Objem pyramídy je štvoruholníkový vzorec na základni obdĺžnika. Objem pyramídy

h - výška pyramídy

S - základná plocha A B C D E

V. - objem pyramídy

V geometrii je pyramída teleso, ktoré má na svojej základni mnohouholník a všetky jeho tváre sú trojuholníky so spoločným vrcholom. Podľa toho, aký druh postavy leží na základni, sú pyramídy rozdelené na trojuholníkové, štvoruholníkové, päťuholníkové atď. Ďalej sa rozlišuje medzi pravidelnými, zrezanými, obdĺžnikovými a ľubovoľnými pyramídami. Vzorec na výpočet objemu toto telo sa nelíši v zložitosti a je známe každému zo školského kurzu geometrie.

Klasickým príkladom použitia pyramíd v architektúre sú egyptské hrobky faraónov, z ktorých mnohé majú presne tento tvar. Je potrebné poznamenať, že podobné štruktúry (aj keď trochu upravené) sa nachádzajú v iných častiach sveta a krajín, napríklad v Mexiku a Číne, a je typické, že takmer všade sú to buď hrobky, alebo náboženské budovy. Starí architekti sa samozrejme pri ich navrhovaní len ťažko snažili určiť objem svojich duchovných detí, ale ich „nasledovníci“ to pravdepodobne musia urobiť.

Moderní architekti tiež niekedy tvoria pyramídové budovy, v ktorých sa najčastejšie nachádzajú objekty spoločenských a kultúrnych účelov (nákupné a zábavné komplexy, výstavné galérie a pod.), a zároveň je potrebné vypočítať objem týchto štruktúr, aby vyhovovali prijatým stavebným zákonom, pravidlám a predpisom. Okrem toho, presná hodnota táto hodnota je požadovaná, aby sa najefektívnejšie umiestnilo inžinierske komunikácie do štruktúry.

AT posledné roky čoraz viac populárnych skleníkov s tvar pyramídy... Najčastejšie sú vyrobené z priehľadného polykarbonátu a podľa ich vývojárov majú oproti tradičným výrazné výhody. Pretože pri rovnakej celkovej základnej ploche je objem vzduchu v nich obsiahnutom asi trikrát menší, potom sa zohrieva oveľa rýchlejšie. Okrem toho je distribuovaný racionálnejšie, pretože priestor pre najteplejší plyn hromadiaci sa na vrchu je tiež menší v pyramídovom skleníku.

Pyramídy sa často nachádzajú v bežných apartmánoch, vidieckych domoch a chatách. Často majú tvar zásuviek kuchynských digestorov, ktoré sa používajú na účinné odvádzanie horúceho vzduchu, dymu a horenia z priestorov. Vo forme komolých pyramíd sa často vyrábajú tie prvky ventilačných systémov, ktoré sa používajú na spájanie vzduchovodov s rôznymi sekciami.

Jednou z najobľúbenejších hádaniek je takzvaná „ meffertova pyramída„, Ktorý sa často nazýva“ rubikov štvorsten”, Hoci maďarský architekt a vynálezca s tým nemá nič spoločné. Každá z jej tvárí je rozdelená do deviatich viacfarebných pravidelných trojuholníkov a cieľom hráča je priniesť hračku do takej podoby, aby na každej jednotlivej tvári mali všetky jej prvky rovnakú farbu.

Pyramída je mnohosten, ktorý má na základni mnohouholník. Všetky tváre zase tvoria trojuholníky, ktoré sa zbiehajú v jednom vrchole. Pyramídy sú trojuholníkové, štvoruholníkové atď. Aby ste určili, ktorá pyramída je pred vami, stačí spočítať počet rohov na jej základni. Definícia „výšky pyramídy“ je veľmi častá pri problémoch s geometriou v školských osnovách. V článku sa pokúsime zvážiť rôzne cesty nájsť to.

