Oblasť kocky pozdĺž okraja vzorca. Ako nájsť plochu a objem kocky. Ako nájsť oblasť kocky

Kocka je úžasná postava. Na všetkých stranách je to rovnaké. Akákoľvek jeho tvár sa môže okamžite stať základňou alebo bočnou stranou. Z toho sa nič nezmení. A vzorce pre neho sú vždy ľahko zapamätateľné. A bez ohľadu na to, čo musíte nájsť - objem alebo povrch kocky. V druhom prípade sa ani nemusíte učiť niečo nové. Stačí si zapamätať iba vzorec štvorcovej oblasti.

Čo je to oblasť?

Túto hodnotu zvyčajne označuje latinské písmeno S. Toto platí aj pre školské predmety, ako je fyzika a matematika. Meria sa v štvorcových jednotkách dĺžky. Všetko záleží na údajoch v kvantitatívnom probléme. Môže byť štvorcový v mm, cm, m alebo km. Okrem toho môžu nastať prípady, keď jednotky nie sú ani naznačené. Hovoríme jednoducho o číselnom vyjadrení oblasti bez mena.

Čo je to oblasť? Je to hodnota, ktorá je číselnou charakteristikou príslušného čísla alebo tela. Ukazuje veľkosť svojho povrchu, ktorá je ohraničená stranami obrázku.

Aký tvar sa nazýva kocka?

Toto číslo je mnohosten. A nie je to ľahké. Má pravdu, to znamená, že všetky prvky sú si navzájom rovnaké. Či už ide o boky alebo tváre. Každý povrch kocky je štvorec.

Ďalším názvom pre kocku je pravidelný hexahedron, ak je v ruštine, potom hexagon. Môže byť vytvorená z kvadrangulárneho hranolu alebo z rovnobežníka. Za predpokladu, že všetky okraje sú rovnaké a uhly sa tvoria 90 stupňov.

Toto číslo je také harmonické, že sa často používa v každodennom živote. Napríklad prvé detské hračky sú kocky. A zábava pre tých starších je Rubikova kocka.

Ako je kocka spojená s inými postavami a telami?

Ak nakreslíme časť kocky, ktorá prechádza jej tromi tvárami, bude to vyzerať ako trojuholník. Keď sa vzdialite od vrcholu, sekcia bude väčšia. Príde čas, keď sa už 4 tváre pretnú, a číslo v priereze sa stane štvoruholníkom. Ak nakreslíte časť kocky stredom tak, že je kolmá na jej hlavnú uhlopriečku, dostanete pravidelný šesťuholník.

Vo vnútri kocky môžete nakresliť štvorsten (trojuholníková pyramída). Jeden z jeho rohov je na vrchu štvorstena. Zostávajúce tri sa budú zhodovať s vrcholmi, ktoré ležia na opačných koncoch okrajov vybraného rohu kocky.

Do nej možno vložiť osemsten (konvexný pravidelný mnohosten, ktorý vyzerá ako dve spojené pyramídy). Na tento účel nájdite stredy všetkých tvárí kocky. Budú to vrcholy oktaedrónu.

Je tiež možná reverzná operácia, to znamená, že je možné skutočne vstúpiť do kocky vnútri oktaedronu. Až teraz sa stredy tvárí prvého stávajú vrcholmi druhého.

Metóda 1: vypočítajte plochu kocky podľa jej okraja

Na výpočet celej plochy kocky je potrebná znalosť jedného z jej prvkov. Najjednoduchší spôsob riešenia, keď je známa jeho hrana alebo inými slovami strana štvorca, z ktorého pozostáva. Táto hodnota sa zvyčajne označuje latinským písmenom „a“.

Teraz si musíme pripomenúť vzorec, podľa ktorého sa vypočíta štvorec. Aby nedošlo k zámene, jeho označenie sa uvádza písmenom S 1.

Kvôli prehľadnosti je lepšie nastaviť čísla pre všetky vzorce. Bude to prvý.

Ale toto je oblasť iba jedného štvorca. Je ich šesť: 4 po stranách a 2 spodná a horná. Potom sa plocha kocky vypočíta podľa tohto vzorca: S \u003d 6 * a 2. Jej číslo je 2.

