Lekcia-prednáška „Aplikácia derivácie na štúdium a konštrukciu grafov funkcií“ - prezentácia

Matematický diktát Možnosť 1. 1.(Cu)=… 2.…=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=… 4.…=1/cos² x 5.(e x)=… Možnosť 2. 1 .C=… 2.…=(uv+vu) 3.(sin x)=… 4.…=-1/sin² x 5.(x n)=… Možnosť 1. 1.(Cu)=Cu 2.( u/v)=(uv-vu)/v² 3.(cos x)=-sin x 4. tg x=1/cos² x 5.(e x)=e x Možnosť 2. 1.C=0 2.(uv )=(uv+vu) 3.(sin x)=cos x 4.ctg x=-1/sin² x 5.(x n)=n*x n-1

1. Nájdite definičný obor funkcie f(x). 2. Vypočítajte deriváciu f(x) tejto funkcie. 3. Nájdite body, v ktorých f(x)=0 alebo neexistujú. Tieto body sa nazývajú kritické pre funkciu f(x). 4. Definičný obor funkcie týmito bodmi rozdelíme na intervaly. Sú to intervaly monotónnosti. 5. Skúmame znamienko f(x) na každom intervale. Ak f(x)0, potom f(x) rastie na tomto intervale; ak f(x)0, tak na takomto intervale funkcia f(x) klesá. Pravidlo na nájdenie intervalov monotónnosti

1. Doména: R. Funkcia je spojitá. 2. Vypočítajte deriváciu: y=6x²-6x Nájdite kritické body: y=0. x²-x-6=0 D=1-4*(-6)*1=1+24=25 4. Rozdeľte definičný obor na intervaly: 5. Funkcia rastie ako xϵ(-;-2]υ. Príklad 1. Nájdite intervaly monotónnosti funkcie y=2x³-3x²-36x

1. Doména: R. Funkcia je spojitá. 2. Vypočítajte deriváciu: y=3x²-6x. 3. Nájdite kritické body: y=0. x²-2x=0 x(x-2)=0 x1=0 a x2=2 4. Rozdeľte definičný obor na intervaly: 5. Funkcia rastie ako xϵ(-;0]υ. Príklad 2. Nájdite monotónnosť intervaly funkcie y= x³-3x²

Bod x=x 0 sa nazýva minimálny bod funkcie y=f(x), ak má tento bod okolie, pre ktoré pre všetky body platí nerovnosť f(x)f(x 0). Bod x=x 0 sa nazýva maximálny bod funkcie y=f(x), ak má tento bod okolie, pre ktoré pre všetky body platí nerovnosť f(x)f(x 0).

Ak derivácia f(x) pri prechode bodom x 0 zmení znamienko, potom bod x 0 je extrémnym bodom funkcie f(x). Ak derivácia zmení znamienko z + na –, potom bod bude maximálnym bodom, ak z – na +, potom bude bod minimálnym bodom.

1. Doména: R. Funkcia je spojitá. 2. Vypočítajte deriváciu: y=-6x²-6x Nájdite kritické body: y=0. -x2-x+2=0 D=1-4*(-1)*2=1+8=9 x 1=1; x 2 =-2 4. Rozdeľte definičný obor na intervaly: 5.x=-2 – minimálny bod. Nájdite minimum funkcie y min =-24. x=1 – maximálny bod. Nájdite maximum funkcie: y max =3. Príklad 3. Nájdite extrémy funkcie y=-2x³-3x²+12x

Cvičenie: Preskúmajte funkciu y=x pre extrém Riešenie: 1. Nájdite definičný obor funkcie: D(y)=R. 2. Nájdite deriváciu: y=(x 2 +2)=2x. 3. Prirovnáme to k nule: 2x=0, kde x=0 je kritický bod. 4. Definičný obor rozdelíme na intervaly a na každom intervale určíme znamienka derivácie: 5.x=0 – minimálny bod. Nájdite minimum funkcie y min =