Časti pyramídy

Každá pyramída sa skladá z nasledujúcich prvkov:

• bočné plochy, ktoré majú tri rohy a na vrchu sa zbiehajú;
• apotém je výška, ktorá klesá z jeho vrcholu;
• vrchol pyramídy je bod, ktorý spája bočné okraje, ale neleží v rovine základne;
• base je mnohouholník, ktorý nemá vrchol;
• výška pyramídy je segment, ktorý pretína vrchol pyramídy a tvorí s jej základňou pravý uhol.

Ako zistiť výšku pyramídy, ak je známy jej objem

Prostredníctvom vzorca V \u003d (S * h) / 3 (vo vzorci V je objem, S je základná plocha, h je výška pyramídy) zistíme, že h \u003d (3 * V) / S. Aby sme spevnili materiál, poďme okamžite problém vyriešiť. Trojuholníková základňa má 50 cm 2, zatiaľ čo jej objem je 125 cm 3. Výška trojuholníkovej pyramídy nie je známa, čo musíme zistiť. Všetko je tu jednoduché: údaje vkladáme do nášho vzorca. Získame h \u003d (3 * 125) / 50 \u003d 7,5 cm.

Ako zistiť výšku pyramídy, ak poznáte dĺžku uhlopriečky a jej okraje

Ako si pamätáme, výška pyramídy tvorí so základňou pravý uhol. To znamená, že spolu tvoria výšku, okraj a polovicu uhlopriečky.Mnohí si, samozrejme, pamätajú na Pytagorovu vetu. Ak poznáme dve dimenzie, nebude ťažké nájsť tretiu veličinu. Pripomeňme si známu vetu a² \u003d b² + c², kde a je prepona a v našom prípade okraj pyramídy; b - prvé rameno alebo polovica uhlopriečky ac - druhé rameno alebo výška pyramídy. Z tohto vzorca c² \u003d a² - b².

Teraz problém: v bežnej pyramíde je uhlopriečka 20 cm, zatiaľ čo dĺžka rebra 30 cm. Musíte zistiť výšku. Riešime: c² \u003d 30² - 20² \u003d 900-400 \u003d 500. Preto c \u003d √ 500 \u003d asi 22,4.

Ako zistiť výšku zrezanej pyramídy

Je to mnohouholník, ktorý má rez rovnobežný s jeho základňou. Výška zrezanej pyramídy je líniový segment, ktorý spája jej dve základne. Výšku možno nájsť pre pravidelnú pyramídu, ak sú známe dĺžky uhlopriečok oboch základní a tiež hrana pyramídy. Nech je uhlopriečka väčšej základne d1, zatiaľ čo uhlopriečka menšej základne je d2, a hrana má dĺžku l. Ak chcete zistiť výšku, môžete znížiť výšky od dvoch horných protiľahlých bodov diagramu po jeho základňu. Vidíme, že máme dva pravouhlé trojuholníky, zostáva zistiť dĺžku ich nôh. Za týmto účelom odčítame menšiu od väčšej uhlopriečky a vydelíme 2. Nájdeme teda jednu nohu: a \u003d (d1-d2) / 2. Potom už podľa Pytagorovej vety musíme nájsť iba druhé rameno, čo je výška pyramídy.

Teraz sa pozrime na celú vec v praxi. Máme pred sebou úlohu. Zrezaná pyramída má pri základni štvorec, dĺžka uhlopriečky väčšej základne je 10 cm, zatiaľ čo menšia je 6 cm, a okraja sú 4 cm. Je potrebné zistiť výšku. Na začiatok nájdeme jednu nohu: a \u003d (10-6) / 2 \u003d 2 cm. Jedna noha je 2 cm a prepona je 4 cm. Ukazuje sa, že druhá noha alebo výška bude 16-4 \u003d 12, to znamená h \u003d √12 \u003d asi 3,5 cm.

Hlavnou charakteristikou každého geometrický tvar v priestore je jeho objem. V tomto článku zvážime, čo je to pyramída s trojuholníkom v spodnej časti, a tiež ukážeme, ako zistiť objem trojuholníkovej pyramídy - pravidelnej plnej a skrátenej.

Čo je to - trojuholníková pyramída?

Každý už počul o staroegyptských pyramídach, sú však obdĺžnikové pravidelné, nie trojuholníkové. Poďme si vysvetliť, ako získať trojuholníkovú pyramídu.