Metóda 2: ako vypočítať plochu, ak je známy objem tela

Z matematického vyjadrenia objemu hexahedronu sa odvodí jeden, z ktorého sa dá vypočítať dĺžka rebra. Tu je to:

Číslovanie pokračuje a číslo 3 je už tu.

Teraz ju možno vypočítať a nahradiť do druhého vzorca. Ak budeme konať podľa matematických noriem, musíme odvodiť tento výraz:

Toto je vzorec pre plochu celého povrchu kocky, ktorý sa môže použiť, ak je známy objem. Číslo tejto položky je 4.

Metóda 3: Vypočítajte plochu pozdĺž diagonály kocky

Toto je vzorec číslo 5.

Z nej je ľahké odvodiť výraz pre hranu kocky:

Toto je šiesty vzorec. Po jeho výpočte môžete znova použiť vzorec pod druhým číslom. Ale je lepšie napísať toto:

Ukázalo sa, že je číslovaný 7. Ak sa pozriete pozorne, všimnete si, že posledný vzorec je pohodlnejší ako postupný výpočet.

Metóda 4: ako používať polomer vpísanej alebo zakrúžkovanej kružnice na výpočet plochy kocky

Ak označíme polomer kružnice opísanej v blízkosti hexahedronu písmenom R, potom sa plocha kocky ľahko vypočíta podľa tohto vzorca:

Jeho sériové číslo je 8. Dá sa ľahko získať kvôli skutočnosti, že priemer kruhu sa úplne zhoduje s hlavnou uhlopriečkou.

Označením polomeru vpísaného kruhu latinským písmenom r môžeme získať nasledujúci vzorec pre celú plochu hexahedrónu:

Toto je vzorec číslo 9.

Niekoľko slov o bočnom povrchu hexahedrónu

Ak problém vyžaduje nájdenie oblasti laterálneho povrchu kocky, musíte použiť vyššie opísanú techniku. Ak je hrana tela už zadaná, potom je potrebné plochu štvorca jednoducho vynásobiť 4. Toto číslo sa objavilo v dôsledku skutočnosti, že kocka má iba 4 bočné steny. Matematický zápis pre tento výraz je nasledujúci:

Jeho číslo je 10. Ak sú uvedené ďalšie množstvá, potom postupujú podobne ako vyššie uvedené metódy.

Príklady úloh

Podmienka jedna. Povrch kocky je známy. Je 200 cm². Je potrebné vypočítať hlavnú uhlopriečku kocky.

1 spôsob. Musíte použiť vzorec, ktorý je označený číslom 2. Z toho bude ľahké odvodiť „a“. Táto matematická notácia bude vyzerať ako druhá odmocnina kvocientu, ktorá sa rovná S číslom 6. Po nahradení čísel sa ukáže:

a \u003d √ (200/6) \u003d √ (100/3) \u003d 10-3 (cm).

Piaty vzorec vám umožňuje okamžite vypočítať hlavnú diagonálu kocky. Ak to chcete urobiť, musíte vynásobiť hodnotu okraja √3. Je to jednoduché. Odpoveď ukazuje, že uhlopriečka je 10 cm.

2 spôsoby. V prípade, že zabudnete vzorec pre uhlopriečku, ale pamätám si Pythagorovu vetu.

Podobne ako pri prvej metóde, nájdite výhodu. Potom musíme napísať vetu pre preponu dvakrát: prvý pre trojuholník na tvári, druhý pre ten, ktorý obsahuje požadovanú uhlopriečku.

x² \u003d a² + a², kde x je uhlopriečka štvorca.

d² \u003d x² + a² \u003d a² + a² + a² \u003d 3 a². Z tohto záznamu je ľahké zistiť, ako sa získa vzorec pre diagonálu. A potom budú všetky výpočty rovnaké ako v prvej metóde. Je to trochu dlhšie, ale umožňuje vám nezabudnúť si vzorec, ale získať ho sami.

Odpoveď: uhlopriečka kocky je 10 cm.

Druhá podmienka. Z známeho povrchu, ktorý sa rovná 54 cm2, vypočítajte objem kocky.

