Časť valcového vzorca. Návod: Valec

Valec (kruhový valec) je teleso, ktoré sa skladá z dvoch kruhov, kombinovaných paralelným posunom, a všetkých segmentov spájajúcich zodpovedajúce body týchto kruhov. Kruhy sa nazývajú základne valca a segmenty spájajúce príslušné body obvodov kruhov sa nazývajú generátory valca.

Základy valca sú rovnaké a ležia v rovnobežných rovinách a generátory valca sú rovnobežné a rovnaké. Povrch valca pozostáva zo základne a bočnej plochy. Bočný povrch tvoria tvoriace čiary.

Valec sa nazýva rovný, ak sú jeho generátory kolmé na roviny základne. Valec možno považovať za teleso získané otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán ako osi. Existujú aj iné typy valcov - eliptické, hyperbolické, parabolické. Za typ valca sa považuje aj hranol.

Obrázok 2 zobrazuje naklonený valec. Jeho základňami sú kruhy so stredmi O a O 1.

Polomer valca je polomer jeho základne. Výška valca je vzdialenosť medzi rovinami podstavcov. Os valca je priamka prechádzajúca stredmi podstavcov. Je paralelný s generátormi. Prierez valca s rovinou prechádzajúcou osou valca sa nazýva axiálny rez. Rovina prechádzajúca tvoriacou čiarou priameho valca a kolmá na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina valca.

Rovina kolmá na os valca pretína jeho bočnú plochu pozdĺž obvodu, rovnaký kruh dôvodov.

Hranol vpísaný do valca je hranol, ktorého základne sú rovnaké mnohouholníky vpísané do základov valca. Jeho bočné rebrá tvoria valec. O hranole sa hovorí, že je opísaný okolo valca, ak jeho základne sú rovnaké mnohouholníky opísané okolo základov valca. Roviny jeho plôch sa dotýkajú bočného povrchu valca.

Bočný povrch valca možno vypočítať vynásobením dĺžky tvoriacej čiary obvodom sekcie valca rovinou kolmou na tvoriacu čiaru.

Bočný povrch rovného valca možno nájsť jeho vývojom. Rozvinutím valca je obdĺžnik s výškou h a dĺžkou P, ktorá sa rovná obvodu podstavy. Preto sa plocha bočného povrchu valca rovná ploche jeho vývoja a vypočíta sa podľa vzorca:

Najmä pre pravý kruhový valec:

P = 2πR a Sb = 2πRh.

Celková plocha valca sa rovná súčtu plôch jeho bočného povrchu a jeho základov.

Pre rovný kruhový valec:

Sp = 2πRh + 2πR2 = 2πR(h + R)

Na zistenie objemu nakloneného valca existujú dva vzorce.

Objem nájdete vynásobením dĺžky tvoriacej čiary plochou prierezu valca rovinou kolmou na tvoriacu čiaru.

Objem nakloneného valca sa rovná súčinu plochy základne a výšky (vzdialenosť medzi rovinami, v ktorých ležia základne):

V = Sh = S l sin α,

kde l je dĺžka tvoriacej priamky a α je uhol medzi tvoriacou čiarou a rovinou základne. Pre rovný valec h = l.

Vzorec na zistenie objemu kruhového valca je nasledujúci:

V = π R 2 h = π (d 2 / 4) h,

kde d je priemer základne.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Ako vypočítať povrch valca je témou tohto článku. Pri akomkoľvek matematický problém musíte začať zadaním údajov, určiť, čo je známe a s čím v budúcnosti pracovať, a až potom prejsť priamo k výpočtu.

Toto objemové teleso je geometrický obrazec valcového tvaru, ohraničené zhora a zdola dvoma rovnobežnými rovinami. Ak použijete trochu fantázie, všimnete si, že geometrické teleso vzniká otáčaním obdĺžnika okolo osi, pričom jedna z jeho strán je osou.

Z toho vyplýva, že krivka opísaná nad a pod valcom bude kruh, ktorého hlavným ukazovateľom je polomer alebo priemer.

Plocha valca - online kalkulačka

Táto funkcia nakoniec zjednodušuje proces výpočtu a všetko spočíva v automatickom nahradení zadaných hodnôt pre výšku a polomer (priemer) základne obrázku. Jediné, čo sa vyžaduje, je presne určiť údaje a nerobiť chyby pri zadávaní čísel.

Povrchová plocha na strane valca

Najprv si musíte predstaviť, ako vyzerá skenovanie v dvojrozmernom priestore.

Nejde o nič iné ako o obdĺžnik, ktorého jedna strana sa rovná obvodu. Jeho vzorec je známy už od nepamäti - 2π*r, Kde r- polomer kruhu. Druhá strana obdĺžnika sa rovná výške h. Nájsť to, čo hľadáte, nebude ťažké.

Sstrane= 2π *r*h,

kde je číslo π = 3,14.

Celková plocha valca

Ak chcete nájsť celkovú plochu valca, musíte použiť výsledok S strana pridajte plochy dvoch kruhov, hornú a spodnú časť valca, ktoré sa vypočítajú pomocou vzorca S o =2π * r 2 .

Konečný vzorec vyzerá takto:

Sposchodie= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Plocha valca - vzorec cez priemer

Na uľahčenie výpočtov je niekedy potrebné vykonať výpočty cez priemer. Napríklad je tu kus dutej rúrky so známym priemerom.

Bez toho, aby sme sa trápili zbytočnými výpočtami, máme pripravený vzorec. Na pomoc prichádza algebra 5. ročníka.

Spohlavie = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π * d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Namiesto r musíte vložiť hodnotu do celého vzorca r =d/2.

Príklady výpočtu plochy valca

Vyzbrojení vedomosťami začnime cvičiť.

Príklad 1 Je potrebné vypočítať plochu zrezaného kusu rúry, to znamená valca.

Máme r = 24 mm, h = 100 mm. Musíte použiť vzorec cez polomer:

S podlaha = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Prepočítame na bežné m2 a dostaneme 0,01868928, približne 0,02 m2.

Príklad 2 Treba poznať oblasť vnútorný povrch azbestové kachlové potrubie, ktorého steny sú obložené žiaruvzdornými tehlami.

Údaje sú nasledovné: priemer 0,2 m; výška 2 m Z hľadiska priemeru použijeme vzorec:

S podlaha = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Príklad 3 Ako zistiť, koľko materiálu je potrebné na ušitie tašky, r = 1 ma výšku 1 m.

V jednom momente existuje vzorec:

S strana = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Záver

Na konci článku vyvstala otázka: sú všetky tieto výpočty a prevody jednej hodnoty na druhú skutočne potrebné? Prečo je to všetko potrebné a čo je najdôležitejšie, pre koho? Ale nezanedbávajte a zabúdajte jednoduché vzorce zo strednej školy.

Svet stál a bude stáť na elementárnych vedomostiach, vrátane matematiky. A keď začínate s akoukoľvek dôležitou prácou, nikdy nie je na škodu si tieto výpočty osviežiť a aplikovať ich v praxi s veľkým efektom. Presnosť – slušnosť kráľov.

S valcom je spojené veľké množstvo problémov. V nich musíte nájsť polomer a výšku tela alebo typ jeho sekcie. Navyše niekedy musíte vypočítať plochu valca a jeho objem.

Ktoré teleso je valec?

V školských osnovách sa študuje kruhový valec, to znamená jeden na základni. Vyznačuje sa však aj elipsovitým vzhľadom tejto postavy. Už z názvu je jasné, že jeho základom bude elipsa alebo ovál.

Valec má dve základne. Sú si navzájom rovné a sú spojené segmentmi, ktoré kombinujú zodpovedajúce body základov. Nazývajú sa generátory valca. Všetky generátory sú navzájom paralelné a rovnaké. Tvoria bočný povrch tela.

Vo všeobecnosti je valec naklonené teleso. Ak generátory zvierajú so základňami pravý uhol, potom hovoríme o priamom obrazci.

Je zaujímavé, že kruhový valec je rotačné teleso. Získava sa otáčaním obdĺžnika okolo jednej z jeho strán.

Hlavné prvky valca

Hlavné prvky valca vyzerajú takto.

1. Výška. Je to najkratšia vzdialenosť medzi základňami valca. Ak je rovná, potom sa výška zhoduje s tvoriacou čiarou.
2. Polomer. Zhoduje sa s tým, ktorý sa dá nakresliť na základni.
3. Os. Toto je priamka, ktorá obsahuje stredy oboch základní. Os je vždy rovnobežná so všetkými generátormi. V priamom valci je kolmý na základne.
4. Axiálny rez. Vzniká, keď valec pretína rovinu obsahujúcu os.
5. Dotyková rovina. Prechádza jednou z tvoriacich čiar a je kolmá na osový rez, ktorý je pretiahnutý touto tvoriacou čiarou.

Ako je valec spojený s hranolom, ktorý je do neho vpísaný alebo popísaný okolo neho?

Niekedy existujú problémy, pri ktorých je potrebné vypočítať plochu valca, ale sú známe niektoré prvky súvisiaceho hranola. Ako spolu tieto čísla súvisia?

Ak je hranol vpísaný do valca, potom jeho základne sú rovnaké polygóny. Okrem toho sú vpísané do zodpovedajúcich základov valca. Bočné okraje hranola sa zhodujú s generátormi.

Opísaný hranol má na svojej základni pravidelné mnohouholníky. Sú popísané okolo kruhov valca, ktoré sú jeho základňami. Roviny, ktoré obsahujú plochy hranola, sa dotýkajú valca pozdĺž ich generátorov.

Na ploche bočnej plochy a základne pre pravý kruhový valec

Ak rozbalíte bočnú plochu, dostanete obdĺžnik. Jeho strany sa budú zhodovať s tvoriacou čiarou a obvodom základne. Preto sa bočná plocha valca bude rovnať súčinu týchto dvoch množstiev. Ak si vzorec zapíšete, dostanete nasledovné:

S strana = l * n,

kde n je generátor, l je obvod.

Okrem toho sa posledný parameter vypočíta podľa vzorca:

l = 2 π * r,

tu r je polomer kruhu, π je číslo „pi“ rovné 3,14.

Keďže základom je kruh, jeho plocha sa vypočíta pomocou nasledujúceho výrazu:

S main = π * r 2 .

Na ploche celého povrchu pravého kruhového valca

Keďže je tvorený dvoma základňami a bočnou plochou, musíte tieto tri množstvá pridať. To znamená, že celková plocha valca sa vypočíta podľa vzorca:

S poschodie = 2 π * r * n + 2 π * r 2 .

Často sa píše v inej forme:

S poschodie = 2 π * r (n + r).

Na plochách nakloneného kruhového valca

Pokiaľ ide o základy, všetky vzorce sú rovnaké, pretože sú to stále kruhy. A tu bočný povrch už nevytvára obdĺžnik.

Na výpočet plochy bočného povrchu nakloneného valca budete musieť vynásobiť hodnoty tvoriacej čiary a obvodu úseku, ktorý bude kolmý na vybranú tvoriacu čiaru.

Vzorec vyzerá takto:

Strana S = x * P,

kde x je dĺžka tvoriacej čiary valca, P je obvod rezu.

Mimochodom, je lepšie zvoliť časť tak, aby tvorila elipsu. Potom sa zjednodušia výpočty jeho obvodu. Dĺžka elipsy sa vypočíta pomocou vzorca, ktorý dáva približnú odpoveď. Na úlohy školského kurzu však často stačí:

l = π * (a + b),

kde „a“ a „b“ sú poloosi elipsy, to znamená vzdialenosť od stredu k jej najbližšiemu a najvzdialenejšiemu bodu.

Plocha celého povrchu sa musí vypočítať pomocou nasledujúceho výrazu:

S poschodie = 2 π * r 2 + x * R.

Aké sú niektoré časti pravého kruhového valca?

Keď úsek prechádza osou, jeho plocha je určená ako súčin tvoriacej čiary a priemeru základne. Vysvetľuje to skutočnosť, že má tvar obdĺžnika, ktorého strany sa zhodujú s určenými prvkami.

Ak chcete nájsť prierez valca, ktorý je rovnobežný s axiálnym, budete potrebovať aj vzorec pre obdĺžnik. V tejto situácii sa jedna z jej strán bude stále zhodovať s výškou a druhá sa bude rovnať tetive základne. Ten sa zhoduje s čiarou rezu pozdĺž základne.

Keď je rez kolmý na os, vyzerá ako kruh. Okrem toho je jeho plocha rovnaká ako plocha základne obrázku.

Je tiež možné pretínať sa pod určitým uhlom k osi. Potom je výsledkom prierezu ovál alebo jeho časť.

Vzorové problémy

Úloha č.1. Daný rovný valec, ktorého základná plocha je 12,56 cm2. Je potrebné vypočítať celkovú plochu valca, ak je jeho výška 3 cm.

Riešenie. Je potrebné použiť vzorec pre celkovú plochu kruhového rovného valca. Chýbajú mu ale údaje, konkrétne polomer základne. Ale oblasť kruhu je známa. Z toho je ľahké vypočítať polomer.

Ukázalo sa, že sa rovná druhej odmocnine kvocientu, ktorý sa získa vydelením plochy základne pi. Po vydelení 12,56 číslom 3,14 je výsledok 4. Odmocnina zo 4 je to 2. Polomer teda bude mať presne túto hodnotu.

Odpoveď: S podlaha = 50,24 cm2.

Úloha č.2. Valec s polomerom 5 cm je vyrezaný rovinou rovnobežnou s osou. Vzdialenosť od rezu k osi je 3 cm Výška valca je 4 cm.

Riešenie. Tvar prierezu je obdĺžnikový. Jedna z jeho strán sa zhoduje s výškou valca a druhá sa rovná tetive. Ak je známe prvé množstvo, potom je potrebné nájsť druhé.

Na tento účel je potrebné vykonať dodatočnú konštrukciu. Na základni nakreslíme dva segmenty. Obaja začnú v strede kruhu. Prvý bude končiť v strede tetivy a bude sa rovnať známej vzdialenosti od osi. Druhý je na konci akordu.

Dostanete pravouhlý trojuholník. Je v nej známa prepona a jedna z nôh. Prepona sa zhoduje s polomerom. Druhá noha sa rovná polovici akordu. Neznáma noha vynásobená 2 poskytne požadovanú dĺžku akordu. Vypočítajme jeho hodnotu.

Aby ste našli neznámu nohu, budete musieť odmocniť preponu a známu nohu, odpočítať druhú od prvej a vziať druhú odmocninu. Štvorce sú 25 a 9. Ich rozdiel je 16. Po odmocnení zostáva 4. Toto je požadovaná noha.

Tetiva sa bude rovnať 4 * 2 = 8 (cm). Teraz môžete vypočítať plochu prierezu: 8 * 4 = 32 (cm 2).

Odpoveď: S kríž sa rovná 32 cm2.

Úloha č.3. Je potrebné vypočítať axiálnu plochu prierezu valca. Je známe, že je v ňom vpísaná kocka s hranou 10 cm.

Riešenie. Osový rez valca sa zhoduje s obdĺžnikom, ktorý prechádza štyrmi vrcholmi kocky a obsahuje uhlopriečky jej podstav. Strana kocky je tvoriacou čiarou valca a uhlopriečka podstavy sa zhoduje s priemerom. Súčin týchto dvoch veličín dá oblasť, ktorú potrebujete v probléme zistiť.

Ak chcete zistiť priemer, budete musieť použiť vedomosť, že základňa kocky je štvorec a jej uhlopriečka tvorí rovnostranu správny trojuholník. Jeho prepona je požadovaná uhlopriečka obrazca.

Na jej výpočet budete potrebovať vzorec Pytagorovej vety. Musíte odmocniť stranu kocky, vynásobiť ju 2 a vziať druhú odmocninu. Desať na druhú mocninu je sto. Vynásobené 2 je dvesto. Druhá odmocnina z 200 je 10√2.

Rez je opäť obdĺžnik so stranami 10 a 10√2. Jeho plochu možno jednoducho vypočítať vynásobením týchto hodnôt.

Odpoveď. S prierez = 100√2 cm 2.

Ide o geometrické teleso ohraničené dvoma rovnobežnými rovinami a valcovou plochou.

Valec pozostáva z bočnej plochy a dvoch podstavcov. Vzorec pre povrchovú plochu valca zahŕňa samostatný výpočet plochy základne a bočného povrchu. Keďže základne vo valci sú rovnaké, jeho celková plocha sa vypočíta podľa vzorca:

Uvažujeme o príklade výpočtu plochy valca, keď poznáme všetky potrebné vzorce. Najprv potrebujeme vzorec pre oblasť základne valca. Pretože základom valca je kruh, budeme musieť použiť:
Pamätáme si, že pri týchto výpočtoch sa používa konštantné číslo Π = 3,1415926, ktoré sa vypočíta ako pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Toto číslo je matematická konštanta. O niečo neskôr sa pozrieme aj na príklad výpočtu plochy základne valca.

Povrchová plocha na strane valca

Vzorec pre plochu bočného povrchu valca je výsledkom dĺžky základne a jej výšky:

Teraz sa pozrime na problém, v ktorom musíme vypočítať celkovú plochu valca. Na danom obrázku je výška h = 4 cm, r = 2 cm, nájdime celkovú plochu valca.
Najprv vypočítame plochu základne:
Teraz sa pozrime na príklad výpočtu plochy bočného povrchu valca. Po roztiahnutí predstavuje obdĺžnik. Jeho plocha sa vypočíta podľa vyššie uvedeného vzorca. Nahradíme do nej všetky údaje:
Celková plocha kruhu je súčtom dvojnásobku plochy základne a strany:

Pomocou vzorcov pre plochu základne a bočnú plochu figúry sme teda dokázali nájsť celkovú plochu valca.
Axiálny rez valca je obdĺžnik, ktorého strany sa rovnajú výške a priemeru valca.

Vzorec pre axiálnu prierezovú plochu valca je odvodený z výpočtového vzorca:

Valec je postava pozostávajúca z valcový povrch a dva kruhy umiestnené rovnobežne. Výpočet plochy valca je problém v geometrickom odvetví matematiky, ktorý sa dá vyriešiť celkom jednoducho. Na jeho riešenie existuje niekoľko metód, ktoré sa nakoniec vždy zídu na jeden vzorec.

Ako nájsť plochu valca - pravidlá výpočtu

• Ak chcete zistiť plochu valca, musíte pridať dve oblasti základne k ploche bočného povrchu: S = Sside + 2Sbase. V podrobnejšej verzii tento vzorec vyzerá takto: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Bočný povrch daného geometrické teleso možno vypočítať, ak je známa jeho výška a polomer kružnice ležiacej na jej základni. V tomto prípade môžete vyjadriť polomer z obvodu, ak je daný. Výšku je možné zistiť, ak je v podmienke uvedená hodnota generátora. V tomto prípade sa tvoriaca čiara bude rovnať výške. Vzorec pre bočný povrch tohto telesa vyzerá takto: S= 2 π rh.
• Plocha základne sa vypočíta pomocou vzorca na nájdenie plochy kruhu: S osn= π r 2 . Pri niektorých problémoch nemusí byť daný polomer, ale obvod môže byť daný. Pomocou tohto vzorca je polomer vyjadrený pomerne jednoducho. С=2π r, r= С/2π. Musíte tiež pamätať na to, že polomer je polovica priemeru.
• Pri vykonávaní všetkých týchto výpočtov sa číslo π zvyčajne neprekladá na 3,14159... Len ho treba pridať vedľa číselná hodnota, ktorý bol získaný ako výsledok výpočtov.
• Ďalej stačí vynásobiť nájdenú plochu základne 2 a k výslednému číslu pridať vypočítanú plochu bočného povrchu obrázku.
• Ak problém naznačuje, že valec má axiálny prierez a že ide o obdĺžnik, riešenie bude mierne odlišné. V tomto prípade bude šírka obdĺžnika priemer kruhu ležiaceho na spodnej časti tela. Dĺžka obrázku sa bude rovnať tvoriacej čiare alebo výške valca. Je potrebné vypočítať požadované hodnoty a nahradiť ich do už známeho vzorca. V tomto prípade musí byť šírka obdĺžnika rozdelená na dve, aby sa našla plocha základne. Na nájdenie bočného povrchu sa dĺžka vynásobí dvoma polomermi a číslom π.
• Môžete vypočítať plochu daného geometrického telesa prostredníctvom jeho objemu. K tomu je potrebné odvodiť chýbajúcu hodnotu zo vzorca V=π r 2 h.
• Pri výpočte plochy valca nie je nič zložité. Musíte len poznať vzorce a vedieť z nich odvodiť množstvá potrebné na vykonanie výpočtov.