Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré študuje trigonometrické funkcie a ich využitie v geometrii. Vývoj trigonometrie sa začal v časoch starovekého Grécka. V priebehu stredoveku významne prispeli k rozvoju tejto vedy vedci z Blízkeho východu a Indie.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Skúma definície hlavných trigonometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Ich význam je vysvetlený a ilustrovaný v kontexte geometrie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Definície trigonometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, boli pôvodne vyjadrené v pomeroch strán pravouhlého trojuholníka.

Definície trigonometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy opačného k tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) je pomer susedného ramena k prepone.

Tangenta uhla (t g α) je pomer opačného ramena k susednému ramenu.

Uhol kotangens (c t g α) - pomer susednej nohy s opačnou.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol pravouhlého trojuholníka!

Tu je ilustrácia.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C sa sínus uhla A rovná pomeru nohy BC k prepone AB.

Definície sínusu, kosínusu, tangenty a kotangensu vám umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Je dôležité pamätať!

Rozsah sínusových a kosínusových hodnôt: od -1 do 1. Inými slovami, sínusový a kosínusový komplex nadobúdajú hodnoty od -1 do 1. Rozsahový rozsah tangensu a kotangensu je celý číselný rad, to znamená, že tieto funkcie môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.

Vyššie uvedené definície sú určené pre ostré rohy. V trigonometrii je zavedený koncept uhla rotácie, ktorého hodnota sa na rozdiel od ostrého uhla neobmedzuje na rámček od 0 do 90 stupňov. Uhol rotácie v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený akýmkoľvek skutočným číslom od - ∞ do + ∞.

V tejto súvislosti môžete definovať sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavte si jednotkovú kružnicu vycentrovanú na začiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1, 0) sa otáča okolo stredu jednotkovej kružnice o nejaký uhol α a smeruje do bodu A 1. Definícia je daná súradnicami bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla otočenia

Sínus uhla rotácie α je súradnica bodu A 1 (x, y). hriech α \u003d y

Kosínus (cos) uhla rotácie

Kosínus uhla rotácie α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α \u003d x

Tangens (tg) uhla rotácie

Tangenta uhla rotácie α je pomer súradnice bodu Ai (x, y) k jeho úsečke. t g α \u003d y x

Cotangent (ctg) uhla rotácie

Kotangensa uhla rotácie α je pomer úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho súradnici. c t g α \u003d x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože úsečku a súradnicu bodu po otočení možno určiť v ľubovoľnom uhle. S dotyčnicou a kotangensom je iná situácia. Tangenta nie je definovaná, keď bod po otočení smeruje do bodu s nulovou úsečkou (0, 1) a (0, - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α \u003d y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je aj pri kotangensu. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný v prípadoch, keď sa souřadnice bodu stratia.

Je dôležité pamätať!

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol α.

Tangenta je definovaná pre všetky uhly okrem α \u003d 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α \u003d π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangensa je definovaná pre všetky uhly okrem α \u003d 180 ° k, k ∈ Z (α \u003d π k, k ∈ Z)

Pri riešení praktických príkladov nehovorte „sínus uhla rotácie α“. Slová „uhol natočenia“ sú jednoducho vynechané, čo naznačuje, že z kontextu je zrejmé, o čo ide.

Čísla

Čo definícia sínusu, kosínusu, tangenty a kotangensu čísla, a nie uhol natočenia?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo, ktoré sa rovná sínus, kosínus, tangens a kotangens v tradián.

Napríklad sínus 10 π sa rovná sínusu uhla rotácie 10 π rad.

Existuje ďalší prístup k určeniu sínusu, kosínusu, tangenty a kotangensu čísla. Zvážme to podrobnejšie.

Akékoľvek skutočné číslo t je priradený bod na jednotkovej kružnici so stredom pri začiatku obdĺžnikového karteziánskeho súradnicového systému. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú definované prostredníctvom súradníc tohto bodu.

Počiatočným bodom v kružnici je bod A so súradnicami (1, 0).

Kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého pôjde východiskový bod, ak sa bude pohybovať proti smeru hodinových ručičiek po kružnici a prejde cestu t.

Teraz, keď bolo nadviazané spojenie medzi číslom a bodom na kružnici, pristúpime k definícii sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangenty.

Sínus (hriech) t

Sínus čísla tje súradnica bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúca číslu t. hriech t \u003d r

Kosínus (cos) čísla t

Číslo kosínusu tje úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúca číslu t. cos t \u003d x

Tangenta (tg) čísla t

Tangenta čísla t - pomer súradnice k úsečke bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúci číslu t. t g t \u003d y x \u003d sin t cos t

Posledné uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tejto klauzuly a neodporujú jej. Bod v kruhu zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého smeruje východiskový bod po otočení o uhol tradián.

Trigonometrické funkcie uhlového a číselného argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínusu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α, okrem α \u003d 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α \u003d π 2 + π k, k ∈ Z) zodpovedá určitá hodnota dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α okrem α \u003d 180 ° k, k ∈ Z (α \u003d π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α, cos α, t g α, c t g α sú funkciami uhla alfa alebo funkciami uhlového argumentu.

Podobne môžeme hovoriť o sínusovom, kosínusovom, tangensovom a kotangensom ako funkcii číselného argumentu. Na každé skutočné číslo tzodpovedá konkrétnej sínusovej alebo kosínusovej hodnote čísla t... Všetky čísla okrem π 2 + π · k, k ∈ Z zodpovedajú hodnote dotyčnice. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π k, k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangenta a kotangens sú základné trigonometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne zrejmé, s ktorým argumentom trigonometrickej funkcie (argumentom uhla alebo číselným argumentom) máme do činenia.

