Typ lekcie: lekcia o predstavovaní nového materiálu.

Cieľ hodiny:Dokázať vlastnosť plôch podobných trojuholníkov a ukázať ju praktický význam pri riešení problémov.

Ciele lekcie:

výučba – dokázať vlastnosť plôch podobných trojuholníkov a ukázať jej praktický význam pri riešení úloh;

rozvíjať - rozvíjať schopnosť analyzovať a vyberať argumenty pri riešení problému, ktorého spôsob riešenia nie je známy;

vzdelávacie - pestovať záujem o predmet prostredníctvom obsahu vzdelávacieho procesu a vytvárania situácie úspechu, pestovať schopnosť pracovať v skupine.

Študent má tieto znalosti:

Obsah aktivity, ktorý sa študenti musia naučiť:

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment.

2. Aktualizácia vedomostí.

3. Práca s problémovou situáciou.

4. Zhrnutie lekcie a záznam domáca úloha, odraz.

Vyučovacie metódy: verbálne, vizuálne, problémové.

Formy tréningu: frontálna práca, práca v miniskupinách, individuálna a samostatná práca.

Technológie: orientované na úlohy, informačné technológie, prístup založený na kompetenciách.

Vybavenie:

počítač, projektor na predvádzanie prezentácií, interaktívna tabuľa, kamera na dokumenty;

Počítačová prezentácia v programe Microsoft PowerPoint;

podporné zhrnutie;

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Dnes na lekcii nebudeme pracovať v notebookoch, ale v referenčných poznámkach, ktoré vyplníte na pokračovanie celej lekcie. Podpíš to. Známka za lekciu bude pozostávať z dvoch zložiek: za podporné poznámky a za aktívna práca na lekcii.

2. Aktualizácia vedomostí žiakov. Príprava na aktívnu vzdelávaciu a kognitívnu činnosť v hlavnej fáze hodiny.

Pokračujeme v štúdiu témy „podobnosť trojuholníkov“. Poďme si teda pripomenúť, čo sme sa učili v minulej lekcii.

Teoretická rozcvička. Test. Vo vašich referenčných poznámkach je prvá úloha testovacieho charakteru. Odpovedzte na otázky výberom jednej z navrhovaných možností odpovede a v prípade potreby zadajte svoju odpoveď.

1. učiteľ: Ako sa nazýva pomer dvoch segmentov?

Odpoveď: Pomer dvoch segmentov dvoch segmentov je pomer ich dĺžok.

1. učiteľ: V akom prípade sú segmentyAB A CDproporcionálne k segmentomA 1 B 1 a C 1 D 1

Odpoveď: segmenty AB A CDproporcionálne k segmentomA 1 B 1 a C 1 D 1 ak

Vaše možnosti. Dobre. Nezabudnite opraviť každého, kto sa mýli.

1. učiteľ: Definujte podobné trojuholníky? Pozrite si referenčnú poznámku. Na odpoveď na túto otázku máte tri možnosti. Vyberte si ten správny. Zakrúžkujte to.

Tak prosím, ktorú možnosť ste si vybrali_______

Odpoveď: Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a strany jedného trojuholníka sú úmerné stranám druhého trojuholníka.

Výborne! Opravte každého, kto sa mýli.

1. učiteľ: Aký je pomer plôch dvoch trojuholníkov, ktoré majú rovnaké uhly?

Odpoveď: Ak sa uhol jedného trojuholníka rovná uhlu iného trojuholníka, potom sú plochy týchto trojuholníkov spojené ako súčin strán zvierajúcich rovnaké uhly.

Riešenie problémov pomocou hotových výkresov.Ďalej bude naše zahrievanie prebiehať pri riešení problémov pomocou hotových výkresov. Tieto úlohy môžete vidieť aj vo svojich referenčných poznámkach.

Reflexia. Ujasnime si, aké vedomosti a zručnosti nám umožnili tieto problémy vyriešiť. Aké metódy riešenia sme použili (zapisovanie odpovedí na tabuľu).

Možné odpovede:

Určenie podobných trojuholníkov;

Aplikácia definície podobných trojuholníkov pri riešení úloh;

Veta o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami;

A teraz navrhujem riešenie niekoľkých problémov, ktoré majú niečo spoločné s témou hodiny, ale súvisia skôr s geografiou.

