Online kalkulačka kosínus uhla medzi rovinami. Zostrojenie uhla medzi dvoma rovinami

Článok hovorí o hľadaní uhla medzi rovinami. Po zadaní definície poskytneme grafické znázornenie a zvážime podrobný spôsob hľadania súradníc pomocou metódy. Získame vzorec pre pretínajúce sa roviny, ktorý obsahuje súradnice normálových vektorov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Materiál bude používať údaje a koncepty, ktoré boli predtým študované v článkoch o rovine a čiare vo vesmíre. Najprv je potrebné prejsť k úvahám, ktoré nám umožňujú určitý prístup k určovaniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Sú dané dve pretínajúce sa roviny γ 1 a γ 2. Ich priesečník dostane označenie c. Konštrukcia roviny χ je spojená s priesečníkom týchto rovín. Rovina χ prechádza bodom M ako priamka c. Priesečník rovín γ 1 a γ 2 sa vykoná pomocou roviny χ. Označenie priamky pretínajúcej γ 1 a χ berieme ako priamku a a priamku pretínajúcej γ 2 a χ ako priamku b. Zistili sme, že priesečník priamok a a b dáva bod M.

Poloha bodu M neovplyvňuje uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b a bod M leží na priamke c, ktorou prechádza rovina χ.

Je potrebné zostrojiť rovinu χ 1 kolmú na priamku c a odlišnú od roviny χ. Priesečník rovín γ 1 a γ 2 pomocou χ 1 dostane označenie priamok a 1 a b 1.

Je vidieť, že pri konštrukcii χ a χ 1 sú priamky a a b kolmé na priamku c, potom a 1, b 1 ležia kolmo na priamku c. Nájdením priamok a a a 1 v rovine γ 1 s kolmosťou na priamku c ich môžeme považovať za rovnobežné. Rovnakým spôsobom umiestnenie b a b 1 v rovine γ 2 s kolmosťou na priamku c naznačuje ich rovnobežnosť. To znamená, že je potrebné vykonať paralelný prenos roviny χ 1 na χ, kde dostaneme dve zhodné priamky a a a 1, b a b 1. Zistíme, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b 1 sa rovná uhlu pretínajúcich sa priamok a a b.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Toto tvrdenie dokazuje skutočnosť, že medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b je uhol, ktorý nezávisí od polohy bodu M, teda od priesečníka. Tieto čiary sú umiestnené v rovinách γ 1 a γ 2. V skutočnosti môže byť výsledný uhol považovaný za uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Prejdime k určeniu uhla medzi existujúcimi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2.

Definícia 1

Uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 nazývaný uhol tvorený priesečníkom priamok a a b, kde roviny γ 1 a γ 2 majú priesečník s rovinou χ kolmou na priamku c.

Zvážte obrázok nižšie.

Rozhodnutie možno podať aj inou formou. Keď sa roviny γ 1 a γ 2 pretínajú, kde c je priamka, na ktorej sa pretínali, označte bod M, cez ktorý veďte priamky a a b kolmé na priamku c ležiace v rovinách γ 1 a γ 2, potom uhol medzi priamky a a b budú uhlom medzi rovinami. V praxi je to použiteľné pre konštrukciu uhla medzi rovinami.

Pri pretínaní sa vytvorí uhol, ktorého hodnota je menšia ako 90 stupňov, to znamená, že miera uhla platí na intervale tohto typu (0, 90). Zároveň sa tieto roviny nazývajú kolmé, ak v priesečníku sa vytvorí pravý uhol Uhol medzi rovnobežnými rovinami sa považuje za rovný nule.

Zvyčajný spôsob, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami, je vykonať dodatočné konštrukcie. Pomáha to určiť presnosť, a to sa dá urobiť pomocou znakov rovnosti alebo podobnosti trojuholníka, sínusov a kosínusov uhla.

Uvažujme o riešení problémov pomocou príkladu z úloh Jednotnej štátnej skúšky bloku C 2.

Príklad 1

Daný obdĺžnikový hranol A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, kde strana A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7, bod E rozdeľuje stranu A A 1 v pomere 4:3. Nájdite uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Riešenie

Pre prehľadnosť je potrebné urobiť výkres. Chápeme to

Vizuálna reprezentácia je potrebná na uľahčenie práce s uhlom medzi rovinami.

Určíme priamku, pozdĺž ktorej dôjde k priesečníku rovín A B C a B E D 1. Bod B je spoločný bod. Treba nájsť ďalší spoločný priesečník. Uvažujme priamky D A a D 1 E, ktoré sa nachádzajú v rovnakej rovine A D D 1. Ich umiestnenie nenaznačuje rovnobežnosť, to znamená, že majú spoločný priesečník.

Priamka DA sa však nachádza v rovine A B C a D 1 E v B E D 1. Z toho dostaneme priame čiary D A A D 1 E majú spoločný priesečník, ktorý je spoločný pre roviny A B C a B E D 1. Označuje priesečník čiar D A a D1E písmeno F. Z toho dostaneme, že B F je priamka, pozdĺž ktorej sa roviny A B C a B E D 1 pretínajú.

