovnať tetive základne. Ten sa zhoduje s čiarou rezu pozdĺž základne.

Keď je rez kolmý na os, vyzerá ako kruh. Okrem toho je jeho plocha rovnaká ako plocha základne obrázku.

Je tiež možné pretínať sa v určitom uhle k osi. Potom je výsledkom prierezu ovál alebo jeho časť.

Vzorové problémy

Úloha č.1. Daný rovný valec, ktorého základná plocha je 12,56 cm2. Je potrebné vypočítať celkovú plochu valca, ak je jeho výška 3 cm.

Riešenie. Je potrebné použiť vzorec pre celkovú plochu kruhového rovného valca. Chýbajú mu ale údaje, konkrétne polomer základne. Ale oblasť kruhu je známa. Z toho je ľahké vypočítať polomer.

Ukazuje sa, že je rovnocenný odmocnina z kvocientu, ktorý sa získa vydelením plochy základne pi. Po vydelení 12,56 číslom 3,14 je výsledok 4. Druhá odmocnina zo 4 je 2. Preto bude mať polomer túto hodnotu.

Odpoveď: S podlaha = 50,24 cm2.

Úloha č.2. Valec s polomerom 5 cm je vyrezaný rovinou rovnobežnou s osou. Vzdialenosť od rezu k osi je 3 cm Výška valca je 4 cm.

Riešenie. Tvar prierezu je obdĺžnikový. Jedna z jeho strán sa zhoduje s výškou valca a druhá sa rovná tetive. Ak je známe prvé množstvo, potom je potrebné nájsť druhé.

Na tento účel je potrebné vykonať dodatočnú konštrukciu. Na základni nakreslíme dva segmenty. Obaja začnú v strede kruhu. Prvý bude končiť v strede tetivy a bude sa rovnať známej vzdialenosti od osi. Druhý je na konci akordu.

Dostanete pravouhlý trojuholník. Je v nej známa prepona a jedna z nôh. Prepona sa zhoduje s polomerom. Druhá noha sa rovná polovici akordu. Neznáma noha vynásobená 2 poskytne požadovanú dĺžku akordu. Vypočítajme jeho hodnotu.

Aby ste našli neznámu nohu, budete musieť odmocniť preponu a známu nohu, odpočítať druhú od prvej a vziať druhú odmocninu. Štvorce sú 25 a 9. Ich rozdiel je 16. Po odmocnení zostáva 4. Toto je požadovaná noha.

Tetiva sa bude rovnať 4 * 2 = 8 (cm). Teraz môžete vypočítať plochu prierezu: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odpoveď: S kríž sa rovná 32 cm2.

Úloha č.3. Je potrebné vypočítať axiálnu plochu prierezu valca. Je známe, že je v ňom vpísaná kocka s hranou 10 cm.

Riešenie. Osový rez valca sa zhoduje s obdĺžnikom, ktorý prechádza štyrmi vrcholmi kocky a obsahuje uhlopriečky jej podstav. Strana kocky je tvoriacou čiarou valca a uhlopriečka podstavy sa zhoduje s priemerom. Súčin týchto dvoch veličín dá oblasť, ktorú potrebujete v probléme zistiť.

Na nájdenie priemeru budete musieť použiť poznanie, že základňa kocky je štvorec a jej uhlopriečka tvorí rovnostranu správny trojuholník. Jeho prepona je požadovaná uhlopriečka obrazca.

Na jej výpočet budete potrebovať vzorec Pytagorovej vety. Musíte odmocniť stranu kocky, vynásobiť ju 2 a vziať druhú odmocninu. Desať na druhú mocninu je sto. Vynásobené 2 je dvesto. Druhá odmocnina z 200 je 10√2.

Rez je opäť obdĺžnik so stranami 10 a 10√2. Jeho plochu možno jednoducho vypočítať vynásobením týchto hodnôt.

Odpoveď. S prierez = 100√2 cm 2.

Nájdite oblasť axiálneho rezu kolmého na základne valca. Jedna zo strán tohto obdĺžnika sa rovná výške valca, druhá - priemeru základného kruhu. V súlade s tým bude plocha prierezu v tomto prípade rovná súčinu strán obdĺžnika. S=2R*h, kde S je plocha prierezu, R je polomer základnej kružnice daný podmienkami úlohy a h je výška valca, tiež daná podmienkami úlohy.