Pomocou vzorca pod druhým číslom musíte zistiť hodnotu okraja kocky. Spôsob, akým sa to robí, je podrobne opísaný v prvej metóde riešenia predchádzajúceho problému. Po všetkých výpočtoch dostaneme a \u003d 3 cm.

Teraz musíte použiť vzorec pre objem kocky, v ktorej je dĺžka rebra zvýšená na tretí stupeň. Objem sa teda bude posudzovať takto: V \u003d 3 3 \u003d 27 cm3.

Odpoveď: objem kocky je 27 cm 3.

Tretia podmienka. Je potrebné nájsť hranu kocky, pre ktorú sú splnené nasledujúce podmienky. Keď sa rebro zväčší o 9 jednotiek, celková plocha povrchu sa zväčší o 594.

Keďže v probléme nie sú žiadne explicitné čísla, iba rozdiel medzi tým, čo sa stalo, a tým, čo sa stalo, musíme zaviesť ďalší zápis. Nie je to ťažké. Nechajte požadovanú hodnotu rovnať „a“. Zväčšený okraj kocky sa potom bude rovnať (a + 9).

S týmto vedomím musíte dvakrát zapísať vzorec pre povrchovú plochu kocky. Prvá - pre počiatočnú hodnotu hrany - sa bude zhodovať s tou, ktorá je očíslovaná číslom 2. Druhá bude mierne odlišná. V ňom namiesto „a“ musíte napísať sumu (a + 9). Keďže ide o rozdiel v oblasti, je potrebné odpočítať menšiu z väčšej oblasti:

6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 \u003d 594.

Potreba vykonať transformáciu. Najprv zátvorka 6 na ľavej strane rovnosti a potom zjednodušte, čo zostane v zátvorkách. Konkrétne (a + 9) 2 - a 2. Tu je napísaný rozdiel druhých mocnín, ktorý je možné transformovať nasledovne: (a + 9 - a) (a + 9 + a). Po zjednodušení výrazu dostaneme 9 (2a + 9).

Teraz ju musíte vynásobiť číslom 6, tj číslom, ktoré bolo pred zátvorkou, a rovnať 594: 54 (2a + 9) \u003d 594. Toto je lineárna rovnica s jednou neznámou. Je ľahké ho vyriešiť. Najprv musíte otvoriť zátvorky a potom preniesť výraz s neznámou hodnotou na ľavú stranu rovnosti a čísla na pravú stranu. Získa sa táto rovnica: 2a \u003d 2. Z toho je zrejmé, že požadovaná hodnota je 1.

Kocka má mnoho zaujímavých matematických vlastností a je známa ľuďom už od staroveku. Zástupcovia niektorých starogréckych škôl sa domnievali, že elementárne častice (atómy), ktoré tvoria náš svet, majú tvar kocky, zatiaľ čo mystici a ezoterici tento údaj dokonca skreslili. A dnes zástupcovia paranoskopie pripisujú kocke úžasné energetické vlastnosti.

Kocka je ideálna postava, jedna z piatich platonických tuhých látok. Platónovo telo je

bežná mnohotvárna postava spĺňajúca tri podmienky:

1. Všetky jeho okraje a plochy sú rovnaké.

2. Uhly medzi plochami sú rovnaké (v kocke sú uhly medzi plochami rovnaké a sú 90 stupňov).

3. Všetky vrcholy obrázka sa dotýkajú povrchu gule opísanej okolo neho.

Presný počet týchto čísiel nazval staroveký grécky matematik Teetet v Aténach a študent Platóna Euklida v 13. knihe začiatkov im dal podrobný matematický opis.

Starí Gréci, naklonení pomocou kvantitatívnych množstiev k popisu štruktúry nášho sveta, dali platonickým pevným látkam hlboký posvätný význam. Verili, že každá z týchto čísiel symbolizuje univerzálne princípy: tetraedrový oheň, kocka - zem, osemsten, vzduch, icosahedron - voda, dodekahedron - éter. Guľa opísaná okolo nich symbolizovala dokonalosť, božský princíp.