Pozrime sa na obrázok nižšie.

Na získanie odpovede je potrebné zostrojiť priamky ležiace v rovinách A B C a B E D 1 prechádzajúce bodom ležiacim na priamke B F a kolmým na ňu. Potom sa výsledný uhol medzi týmito priamkami považuje za požadovaný uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Z toho môžeme vidieť, že bod A je priemetom bodu E do roviny A B C. Je potrebné nakresliť priamku pretínajúcu priamku B F v pravom uhle v bode M. Je vidieť, že priamka A M je priemet. priamky E M na rovinu A B C, na základe vety o tých kolmiciach A M ⊥ B F . Zvážte obrázok nižšie.

∠ A ME je požadovaný uhol tvorený rovinami A B C a B E D 1. Z výsledného trojuholníka A E M môžeme nájsť sínus, kosínus alebo tangens uhla a potom samotný uhol, len ak sú známe jeho dve strany. Podmienkou máme, že dĺžku A E nájdeme takto: priamka A A 1 sa delí bodom E v pomere 4:3, čo znamená, že celková dĺžka priamky je 7 dielov, potom A E = 4 diely. Nájdeme A M.

Je potrebné zvážiť pravouhlý trojuholník A B F. Máme pravý uhol A s výškou A M. Z podmienky A B = 2 potom zistíme dĺžku A F podľa podobnosti trojuholníkov D D 1 F a A E F. Dostaneme, že A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Je potrebné nájsť dĺžku strany B F trojuholníka A B F pomocou Pytagorovej vety. Dostaneme, že B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Dĺžka strany A M sa nachádza cez oblasť trojuholníka A B F. Máme, že plocha sa môže rovnať S A B C = 1 2 · A B · A F a S A B C = 1 2 · B F · A M .

Dostaneme, že A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Potom môžeme nájsť hodnotu tangens uhla trojuholníka A E M. Dostaneme:

t g ∠ A ME = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Požadovaný uhol získaný priesečníkom rovín A B C a B E D 1 sa rovná a r c t g 5, potom pri zjednodušení získame a r c t g 5 = a rc sin 30 6 = a rc cos 6 6.

odpoveď: a r c t g 5 = a rc sin 30 6 = a rc cos 6 6 .

Niektoré prípady zisťovania uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sú špecifikované pomocou súradnicovej roviny O x y z a súradnicovej metódy. Poďme sa na to pozrieť bližšie.

Ak dostanete úlohu, kde potrebujete nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2, označíme požadovaný uhol ako α.

Potom daný súradnicový systém ukazuje, že máme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín γ 1 a γ 2. Potom označíme, že n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z je normálový vektor roviny γ 1 a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - pre rovina γ 2. Uvažujme o podrobnom určení uhla medzi týmito rovinami podľa súradníc vektorov.

Je potrebné označiť priamku, pozdĺž ktorej sa roviny γ 1 a γ 2 pretínajú s písmenom c. Na priamke c máme bod M, cez ktorý vedieme rovinu χ kolmú na c. Rovina χ pozdĺž priamok a a b pretína roviny γ 1 a γ 2 v bode M. z definície vyplýva, že uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 sa rovná uhlu pretínajúcich sa priamok a a b patriacich týmto rovinám.

V rovine χ nakreslíme normálové vektory z bodu M a označíme ich n 1 → a n 2 → . Vektor n 1 → leží na priamke kolmej na priamku a a vektor n 2 → leží na priamke kolmej na priamku b. Z toho dostaneme, že daná rovina χ má normálový vektor priamky a rovný n 1 → a pre priamku b rovný n 2 →. Zvážte obrázok nižšie.

Odtiaľto získame vzorec, pomocou ktorého môžeme pomocou súradníc vektorov vypočítať sínus uhla pretínajúcich sa čiar. Zistili sme, že kosínus uhla medzi priamkami a a b je rovnaký ako kosínus medzi pretínajúcimi sa rovinami γ 1 a γ 2 je odvodený zo vzorca cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , kde sme majú, že n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) sú súradnice vektorov znázornených rovín.

Uhol medzi pretínajúcimi sa čiarami sa vypočíta pomocou vzorca

α = ar c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Príklad 2

Podľa podmienky je daný rovnobežnosten A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 , kde A B = 2, A D = 3, A A 1 = 7 a bod E rozdeľuje stranu A A 1 4: 3. Nájdite uhol medzi rovinami A B C a B E D 1.

Riešenie

Z podmienky je zrejmé, že jeho strany sú párovo kolmé. To znamená, že je potrebné zaviesť súradnicový systém O x y z s vrcholom v bode C a súradnicovými osami O x, O y, O z. Je potrebné nastaviť smer na príslušné strany. Zvážte obrázok nižšie.