Ak je rez kolmý na základne, ale neprechádza osou otáčania, obdĺžnik sa nebude rovnať priemeru kruhu. Treba to vypočítať. Na to musí problém povedať, v akej vzdialenosti od osi otáčania prechádza rovina rezu. Pre uľahčenie výpočtov vytvorte kruh na základni valca, nakreslite polomer a nakreslite naň vzdialenosť, v ktorej je rez umiestnený od stredu kruhu. Od tohto bodu nakreslite kolmice na ich priesečník s kružnicou. Pripojte priesečníky do stredu. Musíte nájsť akordy. Nájdite veľkosť polovice akordu pomocou Pytagorovej vety. Bude sa rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi štvorcami polomeru kruhu od stredu k čiare rezu. a2=R2-b2. Celý akord sa teda bude rovnať 2a. Vypočítajte plochu prierezu, ktorá sa rovná súčinu strán obdĺžnika, teda S=2a*h.

Valec môže byť rezaný bez prechodu cez rovinu základne. Ak prierez prechádza kolmo na os otáčania, potom to bude kruh. Jeho plocha sa v tomto prípade rovná ploche báz, to znamená vypočítanej podľa vzorca S = πR2.

Užitočné rady

Aby ste si presnejšie predstavili rez, urobte k nemu výkres a dodatočné konštrukcie.

Zdroje:

• plocha prierezu valca

Priamka priesečníka plochy s rovinou patrí ploche aj rovine rezu. Priesečník valcový povrch rovina rezu rovnobežná s priamkou - priamka. Ak je rovina rezu kolmá na os rotačnej plochy, rez bude kruh. Vo všeobecnosti je priesečník valcovej plochy s rovinou rezu zakrivená čiara.

Budete potrebovať

• Ceruzka, pravítko, trojuholník, vzory, kompas, meter.

Inštrukcie

Na čelnej rovine priemetov П₂ sa čiara rezu zhoduje s priemetom roviny rezu Σ₂ v tvare priamky.
Označte priesečníky tvoriacich čiar valca s priemetom Σ₂ 1₂, 2₂ atď. k bodom 10₂ a 11₂.

V rovine P₁ je kruh. Body 1₂, 2₂ atď. vyznačené na rovine rezu Σ₂. pomocou projekčnej spojovacej čiary sa premietnu na obrys tohto kruhu. Označte ich vodorovné priemety symetricky vzhľadom na vodorovnú os kruhu.

Takto sú určené priemety požadovaného rezu: v rovine P₂ – priamka (body 1₂, 2₂…10₂); na rovine P₁ – kruh (body 1₁, 2₁…10₁).

Pomocou dvoch zostrojte prirodzenú veľkosť prierezu daného valca rovinou Σ s čelnou priemetom. Ak to chcete urobiť, použite metódu projekcie.

Nakreslite rovinu П₄ rovnobežnú s priemetom roviny Σ₂. Na tejto novej osi x₂4 označte bod 1₀. Vzdialenosť medzi bodmi 1₂ – 2₂, 2₂ – 4₂ atď. z čelného priemetu rezu, umiestnite ho na os x₂4, nakreslite tenké čiary spojenia projekcie kolmo na os x24.

Pri tomto spôsobe je rovina P4 nahradená rovinou P1, preto z horizontálnej projekcie preneste rozmery z osi do bodov na os roviny P4.

Napríklad na P₁ pre body 2 a 3 to bude vzdialenosť od 21 a 31 k osi (bod A) atď.

Odložením naznačených vzdialeností od horizontálnej projekcie získate body 2₀, 3₀, 6₀, 7₀, 10₀, 11₀. Potom sa pre väčšiu presnosť konštrukcie určia zostávajúce medziľahlé body.

Spojením všetkých bodov vzorovou krivkou získate požadovanú prirodzenú veľkosť prierezu valca čelnou premietacou rovinou.

Zdroje:

• ako nahradiť lietadlo

Tip 3: Ako nájsť axiálnu plochu prierezu zrezaného kužeľa

Na vyriešenie tohto problému si musíte pamätať, čo je zrezaný kužeľ a aké vlastnosti má. Uistite sa, že urobíte kresbu. To vám umožní určiť, aký geometrický obrazec sekcia predstavuje. Je dosť možné, že po tomto už pre vás riešenie problému nebude ťažké.

