Trigonometria je odbor matematickej vedy, ktorý študuje goniometrické funkcie a ich využitie v geometrii. Vývoj trigonometrie sa začal v starovekom Grécku. Počas stredoveku vedci z Blízkeho východu a Indie významne prispeli k rozvoju tejto vedy.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Rozoberá definície základných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Ich význam je vysvetlený a znázornený v kontexte geometrie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pôvodne boli definície goniometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, vyjadrené ako pomer strán pravouhlého trojuholníka.

Definície goniometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) je pomer priľahlého ramena k prepone.

Tangenta uhla (t g α) - pomer protiľahlej strany k susednej.

Kotangens uhla (c t g α) - pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol správny trojuholník!

Uveďme ilustráciu.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C sa sínus uhla A rovná pomeru ramena BC k prepone AB.

Definície sínus, kosínus, tangens a kotangens vám umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Dôležité mať na pamäti!

Rozsah hodnôt sínus a kosínus je od -1 do 1. Inými slovami, sínus a kosínus nadobúdajú hodnoty od -1 do 1. Rozsah hodnôt dotyčnice a kotangens je celá číselná os, to znamená, že tieto funkcie môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.

Vyššie uvedené definície platia pre ostré uhly. V trigonometrii sa zavádza pojem uhla natočenia, ktorého hodnota na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená na 0 až 90 stupňov Uhol natočenia v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od - ∞ do + ∞ .

V tejto súvislosti môžeme definovať sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavme si jednotkovú kružnicu so stredom v počiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1, 0) sa otáča okolo stredu jednotkovej kružnice o určitý uhol α a smeruje do bodu A 1. Definícia je daná z hľadiska súradníc bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla natočenia

Sínus uhla natočenia α je ordináta bodu A 1 (x, y). hriech α = y

Kosínus (cos) uhla natočenia

Kosínus uhla natočenia α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) uhla natočenia

Tangenta uhla natočenia α je pomerom ordináty bodu A 1 (x, y) k jeho os. t g α = y x

Kotangens (ctg) uhla natočenia

Kotangens uhla natočenia α je pomer úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho ordinate. c t g α = x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože úsečka a ordináta bodu po otočení sa dajú určiť v akomkoľvek uhle. Iná situácia je pri tangente a kotangens. Dotyčnica je nedefinovaná, keď bod po otočení smeruje k bodu s nulovou osou (0, 1) a (0, - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α = y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je s kotangensom. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný v prípadoch, keď ordináta bodu ide na nulu.

Dôležité mať na pamäti!

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľné uhly α.

Tangenta je definovaná pre všetky uhly okrem α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri riešení praktických príkladov nehovorte „sínus uhla natočenia α“. Slová „uhol natočenia“ sú jednoducho vynechané, čo znamená, že už z kontextu je jasné, o čom sa diskutuje.

čísla

Čo tak určiť sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla, a nie uhol rotácie?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo, ktoré sa rovná sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v t radián.

Napríklad sínus čísla 10 π sa rovná sínusu uhla natočenia 10 π rad.

Existuje iný prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Poďme sa na to pozrieť bližšie.

Akékoľvek skutočné číslo t bod na jednotkovej kružnici je spojený so stredom v počiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú určené súradnicami tohto bodu.

Počiatočný bod na kružnici je bod A so súradnicami (1, 0).

Kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého pôjde začiatočný bod, ak sa bude pohybovať po kružnici proti smeru hodinových ručičiek a prejde dráhu t.

Teraz, keď sme vytvorili spojenie medzi číslom a bodom na kružnici, prejdeme k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Sínus (hriech) t

Sínus čísla t- súradnica bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúca číslu t. hriech t = y

Kosínus (cos) t

Kosínus čísla t- súradnica bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. cos t = x

Tangenta (tg) t

Tangenta čísla t- pomer zvislej osi k osovej osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t. t g t = y x = sin t cos t

Najnovšie definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto odseku a nie sú v rozpore s ňou. Ukážte na kruh zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého ide počiatočný bod po otočení o uhol t radián.

Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínusu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α iné ako α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) zodpovedajú určitej hodnote dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α okrem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α, cos α, t g α, c t g α sú funkcie uhla alfa, alebo funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžeme hovoriť o sínus, kosínus, tangens a kotangens ako o funkciách číselného argumentu. Každé skutočné číslo t zodpovedá určitej hodnote sínusu alebo kosínusu čísla t. Všetky čísla iné ako π 2 + π · k, k ∈ Z zodpovedajú tangensovej hodnote. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π · k, k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, s ktorým argumentom goniometrickej funkcie (uhlovým argumentom alebo číselným argumentom) máme do činenia.