Pretínajúce sa roviny A B C A B E D 1 tvoria uhol, ktorý možno nájsť podľa vzorca α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, v ktorých n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) a n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z ) sú normálové vektory tieto lietadlá. Je potrebné určiť súradnice. Z obrázku vidíme, že súradnicová os O x y sa zhoduje s rovinou A B C, to znamená, že súradnice normálového vektora k → sa rovnajú hodnote n 1 → = k → = (0, 0, 1).

Normálový vektor roviny B E D 1 sa považuje za vektorový súčin B E → a B D 1 →, kde ich súradnice sú určené súradnicami krajných bodov B, E, D 1, ktoré sú určené na základe podmienok problém.

Dostaneme, že B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Pretože A E E A 1 = 4 3, zo súradníc bodov A 2, 3, 0, A 1 2, 3, 7 nájdeme E 2, 3, 4. Zistili sme, že B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Nájdené súradnice je potrebné dosadiť do vzorca na výpočet uhla cez kosínus oblúka. dostaneme

α = a rc cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a rc cos 6 6 6 = a rc cos 6 6

Súradnicová metóda poskytuje podobný výsledok.

odpoveď: a r c cos 6 6 .

Posledný problém sa uvažuje s cieľom nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami za predpokladu známych rovníc rovín.

Príklad 3

Vypočítajte sínus, kosínus uhla a hodnotu uhla, ktorú zvierajú dve pretínajúce sa priamky, ktoré sú definované v súradnicovom systéme O x y z a dané rovnicami 2 x - 4 y + z + 1 = 0 a 3 y - z - 1 = 0.

Riešenie

Pri štúdiu témy všeobecnej rovnej priamky tvaru A x + B y + C z + D = 0 sa ukázalo, že A, B, C sú koeficienty rovné súradniciam normálového vektora. To znamená, že n 1 → = 2, - 4, 1 a n 2 → = 0, 3, - 1 sú normálové vektory daných čiar.

Do vzorca na výpočet požadovaného uhla pretínajúcich sa rovín je potrebné dosadiť súradnice normálových vektorov rovín. Potom to dostaneme

α = a rc cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a rc cos 13 210

Odtiaľ máme, že kosínus uhla má tvar cos α = 13 210. Potom uhol pretínajúcich sa čiar nie je tupý. Dosadením do goniometrickej identity zistíme, že hodnota sínusu uhla sa rovná výrazu. Poďme to spočítať a zistiť

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

odpoveď: sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a rc sin 41 210.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

Daný pravidelný hranol ABCDA_1B_1C_1D_1, M a N sú stredy hrán AB a BC, bod K je stredom MN.

A) Dokážte, že priamky KD_1 a MN sú kolmé.

b) Nájdite uhol medzi rovinami MND_1 a ABC, ak AB=8, AA_1=6\sqrt 2.

Ukážte riešenie

Riešenie

A) V \triangle DCN a \triangle MAD máme: \uhol C=\uhol A=90^(\circ), CN=AM=\frac12AB, CD = DA.

Preto \triangle DCN=\triangle MAD na dvoch nohách. Potom MD=DN, \trojuholník DMN rovnoramenné. To znamená, že stredná DK je zároveň výškou. Preto DK \perp MN.

DD_1 \perp MND podľa stavu, D_1K - šikmé, KD - projekcia, DK \perp MN.

Preto podľa vety o troch kolmiciach MN\perp D_1K.

b) Ako bolo preukázané v A), DK \perp MN a MN \perp D_1K, ale MN je priesečník rovín MND_1 a ABC, čo znamená, že \uhol DKD_1 je lineárny uhol dihedrálny uhol medzi rovinami MND_1 a ABC.

V \triangle DAM podľa Pytagorovej vety DM= \sqrt (DA^2+AM^2)= \sqrt (64+16)= 4\sqrt 5, MN= \sqrt (MB^2+BN^2)= \sqrt (16+16)= 4\sqrt 2. Preto v \triangle DKM podľa Pytagorovej vety nevie = \sqrt (DM^2-KM^2)= \sqrt (80-8)= 6\sqrt 2. Potom v \triangle DKD_1, tg\uhol DKD_1=\frac(DD_1)(DK)=\frac(6\sqrt 2)(6\sqrt 2)=1.

To znamená \uhol DKD_1=45^(\circ).

Odpoveď

45^(\circ).

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

V pravidelnom štvorhrannom hranole ABCDA_1B_1C_1D_1 sú strany základne rovné 4, bočné hrany sú rovné 6. Bod M je stredom hrany CC_1, bod N je označený na hrane BB_1 tak, že BN:NB_1=1:2.

A) V akom pomere rozdeľuje rovina AMN hranu DD_1?

b) Nájdite uhol medzi rovinami ABC a AMN.

Ukážte riešenie

Riešenie

A) Rovina AMN pretína hranu DD_1 v bode K, ktorý je štvrtým vrcholom rezu daného hranola touto rovinou. Prierez je rovnobežník ANMK, pretože protiľahlé strany daného hranolu sú rovnobežné.

