Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Цель урока:Доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач.

Задачи урока:

обучающие – доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач;

развивающие – развивать умение анализировать и подбирать аргументацию при решении задачи, способ решения которой неизвестен;

воспитательные – воспитывать интерес к предмету через содержание учебного процесса и создание ситуации успеха, воспитывать умение работать в группе.

Учащийся владеет следующими знаниями:

Единица деятельностного содержания, которое нужно усвоить учащимся:

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Работа с проблемной ситуацией.

4. Подведение итогов урока и запись домашнего задания, рефлексия.

Методы обучения: словесные, наглядные, проблемно-поисковые.

Формы обучения:фронтальная работа, работа в мини-группы, индивидуальная и самостоятельная работа.

Технологии: задачно-целевая, информационные технологии, компетентностный подход.

Оборудование:

компьютер, проектор для демонстрации презентации, интерактивная доска, документ камера;

компьютерная презентация в MicrosoftPowerPoint;

опорный конспект;

Ход урока

1. Организационный момент.

Сегодня на уроке мы будем работать не в тетрадях, а в опорных конспектах, которые будете заполнять на продолжение всего урока. Подпишите его. Оценка за урок будет состоять из двух составляющих: за опорный конспект и за активную работу на уроке.

2. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Мы продолжаем с вами изучать тему «подобие треугольников». Поэтому давайте вспомним то, что изучали на прошлом уроке.

Теоретическая разминка. Тест. В ваших опорных конспектах первое задание имеет тестовый характер. Ответьте на вопросы, выбирая один из предложенных вариантов ответа, где необходимо впишите свой ответ.

1. Учитель: Что называется отношением двух отрезков?

Ответ: Отношением двух отрезков двух отрезков называется отношение их длин.

1. Учитель: В каком случае отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1

Ответ: отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , если

Ваши варианты. Хорошо. Не забудьте исправить у кого не так.

1. Учитель: Дайте определение подобных треугольников? Обратитесь к вашему опорному конспекту. У Вас три варианта ответа на этот вопрос. Выберите правильный. Обведите его.

Так, пожалуйста, какой вариант выбрал ты_______

Ответ: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Молодцы! Исправьте у кого не так.

1. Учитель: Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу?

Ответ: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Решение задач по готовым чертежам. Далее наша разминка будет происходить в ходе решения задач по готовым чертежам. Эти задачи так же вы видите в ваших опорных конспектах.

Рефлексия. Давайте уточним, какие знания и умения позволили нам решить эти задачи. Какими методами решения мы пользовались (фиксация ответов на доске).

Возможные ответы:

Определение подобных треугольников;

Применение определения подобных треугольников при решении задач;

Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу;

А сейчас я предлагаю к решению несколько задач способ решения, которых перекликается с темой урок, но связаны они больше с географией.

Ситуация успеха.

Первая задача перед Вами. Над этой задачей работаем самостоятельно. Первый справившийся покажет свое решение у доски, и кто-то продемонстрирует свое решение через документ камеру, поэтому пишем красиво и аккуратно.

Ответ: стороны бермудского треугольника 2000 км, 1840 км, 2220 км. Длина границы 6060 км.

Рефлексия.

Возможный ответ: у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны.

Ситуация успеха.

С размерами Бермудского треугольника мы разобрались. Ну а теперь выясним измерения цветочной клумбы. Переворачиваем опорные конспекты. Вторая задача. Эту задачу решаем, работая в парах. Проверяем аналогичным способом, но только результат будет представлять уже пара первая справившаяся с заданием.

Ответ: стороны треугольной клумбы 10м и 11м 20 см.

Итак, сверяемся. Все ли согласны? Кто решал другим способом?

Рефлексия.

Каким способом действия вы пользовались при решении этой задачи? Запишите в свой опорный конспект.

Возможный ответ:

у подобных треугольников соответственные углы равны;

площади треугольников имеющих по равному углу относятся как произведения сторон заключающих равные углы.

Ситуация сбоя.

5. Изучение нового материала.