Vráťme sa k definíciám uvedeným na samom začiatku a uhlu alfa, ktorý leží v rozmedzí od 0 do 90 stupňov. Trigonometrické definície sínus, kosínus, tangens a kotangens sú úplne v súlade s geometrickými definíciami danými pomermi strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Zoberme si jednotkovú kružnicu so stredom v pravouhlej karteziánskej súradnicovej sústave. Otočme začiatočný bod A (1, 0) o uhol až 90 stupňov a z výsledného bodu A 1 (x, y) nakreslime kolmicu na úsečku. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 O H rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena O H sa rovná osovej osi bodu A 1 (x, y). Dĺžka ramena oproti uhlu sa rovná ordinate bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice.

V súlade s definíciou z geometrie sa sínus uhla α rovná pomeru opačnej strany k prepone.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To znamená, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku pomocou pomeru strán je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, pričom alfa leží v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať zhodu definícií pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Inštrukcie

Trojuholník sa nazýva pravouhlý, ak jeden z jeho uhlov je 90 stupňov. Skladá sa z dvoch nôh a prepony. Prepona je najväčšia strana tohto trojuholníka. Leží proti pravý uhol. Nohy sa preto nazývajú jeho menšie strany. Môžu byť rovnaké alebo mať rôzne veľkosti. Rovnosť nôh je to, čo pracujete s pravouhlým trojuholníkom. Jeho krása spočíva v tom, že kombinuje dve postavy: pravouhlý trojuholník a rovnoramenný trojuholník. Ak nohy nie sú rovnaké, potom je trojuholník ľubovoľný a riadi sa základným zákonom: čím väčší je uhol, tým viac sa otáča ten, ktorý leží oproti nemu.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť preponu podľa a uhla. Pred použitím jedného z nich by ste však mali určiť, ktorý uhol je známy. Ak dostanete uhol a stranu, ktorá k nemu prilieha, potom je ľahšie nájsť preponu pomocou kosínusu uhla. Kosínus ostrého uhla (cos a) v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej vetvy k prepone. Z toho vyplýva, že prepona (c) sa bude rovnať pomeru susedného ramena (b) ku kosínusu uhla a (cos a). Dá sa to napísať takto: cos a=b/c => c=b/cos a.

Ak je daný uhol a opačná noha, mali by ste pracovať. Sínus ostrého uhla (sin a) v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany (a) k prepone (c). Tu je princíp rovnaký ako v predchádzajúcom príklade, len namiesto kosínusovej funkcie sa berie sínus. sin a=a/c => c=a/sin a.

Môžete tiež použiť trigonometrickú funkciu, ako je . Nájdenie požadovanej hodnoty sa však trochu skomplikuje. Tangenta ostrého uhla (tg a) v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlého ramena (a) k susednému ramenu (b). Po nájdení oboch nôh použite Pytagorovu vetu (druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh) a nájde sa väčšia.

Poznámka

Pri práci s Pytagorovou vetou nezabúdajte, že máte do činenia s titulom. Po nájdení súčtu štvorcov nôh musíte vziať druhú odmocninu, aby ste dostali konečnú odpoveď.

Zdroje:

• ako nájsť nohu a preponu

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a veľkosť jedného z ostrých uhlov trojuholníka.

Inštrukcie

Vzhľadom na známy a ostrý pravouhlý uhol bude veľkosť prepony pomerom nohy k / tohto uhla, ak je tento uhol protiľahlý / susediaci s ním:

h = Cl(alebo C2)/sina;

h = Cl (alebo C2)/cosa.

Príklad: Nech je dané ABC s preponou AB a C. Nech je uhol B 60 stupňov a uhol A je 30 stupňov. Dĺžka nohy BC je 8 cm. Na tento účel môžete použiť ktorúkoľvek z vyššie uvedených metód:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

slovo " nohu“ pochádza z gréckych slov „kolmý“ alebo „olovnica“ – to vysvetľuje, prečo boli obe strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria jeho deväťdesiatstupňový uhol, takto pomenované. Nájdite dĺžku ktoréhokoľvek z nich nohu ov nie je ťažké, ak je známa hodnota susedného uhla a akékoľvek ďalšie parametre, pretože v tomto prípade budú skutočne známe hodnoty všetkých troch uhlov.

Inštrukcie

Ak je okrem hodnoty susedného uhla (β) dĺžka druhého nohu a (b), potom dĺžka nohu a (a) môže byť definovaný ako podiel dĺžky známeho nohu a pod známym uhlom: a=b/tg(β). Vyplýva to z definície tejto trigonometrie. Ak použijete vetu, môžete sa zaobísť bez dotyčnice. Z neho vyplýva, že dĺžka požadovaného k sínusu opačného uhla k pomeru dĺžky známeho nohu a na sínus známeho uhla. Opak k požadovanému nohu y ostrý uhol možno vyjadriť pomocou známeho uhla ako 180°-90°-β = 90°-β, keďže súčet všetkých uhlov akéhokoľvek trojuholníka musí byť 180° a jeden z jeho uhlov je 90°. Takže požadovaná dĺžka nohu a môže sa vypočítať pomocou vzorca a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Ak je známa hodnota susedného uhla (β) a dĺžka prepony (c), potom dĺžka nohu a (a) možno vypočítať ako súčin dĺžky prepony a kosínusu známeho uhla: a=c∗cos(β). Vyplýva to z definície kosínusu ako goniometrickej funkcie. Ale môžete použiť, ako v predchádzajúcom kroku, vetu o sínusoch a potom dĺžku požadovaného nohu a sa bude rovnať súčinu sínusu medzi 90° a známym uhlom a pomeru dĺžky prepony k sínusu pravého uhla. A keďže sínus je 90° rovný jednej, potom to môžeme zapísať takto: a=sin(90°-β)∗c.