BN =\frac13BB_1=2. Nakreslíme KL \paralelné CD, potom sú trojuholníky ABN a KLM rovnaké, čo znamená ML=BN=2, LC=MC-ML=3-2=1, KD = LC = 1. Potom KD_1=6-1=5.

b) Teraz môžete nájsť pomer KD:KD_1=1:5. F je priesečník priamych čiar CD a KM. Roviny ABC a AMN sa pretínajú pozdĺž priamky AF. Uhol \angle KHD =\alpha je lineárny uhol dihedrálneho uhla (HD\perp AF, potom podľa vety inverznej k vete o troch kolmiciach, KH \perp AF ) a je ostrým uhlom pravouhlý trojuholník

Trojuholníky FKD a FMC sú podobné (KD \parallel MC), preto FD:FC=KD:MC, pri riešení pomeru FD:(FD+4)=1:3 dostaneme FD=2. V pravouhlom trojuholníku AFD (\uhol D=90^(\circ)) s nohami 2 a 4 vypočítame preponu AF=\sqrt (4^2+2^2)=2\sqrt 5, DH= AD\cdot FD:AF= \frac(4\cdot 2)(2\sqrt 5)=

\frac4(\sqrt 5). V pravouhlom trojuholníku KHD nájdeme tg \alpha =\frac(KD)(DH)=\frac(\sqrt 5)4, to znamená požadovaný uhol

Odpoveď

A) 1:5;

b) \alpha =arctg\frac(\sqrt 5)4.

arctg\frac(\sqrt 5)4.

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova. Dana má pravduštvorhranná pyramída KMNPQ so základnou stranou MNPQ rovnajúcou sa 6 a bočným rebrom

A) 3\sqrt (26).

b) Zostrojte rez ihlanom s rovinou prechádzajúcou priamkou NF rovnobežnou s uhlopriečkou MP, ak bod F je stredom hrany MK.

Ukážte riešenie

Riešenie

A) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a rovinou KMP. Nech KO je výška pyramídy, F stred MK ; FE\paralelný MP (v rovine PKM) . Keďže FE je stredová čiara \trojuholník PKM teda

FE=\frac(MP)2.

b) Zostrojme rez pyramídy s rovinou prechádzajúcou cez NF a rovnobežnou s MP, teda rovinou NFE. L je priesečník EF a KO. Pretože body L a N patria do požadovaného rezu a ležia v rovine KQN, potom bod T, získaný ako priesečník LN a KQ, je tiež priesečníkom požadovaného rezu a hrany KQ. NETF je požadovaná sekcia. Roviny NFE a MPK sa pretínajú pozdĺž priamky FE. To znamená, že uhol medzi týmito rovinami sa rovná lineárnemu uhlu dihedrálneho uhla OFEN, zostrojme ho: LO\perpMP, MP\paralelný FE, teda, LO\perpFE; \triangle NFE - rovnoramenný (NE=NF ako zodpovedajúce mediány rovnaké trojuholníky KPN a KMN ), NL je jeho medián (EL=LF, keďže PO=OM, a\triangle KEF \sim \triangle KPM

). Preto NL \perp FE a \angle NLO je požadovaný.

ON=\frac12QN=\frac12MN\sqrt 2=3\sqrt 2.

\triangle KON - obdĺžnikový. Noha KO podľa Pytagorovej vety sa rovná

KO=\sqrt (KN^2-ON^2). OL= \frac12KO= \frac12\sqrt(KN^2-ON^2)= \frac12\sqrt (9\cdot 26-9\cdot 2)= \frac12\sqrt(9(26-2))= \frac32\sqrt (24)= \frac32\cdot 2\sqrt 6=

3\sqrt 6.

tg\uhol NLO =\frac(ON)(OL)=\frac(3\sqrt 2)(3\sqrt 6)=\frac1(\sqrt 3),

Odpoveď

arctg\frac(\sqrt 5)4.

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

\uhol NLO=30^(\circ).

A) Všetky hrany pravidelného trojuholníkového hranola ABCA_(1)B_(1)C_(1) sa rovnajú 6. Cez stredy hrán AC a BB_(1) a vrchol A_(1) je nakreslená rovina rezu.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou.

Ukážte riešenie

Riešenie

A) Nech D a E sú stredy hrán AC a BB_(1).

V rovine AA_(1)C_(1) nakreslíme priamku A_(1)D, ktorá pretína priamku CC_(1) v bode K, v rovine BB_(1)C_(1) - priamku KE, ktorý pretína hranu BC v bode F . Spojením bodov A_(1) a E, ležiacich v rovine AA_(1)B_(1), ako aj D a F, ležiacich v rovine ABC, dostaneme rez A_(1)EFD.

\bigtriangleup AA_(1)D=\bigtriangleup CDK pozdĺž nohy AD=DC a ostrý uhol.

\uhol ADA_(1)=\uhol CDK - ako zvislé, z toho vyplýva, že AA_(1)=CK=6. \bigtriangleup CKF a \bigtriangleup BFE sú podobné v dvoch uhloch\uhol FBE=\uhol KCF=90^\circ,

\uhol BFE=\uhol CFK - ako zvislé.\frac(CK)(BE)=\frac(6)(3)=2,

b) to znamená, že koeficient podobnosti je 2, čo znamená, že CF:FB=2:1. Vykonajme AH \perp DF. Uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou sa rovná uhlu AHA_(1).

