Typ lekcie: lekcia oboznámenia sa s novým materiálom.

Účel hodiny: Dokážte vlastnosť oblastí podobných trojuholníkov a ukážte ich praktický význam pri riešení problémov.

Ciele lekcie:

výučba - dokázať vlastnosť oblastí takýchto trojuholníkov a ukázať jej praktický význam pri riešení problémov;

rozvíjanie - rozvíjať schopnosť analyzovať a zvoliť argumentáciu pri riešení problému, ktorého riešenie nie je známe;

vzdelávací - podporovať záujem o predmet prostredníctvom obsahu vzdelávacieho procesu a vytvárania situácie úspechu, podporovať schopnosť pracovať v skupine.

Študent má tieto vedomosti:

Jednotka obsahu aktivity, ktorú sa musia študenti naučiť:

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment.

2. Aktualizácia vedomostí.

3. Riešenie problémovej situácie.

4. Zhrnutie lekcie a zaznamenanie domáca úloha, odraz.

Vyučovacie metódy: verbálne, vizuálne, hľadanie problémov.

Formy školenia: frontálna práca, práca v malých skupinách, samostatná a samostatná práca.

Technológie: cieľ úlohy, informačné technológie, prístup založený na kompetenciách.

Vybavenie:

počítač, projektor na predvádzanie prezentácií, interaktívna tabuľa, kamera na dokumenty;

počítačová prezentácia v programe Microsoft PowerPoint;

podporné zhrnutie;

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Dnes v lekcii nebudeme pracovať v zošitoch, ale v podporných poznámkach, ktoré vyplníte pre pokračovanie celej hodiny. Zaregistrujte sa. Známka za hodinu bude pozostávať z dvoch komponentov: poznámka na pozadí a známka aktívna práca na hodine.

2. Aktualizácia vedomostí študentov. Príprava na aktívne vzdelávacie a kognitívne činnosti na hlavnom stupni hodiny.

Ďalej s vami študujeme tému „podobnosť trojuholníkov“. Preto si pripomeňme, čo sme sa dozvedeli na poslednej hodine.

Teoretická rozcvička. Test. Vo vašich kľúčových poznámkach je prvá úloha testovacieho charakteru. Odpovedzte na otázky a vyberte jednu z navrhovaných možností odpovede, na ktorú musíte napísať svoju odpoveď.

1. Učiteľ: Čo sa nazýva pomer dvoch úsečiek?

Odpoveď: Pomer dvoch segmentov dvoch segmentov je pomerom ich dĺžok.

1. Učiteľ: V takom prípade segmentyAB a CD úmerné segmentomA 1 B 1 a C. 1 D 1

Odpoveď: segmenty AB a CD úmerné segmentomA 1 B 1 a C. 1 D 1 ak

Vaše možnosti. Dobre. Nezabudnite napraviť, kto sa mýli.

1. Učiteľ: Aká je definícia takýchto trojuholníkov? Prečítajte si svoju kľúčovú osnovu. Na odpoveď na túto otázku máte tri možnosti. Vyberte si ten pravý. Zakrúžkuj to.

Takže prosím, ktorú možnosť ste si vybrali _______

Odpoveď: Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a strany jedného trojuholníka sú úmerné stranám druhého trojuholníka.

Výborne! Opravte niekoho zle.

1. Učiteľ: Aký je pomer plôch dvoch trojuholníkov s rovnakými uhlami?

Odpoveď: Ak sa uhol jedného trojuholníka rovná uhlu druhého trojuholníka, potom oblasti týchto trojuholníkov súvisia ako produkty strán obklopujúcich rovnaké uhly.

Riešenie problémov na základe hotových výkresov.Ďalej bude prebiehať naša rozcvička pri riešení problémov pomocou hotových výkresov. Tieto úlohy tiež vidíte vo svojich poznámkach k hlavnej poznámke.

Odraz. Poďme si ujasniť, aké vedomosti a zručnosti nám umožnili tieto problémy vyriešiť. Aké metódy riešenia sme použili (opravenie odpovedí na tabuli).

Možné odpovede:

Určenie podobných trojuholníkov;

Aplikácia definície podobných trojuholníkov pri riešení problémov;

Veta o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami;

A teraz navrhujem vyriešiť niekoľko problémov spôsobom riešenia, ktorý má niečo spoločné s témou hodiny, ale súvisia skôr s geografiou.

Úspešná situácia.

Prvá úloha je pred vami. Na tejto úlohe pracujeme nezávisle. Prvý, kto uspeje, ukáže svoje riešenie pri tabuli a niekto svoje riešenie predvedie prostredníctvom dokumentovej kamery, takže píšeme nádherne a presne.

Odpoveď: strany Bermudského trojuholníka sú 2 000 km, 1840 km, 2220 km. Dĺžka hranice je 6060 km.

Odraz.

Možná odpoveď: podobné trojuholníky majú podobné strany v pomere.

Úspešná situácia.

S rozmermi Bermudský trojuholník prišli sme na to. No, teraz poďme zistiť miery kvetinového záhonu. Obraciame kľúčové poznámky. Druhá úloha. Tento problém riešime prácou vo dvojici. Kontrolujeme rovnakým spôsobom, ale iba výsledok predstaví prvý pár, ktorý úlohu dokončil.

Odpoveď: boky trojuholníkového záhonu sú 10m a 11m 20 cm.

Poďme to teda skontrolovať. Súhlasia všetci? Kto sa rozhodol iným spôsobom?

Odraz.

Aký spôsob riešenia ste použili na vyriešenie tohto problému? Napíšte svoju kľúčovú poznámku.

Možná odpoveď:

podobné trojuholníky majú rovnaké uhly;

oblasti trojuholníkov s rovnakými uhlami sa označujú ako produkty strán, ktoré obsahujú rovnaké uhly.

Zlyhanie situácie.

5. Učenie sa nového materiálu.

Pri riešení tretej úlohy sa študenti stretávajú s problémom. Problém sa im nepodarí vyriešiť, pretože podľa ich názoru nie je stav problému dostatočne úplný alebo dostanú neprimeranú odpoveď.

Študenti sa s týmto typom problémov ešte nestretli, preto sa problém pri riešení problému nepodaril.

Odraz.

Akú metódu ste sa pokúsili vyriešiť?

Prečo ste nevyriešili poslednú rovnicu?

Žiaci: Nemôžeme nájsť plochu trojuholníka, ak poznáme iba plochu podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

Touto cestou, účel našej lekcie nájdite plochu trojuholníka, ak je známa iba plocha podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

Preformulujme problém na geometrický jazyk. Vyriešme to a potom sa vráťme k tomuto problému.

Záver: Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná štvorcu koeficientu podobnosti.

No a teraz sa vráťme k problému číslo 3 a vyriešime ho na základe dokázanej skutočnosti.

7. Zhrnutie lekcie

Čo nové ste sa dnes naučili robiť?

Vyriešte problémy, pri ktorých je známy koeficient podobnosti a plocha jedného z týchto trojuholníkov.

Aká geometrická vlastnosť nám k tomu pomohla?

Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná štvorcu koeficientu podobnosti.

Domáca úloha.

S. 58 s. 139 č. 546 548

Tvorivá úloha.

Zistite, aký je pomer obvodov dvoch podobných trojuholníkov (# 547)

Zbohom.

učiteľ :.

Typ lekcie: lekcia oboznámenia sa s novým materiálom.

Účel lekcie: Preukážte vlastnosť oblastí takýchto trojuholníkov a ukážte ich praktický význam pri riešení problémov.

Ciele lekcie:

výučba - dokázať vlastnosť oblastí takýchto trojuholníkov a ukázať jej praktický význam pri riešení problémov; rozvíjanie - rozvíjať schopnosť analyzovať a zvoliť argumentáciu pri riešení problému, ktorého riešenie nie je známe; vzdelávací - podporovať záujem o predmet prostredníctvom obsahu vzdelávacieho procesu a vytvárania situácie úspechu, podporovať schopnosť pracovať v skupine.

Študent má tieto vedomosti:

1. Definícia podobných trojuholníkov;

2. Aplikácia definície podobných trojuholníkov pri riešení úloh;

3. Veta o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami;

Jednotka obsahu aktivity, ktorú sa musia študenti naučiť:

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment.

2. Aktualizácia vedomostí.

3. Riešenie problémovej situácie.

4. Zhrnutie výsledkov hodiny a napísanie domácej úlohy, zamyslenie.

Vyučovacie metódy: slovné, vizuálne, hľadanie problému.

Formy školenia: frontálna práca, práca v malých skupinách, samostatná a samostatná práca.

Technológie: cieľ úlohy, informačné technológie, prístup založený na kompetenciách.

Vybavenie:

počítač, projektor na predvádzanie prezentácií, interaktívna tabuľa, kamera na dokumenty; počítačová prezentácia v programe Microsoft PowerPoint; podporné zhrnutie;

Počas vyučovania

1. Organizačný moment.

Ahojte chlapci! Posaď sa. Dnes máme neobvyklú lekciu. Na hodine máme hostí. Prosím, otočte sa a pozdravte ich kývnutím hlavy. Ďakujem chlapci. Posaď sa.

Dnes v lekcii nebudeme pracovať v zošitoch, ale v podporných poznámkach, ktoré vyplníte pre pokračovanie celej hodiny. Zaregistrujte sa. Známka za hodinu bude pozostávať z dvoch častí: z referenčnej poznámky a z aktívnej práce na hodine.

2. Aktualizácia vedomostí študentov. Príprava na aktívne vzdelávacie a kognitívne činnosti na hlavnom stupni hodiny.

Ďalej s vami študujeme tému „podobnosť trojuholníkov“. Preto si pripomeňme, čo sme sa dozvedeli na poslednej hodine.

Teoretická rozcvička. Test.Vo vašich kľúčových poznámkach je prvá úloha testovacieho charakteru. Odpovedzte na otázky a vyberte jednu z navrhovaných možností odpovede, na ktorú musíte napísať svoju odpoveď.

1) Učiteľ:Čo sa nazýva pomer dvoch úsečiek?

Odpoveď: Pomer dvoch segmentov dvoch segmentov je pomerom ich dĺžok.

2) Učiteľ:V takom prípade segmentyAB aCD úmerné segmentomA1 B1 aC.1 D1

Odpoveď: segmentyAB aCD úmerné segmentomA1 B1 aC.1 D1 , ak

Vaše možnosti. Dobre. Nezabudnite napraviť, kto sa mýli.

3) Učiteľ:Aká je definícia takýchto trojuholníkov? Prečítajte si svoju kľúčovú osnovu. Na odpoveď na túto otázku máte tri možnosti. Vyberte si ten pravý. Zakrúžkuj to.

Takže prosím, ktorú možnosť ste si vybrali _______

Odpoveď: Dva trojuholníky sa nazývajú podobné, ak sú ich uhly rovnaké a strany jedného trojuholníka sú úmerné stranám druhého trojuholníka.

Výborne! Opravte niekoho zle.

4) Učiteľ:Aký je pomer plôch dvoch trojuholníkov s rovnakými uhlami?

Odpoveď: Ak sa uhol jedného trojuholníka rovná uhlu druhého trojuholníka, potom oblasti týchto trojuholníkov súvisia ako produkty strán obklopujúcich rovnaké uhly.

Riešenie problémov na základe hotových výkresov. Ďalej bude prebiehať naša rozcvička pri riešení problémov pomocou hotových výkresov. Tieto úlohy tiež vidíte vo svojich poznámkach k hlavnej poznámke.

https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif "width \u003d" 480 "height \u003d" 360 "\u003e

Odpoveď: strany Bermudského trojuholníka sú 2 000 km, 1840 km, 2220 km. Dĺžka hranice je 6060 km.

Odraz.

Možná odpoveď:podobné trojuholníky majú podobné strany v pomere.

2. Situácia úspechu.

Zistili sme rozmery Bermudského trojuholníka. No, teraz poďme zistiť miery kvetinového záhonu. Obraciame kľúčové poznámky. Druhá úloha. Tento problém riešime prácou vo dvojici. Kontrolujeme rovnakým spôsobom, ale iba výsledok predstaví prvý pár, ktorý úlohu dokončil.

Odpoveď: boky trojuholníkového záhonu sú 10m a 11m 20 cm.

Poďme to teda skontrolovať. Súhlasia všetci? Kto sa rozhodol iným spôsobom?

Odraz.

Aký spôsob riešenia ste použili na vyriešenie tohto problému? Napíšte svoju kľúčovú poznámku.

Možná odpoveď:

· Podobné trojuholníky majú rovnaké uhly;

· Plochy trojuholníkov s rovnakými uhlami sa označujú ako produkty strán s rovnakými uhlami.

3. Poruchová situácia.

5. Učenie sa nového materiálu.

Pri riešení tretej úlohy sa študenti stretávajú s problémom. Problém sa im nepodarí vyriešiť, pretože podľa ich názoru nie je stav problému dostatočne úplný alebo dostanú neprimeranú odpoveď.

Študenti sa s týmto typom problémov ešte nestretli, preto sa problém pri riešení problému nepodaril.

Odraz.

Akú metódu ste sa pokúsili vyriešiť?

Prečo ste nevyriešili poslednú rovnicu?

Žiaci: Nemôžeme nájsť plochu trojuholníka, ak poznáme iba plochu podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

Touto cestou, účel našej lekcie nájdite plochu trojuholníka, ak je známa iba plocha podobného trojuholníka a koeficient podobnosti.

Preformulujme problém na geometrický jazyk. Vyriešme to a potom sa vráťme k tomuto problému.

Záver: Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná štvorcu koeficientu podobnosti.

No a teraz sa vráťme k problému číslo 3 a vyriešime ho na základe dokázanej skutočnosti.

7. Zhrnutie lekcie

Čo nové ste sa dnes naučili robiť?

Vyriešte problémy, pri ktorých je známy koeficient podobnosti a plocha jedného z týchto trojuholníkov.

Aká geometrická vlastnosť nám k tomu pomohla?

Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná štvorcu koeficientu podobnosti.

Domáca úloha.

S. 58 s. 139 č. 000 548

Tvorivá úloha.

Zistite, aký je pomer obvodov dvoch podobných trojuholníkov (# 000)

1.3. Pomer plôch podobných trojuholníkov. Veta. Pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov sa rovná štvorcu koeficientu podobnosti. Dôkazy. Nech trojuholníky ABC a A1B1C1 sú podobné a koeficient podobnosti je k. Označme oblasti týchto trojuholníkov písmenami S a S1. Pretože teda A \u003d A1.

Snímka 11 z prezentácie „„ Podobné trojuholníky “, stupeň 8“... Veľkosť archívu s prezentáciou je 1756 KB.

Stupeň geometrie 8

zhrnutie ďalšie prezentácie

„Obdĺžniky“ - uhlopriečka. Maľby. Boky obdĺžnika. Obvod obdĺžnika. Muž. Plocha obdĺžnika. Obdĺžnik v živote. Definícia. Bočná strana obdĺžnika. Diagonály. Rozprávka o obdĺžniku. Obdĺžnik. Opačné strany.

„Skalárny súčin v súradniciach“ - Vektor. Napoleonova veta. Dôsledok. Skalárne súčinové vlastnosti vektorov. Vymeniť karty. Poďme vyriešiť úlohu. Geometria. Skalárny súčin v súradniciach a jeho vlastnosti. Matematický test. Nový materiál... Riešenie trojuholníka. Matematická rozcvička. Meno autora vety. Dôkaz Pytagorovej vety.