Situácia úspechu.

Prvá úloha je pred vami. Sami na tomto probléme pracujeme. Ten, kto to vyrieši ako prvý, ukáže svoje riešenie na tabuli a niekto ďalší predvedie svoje riešenie cez kameru na dokumenty, takže píšeme krásne a presne.

Odpoveď: strany Bermudského trojuholníka sú 2000 km, 1840 km, 2220 km. Dĺžka hranice je 6060 km.

Reflexia.

Možná odpoveď: Podobné trojuholníky majú podobné strany, ktoré sú proporcionálne.

Situácia úspechu.

S rozmermi Bermudský trojuholník prišli sme na to. Teraz zistime rozmery kvetinového záhonu. Otočíme podporné poznámky. Druhá úloha. Tento problém riešime prácou vo dvojiciach. Kontrolujeme podobným spôsobom, ale len výsledok predloží prvý pár, ktorý úlohu splnil.

Odpoveď: strany trojuholníkového záhona sú 10m a 11m 20 cm.

Takže, poďme sa na to pozrieť. Súhlasia všetci? Kto sa rozhodol inak?

Reflexia.

Akú metódu akcie ste použili na vyriešenie tohto problému? Zapíšte si to do referenčnej poznámky.

Možná odpoveď:

podobné trojuholníky majú rovnaké zodpovedajúce uhly;

Plochy trojuholníkov s rovnakými uhlami sú súčinom strán obsahujúcich rovnaké uhly.

Stav zlyhania.

5. Štúdium nového materiálu.

Pri riešení tretieho problému sú žiaci postavení pred problém. Nedokážu problém vyriešiť, pretože podľa ich názoru nie sú podmienky problému dostatočne úplné alebo dostanú neopodstatnenú odpoveď.

Žiaci sa s týmto typom problému doteraz nestretli, preto došlo k zlyhaniu pri riešení problému.

Reflexia.

Akú metódu ste skúšali vyriešiť?

Prečo ste nedokázali vyriešiť poslednú rovnicu?

Študenti: Nemôžeme nájsť oblasť trojuholníka, ak je známa iba oblasť podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

teda účel našej lekcie nájdite plochu trojuholníka, ak je známa iba plocha podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

Preformulujme problém do geometrického jazyka. Poďme to vyriešiť a potom sa vráťme k tomuto problému.

Záver: Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

No a teraz sa vráťme k problému č.3 a vyriešme ho na základe overeného faktu.

7. Zhrnutie lekcie

Aké nové veci ste sa dnes naučili robiť?

Vyriešte problémy, v ktorých je známy koeficient podobnosti a plocha jedného z podobných trojuholníkov.

Aká geometrická vlastnosť nám k tomu pomohla?

Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

Domáca úloha.

S. 58 str. 139 č. 546, 548

Kreatívna úloha.

Zistite, aký je pomer obvodov dvoch podobných trojuholníkov (č. 547)

Zbohom.

učiteľ: .

Typ lekcie: lekciu o zavádzaní nového materiálu.

Účel lekcie: Dokážte vlastnosť plôch podobných trojuholníkov a ukážte jej praktický význam pri riešení úloh.

Ciele lekcie:

výučba – dokázať vlastnosť plôch podobných trojuholníkov a ukázať jej praktický význam pri riešení úloh; rozvíjať - rozvíjať schopnosť analyzovať a vyberať argumenty pri riešení problému, ktorého spôsob riešenia nie je známy; vzdelávacie - pestovať záujem o predmet prostredníctvom obsahu vzdelávacieho procesu a vytvárania situácie úspechu, pestovať schopnosť pracovať v skupine.

Študent má tieto znalosti:

1. Definícia podobných trojuholníkov;

2. Aplikácia definície podobných trojuholníkov pri riešení úloh;

3. Veta o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami;

Obsah aktivity, ktorý sa študenti musia naučiť:

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment.

2. Aktualizácia vedomostí.

3. Práca s problémovou situáciou.

4. Zhrnutie hodiny a zaznamenanie domácich úloh, reflexia.

Vyučovacie metódy: verbálne, vizuálne, hľadanie problémov.

Formy školenia: frontálna práca, práca v miniskupinách, samostatná a samostatná práca.

technológie: orientovaný na úlohy, informačné technológie, prístup založený na kompetenciách.