Úsečka AH \perp DF (DF je priesečník týchto rovín) je v skutočnosti priemetom úsečky A_(1)H na základnú rovinu, preto podľa vety o troch kolmiciach A_(1)H \perp DF.

\uhol AHA_(1)=arctg\frac(AA_(1))(AH).

AA_(1)=6. Poďme nájsť AH. \uhol ADH =\uhol FDC (rovnaký ako vertikálny).

Podľa kosínusovej vety v \bigtriangleup DFC:

DF^2=FC^2+DC^2- 2FC \cdot DC \cdot \cos 60^\circ,

DF^2=4^2+3^2-2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac(1)(2)=13.

FC^2=DF^2+DC^2-

2DF\cdot DC\cdot\cos\uhol FDC,

4^2=13+9-2\sqrt(13) \cdot 3 \cdot \cos \uhol FDC,\cos \uhol FDC=\frac(6)(2\sqrt(13) \cdot 3)=\frac(1)(\sqrt(13)).

V dôsledku základnej goniometrickej identity \sin \uhol FDC=\sqrt(1-\left (\frac(1)(\sqrt(13)\right)^2)=\frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13)) .

Z \bigtriangleup ADH nájdeme AH : AH=AD \cdot \sin \uhol ADH, (\uhol FDC=\uhol ADH). AH=3 \cdot \frac(2\sqrt(3))(\sqrt(13))=\frac(6\sqrt(13))(\sqrt(13)). \uhol AHA_(1)=

Odpoveď

arctg\frac(AA_(1))(AH)=

arctg\frac(\sqrt 5)4.

Typ práce: 14
Téma: Uhol medzi rovinami

Podmienka

arctg\frac(6 \cdot \sqrt(13))(6\sqrt(3))=

A) arctg\frac(\sqrt(39))(3).

b) arctg\frac(\sqrt(39))(3).

Ukážte riešenie

Riešenie

A) Použijeme súradnicovú metódu. Nájdite skalárny súčin vektorov \vec(PK) a \vec(PB_(1)) a potom kosínus uhla medzi týmito vektormi. Nasmerujme os Oy pozdĺž CD, os Oz pozdĺž CC_(1) a os Ox \perp CD. C je pôvod.

Potom C (0;0;0); C_(1)(0;0;10); P(0;0;5); K(0;5;0); B(BC \cos 30^\circ; BC\sin 30^\circ; 0),

to jest B(5\sqrt(3); 5;0),

B_(1)(5\sqrt(3); 5;10).

Nájdite súradnice vektorov: \vec(PK)=\(0;5;-5\); \vec(PB_(1))=\(5\sqrt(3); 5;5\). Nech je uhol medzi \vec(PK) a \vec(PB_(1)) rovný \alpha.

dostaneme

b)\cos \alpha=\frac(\vec(PK) \cdot \vec(PB_(1)))(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=

\frac(0 \cdot 5\sqrt(3) + 5 \cdot 5-5 \cdot 5)(|\vec(PK)| \cdot |\vec(PB_(1))|)=0. \cos \alpha =0, ​​čo znamená \vec(PK) \perp \vec(PB_(1)) a čiary PK a PB_(1) sú kolmé.

Uhol medzi rovinami sa rovná uhlu medzi nenulovými vektormi kolmými na tieto roviny (alebo, ak je uhol tupý, uhol, ktorý k nemu prilieha). Takéto vektory sa nazývajú normály k rovinám. Poďme ich nájsť.

Nech \vec(n_(1))=\(x; y; z\) je kolmé na rovinu PKB_(1).

Nájdeme to riešením systému

\begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(cases) \begin(cases) \vec(n_(1)) \cdot \vec(PK)=0, \\ \vec(n_(1)) \cdot \vec(PB_(1))=0; \end(cases) \begin(cases) 0x+5y-5z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+5z=0; \end(cases)

\begin(cases)y=z, \\ x=\frac(-y-z)(\sqrt(3)). \end(cases) Vezmime si

y = 1; z = 1; x=\frac(-2)(\sqrt(3)),

\vec(n_(1))=\vľavo \( \frac(-2)(\sqrt(3)); 1;1 \vpravo \).

Nech \vec(n_(2))=\(x; y; z\) je kolmé na rovinu C_(1)B_(1)B.

Nájdeme to riešením systému

\begin(cases) \vec(n_(1)) \perp \vec(PK), \\ \vec(n_(1)) \perp \vec(PB_(1)). \end(cases) \begin(cases) \vec(n_(2)) \perp \vec(CC_(1)), \\ \vec(n_(2)) \perp \vec(CB). \end(cases) \vec(CC_(1))=\(0;0;10\), \vec(CB)=\(5\sqrt(3); 5; 0\).