„Nájdenie oblasti rovnobežníka“ - Plocha rovnobežníka. Ústne cvičenia. Výška Stanovenie výšky rovnobežníka. Paralelogramové výšky. Nájdite oblasť rovnobežníka. Plocha trojuholníka. Plocha štvorca. Vlastnosti plôch. Nájdite oblasť trojuholníka. Nájdite obvod štvorca. Základňa. Nájdite oblasť obdĺžnika. Nájdite plochu štvorca. Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov.

„Vektory 8. stupňa“ - pomenujte rovnaké a opačné vektory. Vektory na hodinách fyziky. Absolútna hodnota vektora. Absolútna hodnota vektora. Obdĺžnik, ktorého všetky strany sú rovnaké. Vektorový koncept. Určte súradnice vektora. Nájdite a pomenujte rovnaké vektory na tomto obrázku. Rovnaké vektory. Samostatná práca vo dvojici. Vektorové súradnice. Heslo lekcie. Skalárne fyzikálne veličiny, ako je trecia sila, rýchlosť.

„Rôzne typy symetrie“ - požiadavka. Kĺzavá symetria. Rovnoramenný trojuholník so zrkadlovou symetriou. Skupinová teória. Symetria v biológii. Rotačná symetria. Dvojpaprsková radiálna symetria. Čo je to symetria. Supersymetria. Symetria v geometrii. Symetria vo fyzike. Zvonček hore. Vznik bilaterálnej symetrie. Bilaterálna symetria. Noetherova veta. Nedostatok symetrie. Fyzika symetrie. Centrálna symetria.

„Námestie v živote“ - námestia nás nájdu všade. India. Čarovný štvorec Albrechta Durera. História. Štvorce. Kúzelný štvorec Luo Shu. Čierny štvorec. Riddle "Square". Zaujímavosti o námestí. Geometrický obrázok námestie. Malevičovo námestie. Čarovný štvorec. Obdĺžnik. Námestie. Základný koncept. Zaujímavosti. Čína.

Definícia a vlastnosti podobných trojuholníkov

Čísla a 1, a 2, a 3,…, an sa nazývajú úmerne číslam b 1, b 2, b 3,…, bn, ak platí rovnosť: a 1 / b 1 \u003d a 2 / b 2 \u003d a 3 / b 3 \u003d… \u003d An / bn \u003d k, kde k je nejaké číslo, ktoré sa nazýva koeficient proporcionality.

Príklad. Čísla 6; 7.5 a 15 sú úmerné číslam -4; 5 a 10. Faktor proporcionality je –1,5, pretože

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Proporcionalita čísel sa uskutoční, ak tieto čísla súvisia s pomerom.

Je známe, že podiel môže byť tvorený najmenej štyrmi číslami, preto je koncept proporcionality použiteľný pre najmenej štyri čísla (jedna dvojica čísel je úmerná inej dvojici alebo jedna trojica čísel je úmerná ďalším trom číslam atď.).

Zvážte na obr. jeden dva trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 s rovnakými párovými uhlami: A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1.

Zavolajú sa strany, ktoré sú proti rovnakým párom uhlov oboch trojuholníkov podobný... Takže, ďalej obr. jeden strany AB a A 1 B 1, AC a A 1 C 1, BC a B 1 C 1 sú podobné, pretože ležia oproti, v rovnakom poradí, s rovnakými uhlami trojuholníkov ABC a A 1 B 1 C 1.

Dajme definíciu takýchto trojuholníkov:

Dva trojuholníky sa nazývajú páči sa mi toak sú ich uhly rovnaké v pároch a podobné strany sú proporcionálne.

Pomer podobných strán podobných trojuholníkov sa nazýva koeficient podobnosti.

Sú označené podobné trojuholníky nasledujúcim spôsobom: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1.

Takže ďalej obr. 2 máme: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

uhly A \u003d A 1, B \u003d B 1, C \u003d C 1 a AB / A 1 B 1 \u003d BC / B 1 C 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d k, kde k je koeficient podobnosti. Z obr. 2 vidno, že také trojuholníky majú rovnaké proporcie a líšia sa iba mierkou.

Poznámka 1: Rovnaké trojuholníky sú podobné s faktorom 1.

Poznámka 2: Pri označovaní takýchto trojuholníkov by ste mali usporiadať ich vrcholy tak, aby sa uhly pri nich rovnali párom. Napríklad pre trojuholníky zobrazené na obrázku 2, ktoré hovoria, že Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1 je nesprávny. Pri dodržaní správneho poradia vrcholov je vhodné napísať proporciu spájajúcu podobné strany trojuholníkov bez toho, aby sme odkazovali na výkres: v čitateli a menovateli zodpovedajúcich vzťahov by mali byť dvojice vrcholov zaujímajúcich rovnaké polohy pri označovaní takýchto trojuholníkov. Napríklad zo zápisu „Δ ABC ~ Δ KNL“ vyplýva, že uhly sú A \u003d K, B \u003d N, C \u003d L a AB / KN \u003d BC / NL \u003d AC / KL.

Poznámka 3: Požiadavky uvedené v definícii takýchto trojuholníkov sú nadbytočné. Kritériá podobnosti pre trojuholníky, ktoré obsahujú menej požiadaviek na podobné trojuholníky, sa ukážu o niečo neskôr.

Poďme formulovať vlastnosti podobných trojuholníkov:

1. Pomer zodpovedajúcich lineárnych prvkov podobných trojuholníkov sa rovná koeficientu ich podobnosti. Medzi také prvky podobných trojuholníkov patria tie, ktoré sa merajú v jednotkách dĺžky. Toto je napríklad strana trojuholníka, obvod, medián. Uhol alebo plocha sa na tieto prvky nevzťahuje.
2. Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná štvorcovému koeficientu ich podobnosti.

Nech sú trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 podobné s koeficientom k (obr. 2).

Dokážme, že S ABC / S A1 B1 C1 \u003d k 2.

Pretože uhly takýchto trojuholníkov sú párovo rovnaké, to znamená A \u003d A 1, a podľa vety o pomere plôch trojuholníkov, ktoré majú rovnaký uhol, máme:

S ABC / S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d AB / A 1 B 1 AC / A 1 C 1.

Z dôvodu podobnosti trojuholníkov AB / A 1 B 1 \u003d k a AC / A 1 C 1 \u003d k,

preto S ABC / S A1 B1 C1 \u003d AB / A 1 B 1 AC / A 1 C 1 \u003d k k \u003d k 2.

Poznámka: Vlastnosti takýchto trojuholníkov formulovaných vyššie sú platné aj pre ľubovoľné čísla.

Znaky podobnosti trojuholníkov

Požiadavky, ktoré sa na tieto trojuholníky kladú z definície (ide o rovnosť uhlov a proporcionalitu strán), sú nadbytočné. Je možné určiť podobnosť trojuholníkov na základe menšieho počtu prvkov.

Pri riešení problémov sa teda najčastejšie používa prvý znak podobnosti trojuholníkov, ktorý tvrdí, že pre podobnosť dvoch trojuholníkov je dostatočná rovnosť ich uhlov:

Prvý znak podobnosti trojuholníkov (v dvoch uhloch): Ak sa dva rohy jedného trojuholníka rovnajú dvom rohom druhého trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky podobné (obr. 3).

Nech sú tam dané trojuholníky Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1, v ktorých sú uhly A \u003d A 1, B \u003d B 1. Je potrebné dokázať, že Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1.

Dôkazy.

1) Podľa vety o súčte uhlov trojuholníka máme:

uhol C \u003d 180 ° (uhol A + uhol B) \u003d 180 ° (uhol A 1 + uhol B 1) \u003d uhol C 1.

2) Podľa vety o pomere plôch trojuholníkov s rovnakými uhlami,

S ABC / S A1 B1 C1 \u003d (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d (AB BC) / (A 1 B 1 B 1 C 1) \u003d (AC BC) / (A 1 C 1 B 1 C 1).

3) Z rovnosti (AB AC) / (A 1 B 1 A 1 C 1) \u003d (AB BC) / (A 1 B 1 В 1 C 1) vyplýva, že AC / A 1 C 1 \u003d BC / B 1 C 1.

4) Z rovnosti (AB ВC) / (A 1 B 1 В 1 C 1) \u003d (AC ВC) / (A 1 С 1 В 1 C 1) vyplýva, že AB / A 1 В 1 \u003d АС / A 1 C 1.

Pre trojuholníky ABC a A 1 B 1 C 1 DA \u003d DA 1, DB \u003d DB 1, DC \u003d DC 1 a AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1.

5) AB / A 1 B 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d BC / B 1 C 1, to znamená, že podobné strany sú proporcionálne. Takže Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 podľa definície.

Veta o proporcionálnom úsečke. Rozdelenie segmentu v danom pomere

Veta o proporcionálnom riadku je zovšeobecnením Thalesovej vety.

Ak chcete použiť Thalesovu vetu, je potrebné, aby rovnobežné čiary pretínajúce dve dané čiary odrezali rovnaké segmenty na jednom z nich. Zovšeobecnená Thalesova veta tvrdí, že ak rovnobežné čiary pretínajú dve dané čiary, potom nimi odrezané segmenty na jednej priamke sú úmerné segmentom odrezaným na druhej priamke.

Veta o proporčných segmentoch je dokázaná podobne ako Thalesova veta (iba sa tu namiesto rovnosti trojuholníkov používa ich podobnosť).

Veta o proporcionálnom priamke (zovšeobecnená Thalesova veta): Paralelné čiary, ktoré pretínajú dve dané čiary, na nich odrezávajú proporcionálne segmenty.

Stredný majetok v trojuholníku

Prvé kritérium podobnosti trojuholníkov nám umožňuje dokázať vlastnosť mediánov trojuholníka:

Stredná hodnota trojuholníka: Mediány trojuholníka sa pretínajú v jednom bode a sú rozdelené týmto bodom v pomere 2: 1, pričom sa počítajú zhora (obr. 4).

Priesečník mediánu sa nazýva ťažiskový trojuholník.

Nech je uvedené Δ ABC, pre ktoré sú AA 1, BB 1, CC 1 mediány, navyše AA 1 ∩ CC 1 \u003d O. Je potrebné dokázať, že BB 1 ∩ CC 1 \u003d O a AO / OA 1 \u003d BO / OV 1 \u003d CO / OS 1 \u003d 2.

Dôkazy.

1) Nakreslíme strednú čiaru A 1 C 1. Podľa vety o stredová čiara trojuholník A 1 C 1 || AC a Ai C1 \u003d AC / 2.

2) Trojuholníky AOC a A 1 OC 1 sú si podobné v dvoch uhloch (uhol AOC \u003d uhol A 1 OC 1 ako vertikálny, uhol OAC \u003d uhol OA 1 C 1 ako vnútorný krížik pri A 1 C 1 || AC a šikmý AA 1) , teda definíciou podobných trojuholníkov AO / A 1 O \u003d OC / OC 1 \u003d AC / A 1 C 1 \u003d 2.

3) Nech BB 1 ∩CC 1 \u003d O 1. Podobne ako v bodoch 1 a 2 sa dá dokázať, že VO / O 1 B 1 \u003d CO 1 / O 1 C \u003d 2. Ale keďže na segmente SS 1 existuje jediný bod O, ktorý ho rozdeľuje vo vzťahu k CO: OS 1 \u003d 2: 1, potom body O a O 1 sa zhodujú. To znamená, že všetky mediány trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, pričom každý z nich sa delí v pomere 2: 1, pričom sa počíta od vrcholu.

V priebehu geometrie v téme „oblasť polygónov“ sa dokazuje, že stredná hodnota rozdelí ľubovoľný trojuholník na dve rovnaké časti. Navyše, keď sa pretnú tri mediány trojuholníka, vytvorí sa šesť rovnakých trojuholníkov.

Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako vyriešiť problémy, ako sú trojuholníky?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

KAPITOLA VIII.