Inštrukcie

Okrúhly kužeľ je teleso získané otáčaním trojuholníka okolo jednej z jeho nôh. Priame línie vychádzajúce z vrcholu kužeľ a pretínajúce jeho základňu sa nazývajú generátory. Ak sú všetky generátory rovnaké, potom je kužeľ rovný. Na základni kola kužeľ leží kruh. Kolmica spustená k základni z vrcholu je výška kužeľ. Na kruhovej rovinke kužeľ výška sa zhoduje s jeho osou. Os je priamka spájajúca sa so stredom základne. Ak je horizontálna rovina rezu kruhová kužeľ, potom je jeho horná základňa kruh.

Keďže v probléme nie je uvedené, že v tomto prípade je daný kužeľ, môžeme usúdiť, že ide o rovný zrezaný kužeľ, ktorého horizontálny rez je rovnobežný so základňou. Jeho osový rez, t.j. zvislej rovine, ktorá prechádza osou obl kužeľ, je rovnostranný lichobežník. Všetko axiálne oddielov okrúhle rovné kužeľ sú si navzájom rovné. Preto nájsť námestie axiálne oddielov, musíte nájsť námestie lichobežník, ktorého základne sú priemery základov zrezaného kužeľ a bočné strany sú jeho zložkami. Výška zrezaného konca kužeľ je tiež výška lichobežníka.

Plocha lichobežníka je určená vzorcom: S = ½(a+b) h, kde S – námestie lichobežník;a – veľkosť spodnej základne lichobežníka;b – veľkosť jeho horná základňa;h – výška lichobežníka.

Keďže podmienka nešpecifikuje, ktoré z nich sú dané, je možné, že priemery oboch pätiek skrátených kužeľ známy: AD = d1 – priemer spodnej základne zrezaného kužeľ;BC = d2 – priemer jeho hornej podstavy; EH = h1 – výška kužeľ.Takže námestie axiálne oddielov skrátený kužeľ je definované: S1 = ½ (d1+d2) h1

Zdroje:

• oblasť zrezaného kužeľa

Valec je priestorový obrazec a pozostáva z dvoch rovnakých podstav, ktorými sú kruhy a bočnej plochy spájajúcej čiary ohraničujúce podstavy. Kalkulovať námestie valec, nájdite plochy všetkých jeho povrchov a spočítajte ich.

Valec (kruhový valec) je teleso, ktoré sa skladá z dvoch kruhov, kombinovaných paralelným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kruhov. Kruhy sa nazývajú základne valca a segmenty spájajúce príslušné body obvodov kruhov sa nazývajú generátory valca.

Základy valca sú rovnaké a ležia v rovnobežných rovinách a generátory valca sú rovnobežné a rovnaké. Povrch valca pozostáva zo základne a bočnej plochy. Bočný povrch tvoria tvoriace čiary.

Valec sa nazýva rovný, ak sú jeho generátory kolmé na roviny základne. Valec možno považovať za teleso získané otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán ako osi. Existujú aj iné typy valcov - eliptické, hyperbolické, parabolické. Za typ valca sa považuje aj hranol.

Obrázok 2 zobrazuje naklonený valec. Jeho základňami sú kruhy so stredmi O a O 1.

Polomer valca je polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami podstavcov. Os valca je priamka prechádzajúca stredmi podstavcov. Je paralelný s generátormi. Prierez valca s rovinou prechádzajúcou osou valca sa nazýva axiálny rez. Rovina prechádzajúca tvoriacou čiarou priameho valca a kolmá na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina valca.

Rovina kolmá na os valca pretína jeho bočnú plochu pozdĺž obvodu, rovnaký kruh dôvodov.

Hranol vpísaný do valca je hranol, ktorého základne sú rovnaké mnohouholníky vpísané do základov valca. Jeho bočné rebrá tvoria valec. O hranole sa hovorí, že je opísaný okolo valca, ak jeho základne sú rovnaké mnohouholníky opísané okolo základov valca. Roviny jeho plôch sa dotýkajú bočného povrchu valca.

Bočný povrch valca možno vypočítať vynásobením dĺžky tvoriacej čiary obvodom sekcie valca rovinou kolmou na tvoriacu čiaru.

Bočný povrch rovného valca možno nájsť jeho vývojom. Rozvinutím valca je obdĺžnik s výškou h a dĺžkou P, ktorá sa rovná obvodu podstavy. Preto sa plocha bočného povrchu valca rovná ploche jeho vývoja a vypočíta sa podľa vzorca:

Najmä pre pravý kruhový valec:

P = 2πR a Sb = 2πRh.

Celková plocha valca sa rovná súčtu plôch jeho bočného povrchu a jeho základov.