\begin(cases) \vec(n_(2)) \cdot \vec(CC_(1))=0, \\ \vec(n_(2)) \cdot \vec(CB)=0; \end(cases)

\begin(cases) 0x+0y+10z=0, \\ 5\sqrt(3)x+5y+0z=0; \end(cases) \begin(cases)z=0, \\ y=-\sqrt(3)x. \end(cases) x = 1; y=-\sqrt(3); z=0, \vec(n_(2))=\(1; -\sqrt(3);0\). Nájdite kosínus požadovaného uhla \beta (rovná sa modulu kosínusu uhla medzi \vec(n_(1)) a \vec(n_(2)) ).

\cos \beta= \frac(|\vec(n_(1)) \cdot \vec(n_(2))|)(|\vec(n_(1))| \cdot |\vec(n_(2))|)=

Odpoveď

\frac(\left |-\dfrac(2)(\sqrt(3))\cdot 1+1 \cdot (-\sqrt(3))+1 \cdot 0 \right |)(\sqrt(\dfrac( 4)(3)+1+1) \cdot \sqrt(1+3+0))=

arctg\frac(\sqrt 5)4.

ABCD je štvorec a bočné strany sú rovnaké obdĺžniky.

Keďže rovina rezu prechádza bodmi M a D rovnobežnými s uhlopriečkou AC, potom na jej zostrojenie v rovine A_(1)AC cez bod M nakreslíme úsečku MN rovnobežnú s AC. AC \parallel (MDN) získame na základe rovnobežnosti priamky a roviny.

Rovina MDN pretína rovnobežné roviny A_(1)AD a B_(1)BC, potom na základe vlastnosti rovnobežných rovín priesečníky plôch A_(1)ADD_(1) a B_(1)BCC_( 1) rovinou MDN sú rovnobežné.

Nakreslíme úsečku SV rovnobežnú s úsečkou MD.

Štvoruholník DMEN je požadovaná sekcia.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou. Nech rovina rezu pretína základnú rovinu pozdĺž priamky p prechádzajúcej bodom D. AC \parallel MN, teda AC \parallel p (ak rovina prechádza priamkou rovnobežnou s inou rovinou a pretína túto rovinu, potom je priesečnica rovín rovnobežná s touto priamkou). BD \perp AC ako uhlopriečky štvorca, čo znamená BD \perp p.

BD je priemet ED na rovinu ABC, potom podľa vety o troch kolmiciach ED \perp p, teda \uhol EDB je lineárny uhol klinového uhla medzi rovinou rezu a základnou rovinou.

Nastavte typ štvoruholníka DMEN. MD \parallel EN, podobne ako ME \parallel DN, čo znamená, že DMEN je rovnobežník, a keďže MD=DN (pravoúhlé trojuholníky MAD a NCD sú rovnaké na dvoch nohách: AD=DC ako strany štvorca, AM=CN ako vzdialenosti medzi rovnobežnými čiarami AC a MN), preto je DMEN kosoštvorec. Preto je F stredom MN. Potom podľa podmienky AM:MA_(1)=2:3

AM=\frac(2)(5)AA_(1)=\frac(2)(5) \cdot 5\sqrt(6)=2\sqrt(6). AMNC je obdĺžnik, F je stred MN, O je stred AC. znamená, FO\paralelné MA, FO\perp AC,

FO=MA=2\sqrt(6). Vedieť, že uhlopriečka štvorca je a\sqrt(2), kde a je strana štvorca, dostaneme BD=4\sqrt(2).

OD=\frac(1)(2)BD=\frac(1)(2) \cdot 4\sqrt(2)=2\sqrt(2). V pravouhlom trojuholníku FOD\enspace tg \uhol FDO=\frac(FO)(OD)=\frac(2\sqrt(6))(2\sqrt(2))=\sqrt(3).

Preto \uhol FDO=60^\circ. Miera uhla medzi rovinami je ostrý uhol

, tvorený dvoma priamkami ležiacimi v týchto rovinách a vedenými kolmo na priamku ich priesečníka.

1. Konštrukčný algoritmus
2. Z ľubovoľného bodu K sa ku každej z daných rovín vedú kolmice.
3. Otáčaním okolo nivelačnej čiary sa určí uhol γ° s vrcholom v bode K.< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Na obrázku je znázornený prípad, keď sú roviny α a β dané stopami. Všetky potrebné konštrukcie boli vykonané podľa algoritmu a sú popísané nižšie.

Riešenie

1. Na ľubovoľnom mieste na výkrese označíme bod K. Z neho spustíme kolmice m a n na roviny α a β. Smer projekcií m a n je nasledujúci: m""⊥f 0α, m"⊥h 0α, n""⊥f 0β, n"⊥h 0β.
2. Skutočnú veľkosť ∠γ° určíme medzi priamkami m a n. Aby sme to urobili, okolo frontálnej f otočíme rovinu uhla s vrcholom K do polohy rovnobežnej s frontálnou rovinou priemetu. Polomer otáčania R bodu K sa rovná veľkosti prepony pravouhlého trojuholníka O""K""K 0, ktorého strana je K""K 0 = y K – y O.
3. Požadovaný uhol je ϕ° = ∠γ°, pretože ∠γ° je ostrý.