Praktické výpočty je možné vykonávať napríklad pomocou softvérovej kalkulačky, ktorá je súčasťou operačného systému Windows. Ak ho chcete spustiť, vyberte v hlavnej ponuke na tlačidle „Štart“ možnosť „Spustiť“, zadajte príkaz calc a kliknite na „OK“. V najjednoduchšej verzii rozhrania tohto programu, ktorá sa predvolene otvára, nie sú k dispozícii trigonometrické funkcie, takže po jeho spustení musíte v ponuke kliknúť na sekciu „Zobraziť“ a vybrať riadok „Vedecké“ alebo „Inžinierstvo“ ( v závislosti od verzie používaného operačného systému).

Video k téme

Slovo „kathet“ prišlo do ruštiny z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnica, teda kolmá na povrch zeme. V matematike sú nohy strany, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana opačná k tomuto uhlu sa nazýva prepona. Pojem „katét“ sa používa aj v architektúre a technike zváračské práce.

Nakreslite pravouhlý trojuholník DIA. Označte jeho nohy ako a a b a jeho preponu ako c. Všetky strany a uhly pravouhlého trojuholníka sú definované medzi sebou. Pomer nohy oproti jednému z ostrých uhlov k prepone sa nazýva sínus tohto uhla. V tomto trojuholníku sinCAB=a/c. Kosínus je pomer k prepone susednej nohy, to znamená cosCAB=b/c. Inverzné vzťahy sa nazývajú sekanta a kosekans.

Sečna tohto uhla sa získa vydelením prepony susednou vetvou, to znamená secCAB = c/b. Výsledkom je prevrátená hodnota kosínusu, to znamená, že ho možno vyjadriť pomocou vzorca secCAB=1/cosSAB.
Kosekans sa rovná podielu prepony delenej opačnou stranou a je prevrátenou hodnotou sínusu. Dá sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB=1/sinCAB

Obe nohy sú navzájom spojené kotangensom. V tomto prípade bude dotyčnica pomerom strany a ku strane b, teda opačnej strany k susednej strane. Tento vzťah možno vyjadriť vzorcom tgCAB=a/b. V súlade s tým bude inverzný pomer kotangens: ctgCAB=b/a.

Vzťah medzi veľkosťou prepony a oboch nôh určil starogrécky Pytagoras. Ľudia stále používajú vetu a jeho meno. Hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh, teda c2 = a2 + b2. Podľa toho sa každá noha bude rovnať odmocnina z rozdielu medzi štvorcami prepony a druhej nohy. Tento vzorec možno zapísať ako b=√(c2-a2).

Dĺžka nohy môže byť vyjadrená aj prostredníctvom vám známych vzťahov. Podľa sínusovej a kosínusovej vety sa noha rovná súčinu prepony a jednej z týchto funkcií. Môže byť vyjadrený ako a alebo kotangens. Nohu a možno nájsť napríklad pomocou vzorca a = b*tan CAB. Presne rovnakým spôsobom, v závislosti od danej dotyčnice alebo , sa určí druhá vetva.

Pojem „katét“ sa používa aj v architektúre. Aplikuje sa na iónsky kapitál a vedie cez stred jeho chrbta. To znamená, že v tomto prípade je tento výraz kolmý na danú čiaru.

V technológii zvárania existuje „noha kútového zvaru“. Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o o medzere medzi jednou z častí, ktorá je privarená k hranici švu umiestnenej na povrchu druhej časti.

Video k téme

Zdroje:

• čo sú noha a prepona v roku 2019

Jednou z oblastí matematiky, s ktorou žiaci najviac zápasia, je trigonometria. Nie je prekvapujúce: na slobodné zvládnutie tejto oblasti vedomostí potrebujete priestorové myslenie, schopnosť nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens pomocou vzorcov, zjednodušiť výrazy a vedieť použiť číslo pi v výpočty. Navyše pri dokazovaní viet musíte vedieť používať trigonometriu, a to si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodiť zložité logické reťazce.

Počiatky trigonometrie

Zoznámenie sa s touto vedou by malo začať definíciou sínusu, kosínusu a tangensu uhla, ale najprv musíte pochopiť, čo robí trigonometria vo všeobecnosti.