Preskúmajte funkciu y=1/3x 3 -2x 2 +3x+1 pre jej extrém. Riešenie: 1. Nájdite definičný obor funkcie: D(y)=R. 2. Nájdite deriváciu: y=(1/3x 3 -2x 2 +3x+1)=x 2 -4x Vyrovnajte ju na nulu: x 2 -4x+3=0, odkiaľ x 1 =1, x 2 = 3 – kritické body. 4. Definičný obor rozdelíme na intervaly a na každom intervale určíme znamienka derivácie: 5.x=1 – maximálny bod. Nájdite maximum funkcie y max =7/3. x=3 – minimálny bod. Nájdite minimum funkcie: y min =

Preskúmajte funkciu y=x 3 +3x 2 +9x-6 pre jej extrém. Riešenie: 1. Nájdite definičný obor funkcie: D(y)=R. 2. Nájdite deriváciu: y=(x 3 +3x 2 +9x-6)=3x 2 +6x Vyrovnajte ju nule: 3x 2 +6x+9=0, odkiaľ D 0:

Preskúmajte funkciu y=x 2 -x-6 pre jej extrém. Riešenie: 1. Nájdite definičný obor funkcie: D(y)=R. 2. Nájdite deriváciu: y=(x 2 -x-6)=2x Prirovnajte ju k nule: 2x-1=0, kde x=1/2 je kritický bod. 4. Rozdeľte definičný obor na intervaly a určte znamienka derivácie na každom intervale: 5.x=1/2 – minimálny bod. Nájdeme minimum funkcie: y min =-6, /2

Typ práce: 7

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-4; 10). Nájdite intervaly klesajúcej funkcie f(x). Vo Vašej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Ukážte riešenie

Riešenie

Ako je známe, funkcia f(x) klesá na tých intervaloch, v ktorých je derivácia f"(x) menšia ako nula. Vzhľadom na to, že je potrebné nájsť dĺžku najväčšieho z nich, sú tri takéto intervaly prirodzene odlíšené od čísla: (-4; -2); (0; 3);

Dĺžka najväčšieho z nich - (5; 9) je 4.

Odpoveď

Typ práce: 7
Téma: Aplikácia derivácie na štúdium funkcií a vykresľovanie grafov

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-8; 7). Nájdite počet maximálnych bodov funkcie f(x) patriacich do interval [-6;

Ukážte riešenie

Riešenie

Graf ukazuje, že derivácia f"(x) funkcie f(x) mení znamienko z plus na mínus (v takýchto bodoch bude maximum) presne v jednom bode (medzi -5 a -4) z intervalu [ -6 -2 ] V intervale [-6] je teda práve jeden maximálny bod.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Aplikácia derivácie na štúdium funkcií a vykresľovanie grafov

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x), definovanej na intervale (-2; 8).

Ukážte riešenie

Riešenie

Určte počet bodov, v ktorých sa derivácia funkcie f(x) rovná 0.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Aplikácia derivácie na štúdium funkcií a vykresľovanie grafov

Podmienka

Rovnosť derivácie v bode k nule znamená, že dotyčnica ku grafu funkcie nakreslenej v tomto bode je rovnobežná s osou Ox.

Ukážte riešenie

Riešenie

Preto nájdeme body, v ktorých je dotyčnica ku grafu funkcie rovnobežná s osou Ox.

Na tomto grafe sú takéto body extrémnymi bodmi (maximálne alebo minimálne body). Ako vidíte, existuje 5 extrémnych bodov. Na obrázku je znázornený graf funkcie y=f(x) a na os sú vyznačené body -6, -1, 1, 4. V ktorom z týchto bodov je derivácia najmenšia? Označte tento bod vo svojej odpovedi. V bodoch s vyznačenými úsečkami nakreslíme dotyčnice ku grafu funkcie. Určujeme, pod akým uhlom sú naklonené ku kladnému smeru osi Ox. Ako viete, tangentová hodnota zadaného uhla je hodnotou derivácie v zadaných bodoch.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Aplikácia derivácie na štúdium funkcií a vykresľovanie grafov

Podmienka

V bodoch -1 a 4 sú dotyčnice naklonené

Ukážte riešenie

Riešenie

ostrý uhol

, preto je v týchto bodoch hodnota derivátu záporná. Vzhľadom na to, že v bode x=-6 je dotyčnica sklonená pod menším tupým uhlom (bližšie k zvislej čiare), je hodnota derivácie v tomto bode najmenšia.

Odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na Jednotnú štátnu skúšku 2017. Úroveň profilu." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu Kulabukhova.

Typ práce: 7
Téma: Aplikácia derivácie na štúdium funkcií a vykresľovanie grafov

Podmienka

Na obrázku je znázornený graf y=f"(x) - derivácia funkcie f(x), definovaná na intervale (-9; 4). Nájdite intervaly rastúcej funkcie f(x). Vo Vašej odpovedi uveďte dĺžku najväčšieho z nich.

Ak je na určitom intervale grafom funkcie súvislá čiara, inými slovami čiara, ktorú možno nakresliť z listu papiera bez ceruzky, potom sa takáto funkcia na tomto intervale nazýva spojitá. Existujú aj funkcie, ktoré nie sú spojité. Ako príklad uvažujme graf funkcie, ktorá na intervaloch a [s; b] je spojitý, ale v bode
x = c je nespojité, a preto nie je spojité cez celý segment. Všetky funkcie, ktoré študujeme v kurze školskej matematiky, sú spojité funkcie na každom intervale, na ktorom sú definované.

Všimnite si, že ak má funkcia deriváciu na určitom intervale, potom je na tomto intervale spojitá.

Opačné tvrdenie je nesprávne. Funkcia, ktorá je spojitá na intervale, nemusí mať v niektorých bodoch tohto intervalu deriváciu. Napríklad funkcia
y = |log 2 x| spojitá na intervale x > 0, ale v bode x = 1 nemá deriváciu, pretože v tomto bode graf funkcie dotyčnice nemá dotyčnicu.

Pozrime sa na vykresľovanie grafov pomocou derivácie.

Nakreslite graf funkcie f(x) = x 3 – 2x 2 + x.

Riešenie.

1) Táto funkcia je definovaná pre všetky x € R.

2) Nájdite intervaly monotónnosti uvažovanej funkcie a jej extrémne body pomocou derivácie. Derivácia sa rovná f "(x) = 3x 2 – 4x + 1. Nájdite stacionárne body:
3x 2 – 4x + 1 = 0, odkiaľ x 1 = 1/3, x 2 = 1.

Na určenie znamienka derivácie rozkladáme kvadratické trinómy 3x 2 – 4x + 1:
f "(x) = 3(x – 1/3)(x – 1). Preto na intervaloch x< 1/3 и х >1 derivát je kladný; To znamená, že funkcia sa v týchto intervaloch zvyšuje.

Derivát je negatívny na 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Bod x 1 = 1/3 je maximálny bod, pretože napravo od tohto bodu funkcia klesá a vľavo rastie. V tomto bode je hodnota funkcie f (1/3) = (1/3) 3 – 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Minimálny bod je bod x2 = 1, keďže vľavo od tohto bodu funkcia klesá a vpravo rastie; jeho hodnota v tomto minimálnom bode je f (1) = 0.

3) Pri konštrukcii grafu sa zvyčajne nachádzajú priesečníky grafu so súradnicovými osami. Pretože f(0) = 0, graf prechádza počiatkom. Vyriešením rovnice f(0) = 0 nájdeme priesečníky grafu s osou x:

x 3 – 2x 2 + x = 0, x(x 2 – 2x + 1) = 0, x(x – 1) 2 = 0, odkiaľ x = 0, x = 1.

4) Pre presnejšie vykreslenie nájdime hodnoty funkcií v ďalších dvoch bodoch: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Pomocou výsledkov štúdie (body 1 – 4) zostavíme graf funkcie y = x 3 – 2x 2 + x.

Na zostavenie grafu funkcie sa zvyčajne najprv skúmajú vlastnosti tejto funkcie pomocou jej derivácie podľa schémy podobnej schéme riešenia úlohy 1.

Preto pri skúmaní vlastností funkcie musíte nájsť:

1) rozsah jeho definície;

2) derivát;

3) stacionárne body;

4) intervaly nárastu a poklesu;

5) extrémne body a funkčné hodnoty v týchto bodoch.