Kocka, nazývaná tiež hexahedron (z gréčtiny „Hex“ - 6), je trojrozmerná regulárna vzorka, ktorá sa tiež nazýva pravouhlý rovnobežník.

Kocka má šesť stien, dvanásť hrán a osem vrcholov. K tomuto obrázku je možné pridať ďalšie štvorsteny (štvorsteny s tvárami v tvare trojuholníkov), osemsten (osemsteny) a ikosedron (dvadsaťstranné).

Nazýva sa segment, ktorý spája dva vrcholy symetrické vzhľadom na stred. Poznáme dĺžku okraja kocky a, môžeme nájsť dĺžku uhlopriečky v: v \u003d a 3.

Ako bolo uvedené vyššie, guľa sa dá vpísať do kocky, zatiaľ čo polomer vpísanej gule (označený r) sa bude rovnať polovici dĺžky okraja: r \u003d (1/2) a.

Ak je guľa opísaná okolo kocky, potom polomer opísanej gule (označíme ju R) bude: R \u003d (3/2) a.

Pomerne bežná otázka v školských problémoch: ako vypočítať oblasť

povrch kocky? Je to veľmi jednoduché, len si predstavte kocku. Povrch kocky je tvorený šiestimi plochami štvorcového tvaru. Preto, aby ste našli povrch kocky, musíte najskôr nájsť plochu jednej z tvárí a vynásobiť ich číslom: S p \u003d 6a 2.

Podobne ako sme zistili povrchovú plochu kocky, vypočítame plochu jej bočných stien: S b \u003d 4a 2.

Z tohto vzorca je zrejmé, že dve protiľahlé plochy kocky sú základne a ďalšie štyri sú bočné povrchy.

Kocku nájdete iným spôsobom. Vzhľadom na to, že kocka je obdĺžnikový box, môžete použiť koncept troch priestorových rozmerov. To znamená, že kocka, ktorá je trojrozmerným obrázkom, má 3 parametre: dĺžka (a), šírka (b) a výška (c).

Pomocou týchto parametrov vypočítame celkovú povrchovú plochu kocky: S p \u003d 2 (ab + ac + bc).

Objem kocky je produktom troch komponentov - výšky, dĺžky a šírky:
V \u003d abc alebo tri susedné hrany: V \u003d a 3.

Kocka je jednou z najjednoduchších trojrozmerných figúr. Každý vie, kocky ľadu, štvorcové škatule alebo kryštály soli - to všetko sú také tvary. Povrchová plocha kocky je celková plocha všetkých strán na jej povrchu. Všetkých šesť jeho plôch je úmerných, a preto s vedomím dĺžky jednej z nich môžete vypočítať bočnú a povrchovú plochu ľubovoľného obrázka.

Ako nájsť oblasť kocky - čo je to postava?

Kocka je trojrozmerná postava, ktorá má rovnaké rozmery. Jeho dĺžka, šírka a výška sú rovnaké a každá hrana sa stretáva s ostatnými hranami v rovnakom uhle. Nájdenie povrchovej plochy kocky je rýchle a pohodlné, pretože pozostáva z zhodných alebo úmerných štvorcov. Akonáhle zistíte veľkosť jedného zo štvorcov, zistíte plochu celej postavy.

Ako nájsť oblasť kocky - tváre postavy

Z obrázku je zrejmé, že kocka má prednú a zadnú plochu, dve bočné a hornú zospodu. Plocha akejkoľvek kocky bude šesť zhodných štvorcov. V skutočnosti, ak ju rozbalíte, môžete jasne vidieť šesť štvorcov, ktoré tvoria celkový povrch figúry.

Ako nájsť oblasť kocky

Oblasť kocky pozostáva z oblasti šiestich tvárí. Pretože sú si všetci rovní, stačí poznať oblasť jednej z nich a vynásobiť hodnotu číslom 6. Plocha obrázku sa nachádza aj pomocou jednoduchého vzorca: S \u003d 6 x a², kde „a“ je jednou zo strán kocky.