При решениитретьей задачи учащиеся сталкиваются с проблемой. У них не получается решить задачу, так как по их мнению недостаточно полное условие задачи или получают необоснованный ответ.

С таким типом задач учащиеся не встречались ранее, поэтому произошел сбой при решении задачи.

Рефлексия.

Каким методом пытались решить?

Почему не получилось решить последнее уравнение?

Ученики: Мы не можем найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.

Таким образом, цель нашего урока найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.

Давайте переформулируем задачу на геометрический язык. Решим ее, а затем вернемся к этой задаче.

Вывод: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Ну а теперь давайте вернемся к задаче №3 и решим ее, опираясь на доказанный факт.

7. Итог урока

Что сегодня вы научились делать нового?

Решать задачи, в которых известны коэффициент подобия и площадь одного из подобных треугольников.

Какое геометрическое свойство нам в этом помогло?

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Домашнее задание.

П. 58 стр.139 №546, 548

Творческое задание.

Найдите чему равно отношение периметров двух подобных треугольников (№547)

До свидания.

учитель: .

Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.

Цель урока: Доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач.

Задачи урока:

обучающие – доказать свойство площадей подобных треугольников и показать его практическую значимость при решении задач; развивающие – развивать умение анализировать и подбирать аргументацию при решении задачи, способ решения которой неизвестен; воспитательные – воспитывать интерес к предмету через содержание учебного процесса и создание ситуации успеха, воспитывать умение работать в группе.

Учащийся владеет следующими знаниями:

1. Определение подобных треугольников;

2. Применение определения подобных треугольников при решении задач;

3. Теорема об отношении площадей треугольников имеющих по равному углу;

Единица деятельностного содержания, которое нужно усвоить учащимся:

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний.

3. Работа с проблемной ситуацией.

4. Подведение итогов урока и запись домашнего задания, рефлексия.

Методы обучения: словесные, наглядные, проблемно-поисковые.

Формы обучения: фронтальная работа, работа в мини-группы, индивидуальная и самостоятельная работа.

Технологии: задачно-целевая, информационные технологии , компетентностный подход.

Оборудование:

компьютер, проектор для демонстрации презентации, интерактивная доска, документ камера; компьютерная презентация в Microsoft PowerPoint; опорный конспект;

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте ребята! Садитесь. Сегодня у нас необычный урок. У нас на уроке присутствуют гости. Повернитесь, пожалуйста, и поприветствуйте их кивком головы. Спасибо ребята. Садитесь.

Сегодня на уроке мы будем работать не в тетрадях, а в опорных конспектах, которые будете заполнять на продолжение всего урока. Подпишите его. Оценка за урок будет состоять из двух составляющих: за опорный конспект и за активную работу на уроке.

2. Актуализация знаний учащихся. Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности на основном этапе урока.

Мы продолжаем с вами изучать тему «подобие треугольников». Поэтому давайте вспомним то, что изучали на прошлом уроке.

Теоретическая разминка. Тест. В ваших опорных конспектах первое задание имеет тестовый характер. Ответьте на вопросы, выбирая один из предложенных вариантов ответа, где необходимо впишите свой ответ.

1) Учитель: Что называется отношением двух отрезков?

Ответ: Отношением двух отрезков двух отрезков называется отношение их длин.

2) Учитель: В каком случае отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1

Ответ: отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам A 1 B 1 и C 1 D 1 , если

Ваши варианты. Хорошо. Не забудьте исправить у кого не так.

3) Учитель: Дайте определение подобных треугольников? Обратитесь к вашему опорному конспекту. У Вас три варианта ответа на этот вопрос. Выберите правильный. Обведите его.

Так, пожалуйста, какой вариант выбрал ты_______

Ответ: Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника.

Молодцы! Исправьте у кого не так.

4) Учитель: Чему равно отношение площадей двух треугольников, имеющих по равному углу?

Ответ: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Решение задач по готовым чертежам. Далее наша разминка будет происходить в ходе решения задач по готовым чертежам. Эти задачи так же вы видите в ваших опорных конспектах.

https://pandia.ru/text/80/368/images/image005_101.gif" width="480" height="360">

Ответ: стороны бермудского треугольника 2000 км, 1840 км, 2220 км. Длина границы 6060 км.