Pre rovný kruhový valec:

Sp = 2πRh + 2πR2 = 2πR(h + R)

Na zistenie objemu nakloneného valca existujú dva vzorce.

Objem nájdete vynásobením dĺžky tvoriacej čiary plochou prierezu valca rovinou kolmou na tvoriacu čiaru.

Objem nakloneného valca sa rovná súčinu plochy základne a výšky (vzdialenosť medzi rovinami, v ktorých ležia základne):

V = Sh = S l sin α,

kde l je dĺžka tvoriacej priamky a α je uhol medzi tvoriacou čiarou a rovinou základne. Pre rovný valec h = l.

Vzorec na zistenie objemu kruhového valca je nasledujúci:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4) h,

kde d je priemer základne.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Stereometria je oblasť geometrie, v ktorej sa študujú postavy v priestore. Hlavné postavy v priestore sú bod, priamka a rovina. V stereometrii sa objaví nový pohľad relatívnu polohu priame čiary: križovanie priamych čiar. Toto je jeden z mála významných rozdielov medzi stereometriou a planimetriou, pretože v mnohých prípadoch sa problémy v stereometrii riešia zvažovaním rôznych rovín, v ktorých sú splnené planimetrické zákony.

V prírode okolo nás je veľa predmetov, ktoré sú fyzickými modelmi tejto postavy. Napríklad mnohé časti strojov majú tvar valca alebo sú ich kombináciou a majestátne stĺpy chrámov a katedrál, vyrobené v tvare valcov, zdôrazňujú ich harmóniu a krásu.

grécky − kylindros. Staroveký termín. V každodennom živote - papyrusový zvitok, valček, valček (sloveso - krútiť, valiť).

V prípade Euklida sa valec získa otáčaním obdĺžnika. V Cavalieri - pohybom tvoriacej čiary (s ľubovoľným vedením - „valcom“).

Účelom tejto eseje je zvážiť geometrické teleso– valec.

Na dosiahnutie tohto cieľa je potrebné zvážiť nasledujúce úlohy:

− uveďte definície valca;

− zvážiť prvky valca;

− študovať vlastnosti valca;

− zvážiť typy sekcií valcov;

- odvodiť vzorec pre plochu valca;

− odvodiť vzorec pre objem valca;

− riešiť problémy pomocou valca.

1.1. Definícia valca

Uvažujme nejakú priamku (krivku, lomenú alebo zmiešanú) l ležiacu v rovine α a priamku S pretínajúcu túto rovinu. Cez všetky body danej priamky l vedieme priamky rovnobežné s priamkou S; plocha α tvorená týmito priamkami sa nazýva valcová plocha. Priamka l sa nazýva vedenie tejto plochy, priamky s 1, s 2, s 3,... sú jej generátormi.

Ak je vedenie zlomené, potom takáto valcová plocha pozostáva z množstva plochých pásikov uzavretých medzi pármi rovnobežných priamych čiar a nazýva sa prizmatická plocha. Tvoriace priamky prechádzajúce cez vrcholy vodiacej prerušovanej čiary sa nazývajú hrany hranolovej plochy, ploché pásy medzi nimi sú jej plochy.

Ak vypreparujeme ľubovoľnú valcovú plochu ľubovoľnou rovinou, ktorá nie je rovnobežná s jej generátormi, dostaneme priamku, ktorú môžeme brať aj ako vodiacu pre túto plochu. Medzi vodidlami vyniká ten, ktorý sa získa rezom povrchu rovinou kolmou na tvoriace priamky povrchu. Takáto sekcia sa nazýva normálna sekcia a zodpovedajúci sprievodca sa nazýva normálny sprievodca.

Ak je vedenie uzavretá (konvexná) čiara (prerušovaná alebo zakrivená), potom sa zodpovedajúca plocha nazýva uzavretá (konvexná) prizmatická alebo valcová plocha. Najjednoduchšia z valcových plôch má ako normálne vedenie kruh. Rozoberme uzavretú konvexnú prizmatickú plochu s dvomi rovinami navzájom rovnobežnými, ale nie rovnobežnými s generátormi.

V rezoch získame konvexné polygóny. Teraz časť hranolovej plochy uzavretá medzi rovinami α a α" a dve polygonálne dosky vytvorené v týchto rovinách ohraničujú teleso nazývané hranolové teleso - hranol.

Valcové teleso - valec je definovaný podobne ako hranol:
Valec je teleso ohraničené na bokoch uzavretou (konvexnou) valcovou plochou a na koncoch dvoma plochými rovnobežnými základňami. Obe základne valca sú rovnaké a všetky zložky valca sú tiež rovnaké, t.j. segmenty tvoriacich priamok valcovej plochy medzi rovinami podstav.

