Definícia 2

Polygón vyhovujúci podmienke definície 1 sa nazýva ohraničený okolo kruhu.

Obrázok 1. Vpísaný kruh

Veta 1 (na kruhu vpísanom do trojuholníka)

Veta 1

Kruh môžete vpísať do ľubovoľného trojuholníka a navyše iba do jedného.

Dôkazy.

Zvážte trojuholník $ ABC $. Nakreslíme do nej priamky, ktoré sa pretínajú v bode $ O $ a nakreslíme z nej kolmé strany na strany trojuholníka (obr. 2)

Obrázok 2. Ilustrácia vety 1

Existencia: Nakreslite kruh so stredom v bode $ O $ a polomerom $ OK. \\ $ Pretože bod $ O $ leží na troch poliach, je rovnako vzdialený od strán trojuholníka $ ABC $. To znamená, $ OM \u003d OK \u003d OL $. Zostavená kružnica preto tiež prechádza bodmi $ M \\ a \\ L $. Pretože $ OM, OK \\ a \\ OL $ sú kolmé na strany trojuholníka, potom sa podľa vety o dotyčnici kružnice dotkne vytvorená kružnica všetkých troch strán trojuholníka. Pretože je trojuholník ľubovoľný, je možné do ľubovoľného trojuholníka vpísať kruh.

Jedinečnosť: Predpokladajme, že do trojuholníka $ ABC $ možno vpísať ešte jeden kruh so stredom v bode $ O "$. Jeho stred je rovnako vzdialený od bočných strán trojuholníka, a preto sa zhoduje s bodom $ O $ $ a má polomer rovný dĺžke $ OK $. Ale potom sa tento kruh bude zhodovať s prvým.

Veta je dokázaná.

Dodatok 1: Stred kruhu vpísaného do trojuholníka leží v priesečníku jeho pôdorysov.

Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s konceptom vpísaného kruhu:

Nie každý štvoruholník môže byť vpísaný do kruhu.

V ktoromkoľvek opísanom štvoruholníku sú súčty opačných strán rovnaké.

Ak sú súčty protiľahlých strán konvexného štvoruholníka rovnaké, možno do neho vpísať kruh.

Definícia 3

Ak všetky vrcholy mnohouholníka ležia na kružnici, potom sa kružnica nazýva opísaná okolo mnohouholníka (obr. 3).

Definícia 4

Polygón spĺňajúci podmienku definície 2 sa nazýva vpísaný do kruhu.

Obrázok 3. Opísaná kružnica

Veta 2 (na kruhu vymedzenom okolo trojuholníka)

Veta 2

Okolo ľubovoľného trojuholníka môžete opísať kruh a navyše iba jeden.

Dôkazy.

Zvážte trojuholník $ ABC $. Nakreslíme doň kolmé čiary pretínajúce sa v bode $ O $ a spojíme ho s vrcholmi trojuholníka (obr. 4)

Obrázok 4. Ilustrácia vety 2

Existencia: Zostrojte kruh so stredom $ O $ a polomerom $ OC $. Bod $ O $ je v rovnakej vzdialenosti od vrcholov trojuholníka, to znamená $ OA \u003d OB \u003d OC $. Konštruovaná kružnica následne prechádza cez všetky vrcholy tohto trojuholníka, čo znamená, že je opísaná okolo tohto trojuholníka.

Jedinečnosť: Predpokladajme, že okolo trojuholníka $ ABC $ možno opísať ďalšiu kružnicu so stredom v bode $ O "$. Jeho stred je rovnako vzdialený od vrcholov trojuholníka, a preto sa zhoduje s bodom $ O $ a má polomer rovný dĺžke $ OC. $ Ale potom sa tento kruh bude zhodovať s prvým.

Veta je dokázaná.

Dodatok 1: Stred kruhu opísaného okolo trojuholníka sa zhoduje s priesečníkom jeho kruhu stredné kolmice.

Tu je niekoľko ďalších faktov súvisiacich s konceptom opísanej kružnice:

Nie je vždy možné opísať kruh okolo štvoruholníka.

V ľubovoľnom vpísanom štvoruholníku je súčet opačných uhlov $ (180) ^ 0 $.

Ak je súčet opačných uhlov štvoruholníka $ (180) ^ 0 $, potom je možné okolo neho opísať kruh.