Рефлексия.

Возможный ответ: у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны.

2. Ситуация успеха.

С размерами Бермудского треугольника мы разобрались. Ну а теперь выясним измерения цветочной клумбы. Переворачиваем опорные конспекты. Вторая задача. Эту задачу решаем, работая в парах. Проверяем аналогичным способом, но только результат будет представлять уже пара первая справившаяся с заданием.

Ответ: стороны треугольной клумбы 10м и 11м 20 см.

Итак, сверяемся. Все ли согласны? Кто решал другим способом?

Рефлексия.

Каким способом действия вы пользовались при решении этой задачи? Запишите в свой опорный конспект.

Возможный ответ:

· у подобных треугольников соответственные углы равны;

· площади треугольников имеющих по равному углу относятся как произведения сторон заключающих равные углы.

3. Ситуация сбоя.

5. Изучение нового материала.

При решении третьей задачи учащиеся сталкиваются с проблемой. У них не получается решить задачу, так как по их мнению недостаточно полное условие задачи или получают необоснованный ответ.

С таким типом задач учащиеся не встречались ранее, поэтому произошел сбой при решении задачи.

Рефлексия.

Каким методом пытались решить?

Почему не получилось решить последнее уравнение?

Ученики: Мы не можем найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.

Таким образом, цель нашего урока найти площадь треугольника, если известны только площадь подобного треугольника и коэффициент подобия.

Давайте переформулируем задачу на геометрический язык. Решим ее, а затем вернемся к этой задаче.

Вывод: Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Ну а теперь давайте вернемся к задаче №3 и решим ее, опираясь на доказанный факт.

7. Итог урока

Что сегодня вы научились делать нового?

Решать задачи, в которых известны коэффициент подобия и площадь одного из подобных треугольников.

Какое геометрическое свойство нам в этом помогло?

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Домашнее задание.

П. 58 стр.139 № 000, 548

Творческое задание.

Найдите чему равно отношение периметров двух подобных треугольников (№ 000)

1.3. Отношение площадей подобных треугольников. Теорема. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Доказательство. Пусть треугольники ABC и A1B1C1 подобны и коэффициент подобия равен k. Обозначим буквами S и S1 площади этих треугольников. Так как A= A1, то.

Слайд 11 из презентации ««Подобные треугольники» 8 класс» . Размер архива с презентацией 1756 КБ.

Геометрия 8 класс

краткое содержание других презентаций

«Прямоугольники» - Диагональ. Картины. Стороны прямоугольника. Периметр прямоугольника. Человек. Площадь прямоугольника. Прямоугольник в жизни. Определение. Сторона прямоугольника. Диагонали. Сказка о прямоугольнике. Прямоугольник. Противоположные стороны.

«Скалярное произведение в координатах» - Вектор. Теорема Наполеона. Следствие. Свойства скалярного произведение векторов. Обменяйтесь карточками. Решим задание. Геометрия. Скалярное произведение в координатах и его свойства. Математический тест. Новый материал. Решение треугольника. Математическая разминка. Имя автора теоремы. Доказательство теоремы Пифагора.

«Нахождение площади параллелограмма» - Площадь параллелограмма. Устные упражнения. Высота. Определение высоты параллелограмма. Высоты параллелограмма. Найдите площадь параллелограмма. Площадь треугольника. Площадь квадрата. Свойства площадей. Найдите площадь треугольника. Найдите периметр квадрата. Основание. Найдите площадь прямоугольника. Найдите площадь квадрата. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

«Векторы 8 класс» - Назовите равные и противоположные векторы. Векторы на уроках физики. Абсолютная величина вектора. Абсолютная величина вектора. Прямоугольник, у которого все стороны равны. Понятие вектора. Определите координаты вектора. Найдите и назовите равные векторы на данном рисунке. Равные вектора. Самостоятельная работа в парах. Координаты вектора. Девиз урока. Скалярные физические величины, такие как сила трения, скорость.