Valec (presnejšie kruhový valec) je geometrické teleso, ktoré pozostáva z dvoch kruhov, ktoré neležia v rovnakej rovine a sú spojené rovnobežným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kruhov (obr. 1) .

Kruhy sa nazývajú základne valca a segmenty spájajúce príslušné body obvodov kruhov sa nazývajú generátory valca.

Pretože paralelný posun je pohyb, základne valca sú rovnaké.

Keďže pri paralelnom posúvaní sa rovina premení na rovnobežnú rovinu (alebo do seba), potom základne valca ležia v rovnobežných rovinách.

Pretože pri paralelnom preklade sú body posunuté pozdĺž rovnobežných (alebo zhodných) línií o rovnakú vzdialenosť, potom sú generátory valca rovnobežné a rovnaké.

Povrch valca pozostáva zo základne a bočnej plochy. Bočný povrch sa skladá z tvoriacich čiar.

Valec sa nazýva rovný, ak sú jeho generátory kolmé na roviny podstav.

Priamy valec si môžeme vizuálne predstaviť ako geometrické teleso, ktoré pri otáčaní okolo jeho strany ako osi opisuje obdĺžnik (obr. 2).

Ryža. 2 - Priamy valec

V nasledujúcom budeme uvažovať iba o priamom valci, ktorý pre stručnosť nazývame jednoducho valec.

Polomer valca je polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami jeho základní. Os valca je priamka prechádzajúca stredmi podstavcov. Je paralelný s generátormi.

Valec sa nazýva rovnostranný, ak sa jeho výška rovná priemeru základne.

Ak sú základne valca ploché (a teda roviny, ktoré ich obsahujú, sú rovnobežné), potom sa hovorí, že valec stojí na rovine. Ak sú základne valca stojaceho v rovine kolmé na tvoriacu čiaru, potom sa valec nazýva rovný.

Najmä, ak podstavou valca stojaceho na rovine je kruh, potom hovoríme o kruhovom (kruhovom) valci; ak je to elipsa, potom je to elipsa.

1. 3. Časti valca

Prierez valca s rovinou rovnobežnou s jeho osou je obdĺžnik (obr. 3, a). Jeho dve strany sú generátory valca a ďalšie dve sú rovnobežné tetivy základov.

A) b)

V) G)

Ryža. 3 – Časti valca

Najmä obdĺžnik je axiálny rez. Toto je časť valca s rovinou prechádzajúcou jeho osou (obr. 3, b).

Prierez valca s rovinou rovnobežnou so základňou je kruh (obrázok 3, c).

Prierez valca s rovinou, ktorá nie je rovnobežná so základňou a jeho osou, je ovál (obr. 3d).

Veta 1. Rovina rovnobežná s rovinou podstavy valca pretína jeho bočnú plochu pozdĺž kružnice rovnajúcej sa obvodu podstavy.

Dôkaz. Nech β je rovina rovnobežná s rovinou podstavy valca. Rovnobežný posun v smere osi valca, ktorý kombinuje rovinu β s rovinou základne valca, spája rez bočnou plochou rovinou β s obvodom základne. Veta bola dokázaná.

Bočný povrch valca.

Plocha bočného povrchu valca sa považuje za hranicu, ku ktorej smeruje plocha bočného povrchu pravidelného hranola vpísaného do valca, keď sa počet strán základne tohto hranola zvyšuje na neurčito.

Veta 2. Plocha bočného povrchu valca sa rovná súčinu obvodu jeho základne a jeho výšky (S strana.c = 2πRH, kde R je polomer základne valca, H je výška valca).

A) b)
Ryža. 4 - Bočná plocha valca

Dôkaz.

Nech P n a H sú obvody podstavy a výška pravidelného n-gonálneho hranola vpísaného do valca (obr. 4, a). Potom je plocha bočnej plochy tohto hranola S strana.c − P n H. Predpokladajme, že počet strán mnohouholníka vpísaného do základne rastie neobmedzene (obr. 4, b). Potom obvod P n smeruje k obvodu C = 2πR, kde R je polomer podstavy valca a výška H sa nemení. Plocha bočného povrchu hranola teda smeruje k hranici 2πRH, t.j. plocha bočného povrchu valca sa rovná S side.c = 2πRH. Veta bola dokázaná.

Celková plocha valca.

