Stredne kolmé (stredný kolmý   alebo mediatrisa) je priamka kolmá na daný segment a prechádzajúca jeho stredom.

Vlastnosti

$p\_a\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; tfrac\; (2aS)\; (a\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2-c\; ^\; 2),\; p\_b\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; tfrac\; (2bS)\; (a\; ^\; 2\; +\; b\; ^\; 2-c\; ^\; 2),\; p\_c\; \backslash u003d\; \backslash \backslash \; tfrac\; (2cS)\; (\; a\; ^\; 2-b\; ^\; 2\; +\; c\; ^\; 2),$    kde dolný index označuje stranu, na ktorú je kolmá kresba, $S$   je oblasť trojuholníka a predpokladá sa tiež, že strany sú spojené nerovnosťami $a\; \backslash \backslash \; geqslant\; b\; \backslash \backslash \; geqslant\; c.$ $p\_a\; \backslash \backslash \; geq\; p\_b$   a $p\_c\; \backslash \backslash \; geq\; p\_b.$   Inými slovami, v trojuholníku sa najmenšia stredná kolmica vzťahuje na stred.

Napísať recenziu na článok "Mid Kolmica"

poznámky

Priechod charakterizujúci strednú kolmicu

Kutuzov, ktorý prestal žuť, prekvapene, akoby nerozumel tomu, čo mu bolo povedané, hľadel na Volzogena. Volzogen, ktorý si všimol vzrušenie des alten Herrn, [starý pán (Nemec)] s úsmevom povedal:
  "Nepovažoval som sa za oprávnený skrývať pred tvojím lordstvom to, čo som videl ... Vojská sú úplne rozrušené ..."
  - Už si to videl? Videl si to? - Kutuzov zakričal zamračením, rýchlo vstal a šliapol na Volzogén. „Ako sa máš ... ako sa opovažuješ! ..“ vykríkol a vyhrážal sa gestami potrasením rukami a dusením. "Ako sa vám, môj milý panovník, umyte, aby ste mi to povedali." Nič nevieš. Povedzte mi od generála Barclaya, že jeho informácie sú nepresné a že skutočný priebeh bitky je pre mňa, vrchného veliteľa, lepší ako on.
  Volzogen chcel namietať, ale Kutuzov ho prerušil.
  - Nepriateľ je odrazený vľavo a zasiahnutý na pravý bok. Ak ste nevideli dobre, láskavý panovník, nedovoľte, aby ste povedali, čo neviete. Prejdite, prosím, k generálovi Barclayovi a zajtra mu oznámte môj nevyhnutný úmysel zaútočiť na nepriateľa, “povedal prísne Kutuzov. Všetci mlčali a jeden z dychových generálov bol počuť jeden silný dych. "Odvrátený všade, za čo ďakujem Bohu a našej statočnej armáde." Nepriateľa je porazený a zajtra ho vytiahneme zo svätej ruskej zeme, “povedal Kutuzov a pokrstil; a náhle vzlykali slzy. Volzogen pokrčil plecami a krútil pery, potichu ustúpil stranou, prekvapený ubernou diese Eingenommenhehe des alten Herrn. [k tejto tyranii starého pána. (To).]
"Áno, tam je, môj hrdina," povedal Kutuzov plnému peknému čiernovlasému generálovi, ktorý v tom čase vstupoval na kopec. Celý Raevsky strávil celý deň v hlavnom bode poľa Borodino.
  Raevsky informoval, že jednotky boli pevne na svojom mieste a že Francúzi sa už neodvážili zaútočiť. Po vypočutí si ho Kutuzov po francúzsky povedal:
  - Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obligous de nous retirer? [Preto si nemyslíte, rovnako ako iní, že by sme mali ustúpiť?]

Vstupná úroveň

Opísaný kruh. Vizuálny sprievodca (2019)

Prvá otázka, ktorá sa môže objaviť: opísaná - okolo čoho?

V skutočnosti sa niekedy stáva niečo okolo, ale hovoríme o kruhu, ktorý je ohraničený okolo trojuholníka (niekedy hovorí „asi“). Čo je to?

A teraz si predstavte úžasný fakt:

Prečo je táto skutočnosť úžasná?

Ale trojuholníky sa líšia!

A pre každého je kruh, ktorý prejde cez všetky tri vrcholy, t.j. ohraničený kruh.

Dôkaz o tejto úžasnej skutočnosti nájdete v nasledujúcich úrovniach teórie, ale tu si len uvedomujeme, že ak vezmeme napríklad štvoruholník, potom už nebude existovať žiadny kruh okolo štyroch vrcholov. Tu povedzme, že rovnobežník je vynikajúci štvoruholník, ale cez všetky jeho vrcholy neprechádza žiadny kruh!

A je tu iba pre obdĺžnik:

Tak tu a každý trojuholník má vždy svoj ohraničený kruh!   Aj keď je vždy dosť jednoduché nájsť stred tohto kruhu.

Vieš čo je v strede kolmá?

Teraz sa pozrime, čo sa stane, keď sa pozrieme na tri celé stredné kolmice na strany trojuholníka.

Ukázalo sa (a to sa musí iba dokázať, aj keď to tak nebude)   všetky tri kolmé sa pretínajú v jednom bode.   Pozrite sa na obrázok - všetky tri stredné kolmé sa pretínajú v jednom bode.

Myslíte si, že stred ohraničeného kruhu leží vždy vnútri trojuholníka? Predstavte si - nie vždy!

Ale ak   s ostrým uhlom, potom - vo vnútri:

Čo robiť s pravouhlým trojuholníkom?

Áno, s dodatočným bonusom:

Pretože hovoríme o polomere ohraničeného kruhu: čo je to rovnaké pre ľubovoľný trojuholník? A na túto otázku existuje odpoveď: tzv.

Ide o:

No a samozrejme

1. Existencia a stred ohraničeného kruhu

Potom vyvstáva otázka: existuje taký kruh pre akýkoľvek trojuholník? Ukazuje sa, že áno, pre každého. A okrem toho teraz vytvoríme vetu, ktorá tiež odpovedá na otázku, kde je stred ohraničeného kruhu.

Vyzerá takto:

Poďme si odvahu a dokázať túto vetu. Ak ste už prečítali tému „“, pochopili ste, prečo sa priesečníky troch križovatiek naraz spájajú, bude to pre vás jednoduchšie, ale ak ste to nečítali, nemusíte sa obávať: teraz to zistíme.

Dôkaz sa vykoná pomocou koncepcie geometrického miesta bodov (ТТТ).

Napríklad, je veľa gúľ „geometrickým miestom“ pre guľaté predmety? Nie, samozrejme, pretože existujú guľaté ... vodné melóny. Existuje veľa ľudí, „geometrických miest“, ktorí môžu hovoriť? Nie príliš, pretože existujú deti, ktoré nevedia hovoriť. V živote je všeobecne ťažké nájsť príklad skutočného „geometrického miesta bodov“. V geometrii je to jednoduchšie. Tu je napríklad to, čo potrebujeme:

Tu je množina stredná kolmá a vlastnosť má byť rovnako vzdialená (špička) od koncov segmentu. “

Vyskúšajte to? Musíte sa teda uistiť o dvoch veciach:

1. Akýkoľvek bod, ktorý je rovnako vzdialený od koncov segmentu, je umiestnený v strede kolmom naň.

Spojte sa s a C. Potom je čiara stredná a výška v. Takže, - rovnoramenné - zabezpečili, aby akýkoľvek bod ležiaci v strede kolmice bol rovnako vzdialený od bodov a.

Choďte do stredu a spojte sa a. Výsledkom bol medián. Ale - podľa stavu, rovnoramenný nielen stredný, ale aj výška, to znamená stredný kolmý. Takže bod - leží iba v strede kolmo.

To je všetko! Úplne skontroloval skutočnosť, že stred kolmý na segment je geometrické miesto bodov vzdialených od koncov segmentu.

To je všetko dobré, ale zabudli sme na ohraničený kruh? Vôbec sme si pre seba pripravili „odrazový mostík pre útok“.

Zvážte trojuholník. Nakreslite dve stredné kolmice a povedzme na segmenty a. Protínajú sa v určitom okamihu, ktorý zavoláme.

A teraz, pozornosť!

Tento bod leží v strede kolmice;
  bod leží v strede kolmom.
  A to znamená, a.

Odtiaľto nasleduje niekoľko vecí:

Po prvé, bod musí ležať na treťom strede kolmom na segment.

To znamená, že stredná kolmica je tiež povinná prejsť bodom a všetky tri stredné kolmice sa pretínajú v jednom bode.

Po druhé: ak nakreslíme kruh sústredený v bode a polomere, potom tento kruh tiež prejde bodom a bodom, to znamená, že to bude ohraničený kruh. Už teda existuje, že priesečník troch stredných kolmíc je stredom ohraničeného kruhu pre akýkoľvek trojuholník.

A posledná: o jedinečnosti. Je zrejmé (takmer), že bod je možné získať jedinečným spôsobom, preto je kruh jedinečný. No, ale „takmer“ - nechajme to na premýšľaní. To potvrdilo vetu. Môžete kričať „Hurá!“.

A ak je problém „nájsť polomer ohraničeného kruhu“? Alebo naopak, polomer je daný, ale musíte nájsť niečo iné? Existuje vzorec spájajúci polomer ohraničeného kruhu s ostatnými prvkami trojuholníka?

Dávajte pozor: to hovorí sínusová veta aby ste našli polomer ohraničeného kruhu, potrebujete jednu stranu (ľubovoľnú!) a opačný uhol, A to je všetko!

3. Stred kruhu - vnútri alebo vonku

A teraz je tu otázka: môže stred ohraničeného kruhu ležať mimo trojuholníka.
  Odpoveď: rovnako ako môžete. Navyše sa to vždy deje v tupom trojuholníku.

A všeobecne:

OPIS OKRUHU. STRUČNÉ INFORMÁCIE O HLAVE

1. Kruh opísaný v blízkosti trojuholníka

Toto je kruh, ktorý prechádza všetkými tromi vrcholmi tohto trojuholníka.

2. Existencia a stred ohraničeného kruhu

Téma sa skončila. Ak prečítate tieto riadky, potom ste v pohode.

Pretože iba 5% ľudí je schopných niečo zvládnuť samo. A ak budete čítať do konca, potom ste sa dostali do týchto 5%!

Teraz najdôležitejšia vec.

Prišli ste na túto tému teórie. A opäť, toto ... je to jednoducho super! Už ste lepší ako drvivá väčšina vašich rovesníkov.

Problém je v tom, že to nemusí stačiť ...

Za čo?

Za úspešné absolvovanie skúšky, za prijatie do inštitútu na rozpočet a, DÔLEŽITÉ, na celý život.

Nebudem vás nič presvedčovať, len povedzte jednu vec ...

Ľudia, ktorí majú dobré vzdelanie, zarábajú oveľa viac ako tí, ktorí ho nedostali. Toto je štatistika.

Toto však nie je hlavná vec.

Hlavná vec je, že sú VIAC HAPPY (takéto štúdie existujú). Možno preto, že otvárajú oveľa viac príležitostí a život sa stáva jasnejším? Neviem ...

Ale myslite na seba ...

Čo je potrebné, aby boli určite lepšie ako ostatní na USE a aby boli nakoniec ... šťastnejšie?

BEAT VAŠE RUČNÉ RIEŠENIE PROBLÉMOV TÉTO TÉMA.

Na skúške vás nebude žiadať teória.

Budete potrebovať riešiť problémy včas.

A ak ste ich nevyriešili (MUCH!), Určite si niekde urobíte hlúpu chybu alebo jednoducho nemáte čas.

Je to ako v športe - ak chcete určite vyhrať, musíte sa mnohokrát opakovať.

Nájdite, kde chcete zbierku, nevyhnutne s riešeniami, podrobnou analýzou   a rozhodnúť, rozhodnúť, rozhodnúť!

Môžete využiť naše úlohy (nie sú potrebné) a určite ich odporúčame.

Ak chcete naplniť ruku pomocou našich úloh, musíte predĺžiť životnosť učebnice YouClever, ktorú práve čítate.

Ako? Existujú dve možnosti:

1. Odomknite všetky skryté úlohy v tomto článku - 299 rub
2. Otvorený prístup ku všetkým skrytým úlohám vo všetkých 99 článkoch učebnice - 499 rub

Áno, v učebnici máme 99 takýchto článkov a môžete okamžite otvoriť prístup ku všetkým úlohám a všetkým skrytým textom v nich.

Prístup ku všetkým skrytým úlohám je zabezpečený vždy, keď web existuje.

A na záver ...

Ak sa vám naše úlohy nepáčia, nájdite ďalšie. Len sa nezastavujte na teóriu.

„Porozumenie“ a „Môžem sa rozhodnúť“ sú úplne odlišné zručnosti. Potrebujete oboje.

Nájsť úlohy a riešiť!

V predchádzajúcej lekcii sme skúmali vlastnosti ohýbača uhlu uzavretého v trojuholníku a voľného. Trojuholník obsahuje tri uhly a pre každý z nich sú zachované uvažované vlastnosti križovatky.

veta:

Deliace čiary AA1, BB1, SS1 trojuholníka sa pretínajú v jednom bode O (obr. 1).

Obr. 1. Ilustrácia vety

dôkaz:

Najprv uvažujeme o dvoch bisektoroch BB 1 a CC 1. Pretína sa, priesečník O existuje. Aby ste to dokázali, predpokladajme opak: nech sa tieto križovatky nepretínajú, v takom prípade sú rovnobežné. Potom je priamka BC secant a súčet uhlov , je to v rozpore so skutočnosťou, že v celom trojuholníku je súčet uhlov.

Existuje teda priesečník dvoch bisektorov. Zvážte jeho vlastnosti:

Bod O leží na križovatke uhla, čo znamená, že je rovnako vzdialený od svojich strán VA a BC. Ak je OK kolmé na BC, OL je kolmé na VA, potom sa dĺžka týchto kolmíc rovná -. Tiež bod O leží na priamke uhlu a je rovnako vzdialený od svojich strán CB a CA, kolmice OM a OK sú rovnaké.

Dostali sme nasledujúce rovnosti:

, to znamená, že všetky tri kolmice vynechané z bodu O na stranách trojuholníka sú si navzájom rovnaké.

Zaujíma nás rovnosť kolmíc OL a OM. Táto rovnosť naznačuje, že bod O je rovnako vzdialený od strán uhla, vyplýva z toho, že leží na jeho priamke AA 1.

Dokázali sme teda, že sa všetky tri križovatky trojuholníka pretínajú v jednom bode.

Trojuholník sa navyše skladá z troch segmentov, čo znamená, že by sme mali brať do úvahy vlastnosti jedného segmentu.

Je špecifikovaný segment AB. Každý segment má stred a môžete cez neho nakresliť kolmicu - označíme ho p. P je teda stredná kolmá.

Obr. 2. Ilustrácia vety

Akýkoľvek bod ležiaci v strednej kolmici je rovnako vzdialený od koncov segmentu.