«Разные виды симметрии» - Требование. Скользящая симметрия. Равнобедренный треугольник с зеркальной симметрией. Теория групп. Симметрия в биологии. Вращательная симметрия. Двулучевая радиальная симметрия. Что такое симметрия. Суперсимметрия. Симметрия в геометрии. Симметрия в физике. Верхушка колокола. Появление билатеральной симметрии. Билатеральная симметрия. Теорема Нётер. Отсутствие симметрии. Симметрия физике. Центральная симметрия.

«Квадрат в жизни» - Квадраты находят нас везде. Индия. Магический квадрат Альбрехта Дюрера. История. Квадраты. Магический квадрат Ло Шу. Черный квадрат. Загадка «Квадрат». Интересные факты о квадрате. Геометрическая фигура квадрат. Квадрат Малевича. Магический квадрат. Прямоугольник. Квадрат. Основное понятие. Интересные факты. Китай.

Определение и свойства подобных треугольников

Числа a 1 , a 2 , a 3 , …, a n называются пропорциональными числам b 1 , b 2 , b 3 , …, b n , если выполняется равенство: a 1 /b 1 = а 2 /b 2 = a 3 /b 3 = … = a n /b n = k, где k – некоторое число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

Пример. Числа 6; 7,5 и 15 пропорциональны числам ‑4; 5 и 10. Коэффициентом пропорциональности является число ‑1,5, поскольку

6/-4 = -7,5/5 = 15/-10 = -1,5.

Пропорциональность чисел имеет место быть, если эти числа связаны пропорцией.

Известно, что пропорцию можно составить не менее чем из четырех чисел, поэтому понятие пропорциональности применимо как минимум к четырем числам (одна пара чисел пропорциональна другой паре, или одна тройка чисел пропорциональна другой тройке, и т.д.).

Рассмотрим на рис. 1 два треугольника АВС и А 1 В 1 С 1 с равными попарно углами: A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 .

Стороны, которые противолежат равным парам углов обоих треугольников, называются сходственными . Так, на рис. 1 стороны AB и A 1 B 1 , AC и A 1 C 1 , BC и B 1 C 1 , сходственные, поскольку лежат напротив соответственно равных углов треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 .

Дадим определение подобных треугольников:

Два треугольника называются подобными , если их углы попарно равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Отношение сходственных сторон подобных треугольников называется коэффициентом подобия .

Подобные треугольники обозначаются следующим образом: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Итак, на рис. 2 имеем: Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1

углы A = A 1 , B = B 1 , C = C 1 и AB/A 1 B 1 = ВC/В 1 C 1 = АС/А 1 С 1 = k, где k – коэффициент подобия. Из рис. 2 видно, что у подобных треугольников одинаковые пропорции, и отличаются они лишь масштабом.

Замечание 1: Равные треугольники подобны с коэффициентом 1.

Замечание 2: При обозначении подобных треугольников следует упорядочить их вершины таким образом, чтобы углы при них были попарно равны. Например, для треугольников, изображенных на рисунке 2 говорить, что Δ ABC ~ Δ B 1 C 1 A 1 некорректно. Соблюдая правильный порядок вершин, удобно выписывать пропорцию, связывающую сходственные стороны треугольников, не обращаясь к чертежу: в числителе и знаменателе соответствующих отношений должны стоять пары вершин, занимающих одинаковые позиции в обозначении подобных треугольников. К примеру, из записи «Δ ABC ~ Δ KNL» следует, что углы A = K, B = N, C = L, и АВ/KN = BC/NL = AC/KL.

Замечание 3: Те требования, которые перечислены в определении подобных треугольников, являются избыточными. Признаки подобия треугольников, которые содержат меньше требований к подобным треугольникам докажем чуть позже.

Сформулируем свойства подобных треугольников:

1. Отношение соответственных линейных элементов подобных треугольников равно коэффициенту их подобия. К таким элементам подобных треугольников относятся те, которые измеряются в единицах длины. Это, например, сторона треугольника, периметр, медиана. Угол или площадь к таким элементам не относятся.
2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента их подобия.

Пусть треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 подобны с коэффициентом k (рис. 2).

Докажем, что S ABC /S A1 B1 C1 = k 2 .

Поскольку углы подобных треугольников попарно равны, т.е A = A 1 , и по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу, имеем:

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 .

В силу подобия треугольников AB/A 1 B 1 = k и AC/A 1 C 1 = k,

поэтому S ABC /S A1 B1 C1 = AB/A 1 B 1 · AC/A 1 C 1 = k · k = k 2 .

Замечание: Сформулированные выше свойства подобных треугольников справедливы и для произвольных фигур.

Признаки подобия треугольников

Требования, которые предъявляются к подобным треугольникам определением (это равенство углов и пропорциональность сторон) являются избыточными. Устанавливать подобие треугольников можно и по меньшему количеству элементов.

Так, при решении задач чаще всего используется первый признак подобия треугольников, утверждающий, что для подобия двух треугольников достаточно равенства их углов:

Первый признак подобия треугольников (по двум углам): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то эти треугольники подобны (рис. 3) .

Пусть даны треугольники Δ ABC, Δ A 1 B 1 C 1 , в которых углы A = A 1 , B = B 1 . Необходимо доказать, что Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 .

Доказательство.

1) По теореме о сумме углов треугольника имеем:

угол C = 180 ° (угол A + угол B) = 180° (угол A 1 + угол B 1) = угол C 1 .

2) По теореме об отношении площадей треугольников, имеющих по равному углу,

S ABC /S A1 B1 C1 = (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) = (AС · ВC) / (A 1 С 1 · В 1 C 1).

3) Из равенства (AB · AC) / (A 1 B 1 · A 1 C 1) = (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) следует, что AC/A 1 C 1 = BС/В 1 С 1 .

4) Из равенства (AB · ВC) / (A 1 B 1 · В 1 C 1) = (AС · ВC) / (A 1 С 1 · В 1 C 1) следует, что AВ/A 1 В 1 = АС/А 1 С 1 .

Таким образом, у треугольников ABCи A 1 B 1 C 1 DA = DA 1 , DB = DB 1 , DC = DC 1 , и AB/A 1 B 1 = АС/А 1 С 1 .

5) AB/A 1 B 1 = АС/А 1 С 1 = ВC/В 1 C 1 , то есть сходственные стороны пропорциональны. А значит, Δ ABC ~ Δ A 1 B 1 C 1 по определению.

Теорема о пропорциональных отрезках. Деление отрезка в заданном отношении

Теорема о пропорциональных отрезках является обобщением теоремы Фалеса.

Для использования теоремы Фалеса необходимо, чтобы параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекали на одной из них равные отрезки. Обобщенная же теорема Фалеса утверждает, что если параллельные прямые пересекают две данные прямые, то отрезки, отсекаемые ими на одной прямой, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на второй прямой.

Теорема о пропорциональных отрезках доказывается аналогично теореме Фалеса (только вместо равенства треугольников здесь используется их подобие).

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса): Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.

Свойство медиан треугольника

Первый признак подобия треугольников позволяет доказать свойство медиан треугольника:

Свойство медиан треугольника: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины (рис. 4) .

Точка пересечения медиан называется центроидом треугольника.

Пусть дан Δ ABC, у которого AA 1 , BB 1 , CC 1 – медианы, кроме того, AA 1 ∩CC 1 = O. Необходимо доказать, что BB 1 ∩ CC 1 = O и АО/ОА 1 = ВО/ОВ 1 = СО/ОС 1 = 2.

Доказательство.

1) Проведем среднюю линию A 1 C 1 . По теореме о средней линии треугольника A 1 C 1 || AC, и A 1 C 1 = AC/2.

2) Треугольники AOC и A 1 OC 1 подобны по двум углам (угол AOC = углу A 1 OC 1 как вертикальные, угол OAC = углу OA 1 C 1 как внутренние накрест лежащие при A 1 C 1 || AC и секущей AA 1), следовательно, по определению подобных треугольников АО/А 1 О = ОС/ОС 1 = АС/А 1 С 1 = 2.

3) Пусть BB 1 ∩CC 1 = O 1 . Аналогично пунктам 1 и 2 можно доказать, что ВО/О 1 В 1 = СО 1 /О 1 С = 2. Но поскольку на отрезке СС 1 существует единственная точка О, делящая его в отношении СО: ОС 1 = 2: 1, то точки О и О 1 совпадают. Значит, все медианы треугольника пересекаются в одной точке, делящей каждую из них в отношении 2: 1, считая от вершины.

В курсе геометрии в теме «площади многоугольников» доказывается тот факт, что медиана разбивает произвольный треугольник на две равновеликие части. Кроме того, при пересечении трех медиан треугольника образуется шесть равновеликих треугольников.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на подобие треугольников?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

ГЛАВА VIII.

ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ ОТРЕЗКОВ. ПОДОБИЕ ФИГУР.

§ 92. ОТНОШЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПОДОБНЫХ ФИГУР.

1. Отношение площадей квадратов.

Рассмотрим отношение площадей двух квадратов. Если сторону одного квадрата обозначим через т , а сторону другого - через п , то площади будут соответственно равны
т 2 и п 2 (черт. 379).

Обозначив площадь первого квадрата через S, а площадь второго через S", получим: S / S" = m 2 / n 2 , т. е. площади квадратов относятся как квадраты их сторон.

Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (m / n ) 2 .

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух квадратов равно квадрату отношения их сторон.

На чертеже 379 отношение сторон квадратов равно 3, отношение их площадей равно
3 2 = 9.

2. Отношение площадей двух подобных треугольников.

Пусть /\ AВС /\ A"В"С" (черт. 380). Из подобия треугольников следует, что
/ A = / A" , / B = / B" и / С = / С" . Кроме того, AB / A"B" = BC / B"C" = AC / A"C" .

В этих треугольниках из вершин В и В" проведём высоты и обозначим их через h и h ". Площадь первого треугольника будет равна AC h / 2 , а площадь второго треугольника A"C" h" / 2 .

Обозначив площадь первого треугольника через S, а площадь второго - через S" получим: S / S" = AC h / A"C" h" или S / S" = AC / A"C" h / h"

Из подобия треугольников АВО и А"В"О" (они подобны, потому что прямоугольные, и, кроме того, имеют по равному острому углу, а именно / A = / A") следует:
h / h" = AB / A"B" . Но AB / A"B" = AC / A"C" . Следовательно, h / h" = AC / A"C" . Заменив в формуле S / S" = AC / A"C" h / h" отношение h / h" равным ему отношением AC / A"C" , получим:
S / S" = AC / A"C" AC / A"C" , или .

Итак, площади подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон .

Полученную формулу можно преобразовать так: S / S" = (AC / A"C") 2 .

Значит, можно сказать, что отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их сходственных сторон.

3. Отношение площадей подобных многоугольников.

Пусть ABCDE и A"B"C"D"E" - подобные многоугольники (черт. 381).

Известно, что /\ AВС /\ A"В"С"; /\ ACD /\ A"C"D" и /\ ADE /\ A"D"E" (§90).
Кроме того,

;

Так как вторые отнoшения этих пропорций равны, что вытекает из подобия многоугольников, то

Используя свойство ряда равных отношений получим:

Или

где S и S" - площади данных подобных многоугольников.

Следовательно, площади подобных многоугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

Полученную формулу можно преобразовать к такому виду: S / S" = (AВ / A"В") 2

Упражнения.

1. Сторона первого квадрата больше стороны второго квадрата в 2 раза (в 5 раз). Во сколько раз площадь первого квадрата больше площади второго квадрата?

2. Сторона первого квадрата составляет 1 / 3 (0,1) стороны второго квадрата. Какую часть площадь первого квадрата составляет от площади второго квадрата?

3. Коэффициент подобия в подобных многоугольниках равен 4 (1 / 5 ; 0,4; 2,5). Чему равно отношение их площадей?

4. Отношение площадей подобных многоугольников равно 36 (100; 0,09). Чему равно отношение сходственных сторон этих многоугольников?