Proporcionalita nôh. PODOBNÉ ÚDAJE.

§ 92. VZŤAH K OBLASTI PODOBNÝCH ÚDAJOV.

1. Pomer plôch štvorcov.

Zvážte pomer plôch dvoch štvorcov. Ak je strana jedného štvorca označená t, a strana druhého - priechodná p, potom budú oblasti rovnaké
t 2 a p 2 (obr. 379).

Označme plochu prvého štvorca cez S a plochu druhého cez S "dostaneme: S / S" \u003d m 2 / n2, to znamená, že plochy štvorcov sa označujú ako štvorce ich strán.

Výsledný vzorec je možné transformovať takto: S / S "\u003d ( m / n) 2 .

Môžeme teda povedať, že pomer plôch dvoch štvorcov sa rovná štvorcu pomeru ich strán.

Na výkrese 379 je pomer strán štvorcov 3, pomer ich plôch je
3 2 = 9.

2. Pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov.

Poďme /\ AVS /\ A „B“ C “(obr. 380). Z podobnosti trojuholníkov to vyplýva
/ A \u003d / A ", / B \u003d / B “a / C \u003d / C ". Tiež AB / A" B "\u003d BC / B" C "\u003d AC / A" C ".

V týchto trojuholníkoch od vrcholov V a B nakreslíme výšky a označíme ich h a h". Plocha prvého trojuholníka sa bude rovnať AC h / 2 a plocha druhého trojuholníka A „C“ h " / 2 .

Označme plochu prvého trojuholníka cez S a plochu druhého - cez S „dostaneme: S / S“ \u003d AC h / A „C“ h " alebo S / S "\u003d AC / A" C " h / h "

Z podobnosti trojuholníkov ABO a A "B" O "(sú si podobné, pretože sú obdĺžnikové, a navyše majú rovnaké ostrý roha síce / A \u003d / A “) nasleduje:
h / h " \u003d AB / A „B“. Ale AB / A „B“ \u003d AC / A „C“. Teda h / h " \u003d AC / A "C". Nahradenie vo vzorci S / S "\u003d AC / A" C " h / h " postoj h / h " rovná sa tomu pomer AC / A "C", dostaneme:
S / S "\u003d AC / A" C "AC / A" C "alebo.

Takže oblasti podobných trojuholníkov sa označujú ako štvorce podobných strán .

Výsledný vzorec je možné transformovať nasledujúcim spôsobom: S / S "\u003d (AC / A" C ") 2.

Môžeme teda povedať, že pomer plôch dvoch podobných trojuholníkov sa rovná štvorcu pomeru ich podobných strán.

3. Pomer plôch podobných mnohouholníkov.

Nech ABCDE a A „B“ C „D“ E “sú podobné polygóny (obr. 381).

Je o tom známe /\ AVS /\ A „B“ C “; /\ ACD /\ "C" D "a /\ ADE /\ A „D“ E “(§ 90).
Okrem toho,

;

Pretože druhé pomery týchto proporcií sú rovnaké, čo vyplýva z podobnosti polygónov, potom

Použitím vlastnosti množstva rovnakých vzťahov dostaneme:

Alebo

kde S a S “sú oblasti týchto mnohouholníkov.

Teda oblasti podobných mnohouholníkov sa označujú ako štvorce podobných strán.

Výsledný vzorec je možné previesť do tohto tvaru: S / S "\u003d (AB / A" B ") 2

Cvičenia.

1. Strana prvého štvorca je 2-krát väčšia ako strana druhého štvorca (5-krát). Koľkokrát je plocha prvého štvorca viac oblasti druhé námestie?

2. Strana prvého štvorca je 1/3 (0,1) strany druhého štvorca. Koľko z plochy prvého štvorca je plocha druhého štvorca?

3. Koeficient podobnosti v takýchto polygónoch je 4 (1/5; 0,4; 2,5). Aký je pomer ich plôch?

4. Pomer plôch takýchto polygónov je 36 (100; 0,09). Aký je pomer podobných strán týchto polygónov?