Historicky hlavným predmetom štúdia v tomto odbore matematickej vedy boli pravouhlé trojuholníky. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, ktoré umožňujú určiť hodnoty všetkých parametrov príslušného obrázku pomocou dvoch strán a jedného uhla alebo dvoch uhlov a jednej strany. V minulosti si tento vzor ľudia všimli a začali ho aktívne využívať pri stavbe budov, navigácii, astronómii a dokonca aj v umení.

Prvé štádium

Spočiatku ľudia hovorili o vzťahu medzi uhlami a stranami výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia v Každodenný život toto odvetvie matematiky.

Štúdium trigonometrie v škole sa dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých študenti využívajú nadobudnuté vedomosti z fyziky a riešenia abstraktných goniometrických rovníc, ktoré začínajú už na strednej škole.

Sférická trigonometria

Neskôr, keď sa veda dostala na ďalší stupeň vývoja, začali sa vzorce so sínusom, kosínusom, dotyčnicou, kotangensom používať v sférickej geometrii, kde platia iné pravidlá a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Táto časť sa v škole neštuduje, ale je potrebné vedieť o jej existencii prinajmenšom preto, že zemský povrch a povrch akejkoľvek inej planéty je konvexný, čo znamená, že každé označenie povrchu bude mať „oblúkový tvar“ v troch -rozmerný priestor.

Vezmite zemeguľu a niť. Pripevnite niť na ľubovoľné dva body na zemeguli tak, aby bola napnutá. Upozorňujeme - nadobudlo tvar oblúka. Takýmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa využíva v geodézii, astronómii a iných teoretických a aplikovaných odboroch.

Správny trojuholník

Keď sme sa trochu naučili o spôsoboch používania trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme ďalej pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangens, aké výpočty je možné s ich pomocou vykonať a aké vzorce použiť.

Prvým krokom je pochopenie pojmov súvisiacich s pravouhlým trojuholníkom. Po prvé, prepona je strana opačná k uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety sa jej číselná hodnota rovná odmocnine súčtu štvorcov ostatných dvoch strán.

Napríklad, ak sú obe strany 3 a 4 centimetre, dĺžka prepony bude 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.

Dve zostávajúce strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho si musíme uvedomiť, že súčet uhlov v trojuholníku v pravouhlom súradnicovom systéme sa rovná 180 stupňom.

Definícia

Nakoniec, s pevným pochopením geometrického základu, sa môžeme obrátiť na definíciu sínusu, kosínusu a tangensu uhla.

Sínus uhla je pomer protiľahlej vetvy (t.j. strany protiľahlej k požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer priľahlej strany k prepone.

Pamätajte, že ani sínus, ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jedna! prečo? Pretože prepona je štandardne najdlhšia, bez ohľadu na to, aká dlhá je prepona, bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda v odpovedi na problém dostanete sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, hľadajte chybu vo výpočtoch alebo zdôvodňovaní. Táto odpoveď je jednoznačne nesprávna.

Nakoniec tangens uhla je pomer protiľahlej strany k susednej strane. Delenie sínusu kosínusom poskytne rovnaký výsledok. Pozrite sa: podľa vzorca vydelíme dĺžku strany preponou, potom vydelíme dĺžkou druhej strany a vynásobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký vzťah ako pri definícii dotyčnice.

Kotangens je teda pomer strany susediacej s rohom k opačnej strane. Rovnaký výsledok dostaneme vydelením jednej dotyčnicou.

Takže sme sa pozreli na definície toho, čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens, a môžeme prejsť k vzorcom.

Najjednoduchšie vzorce

V trigonometrii sa nezaobídete bez vzorcov - ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? Ale to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.

Prvý vzorec, ktorý potrebujete vedieť, keď začnete študovať trigonometriu, hovorí, že súčet druhých mocnín sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak potrebujete poznať veľkosť uhla a nie strany.

Veľa žiakov si nevie zapamätať druhý vzorec, ktorý je tiež veľmi obľúbený pri riešení školských úloh: súčet jednotky a druhej mocniny tangens uhla sa rovná jednej delenej druhou mocninou kosínusu uhla. Pozrime sa bližšie: toto je rovnaké tvrdenie ako v prvom vzorci, len obe strany identity boli rozdelené druhou mocninou kosínusu. Ukazuje sa, že jednoduchá matematická operácia úplne zmení goniometrický vzorec na nerozoznanie. Pamätajte si: s vedomím toho, čo sú sínus, kosínus, tangens a kotangens, transformačných pravidiel a niekoľkých základných vzorcov, môžete kedykoľvek odvodiť požadované zložitejšie vzorce na hárku papiera.

Vzorce pre dvojité uhly a sčítanie argumentov

Ďalšie dva vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu pre súčet a rozdiel uhlov. Sú uvedené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia v oboch prípadoch a v druhom prípade sa pripočíta párový súčin sínusu a kosínusu.

Existujú aj vzorce spojené s argumentmi dvojitého uhla. Sú úplne odvodené od predchádzajúcich - v praxi sa ich snažte získať sami tým, že zoberiete uhol alfa rovný beta uhlu.