Dokážte to (obr. 2).

dôkaz:

Zvážte trojuholníky a. Sú obdĺžnikové a rovnaké, pretože majú spoločnú nohu OM a nohy AO a OB sú rovnaké podľa stavu, takže máme dva pravé trojuholníky, rovnaké v dvoch nohách. Z toho vyplýva, že prepony trojuholníkov sú rovnaké, to znamená podľa potreby.

Konverzná veta platí.

Každý bod vzdialený od koncov segmentu leží v strede kolmom na tento segment.

Je daný segment AB, stred kolmý naň je p, bod M je rovnako vzdialený od koncov segmentu. Dokážte, že bod M leží v strede kolmom na segment (obr. 3).

Obr. 3. Ilustrácia do vety

dôkaz:

Zvážte trojuholník. Je rovnoramenný, podľa stavu. Zoberme si medián trojuholníka: bod O je stredom základne AB, OM je medián. Podľa vlastnosti rovnoramenného trojuholníka je medián priťahovaný k jeho základni tak výška, ako aj stredná hrana. Z toho vyplýva, že. Priama čiara p je však tiež kolmá na AB. Vieme, že v bode O môžeme nakresliť jednu kolmú k úseku AB, čo znamená, že čiary OM a p sa zhodujú, čo znamená, že bod M patrí podľa potreby do čiary p.

Priame a obrátené vety môžu byť zovšeobecnené.

Bod leží v strede kolmom na segment, a to len vtedy, ak je rovnako vzdialený od koncov tohto segmentu.

Opakujeme teda, že v trojuholníku sú tri segmenty a na každú z nich sa vzťahuje vlastnosť stredného zvislého smeru.

veta:

Stredná kolmica trojuholníka sa pretína v jednom bode.

Trojuholník je nastavený. Kolmé na jeho boky: P 1 na bok lietadla, P 2 na stranu AC, P 3 na stranu AB.

Dokážte, že kolmica P1, P2 a P3 sa pretína v bode O (obr. 4).

Obr. 4. Ilustrácia vety

dôkaz:

Zoberme si dva stredné kolmice P2 a P3, ktoré sa prelínajú, existuje priesečník O. Túto skutočnosť dokážme naopak - kolmice P 2 a P 3 sú rovnobežné. Potom sa uhol rozvinie, čo je v rozpore so skutočnosťou, že súčet troch uhlov trojuholníka je. Takže je tu priesečník O dvoch z troch stredných kolmíc. Vlastnosti bodu O: leží na stredu kolmom na stranu AB, čo znamená, že je rovnako vzdialený od koncov segmentu AB :. Leží tiež v strede kolmom na stranu reproduktora, čo znamená. Dostali sme nasledujúce rovnosti.

Návod na použitie

Nakreslite čiaru cez priesečník kruhov. Máte stred kolmý na daný segment.

Teraz dostaneme bod a priamku. Z tohto bodu je potrebné nakresliť kolmicu na. Ihlu umiestnite do bodu. Nakreslite kružnicu s polomerom (polomer musí byť od bodu k priamke, aby kružnica mohla pretínať čiaru v dvoch bodoch). Teraz máte na riadku dva body. Tieto body tvoria čiaru. Zostavte stred kolmo na segment, konce sú získané body podľa algoritmu diskutovaného vyššie. Kolmá by mala prechádzať východiskovým bodom.

Konštrukcia tratí je základom technického nákresu. Teraz sa to stáva čoraz viac pomocou grafických editorov, ktoré poskytujú dizajnérovi veľké príležitosti. Niektoré princípy konštrukcie však zostávajú rovnaké ako pri klasickej kresbe - pomocou ceruzky a pravítka.

Budete potrebovať

• - hárok papiera;
• - ceruzka;
• - pravítko;
• - Počítač s AutoCADom.

