Objem pyramídy je štvoruholníkový vzorec s obdĺžnikovou základňou. Objem pyramídy

h- výška pyramídy

S- základná plocha A B C D E

V- objem pyramídy

V geometrii je pyramída teleso, ktoré má na svojej základni mnohouholník a všetky jeho steny sú trojuholníky so spoločným vrcholom. V závislosti od toho, ktorá postava leží na základni, sa pyramídy delia na trojuholníkové, štvoruholníkové, päťuholníkové atď. Okrem toho existujú pravidelné, zrezané, pravouhlé a ľubovoľné pyramídy. Vzorec na výpočet objemu Toto teleso nie je zložité a pozná ho každý zo školského kurzu geometrie.

Klasickým príkladom využitia pyramíd v architektúre sú egyptské hrobky faraónov, z ktorých mnohé majú presne tento tvar. Treba poznamenať, že podobné stavby (aj keď trochu pozmenené) sa nachádzajú aj v iných častiach sveta a krajinách, napríklad v Mexiku a Číne, a je charakteristické, že takmer všade sú to buď hrobky, alebo náboženské stavby. Samozrejme, pri ich navrhovaní sa starí architekti len ťažko snažili určiť objem svojich výtvorov, ale ich „nasledovníci“ to určite museli urobiť.

Moderní architekti tiež niekedy tvoria pyramídové budovy, v ktorých sa najčastejšie nachádzajú sociálne a kultúrne zariadenia (obchodné a zábavné komplexy, výstavné galérie a pod.) a zároveň je potrebné vypočítať objem týchto stavieb tak, aby zodpovedali platným stavebným predpisom, pravidlám a predpisov. okrem toho presná hodnota Táto hodnota je potrebná na čo najracionálnejšie umiestnenie inžinierskych komunikácií v budove.

IN posledné roky Skleníky s tvar pyramídy. Najčastejšie sú postavené z priehľadného polykarbonátu a podľa ich vývojárov majú významné výhody oproti tradičným. Keďže pri rovnakej celkovej základnej ploche je objem vzduchu v nich obsiahnutý približne trikrát menší, ohrieva sa podstatne rýchlejšie. Okrem toho je distribuovaný racionálnejšie, pretože v pyramídovom skleníku je tiež menej miesta pre najteplejší plyn, ktorý sa hromadí na vrchole.

Pyramídy možno často nájsť v bežných apartmánoch, vidieckych domoch a chatách. Zvončeky kuchynských digestorov, ktoré slúžia na efektívne odvádzanie horúceho vzduchu, dymu a výparov z miestností, majú často svoj tvar. Tie prvky ventilačných systémov, ktoré sa používajú na pripojenie vzduchových potrubí rôznych prierezov, sa často vyrábajú vo forme zrezaných pyramíd.

Jednou z najobľúbenejších hádaniek je tzv. Meffertova pyramída“, ktorý sa často nazýva „ Rubikov štvorsten“, hoci maďarský architekt a vynálezca s tým nemá nič spoločné. Každá z jej tvárí je rozdelená do deviatich viacfarebných pravidelných trojuholníkov a cieľom hráča je dostať hračku do takej podoby, aby na každej jednotlivej tvári mali všetky jej prvky rovnakú farbu.

Pyramída je mnohosten s mnohouholníkom na jeho základni. Všetky tváre zase tvoria trojuholníky, ktoré sa zbiehajú v jednom vrchole. Pyramídy sú trojuholníkové, štvoruholníkové atď. Aby ste určili, ktorá pyramída je pred vami, stačí spočítať počet uhlov na jej základni. Definícia „výšky pyramídy“ sa veľmi často nachádza v úlohách geometrie v školských osnovách. V tomto článku sa pokúsime zvážiť rôzne cesty jej umiestnenie.

Časti pyramídy

Každá pyramída pozostáva z nasledujúcich prvkov:

• bočné steny, ktoré majú tri rohy a zbiehajú sa na vrchole;
• apotém predstavuje výšku, ktorá klesá z jeho vrcholu;
• vrchol pyramídy je bod, ktorý spája bočné rebrá, ale neleží v rovine základne;
• základňa je mnohouholník, na ktorom neleží vrchol;
• výška pyramídy je segment, ktorý pretína vrchol pyramídy a tvorí s jej základňou pravý uhol.

Ako zistiť výšku pyramídy, ak je známy jej objem

Prostredníctvom vzorca V = (S*h)/3 (vo vzorci V je objem, S je plocha základne, h je výška pyramídy) zistíme, že h = (3*V)/ S. Na konsolidáciu materiálu okamžite vyriešme problém. Trojuholníková základňa je 50 cm 2 , pričom jej objem je 125 cm 3 . Výška trojuholníkovej pyramídy nie je známa, čo musíme nájsť. Všetko je tu jednoduché: údaje vložíme do nášho vzorca. Dostaneme h = (3*125)/50 = 7,5 cm.