Nakoniec si všimnite, že vzorce s dvojitým uhlom možno preusporiadať, aby sa znížila mocnina sínusu, kosínusu a dotyčnice alfa.

Vety

Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová a kosínusová. Pomocou týchto teorémov môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangens, a teda aj plochu postavy a veľkosť každej strany atď.

Sínusová veta hovorí, že delením dĺžky každej strany trojuholníka opačným uhlom dostaneme rovnaké číslo. Okrem toho sa toto číslo bude rovnať dvom polomerom kružnice opísanej, teda kružnice obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.

Kosínusová veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu a premieta ju na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán odpočítajte ich súčin vynásobený dvojitým kosínusom susedného uhla - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínusovej vety.

Neopatrné chyby

Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a tangens, je ľahké urobiť chybu kvôli neprítomnosti alebo chybe v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa takýmto chybám vyhli, poďme sa pozrieť na tie najpopulárnejšie.

Po prvé, nemali by ste prevádzať zlomky na desatinné miesta, kým nedosiahnete konečný výsledok – odpoveď môžete ponechať aj ako zlomok, pokiaľ nie je v podmienkach uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, ale treba mať na pamäti, že v každej fáze problému sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa autorovho nápadu mali znížiť. V tomto prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. Platí to najmä pre hodnoty ako odmocnina z troch alebo odmocnina z dvoch, pretože sa vyskytujú v problémoch na každom kroku. To isté platí pre zaokrúhľovanie „škaredých“ čísel.

Ďalej si všimnite, že kosínusová veta sa vzťahuje na akýkoľvek trojuholník, ale nie na Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojnásobok súčinu strán vynásobeného kosínusom uhla medzi nimi, dostanete nielen úplne nesprávny výsledok, ale preukážete aj úplné nepochopenie predmetu. Toto je horšie ako neopatrná chyba.

Po tretie, nezamieňajte hodnoty pre uhly 30 a 60 stupňov pre sínusy, kosínusy, tangenty, kotangensy. Zapamätajte si tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínusu 60 a naopak. Je ľahké ich zameniť, v dôsledku čoho nevyhnutne získate chybný výsledok.

Aplikácia

Mnohí študenti sa so začiatkom štúdia trigonometrie neponáhľajú, pretože nerozumejú jej praktickému významu. Čo je sínus, kosínus, tangens pre inžiniera alebo astronóma? Ide o koncepty, pomocou ktorých môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu alebo poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich nie je možné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A to sú len tie najzreteľnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej forme sa používa všade, od hudby po medicínu.

Konečne

Takže ste sínus, kosínus, tangenta. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne riešiť školské úlohy.

Celý zmysel trigonometrie spočíva v tom, že pomocou známych parametrov trojuholníka musíte vypočítať neznáme. Celkovo existuje šesť parametrov: dĺžka troch strán a veľkosť troch uhlov. Jediný rozdiel v úlohách spočíva v tom, že sú uvedené rôzne vstupné údaje.

Teraz viete, ako nájsť sínus, kosínus, tangentu na základe známych dĺžok nôh alebo prepony. Keďže tieto pojmy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom úlohy trigonometrie je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo sústavy rovníc. A tu vám pomôže bežná školská matematika.

Priemerná úroveň

Správny trojuholník. Kompletný ilustrovaný sprievodca (2019)

SPRÁVNY TROJUHOLNÍK. PRVÁ ÚROVEŇ.

V problémoch nie je vôbec potrebný pravý uhol - ľavý dolný, takže sa musíte naučiť rozpoznať pravouhlý trojuholník v tejto forme,

a v tomto

a v tomto

Čo je dobré na pravouhlom trojuholníku? No..., po prvé, pre jeho strany sú špeciálne krásne mená.

Pozor na kresbu!

Pamätajte a nezamieňajte: sú dve nohy a je len jedna prepona(jediný, jedinečný a najdlhší)!

No, diskutovali sme o menách, teraz najdôležitejšia vec: Pytagorova veta.

Pytagorova veta.

Táto veta je kľúčom k riešeniu mnohých problémov týkajúcich sa pravouhlého trojuholníka. Dokázal to už Pytagoras v úplne nepamätných časoch a odvtedy priniesol veľa úžitku tým, ktorí to poznajú. A najlepšie na tom je, že je to jednoduché.

takže, Pytagorova veta:

Pamätáte si vtip: „Pytagorove nohavice sú si na všetkých stranách rovné!“?

Poďme nakresliť tie isté pythagorejské nohavice a pozrieť sa na ne.

Nevyzerá to ako nejaké šortky? No a na ktorých stranách a kde sú si rovní? Prečo a odkiaľ prišiel vtip? A tento vtip súvisí práve s Pytagorovou vetou, presnejšie s tým, ako svoju vetu sformuloval sám Pytagoras. A sformuloval to takto:

„Suma plochy štvorcov, postavená na nohách, sa rovná štvorcová plocha, postavený na prepone.“

Naozaj to znie trochu inak? A tak, keď Pytagoras nakreslil výrok svojej vety, vyšiel práve tento obrázok.