Ukážka problému s pojmami vpísanej a opísanej kružnice

Príklad 1

V rovnoramennom trojuholníku je základňa 8 cm, bočná strana 5 cm. Nájdite polomer vpísanej kružnice.

Rozhodnutie.

Zvážte trojuholník $ ABC $. Z dodatku 1 vieme, že stred vpísanej kružnice leží na priesečníku dvojíc. Nakreslite polia $ AK $ a $ BM $, ktoré sa pretínajú v bode $ O $. Nakreslite kolmicu $ OH $ z bodu $ O $ na stranu $ BC $ $. Poďme nakresliť obrázok:

Obrázok 5.

Pretože trojuholník je rovnoramenný, potom $ BM $ je medián aj výška. Pytagorovou vetou $ (BM) ^ 2 \u003d (BC) ^ 2- (MC) ^ 2, \\ BM \u003d \\ sqrt ((BC) ^ 2- \\ frac ((AC) ^ 2) (4)) \u003d \\ sqrt (25-16) \u003d \\ sqrt (9) \u003d 3 $. $ OM \u003d OH \u003d r $ - požadovaný polomer vpísanej kružnice. Pretože $ MC $ a $ CH $ sú segmenty pretínajúcich sa dotyčníc, potom podľa tečiacej vety o pretínaní máme $ CH \u003d MC \u003d 4 \\ cm $. Preto $ BH \u003d 5-4 \u003d 1 \\ cm $. $ BO \u003d 3-r $. Z trojuholníka $ OHB $ Pytagorovou vetou dostaneme:

\\ [((3-r)) ^ 2 \u003d r ^ 2 + 1 \\] \\ \\ \\

Odpoveď: $ \\ frac (4) (3) $.

Polomer je čiarový segment, ktorý spája akýkoľvek bod v kruhu s jeho stredom. Toto je jedna z najdôležitejších charakteristík tohto obrázka, pretože z neho možno vypočítať všetky ostatné parametre. Ak viete, ako nájsť polomer kruhu, môžete vypočítať jeho priemer, dĺžku a plochu. V prípade, že je daná postava vpísaná alebo popísaná okolo druhej, dá sa vyriešiť rad ďalších problémov. Dnes budeme analyzovať základné vzorce a vlastnosti ich aplikácie.

Známe množstvá

Ak viete, ako nájsť polomer kruhu, ktorý sa zvyčajne označuje písmenom R, potom sa dá vypočítať z jednej charakteristiky. Medzi tieto hodnoty patria:

• obvod (C);
• priemer (D) - segment (alebo skôr akord), ktorý prechádza stredovým bodom;
• plocha (S) - priestor, ktorý je obmedzený týmto obrázkom.

Po obvode

Ak je v probléme známa hodnota C, potom R \u003d C / (2 * P). Tento vzorec je derivát. Ak vieme, aký je obvod kruhu, potom si ho už netreba pamätať. Predpokladajme, že v úlohe C \u003d 20 m. Ako v tomto prípade zistiť polomer kruhu? Stačí zapojiť známu hodnotu do vyššie uvedeného vzorca. Upozorňujeme, že v takýchto problémoch je vždy naznačená znalosť čísla P. Pre uľahčenie výpočtov budeme brať jeho hodnotu ako 3,14. Riešenie v tomto prípade vyzerá takto nasledujúcim spôsobom: zapíšeme si, aké hodnoty sú dané, zobrazíme vzorec a vykonáme výpočty. V odpovedi píšeme, že polomer je 20 / (2 * 3,14) \u003d 3,19 m. Je dôležité nezabudnúť na to, čo sme si mysleli, a spomenúť názov jednotiek merania.

Podľa priemeru

Hneď zdôrazňujeme, že ide o najjednoduchší typ problému, v ktorom sa kladie otázka, ako nájsť polomer kruhu. Ak na teste narazíte na takýto príklad, môžete byť pokojní. Nepotrebujete ani kalkulačku! Ako sme už povedali, priemer je úsečka alebo presnejšie akord, ktorý prechádza stredom. V tomto prípade sú všetky body kruhu v rovnakej vzdialenosti. Preto sa tento akord skladá z dvoch polovíc. Každý z nich je polomer, ktorý vyplýva z jeho definície ako úsečky, ktorá spája bod na kružnici a jeho stred. Ak je priemer v probléme známy, potom pre nájdenie polomeru stačí túto hodnotu vydeliť dvoma. Vzorec vyzerá takto: R \u003d D / 2. Napríklad, ak je priemer v úlohe 10 m, potom je polomer 5 metrov.