Na obrázku nižšie je znázornené riešenie problému, v ktorom je potrebné nájsť uhol γ° medzi rovinami α a β daný rovnobežkami a pretínajúcimi sa priamkami.

Riešenie

1. Smer priemetov horizontál h 1, h 2 a čiel f 1, f 2 prislúchajúcich rovinám α a β určíme v poradí označenom šípkami. Z ľubovoľného bodu K na námestí. α a β vynecháme kolmice e a k. V tomto prípade e""⊥f""1, e"⊥h"1 a k""⊥f""2, k"⊥h"2.
2. Definujeme ∠γ° medzi priamkami e a k. Za týmto účelom nakreslite vodorovnú čiaru h 3 a okolo nej otočíme bod K do polohy K 1, v ktorej sa △CKD stane rovnobežným s horizontálnou rovinou a bude sa na nej odrážať v prirodzenej veľkosti - △C"K" 1D ". Priemet stredu otáčania O" je nakreslený na h" 3 kolmo na K"O". Polomer R určíme z pravouhlého trojuholníka O"K"K 0, ktorého strana K"K 0 = Z O – Z K.
3. Hodnota požadovanej hodnoty je ∠ϕ° = ∠γ°, pretože uhol γ° je ostrý.

Tento článok je o uhle medzi rovinami a o tom, ako ho nájsť. Najprv je uvedená definícia uhla medzi dvoma rovinami a je uvedené grafické znázornenie. Potom sa analyzuje princíp hľadania uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami pomocou súradnicovej metódy a získa sa vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami pomocou známych súradníc normálových vektorov týchto rovín. Na záver sú uvedené podrobné riešenia typických problémov.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi rovinami - definícia.

Uveďme argumenty, ktoré nám umožnia postupne sa priblížiť k určeniu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Dostaňme dve pretínajúce sa roviny a . Tieto roviny sa pretínajú po priamke, ktorú označujeme písmenom c. Zostrojme rovinu prechádzajúcu bodom M priamky c a kolmú na priamku c. V tomto prípade bude rovina pretínať roviny a. Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, ako a a priamku, pozdĺž ktorej sa roviny pretínajú, ako b. Je zrejmé, že priamky a a b sa pretínajú v bode M.

Je ľahké ukázať, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b nezávisí od polohy bodu M na priamke c, ktorou rovina prechádza.

Zostrojme rovinu kolmú na priamku c a odlišnú od roviny. Rovina je pretínaná rovinami a pozdĺž priamok, ktoré označujeme ako a 1 a b 1, resp.

Zo spôsobu konštrukcie rovín vyplýva, že priamky a a b sú kolmé na priamku c a priamky a 1 a b 1 sú kolmé na priamku c. Keďže priamky a a a 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, potom sú rovnobežné. Podobne priamky b a b 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, preto sú rovnobežné. Tak je možné vykonať paralelný prenos roviny do roviny, v ktorej sa priamka a 1 zhoduje s priamkou a a priamka b s priamkou b 1. Preto je uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami ai a b1 rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

To dokazuje, že uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b ležiacimi v pretínajúcich sa rovinách nezávisí od výberu bodu M, ktorým rovina prechádza. Preto je logické brať tento uhol ako uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Teraz môžete vyjadriť definíciu uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a.

Definícia.

Uhol medzi dvoma rovinami pretínajúcimi sa v priamke a– je to uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami a a b, pozdĺž ktorých sa roviny a pretínajú s rovinou kolmou na priamku c.

Definícia uhla medzi dvoma rovinami môže byť daná trochu inak. Ak na priamke c, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú, označte bod M a nakreslite ním priamky a a b, kolmé na priamku c a ležiace v rovinách, a potom uhol medzi priamkami a a b je uhol medzi rovinami a. Zvyčajne sa v praxi vykonávajú práve také konštrukcie, aby sa dosiahol uhol medzi rovinami.

Keďže uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami nepresahuje , z uvedenej definície vyplýva, že miera uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami je vyjadrená reálnym číslom z intervalu. V tomto prípade sa nazývajú pretínajúce sa roviny kolmý, ak je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. Uhol medzi rovnobežnými rovinami buď nie je určený vôbec, alebo sa považuje za rovný nule.

Nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Zvyčajne pri hľadaní uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami musíte najskôr vykonať dodatočné konštrukcie, aby ste videli pretínajúce sa priame čiary, uhol medzi ktorými sa rovná požadovanému uhlu, a potom tento uhol priradiť k pôvodným údajom pomocou testov rovnosti, podobnosti testy, kosínusová veta alebo definície sínusu, kosínusu a tangens uhla. Na stredoškolskom kurze geometrie sa vyskytujú podobné problémy.