Je vhodné zaznamenať výsledky štúdie vo forme tabuľky. Potom sa pomocou tabuľky vykreslí graf funkcie. Pre presnejšie zostrojenie grafu sa zvyčajne nájdu body jeho priesečníka so súradnicovými osami a v prípade potreby aj niekoľko ďalších bodov grafu.

Ak stojíme pred párnou alebo nepárnou funkciou, potom pre Na zostrojenie jeho grafu stačí naštudovať si vlastnosti a zostrojiť jeho graf pre x > 0 a následne ho symetricky odrážať vzhľadom na zvislú os (počiatok). Napríklad pri analýze funkcie f(x) = x + 4/x dospejeme k záveru, že táto funkcia je nepárna: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x) = -f(x). Po dokončení všetkých bodov plánu zostavíme graf funkcie pre x > 0 a graf tejto funkcie pre x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 vzhľadom na pôvod.

Pre stručnosť, riešenie problémov pri zostavovaní grafov funkcií sa väčšina úvah uskutočňuje ústne.

Poznamenávame tiež, že pri riešení niektorých problémov sa môžeme stretnúť s potrebou študovať funkciu nie v celom definičnom obore, ale iba v určitom intervale, napríklad ak potrebujeme vykresliť povedzme funkciu f(x). ) = 1 + 2x 2 – x 4 na segmente [-1; 2].

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Premenná sa volá funkciu variabilná veľkosť , ak je každá platná hodnota zodpovedá jednej hodnote . Variabilná hodnota v tomto prípade je to tzv nezávislá premenná alebo argument funkcie.

Volá sa množina všetkých hodnôt argumentov, pre ktoré funkcia nadobúda určité reálne hodnoty doména definície túto funkciu. Zavolá sa množina všetkých hodnôt funkcie rozsah jeho hodnôt.

Doména a rozsah funkcií f označené symbolmi
A
resp. doména
volal symetrická zostava, ak spolu s každým prvkom obsahuje aj opačný prvok (
).

Preskúmajte, či je funkcia párna alebo nepárna.

Funkcia
volal dokonca

pred všetkými
.

Funkcia f volal zvláštny, ak je jeho doména definície
je symetrická množina a platí rovnosť
pred všetkými
.

Graf párnej funkcie je symetrický podľa ordinátnej osi OY a graf nepárnej funkcie je relatívny k počiatku. Preto, ak je študovaná funkcia párna alebo nepárna, stačí ju študovať na kladné hodnoty argumentu z oblasti jeho definície.

Preskúmajte, či je funkcia periodická.

Kopa
volal periodické s periódou T (
), ak existuje
vykonané
A
.

Funkcia f volal periodické s obdobím T, Ak
- periodická množina s bodkou T a pre kohokoľvek
platí rovnosť
.

Periodický graf s obdobím T funkcia prejde sama do seba pri posunutí o T pozdĺž osi x.

Rovno
na povrchu
volal vertikálna asymptota funkcie
, ak jedna z jednostranných limitov
alebo
rovná sa
.

Teda rovno
je vertikálna asymptota funkcie
, ak bod - bod nespojitosti druhého druhu pre funkciu
.

Preskúmajte správanie funkcie v nekonečne a nájdite jej horizontálne a šikmé asymptoty.

Rovno
volal šikmá asymptota funkčná grafika
pri
(
), Ak
pri
(
).

Veta 1. Pre existenciu šikmej asymptoty
pri
funkcie
je to potrebné a postačujúce
boli splnené tieto podmienky:

1.
,
,

2.
,
.

Nájdite extrémne body a intervaly rastúcich a klesajúcich funkcií.

Funkcia
volal zvyšujúci sa(klesajúci) zapnuté
, ak k nejakému
z nerovnosti
nasleduje nerovnosť
(
).

Zvyšujúce a klesajúce funkcie sú tzv monotónna.

Veta 2(dostatočná podmienka pre monotónnosť). Nechajte funkciu
definované a nepretržité
a rozlíšiteľné na
. Ak
(
), To
zvyšuje (znižuje) o
.

Bodka
volal maximálny bod (minimálny bod) funkcie
, ak vo všetkých bodoch , dostatočne blízko k bodu
(
).