Podľa oblasti kruhu

Tento typ problému sa zvyčajne nazýva najťažší. Je to primárne kvôli neznalosti vzorca. Ak viete, ako v tomto prípade zistiť polomer kruhu, potom je zvyšok technologická záležitosť. V kalkulačke musíte vopred nájsť ikonu výpočtu druhej odmocniny. Plocha kruhu je súčinom čísla P a polomeru vynásobeného samotným. Vzorec vyzerá takto: S \u003d P * R2. Izolovaním polomeru na jednej strane rovnice môžete ľahko vyriešiť problém. Bude sa rovať druhej odmocnine kvocientu vydelenia plochy číslom P. Ak S \u003d 10 m, potom R \u003d 1,78 metra. Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách je dôležité nezabudnúť na použité jednotky.

Ako nájsť polomer opísanej kružnice

Predpokladajme, že a, b, c sú strany trojuholníka. Ak poznáte ich hodnoty, môžete nájsť okolo nich opísaný polomer kruhu. Aby ste to dosiahli, musíte najskôr zistiť polovičný obvod trojuholníka. Aby sme tomu ľahšie porozumeli, označme to malým písmenom p. Bude sa rovnať polovici súčtu strán. Jeho vzorec je: p \u003d (a + b + c) / 2.

Vypočítame tiež súčin dĺžok strán. Pre pohodlie to označme písmenom S. Vzorec pre polomer opísanej kružnice bude vyzerať takto: R \u003d S / (4 * √ (p * (p - a) * (p - b) * (p - c)).

Uvažujme o príklade úlohy. Máme kruh okolo trojuholníka. Dĺžka jeho strán je 5, 6 a 7 cm. Najprv vypočítame semiperimeter. V našom probléme to bude rovných 9 centimetrov. Teraz poďme vypočítať súčin dĺžok strán - 210. Výsledok medzivýpočtov dosaďte do vzorca a zistite výsledok. Polomer opísanej kružnice je 3,57 centimetra. Odpoveď si zapíšeme, nezabúdame na jednotky merania.

Ako nájsť polomer vpísanej kružnice

Predpokladajme, že a, b, c sú dĺžky strán trojuholníka. Ak poznáte ich hodnoty, môžete nájsť polomer vpísanej kružnice. Najprv musíte nájsť jeho poloobvod. Pre ľahšie pochopenie to označme malým písmenom p. Vzorec na jeho výpočet je nasledovný: p \u003d (a + b + c) / 2. Tento typ problému je o niečo jednoduchší ako ten predchádzajúci, takže už nie sú potrebné žiadne ďalšie výpočty.

Polomer vpísanej kružnice sa vypočíta podľa tohto vzorca: R \u003d √ ((p - a) * (p - b) * (p - c) / p). Zvážte to na konkrétny príklad... Predpokladajme, že úloha popisuje trojuholník so stranami 5, 7 a 10 cm, do ktorého je vpísaný kruh, ktorého polomer je potrebné nájsť. Najskôr nájdeme poloobvod. V našom probléme to bude rovných 11 cm. Teraz to dosadíme do hlavného vzorca. Polomer bude rovný 1,65 centimetra. Odpoveď si zapíšeme a nezabudneme na správne jednotky merania.

Kruh a jeho vlastnosti

Každý geometrický tvar má svoje vlastné charakteristiky. Správnosť riešenia problémov závisí od ich pochopenia. Kruh ich má tiež. Často sa používajú pri riešení príkladov s opísanými alebo vpísanými obrázkami, pretože poskytujú jasnú predstavu o takejto situácii. Medzi nimi:

• Priamka môže mať priesečník nula, jeden alebo dva body s kruhom. V prvom prípade sa s ním nepretína, v druhom je dotyčnicový, v treťom - sekančný.
• Ak vezmeme tri body, ktoré neležia na jednej priamke, potom sa cez ne dá preniesť iba jeden kruh.
• Priamka môže byť dotyčnica k dvom číslam naraz. V takom prípade prejde bodom, ktorý leží na úsečke spájajúcej stredy kruhov. Jeho dĺžka sa rovná súčtu polomerov týchto čísel.
• Cez jeden alebo dva body je možné nakresliť nekonečné množstvo kruhov.