Celková plocha valca je súčtom plôch bočného povrchu a dvoch základní. Plocha každej základne valca sa rovná πR 2, preto sa plocha celkového povrchu valca S total vypočíta podľa vzorca S strana.c = 2πRH+ 2πR 2.

r

T 1

T

F

F 1

F

T

A)

F

b)

Ryža. 5 - Celková plocha valca

Ak je bočný povrch valca rozrezaný pozdĺž tvoriacej čiary FT (obr. 5, a) a rozložený tak, že všetky generátory sú v rovnakej rovine, potom ako výsledok dostaneme obdĺžnik FTT1F1, ktorý sa nazýva rozvinutie bočný povrch valca. Strana FF1 obdĺžnika je rozvinutím kružnice podstavy valca, teda FF1=2πR, a jej strana FT sa rovná tvoriacej priamke valca, t.j. FT = H (obr. 5, b). Plocha FT∙FF1=2πRH rozvinutia valca sa teda rovná ploche jeho bočného povrchu.

1.5. Objem valca

Ak je geometrické teleso jednoduché, to znamená, že sa dá rozdeliť na konečný počet trojuholníkových pyramíd, potom sa jeho objem rovná súčtu objemov týchto pyramíd. Pre ľubovoľné teleso sa objem určuje nasledovne.

Dané teleso má objem V, ak existujú jednoduché telesá, ktoré ho obsahujú, a v ňom obsiahnuté jednoduché telesá s objemami, ktoré sa od V líšia tak málo, ako si želáte.

Aplikujme túto definíciu na nájdenie objemu valca s polomerom základne R a výškou H.

Pri odvodzovaní vzorca pre oblasť kruhu boli skonštruované dva n-uholníky (jeden obsahujúci kruh, druhý obsiahnutý v kruhu) tak, že ich plochy sa s neobmedzeným nárastom n blížili k ploche kruh bez obmedzenia. Zostrojme také mnohouholníky pre kružnicu na základni valca. Nech P je mnohouholník obsahujúci kruh a P“ je mnohouholník obsiahnutý v kruhu (obr. 6).

Ryža. 7 − Valec s opísaným a vpísaným hranolom

Zostrojme dva priame hranoly so základňami P a P" a výškou H rovnajúcou sa výške valca. Prvý hranol obsahuje valec a druhý hranol je obsiahnutý vo valci. Keďže s neobmedzeným nárastom n, plochy podstav hranolov sa neobmedzene približujú k ploche podstavy valca S, potom sa ich objemy neobmedzene približujú k SH Podľa definície objem valca

V = SH = πR2H.

Objem valca sa teda rovná súčinu plochy základne a výšky.

Úloha 1.

Axiálny rez valca je štvorec s plochou Q.

Nájdite oblasť základne valca.

Dané: valec, štvorec - osový rez valca, S štvorec = Q.

Nájdite: S hlavný valec

Strana námestia je . Rovná sa priemeru základne. Preto je plocha základne .

Odpoveď: S hlavný valec. =

Úloha 2.

Vo valci je vpísaný pravidelný šesťhranný hranol. Nájdite uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca, ak sa polomer podstavy rovná výške valca.

Dané: valec, pravidelný šesťhranný hranol vpísaný do valca, polomer základne = výška valca.

Nájdite: uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca.

Riešenie: Bočné strany hranola sú štvorce, pretože strana pravidelného šesťuholníka vpísaného do kruhu sa rovná polomeru.

Hrany hranola sú rovnobežné s osou valca, takže uhol medzi uhlopriečkou čela a osou valca sa rovná uhlu medzi uhlopriečkou a bočnou hranou. A tento uhol je 45°, keďže plochy sú štvorce.

Odpoveď: uhol medzi uhlopriečkou jeho bočnej plochy a osou valca = 45°.

Úloha 3.

Výška valca je 6 cm, polomer podstavy je 5 cm.

Nájdite oblasť rezu vedeného rovnobežne s osou valca vo vzdialenosti 4 cm od neho.

Dané: H = 6 cm, R = 5 cm, OE = 4 cm.

Nájsť: S sek.

S sek. = KM × KS,

OE = 4 cm, KS = 6 cm.

Trojuholník OKM - rovnoramenný (OK = OM = R = 5 cm),

trojuholník OEK je pravouhlý trojuholník.

Z trojuholníka OEK podľa Pytagorovej vety:

KM = 2EK = 2×3 = 6,

S sek. = 6×6 = 36 cm2.

Účel tejto eseje bol splnený.