Návod na použitie

Začnite s klasickou zostavou. Definujte rovinu, v ktorej budete zostavovať čiaru. Nech je to rovina listu papiera. Pozícia v závislosti od podmienok úlohy. Môžu byť svojvoľné, ale je možné, že bude daný súradnicový systém. Ľubovoľné body umiestnite tam, kde sa vám najviac páči. Označte ich ako A a B. Na ich pripojenie použite pravítko. Podľa axiómu môžete cez dva body vždy nakresliť priamku a iba jeden.

Nakreslite súradnicový systém. Nech ti budú pridelené body A (x1; y1). Na ich získanie je potrebné odložiť požadované číslo pozdĺž osi x a nakresliť priamku rovnobežnú s osou y označeným bodom. Potom odložte hodnotu rovnajúcu sa y1 na príslušnej osi. Z vyznačeného bodu nakreslite kolmicu na jej priesečník s. Miesto ich priesečníka bude bod A. Rovnakým spôsobom nájdite bod B, ktorého súradnice možno označiť ako (x2; y2). Spojte oba body.

V AutoCADe môžete zostaviť priamku z niekoľkých. Funkcia „by“ je zvyčajne nastavená v predvolenom nastavení. V hornej ponuke vyhľadajte kartu Domovská stránka. Pred vami sa zobrazí panel Kreslenie. Nájdite tlačidlo s obrázkom priamky a kliknite naň.

AutoCAD vám tiež umožňuje nastaviť súradnice oboch. Zadajte nasledujúci príkazový riadok (_xline). Stlačte Enter. Zadajte súradnice prvého bodu a stlačte kláves Enter. Podobne určte druhý bod. Môžete ho zadať aj kliknutím myši a umiestnením kurzora na požadované miesto na obrazovke.

V AutoCADe môžete vytvoriť priamu čiaru nielen z dvoch bodov, ale aj podľa uhla sklonu. V kontextovej ponuke „Výkres“ vyberte čiaru a potom možnosť „Uhol“. Počiatočný bod môže byť nastavený kliknutím myši alebo pomocou, rovnako ako v predchádzajúcej metóde. Potom nastavte veľkosť uhla a stlačte kláves Enter. V predvolenom nastavení bude čiara umiestnená v požadovanom uhle k horizontále.

Súvisiace videá

V zložitom nákrese (schéma) kolmosť   priame a lietadlo   určené hlavnými ustanoveniami: ak je jedna strana pravého uhla rovnobežná lietadlo   projekcie, potom sa do tejto roviny premieta pravý uhol bez zdeformovania; ak je čiara kolmá na dve priesečníky lietadloje to kolmé na to lietadlo.

Budete potrebovať

• Ceruzka, pravítko, uhlomer, trojuholník.

Návod na použitie

Príklad: nakreslite bod M kolmý na lietadloNakresliť kolmo na lietadlosleduje dve protínajúce sa čiary ležiace v tomto lietadloa postavte čiaru kolmú na ne. Pre tieto dve pretína- né priamky sa vyberú predný a vodorovný lietadlo.

Predná strana f (f₁f₂) je čiara ležiaca vo vnútri lietadlo   a rovnobežné čelné lietadlo   projekcie П₂. Takže f₂ je jeho prirodzená veľkosť a f₁ je vždy rovnobežná s x₁₂. Z bodu А₂ nakreslite h₂ rovnobežne s x₁₂ a získajte bod 1₂ na В₂С₂.

Pomocou projekčnej komunikačnej linky, bod 1₁ na В₁С₁. Spojte sa s А₁ - to je h₁ - prirodzená horizontálna hodnota. Z bodu ₁₁ draw f₁‖x₁₂ získame ₁₁₁ bod 2₁. Použite odkaz na projekciu a nájdite bod 2₂ na А₂С₂. Spojte sa s bodom ² - toto bude f₂ - celá veľkosť prednej strany.

Vybudované prirodzené horizontály h₁ a čelné plochy f₂ kolmých priemetov do lietadlo, Z bodu ₂₂ nakreslite svoj čelný priemet a₂ pod uhlom 90 °