Ako zistiť výšku pyramídy, ak je známa dĺžka uhlopriečky a jej hrany

Ako si pamätáme, výška pyramídy tvorí so základňou pravý uhol. To znamená, že výška, hrana a polovica uhlopriečky spolu tvoria Mnohí si samozrejme pamätajú Pytagorovu vetu. Pri poznaní dvoch rozmerov nebude ťažké nájsť tretiu veličinu. Pripomeňme si známu vetu a² = b² + c², kde a je prepona, v našom prípade hrana pyramídy; b - prvé rameno alebo polovica uhlopriečky a c - druhé rameno alebo výška pyramídy. Z tohto vzorca c² = a² - b².

Teraz problém: v bežnej pyramíde je uhlopriečka 20 cm, keď je dĺžka hrany 30 cm, musíte nájsť výšku. Riešime: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Preto c = √ 500 = približne 22,4.

Ako zistiť výšku zrezanej pyramídy

Je to mnohouholník s prierezom rovnobežným so základňou. Výška zrezanej pyramídy je segment, ktorý spája jej dve základne. Výšku pre pravidelnú pyramídu možno zistiť, ak sú známe dĺžky uhlopriečok oboch podstav, ako aj hrany pyramídy. Uhlopriečka väčšej základne nech je d1, zatiaľ čo uhlopriečka menšej základne je d2 a hrana má dĺžku l. Ak chcete zistiť výšku, môžete znížiť výšky z dvoch horných protiľahlých bodov diagramu k jeho základni. Vidíme, že máme dva pravouhlé trojuholníky, zostáva len nájsť dĺžky ich nôh. Ak to chcete urobiť, odčítajte menšiu od väčšej uhlopriečky a vydeľte 2. Nájdeme teda jednu nohu: a = (d1-d2)/2. Potom nám podľa Pytagorovej vety stačí nájsť druhú nohu, čo je výška pyramídy.

Teraz sa pozrime na celú vec v praxi. Máme pred sebou úlohu. Zrezaný ihlan má v základni štvorec, uhlopriečka väčšej základne je 10 cm, zatiaľ čo menšia je 6 cm a hrana je 4 cm. Najprv nájdeme jednu nohu: a = (10-6)/2 = 2 cm Jedna noha sa rovná 2 cm a prepona je 4 cm. 4 = 12, teda h = √12 = približne 3,5 cm.

Hlavná charakteristika akéhokoľvek geometrický obrazec v priestore je jeho objem. V tomto článku sa pozrieme na to, čo je pyramída s trojuholníkom na základni, a tiež si ukážeme, ako zistiť objem trojuholníkovej pyramídy - pravidelnej plnej a zrezanej.

Čo je to - trojuholníková pyramída?

Každý počul o staroegyptských pyramídach, ale sú pravidelné štvoruholníkové, nie trojuholníkové. Poďme si vysvetliť, ako získať trojuholníkovú pyramídu.

Zoberme si ľubovoľný trojuholník a spojíme všetky jeho vrcholy s jedným bodom, ktorý sa nachádza mimo roviny tohto trojuholníka. Výsledný obrazec sa bude nazývať trojuholníková pyramída. Je to znázornené na obrázku nižšie.

Ako vidíte, predmetná postava je tvorená štyrmi trojuholníkmi, ktoré sú vo všeobecnosti odlišné. Každý trojuholník je stranami pyramídy alebo jej strany. Táto pyramída sa často nazýva štvorsten, teda štvorstenná trojrozmerná postava.

Pyramída má okrem strán aj hrany (je ich 6) a vrcholy (zo 4).

s trojuholníkovou základňou

Obrázok, ktorý sa získa pomocou ľubovoľného trojuholníka a bodu v priestore, bude vo všeobecnom prípade nepravidelná šikmá pyramída. Teraz si predstavte, že pôvodný trojuholník má identické strany a bod v priestore sa nachádza presne nad jeho geometrickým stredom vo vzdialenosti h od roviny trojuholníka. Pyramída postavená pomocou týchto počiatočných údajov bude správna.

Je zrejmé, že počet hrán, strán a vrcholov pravidelnej trojuholníkovej pyramídy bude rovnaký ako počet pyramídy postavenej z ľubovoľného trojuholníka.

Správna postava má však niektoré charakteristické črty:

• jeho výška vytiahnutá z vrcholu bude presne pretínať základňu v geometrickom strede (priesečník stredníc);
• bočný povrch Takáto pyramída je tvorená tromi rovnakými trojuholníkmi, ktoré sú rovnoramenné alebo rovnostranné.

Pravidelná trojuholníková pyramída nie je len čisto teoretický geometrický objekt. Niektoré stavby v prírode majú svoj tvar napr krištáľová bunka diamant, kde je atóm uhlíka spojený so štyrmi rovnakými atómami kovalentnými väzbami, alebo molekula metánu, kde sú vrcholy pyramídy tvorené atómami vodíka.

trojuholníková pyramída

Objem absolútne akejkoľvek pyramídy s ľubovoľným n-uholníkom na základni môžete určiť pomocou nasledujúceho výrazu:

Symbol S o tu označuje plochu základne, h je výška postavy nakreslenej k označenej základni z vrcholu pyramídy.

Pretože plocha ľubovoľného trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžky jeho strany a a apotém h a spadnutý na túto stranu, vzorec pre objem trojuholníkovej pyramídy možno napísať v tejto forme:

V = 1/6 × a × h a × h

Pre všeobecný typ Určenie výšky nie je ľahká úloha. Na jeho vyriešenie je najjednoduchšie použiť vzorec pre vzdialenosť medzi bodom (vrcholom) a rovinou (trojuholníková základňa), ktorú predstavuje rovnica všeobecný pohľad.

Pre ten správny má špecifický vzhľad. Plocha základne (rovnostranného trojuholníka) sa rovná:

Nahradením do všeobecného výrazu pre V dostaneme:

V = √3/12 × a 2 × h

Špeciálnym prípadom je situácia, keď sa všetky strany štvorstenu ukážu ako identické rovnostranné trojuholníky. V tomto prípade možno jeho objem určiť len na základe znalosti parametra jeho hrany a. Zodpovedajúci výraz vyzerá takto:

Skrátená pyramída

Ak vrchná časť, obsahujúci vrchol, odrezaný od pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, dostanete zrezanú postavu. Na rozdiel od pôvodného bude pozostávať z dvoch rovnostranných trojuholníkových podstav a troch rovnoramenných lichobežníkov.

Nižšie uvedená fotografia ukazuje, ako vyzerá bežná zrezaná trojuholníková pyramída vyrobená z papiera.

Na určenie objemu zrezanej trojuholníkovej pyramídy potrebujete poznať jej tri lineárne charakteristiky: každú zo strán podstavcov a výšku postavy, ktorá sa rovná vzdialenosti medzi hornou a dolnou základňou. Zodpovedajúci vzorec pre objem je napísaný takto:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Tu h je výška postavy, A a a sú dĺžky veľkej (spodnej) a malej (hornej) strany rovnostranné trojuholníky resp.

Riešenie problému

Aby boli informácie v článku čitateľovi jasnejšie, názorným príkladom ukážeme, ako použiť niektoré písané vzorce.

Nech je objem trojuholníkového ihlanu 15 cm 3 . Je známe, že údaj je správny. Je potrebné nájsť apotému a b bočného okraja, ak je známe, že výška pyramídy je 4 cm.

Keďže objem a výška postavy sú známe, môžete použiť príslušný vzorec na výpočet dĺžky strany jej základne. Máme:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × v) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 cm

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √ (16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 cm

Vypočítaná dĺžka apotému postavy sa ukázala byť väčšia ako jej výška, čo platí pre akýkoľvek typ pyramídy.

Pyramída sa nazýva obdĺžniková, ak je jedna z jej hrán kolmá na jej základňu, to znamená, že stojí pod uhlom 90˚. Táto hrana je zároveň výškou obdĺžnikovej pyramídy. Vzorec pre objem pyramídy prvýkrát odvodil Archimedes.

Budete potrebovať

• - pero;
• - papier;
• - kalkulačka.

Inštrukcie

• V pravouhlej pyramíde bude výškou jej okraj, ktorý je v uhle 90˚ k základni. Základná plocha obdĺžnikovej pyramídy sa spravidla označuje ako S a výška, ktorá je zároveň okrajom pyramídy, je h. Potom, aby sme našli objem tejto pyramídy, je potrebné vynásobiť plochu jej základne jej výškou a vydeliť 3. Objem obdĺžnikovej pyramídy sa teda vypočíta podľa vzorca: V=(S*h )/3.

Prečítajte si vyhlásenie o probléme. Predpokladajme, že máme obdĺžnikovú pyramídu ABCDES. Na jeho základni leží päťuholník s plochou 45 cm². Dĺžka výšky JV je 30 cm.