Vráťme sa k údajom na úplnom začiatku definícií a uhla alfa ležiaceho v rozmedzí od 0 do 90 stupňov. Goniometrické definície sínusu, kosínusu, tangenty a kotangensu sú úplne v súlade s geometrickými definíciami danými pomocou pomerov strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Vezmite kruh jednotky vycentrovaný v obdĺžnikovom karteziánskom súradnicovom systéme. Otočme východiskový bod A (1, 0) o uhol až 90 stupňov a z výsledného bodu A 1 (x, y) nakreslíme kolmicu na os úsečky. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 O H rovná uhlu otáčania α, dĺžka nohy O H sa rovná úsečke bodu A 1 (x, y). Dĺžka nohy oproti rohu sa rovná súradnici bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože ide o polomer jednotkovej kružnice.

V súlade s definíciou z geometrie sa sínus uhla α rovná pomeru opačného ramena k prepone.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

To znamená, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku prostredníctvom pomeru strán je ekvivalentné s určením sínusu uhla rotácie α, pričom alfa leží v rozmedzí od 0 do 90 stupňov.

Podobne možno korešpondovať s definíciami pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak spozorujete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Inštrukcie

Trojuholník sa nazýva obdĺžnikový, ak je jeden z jeho uhlov 90 stupňov. Skladá sa z dvoch nôh a prepony. Prepona je väčšia strana tohto trojuholníka. Leží proti pravému uhlu. Nohy sa nazývajú menšie strany. Môžu sa navzájom rovnať alebo mať rôzne hodnoty. Rovnosť nôh, s ktorými pracujete, s pravouhlým trojuholníkom. Jeho krása je v tom, že kombinuje dva tvary: pravouhlý a rovnoramenný trojuholník. Ak nohy nie sú rovnaké, potom je trojuholník ľubovoľný a podľa základného zákona: čím väčší je uhol, tým viac sa opačný valcuje.

Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť preponu podľa a uhla. Pred použitím jedného z nich by ste však mali určiť, čo a aký uhol sú známe. Ak je uvedený uhol a k nemu priľahlá noha, potom je hypotenziu ľahšie vyhľadať kosínusom uhla. Kosínus ostrého uhla (cos a) v pravouhlom trojuholníku je pomer susedného ramena a prepony. To znamená, že prepona (c) sa bude rovnať pomeru susednej nohy (b) k kosínusu uhla a (cos a). Dá sa to napísať takto: cos a \u003d b / c \u003d\u003e c \u003d b / cos a.

Ak je daný uhol a protiľahlá noha, potom by sa malo pracovať. Sínus ostrého uhla (sin a) v pravom trojuholníku je pomer opačného ramena (a) k prepone (c). Tu je princíp rovnaký ako v predchádzajúcom príklade, iba namiesto kosínusovej funkcie sa vezme sínus. sin a \u003d a / c \u003d\u003e c \u003d a / sin a.

Môžete tiež použiť trigonometrickú funkciu ako napr. Nájsť požadované množstvo bude ale o niečo komplikovanejšie. Tangenta ostrého uhla (tg a) v pravouhlom trojuholníku je pomer opačného ramena (a) k susednému (b). Po nájdení oboch nôh použite Pytagorovu vetu (štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh) a nájde sa tá väčšia.

Poznámka

Pri práci s Pytagorovou vetou nezabudnite, že máte do činenia s titulom. Po zistení súčtu štvorcov nôh získate konečnú odpoveď, aby ste extrahovali druhú odmocninu.

Zdroje:

• ako nájsť nohu a preponu

Prepona je strana v pravouhlom trojuholníku, ktorá je oproti 90-stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a veľkosť jedného z ostrých uhlov trojuholníka.

Inštrukcie

Pre známy a ostrý uhlový obdĺžnik je veľkosť prepony pomerom nohy k / tohto uhla, ak je tento uhol opačný / susedný s ním:

h \u003d C1 (alebo C2) / sinα;

h \u003d C1 (alebo C2) / cosα.

Príklad: Nechajte ABC dať s preponou AB a C. Nechajte uhol B 60 stupňov a uhol A 30 stupňov. Dĺžka nohy BC je 8 cm. Je potrebná dĺžka prepony AB. Môžete to urobiť ktoroukoľvek z vyššie uvedených metód:

AB \u003d BC / cos60 \u003d 8 cm.

AB \u003d BC / sin30 \u003d 8 cm.

Slovo " noha„Pochádza z gréckych slov„ kolmý “alebo„ olovnica “- to vysvetľuje, prečo boli tak pomenované obe strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria jeho deväťdesiatstupňový uhol. Nájdite dĺžku ktoréhokoľvek z nohanie je ťažké, ak sú známe hodnoty susedného uhla a niektoré parametre, pretože v takom prípade budú skutočne známe hodnoty všetkých troch uhlov.

Inštrukcie

Ak je okrem hodnoty susedného uhla (β) aj dĺžka druhého nohaa (b), potom dĺžka nohaa (a) možno definovať ako kvocient delenia dĺžky známeho nohaa pod známym uhlom: a \u003d b / tg (β). Vyplýva to z definície tejto trigonometrie. Bez tečny sa zaobídete pomocou vety. Z toho vyplýva, že dĺžka požadovaného k sínusu opačného uhla k pomeru dĺžky známeho nohaa na sínus známeho uhla. Oproti hľadaným nohaostrý uhol možno vyjadriť v zmysle známeho uhla ako 180 ° -90 ° -β \u003d 90 ° -β, pretože súčet všetkých uhlov ľubovoľného trojuholníka musí byť 180 ° a jeden z jeho uhlov je 90 °. Preto požadovaná dĺžka nohaa možno vypočítať podľa vzorca a \u003d sin (90 ° -β) ∗ b / sin (β).