Ako nájsť oblasť kocky - nastaviť plochu strany

• Predpokladajme, že kocka je vysoká 2 cm, pretože jej povrch je štvorcový, všetky jej okraje budú mať rovnakú dĺžku. Preto v závislosti od veľkosti výšky bude jej dĺžka a šírka 2 cm.
• Ak chcete nájsť oblasť jedného zo štvorcov, nezabudnite na základné znalosti geometrie, kde S \u003d a², kde a je dĺžka jednej zo strán. V našom prípade, a \u003d 2 cm, takže S \u003d (2 cm) 2 \u003d 2 cm x 2 cm \u003d 4 cm².
• Plocha jedného zo štvorcov povrchu je 4 cm². Nezabudnite uviesť svoju hodnotu v jednotkách štvorcových.

Ako nájsť oblasť kocky - príklad

Pretože celý povrch obrázku pozostáva zo šiestich primeraných štvorcov, musíte vynásobiť plochu jednej strany číslom 6 podľa vzorca S \u003d 6 x a². V našom prípade S \u003d 6 x 4 cm² \u003d 24 cm². Plocha trojrozmerného obrázku je 24 cm².

Nájdite plochu kocky, ak je strana vyjadrená v zlomkoch

Ak je pre vás ťažké pracovať s zlomkom, skonvertujte ho na desatinné miesto.
  Napríklad výška kocky je 2 ½ cm.

• S \u003d 6 x (2½ cm) ²
• S \u003d 6 x (2,5 cm) ²
• S \u003d 6 x 6,25 cm²
• S \u003d 37,5 cm2
• Povrch kocky je 37,5 cm².

Znalosť oblasti kocky, nachádzame jej stranu

Ak je známa povrchová plocha kocky, je možné určiť dĺžku jej strán.

• Plocha kocky je 86,64 cm². Je potrebné určiť dĺžku tváre.
• Rozhodnutie. Pretože je známa povrchová plocha, je potrebné počítať v opačnom poradí, vydeliť hodnotu 6 a potom extrahovať druhú odmocninu.
• Po vykonaní potrebných výpočtov dostaneme dĺžku 3,8 cm.

Ako nájsť plochu kocky - online meranie plochy

Pomocou kalkulačky na serveri OnlineMSchool môžete rýchlo vypočítať plochu kocky. Stačí zadať požadovanú hodnotu strany a služba poskytne podrobné krok za krokom riešenie úlohy.

Ak teda chcete poznať oblasť kocky, vypočítajte plochu jednej zo strán a výsledok vynásobte 6, pretože obrázok má 6 rovnakých strán. Pri výpočte môžete použiť vzorec S \u003d 6a². Ak je špecifikovaná povrchová plocha, je možné určiť dĺžku strany pomocou opačných krokov.

geometria   je jednou zo základných matematických vied, ktorej základný kurz sa študuje už v škole. Prínosy poznania rôznych čísel a zákonov sa v skutočnosti hodia pre každého pre každého. Veľmi často sa vyskytujú geometrické problémy nájsť oblasť, Ak s ploché postavy   študenti potom nemajú žiadne špeciálne problémy objem   môže spôsobiť určité ťažkosti. vypočítať povrch kocky   nie je to také jednoduché, ako sa zdá na prvý pohľad. Ale s náležitou pozornosťou sa vyrieši aj tá najnáročnejšia úloha.

Je potrebné:

Znalosť základných vzorcov;
  - podmienky problému.

návod:

• Najprv sa musíte rozhodnúť, ktorý vzorec oblasti kocky sa použije v konkrétnom prípade. Ak to chcete urobiť, pozrite sa na prednastavené parametre tvaru , Aké údaje sú známe: dĺžka rebra, objem, uhlopriečka, oblasť tváre, Podľa toho sa vyberie vzorec.
• Ak sú známe podmienky problému dĺžka hrany kocky, potom na nájdenie oblasti stačí použiť najjednoduchší vzorec. Takmer každému je známe, že plocha štvorca sa násobí dĺžkou jeho dvoch strán. Fazety kocky   - štvorce, preto sa jeho plocha rovná súčtu plôch týchto štvorcov. Kocka má šesť tvárí, takže vzorec kocky bude vyzerať takto: S \u003d 6 * x 2 , kde x - dĺžka hrany kocky.
• Predpokladajme, že hrana kocky   nie sú nastavené, ale známe. Pretože objem tohto čísla sa počíta zvýšením na tretí stupeň dĺžka jeho rebierpotom je možné ich získať pomerne ľahko. Na to je potrebné z čísla označujúceho objem extrahovať koreň tretieho stupňa. Napríklad pre číslo 27   koreň tretej sily bude číslo 3 , Čo ďalej, už sme triedili. Tak existuje aj vzorec pre oblasť kocky so známym objemom, kde namiesto x   stojí koreň tretieho stupňa objemu.
• Stáva sa to len známe dĺžka uhlopriečky , Ak si spomeniete pythagorova veta, potom môžete ľahko vypočítať dĺžku rebra. Je dostatok základných vedomostí. Získaný výsledok sa nahradí vzorcom už známeho povrchu kocky: S \u003d 6 * x 2 .
• Aby som to zhrnul, je potrebné poznamenať, že pre správne výpočty musíte poznať dĺžku hrany. Podmienky v úlohách sú veľmi odlišné, preto by ste sa mali naučiť vykonávať niekoľko akcií naraz. Ak sú známe ďalšie charakteristiky geometrického útvaru, je možné pomocou dodatočných vzorcov a teorémov vypočítať hranu kocky. A už na základe výsledku vypočítajte výsledok.

Kockou sa myslí pravidelný mnohosten, v ktorom sú všetky tváre tvorené pravidelnými štvoruholníkmi - štvorcami. Na nájdenie oblasti tváre akejkoľvek kocky nie sú potrebné žiadne ťažké výpočty.

Návod na použitie

Na začiatok je potrebné sa zamerať na samotnú definíciu kocky. Ukazuje, že niektorá z tvárí kocky je štvorcová. Úloha nájsť plochu čela kocky sa teda zredukuje na úlohu nájdenia oblasti ktoréhokoľvek zo štvorcov (stien kocky). Môžete mať iba ktorúkoľvek z tvárí kocky, pretože dĺžky všetkých jej okrajov sú rovnaké.

Aby ste našli tvárovú oblasť kocky, musíte znásobiť pár ktorejkoľvek z jej strán, pretože všetky sú si navzájom rovnaké. Tento vzorec sa dá vyjadriť takto:

S \u003d a?, Kde a je strana štvorca (okraj kocky).

Príklad: Dĺžka okraja kocky je 11 cm, je potrebné nájsť jej plochu.

Riešenie: s vedomím dĺžky tváre nájdete jej oblasť:

S \u003d 11? \u003d 121 cm?

Odpoveď: Plocha tváre kocky s okrajom 11 cm je 121 cm?

Venujte pozornosť

Akákoľvek kocka má 8 vrcholov, 12 hrán, 6 stien a 3 steny vo vrchole.
Kocka je postava, ktorá je v každodennom živote neuveriteľne bežná. Stačí si len spomenúť na herné bloky, kocky, bloky od rôznych detských a dospievajúcich dizajnérov.
Mnoho prvkov architektúry má kubický tvar.
Kubické metre sa používajú na meranie objemu rôznych látok v rôznych oblastiach spoločnosti.
Z vedeckého hľadiska je kubický meter mierou objemu látky, ktorá sa zmestí do kocky s dĺžkou okraja 1 m.
Môžete tak zadať ďalšie jednotky merania objemu: kubické milimetre, centimetre, decimetre atď.
Popri rôznych kubických jednotkách merania objemu je možné v ropnom a plynárenskom priemysle použiť aj ďalšiu jednotku - barel (1m? \u003d 6,29 barelov).

Užitočné rady

Ak je dĺžka jeho hrany známa pre kocku, potom okrem oblasti tváre nájdete ďalšie parametre tejto kocky, napríklad:
Povrch kocky: S \u003d 6 * a?;
Objem: V \u003d 6 * a?;
Polomer vpísanej gule: r \u003d a / 2;
Polomer gule opísaný okolo kocky: R \u003d ((3) * a)) / 2;
Diagonál kocky (segment spájajúci dva protiľahlé vrcholy kocky, ktorý prechádza stredom): d \u003d a *? 3