Formulácia a dôkaz Thalesovej vety. Thalesova veta. Stredná čiara trojuholníka


Táto hrobka je malá, ale sláva nad ňou je nesmierna.
Pred vami je v ňom ukrytý mnohointeligentný Thales.

Nápis na hrobke Tálesa z Milétu

Predstavte si tento obrázok. 600 pred Kr Egypt. Pred vami je obrovská egyptská pyramída. Ak chcete faraóna prekvapiť a zostať v jeho obľúbených, musíte zmerať výšku tejto pyramídy. Nemáš nič. Môžete spadnúť do zúfalstva, ale môžete konať ako Táles z Milétu: použite vetu o podobnosti trojuholníka. Áno, ukázalo sa, že všetko je celkom jednoduché. Thales z Milétu počkal, kým sa zhoduje dĺžka jeho tieňa a jeho výška, a potom pomocou vety o podobnosti trojuholníkov zistil dĺžku tieňa pyramídy, ktorá sa podľa toho rovnala tieňu vrhnutému pyramídou.

Kto to je Táles z Milétu? Muž, ktorý získal slávu jedného z „siedmich mudrcov“ staroveku? Thales z Milétu je starogrécky filozof, ktorý sa vyznamenal svojimi úspechmi v oblasti astronómie, ako aj matematiky a fyziky. Roky jeho života sa odhadovali iba približne: 625-645 pred Kr

Z dôkazov Thalesových znalostí o astronómii možno uviesť nasledujúci príklad. 28. mája 585 pred Kr Miletova predpoveď zatmenia slnka pomohla ukončiť 6-ročnú vojnu medzi Lýdiou a médiami. Tento jav Médov tak vystrašil, že súhlasili s nepriaznivými podmienkami pre seba, aby uzavreli mier s Lydmi.

Pomerne známa je legenda, ktorá charakterizuje Thalesa ako vynaliezavého človeka. Thales často počul nelichotivé komentáre o svojej chudobe. Akonáhle sa rozhodol dokázať, že aj filozofi môžu žiť v hojnosti, ak si to prajú. Aj v zime sa Thales od hviezdnych úvah rozhodol, že v lete bude dobrá úroda olív. Zároveň si najal lisy na olej v Miléte a Chiose. Stálo ho to celkom lacno, keďže v zime po nich nie je prakticky žiadny dopyt. Keď olivy priniesli bohatú úrodu, Thales začal prenajímať svoje lisy na olej. Veľké množstvo peňazí zhromaždených touto metódou sa považovalo za dôkaz, ktorý môžu filozofi zarobiť pomocou svojej mysle, ale ich povolanie je vyššie ako také pozemské problémy. Túto legendu, mimochodom, zopakoval sám Aristoteles.

Pokiaľ ide o geometriu, veľa z jeho „objavov“ bolo požičaných od Egypťanov. A napriek tomu sa tento prenos vedomostí do Grécka považuje za jednu z hlavných zásluh Tálesa z Milétu.

Thalesove úspechy sa považujú za formuláciu a dôkaz nasledujúceho vety:

  • vertikálne uhly sú rovnaké;
  • rovnaké trojuholníky sú tie, v ktorých sú bočné a dva susedné uhly rovnaké;
  • uhly na základni rovnoramenného trojuholníka sú rovnaké;
  • priemer rozdeľuje kruh;
  • vpísaný uhol založený na priemere je pravý.

Thales je pomenovaná podľa inej vety, ktorá je užitočná pri riešení geometrických úloh. Existuje jeho zovšeobecnená a konkrétna forma, inverzná veta, formulácie sa môžu tiež mierne líšiť v závislosti od zdroja, ale význam všetkých zostáva rovnaký. Zvážte túto vetu.

Ak rovnobežné priame čiary pretínajú strany uhla a odrežú rovnaké segmenty na jednej jeho strane, potom odrežú rovnaké segmenty na jeho druhej strane.

Povedzme, že body А 1, А 2, А 3 sú priesečníky rovnobežných priamok na jednej strane rohu a В 1, В 2, В 3 sú priesečníky rovnobežných priamok s druhou stranou rohu. Je potrebné dokázať, že ak A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, potom B 1 B 2 \u003d B 2 B 3.

Cez bod B 2 nakreslíme priamku rovnobežnú s priamkou A 1 A 2. Označme nový riadok С 1 С 2. Zvážte paralelogramy A 1 C 1 B 2 A 2 a A 2 B 2 C 2 A 3.

Vlastnosti paralelogramu nám umožňujú tvrdiť, že A1A2 \u003d C 1 B 2 a A 2 A 3 \u003d B 2 C 2. A keďže podľa našej podmienky A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, potom C 1 B 2 \u003d B 2 C 2.

Na záver zvážte trojuholníky Δ C 1 B 2 B 1 a Δ C 2 B 2 B 3.

C 1 B 2 \u003d B 2 C 2 (preukázané vyššie).

To znamená, že Δ C 1 B 2 B 1 a Δ C 2 B 2 B 3 sa budú rovnať podľa druhého znamienka rovnosti trojuholníkov (pozdĺž bočných a susedných rohov).

Je teda dokázaná Thalesova veta.

Použitie tejto vety výrazne uľahčí a urýchli riešenie geometrických úloh. Veľa šťastia pri osvojovaní tejto zábavnej matematickej vedy!

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

O paralelných a sekančných.

Mimo ruskojazyčnej literatúry sa Thalesova veta niekedy nazýva iná veta o planimetrii, a to vyhlásenie, že , čo vpísaný uhol založené na priemer kruhy je priamy. Objav tejto vety je skutočne pripísaný Thalesovi, o čom existujú dôkazy Proclus.

Formulácia

Ak na jednej z dvoch priamok odložíme niekoľko rovnakých segmentov za sebou a cez ich konce nakreslíme rovnobežné priamky pretínajúce druhú priamku, potom odrežú rovnaké segmenty na druhej priamke.

Všeobecnejšia formulácia, nazývaná tiež veta o proporcionálnom riadku

Paralelné priame čiary odrezané pri secantoch proporcionálne segmenty :

A 1 A 2 B 1 B 2 \u003d A 2 A 3 B 2 B 3 \u003d A 1 A 3 B 1 B 3. (\\ Displaystyle (\\ frac (A_ (1) A_ (2)) (B_ (1) B_ (2))) \u003d (\\ frac (A_ (2) A_ (3)) (B_ (2) B_ (3) )) \u003d (\\ frac (A_ (1) A_ (3)) (B_ (1) B_ (3))).)

Poznámky

  • Veta nemá nijaké obmedzenia týkajúce sa relatívnej polohy sekán (platí pre pretínajúce sa čiary aj pre rovnobežné). Tiež nezáleží na tom, kde sú úsečky.
  • Thalesova veta je zvláštnym prípadom vety o proporcionálnom priamke, pretože rovnaké segmenty možno považovať za proporcionálne segmenty s koeficientom proporcionality rovným 1.

Dôkaz v prípade secants

Zvážte možnosť s neprepojenými pármi úsečiek: nechajte, aby uhol pretínal priame úsečky A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\\ Displaystyle AA_ (1) || BB_ (1) || CC_ (1) || DD_ (1)) a kde A B \u003d C D (\\ Displaystyle AB \u003d CD).

Dôkaz v prípade rovnobežných čiar

Poďme nakresliť rovnú čiaru Pred Kr... Rohy ABC a BCD rovnaké ako interné krížom krážom s rovnobežnými čiarami AB a CD a sekán Pred Kra uhly ACB a CBD sú rovnaké ako vnútorné kríženie pre rovnobežné čiary AC a BD a sekán Pred Kr... Potom o druhý znak rovnosti trojuholníkov trojuholníky ABC a DCB sú si rovní. Z toho teda vyplýva AC = BD a AB = CD. ■

Variácie a zovšeobecnenia

Konverzná veta

Ak v Thalesovej vete vychádzajú rovnaké segmenty z vrcholu (táto formulácia sa často používa v školskej literatúre), potom bude platiť aj opačná veta. Pre križujúce sa secanty je formulovaná takto:

V konverznej Thalesovej vete je dôležité, aby rovnaké segmenty vychádzali z vrcholu

Teda (viď obr.) Z toho, že CB 1 CA 1 \u003d B 1 B 2 A 1 A 2 \u003d… (\\ Displaystyle (\\ frac (CB_ (1)) (CA_ (1))) \u003d (\\ frac (B_ (1) B_ (2)) (A_) (1) A_ (2))) \u003d \\ ldots)z toho vyplýva A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\\ Displaystyle A_ (1) B_ (1) || A_ (2) B_ (2) || \\ ldots).

Ak sú secanty rovnobežné, potom je potrebné vyžadovať rovnosť segmentov na obidvoch secantoch navzájom, inak sa toto tvrdenie stáva nesprávnym (protikladom je lichobežník pretínaný priamkou prechádzajúcou stredom základov).

Táto veta sa používa pri navigácii: zrážka lodí pohybujúcich sa konštantnou rýchlosťou je nevyhnutná, ak je zachovaný smer z jednej lode na druhú.

Sollertinského lemma

Nasledujúce tvrdenie je dvojité až sollertinského lemma :

Poďme f (\\ Displaystyle f) - projektívna korešpondencia medzi bodmi priamky l (\\ Displaystyle l) a rovno m (\\ Displaystyle m)... Sada riadkov bude potom množinou dotyčníc niektorých kužeľovitý rez (možno zdegenerovaný).

V prípade Thalesovej vety je kónus nekonečne vzdialený bod zodpovedajúci smeru rovnobežných čiar.

Toto vyhlásenie je zasa limitujúcim prípadom nasledujúceho vyhlásenia:

Poďme f (\\ Displaystyle f) - projektívna kónická transformácia. Potom obálka množiny riadkov X F (X) (\\ Displaystyle Xf (X)) bude kužeľovitý (možno zdegenerovaný).

O paralelných a sekančných.

Mimo ruskojazyčnej literatúry sa Thalesova veta niekedy nazýva iná veta o planimetrii, a to tvrdenie, že vpísaný uhol založený na priemere kruhu je správny. Objav tejto vety je vlastne pripisovaný Thalesovi, o čom svedčí Proclus.

Formulácia

Ak na jednej z dvoch priamok odložíme niekoľko rovnakých segmentov za sebou a cez ich konce nakreslíme rovnobežné priamky pretínajúce druhú priamku, potom odrežú rovnaké segmenty na druhej priamke.

Všeobecnejšia formulácia, nazývaná tiež veta o proporcionálnom riadku

Paralelné priame čiary sú orezané v secantových proporcionálnych segmentoch:

A 1 A 2 B 1 B 2 \u003d A 2 A 3 B 2 B 3 \u003d A 1 A 3 B 1 B 3. (\\ Displaystyle (\\ frac (A_ (1) A_ (2)) (B_ (1) B_ (2))) \u003d (\\ frac (A_ (2) A_ (3)) (B_ (2) B_ (3) )) \u003d (\\ frac (A_ (1) A_ (3)) (B_ (1) B_ (3))).)

Poznámky

  • Veta nemá nijaké obmedzenia týkajúce sa relatívnej polohy secantov (platí tak pre pretínajúce sa čiary, ako aj pre rovnobežné čiary). Tiež nezáleží na tom, kde sú úsečky.
  • Thalesova veta je zvláštnym prípadom vety o proporcionálnom priamke, pretože rovnaké segmenty možno považovať za proporcionálne segmenty s koeficientom proporcionality rovným 1.

Dôkaz v prípade secants

Zvážte možnosť s neprepojenými pármi úsečiek: nechajte, aby uhol pretínal priame úsečky A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 (\\ Displaystyle AA_ (1) || BB_ (1) || CC_ (1) || DD_ (1)) a kde A B \u003d C D (\\ Displaystyle AB \u003d CD).

  1. Poďme nakresliť body A (\\ Displaystyle A) a C (\\ Displaystyle C) priame čiary rovnobežné s druhou stranou rohu. A B 2 B 1 A 1 (\\ Displaystyle AB_ (2) B_ (1) A_ (1)) a C D 2 D 1 C 1 (\\ Displaystyle CD_ (2) D_ (1) C_ (1))... Podľa vlastnosti rovnobežníka: A B 2 \u003d A 1 B 1 (\\ Displaystyle AB_ (2) \u003d A_ (1) B_ (1)) a C D 2 \u003d C 1 D 1 (\\ Displaystyle CD_ (2) \u003d C_ (1) D_ (1)).
  2. Trojuholníky △ A B B 2 (\\ Displaystyle \\ bigtriangleup ABB_ (2)) a △ C D D 2 (\\ Displaystyle \\ bigtriangleup CDD_ (2)) sú si rovné na základe druhého znaku rovnosti trojuholníkov

Dôkaz v prípade rovnobežných čiar

Poďme nakresliť rovnú čiaru Pred Kr... Rohy ABC a BCD sú rovnaké ako vnútorné kríženie pre rovnobežné čiary AB a CD a sekán Pred Kra uhly ACB a CBD sú rovnaké ako vnútorné kríženie pre rovnobežné čiary AC a BD a sekán Pred Kr... Potom podľa druhého kritéria rovnosti trojuholníkov trojuholníky ABC a DCB sú si rovní. Z toho teda vyplýva AC = BD a AB = CD. ■

Variácie a zovšeobecnenia

Konverzná veta

Ak v Thalesovej vete vychádzajú rovnaké segmenty z vrcholu (táto formulácia sa často používa v školskej literatúre), potom bude platiť aj opačná veta. Pre križujúce sa secanty je formulovaná takto:

Teda (viď obr.) Z toho, že CB 1 CA 1 \u003d B 1 B 2 A 1 A 2 \u003d… (\\ Displaystyle (\\ frac (CB_ (1)) (CA_ (1))) \u003d (\\ frac (B_ (1) B_ (2)) (A_) (1) A_ (2))) \u003d \\ ldots)z toho vyplýva A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … (\\ Displaystyle A_ (1) B_ (1) || A_ (2) B_ (2) || \\ ldots).

Ak sú secanty rovnobežné, potom je potrebné vyžadovať rovnosť segmentov na obidvoch secantoch navzájom, inak sa toto tvrdenie stáva nesprávnym (protikladom je lichobežník pretínaný priamkou prechádzajúcou stredom základov).

Táto veta sa používa pri navigácii: zrážka lodí pohybujúcich sa konštantnou rýchlosťou je nevyhnutná, ak je zachovaný smer z jednej lode na druhú.

Sollertinského lemma

Nasledujúce tvrdenie je duálne k Sollertinského leme:

Poďme f (\\ Displaystyle f) - projektívna korešpondencia medzi bodmi priamky l (\\ Displaystyle l) a rovno m (\\ Displaystyle m)... Potom množina riadkov X F (X) (\\ Displaystyle Xf (X)) bude množina dotyčníc pre niektorých

Ak rovnobežné priamky pretínajúce strany uhla odrezávajú rovnaké segmenty na jednej jeho strane, potom odrezávajú rovnaké segmenty na jeho druhej strane.

Dôkazy. Nech A 1, A 2, A 3 sú priesečníky rovnobežných priamok na jednej zo strán rohu a A 2 leží medzi A 1 a A 3 (obr. 1).

Nech B 1 B 2, B 3 - zodpovedajúce priesečníky týchto čiar s druhou stranou rohu. Dokážme, že ak А 1 А 2 \u003d A 2 A 3, potom В 1 В 2 \u003d В 2 В 3.

Nakreslíme priamku EF cez bod В 2, rovnobežnú s priamkou А 1 А 3. Vlastnosťou rovnobežníka A 1 A 2 \u003d FB 2, A 2 A 3 \u003d B 2 E.

A keďže A 1 A 2 \u003d A 2 A 3, potom FB 2 \u003d B 2 E.

V druhom atribúte sú trojuholníky B 2 B 1 F a B 2 B 3 E rovnaké. Ako preukázali, majú B 2 F \u003d B 2 E. Uhly na vrchole B 2 sú rovnaké ako zvislé a uhly B 2 FB 1 a B 2 EB 3 sú rovnaké ako vnútorné uhly ležiace rovnobežne s A1 B 1 a A 3 B 3 a sečnievajú EF. Rovnosť strán vyplýva z rovnosti trojuholníkov: B 1 B 2 \u003d B 2 B 3. Veta je dokázaná.

Pomocou Thalesovej vety sa vytvorí nasledujúca veta.

Veta 2. Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s treťou stranou a rovná sa jej polovici.

Stredná čiara trojuholníka je segment, ktorý spája stredy jeho dvoch strán. Na obrázku 2 je segment ED stredová čiara trojuholníka ABC.

ED - stredná čiara trojuholníka ABC

Príklad 1. Tento segment rozdeľte na štyri rovnaké časti.

Rozhodnutie. Nech AB je daný segment (obr. 3), ktorý musí byť rozdelený na 4 rovnaké časti.

Rozdelenie segmentu na štyri rovnaké časti

Za týmto účelom nakreslíme bodom A ľubovoľnú polpriamku a postupne na ňu položíme štyri rovnaké segmenty AC, CD, DE, EK.

Spojme body B a K so segmentom. Nakreslíme zostávajúce body C, D, E priamkami rovnobežnými s priamkou BK, aby pretínali úsek AB.

Podľa Thalesovej vety je segment AB rozdelený na štyri rovnaké časti.

Príklad 2. Uhlopriečka obdĺžnika je a. Aký je obvod obdĺžnika, ktorého vrcholy sú stredovými bodmi po stranách obdĺžnika?

Rozhodnutie. Nech obrázok 4 spĺňa podmienku problému.

Potom EF je stredová čiara trojuholníka ABC, a teda podľa vety 2. $$ EF \u003d \\ frac (1) (2) AC \u003d \\ frac (a) (2) $$

Podobne $$ HG \u003d \\ frac (1) (2) AC \u003d \\ frac (a) (2), EH \u003d \\ frac (1) (2) BD \u003d \\ frac (a) (2), FG \u003d \\ frac ( 1) (2) BD \u003d \\ frac (a) (2) $$, a teda obvod štvoruholníka EFGH je 2a.

Príklad 3. Boky trojuholníka sú 2 cm, 3 cm a 4 cm a jeho vrcholy sú stredovými bodmi po stranách iného trojuholníka. Nájdite obvod veľkého trojuholníka.

Rozhodnutie. Obrázok 5 musí zodpovedať stav problému.

Segmenty AB, BC, AC - stredné čiary trojuholníka DEF. Preto podľa vety 2 $$ AB \u003d \\ frac (1) (2) EF \\ \\ \\ \\ BC \u003d \\ frac (1) (2) DE \\ \\ \\ \\ AC \u003d \\ frac (1) (2) DF $$ alebo $$ 2 \u003d \\ frac (1) (2) EF \\ \\, \\ \\ 3 \u003d \\ frac (1) (2) DE \\ \\, \\ \\ 4 \u003d \\ frac (1) (2) DF $$ odkiaľ $$ EF \u003d 4 \\ \\, \\ \\ DE \u003d 6 \\ \\, \\ \\ DF \u003d 8 $$, a teda obvod trojuholníka DEF je 18 cm.

Príklad 4. V pravouhlom trojuholníku sú cez jeho preponu rovnobežné s nohami nakreslené priame čiary. Nájdite obvod výsledného obdĺžnika, ak sú nohy trojuholníka 10 cm a 8 cm.

Rozhodnutie. V trojuholníku ABC (obr. 6)

∠ Priamka, AB \u003d 10 cm, AC \u003d 8 cm, KD a MD sú stredné čiary trojuholníka ABC, odkiaľ $$ KD \u003d \\ frac (1) (2) AC \u003d 4 cm. \\\\ MD \u003d \\ frac (1) (2) AB \u003d 5 cm. $$ Obvod obdĺžnika K DMA je 18 cm.


2021 sattarov.ru.