Volá sa hodnota funkcie v maximálnom (minimálnom) bode maximálne (minimálne) funkcie.

Bodka
volal prísny maximálny bod (prísne minimum) funkcie
, ak vo všetkých bodoch , dostatočne blízko k bodu a na rozdiel od nej platí nerovnosť
(
).

Hodnota funkcie v bode volal prísne maximum (prísne minimum) funkcie.

Maximálny a minimálny počet bodov sa nazýva extrémne body a funkčné hodnoty v nich sú extrémy funkcie.

Veta 3(nevyhnutná podmienka pre extrém). Ak funkcia
má v bode extrém, potom sa derivácia funkcie v tomto bode rovná nule alebo neexistuje.

Bodka volal stacionárny bod funkcie
, Ak
. Bodka volal kritický bod funkcie
, Ak
alebo neexistuje.

Z vety 3 vyplýva, že iba kritické body môžu byť extrémnymi bodmi. Opak nie je vždy pravdou.

Veta 4(Dostatočná podmienka pre extrém. Prvé pravidlo). Nech v bode
derivácia funkcie
ide na nulu a pri prechode cez tento bod zmení znamienko, potom bod - extrémny bod funkcie, a ak:

1)
pri
A
pri
, To
- prísny maximálny bod;

2)
pri
A
pri
, To
- bod prísneho minima.

Veta 5(Dostatočná podmienka pre extrém. Druhé pravidlo). Ak v bode
prvá derivácia funkcie
sa rovná nule a druhá derivácia je potom nenulová - extrémny bod a:

1) - maximálny bod, ak
;

2) - minimálny bod, ak
.

Algoritmus na nájdenie extrémnych bodov pre funkciu, ktorá je spojitá
:

Poďme nájsť kritické body
funkcie
na
. Zoraďme ich vo vzostupnom poradí: Zdieľajú
v intervaloch
,
,…,
. V každom z nich
, má konštantné znamienko (kladné alebo záporné). Na určenie znamienka derivácie v intervale je potrebné určiť jej znamienko v ľubovoľnom bode intervalu. Potom zmenou znamienka derivácie pri prechode z jedného intervalu do druhého určíme extrémne body podľa 4. vety.

Určenie smerov konvexnosti grafu funkcie a inflexných bodov.

Nechajte funkciu
odlíšiteľné podľa
. Potom je tu dotyčnica ku grafu funkcie
v ktoromkoľvek bode
,
a tieto dotyčnice nie sú rovnobežné s osou
.

Funkcia
volal konvexne nahor (dole) zapnuté
, ak je graf funkcie v rámci
neleží vyššie (nie nižšie) ako ktorákoľvek z jeho dotyčníc.

Veta 6(dostatočná podmienka pre konvexnosť). Nechajte funkciu
dvakrát diferencovateľné na
. Potom ak
(
) zapnuté
, potom je funkcia konvexná nadol (nahor) zapnutá
.

Bodka volal inflexný bod funkcie
, ak sa pri prechode týmto bodom zmení smer konvexnosti funkcie
.

Veta 7(nevyhnutná podmienka pre skloňovanie). Ak je v inflexnom bode funkcie
druhá derivácia existuje a je spojitá, potom sa v tomto bode rovná nule.

Veta 8(dostatočná podmienka na skloňovanie). Ak
A

1)
pri prejazde mení znamenie , To - inflexný bod funkcie
;

2)
pri prejazde nemení znamenie , To nie je inflexným bodom funkcie
.

Vytvorenie grafu funkcie.

Rozvrh funkcie
je množina bodov v rovine, ktorých súradnice spĺňajú daný funkčný vzťah.

Príklad 7.1. Funkcia Preskúmať

Riešenie.

, keďže táto funkcia je polynóm.

Preskúmajme funkciu pre monotónnosť a nájdime extrémne body.

Najprv nájdime kritické body funkcie.

, keďže derivácia je tiež polynóm.


alebo
, alebo
. teda
,
,
– kritické body funkcie.

N Umiestnime kritické body funkcie na číselnú os a určme znamienka derivát

V intervaloch
,
funkcia sa v intervaloch znižuje
,
funkcia sa zvyšuje.