Zvažujú sa tieto úlohy:

− je uvedená definícia valca;

− sú zohľadnené prvky valca;

− boli študované vlastnosti valca;

− uvažujú sa typy sekcií valcov;

- je odvodený vzorec pre plochu valca;

− je odvodený vzorec pre objem valca;

− vyriešené problémy pomocou valca.

1. Pogorelov A.V. Geometria: Učebnica pre 10. – 11. ročník vzdelávacie inštitúcie, 1995.

2. Beskin L.N. Stereometria. Manuál pre učiteľov stredných škôl, 1999.

3. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Kiseleva L. S., Poznyak E. G. Geometria: Učebnica pre ročníky 10 - 11 vzdelávacích inštitúcií, 2000.

4. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Geometria: učebnica pre ročníky 10-11 v inštitúciách všeobecného vzdelávania, 1998.

5. Kiselev A. P., Rybkin N. A. Geometria: Stereometria: ročníky 10 – 11: Učebnica a problémová kniha, 2000.

Názov vedy „geometria“ sa prekladá ako „meranie zeme“. Vznikol vďaka úsiliu úplne prvých starovekých správcov pôdy. A bolo to takto: počas záplav posvätného Nílu prúdy vody niekedy zmyli hranice pozemkov farmárov a nové hranice sa nemuseli zhodovať so starými. Dane platili roľníci do pokladnice faraóna v pomere k veľkosti pridelenej pôdy. Špeciálni ľudia boli zapojení do merania plôch ornej pôdy v rámci nových hraníc po úniku. Práve v dôsledku ich činnosti vznikla nová veda, ktorá sa rozvinula v r Staroveké Grécko. Tam dostal svoje meno a získal takmer moderný vzhľad. Následne sa tento pojem stal medzinárodným názvom pre vedu o plochých a trojrozmerných postavách.

Planimetrie je odvetvie geometrie zaoberajúce sa štúdiom rovinných útvarov. Ďalším vedným odborom je stereometria, ktorá skúma vlastnosti priestorových (objemových) útvarov. Medzi takéto figúrky patrí ten, ktorý je opísaný v tomto článku - valec.

Príklady prítomnosti valcových predmetov v Každodenný život veľa. Takmer všetky rotujúce časti - hriadele, puzdrá, čapy, nápravy atď. - majú valcový (oveľa menej často - kužeľový) tvar. Valec je tiež široko používaný v stavebníctve: veže, podpera, ozdobné stĺpy. A tiež riad, niektoré druhy obalov, rúry rôznych priemerov. A nakoniec - slávne klobúky, ktoré sa už dlho stali symbolom mužskej elegancie. Zoznam pokračuje ďalej a ďalej.

Definícia valca ako geometrického útvaru

Valec (kruhový valec) sa zvyčajne nazýva postava pozostávajúca z dvoch kruhov, ktoré sa v prípade potreby kombinujú pomocou paralelného prekladu. Tieto kruhy sú základňami valca. Ale čiary (priame segmenty) spájajúce zodpovedajúce body sa nazývajú „generátory“.

Je dôležité, aby základne valca boli vždy rovnaké (ak nie je splnená táto podmienka, potom máme zrezaný kužeľ, niečo iné, ale nie valec) a boli v rovnobežných rovinách. Segmenty spájajúce zodpovedajúce body na kruhoch sú rovnobežné a rovnaké.

Súbor nekonečného počtu tvarovacích prvkov nie je nič iné ako bočný povrch valca - jeden z prvkov daného geometrického útvaru. Jeho ďalšou dôležitou súčasťou sú vyššie diskutované kruhy. Nazývajú sa základne.

Typy valcov

Najjednoduchší a najbežnejší typ valca je kruhový. Tvoria ho dva pravidelné kruhy slúžiace ako základne. Ale namiesto nich môžu byť iné postavy.

Základy valcov môžu tvoriť (okrem kruhov) elipsy a iné uzavreté obrazce. Valec však nemusí mať nevyhnutne uzavretý tvar. Základom valca môže byť napríklad parabola, hyperbola alebo iná otvorená funkcia. Takýto valec bude otvorený alebo nasadený.

Podľa uhla sklonu valcov tvoriacich základňu môžu byť rovné alebo šikmé. Pre rovný valec sú tvoriace čiary striktne kolmé na rovinu základne. Ak je tento uhol odlišný od 90°, valec je naklonený.