Vezmite ľubovoľný trojuholník a spojte všetky jeho vrcholy s niektorým bodom umiestneným mimo rovinu tohto trojuholníka. Vyformovaná postava sa bude nazývať trojuholníková pyramída. Je to znázornené na obrázku nižšie.

Ako vidíte, uvažovaná postava je tvorená štyrmi trojuholníkmi, ktoré sa všeobecne líšia. Každý trojuholník sú bočné strany pyramídy alebo jej tvár. Táto pyramída sa často nazýva štvorsten, to znamená štvorstranný volumetrický útvar.

Pyramída má okrem strán aj okraje (má 6) a vrcholy (sú ich 4).

trojuholníková základňa

Údaj získaný pomocou ľubovoľného trojuholníka a bodu v priestore bude spravidla nepravidelne sklonenou pyramídou. Teraz si predstavte, že pôvodný trojuholník má rovnaké strany a bod v priestore sa nachádza presne nad jeho geometrickým stredom vo vzdialenosti h od roviny trojuholníka. Pyramída postavená pomocou týchto počiatočných údajov bude správna.

Je zrejmé, že počet hrán, strán a vrcholov pre pravidelnú trojuholníkovú pyramídu bude rovnaký ako pre pyramídu postavenú z ľubovoľného trojuholníka.

Správna postava má však niektoré charakteristické črty:

• jeho výška, nakreslená zhora, bude presne pretínať základňu v geometrickom strede (priesečník stredov);
• bočný povrch takúto pyramídu tvoria tri rovnaké trojuholníky, ktoré sú rovnoramenné alebo rovnostranné.

Pravidelná trojuholníková pyramída nie je iba čisto teoretickým geometrickým objektom. Niektoré štruktúry v prírode majú svoju formu, napríklad krištáľová mriežka diamantu, kde je atóm uhlíka spojený so štyrmi rovnakými atómami kovalentnými väzbami, alebo molekula metánu, kde vrcholy pyramídy tvoria atómy vodíka.

trojuholníková pyramída

Objem absolútne akejkoľvek pyramídy s ľubovoľným n-gónom na základni môžete určiť pomocou nasledujúceho výrazu:

Tu symbol S o označuje plochu základne, h je výška obrázku nakresleného k označenej základni z vrchu pyramídy.

Pretože plocha ľubovoľného trojuholníka sa rovná polovici súčinu dĺžky jeho strany a apotémou h a, spadnutej na túto stranu, vzorec pre objem trojuholníkovej pyramídy možno napísať v tejto podobe:

V \u003d 1/6 × a × h a × h

Pre všeobecný typ určenie výšky nie je ľahká úloha. Najjednoduchším spôsobom riešenia je použiť vzorec pre vzdialenosť medzi bodom (vrcholom) a rovinou (trojuholníkový základ), ktorý predstavuje rovnica. všeobecný pohľad.

Pre ten pravý má špecifický vzhľad. Plocha základne (rovnostranný trojuholník) je pre ňu:

Dosadíme to do všeobecného výrazu pre V, dostaneme:

V \u003d √3 / 12 × a 2 × h

Špeciálnym prípadom je situácia, keď sa všetky strany štvorstena ukážu ako rovnaké rovnostranné trojuholníky. V takom prípade je možné jeho objem určiť iba na základe znalosti parametra jeho okraja a. Zodpovedajúci výraz je:

Zrezaná pyramída

Ak vyššia časťobsahujúci vrchol, odrezaný od pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, potom získate skrátenú postavu. Na rozdiel od pôvodnej bude pozostávať z dvoch rovnostranných trojuholníkových základní a troch rovnoramenných lichobežníkov.

Na fotografii nižšie je znázornené, ako vyzerá bežná zrezaná trojuholníková pyramída vyrobená z papiera.

Aby ste určili objem zrezanej trojuholníkovej pyramídy, musíte poznať tri z jej lineárnych charakteristík: každú zo strán základne a výšku postavy, ktorá sa rovná vzdialenosti medzi hornou a dolnou základňou. Zodpovedajúci vzorec pre objem je napísaný takto:

V \u003d √3 / 12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Tu h je výška postavy, A a a sú dĺžky strán veľkého (spodného) a malého (horného) rovnostranné trojuholníky resp.