Body
A
– minimálne body funkcie, .

Bodka
- maximálny bod funkcie,
.

Skúmame funkciu pre smer konvexnosti a nájdeme inflexné body.



.

Poďme nakresliť body X 1 a X 2 k číselnému radu a určiť znamienka druhá derivácia v každom z výsledných intervalov.

N a medzitým
A
funkcia je na intervale konvexná smerom nadol
funkcia je konvexná smerom nahor. Body
A
sú inflexné body.

Príklad 7.2. Funkcia Preskúmať
o monotónnosti a smere konvexnosti nájdite extrémy a inflexné body.

Riešenie.

Nájdite doménu definície funkcie.

:

 .

2. Skúmame funkciu pre monotónnosť a nájdeme extrémne body.

, .



. teda
– kritický bod funkcie.

Nakreslíme definičný obor funkcie a kritický bod na číselnú os. Určme znamienka derivácie na každom z výsledných intervalov.

N a medzitým
,
funkcia v intervale klesá
funkcia sa zvyšuje. Bodka
- maximálny bod,
.

3. Určte smer konvexnosti grafu funkcie a nájdite inflexné body.



.

T bodov
- bod možnej inflexie. Určme znamienka druhej derivácie v intervaloch
,
,
.

V intervaloch
,
funkcia je konvexná smerom nahor na intervale
funkcia je konvexná smerom nadol. Bodka
– inflexný bod.

Príklad 7.3. Vykonajte kompletnú štúdiu funkcií
a naplánovať to.

Riešenie. 1.
.

2. Funkcia nie je párna ani nepárna.

3. Funkcia nie je periodická.

4. Nájdite priesečníky grafu so súradnicovými osami a intervalmi konštantného znamienka. Os O X graf sa nepretína, pretože
pre všetkých
. Os O pri:
,
.

pri
,
pri
.

5. Funkcia je spojitá na definičnom obore, keďže je elementárna,
– bod zlomu. Poďme preskúmať povahu medzery:

,
.

teda
– bod nespojitosti druhého druhu, priamka
– vertikálna asymptota grafu funkcie.

6. Preštudujme si správanie funkcie kedy
a pri
:

,
. Preto rovno
– horizontálna asymptota grafu funkcie at
.

Pretože
, potom ďalšie šikmé asymptoty at
Nie

Poďme zistiť, či existujú šikmé asymptoty at
:

.
Preto, kedy

nie sú žiadne šikmé asymptoty.

,

7. Funkciu vyšetrujeme na monotónnosť a extrém.
- minimálny bod,

– minimum.

=

.

8. Skúmame funkciu pre smer konvexnosti a inflexie.
,na
v bode neexistuje

.Neexistujú žiadne inflexné body.

9. Zostrojme graf funkcie (obr. 4).

Obrázok 4 – Príklad 7.3. Funkcia Preskúmať
Príklad 7.4.

Riešenie. a zostavte jeho graf.

,
.

Poďme preskúmať túto funkciu.

Pretože
Pozrime sa na správanie funkcie v nekonečne a nájdime horizontálne a šikmé asymptoty:

,

, potom neexistujú žiadne horizontálne asymptoty.

Existuje teda jediná šikmá asymptota

.

Pozrime sa na funkciu pre monotónnosť a nájdime extrémy:
Od
by mal
,
.

, kde

V intervale

, preto sa funkcia v tomto intervale zvyšuje; V
, teda funkcia klesá. Preto bod
je maximálny bod:

. V intervale

, preto funkcia na tomto intervale klesá; V
, t.j. funkcia sa zvyšuje. Na mieste
.

máme minimum:

Preskúmame graf funkcie pre smer konvexnosti a určíme inflexné body. Na to nájdeme

Samozrejme, v intervale

preto je v tomto intervale krivka konvexná smerom nahor; v intervale
t.j. v tomto intervale je krivka konvexná smerom nadol. Odkedy

Graf funkcie je znázornený na obr. 5.

Obrázok 5 – Príklad 7.3.

Algoritmus na riešenie úlohy konštrukcie grafu funkcie.