Ako príklad uveďme riešenie úlohy C2 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky na rok 2012 (podmienka bola zámerne zmenená, ale to nemá vplyv na princíp riešenia). V ňom ste len museli nájsť uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami.

Príklad.

Riešenie.

Najprv urobme kresbu.

Urobme ďalšie konštrukcie, aby sme „videli“ uhol medzi rovinami.

Najprv definujme priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1. Bod B je jedným z ich spoločných bodov. Nájdime druhý spoločný bod týchto rovín. Priamky DA a D 1 E ležia v rovnakej rovine ADD 1, nie sú rovnobežné, a preto sa pretínajú. Na druhej strane priamka DA leží v rovine ABC a priamka D 1 E leží v rovine BED 1, preto priesečník priamok DA a D 1 E bude spoločným bodom rovín ABC a BED 1. Pokračujme teda v čiarach DA a D 1 E k ich priesečníku, pričom bod ich priesečníka označme písmenom F. Potom BF je priamka, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1.

Zostáva zostrojiť dve priamky ležiace v rovinách ABC a BED 1, prechádzajúce jedným bodom na priamke BF a kolmé na priamku BF - uhol medzi týmito priamkami bude podľa definície rovný požadovanému uhlu medzi lietadlá ABC a BED 1. Poďme na to.

Bodka A je priemet bodu E do roviny ABC. Nakreslíme priamku pretínajúcu priamku BF v pravom uhle v bode M. Potom je priamka AM priemetom priamky EM do roviny ABC a podľa vety o troch kolmiciach.

Požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 je teda rovný .

Z pravouhlého trojuholníka AEM vieme určiť sínus, kosínus alebo tangens tohto uhla (a teda aj samotného uhla), ak poznáme dĺžky jeho dvoch strán. Z podmienky je ľahké zistiť dĺžku AE: keďže bod E rozdeľuje stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A, a dĺžka strany AA 1 je 7, potom AE = 4. Nájdeme dĺžku AM.

Za týmto účelom uvažujme pravouhlý trojuholník ABF s pravým uhlom A, kde AM je výška. Podľa podmienky AB = 2. Dĺžku strany AF môžeme zistiť z podobnosti pravouhlých trojuholníkov DD 1 F a AEF:

Pomocou Pytagorovej vety zistíme z trojuholníka ABF. Nájdeme dĺžku AM cez oblasť trojuholníka ABF: na jednej strane sa plocha trojuholníka ABF rovná , na druhej strane , kde .

Z pravého trojuholníka teda máme AEM .

Potom je požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 rovnaký (všimnite si, že ).

odpoveď:

V niektorých prípadoch je na nájdenie uhla medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami vhodné nastaviť Oxyz a použiť súradnicovú metódu. Zastavme sa tam.

Stanovme si úlohu: nájdite uhol medzi dvoma pretínajúcimi sa rovinami a . Označme požadovaný uhol ako .

Budeme predpokladať, že v danom pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz poznáme súradnice normálových vektorov pretínajúcich sa rovín a alebo máme možnosť ich nájsť. Nechaj je normálový vektor roviny a je normálový vektor roviny. Ukážeme si, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a cez súradnice normálových vektorov týchto rovín.

Označme priamku, pozdĺž ktorej sa roviny a pretínajú, ako c. Cez bod M na priamke c nakreslíme rovinu kolmú na priamku c. Rovina pretína roviny a pozdĺž čiar a a b sa priamky a a b pretínajú v bode M. Podľa definície je uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a rovný uhlu medzi pretínajúcimi sa priamkami a a b.

Nakreslíme normálové vektory a roviny az bodu M v rovine. V tomto prípade vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku a, a vektor leží na priamke, ktorá je kolmá na priamku b. V rovine je teda vektor normálovým vektorom priamky a, je normálovým vektorom priamky b.

V článku o hľadaní uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami sme dostali vzorec, ktorý umožňuje vypočítať kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa čiarami pomocou súradníc normálových vektorov. Kosínus uhla medzi priamkami a a b, a teda, kosínus uhla medzi pretínajúcimi sa rovinami a nachádza sa podľa vzorca, kde A sú normálové vektory rovín a, resp. Potom sa vypočíta ako .

Vyriešme predchádzajúci príklad pomocou súradnicovej metódy.

Príklad.

Je daný obdĺžnikový hranol ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB = 2, AD = 3, AA 1 = 7 a bod E delí stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A. Nájdite uhol medzi rovinami ABC a BED 1.

Riešenie.

Keďže strany pravouhlého rovnobežnostenu v jednom vrchole sú kolmé v pároch, je vhodné zaviesť pravouhlý súradnicový systém Oxyz nasledovne: zarovnajte začiatok s vrcholom C a nasmerujte súradnicové osi Ox, Oy a Oz pozdĺž strán CD. CB a CC1.

Uhol medzi rovinami ABC a BED 1 možno nájsť pomocou súradníc normálových vektorov týchto rovín pomocou vzorca , kde a sú normálové vektory rovín ABC a BED 1, v tomto poradí. Určme súradnice normálových vektorov.