Riešenie problému

Aby sme čitateľom objasnili informácie uvedené v článku, ukážeme si na názornom príklade, ako používať niektoré z písomných vzorcov.

Nech je objem trojuholníkovej pyramídy 15 cm 3. Je známe, že údaj je správny. Apotéma b bočného rebra by sa mala nájsť, ak je známe, že výška pyramídy je 4 cm.

Pretože objem a výška postavy sú známe, môžete pomocou vhodného vzorca vypočítať dĺžku strany jej základne. Máme:

V \u003d √3 / 12 × a 2 × h \u003d\u003e

a \u003d 12 × V / (√3 × h) \u003d 12 × 15 / (√3 × 4) \u003d 25,98 cm

a b \u003d √ (h 2 + a 2/12) \u003d √ (16 + 25,98 2/12) \u003d 8,5 cm

Vypočítaná dĺžka apotému figúry sa ukázala byť väčšia ako jej výška, čo platí pre akýkoľvek typ pyramídy.

Pyramída sa nazýva obdĺžniková, ktorej jeden z okrajov je kolmý na jej základňu, to znamená, že stojí v uhle 90 °. Táto hrana je tiež výškou obdĺžnikovej pyramídy. Vzorec pre objem pyramídy ako prvý odvodil Archimedes.

Budete potrebovať

• - pero;
• - papier;
• - kalkulačka.

Inštrukcie

• V obdĺžnikovej pyramíde bude výškou jej okraj, ktorý je v uhle 90 ° k základni. Spravidla sa plocha základne obdĺžnikovej pyramídy označuje ako S a výška, ktorá je tiež okrajom pyramídy, je h. Potom, aby sme našli objem tejto pyramídy, je potrebné vynásobiť plochu jej základne výškou a vydeliť 3. Objem obdĺžnikovej pyramídy sa teda vypočíta podľa vzorca: V \u003d (S * h) / 3.

Prečítajte si vyhlásenie o probléme. Povedzme, že máte obdĺžnikovú pyramídu ABCDES. Na jeho základni leží päťuholník s rozlohou 45 cm². Dĺžka JV výšky je 30 cm.

• Postav pyramídu podľa zadaných parametrov. Vymenujte jeho základňu latinskými písmenami ABCDE a hornú časť pyramídy - S. Pretože sa kresba bude premietať v projekčnej rovine, aby ste sa nezamieňali, označte údaje, ktoré už poznáte: SE \u003d 30 cm; S (ABCDE) \u003d 45 cm².
• Pomocou vzorca vypočítajte objem obdĺžnikovej pyramídy. Nahradením údajov a výpočtov sa ukazuje, že objem obdĺžnikovej pyramídy bude: V \u003d (45 * 30) / 3 \u003d cm³.
• Ak vyhlásenie o probléme neobsahuje údaje o základnej ploche a výške pyramídy, musia sa vykonať ďalšie výpočty, aby sa získali tieto hodnoty. Základná plocha sa vypočíta podľa toho, ktorý mnohouholník leží na jeho základni.
• Výšku pyramídy zistíte, ak poznáte preponu ktoréhokoľvek z pravouhlých trojuholníkov EDS alebo EAS a uhol, pod ktorým je bočná plocha SD alebo SA sklonená k svojej základni. Vypočítajte úsek SE pomocou sínusovej vety. Bude to výška obdĺžnikovej pyramídy.

Tu budeme analyzovať príklady spojené s pojmom objem. Na vyriešenie týchto úloh je nevyhnutné poznať vzorec pre objem pyramídy:

S

h - výška pyramídy

Základom môže byť akýkoľvek mnohouholník. Ale pri väčšine problémov na skúške je stav zvyčajne o správnych pyramídach. Dovoľte mi pripomenúť jednu z jej vlastností:

Horná časť pravidelnej pyramídy je premietnutá do stredu svojej základne

Pozrite sa na priemet pravidelných trojuholníkových, štvoruholníkových a šesťuholníkových pyramíd (TOP VIEW):

Dočítate sa na blogu, kde sa skúmali úlohy spojené s nájdením objemu pyramídy.Zvážte úlohy:

27087. Nájdite objem pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ktorej bočné strany základne sa rovnajú 1 a výška sa rovná koreňu troch.