Ak sú známe hodnoty susedného uhla (β) a dĺžka prepony (c), potom dĺžka nohaa (a) možno vypočítať ako súčin dĺžky prepony a kosínusu známeho uhla: a \u003d c ∗ cos (β). Vyplýva to z definície kosínu ako trigonometrickej funkcie. Môžete však použiť, rovnako ako v predchádzajúcom kroku, vetu sínusov a potom požadovanú dĺžku nohaa sa bude rovnať súčinu sínusu medzi 90 ° a známym uhlom pomerom dĺžky prepony k sínusu pravého uhla. A keďže sínus 90 ° sa rovná jednej, dá sa to napísať takto: a \u003d sin (90 ° -β) ∗ c.

Praktické výpočty je možné vykonať napríklad pomocou softvérovej kalkulačky systému Windows. Ak ju chcete spustiť, vyberte v hlavnej ponuke tlačidla Štart položku Spustiť, zadajte príkaz calc a stlačte tlačidlo OK. Najjednoduchšia verzia rozhrania tohto programu, ktorá sa predvolene otvára, neposkytuje trigonometrické funkcie, preto po jeho spustení kliknite v ponuke na časť „Zobraziť“ a vyberte riadok „Vedecké“ alebo „Inžinierstvo“ (v závislosti od použitej verzie operačného systému).

Podobné videá

Slovo „katéter“ sa do ruštiny dostalo z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnicu, to znamená kolmo na povrch Zeme. V matematike sú nohy stranami, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana oproti tomuto rohu sa nazýva prepona. Termín „noha“ sa používa aj v architektúre a zváracej technike.

Nakreslite pravouhlý trojuholník ACB. Nohy označte ako a a b a preponu ako c. Všetky strany a uhly pravouhlého trojuholníka sú medzi sebou určité. Pomer nohy, ktorý sa nachádza oproti jednému z ostrých uhlov, s preponou sa nazýva sínus tohto uhla. V tomto trojuholníku sinCAB \u003d a / c. Kosínus je pomer k prepone susednej nohy, t. J. CosCAB \u003d b / c. Reverzné vzťahy sa nazývajú sekans a kosekans.

Sekans daného uhla sa získa vydelením prepony susednou nohou, to znamená secCAB \u003d c / b. Ukázalo sa, že inverzná hodnota kosínusu, to znamená, že ju možno vyjadriť vzorcom secCAB \u003d 1 / cosSAB.
Kosekans sa rovná kvocientu vydelenia prepony opačným ramenom, čo je prevrátená hodnota sínusu. Môže sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB \u003d 1 / sinCAB

Obe nohy sú spojené navzájom a kotangensom. V tomto prípade bude dotyčnica pomerom strany a k strane b, to znamená protiľahlej nohy k susednej. Tento pomer je možné vyjadriť vzorcom tgCAB \u003d a / b. Podľa toho bude inverzný vzťah kotangens: ctgCAB \u003d b / a.

Pomer medzi rozmermi prepony a oboma nohami určil starogrécky Pytagoras. Vetu, jeho meno, ľudia stále používajú. Hovorí sa, že štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, to znamená c2 \u003d a2 + b2. V súlade s tým sa každé rameno bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi štvorcami prepočtu a druhým ramenom. Tento vzorec možno zapísať ako b \u003d √ (c2-a2).

Dĺžka nohy sa dá vyjadriť aj prostredníctvom vzťahov, ktoré poznáte. Podľa viet sínusov a kosínusov sa noha rovná súčinu hypotenzy a jednej z týchto funkcií. Môžete to vyjadriť a alebo kotangens. Nohu a nájdete napríklad podľa vzorca a \u003d b * tan CAB. Rovnakým spôsobom, v závislosti od zadanej dotyčnice alebo, sa určí druhé rameno.

Pojem „noha“ sa používa aj v architektúre. Aplikuje sa na iónové hlavné mesto a padá stredom chrbta. To znamená, že v tomto prípade je tento výraz kolmý na danú priamku.

V technológii zvárania existuje „noha kútového zvaru“. Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o medzere medzi jednou z častí, ktoré sa majú zvárať, k hranici švu umiestnenej na povrchu druhej časti.

Podobné videá

Zdroje:

• čo je noha a prepona v roku 2019

Jedným z odborov matematiky, s ktorým sa študenti vyrovnávajú s najväčšími ťažkosťami, je trigonometria. To nie je prekvapujúce: na to, aby ste si mohli slobodne osvojiť túto oblasť vedomostí, potrebujete priestorové myslenie, schopnosť vyhľadávať sínusy, kosínusy, tangenty, kotangensy podľa vzorcov, zjednodušovať výrazy a vedieť používať pi pri výpočtoch. Okrem toho musíte byť pri dokázaní viet schopní používať trigonometriu, čo si vyžaduje buď rozvinutú matematickú pamäť, alebo schopnosť odvodiť zložité logické reťazce.

Počiatky trigonometrie

Zoznámenie sa s touto vedou by malo začínať určením sínusu, kosínusu a tangensy uhla, ale najskôr musíte zistiť, čo robí trigonometria všeobecne.

Historicky boli hlavným predmetom výskumu v tejto oblasti matematickej vedy pravouhlé trojuholníky. Prítomnosť uhla 90 stupňov umožňuje vykonávať rôzne operácie, ktoré umožňujú určiť hodnoty všetkých parametrov predmetného obrázka na dvoch stranách a v jednom rohu alebo v dvoch uhloch a na jednej strane. V minulosti si ľudia tento vzor všimli a začali ho aktívne používať pri stavbe budov, navigácii, v astronómii či dokonca v umení.