Obvod - geometrický útvar, zoznámenie s ktorým sa vyskytuje späť v predškolský vek... Neskôr sa dozviete jeho vlastnosti a vlastnosti. Ak vrcholy ľubovoľného polygónu ležia na kružnici a samotná postava sa nachádza v nej, potom je pred vami geometrický útvar vpísaný do kruhu.

Koncept polomeru charakterizuje vzdialenosť od ktoréhokoľvek bodu kruhu k jeho stredu. Druhá z nich je umiestnená na priesečníku kolmíc na každú stranu mnohouholníka. Po definovaní terminológie zvážte výrazy, ktoré vám pomôžu nájsť polomer pre akýkoľvek druh mnohouholníka.

Ako nájsť polomer opísanej kružnice - pravidelný mnohouholník

Daný tvar môže mať ľubovoľný počet vrcholov, ale všetky jeho strany sú rovnaké. Na zistenie polomeru kruhu, v ktorom bol umiestnený pravidelný mnohouholník, stačí poznať počet strán figúry a ich dĺžku.
R \u003d b / 2 sín (180 ° / n),
b - dĺžka strany,
n je počet vrcholov (alebo strán) obrázku.
Vyššie uvedený vzťah pre prípad šesťuholníka bude nasledovný:
R \u003d b / 2sin (180 ° / 6) \u003d b / 2sin30 °,
R \u003d b.

Ako nájsť polomer opísanej kružnice - obdĺžnika

Keď je v kruhu štvoruholník, ktorý má 2 páry rovnobežných strán a vnútorné rohy 90 °, priesečník uhlopriečok mnohouholníka bude jeho stredom. Pomocou Pythagorovho vzťahu, ako aj vlastností obdĺžnika, získame výrazy potrebné na nájdenie polomeru:
R \u003d (√m 2 + l 2) / 2,
R \u003d d / 2,
m, l - boky obdĺžnika,
d je jeho uhlopriečka.

Ako nájsť polomer opísanej kružnice - štvorca

Do kruhu vložte štvorec. Posledný z nich je pravidelný mnohouholník so 4 stranami. Pretože štvorec je špeciálnym prípadom obdĺžnika, potom sú jeho uhlopriečky tiež polovičné v mieste ich priesečníka.
R \u003d (√m 2 + l 2) / 2 \u003d (√m 2 + m 2) / 2 \u003d m√2 / 2 \u003d m / √2,
R \u003d d / 2,
m - strana štvorca,
d je jeho uhlopriečka.

Ako nájsť polomer opísanej kružnice - rovnoramenného lichobežníka

Ak je lichobežník umiestnený v kruhu, je na určenie polomeru potrebné poznať dĺžky jeho strán a uhlopriečky.
R \u003d m * l * d / 4√p (p - m) * (p - l) * (p - d),
p \u003d (m + l + d) / 2,
m, l - strany lichobežníka,
d je jeho uhlopriečka.

Ako nájsť polomer opísanej kružnice - trojuholníka

Ľubovoľný trojuholník

• Na určenie polomeru kruhu, ktorý popisuje trojuholník, stačí poznať veľkosť jeho strán.
  R \u003d m * l * k / 4√p (p - m) * (p - l) * (p - k),
  p \u003d (m + l + k) / 2,
  m, l, k - strany trojuholníka.
• Ak sú známe dĺžka strany a miera stupňa uhla opačného k nej, potom sa polomer určí takto:
  Pre trojuholník MLK
  R \u003d m / 2sinM \u003d l / 2sinL \u003d k / 2sinK,
  
  M, L, K - jeho rohy (vrcholy).
• Ak máte plochu obrázku, môžete vypočítať aj polomer kruhu, v ktorom je umiestnený:
  R \u003d m * l * k / 4S,
  m, l, k - strany trojuholníka,
  S je jeho oblasť.

Rovnoramenný trojuholník

Ak je trojuholník rovnoramenný, potom sú jeho 2 strany rovnaké. Pri opise takého obrázku možno polomer zistiť v nasledujúcom pomere:
R \u003d m * l * k / 4√p (p - m) * (p - l) * (p - k), ale m \u003d l
R \u003d m 2 / √ (4m 2 - k 2),
m, k - strany trojuholníka.

Správny trojuholník

Ak je jeden z rohov trojuholníka rovný a v blízkosti obrázka je opísaný kruh, potom je na určenie dĺžky jeho polomeru potrebná prítomnosť známych strán trojuholníka.
R \u003d (√m 2 + l 2) / 2 \u003d k / 2,
m, l - nohy,
k - prepona.

V modernom strojárstve sa používa veľa prvkov a náhradných dielov, ktoré majú vo svojej štruktúre vonkajšie aj vnútorné kruhy. Najvýznamnejšími príkladmi sú puzdro ložiska, časti motora, súpravy nábojov a oveľa viac. Pri ich výrobe sa používajú nielen špičkové prístroje, ale aj poznatky z geometrie, najmä informácie o kružniciach trojuholníka. S týmito poznatkami sa podrobnejšie oboznámime nižšie.

V kontakte s

Ktorý kruh je vpísaný a ktorý je opísaný

Najskôr si zapamätajte, že kruh sa nazýva nekonečný množina bodov v rovnakej vzdialenosti od stredu... Ak je dovolené vo vnútri mnohouholníka vytvoriť kruh, ktorý bude mať s každou stranou iba jeden spoločný priesečník, bude sa nazývať vpísaný. Opísaná kružnica (nie kruh, jedná sa o rôzne koncepty) je taký lokus bodov, v ktorom bude mať zostrojený útvar s daným mnohouholníkom spoločné body iba k vrcholom mnohouholníka. Poďme sa oboznámiť s týmito dvoma konceptmi na názornejšom príklade (viď obr. 1.).

Obrázok 1. Napísané a opísané kruhy trojuholníka

Obrázok zobrazuje dve číslice veľkého a malého priemeru, ktorých stredom sú G a I. Kruh s väčšou hodnotou sa nazýva opísaná kružnica Δ ABC a malý kruh je naopak vpísaný do Δ ABC.

Ak chcete opísať okolie trojuholníka, potrebujete stredom každej strany nakreslite kolmú čiaru(tj. 90 ° uhol) je priesečník, hrá kľúčovú úlohu. Je to ona, ktorá bude predstavovať stred opísanej kružnice. Pred nájdením kruhu, ktorého stred je v trojuholníku, musíte vytvoriť každý roh a potom zvoliť priesečník priamok. Bude zase stredom vpísanej kružnice a jej polomer bude za akýchkoľvek podmienok kolmý na obe strany.

Na otázku: „Koľko môže byť napísaných kruhov pre mnohouholník s tromi?“ okamžite odpovieme, že do ľubovoľného trojuholníka môžete vpísať kruh a navyše iba jeden. Pretože existuje iba jeden priesečník všetkých pôdorysov a jeden priesečník kolmíc vychádzajúcich zo stredov strán.

Vlastnosť kruhu, do ktorého patria vrcholy trojuholníka

Opísaný kruh, ktorý závisí od dĺžok strán v základni, má svoje vlastné vlastnosti. Uveďme vlastnosti opísanej kružnice:

Aby sme jasnejšie pochopili princíp opísanej kružnice, rozhodujeme sa jednoduchá úloha... Predpokladajme, že je uvedený trojuholník Δ ABC, ktorého strany sú 10, 15 a 8,5 cm. Polomer opísanej kružnice okolo trojuholníka (FB) je 7,9 cm. Nájdite hodnotu mierky každého uhla a cez ne plochu trojuholníka.

Obrázok 2. Nájdenie polomeru kruhu cez pomer strán a sínusov uhlov

Riešenie: opierajúc sa o predtým naznačenú vetu sínusov, nájdeme hodnotu sínusu každého uhla osobitne. Podmienkou je známe, že strana AB je 10 cm. Vypočítajte hodnotu C:

Pomocou hodnôt Bradisovej tabuľky zistíme, že mierka stupňa uhla C je 39 °. Rovnakou metódou nájdeme ďalšie miery uhlov:

Ako vieme, že CAB \u003d 33 ° a ABC \u003d 108 °. Teraz, keď poznáme hodnoty sínusov každého z rohov a polomeru, nájdeme oblasť nahradením nájdených hodnôt:

Odpoveď: plocha trojuholníka je 40,31 cm² a uhly 33 °, 108 ° a 39 °.

Dôležité!Pri riešení problémov s takýmto plánom bude užitočné mať vždy na telefóne smartphone tabuľky Bradis alebo zodpovedajúcu aplikáciu, pretože manuálny proces sa môže dlho oneskoriť. Kvôli ušetreniu viac času tiež nie je potrebné budovať všetky tri stredy kolmice alebo troch polôh. Ktorákoľvek tretina z nich sa vždy pretne na križovatke prvých dvoch. A pre ortodoxnú stavbu je obvykle hotová tretia. Možno je to z hľadiska algoritmu nesprávne, ale pri skúške alebo iných skúškach to šetrí čas.

Počet zapísaných polomerov kruhu

Všetky body kruhu sú rovnako vzdialené od jeho stredu v rovnakej vzdialenosti. Dĺžka tohto segmentu (od a do) sa nazýva polomer. Podľa toho, aké máme prostredie, existujú dva typy - interný a externý. Každý z nich sa počíta podľa vlastného vzorca a priamo súvisí s výpočtom parametrov, ako sú:

• námestie;
• miera stupňa každého uhla;
• bočné dĺžky a obvod.

Obrázok 3. Umiestnenie vpísanej kružnice do trojuholníka

Dĺžku vzdialenosti od stredu k bodu dotyku na oboch stranách môžete vypočítať nasledujúcimi spôsobmi: h cez boky, boky a rohy (pre rovnoramenný trojuholník).

Pomocou poloobvodu

Polovičný obvod sa nazýva polovica súčtu dĺžok všetkých strán. Táto metóda je považovaná za najpopulárnejšiu a najuniverzálnejšiu, pretože bez ohľadu na to, aký typ trojuholníka je daný stavom, je vhodný pre každého. Poradie výpočtu je nasledovné:

Ak je uvedené správne

Jednou z malých výhod „dokonalého“ trojuholníka je tá vpísané a opísané kruhy majú v jednom bode stred... To je užitočné pri kreslení tvarov. V 80% prípadov je však odpoveď „škaredá“. Tu to znamená, že polomer vpísanej oblasti bude veľmi zriedka celý, skôr naopak. Pre zjednodušený počet sa používa vzorec pre polomer vpísanej kružnice v trojuholníku:

Ak sú boky rovnako dlhé

Jeden z podtypov úloh pre štát. pri skúškach sa zistí polomer vpísanej kružnice trojuholníka, ktorého dve strany sú si navzájom rovné a tretia nie. V takom prípade odporúčame použiť tento algoritmus, ktorý umožní hmatateľnú úsporu času pri hľadaní priemeru vpísanej oblasti. Polomer vpísanej kružnice v trojuholníku s rovnakou „bočnou“ hranou sa vypočíta podľa vzorca:

V nasledujúcom probléme si ukážeme vizuálnejšiu aplikáciu týchto vzorcov. Majme trojuholník (Δ HJI), v ktorom je kružnica vpísaná do bodu K. Dĺžka strany HJ \u003d 16 cm, JI \u003d 9,5 cm a strany HI je 19 cm (obrázok 4). Nájdite polomer vpísanej kružnice, pričom poznáte strany.

Obrázok 4. Nájdenie hodnoty vpísaného polomeru kružnice

Riešenie: aby sme našli polomer vpísanej oblasti, nájdeme poloobvod:

Odtiaľto, keď poznáme výpočtový mechanizmus, zistíme ďalšiu hodnotu. Aby ste to dosiahli, potrebujete dĺžky každej strany (dané podmienkou), ako aj polovicu obvodu, ukazuje sa:

Z toho vyplýva, že požadovaný polomer je 3,63 cm. Podľa podmienky sú všetky strany rovnaké, potom sa požadovaný polomer bude rovnať:

Za predpokladu, že mnohouholník je rovnoramenný (napríklad i \u003d h \u003d 10 cm, j \u003d 8 cm), bude sa priemer vnútornej kružnice v strede K rovnať:

Vo vyhlásení o úlohe môže byť uvedený trojuholník s uhlom 90 °, v takom prípade nie je potrebné vzorec zapamätať. Prepona trojuholníka sa bude rovnať priemeru. Jasnejšie to vyzerá takto:

Dôležité!Ak je úlohou nájsť vnútorný polomer, neodporúčame vykonávať výpočty pomocou hodnôt sínusov a kosínusov uhlov, ktorých tabuľková hodnota nie je presne známa. Ak nie je možné zistiť dĺžku inak, neskúšajte hodnotu „vytiahnuť“ spod koreňa. V 40% problémov bude výsledná hodnota transcendentálna (t. J. Nekonečná) a komisia nemusí počítať odpoveď (aj keď je správna) pre jej nepresnosť alebo nesprávnu prezentáciu. Venujte osobitnú pozornosť tomu, ako je možné upraviť vzorec pre polomer opísanej kružnice trojuholníka v závislosti od navrhovaných údajov. Takéto „prázdne miesta“ vám umožňujú vopred „vidieť“ scenár riešenia problému a zvoliť najekonomickejšie riešenie.

Polomer a plocha vnútorného kruhu

Na výpočet plochy trojuholníka vpísaného do kruhu použite iba symbol polomer a bočné dĺžky mnohouholníka:

Ak hodnota polomeru nie je priamo uvedená vo výroku o probléme, ale iba v oblasti, označený vzorec oblasti sa transformuje na nasledujúci:

Uvažujme o pôsobení posledného vzorca s konkrétnejším príkladom. Predpokladajme, že je uvedený trojuholník, v ktorom je vpísané prostredie. Plocha kruhu je 4π a strany sú 4, 5 a 6 cm. Vypočítajme plochu daného mnohouholníka výpočtom semiperimetra.

Pomocou vyššie uvedeného algoritmu vypočítame plochu trojuholníka z hľadiska polomeru vpísanej kružnice:

Vďaka tomu, že do ľubovoľného trojuholníka je možné vpísať kruh, sa počet variácií pri hľadaní oblasti výrazne zvyšuje. Tých. hľadanie oblasti trojuholníka zahŕňa povinné znalosti o dĺžke každej strany, ako aj o hodnote polomeru.

Trojuholník vpísaný do stupňa geometrie kruhu 7

Obdĺžnikové trojuholníky vpísané do kruhu

Záver

Z týchto vzorcov sa dá ubezpečiť, že zložitosť akéhokoľvek problému pomocou vpísaných a opísaných kruhov spočíva iba v ďalších krokoch potrebných na nájdenie požadovaných hodnôt. Problémy tohto typu si vyžadujú iba dôkladné pochopenie podstaty vzorcov, ako aj racionality ich uplatňovania. Z praxe riešenia si všimneme, že v budúcnosti sa stred opísanej kružnice objaví v ďalších témach geometrie, takže by sa s ním nemalo začať. V opačnom prípade môže byť rozhodnutie oneskorené pomocou zbytočných krokov a logických záverov.

Je vidieť, že každá strana trojuholník, kolmica vedená z jej stredu a úseky spájajúce priesečník kolmíc s vrcholmi tvoria dva rovnaké obdĺžnikové trojuholník... Segmenty MA, MB, MC sú rovnaké.

Dostanete trojuholník. Nájdite stred každej strany - vezmite pravítko a zmerajte strany. Výsledné rozmery rozdeľte na polovicu. Odložte od vrcholov v každej polovici svojej veľkosti. Výsledky označte bodkami.

Z každého bodu položte kolmo na stranu. Priesečník týchto kolmíc bude stredom opísanej kružnice. Na nájdenie stredu kruhu stačia dve kolmice. Tretia je určená na samočinné testovanie.

Venujte pozornosť - v trojuholníku, kde sú všetky rohy ostré, sú križovatky vo vnútri trojuholník... V pravouhlom trojuholníku - leží na preponu. B - je mimo neho. Kolmá na stranu oproti tupému uhlu navyše nie je do stredu trojuholníka von.

Poznámka

Existuje veta o sínusoch, ktorá ustanovuje vzťah medzi stranami trojuholníka, jeho uhlami a polomermi opísanej kružnice. Táto závislosť je vyjadrená vzorcom: a / sina \u003d b / sinb \u003d c / sinc \u003d 2R, kde a, b, c sú strany trojuholníka; sina, sinb, sinc - sínusy uhlov opačných k týmto stranám; R je polomer kruhu, ktorý je možné opísať okolo trojuholníka.

Zdroje:

• ako opísať kruh štvoruholníka

Podľa definície popísané kruh musí prechádzať cez všetky vrcholy rohov určeného mnohouholníka. Vôbec nezáleží na tom, o aký mnohouholník ide - trojuholník, štvorec, obdĺžnik, lichobežník alebo niečo iné. Tiež nezáleží na tom, či je mnohouholník správny alebo nepravidelný. Je len potrebné vziať do úvahy, že okolo sú polygóny kruh nemožno opísať. Môžete vždy opísať kruh okolo trojuholníka. Pokiaľ ide o štvoruholníky, potom kruh možno opísať okolo štvorca alebo obdĺžnika alebo rovnoramenného lichobežníka.

Budete potrebovať

• Prednastavený mnohouholník
• Vládca
• Gon
• Ceruzka
• Kompas
• Uhlomer
• Sínusový a kosínusový stôl
• Matematické pojmy a vzorce
• Pytagorova veta
• Sínusova veta
• Kosinová veta
• Znaky podobnosti trojuholníkov

Inštrukcie

Zostrojte mnohouholník s danými parametrami a tým, či je možné ich opísať kruh... Ak dostanete štvoruholník, spočítajte súčty jeho opačných uhlov. Každý z nich by mal mať 180 °.

Popísať kruh, musíte vypočítať jeho polomer. Pamätajte, kde je stred kruhu v rôznych mnohouholníkoch. V trojuholníku je na priesečníku všetkých výšok tohto trojuholníka. V štvorci a obdĺžnikoch - v priesečníku uhlopriečok, pre lichobežník - v priesečníku osi súmernosti s čiarou spájajúcou stredy strán a pre akýkoľvek iný konvexný mnohouholník - v priesečníku stredových kolmíc na strany.

Vypočítajte priemer kruhu ohraničeného okolo štvorca a obdĺžnika pomocou Pytagorovej vety. Bude sa rovnať odmocnina zo súčtu štvorcov strán obdĺžnika. Pre štvorec, ktorý má všetky strany rovnaké, sa uhlopriečka rovná druhej odmocnine dvojnásobku druhej mocniny strany. Delením priemeru o 2 sa získa polomer.

Vypočítajte polomer opísanej kružnice pre trojuholník. Pretože parametre trojuholníka sú špecifikované v podmienkach, vypočítajte polomer podľa vzorca R \u003d a / (2 sinA), kde a je jedna zo strán trojuholníka? je roh oproti nej. Namiesto tejto strany môžete vziať stranu a roh oproti nej.

Vypočítajte polomer kruhu okolo lichobežníka. R \u003d a * d * c / 4 v (p * (pa) * (pd) * (pc)) V tomto vzorci sú a a b známe z podmienok základne lichobežníka, h je výška, d je uhlopriečka, p \u003d 1 / 2 * (a + d + c). Vypočítajte chýbajúce hodnoty. Výška sa dá vypočítať pomocou sínusovej alebo kosínusovej vety, dĺžky strán lichobežníka a uhly sú dané v podmienkach. Ak poznáte výšku a berieme do úvahy podobnosti trojuholníkov, vypočítajte uhlopriečku. Potom zostáva vypočítať polomer pomocou vyššie uvedeného vzorca.

Podobné videá

Užitočná rada

Ak chcete vypočítať polomer kruhu opísaného okolo iného mnohouholníka, vykonajte sériu ďalších konštrukcií. Získajte jednoduchšie tvary, ktorých parametre poznáte.

Tip 3: Ako kresliť správny trojuholník ostrý uhol a prepona

Trojuholník sa nazýva obdĺžnikový, ktorého uhol na jednom z vrcholov je 90 °. Strana oproti tomuto uhlu sa nazýva prepona a strany oproti dvom ostrým rohom trojuholníka sa nazývajú nohy. Ak je dĺžka prepony a hodnota jednej z ostré rohy, potom tieto údaje stačia na zostavenie trojuholníka najmenej dvoma spôsobmi.