S - plocha základne pyramídy

h - výška pyramídy

Nájdeme oblasť základne pyramídy, jedná sa o pravidelný trojuholník. Použime vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi, čo znamená:

Odpoveď: 0,25

27088. Nájdite výšku pravidelnej trojuholníkovej pyramídy, ktorej strany základne sa rovnajú 2 a objem sa rovná koreňu troch.

Pojmy ako výška pyramídy a vlastnosti jej základne súvisia s objemovým vzorcom:

S - plocha základne pyramídy

h - výška pyramídy

Poznáme samotný objem, môžeme nájsť plochu základne, keďže poznáme strany trojuholníka, ktorý je základňou. Ak poznáme uvedené hodnoty, ľahko zistíme výšku.

Na nájdenie oblasti základne použijeme vzorec - plocha trojuholníka sa rovná polovici súčinu susedných strán sínusom uhla medzi nimi, čo znamená:

Nahradením týchto hodnôt do objemového vzorca teda môžeme vypočítať výšku pyramídy:

Výška je tri.

Odpoveď: 3

27109. V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde je výška 6, bočná hrana 10. Nájdite jej objem.

Objem pyramídy sa vypočíta podľa vzorca:

S - plocha základne pyramídy

h - výška pyramídy

Poznáme výšku. Musíte nájsť plochu základne. Pripomínam, že vrchol pravidelnej pyramídy sa premieta do stredu svojej základne. Základom pravidelnej štvoruholníkovej pyramídy je štvorec. Nájdeme jeho uhlopriečku. Zvážte pravouhlý trojuholník (zvýraznený modrou farbou):

Segment spájajúci stred štvorca s bodom B je noha, ktorá je polovicou uhlopriečky štvorca. Túto nohu môžeme vypočítať pomocou Pytagorovej vety:

Preto BD \u003d 16. Vypočítajte plochu štvorca pomocou vzorca pre plochu štvoruholníka:

V dôsledku toho:

Teda objem pyramídy je:

Odpoveď: 256

27178. V pravidelnej štvoruholníkovej pyramíde je výška 12, objem 200. Nájdite bočný okraj tejto pyramídy.

Výška pyramídy a jej objem a objem sú známe, takže môžeme nájsť plochu štvorca, ktorý je základňou. Ak poznáme plochu štvorca, môžeme nájsť jeho uhlopriečku. Ďalej, berúc do úvahy pravouhlý trojuholník Pytagorovej vety, vypočítame bočnú hranu:

Nájdite plochu štvorca (základňa pyramídy):

Vypočítajme uhlopriečku štvorca. Pretože jeho plocha je 50, strana sa bude rovnať koreňu päťdesiatky a Pytagorovou vetou:

Bod O rozdeľuje uhlopriečku BD na polovicu, čo znamená nohu správny trojuholník OB \u003d 5.

Môžeme teda vypočítať, čo je bočný okraj pyramídy:

Odpoveď: 13

245353. Nájdite objem pyramídy zobrazenej na obrázku. Jeho základňou je mnohouholník, ktorého susedné strany sú kolmé a jeden z bočných okrajov je kolmý na základnú rovinu a rovná sa 3.

Ako už bolo mnohokrát povedané - objem pyramídy sa počíta podľa vzorca:

S - plocha základne pyramídy

h - výška pyramídy

Bočný okraj kolmý na základňu je tri, čo znamená, že výška pyramídy je tri. Základňa pyramídy je mnohouholník s plochou rovnajúcou sa:

Touto cestou:

Odpoveď: 27

27086. Základňu pyramídy tvorí obdĺžnik so stranami 3 a 4. Jeho objem je 16. Nájdite výšku tejto pyramídy.

To je všetko. Úspech pre vás!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste nám o stránke povedali na sociálnych sieťach.