1. Nájdite definičný obor funkcie.

2. Nájdite deriváciu funkcie.

3. Nájdite stacionárne body.

4. Určte znamienko derivácie na výsledných intervaloch.

5. Určte intervaly monotónnosti.

6. určte krajné body a nájdite hodnotu funkcie v týchto bodoch.

7.Urobte si stôl.

8. Nájdite ďalšie body.

9. Zostrojte graf funkcie.

Napríklad. Preskúmajte funkciu pomocou jej derivácie a vykreslite ju.

1. OOF:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , potom sa funkcia zvýši;

Potom funkcia klesá;

Potom sa funkcia zvyšuje;

6. – maximálny bod, pretože derivát zmenil svoje znamienko z + na -;

Minimálny bod, pretože derivácia zmenila svoje znamienko z - na +.

X
	+		-		+

8. Ďalšie body:

9. Vykreslenie grafu.

2.3 . Testovacie možnosti.

Testč. 1 na tému „Derivácia“ B-1

A ) f(x)= 4x ​​​​2 +6x+3, x 0 = 1;

b) ;

V) f(x)= (3x 2 +1) (3x 2-1), x 0 = 1;

G ) f(x)=2xcosx,

a) f(x)= 53x-4;

b) f(x) = sin (4x-7);

d) f(x) = ln (x 3 + 5x).

3. Nájdite uhlový koeficient dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = 4 - x 2 v bode x 0 = -3.

V bode s os x 0 = -1.

f(x) = x 2 - 2x v bode s os x 0 = -2.

6. Pohybová rovnica telesa má tvar s(t) = 2,5t 2 + 1,5t. Nájdite rýchlosť telesa 4 s po začiatku pohybu.

7.

Test č. 1 na tému „Derivácia“ B-2

A ) f(x)= x 4-3 x 2 + 5, x 0 = -3;

b) ;

V) f(x)= (2x 2 +1) (4+x 3), x 0 = 1;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f(x)= 42 x-1;

b) f(x) = сos(4x+5);

d) f(x) = +2x.

3. Nájdite uhlový koeficient dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = - x 4 + x 3 v bode x 0 = - 1.

4. V ktorom bode je dotyčnica ku grafu funkcie

f(x) =3x 2 -12x +11 je rovnobežná s osou x?

5. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = x 3 - 3x 2 + 2x - 1 v bode s os x 0 = 2.

6. Bod sa pohybuje podľa priamočiareho zákona x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. V ktorom časovom bode bude rýchlosť telesa rovná 20? (súradnica sa meria v metroch, čas v sekundách).

7. Preskúmajte funkciu pomocou jej derivácie a nakreslite graf:

Test č. 1 na tému „Derivácia“ B-3

1. Nájdite hodnotu derivácie v bode x 0

A ) f(x)= 7x 2 -56x+8, x 0 = 4;

b) ;

V) f(x)

G ) f(x)= 3x hriech,

2. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f(x)= 25 x +3;

b) f(x) = сos(0,5x+3);

d) f(x) = +5x.

3. Nájdite sklon dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = 2x 2 + x v bode x 0 = -2.

4. V ktorom bode je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) = x 2 + 4x - 12 rovnobežná s osou x?

5. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = -x 2 -3x + 2 v bode x 0 = -1.

6. Bod sa pohybuje podľa priamočiareho zákona x(t) = 3t 2 + t + 4. V ktorom časovom bode bude rýchlosť telesa rovná 7? (súradnica sa meria v metroch, čas v sekundách)

Test č. 1 na tému „Derivácia“ B-4

1. Nájdite hodnotu derivácie v bode x 0

A ) f(x)= x5-4x+8, x 0 = 2;

b) ;

V) f(x)= (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 = -1;

G ) f(x)=5xcosx+2,

2. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f(x)= 34x-1;

b) f(x) = 2sin (2,5x-2);

d) f(x) = ln (2x 3 +x).

3. Nájdite sklon dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = 0,5x 2 + 1 v bode x 0 = 3.

4. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v bode s os x 0 = 1.

5. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = x 2 +2x+1 v bode c

os x 0 = -2.

6. Bod sa pohybuje podľa priamočiareho zákona x(t) = 4t + t 2 - . Nájdite jeho rýchlosť v čase t=2 (súradnica sa meria v metroch, čas v sekundách.)