Čo je povrch revolúcie

Priamy kruhový valec je bezpochyby najbežnejšou rotačnou plochou používanou v strojárstve. Niekedy sa z technických dôvodov používajú kužeľové, guľové a niektoré iné typy povrchov, ale 99% všetkých rotačných hriadeľov, osí atď. sú vyrobené vo forme valcov. Aby sme lepšie pochopili, čo je rotačná plocha, môžeme zvážiť, ako je vytvorený samotný valec.

Povedzme, že existuje určitá priamka a, umiestnený vertikálne. ABCD je obdĺžnik, ktorého jedna strana (segment AB) leží na priamke a. Ak otočíme obdĺžnik okolo priamky, ako je znázornené na obrázku, objem, ktorý pri otáčaní zaberie, bude naše rotačné teleso - pravý kruhový valec s výškou H = AB = DC a polomerom R = AD = BC.

V tomto prípade sa v dôsledku otáčania obrázku - obdĺžnika - získa valec. Otáčaním trojuholníka môžete získať kužeľ, otáčaním polkruhu - guľu atď.

Povrch valca

Na výpočet plochy obyčajného pravého kruhového valca je potrebné vypočítať plochy základne a bočných plôch.

Najprv sa pozrime na to, ako sa vypočíta plocha bočného povrchu. Je to súčin obvodu valca a výšky valca. Obvod kruhu sa zase rovná dvojnásobku súčinu univerzálneho čísla P podľa polomeru kruhu.

Je známe, že plocha kruhu sa rovná produktu P na štvorcový polomer. Takže pridaním vzorcov pre oblasť určenia bočného povrchu s dvojitým výrazom pre oblasť základne (sú dve) a vykonaním jednoduchých algebraických transformácií získame konečný výraz na určenie povrchu plocha valca.

Určenie objemu postavy

Objem valca je určený štandardná schéma: Plocha základne sa vynásobí výškou.

Výsledný vzorec teda vyzerá takto: požadovaná hodnota je definovaná ako súčin výšky tela univerzálnym číslom P a druhou mocninou polomeru základne.

Výsledný vzorec, treba povedať, je použiteľný na riešenie najneočakávanejších problémov. Rovnakým spôsobom ako objem valca sa určuje napríklad objem elektrického vedenia. To môže byť potrebné na výpočet hmotnosti drôtov.

Jediný rozdiel vo vzorci je v tom, že namiesto polomeru jedného valca je priemer prameňa vodiča rozdelený na polovicu a počet prameňov vodiča sa objavuje vo výraze N. Tiež namiesto výšky sa používa dĺžka drôtu. Týmto spôsobom sa objem „valca“ vypočíta nielen jedným, ale aj počtom drôtov v opletení.

Takéto výpočty sa v praxi často vyžadujú. Koniec koncov, významná časť nádob na vodu je vyrobená vo forme potrubia. A často je potrebné vypočítať objem valca aj v domácnosti.

Ako však už bolo spomenuté, tvar valca môže byť odlišný. A v niektorých prípadoch je potrebné vypočítať, aký je objem nakloneného valca.

Rozdiel je v tom, že povrchová plocha základne sa nenásobí dĺžkou tvoriacej čiary, ako v prípade priameho valca, ale vzdialenosťou medzi rovinami - kolmým segmentom vytvoreným medzi nimi.

Ako je zrejmé z obrázku, takýto segment sa rovná súčinu dĺžky tvoriacej priamky a sínusu uhla sklonu tvoriacej priamky k rovine.

Ako postaviť vývoj valca

V niektorých prípadoch je potrebné vyrezať valec. Na obrázku nižšie sú uvedené pravidlá, podľa ktorých je polotovar skonštruovaný na výrobu valca s danou výškou a priemerom.

Upozorňujeme, že kresba je zobrazená bez švov.

Rozdiely medzi skoseným valcom

Predstavme si istý rovný valec, ohraničený na jednej strane rovinou kolmou na generátory. Ale rovina ohraničujúca valec na druhej strane nie je kolmá na generátory a nie je rovnobežná s prvou rovinou.

Na obrázku je znázornený skosený valec. Lietadlo A v určitom uhle, odlišnom od 90° ku generátorom, pretína obrazec.

Tento geometrický tvar sa v praxi častejšie vyskytuje vo forme potrubných spojov (kolená). Existujú však aj budovy postavené vo forme skoseného valca.

Geometrické charakteristiky skoseného valca

Naklonenie jednej z rovín skoseného valca mierne mení postup výpočtu plochy povrchu takejto postavy a jej objemu.