Na tomto obrázku sa súčet plôch malých štvorcov rovná ploche veľkého štvorca. A aby si deti lepšie zapamätali, že súčet štvorcov nôh sa rovná druhej mocnine prepony, niekto vtipný vymyslel tento vtip o pytagorových nohaviciach.

Prečo teraz formulujeme Pytagorovu vetu?

Trpel Pytagoras a hovoril o štvorcoch?

Vidíte, v staroveku neexistovala žiadna... algebra! Neboli tam žiadne známky a pod. Neboli tam žiadne nápisy. Viete si predstaviť, aké hrozné bolo pre úbohých starovekých študentov pamätať si všetko slovami??! A môžeme sa tešiť, že máme jednoduchú formuláciu Pytagorovej vety. Zopakujme si to ešte raz, aby sme si to lepšie zapamätali:

Teraz by to malo byť jednoduché:

Druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh.

Najdôležitejšia veta o pravouhlých trojuholníkoch bola prediskutovaná. Ak vás zaujíma, ako sa to dokazuje, prečítajte si nasledujúce úrovne teórie a teraz poďme ďalej... do temného lesa... trigonometria! K strašným slovám sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku.

V skutočnosti nie je všetko také strašidelné. Samozrejme, v článku by ste sa mali pozrieť na „skutočnú“ definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Ale to naozaj nechcem, však? Môžeme sa tešiť: na vyriešenie problémov s pravouhlým trojuholníkom stačí vyplniť nasledujúce jednoduché veci:

Prečo je všetko len za rohom? kde je roh? Aby ste tomu porozumeli, musíte vedieť, ako sa slová 1 - 4 píšu. Pozrite sa, pochopte a pamätajte!

1.
V skutočnosti to znie takto:

A čo uhol? Existuje noha, ktorá je oproti rohu, teda opačná (pre uhol) noha? Samozrejme, že mám! Toto je noha!

A čo uhol? Pozrite sa pozorne. Ktorá noha susedí s rohom? Samozrejme, noha. To znamená, že pre uhol je noha priľahlá, a

Teraz dávajte pozor! Pozrite sa, čo sme dostali:

Pozrite sa, aké je to cool:

Teraz prejdime k dotyčnici a kotangensu.

Ako to teraz môžem napísať slovami? Aká je noha vo vzťahu k uhlu? Naproti, samozrejme - „leží“ oproti rohu. A čo noha? Susedí s rohom. Takže čo máme?

Vidíte, ako si čitateľ a menovateľ vymenili miesta?

A teraz opäť rohy a výmena:

Zhrnutie

Stručne si zapíšme všetko, čo sme sa naučili.

Pytagorova veta:

Hlavnou vetou o pravouhlých trojuholníkoch je Pytagorova veta.

Pytagorova veta

Mimochodom, pamätáte si dobre, čo sú nohy a prepona? Ak nie veľmi dobrý, pozrite sa na obrázok - osviežte si svoje vedomosti

Je dosť možné, že Pytagorovu vetu ste už mnohokrát použili, no napadlo vás niekedy, prečo je takáto veta pravdivá? Ako to môžem dokázať? Urobme to ako starí Gréci. Nakreslíme štvorec so stranou.

Pozrite sa, ako šikovne sme rozdelili jeho strany na dĺžky a!

Teraz spojme označené bodky

Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozriete na kresbu a pomyslíte si, prečo je to tak.

Aká je plocha väčšieho námestia? Správny, . A čo menšia plocha? Určite,. Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich vzali po dvoch a opreli ich o seba preponami. Čo sa stalo? Dva obdĺžniky. To znamená, že plocha „rezov“ je rovnaká.

Poďme si to teraz dať dokopy.

Poďme sa transformovať:

Navštívili sme teda Pytagora – jeho vetu sme dokázali starovekým spôsobom.

Pravý trojuholník a trigonometria

Pre pravouhlý trojuholník platia tieto vzťahy:

Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej strany k prepone

Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone.

Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru protiľahlej strany k susednej strane.

Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej strany k protiľahlej strane.

A ešte raz to všetko vo forme tabletu:

Je to veľmi pohodlné!

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Na dvoch stranách

II. Nohou a preponou

III. Podľa prepony a ostrého uhla

IV. Pozdĺž nohy a ostrého uhla

a)

b)

Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby nohy boli „vhodné“. Napríklad, ak to dopadne takto:

POTOM NIE SÚ TROJUHOLNÍKY ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.

Potrebovať v oboch trojuholníkoch noha susedila, alebo v oboch bola opačná.

Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov? Pozrite sa na tému „a venujte pozornosť tomu, že pre rovnosť „obyčajných“ trojuholníkov musia byť tri ich prvky rovnaké: dve strany a uhol medzi nimi, dva uhly a strana medzi nimi alebo tri strany. Ale na rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Skvelé, však?

Situácia je približne rovnaká so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Pozdĺž ostrého uhla

II. Na dvoch stranách

III. Nohou a preponou

Medián v pravouhlom trojuholníku

prečo je to tak?

Namiesto pravouhlého trojuholníka zvážte celý obdĺžnik.

Nakreslíme uhlopriečku a uvažujme bod - priesečník uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika?

A čo z toho vyplýva?

Tak sa to ukázalo

1. - medián:

Pamätajte na túto skutočnosť! Veľmi pomáha!

O to prekvapujúcejšie je, že platí aj opak.

Čo je dobré získať zo skutočnosti, že medián k prepone sa rovná polovici prepony? Pozrime sa na obrázok

Pozrite sa pozorne. Máme: , to znamená, že vzdialenosti od bodu k všetkým trom vrcholom trojuholníka sa ukázali byť rovnaké. Ale v trojuholníku je len jeden bod, ktorého vzdialenosti od všetkých troch vrcholov trojuholníka sú rovnaké, a to je STRED KRUHU. Takže, čo sa stalo?

Začnime teda týmto „okrem...“.

Pozrime sa na a.

ale podobné trojuholníky všetky uhly sú rovnaké!

To isté možno povedať o a

Teraz to nakreslíme spolu:

Aký úžitok možno získať z tejto „trojitej“ podobnosti?

No napríklad - dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.

Zapíšme si vzťahy príslušných strán:

Aby sme našli výšku, riešime pomer a dostaneme prvý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":

Aplikujme teda podobnosť: .

Čo sa teraz stane?

Opäť riešime pomer a dostaneme druhý vzorec:

Oba tieto vzorce si musíte veľmi dobre zapamätať a použiť ten, ktorý je pohodlnejší. Zapíšme si ich ešte raz

Pytagorova veta:

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov nôh: .

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

• na dvoch stranách:
• nohou a preponou: alebo
• pozdĺž nohy a priľahlého ostrého uhla: alebo
• pozdĺž nohy a opačný ostrý uhol: alebo
• podľa prepony a ostrého uhla: príp.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov:

• jeden akútny roh: alebo
• z proporcionality dvoch nôh:
• z proporcionality nohy a prepony: príp.

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku

• Sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer opačnej strany k prepone:
• Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone:
• Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej strany k susednej strane:
• Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane: .

Výška pravouhlého trojuholníka: alebo.

V pravouhlom trojuholníku sa medián vytiahnutý z vrcholu pravého uhla rovná polovici prepony: .

Plocha pravouhlého trojuholníka:

• cez nohy:

Inštrukcie

Video k téme

Poznámka

Pri výpočte strán pravouhlého trojuholníka môže zohrávať úlohu znalosť jeho charakteristík:
1) Ak noha pravého uhla leží oproti uhlu 30 stupňov, potom sa rovná polovici prepony;
2) Prepona je vždy dlhšia ako ktorákoľvek z nôh;
3) Ak je kruh opísaný okolo pravouhlého trojuholníka, potom jeho stred musí ležať v strede prepony.

Prepona je strana pravouhlého trojuholníka, ktorá je oproti 90 stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a veľkosť jedného z ostrých uhlov trojuholníka.

Inštrukcie

Dajte nám vedieť jednu z nôh a uhol, ktorý k nej prilieha. Aby som bol konkrétny, nech sú tieto strany |AB| a uhol α. Potom môžeme použiť vzorec pre trigonometrický kosínus - kosínusový pomer susednej vetvy k. Tie. v našom zápise cos α = |AB| / |AC|. Z toho získame dĺžku prepony |AC| = |AB| / čos α.
Ak poznáme stranu |BC| a uhla α, potom pomocou vzorca vypočítame sínus uhla - sínus uhla sa rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone: sin α = |BC| / |AC|. Zistili sme, že dĺžka prepony je |AC| = |BC| / čos α.

Pre prehľadnosť sa pozrime na príklad. Nech je uvedená dĺžka nohy |AB|. = 15. A uhol α = 60°. Získame |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pozrime sa, ako môžete skontrolovať svoj výsledok pomocou Pytagorovej vety. Aby sme to dosiahli, musíme vypočítať dĺžku druhého úseku |BC|. Pomocou vzorca pre tangens uhla tan α = |BC| / |AC|, dostaneme |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Ďalej použijeme Pytagorovu vetu, dostaneme 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Kontrola dokončená.

Užitočné rady

Po výpočte prepony skontrolujte, či výsledná hodnota spĺňa Pytagorovu vetu.

Zdroje:

• Tabuľka prvočísel od 1 do 10 000

Nohy sú dve krátke strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria vrchol, ktorého veľkosť je 90°. Tretia strana v takomto trojuholníku sa nazýva prepona. Všetky tieto strany a uhly trojuholníka sú vzájomne prepojené určitými vzťahmi, ktoré umožňujú vypočítať dĺžku nohy, ak je známych niekoľko ďalších parametrov.

Inštrukcie

Použite Pytagorovu vetu pre nohu (A), ak poznáte dĺžku ďalších dvoch strán (B a C) pravouhlého trojuholníka. Táto veta hovorí, že súčet štvorcových dĺžok nôh sa rovná druhej mocnine prepony. Z toho vyplýva, že dĺžka každého ramena sa rovná druhej odmocnine dĺžok prepony a druhého ramena: A=√(C²-B²).

Použite definíciu priamej goniometrickej funkcie „sínus“ pre ostrý uhol, ak je známa veľkosť uhla (α) ležiaceho oproti vypočítavanej nohe a dĺžka prepony (C). To uvádza, že sínus tohto známeho pomeru dĺžky požadovaného ramena k dĺžke prepony. To znamená, že dĺžka požadovaného ramena sa rovná súčinu dĺžky prepony a sínusu známeho uhla: A=C∗sin(α). Pre tie isté známe veličiny môžete použiť aj kosekans a vypočítať požadovanú dĺžku vydelením dĺžky prepony kosekansom známeho uhla A=C/kosec(α).

Definíciu priamej trigonometrickej kosínusovej funkcie použite, ak je okrem dĺžky prepony (C) známa aj veľkosť ostrého uhla (β) susediaceho s požadovanou preponou. Kosínus tohto uhla je pomer dĺžok požadovaného ramena a prepony a z toho môžeme vyvodiť záver, že dĺžka ramena sa rovná súčinu dĺžky prepony a kosínusu známeho uhla: A=C∗cos(β). Môžete použiť definíciu funkcie sečny a vypočítať požadovanú hodnotu vydelením dĺžky prepony sečnicou známeho uhla A=C/sec(β).

Odvoďte požadovaný vzorec z podobnej definície pre deriváciu tangens goniometrickej funkcie, ak je okrem hodnoty ostrého uhla (α) ležiaceho oproti požadovanému ramenu (A) známa aj dĺžka druhého ramena (B). . Tangenta uhla opačného k požadovanému ramenu je pomer dĺžky tohto ramena k dĺžke druhého ramena. To znamená, že požadovaná hodnota sa bude rovnať súčinu dĺžky známeho ramena a dotyčnice známeho uhla: A=B∗tg(α). Z tých istých známych veličín možno odvodiť ďalší vzorec, ak použijeme definíciu kotangensovej funkcie. V tomto prípade na výpočet dĺžky ramena bude potrebné nájsť pomer dĺžky známeho ramena ku kotangensu známeho uhla: A=B/ctg(α).

Video k téme

Slovo „kathet“ prišlo do ruštiny z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnica, teda kolmá na povrch zeme. V matematike sú nohy strany, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana opačná k tomuto uhlu sa nazýva prepona. Pojem „katéter“ sa používa aj v architektúre a technológii zvárania.

Sečna tohto uhla sa získa vydelením prepony susednou vetvou, to znamená secCAB = c/b. Výsledkom je prevrátená hodnota kosínusu, to znamená, že ho možno vyjadriť pomocou vzorca secCAB=1/cosSAB.
Kosekans sa rovná podielu prepony delenej opačnou stranou a je prevrátenou hodnotou sínusu. Dá sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB=1/sinCAB

Obe nohy sú navzájom spojené kotangensom. V tomto prípade bude dotyčnica pomerom strany a ku strane b, teda opačnej strany k susednej strane. Tento vzťah možno vyjadriť vzorcom tgCAB=a/b. V súlade s tým bude inverzný pomer kotangens: ctgCAB=b/a.

Vzťah medzi veľkosťou prepony a oboch nôh určil starogrécky Pytagoras. Ľudia stále používajú vetu a jeho meno. Hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhých mocnín nôh, teda c2 = a2 + b2. Podľa toho sa každá vetva bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi druhými mocninami prepony a druhej vetvy. Tento vzorec možno zapísať ako b=√(c2-a2).

Dĺžka nohy môže byť vyjadrená aj prostredníctvom vám známych vzťahov. Podľa sínusovej a kosínusovej vety sa noha rovná súčinu prepony a jednej z týchto funkcií. Môže byť vyjadrený ako a alebo kotangens. Nohu a možno nájsť napríklad pomocou vzorca a = b*tan CAB. Presne rovnakým spôsobom, v závislosti od danej dotyčnice alebo , sa určí druhá vetva.

Pojem „katét“ sa používa aj v architektúre. Aplikuje sa na iónsky kapitál a vedie cez stred jeho chrbta. To znamená, že v tomto prípade je tento výraz kolmý na danú čiaru.

V technológii zvárania existuje „noha kútového zvaru“. Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o medzere medzi jednou z častí, ktorá je privarená k okraju švu umiestneného na povrchu druhej časti.

Video k téme

Zdroje:

• čo sú noha a prepona v roku 2019