Prvé štádium

Spočiatku sa hovorilo o vzťahu uhlov a strán výlučne na príklade pravouhlých trojuholníkov. Potom boli objavené špeciálne vzorce, ktoré umožnili rozšíriť hranice použitia tohto odvetvia matematiky v každodennom živote.

Štúdium trigonometrie v škole sa dnes začína pravouhlými trojuholníkmi, po ktorých získané vedomosti využijú študenti vo fyzike a pri riešení abstraktných trigonometrických rovníc, s ktorými sa začína na strednej škole.

Sférická trigonometria

Neskôr, keď veda dosiahla ďalšiu úroveň vývoja, sa vzorce so sínusom, kosínusom, tangensom, kotangensom začali používať v sférickej geometrii, kde platia rôzne pravidlá, a súčet uhlov v trojuholníku je vždy viac ako 180 stupňov. Táto časť sa v škole neštuduje, je však potrebné vedieť o jej existencii prinajmenšom preto, že zemský povrch a povrch akejkoľvek inej planéty je vypuklý, čo znamená, že akékoľvek povrchové značenie bude „klenuté“ v trojrozmernom priestore.

Vezmite glóbus a povrázok. Pripevnite šnúrku k ľubovoľným dvom bodom na zemeguli tak, aby bola napnutá. Venujte pozornosť - malo to tvar oblúka. Týmito formami sa zaoberá sférická geometria, ktorá sa používa v geodézii, astronómii a ďalších teoretických a aplikovaných poliach.

Správny trojuholník

Keď sme sa dozvedeli niečo o spôsoboch použitia trigonometrie, vráťme sa k základnej trigonometrii, aby sme lepšie pochopili, čo sú sínus, kosínus, tangenta, aké výpočty je možné vykonať s ich pomocou a aké vzorce v tomto prípade použiť.

Prvým krokom je pochopenie pojmov týkajúcich sa pravouhlého trojuholníka. Po prvé, prepona je strana oproti uhlu 90 stupňov. Je najdlhšia. Pamätáme si, že podľa Pytagorovej vety sa jeho číselná hodnota rovná koreňu súčtu štvorcov druhých dvoch strán.

Ak sú napríklad dve strany 3 a 4 centimetre, bude dĺžka prepony 5 centimetrov. Mimochodom, starí Egypťania o tom vedeli asi pred štyri a pol tisíc rokmi.

Dve zvyšné strany, ktoré tvoria pravý uhol, sa nazývajú nohy. Okrem toho je potrebné pripomenúť, že súčet uhlov v trojuholníku v obdĺžnikovom súradnicovom systéme je 180 stupňov.

Definícia

Nakoniec, s pevným pochopením geometrického základu, je možné obrátiť sa na definíciu sínusu, kosínu a dotyčnice uhla.

Sínus uhla je pomer opačnej nohy (tj. Strany oproti požadovanému uhlu) k prepone. Kosínus uhla je pomer susednej nohy k prepone.

Pamätajte, že ani sínus, ani kosínus nemôžu byť väčšie ako jeden! Prečo? Pretože je prepona predvolene najdlhšia. Bez ohľadu na to, ako dlho bude noha, bude kratšia ako prepona, čo znamená, že ich pomer bude vždy menší ako jedna. Ak teda máte v odpovedi na problém sínus alebo kosínus s hodnotou väčšou ako 1, vyhľadajte chybu vo výpočtoch alebo v úvahách. Táto odpoveď je určite nesprávna.

Nakoniec, dotyčnica uhla je pomer opačnej strany k susednej strane. Delenie sínusu kosínusom poskytne rovnaký výsledok. Pozri: v súlade so vzorcom vydelíme dĺžku strany preponou, potom vydelíme dĺžkou druhej strany a vynásobíme preponou. Dostaneme teda rovnaký vzťah ako pri definícii dotyčnice.

Kotangens je pomer strán susediacich s rohom a protiľahlých strán. Rovnaký výsledok dosiahneme vydelením jedného dotyčnicou.

Pozreli sme sa teda na definície toho, čo sú sínus, kosínus, tangenta a kotangens, a môžeme robiť vzorce.

Najjednoduchšie vzorce

V trigonometrii sa nezaobídete bez vzorcov - ako bez nich nájsť sínus, kosínus, tangens, kotangens? Ale to je presne to, čo sa vyžaduje pri riešení problémov.

Prvý vzorec, ktorý musíte vedieť, keď sa začnete učiť trigonometriu, hovorí, že súčet štvorcov sínusu a kosínusu uhla sa rovná jednej. Tento vzorec je priamym dôsledkom Pytagorovej vety, ale šetrí čas, ak chcete poznať uhol, nie stranu.

Mnoho študentov si nemôže spomenúť na druhý vzorec, ktorý je tiež veľmi populárny pri riešení školských problémov: súčet jednej a štvorček dotyčnice uhla sa rovná jednému delenému druhou mocninou kosínusu uhla. Pozerajte sa zblízka: koniec koncov, ide o rovnaké tvrdenie ako v prvom vzorci, iba obe strany identity boli rozdelené štvorcom kosínusu. Ukázalo sa, že jednoduchá matematická operácia robí trigonometrický vzorec úplne nerozoznateľným. Pamätajte: že keď viete, čo je sínus, kosínus, tangens a kotangens, transformačné pravidlá a niekoľko základných vzorcov, môžete sami kedykoľvek odvodiť požadované zložitejšie vzorce na list papiera.

Vzorce na zdvojnásobenie uhla a pridania argumentu

Dva ďalšie vzorce, ktoré sa musíte naučiť, súvisia s hodnotami sínusu a kosínusu pre súčet a rozdiel uhlov. Sú zobrazené na obrázku nižšie. Upozorňujeme, že v prvom prípade sa sínus a kosínus vynásobia dvakrát a v druhom prípade sa pridá párový súčin sínus a kosínus.

Existujú aj vzorce spojené s argumentmi dvojitého uhla. Sú úplne odvodené od tých predchádzajúcich - ako tréning sa ich pokúste získať sami, pričom alfa uhol sa rovná beta uhlu.

Na záver si uvedomte, že vzorce s dvojitým uhlom je možné transformovať tak, aby sa znížil stupeň sínusu, kosínu a dotyčnice alfa.

Vety

Dve hlavné vety v základnej trigonometrii sú sínusová veta a kosínusová veta. Pomocou týchto viet môžete ľahko pochopiť, ako nájsť sínus, kosínus a tangens, čo znamená plochu figúry, veľkosť každej strany atď.

Sínusová veta uvádza, že vydelením dĺžky každej strany trojuholníka opačným uhlom sa získa rovnaké číslo. Okrem toho sa toto číslo bude rovnať dvom polomerom opísanej kružnice, to znamená kružnici obsahujúcej všetky body daného trojuholníka.

Kosínova veta zovšeobecňuje Pytagorovu vetu tak, že ju premieta na ľubovoľné trojuholníky. Ukazuje sa, že od súčtu štvorcov dvoch strán, odčítajte ich súčin vynásobený dvojitým kosínom uhla, ktorý k nim susedí - výsledná hodnota sa bude rovnať štvorcu tretej strany. Pytagorova veta sa teda ukazuje ako špeciálny prípad kosínovej vety.

Nepozorné chyby

Aj keď vieme, čo sú sínus, kosínus a dotyčnica, je ľahké urobiť chybu kvôli rozptýleniu alebo chybe v najjednoduchších výpočtoch. Aby sme sa takýmto chybám vyhli, pozrime sa na tie najobľúbenejšie.

Po prvé, nemali by ste prevádzať bežné zlomky na desatinné miesta, kým nedosiahnete konečný výsledok - môžete tiež nechať odpoveď vo forme obyčajného zlomku, pokiaľ nie je v podmienke uvedené inak. Takúto transformáciu nemožno nazvať chybou, treba si však uvedomiť, že v každej fáze úlohy sa môžu objaviť nové korene, ktoré by sa podľa autorkinej predstavy mali obmedziť. V takom prípade budete strácať čas zbytočnými matematickými operáciami. Platí to najmä pre hodnoty, ako je odmocnina troch alebo dvoch, pretože sa v úlohách nachádzajú na každom kroku. To isté platí pre zaokrúhľovanie „škaredých“ čísel.

Ďalej si všimnite, že kosínová veta platí pre akýkoľvek trojuholník, ale nie Pytagorovu vetu! Ak omylom zabudnete odpočítať dvojitý produkt strán vynásobený kosínusom uhla medzi nimi, získate nielen úplne nesprávny výsledok, ale prejavíte aj úplné nepochopenie predmetu. To je horšie ako neopatrná chyba.

Po tretie, nezamieňajte hodnoty pre uhly 30 a 60 stupňov pre sínusy, kosínusy, dotyčnice, kotangenty. Pamätajte na tieto hodnoty, pretože sínus 30 stupňov sa rovná kosínu 60 a naopak. Je ľahké ich zameniť a vo výsledku nevyhnutne získate chybný výsledok.

Aplikácia

Mnoho študentov sa neponáhľa s výučbou trigonometrie, pretože nerozumejú jej použitému významu. Čo je sínus, kosínus, tangenta pre inžiniera alebo astronóma? Jedná sa o koncepty, vďaka ktorým môžete vypočítať vzdialenosť k vzdialeným hviezdam, predpovedať pád meteoritu, poslať výskumnú sondu na inú planétu. Bez nich je nemožné postaviť budovu, navrhnúť auto, vypočítať zaťaženie povrchu alebo trajektóriu objektu. A to sú len tie najzjavnejšie príklady! Koniec koncov, trigonometria v tej či onej podobe sa používa všade, od hudby po medicínu.

Nakoniec

Takže ste sínus, kosínus, dotyčnica. Môžete ich použiť pri výpočtoch a úspešne vyriešiť školské problémy.

Celý bod trigonometrie sa scvrkáva na skutočnosť, že je potrebné vypočítať neznáme parametre trojuholníka pomocou známych parametrov. Týchto parametrov je šesť: dĺžky troch strán a hodnoty troch uhlov. Jediný rozdiel v úlohách je v tom, že sa poskytujú rôzne vstupy.

Teraz viete, ako nájsť sínus, kosínus, tangensu na základe známych dĺžok nôh alebo prepony. Pretože tieto výrazy neznamenajú nič iné ako pomer a pomer je zlomok, hlavným cieľom trigonometrického problému je nájsť korene obyčajnej rovnice alebo systému rovníc. A tu vám pomôže bežná školská matematika.

Stredná úroveň

Správny trojuholník. Kompletný ilustrovaný sprievodca (2019)

SPRÁVNY TROJUHOLNÍK. PRVÁ ÚROVEŇ.

V úlohách nie je pravý uhol vôbec potrebný - vľavo dole, takže sa musíte naučiť, ako rozpoznať pravouhlý trojuholník v tejto podobe,

a v takých,

a v takom

Čo dobrého je v pravom trojuholníku? No ... najskôr existujú špeciálne pekné mená pre jeho večierky.

Pozor na kresbu!

Pamätajte a nemýľte si: nohy - dve a prepona - iba jedna (jediný a najdlhší)!

O menách sa hovorilo, teraz je to najdôležitejšie: Pytagorova veta.

Pytagorova veta.

Táto veta je kľúčom k riešeniu mnohých problémov týkajúcich sa pravouhlého trojuholníka. Dokázal to Pythagoras v úplne nepamätných dobách a odvtedy priniesol mnoho výhod tým, ktorí to vedia. A najlepšie na nej je, že je jednoduchá.

Takže Pytagorova veta:

Pamätáte si ten vtip: „Pytagorejské nohavice sú si rovnaké zo všetkých strán!“?

Nakreslíme si tie isté Pythagorove nohavice a pozrime sa na ne.

Nevyzerá to ako nejaké kraťasy? No a na ktorých stranách a kde sú si rovní? Prečo a kde sa vzal vtip? A tento vtip je spojený presne s Pytagorovou vetou, presnejšie s tým, ako sám Pythagoras formuloval svoju vetu. A formuloval to takto:

„Suma plochy štvorcovpostavené na nohách je štvorcová plochapostavená na preponu “.

Neznie to trochu inak? A tak, keď Pythagoras nakreslil výrok svojej vety, ukázal sa práve takýto obraz.

Na tomto obrázku sa súčet plôch malých štvorcov rovná ploche veľkého štvorca. A aby si deti lepšie zapamätali, že súčet štvorcov nôh sa rovná štvorcu prepony, niekto vtipný a vymyslel tento vtip o pythagorejských nohaviciach.

Prečo teraz formulujeme Pytagorovu vetu

Trpel Pytagoras a hovoril o štvorcoch?

Uvidíte, v dávnych dobách neexistovala ... algebra! Neboli žiadne označenia a tak ďalej. Neboli žiadne nápisy. Viete si predstaviť, aké hrozné bolo pre chudobných starodávnych učeníkov, pamätať si všetko slovami ??! A môžeme byť radi, že máme jednoduchú formuláciu Pytagorovej vety. Zopakujeme to ešte raz, aby sme si to lepšie zapamätali:

Teraz by to malo byť jednoduché:

Štvorček prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh.

Diskutovalo sa o najdôležitejšej vete o pravouhlom trojuholníku. Ak vás zaujíma, ako je to dokázané, prečítajte si ďalšie úrovne teórie a poďme ďalej ... do temného lesa ... trigonometrie! K strašným slovám sínus, kosínus, tangenta a kotangenta.

Sínus, kosínus, tangens, kotangens v pravom trojuholníku.

V skutočnosti to nie je vôbec také strašidelné. „Skutočné“ definície sínusu, kosínusu, tangenty a kotangensu by sa samozrejme mali nachádzať v článku. Ale naozaj nechcem, že? Môžeme sa radovať: pri riešení problémov týkajúcich sa pravouhlého trojuholníka môžete jednoducho vyplniť tieto jednoduché veci:

Prečo je to všetko v rohu? Kde je roh? Aby ste tomu porozumeli, musíte vedieť, ako sú výroky 1 - 4 napísané slovami. Pozeraj, rozumej a pamätaj!

1.
V skutočnosti to znie takto:

A čo roh? Existuje noha, ktorá je oproti rohu, teda opačná (pre roh) nohu? Samozrejme! Toto je noha!

Ale čo ten uhol? Pozri sa bližšie. Ktorá noha susedí s rohom? Samozrejme noha. Preto pre uhol je noha susedná a

Teraz, pozor! Zistite, čo máme:

Pozrite sa, aké skvelé:

Teraz prejdime k dotyčnici a kotangensu.

Ako to teraz môžem napísať slovami? Aká je noha vo vzťahu k rohu? Oproti, samozrejme - „leží“ oproti rohu. A noha? Priľahlé k rohu. Čo sme teda urobili?

Vidíte, že čitateľ a menovateľ sú obrátení?

A teraz opäť rohy a výmena:

Zhrnutie

Poďme si v skratke zapísať všetko, čo sme sa dozvedeli.

Pytagorova veta:

Hlavná veta o pravouhlom trojuholníku je Pytagorova veta.

Pytagorova veta

Mimochodom, dobre si pamätáte, čo sú nohy a prepona? Ak nie, pozrite sa na obrázok - osviežte svoje vedomosti

Je možné, že ste už viackrát použili Pytagorovu vetu, ale zamysleli ste sa niekedy nad tým, prečo je takáto veta pravdivá? Ako to dokážem? Nech sa páči starí Gréci. Nakreslíme štvorec so stranou.

Uvidíte, ako šikovne sme jej strany rozdelili na dĺžky a!

Teraz spojme označené body

Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozriete na výkres a premýšľate, prečo.

Aká je plocha väčšieho štvorca? Správny, . Menšia plocha? Samozrejme, . Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich zobrali po dvoch a opreli ich o seba hypotenami. Čo sa stalo? Dva obdĺžniky. To znamená, že plocha „zvyškov“ je.

Poďme to teraz všetko spojiť.

Poďme transformovať:

Navštívili sme teda Pytagorasa - jeho vetu sme dokázali starodávnym spôsobom.

Pravý trojuholník a trigonometria

Pre pravouhlý trojuholník platia nasledujúce vzťahy:

Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej nohy k prepone

Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru susednej nohy k prepone.

Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej nohy k susednej nohe.

Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru susednej nohy k opačnej nohe.

A ešte raz, a to všetko vo forme taniera:

Je to veľmi pohodlné!

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Na dvoch nohách

II. Na nohu a preponu

III. Preponou a ostrým uhlom

IV. Na nohe a ostrom rohu

a)

b)

Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby boli nohy „vhodné“. Napríklad, ak je to takto:

POTOM TROJUHOLNÍKY NIE SÚ ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.

Potrebovať v obidvoch trojuholníkoch bola noha susedná alebo v obidvoch trojuholníkoch oproti.

Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov? Pozri sa na tému „a venujte pozornosť skutočnosti, že pre rovnosť„ bežných “trojuholníkov je nevyhnutná rovnosť ich troch prvkov: dve strany a uhol medzi nimi, dva uhly a strana medzi nimi, alebo tri strany. Ale pre rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Super, nie?

Situácia je približne rovnaká so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.

Známky podobnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Na ostrom rohu

II. Na dvoch nohách

III. Na nohu a preponu

Medián v pravom trojuholníku

Prečo je to tak?

Zvážte celý obdĺžnik namiesto pravouhlého trojuholníka.

Nakreslíme uhlopriečku a zvážme bod - priesečník uhlopriečok. Čo je známe o uhlopriečkach obdĺžnika?

A čo z toho vyplýva?

Takže sa ukázalo, že

1. - medián:

Pamätajte na túto skutočnosť! Veľa pomáha!

O to prekvapivejšie je, že konverzácia je tiež pravdivá.

Čo dobré môžete získať zo skutočnosti, že stredná hodnota vyvodená z prepony je polovica prepony? Pozrime sa na obrázok

Pozri sa bližšie. Máme :, to znamená, že vzdialenosti od bodu k všetkým trom vrcholom trojuholníka sa ukázali byť rovnaké. Ale v trojuholníku je iba jeden bod, vzdialenosti od ktorých sú si približne všetky tri vrcholy trojuholníka rovnaké, a to je STREDISKO POPISOVANÉHO KRUHU. Takže, čo sa stalo?

Začnime týmto „okrem ...“

Pozrime sa na a.

Ale v takýchto trojuholníkoch sú všetky uhly rovnaké!

To isté sa dá povedať o a

Teraz to poďme spolu nakresliť:

Aký prínos možno vyvodiť z tejto „trojitej“ podobnosti.

Napríklad - dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.

Napíšme vzťah príslušných strán:

Aby sme zistili výšku, vyriešime pomer a dostaneme prvý vzorec "Výška v pravom trojuholníku":

Aplikujme teda podobnosť :.

Čo sa stane teraz?

Opäť vyriešime pomer a dostaneme druhý vzorec:

Obidva tieto vzorce si treba veľmi dobre pamätať a je lepšie ich zvoliť. Poďme si ich znova zapísať

Pytagorova veta:

V pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov nôh :.

Známky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

• na dvoch nohách:
• na nohe a prepone: alebo
• pozdĺž nohy a susedného ostrého uhla: alebo
• pozdĺž nohy a protiľahlého ostrého uhla: alebo
• preponou a ostrým uhlom: alebo.

Známky podobnosti pravouhlých trojuholníkov:

• jeden ostrý roh: alebo
• z proporcionality oboch častí:
• z proporcionality nohy a prepony: alebo.

Sínus, kosínus, tangens, kotangens v pravom trojuholníku

• Sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer opačného ramena k prepone:
• Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer susednej nohy s preponou:
• Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer opačného ramena k susednému:
• Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer susednej nohy s opačnou :.

Výška pravouhlého trojuholníka: alebo.

V pravouhlom trojuholníku je stredná hodnota vyvodená z vrcholu pravého uhla polovica prepony :.

Plocha pravouhlého trojuholníka:

• cez nohy:

Inštrukcie

Podobné videá

Poznámka

Pri výpočte strán pravouhlého trojuholníka môžu hrať vedomosti o jeho vlastnostiach:
1) Ak noha pravého uhla leží oproti uhlu 30 stupňov, potom sa rovná polovici prepony;
2) Prepona je vždy dlhšia ako ktorákoľvek z nôh;
3) Ak je kruh opísaný okolo pravouhlého trojuholníka, potom by jeho stred mal ležať v strede prepony.

Prepona je strana v pravouhlom trojuholníku, ktorá je oproti 90-stupňovému uhlu. Na výpočet jeho dĺžky stačí poznať dĺžku jednej z nôh a veľkosť jedného z ostrých uhlov trojuholníka.

Inštrukcie

Dajte nám vedieť jednu z nôh a roh susediaci s nimi. Pre jednoznačnosť nech je leg | AB | a uhol α. Potom môžeme použiť vzorec pre trigonometrický pomer kosínus - kosínus susednej nohy k. Tých. v našej notácii cos α \u003d | AB | / | AC |. Z toho získame dĺžku prepony | AC | \u003d | AB | / cos α.
Ak poznáme nohu | BC | a uhol α, potom pomocou vzorca vypočítame sínus uhla - sínus uhla sa rovná pomeru opačného ramena k prepone: sin α \u003d | BC | / | AC |. Zistíme, že dĺžka prepony sa zistí ako | AC | \u003d | BC | / cos α.

Pozrime sa na príklad kvôli jasnosti. Nech je dĺžka nohy | AB | \u003d 15. A uhol α \u003d 60 °. Získame | AC | \u003d 15 / cos 60 ° \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.
Zvážte, ako môžete skontrolovať svoj výsledok pomocou Pytagorovej vety. Aby sme to dosiahli, musíme vypočítať dĺžku druhej vetvy | BC |. Použitie vzorca pre dotyčnicu uhla tan α \u003d | BC | / | AC |, dostaneme | BC | \u003d | AB | * tg α \u003d 15 * tg 60 ° \u003d 15 * √3. Potom použijeme Pytagorovu vetu, dostaneme 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 \u003d 30 ^ 2 \u003d\u003e 225 + 675 \u003d 900. Kontrola je dokončená.

Užitočná rada

Po vypočítaní prepony skontrolujte, či výsledná hodnota vyhovuje Pytagorovej vete.

Zdroje:

• Tabuľka prvočísiel od 1 do 10 000

Nohy nazvať dve krátke strany pravouhlého trojuholníka, ktoré tvoria tento vrchol, ktorého veľkosť je 90 °. Tretia strana v takom trojuholníku sa nazýva prepona. Všetky tieto strany a uhly trojuholníka sú navzájom spojené určitými pomermi, ktoré umožňujú vypočítať dĺžku nohy, ak je známych niekoľko ďalších parametrov.

Inštrukcie

Ak poznáte dĺžku ďalších dvoch strán (B a C) pravouhlého trojuholníka, použite Pythagorovu vetu pre nohu (A). Táto veta hovorí, že súčet dĺžok štvorcových dĺžok nôh sa rovná štvorcu prepočtu. Z toho vyplýva, že dĺžka každého z končatín sa rovná druhej odmocnine dĺžok prepony a druhého ramena: A \u003d √ (C²-B²).

Definíciu priamej trigonometrickej funkcie „sínus“ použite pre ostrý uhol, ak poznáte hodnotu uhla (α) ležiaceho oproti vypočítanej nohe a dĺžku prepony (C). Toto uvádza, že sínus tohto známeho je pomer dĺžky požadovanej nohy k dĺžke prepony. To znamená, že dĺžka požadovaného ramena sa rovná súčinu dĺžky prepony a sínusu známeho uhla: A \u003d C ∗ sin (α). Pre rovnaké známe hodnoty môžete použiť kosekans a vypočítať požadovanú dĺžku vydelením dĺžky prepony kosekantom so známym uhlom A \u003d C / cosec (α).

Definíciu priamej trigonometrickej kosínusovej funkcie použite, ak je okrem dĺžky prepony (C) známa aj hodnota ostrého uhla (β) susediaca s požadovaným. Kosínus tohto uhla ako pomer dĺžok požadovanej nohy a prepony, a z toho môžeme usúdiť, že dĺžka nohy sa rovná súčinu dĺžky prepony kosínusom známeho uhla: A \u003d C ∗ cos (β). Môžete použiť definíciu sekansovej funkcie a vypočítať požadovanú hodnotu vydelením dĺžky prepony secantom známeho uhla A \u003d C / s (β).

Odvodte požadovaný vzorec z podobnej definície derivácie trigonometrickej funkcie dotyčnice, ak je okrem ostrého uhla (α), ktorý leží oproti požadovanej vetve (A), známa aj dĺžka druhej vetvy (B). Tangenta uhla oproti požadovanej nohe je pomer dĺžky tejto nohy k dĺžke druhej nohy. To znamená, že požadovaná hodnota sa bude rovnať súčinu dĺžky známeho ramena a dotyčnice známeho uhla: A \u003d B ∗ tg (α). Z rovnakých známych veličín možno odvodiť ďalší vzorec, ak použijeme definíciu kotangensovej funkcie. V takom prípade bude na výpočet dĺžky nohy potrebné zistiť pomer dĺžky známej nohy k kotangensu známeho uhla: A \u003d B / ctg (α).

Podobné videá

Slovo „katéter“ sa do ruštiny dostalo z gréčtiny. V presnom preklade to znamená olovnicu, to znamená kolmo na povrch Zeme. V matematike sú nohy stranami, ktoré tvoria pravý uhol pravouhlého trojuholníka. Strana oproti tomuto rohu sa nazýva prepona. Termín „noha“ sa používa aj v architektúre a zváracej technike.

Sekans daného uhla sa získa vydelením prepony susednou nohou, to znamená secCAB \u003d c / b. Ukázalo sa, že inverzná hodnota kosínusu, to znamená, že ju možno vyjadriť vzorcom secCAB \u003d 1 / cosSAB.
Kosekans sa rovná kvocientu vydelenia prepony opačným ramenom, čo je prevrátená hodnota sínusu. Môže sa vypočítať pomocou vzorca cosecCAB \u003d 1 / sinCAB

Obe nohy sú spojené navzájom a kotangensom. V tomto prípade bude dotyčnica pomerom strany a k strane b, to znamená protiľahlej nohy k susednej. Tento pomer je možné vyjadriť vzorcom tgCAB \u003d a / b. Podľa toho bude inverzný vzťah kotangens: ctgCAB \u003d b / a.

Pomer medzi rozmermi prepony a oboma nohami určil starogrécky Pytagoras. Vetu, jeho meno, ľudia stále používajú. Hovorí sa, že štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh, to znamená c2 \u003d a2 + b2. V súlade s tým sa každé rameno bude rovnať druhej odmocnine rozdielu medzi štvorcami prepočtu a druhým ramenom. Tento vzorec možno zapísať ako b \u003d √ (c2-a2).

Dĺžka nohy sa dá vyjadriť aj prostredníctvom vzťahov, ktoré poznáte. Podľa viet sínusov a kosínusov sa noha rovná súčinu hypotenzy a jednej z týchto funkcií. Môžete to vyjadriť a alebo kotangens. Nohu a nájdete napríklad podľa vzorca a \u003d b * tan CAB. Rovnakým spôsobom, v závislosti od zadanej dotyčnice alebo, sa určí druhé rameno.

Pojem „noha“ sa používa aj v architektúre. Aplikuje sa na iónové hlavné mesto a padá stredom chrbta. To znamená, že v tomto prípade je tento výraz kolmý na danú priamku.

V technológii zvárania existuje „noha kútového zvaru“. Rovnako ako v iných prípadoch ide o najkratšiu vzdialenosť. Tu hovoríme o medzere medzi jednou z častí, ktoré sa majú zvárať, k hranici švu umiestnenej na povrchu druhej časti.

Podobné videá

Zdroje:

• čo je noha a prepona v roku 2019