• Postavte pyramídu podľa daných parametrov. Označte jeho základňu latinskými písmenami ABCDE a vrchol pyramídy - S. Keďže kresba bude v projekčnej rovine, označte údaje, ktoré sú vám už známe, aby nedošlo k zámene: SE = 30 cm; S(ABCDE) = 45 cm2.
• Vypočítajte objem obdĺžnikovej pyramídy pomocou vzorca. Nahradením údajov a vykonaním výpočtov sa ukáže, že objem obdĺžnikovej pyramídy bude rovný: V=(45*30)/3=cm³.
• Ak problémové vyhlásenie neobsahuje údaje o základnej ploche a výške pyramídy, je potrebné vykonať dodatočné výpočty na získanie týchto hodnôt. Plocha základne sa vypočíta v závislosti od toho, ktorý polygón leží na jej základni.
• Výšku pyramídy poznáte, ak poznáte preponu ktoréhokoľvek z pravouhlých trojuholníkov EDS alebo EAS a uhol, pod ktorým je bočná stena SD alebo SA naklonená k svojej základni. Vypočítajte úsek SE pomocou sínusovej vety. Toto bude výška obdĺžnikovej pyramídy.

Tu sa pozrieme na príklady súvisiace s pojmom objem. Na vyriešenie takýchto úloh musíte poznať vzorec pre objem pyramídy:

S

h – výška pyramídy

Základňa môže byť ľubovoľný mnohouholník. Ale vo väčšine problémov na jednotnej štátnej skúške je podmienkou zvyčajne pravidelné pyramídy. Dovoľte mi pripomenúť jednu z jeho vlastností:

Vrch pravidelnej pyramídy sa premieta do stredu jej základne

Pozrite sa na projekciu pravidelných trojuholníkových, štvoruholníkových a šesťuholníkových pyramíd (POHĽAD ZHORA):

Môžete na blogu, kde sa diskutovalo o problémoch súvisiacich so zisťovaním objemu pyramídy.Zoberme si úlohy:

27087. Nájdite objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ktorej strany základne sa rovnajú 1 a výška sa rovná odmocnine troch.

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Nájdite oblasť základne pyramídy, je to pravidelný trojuholník. Použime vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi, čo znamená:

Odpoveď: 0,25

27088. Nájdite výšku pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ktorej strany základne sa rovnajú 2 a objem sa rovná odmocnine troch.

Pojmy ako výška pyramídy a vlastnosti jej základne sú spojené objemovým vzorcom:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Poznáme samotný objem, môžeme nájsť oblasť základne, pretože poznáme strany trojuholníka, ktorý je základňou. Keď poznáme uvedené hodnoty, výšku ľahko zistíme.

Na nájdenie plochy základne používame vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán a sínusu uhla medzi nimi, čo znamená:

Nahradením týchto hodnôt do objemového vzorca teda môžeme vypočítať výšku pyramídy:

Výška je tri.

odpoveď: 3

27109. V pravidelnom štvorhrannom ihlane je výška 6 a bočná hrana 10. Nájdite jeho objem.

Objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Poznáme výšku. Musíte nájsť oblasť základne. Pripomínam, že vrchol pravidelnej pyramídy sa premieta do stredu jej základne. Základom pravidelného štvorbokého ihlana je štvorec. Nájdeme jej uhlopriečku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený modrou):

Úsečka spájajúca stred štvorca s bodom B je rameno, ktoré sa rovná polovici uhlopriečky štvorca. Túto nohu môžeme vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

To znamená BD = 16. Vypočítajme plochu štvorca pomocou vzorca pre obsah štvoruholníka:

Preto:

Objem pyramídy je teda:

odpoveď: 256

27178. V pravidelnej štvorhrannej pyramíde je výška 12 a objem 200. Nájdite bočnú hranu tejto pyramídy.

Výška pyramídy a jej objem sú známe, čo znamená, že môžeme nájsť plochu štvorca, ktorá je základňou. Keď poznáme plochu štvorca, môžeme nájsť jeho uhlopriečku. Ďalej, berúc do úvahy pravouhlý trojuholník pomocou Pytagorovej vety, vypočítame bočnú hranu:

Nájdite plochu štvorca (základňa pyramídy):

Vypočítajme uhlopriečku štvorca. Keďže jej plocha je 50, strana sa bude rovnať odmocnine z päťdesiatky a podľa Pytagorovej vety:

Bod O rozdeľuje uhlopriečku BD na polovicu, čo znamená nohu správny trojuholník OB = 5.

Môžeme teda vypočítať, čomu sa rovná bočná hrana pyramídy:

odpoveď: 13

245353. Nájdite objem pyramídy znázornenej na obrázku. Jeho základňa je mnohouholník, ktorého susedné strany sú kolmé a jedna z bočných hrán je kolmá na rovinu základne a rovná sa 3.

Ako už bolo mnohokrát povedané, objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S- plocha základne pyramídy

h- výška pyramídy

Bočná hrana kolmá na základňu sa rovná trom, čo znamená, že výška pyramídy je tri. Základňa pyramídy je mnohouholník, ktorého plocha sa rovná:

Takto:

odpoveď: 27

27086. Základňa pyramídy je obdĺžnik so stranami 3 a 4. Jej objem je 16. Nájdite výšku tejto pyramídy.

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.