Vybavenie:

počítač, projektor na predvádzanie prezentácií, interaktívna tabuľa, kamera na dokumenty; Počítačová prezentácia v programe Microsoft PowerPoint; podporné zhrnutie;

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chalani! Posaď sa. Dnes máme nezvyčajnú lekciu. Na našej lekcii máme hostí. Prosím, otočte sa a pozdravte ich kývnutím. Ďakujem chlapci. Posaď sa.

Dnes na lekcii nebudeme pracovať v notebookoch, ale v referenčných poznámkach, ktoré vyplníte na pokračovanie celej lekcie. Podpíš to. Známka za hodinu bude pozostávať z dvoch zložiek: za podporné poznámky a za aktívnu prácu na hodine.

2. Aktualizácia vedomostí žiakov. Príprava na aktívnu vzdelávaciu a kognitívnu činnosť v hlavnej fáze hodiny.

Pokračujeme v štúdiu témy „podobnosť trojuholníkov“. Poďme si teda pripomenúť, čo sme sa učili v minulej lekcii.

Teoretická rozcvička. Test. Vo vašich referenčných poznámkach je prvá úloha testovacieho charakteru. Odpovedzte na otázky výberom jednej z navrhovaných možností odpovede a v prípade potreby zadajte svoju odpoveď.

1) učiteľ:Ako sa nazýva pomer dvoch segmentov?

Odpoveď: Pomer dvoch segmentov dvoch segmentov je pomer ich dĺžok.

2) učiteľ:V akom prípade sú segmentyAB ACDproporcionálne k segmentomA1 B1 AC1 D1

Odpoveď: segmentyAB ACDproporcionálne k segmentomA1 B1 AC1 D1 , Ak

Vaše možnosti. Dobre. Nezabudnite opraviť každého, kto sa mýli.

3) učiteľ: Definujte podobné trojuholníky? Pozrite si referenčnú poznámku. Na odpoveď na túto otázku máte tri možnosti. Vyberte si ten správny. Zakrúžkujte to.

Tak prosím, ktorú možnosť ste si vybrali_______

Odpoveď: Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a strany jedného trojuholníka sú úmerné stranám druhého trojuholníka.

Výborne! Opravte každého, kto sa mýli.

4) učiteľ: Aký je pomer plôch dvoch trojuholníkov, ktoré majú rovnaké uhly?

Odpoveď: Ak sa uhol jedného trojuholníka rovná uhlu iného trojuholníka, potom sú plochy týchto trojuholníkov spojené ako súčin strán zvierajúcich rovnaké uhly.

Riešenie problémov pomocou hotových výkresov. Ďalej bude naše zahrievanie prebiehať pri riešení problémov pomocou hotových výkresov. Tieto úlohy môžete vidieť aj vo svojich referenčných poznámkach.

https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width="480" height="360">

Odpoveď: strany Bermudského trojuholníka sú 2000 km, 1840 km, 2220 km. Dĺžka hranice je 6060 km.

Reflexia.

Možná odpoveď: Podobné trojuholníky majú podobné strany, ktoré sú proporcionálne.

2. Situácia úspechu.

Zistili sme rozmery Bermudského trojuholníka. Teraz zistime rozmery kvetinového záhonu. Otočíme podporné poznámky. Druhá úloha. Tento problém riešime prácou vo dvojiciach. Kontrolujeme podobným spôsobom, ale len výsledok predloží prvý pár, ktorý úlohu splnil.

Odpoveď: strany trojuholníkového záhona sú 10m a 11m 20 cm.

Takže, poďme sa na to pozrieť. Súhlasia všetci? Kto sa rozhodol inak?

Reflexia.

Akú metódu akcie ste použili na vyriešenie tohto problému? Zapíšte si to do referenčnej poznámky.

Možná odpoveď:

· podobné trojuholníky majú rovnaké zodpovedajúce uhly;

· Plochy trojuholníkov s rovnakými uhlami sú súčinom strán obsahujúcich rovnaké uhly.

3. Poruchová situácia.

5. Štúdium nového materiálu.

Pri riešení tretieho problému sú žiaci postavení pred problém. Nedokážu problém vyriešiť, pretože podľa ich názoru nie sú podmienky problému dostatočne úplné alebo dostanú neopodstatnenú odpoveď.

Žiaci sa s týmto typom problému doteraz nestretli, preto došlo k zlyhaniu pri riešení problému.

Reflexia.

Akú metódu ste skúšali vyriešiť?

Prečo ste nedokázali vyriešiť poslednú rovnicu?

Študenti: Nemôžeme nájsť oblasť trojuholníka, ak je známa iba oblasť podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

teda účel našej lekcie Nájdite plochu trojuholníka, ak je známa iba plocha podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

Preformulujme problém do geometrického jazyka. Poďme to vyriešiť a potom sa vráťme k tomuto problému.

Záver: Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

No a teraz sa vráťme k problému č.3 a vyriešme ho na základe overeného faktu.

7. Zhrnutie lekcie

Aké nové veci ste sa dnes naučili robiť?

Vyriešte problémy, v ktorých je známy koeficient podobnosti a plocha jedného z podobných trojuholníkov.

Aká geometrická vlastnosť nám k tomu pomohla?

Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

Domáca úloha.

S. 58 str. 139 č. 000, 548

Kreatívna úloha.

Zistite, aký je pomer obvodov dvoch podobných trojuholníkov (č. 000)

1.3. Pomer plôch podobných trojuholníkov. Veta. Pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti. Dôkaz. Nech sú trojuholníky ABC a A1B1C1 podobné a koeficient podobnosti sa rovná k. Označme obsahy týchto trojuholníkov písmenami S a S1. Pretože A = A1, potom.

Snímka 11 z prezentácie „Podobné trojuholníky“ 8. ročník. Veľkosť archívu s prezentáciou je 1756 KB.

Geometria 8. ročník

zhrnutie iné prezentácie

"Obdĺžniky" - uhlopriečka. Obrazy. Strany obdĺžnika. Obvod obdĺžnika. Ľudské. Oblasť obdĺžnika. Obdĺžnik v živote. Definícia. Strana obdĺžnika. Uhlopriečky. Rozprávka o obdĺžniku. Obdĺžnik. Opačné strany.

„Bodový produkt v súradniciach“ - Vektor. Napoleonova veta. Dôsledok. Vlastnosti skalárneho súčinu vektorov. Výmena kariet. Poďme vyriešiť problém. Geometria. Bodový súčin v súradniciach a jeho vlastnosti. Test z matematiky. Nový materiál. Trojuholníkové riešenie. Matematická rozcvička. Meno autora vety. Dôkaz Pytagorovej vety.

„Nájdenie oblasti rovnobežníka“ - Oblasť rovnobežníka. Ústne cvičenia. Výška. Určenie výšky rovnobežníka. Výšky rovnobežníka. Nájdite oblasť rovnobežníka. Oblasť trojuholníka. Plocha štvorca. Vlastnosti oblastí. Nájdite oblasť trojuholníka. Nájdite obvod štvorca. Základňa. Nájdite oblasť obdĺžnika. Nájdite plochu námestia. Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov.

„Vektory 8. ročníka“ – pomenujte rovnaké a opačné vektory. Vektory na hodinách fyziky. Absolútna veľkosť vektora. Absolútna veľkosť vektora. Obdĺžnik so všetkými stranami rovnakými. Vektorový koncept. Určte súradnice vektora. Nájdite a pomenujte rovnaké vektory na tomto obrázku. Rovnaké vektory. Samostatná práca vo dvojici. Vektorové súradnice. Motto lekcie. Skalárne fyzikálne veličiny, ako je trecia sila a rýchlosť.

„Rôzne typy symetrie“ - Požiadavka. Posuvná symetria. Rovnoramenný trojuholník so zrkadlovou symetriou. Teória skupín. Symetria v biológii. Rotačná symetria. Biradiálna symetria. Čo je symetria. Supersymetria. Symetria v geometrii. Symetria vo fyzike. Vrch zvončeka. Vzhľad bilaterálnej symetrie. Obojstranná symetria. Noetherova veta. Nedostatok symetrie. Symetria fyziky. Stredová symetria.

„Štvorec v živote“ - Štvorce nás nájdu všade. India. Magické námestie Albrechta Durera. Príbeh. Štvorce. Magický štvorec Lo Shu. Čierny štvorec. Hádanka "Štvorec". Zaujímavosti o námestí. Geometrický obrazec námestie. Malevičovo námestie. Magický štvorec. Obdĺžnik. Námestie. Základný koncept. Zaujímavosti. Čína.

Definícia a vlastnosti podobných trojuholníkov

Čísla a 1 , a 2 , a 3 , …, a n sa nazývajú úmerné číslam b 1 , b 2 , b 3 , …, b n, ak platí rovnosť: a 1 / b 1 = a 2 / b 2 = a 3 / b 3 = ... = a n /b n = k, kde k je určité číslo nazývané koeficient proporcionality.

Príklad.čísla 6; 7,5 a 15 sú úmerné číslam -4; 5 a 10. Koeficient proporcionality je číslo -1,5, keďže

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Proporcionalita čísel nastáva, ak tieto čísla súvisia pomerom.

Je známe, že podiel môže byť tvorený najmenej štyrmi číslami, takže koncept proporcionality je použiteľný pre najmenej štyri čísla (jedna dvojica čísel je úmerná inej dvojici alebo jedna trojica čísel je úmerná inej trojici, atď.).

Poďme sa pozrieť na ryža. 1 dva trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 s rovnakými párovými uhlami: A = A 1, B = B 1, C = C 1.

Strany, ktoré sú protiľahlé rovnaké dvojice uhlov oboch trojuholníkov, sa nazývajú podobný. Áno, na ryža. 1 strany AB a A 1 B 1, AC a A 1 C 1, BC a B 1 C 1 sú podobné, pretože ležia oproti rovnakým uhlom trojuholníkov ABC a A 1 B 1 C 1.

Definujme podobné trojuholníky:

Nazývajú sa dva trojuholníky podobný, ak sú ich uhly v pároch rovnaké a podobné strany sú úmerné.

Pomer podobných strán podobných trojuholníkov sa nazýva koeficient podobnosti.

Sú označené podobné trojuholníky nasledujúcim spôsobom: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Tak ďalej ryža. 2 máme: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

uhly A = A 1, B = B 1, C = C 1 a AB/A 1 B 1 = BC/B 1 C 1 = AC/A 1 C 1 = k, kde k je koeficient podobnosti. Od ryža. 2 je jasné, že podobné trojuholníky majú rovnaké proporcie a líšia sa iba mierkou.

Poznámka 1: Rovnaké trojuholníky podobný faktorom 1.

Poznámka 2: Pri označovaní podobných trojuholníkov by ste mali usporiadať ich vrcholy tak, aby ich uhly boli v pároch rovnaké. Napríklad pre trojuholníky zobrazené na obrázku 2 je nesprávne povedať, že Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1. Pri dodržaní správneho poradia vrcholov je vhodné zapísať pomer spájajúci podobné strany trojuholníkov bez odkazu na výkres: čitateľ a menovateľ zodpovedajúcich pomerov by mali obsahovať dvojice vrcholov, ktoré zaberajú rovnaké pozície v označení podobné trojuholníky. Napríklad zo zápisu „Δ ABC ~ Δ KNL“ vyplýva, že uhly A = K, B = N, C = L a AB/KN = BC/NL = AC/KL.

Poznámka 3: Požiadavky, ktoré sú uvedené v definícii podobných trojuholníkov, sú nadbytočné. Kritériá podobnosti pre trojuholníky, ktoré obsahujú menej požiadaviek na podobné trojuholníky, preukážeme o niečo neskôr.

Poďme formulovať vlastnosti podobných trojuholníkov:

1. Pomer zodpovedajúcich lineárnych prvkov podobných trojuholníkov sa rovná koeficientu ich podobnosti. Medzi takéto prvky podobných trojuholníkov patria tie, ktoré sa merajú v jednotkách dĺžky. Sú to napríklad strana trojuholníka, obvod, stred. Uhol alebo plocha nie sú také prvky.
2. Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine ich koeficientu podobnosti.

Nech sú trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 podobné s koeficientom k (obr. 2).

Dokážme, že S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Pretože uhly podobných trojuholníkov sú v pároch rovnaké, t.j. A = A 1, a podľa vety o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami máme:

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1.

Vzhľadom na podobnosť trojuholníkov AB/A 1 B 1 = k a AC/A 1 C 1 = k,

preto S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 = k · k = k 2 .

Poznámka: Vlastnosti podobných trojuholníkov formulované vyššie sú platné aj pre ľubovoľné obrázky.

Znaky podobnosti trojuholníkov

Požiadavky, ktoré sú z definície na podobné trojuholníky kladené (ide o rovnosť uhlov a proporcionalitu strán), sú nadbytočné. Podobnosť trojuholníkov je možné určiť pomocou menšieho počtu prvkov.

Pri riešení úloh sa teda najčastejšie používa prvé kritérium podobnosti trojuholníkov, ktoré hovorí, že na to, aby boli dva trojuholníky podobné, stačí rovnosť ich uhlov:

Prvý znak podobnosti trojuholníkov (o dva uhly): Ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú dvom uhlom druhého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky podobné (obr. 3).

Nech sú dané trojuholníky Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, v ktorých sú uhly A = A 1, B = B 1. Je potrebné dokázať, že Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Dôkaz.

1) Podľa vety o súčte uhlov trojuholníka máme:

uhol C = 180° (uhol A + uhol B) = 180° (uhol A 1 + uhol B 1) = uhol C 1.

2) Podľa vety o pomere plôch trojuholníkov, ktoré majú rovnaké uhly,

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 · B1C1).

3) Z rovnosti (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) = (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) vyplýva, že AC/A 1 C 1 = BC /B 1 C1.

4) Z rovnosti (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) = (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1) vyplýva, že AB/A 1 B 1 = AC /A 1 C 1.

Teda trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 DA = DA 1, DB = DB 1, DC = DC 1 a AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1.

5) AB/A 1 B 1 = AC/A 1 C 1 = BC/B 1 C 1, to znamená, že podobné strany sú úmerné. To znamená, že Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 podľa definície.

Veta o proporcionálnych segmentoch. Rozdelenie segmentu v danom pomere

Veta o proporcionálnom segmente je zovšeobecnením Thalesovej vety.

Na použitie Thalesovej vety je potrebné, aby rovnobežné priamky pretínajúce dve dané priamky odrezali rovnaké úsečky na jednej z nich. Zovšeobecnená Thalesova veta hovorí, že ak rovnobežné priamky pretínajú dve dané priamky, potom sú nimi odrezané segmenty na jednej priamke úmerné segmentom odrezaným na druhej priamke.

Veta o proporcionálnych úsečkách je dokázaná podobne ako Thalesova veta (len namiesto rovnosti trojuholníkov je tu použitá ich podobnosť).

Veta o proporcionálnych segmentoch (zovšeobecnená Thalesova veta): Rovnobežné čiary, ktoré pretínajú dve dané čiary, na nich odrežú proporcionálne segmenty.

Vlastnosť mediánov trojuholníka

Prvé kritérium podobnosti trojuholníkov nám umožňuje dokázať vlastnosť mediánov trojuholníka:

Vlastnosť mediánov trojuholníka: Stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a sú delené týmto bodom v pomere 2: 1, počítané od vrcholu (obr. 4).

Priesečník mediánov je tzv ťažisko trojuholník.

Nech je dané Δ ABC, pre ktoré sú AA 1, BB 1, CC 1 mediány, navyše AA 1 ∩CC 1 = O. Je potrebné dokázať, že BB 1 ∩ CC 1 = O a AO/OA 1 = VO /OB 1 = CO/OS 1 = 2.

Dôkaz.

1) Nakreslite stredovú čiaru A 1 C 1. Podľa vety o stredová čiara trojuholník A 1 C 1 || AC a A1C1 = AC/2.

2) Trojuholníky AOC a A 1 OC 1 sú podobné v dvoch uhloch (uhol AOC = uhol A 1 OC 1 ako zvislý, uhol OAC = uhol OA 1 C 1 ako vnútorný priečne ležiaci s A 1 C 1 || AC a sečnicou AA 1 ) , teda podľa definície podobných trojuholníkov AO/A 1 O = OC/OS 1 = AC/A 1 C 1 = 2.

3) Nech BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Podobne ako v bodoch 1 a 2 sa dá dokázať, že VO/O 1 B 1 = CO 1 /O 1 C = 2. Ale keďže na segmente CC 1 je jediný bod O, ktorý ho delí v pomere CO:OS 1 = 2:1, potom sa body O a O 1 zhodujú. To znamená, že všetky stredy trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, pričom každý z nich sa delí v pomere 2: 1, počítajúc od vrcholu.

V kurze geometrie v téme „oblasť polygónov“ je dokázaná skutočnosť, že medián rozdeľuje ľubovoľný trojuholník na dve rovnaké časti. Navyše, keď sa tri stredy trojuholníka pretnú, vznikne šesť rovnakých trojuholníkov.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť problémy ako trojuholníky?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

KAPITOLA VIII.

PROPORCIONALITA VEĽKOSTI. PODOBNOSŤ OBRAZOV.

§ 92. POMER PLOCHY PODOBNÝCH POSTAV.

1. Pomer plôch štvorcov.

Zvážte pomer plôch dvoch štvorcov. Ak stranu jedného štvorca označíme o T, a druhá strana - cez P, potom budú plochy v príslušnom poradí rovnaké
T 2 a P 2 (nákres 379).

Označením plochy prvého štvorca S a plochy druhého S“ dostaneme: S / S" = m 2 / n 2, t.j. plochy štvorcov sú spojené ako štvorce ich strán.

Výsledný vzorec možno transformovať takto: S / S" = ( m / n) 2 .

To znamená, že môžeme povedať, že pomer plôch dvoch štvorcov sa rovná druhej mocnine pomeru ich strán.

Na výkrese 379 je pomer strán štvorcov 3, pomer ich plôch je
3 2 = 9.

2. Pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov.

Nechaj /\ ABC /\ A"B"C" (kresba 380). Z podobnosti trojuholníkov vyplýva, že
/ A= / A" / B= / B" a / C = / C". Okrem toho AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C".

V týchto trojuholníkoch z vrcholov B a B“ nakreslíme nadmorské výšky a označíme ich h A h". Plocha prvého trojuholníka sa bude rovnať AC h/ 2 a plocha druhého trojuholníka je A"C" h" / 2 .

Označením plochy prvého trojuholníka S a plochy druhého S" dostaneme: S / S" = AC h/A"C" h" alebo S/S" = AC/A"C" h / h"

Z podobnosti trojuholníkov ABO a A"B"O" (sú podobné, pretože sú pravouhlé a navyše majú rovnaké ostrý roh, menovite / A= / A") nasleduje:
h / h"= AB / A "B" . Ale AB / A "B" = AC / A "C". teda h / h"= AC / A"C". Nahradenie vo vzorci S / S" = AC / A"C" h / h" postoj h / h" rovná sa pomerom AC / A"C", dostaneme:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" alebo .

takže, Plochy podobných trojuholníkov sú spojené ako štvorce podobných strán .

Výsledný vzorec je možné transformovať takto: S / S" = (AC / A"C") 2.

To znamená, že môžeme povedať, že pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine pomeru ich podobných strán.

3. Pomer plôch podobných polygónov.

Nech ABCDE a A"B"C"D"E" sú podobné mnohouholníky (obr. 381).

To je známe /\ ABC /\ A"B"C"; /\ ACD /\ A"C"D" a /\ ADE /\ A"D"E" (§90).
okrem toho

;

Keďže druhé pomery týchto proporcií sú rovnaké, čo vyplýva z podobnosti mnohouholníkov

Pomocou vlastnosti radu rovnakých pomerov dostaneme:

Alebo

kde S a S" sú plochy týchto podobných mnohouholníkov.

teda Plochy podobných mnohouholníkov sú spojené ako štvorce podobných strán.

Výsledný vzorec je možné previesť do tohto tvaru: S / S" = (AB / A"B") 2

Cvičenia.

1. Strana prvého štvorca je 2-krát väčšia ako strana druhého štvorca (5-krát). Koľkokrát je plocha prvého štvorca viac plochy druhý štvorec?

2. Strana prvého štvorca je 1/3 (0,1) strany druhého štvorca. Aký zlomok plochy prvého štvorca je plocha druhého štvorca?

3. Koeficient podobnosti v podobných polygónoch je 4 (1 / 5; 0,4; 2,5). Aký je pomer ich plôch?

4. Pomer plôch podobných polygónov je 36 (100; 0,09). Aký je pomer podobných strán týchto mnohouholníkov?