7. Preskúmajte funkciu pomocou derivácie a vytvorte graf:

Test č. 1 na tému „Derivácia“ B-5

1. Nájdite hodnotu derivácie v bode x 0

A ) f(x)= 3x 5 -12x 2 +6x+2, x 0 = 1;

b) ;

V) f(x)= (2x+1) (x-5), x 0 = 2;

G ) f(x)=2x cos3x,

2. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f(x)= 23x-4;

b) f(x) = sin (3x 2 - 2);

d) f(x) = ln (x 2 + 5x).

3. Nájdite uhlový koeficient dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = 3x 2 +40x -10 v bode x 0 = -1.

4. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = v bode s x x 0 = - 1.

5. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = x 2 -2x +3 v bode s os x 0 = -2.

6. Bod sa pohybuje podľa priamočiareho zákona x(t) = 3t 3 +2t+1. Nájdite jeho rýchlosť v čase t = 2 (súradnica sa meria v metroch, čas v sekundách.)

7. Preskúmajte funkciu pomocou derivácie a vytvorte graf:

Test č. 1 na tému „Derivácia“ B-6

1. Nájdite hodnotu derivácie v bode x 0

A ) f(x)= 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 = 1;

b) ;

V) f(x)= (x2+1) (x3-2), x 0 = 1;

G ) f(x)= 2x hriech5x,

2. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f(x)= 2 3 x + 5,

b) f(x) = сos(3x-1);

d) f(x) = -2x.

3. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = 3x 3 -35x+8 v bode x 0 = 2.

4. V ktorom bode je dotyčnica ku grafu funkcie f(x) =x 3 -3x+1 rovnobežná s osou x?

5. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = x 2 +3x-2 v bode s os x 0 = -1.

6. Bod sa pohybuje podľa priamočiareho zákona x(t) = 3t 2 -2t+4. V akom časovom bode bude rýchlosť tela rovná 4? (súradnica sa meria v metroch, čas v sekundách)

7. Preskúmajte funkciu pomocou derivácie a vytvorte graf:

Test č. 3 na tému „Derivácia“ B-7

1. Nájdite hodnotu derivácie v bode x 0

A ) f(x)= x 6 - 3 x 2 +2, x 0 = 2;

b) ;

V) f(x)= (x 3-4) (3x 2 + 1), x 0 = 2;

G ) f(x)=5xcosx+2,

2. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f(x)= 34x + 2;

b) f(x) = 2sin (5x+2);

d) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. Nájdite uhlový koeficient dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = 0,5x 2 -1 v bode x 0 = - 3.

4. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie v bode s os x 0 = -1.

5. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = x 2 +2x+1 v bode s os x 0 = - 2.

6. Bod sa pohybuje podľa priamočiareho zákona x(t) = 4t - t 2 + . Nájdite jeho rýchlosť v čase t = 2 (súradnica sa meria v metroch, čas v sekundách.)

7. Preskúmajte funkciu pomocou derivácie a vytvorte graf:

Test č. 1 na tému „Derivácia“ B-8

1. Nájdite hodnotu derivácie v bode x 0

A ) f(x)= x 4 - 2 x 3 + 5 x - 1, x 0 = 2;

b) ;

V) f(x)= (2x 2 +1) (1+x 3), x 0 = 2;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Nájdite deriváciu funkcie:

a) f(x)= 5 2 x +3 ,

b) f(x) = сos(5x2+1);

d) f(x) = +5x.

3. Nájdite uhlový koeficient dotyčnice ku grafu funkcie f(x) = x 4 -x 2 v bode x 0 = 1.

4. Nájdite uhol sklonu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = v bode s x x 0 = 2.

5. Napíšte rovnicu dotyčnice ku grafu funkcie

f(x) = x 3 -3x 2 +2x v bode s os x 0 = 2.

6. Bod sa pohybuje podľa priamočiareho zákona x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. Nájdite rýchlosť telesa v čase t = 4 (súradnica sa meria v metroch, čas v sekundách).

7. Preskúmajte funkciu pomocou derivácie a vytvorte graf: