Գտեք հեռավորությունը կետից դեպի ուղիղ բանաձև: Ուղղակի գծի ամենապարզ խնդիրները ինքնաթիռում: Ուղիղ գծերի փոխադարձ դասավորություն: Անկյուն ուղիղ գծերի միջև

Այս հոդվածում խոսվում է թեմայի շուրջ « հեռավորությունը կետից տող », Դիտարկվում է կետից ուղիղ գծի հեռավորության որոշումը կոորդինատների մեթոդով պատկերազարդ օրինակներով: Վերջում տեսության յուրաքանչյուր բլոկ ցույց է տվել նմանատիպ խնդիրների լուծման օրինակներ:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Կետից տող հեռավորությունը հայտնաբերվում է կետից կետ հեռավորության սահմանման միջոցով: Եկեք ավելի մանրամասն քննարկենք:

Թող լինեն a տող և M 1 կետ, որոնք չեն պատկանում տվյալ տողին: Դրա միջով գծեք b գիծը, որը ուղղահայաց է a տողին: Տողերի հատման կետը ընդունվում է որպես H 1: Ստացվում է, որ M 1 H 1 ուղղահայացն է, որը M 1 կետից իջեցվեց a տող:

Սահմանում 1

Հեռավորությունը М 1 կետից մինչև a տող կոչվում է հեռավորությունը M 1 և H 1 կետերի միջև:

Ուղղահայաց երկարության գծապատկերով կան սահմանման գրառումներ:

Սահմանում 2

Հեռավորությունը կետից տող տրված կետից տրված ուղիղ գծի գծի ուղղահայաց երկարությունն է:

Սահմանումները համարժեք են: Հաշվի առեք ստորև ներկայացված նկարը:

Հայտնի է, որ հեռավորությունը կետից դեպի ուղիղ գիծ բոլորից փոքրն է: Եկեք նայենք մի օրինակի:

Եթե \u200b\u200bվերցնենք a ուղիղ գծի վրա ընկած Q կետ, որը չի համընկնում M 1 կետի հետ, ապա կստանանք, որ M 1 Q հատվածը կոչվում է թեքված, M 1-ից ընկած a տող: Անհրաժեշտ է նշել, որ М 1 կետից ուղղահայացը պակաս է կետից դեպի ուղիղ գծի գծված ցանկացած այլ թեք գծից:

Դա ապացուցելու համար հաշվի առեք M 1 Q 1 H 1 եռանկյունին, որտեղ M 1 Q 1 հիպոթենուսն է: Հայտնի է, որ դրա երկարությունը միշտ ավելի մեծ է, քան ցանկացած ոտքի երկարությունը: Մենք ունենք այդ M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Մի կետից դեպի ուղիղ գիծ գտնելու նախնական տվյալները թույլ են տալիս օգտագործել լուծման մի քանի մեթոդներ. Պյութագորասի թեորեմի միջոցով `որոշելով սինուսը, կոսինուսը, անկյան անկյունը և այլն: Այս տեսակի առաջադրանքների մեծ մասը դպրոցում լուծվում է երկրաչափության դասերին:

Երբ կետից ուղիղ գիծ հեռավորությունը գտնելիս հնարավոր է մուտք գործել ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգ, ապա օգտագործվում է կոորդինատային մեթոդը: Այս պարբերությունում մենք կքննարկենք տվյալ կետից ցանկալի հեռավորությունը գտնելու հիմնական երկու մեթոդները:

Առաջին մեթոդը ներառում է հեռավորությունը գտնել որպես M 1-ից ուղղահայաց գծված a ուղիղ գիծ: Երկրորդ մեթոդով `a ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը օգտագործվում է ցանկալի հեռավորությունը գտնելու համար:

Եթե \u200b\u200bինքնաթիռում կա ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում տեղակայված M 1 (x 1, y 1) կոորդինատներով կետ, a ուղիղ գիծ, \u200b\u200bև անհրաժեշտ է գտնել M 1 H 1 հեռավորությունը, կարող եք հաշվարկել երկու եղանակով: Եկեք քննարկենք դրանք:

Առաջին ճանապարհը

Եթե \u200b\u200bկան H 1 կետի կոորդինատներ հավասար x 2, y 2, ապա կետից ուղիղ գիծը հեռավորությունը հաշվարկվում է կոորդինատներով M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 բանաձևից:

Հիմա անցնենք H 1 կետի կոորդինատները գտնելուն:

Հայտնի է, որ O x y- ում ուղիղ գիծը համապատասխանում է հարթության վրա ուղիղ գծի հավասարմանը: Եկեք ուղու գիծը ճշգրտելու եղանակով գրենք ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը կամ թեքությամբ հավասարումը: Մենք կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարություն, որն անցնում է տրված ուղիղ A- ին ուղղահայաց M 1 կետով: Ուղիղ գիծը նշվելու է բեկով b. H 1 - ը a և b տողերի հատման կետն է, ինչը նշանակում է, որ կոորդինատները որոշելու համար պետք է օգտագործել հոդվածը, որը վերաբերում է երկու գծերի հատման կետերի կոորդինատներին:

Տեսանելի է, որ տրված M 1 կետից (x 1, y 1) a ուղիղ գծից հեռավորությունը գտնելու ալգորիթմը կատարվում է ըստ կետերի.

Սահմանում 3

• գտնելով a ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, ունենալով A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ձև, կամ թեքությամբ հավասարություն ՝ y \u003d k 1 x + b 1 ձևով:
• ստանալով b տողի ընդհանուր հավասարություն, ունենալով A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 ձև կամ հավասարություն y \u003d k 2 x + b 2 թեքությամբ, եթե b տողը հատում է M 1 կետը և ուղղահայաց է տրված a գծին:
• a 1 և b հատման կետը հանդիսացող H 1 կետի x 2, y 2 կոորդինատների որոշում, դրա համար լուծված է A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 \u003d 0 գծային հավասարումների համակարգը կամ y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• հաշվարկելով պահանջվող հեռավորությունը կետից դեպի ուղիղ գիծ ՝ օգտագործելով բանաձև M 1 H 1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2:

Երկրորդ ճանապարհ

Թեորեմը կարող է օգնել պատասխանել հարթության վրա տվյալ կետից տվյալ ուղիղ գծի հեռավորությունը գտնելու հարցին:

Թեորեմ

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգն ունի O x y ունի M 1 կետ (x 1, y 1), որից ուղիղ գիծը a գծվում է դեպի հարթություն ՝ տրված ինքնաթիռի նորմալ հավասարման միջոցով, որն ունի ձև x cos x x cos y - p \u003d 0, հավասար է ուղիղ գծի նորմալ հավասարության ձախ կողմում ստացված արժեքի մոդուլին `x \u003d x 1, y \u003d y 1 հաշվարկված, նշանակում է, որ M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p.

Ապացույցներ

A տողը համապատասխանում է ինքնաթիռի նորմալ հավասարմանը, որն ունի ձևը cos α x + cos β y - p \u003d 0, ապա n → \u003d (cos α, cos β) համարվում է a գծի նորմալ վեկտոր `ծագումից դեպի a գծի հեռավորության վրա p միավորներով ... Անհրաժեշտ է նկարում ցուցադրել բոլոր տվյալները, ավելացնել կետ 1 կոորդինատներով M 1 (x 1, y 1), որտեղ M 1 կետի շառավղի վեկտորը - O M 1 → \u003d (x 1, y 1): Անհրաժեշտ է կետից ուղիղ գիծ գծել, որը մենք նշում ենք M 1 H 1-ով: Անհրաժեշտ է ցույց տալ M 1 և H 2 կետերի M 2 և H 2 կանխատեսումները O կետով անցնող ուղիղ գծի վրա n n \u003d (cos α, cos β) ձևի ուղղության վեկտորով, և վեկտորի թվային պրոյեկցիան նշվում է որպես OM 1 → \u003d (x 1, y 1) դեպի n → \u003d ուղղություն (cos α, cos β) որպես npn → OM 1:

Տատանումները կախված են բուն M 1 կետի գտնվելու վայրից: Քննենք ստորև նկարում:

Մենք ամրագրում ենք արդյունքները ՝ օգտագործելով M 1 H 1 \u003d n p n → O M → 1 - p բանաձևը: Դրանից հետո մենք հավասարությունը կրճատում ենք այս ձևի M 1 H 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p, որպեսզի ստացվի n p n → O M → 1 \u003d cos α x 1 + cos β y 1:

Արդյունքում վեկտորների մասշտաբային արտադրանքը տալիս է n form, OM → 1 \u003d n → npn → OM 1 → \u003d 1 npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 form ձևի վերափոխված բանաձև, որը n n, OM ձևի կոորդինացված ձևի արտադրանք է: 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1: Այսպիսով, մենք ստանում ենք, որ n p n → O M 1 → \u003d cos α x 1 + cos β y 1: Դրանից բխում է, որ M 1 H 1 \u003d n p n → O M 1 → - p \u003d cos α x 1 + cos β y 1 - p: Թեորեմն ապացուցված է:

Մենք ստանում ենք, որ ինքնաթիռի M 1 կետից (x 1, y 1) հեռավորությունը հարթության վրա գտնելու համար հարկավոր է կատարել մի քանի գործողություններ.

Սահմանում 4

• ուղիղ գծի նորմալ հավասարման ստացում a cos α x + cos β y - p \u003d 0, պայմանով, որ այն առաջադրանքի մեջ չէ.
• հաշվարկելով cos α x 1 + cos β y 1 - p արտահայտությունը, որտեղ արդյունքում ստացված արժեքը վերցնում է M 1 H 1:

Եկեք այս մեթոդները կիրառենք կետից դեպի հարթություն հեռավորությունը գտնելու հետ կապված խնդիրներ լուծելու համար:

Օրինակ 1

Գտեք M 1 (- 1, 2) կոորդինատներով կետից հեռավորությունը 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 տողերի:

Որոշում

Եկեք կիրառենք լուծման առաջին մեթոդը:

Դա անելու համար անհրաժեշտ է գտնել b ուղիղ գծի ընդհանուր հավասարումը, որն անցնում է տրված M 1 կետով (- 1, 2), ուղղահայաց 4 x - 3 y + 35 \u003d 0: Պայմանից երեւում է, որ B ուղիղը ուղղահայաց է a ուղիղին, ապա դրա ուղղության վեկտորը ունի (4, - 3) հավասար կոորդինատներ Այսպիսով, հարթության վրա b ուղիղ գծի կանոնական հավասարումը գրելու հնարավորություն ունենք, քանի որ կան b կետին պատկանող M 1 կետի կոորդինատներ: Որոշեք b ուղիղ ուղղության վեկտորի կոորդինատները. Ստանում ենք x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 x + 1 4 \u003d y - 2 - 3: Արդյունքում ստացվող կանոնական հավասարումը պետք է վերափոխվի ընդհանուրի: Հետո մենք ստանում ենք դա

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 (x + 1) \u003d 4 (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

Եկեք գտնենք ուղիղ գծերի հատման կետերի կոորդինատները, որոնք մենք կվերցնենք որպես Հ 1 նշանակում: Փոխակերպումներն այսպիսի տեսք ունեն.

4 x - 3 y + 35 \u003d 0 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

Վերոգրյալից մենք ունենք, որ H 1 կետի կոորդինատներն են (- 5; 5):

Անհրաժեշտ է հաշվարկել հեռավորությունը M 1 կետից a տող: Մենք ունենք, որ M 1 (- 1, 2) և H 1 (- 5, 5) կետերի կոորդինատները, ապա մենք փոխարինում ենք հեռավորությունը գտնելու բանաձևին և ստանում ենք այն

M 1 H 1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Երկրորդ լուծում:

Այլ կերպ լուծելու համար անհրաժեշտ է ստանալ գծի նորմալ հավասարումը: Գնահատեք նորմալացման գործոնը և բազմապատկեք 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 հավասարության երկու կողմերը: Դրանից ստացվում է, որ նորմալացնող գործակիցը - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5, և նորմալ հավասարումը կլինի ձևի - 1 5 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0:

Հաշվարկի ալգորիթմի համաձայն, անհրաժեշտ է ձեռք բերել ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը և այն հաշվարկել x \u003d - 1, y \u003d 2 արժեքներով: Հետո մենք ստանում ենք դա

4 5 - 1 + 3 5 2 - 7 \u003d - 5

Հետևաբար, մենք ստանում ենք, որ հեռավորությունը M 1 կետից (- 1, 2) տրված 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 տրված ուղիղից ունի 5 \u003d 5 արժեք:

Պատասխան. 5 .

Տեսանելի է, որ այս մեթոդում կարևոր է օգտագործել ուղիղ գծի նորմալ հավասարումը, քանի որ այս մեթոդը ամենակարճն է: Բայց առաջին մեթոդը հարմար է նրանով, որ այն հետևողական է և տրամաբանական, չնայած այն ունի ավելի շատ հաշվարկային միավորներ:

Օրինակ 2

Ինքնաթիռում կա ուղղանկյուն կոորդինատների համակարգ O x y M 1 կետով (8, 0) և y \u003d 1 2 x + 1 կետով: Գտեք հեռավորությունը տրված կետից դեպի ուղիղ գիծ:

Որոշում

Լուծումն առաջին հերթին ենթադրում է տրված հավասարումը թեքության հետ բերել ընդհանուր հավասարմանը: Պարզության համար դուք կարող եք դա անել այլ կերպ:

Եթե \u200b\u200bուղղահայաց գծերի լանջերի արտադրյալն ունի - 1 արժեք, ապա տրված y \u003d 1 2 x + 1-ին ուղղահայաց գծի թեքությունը 2 է: Այժմ մենք ստանում ենք M 1 (8, 0) կոորդինատներով կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը: Մենք ունենք այդ y - 0 \u003d - 2 (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16:

Մենք դիմում ենք H 1 կետի կոորդինատները գտնելուն, այսինքն ՝ y \u003d - 2 x + 16 և y \u003d 1 2 x + 1 հատման կետերին: Մենք կազմում ենք հավասարումների համակարգ և ստանում.

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Դրանից բխում է, որ հեռավորությունը M 1 (8, 0) կոորդինատներով կետից մինչև y \u003d 1 2 x + 1 ուղիղը հավասար է մեկնարկի կետից և M 1 (8, 0) և H 1 (6, 4) կոորդինատներով վերջնակետից հեռավորությանը: ... Մենք հաշվարկում ենք և ստանում, որ M 1 H 1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5:

Երկրորդ ճանապարհով լուծումը գործակից ունեցող հավասարումից նորմալ ձևի անցնելն է: Այսինքն, մենք ստանում ենք y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, ապա նորմալացնող գործոնի արժեքը կլինի - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5: Դրանից բխում է, որ գծի նորմալ հավասարումը ստանում է ձև - 2 5 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0: Եկեք կատարենք հաշվարկ M 1 8, 0 կետից մինչև ձևի ուղիղ գիծ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0: Մենք ստանում ենք.

M 1 H 1 \u003d - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 \u003d - 10 5 \u003d 2 5

Պատասխան. 2 5 .

Օրինակ 3

Անհրաժեշտ է հաշվարկել M 1 (- 2, 4) կոորդինատներով կետից հեռավորությունը 2 x - 3 \u003d 0 և y + 1 \u003d 0 ուղիղ գծերի:

Որոշում

Մենք ստանում ենք 2 x - 3 \u003d 0 ուղիղ գծի նորմալ ձևի հավասարումը.

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 \u003d 1 2 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

Դրանից հետո մենք անցնում ենք հաշվարկման հեռավորությունը M 1 - 2, 4 կետից դեպի x - 3 2 \u003d 0 ուղիղ գիծ: Մենք ստանում ենք.

M 1 H 1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Y + 1 \u003d 0 ուղիղ գծի հավասարումը ունի -1 նորմալացնող գործոն: Սա նշանակում է, որ հավասարումը կստանա - y - 1 \u003d 0 ձև: Մենք անցնում ենք հաշվարկման հեռավորությունը M 1 կետից (- 2, 4) դեպի ուղիղ գիծ - y - 1 \u003d 0: Մենք ստանում ենք, որ այն հավասար է - 4 - 1 \u003d 5:

Պատասխան. 3 1 2 և 5:

Մանրամասն դիտարկենք ինքնաթիռի տվյալ կետից O x և O y կոորդինատային առանցքների հեռավորության հայտնաբերումը:

Ուղղանկյուն կոորդինատային համակարգում O y առանցքը ունի ուղիղ գծի հավասարություն, որը թերի է, ունի x \u003d 0 ձև և O x - y \u003d 0: Հավասարումները նորմալ են կոորդինատային առանցքների համար, ապա պետք է գտնել հեռավորությունը M 1 x 1, y 1 կոորդինատներով կետից մինչև ուղիղ գծեր: Դա արվում է ՝ հիմնվելով M 1 H 1 \u003d x 1 և M 1 H 1 \u003d y 1 բանաձևերի վրա: Քննենք ստորև նկարում:

Օրինակ 4

Գտեք հեռավորությունը M 1 (6, - 7) կետից դեպի O x y հարթությունում տեղակայված կոորդինատային գծերը:

Որոշում

Քանի որ y \u003d 0 հավասարումը վերաբերում է O x ուղիղ գծին, բանաձևը կարող եք գտնել տրված կոորդինատներով M 1-ից հեռավորությունը այս ուղիղ գծին: Մենք ստանում ենք այդ 6 \u003d 6-ը:

Քանի որ x \u003d 0 հավասարումը վերաբերում է O y ուղիղին, ապա բանաձևի միջոցով կարելի է գտնել հեռավորությունը M 1-ից մինչև այս ուղիղ: Հետո մենք ստանում ենք դա ՝ 7 \u003d 7:

Պատասխան.հեռավորությունը M 1-ից O x 6 է, իսկ M 1-ից O y 7-ը:

Երբ եռաչափ տարածության մեջ ունենք կետ 1 M կոորդինատներով (x 1, y 1, z 1), անհրաժեշտ է գտնել A կետից a տողը հեռավորությունը:

Հաշվի առեք երկու մեթոդ, որոնք թույլ են տալիս հաշվել տարածության մեջ գտնվող կետից դեպի ուղիղ գիծ հեռավորությունը: Առաջին դեպքում դիտարկվում է հեռավորությունը M 1 կետից դեպի ուղիղ գիծ, \u200b\u200bորտեղ ուղիղ գծի կետը կոչվում է H 1 և հանդիսանում է M 1 կետից դեպի a ուղիղ գծի գծված ուղղահայաց հիմքը: Երկրորդ դեպքը հուշում է, որ այս հարթության կետերը պետք է որոնել որպես զուգահեռագծի բարձրություն:

Առաջին ճանապարհը

Սահմանումից, մենք ունենք, որ a ուղիղ գծի վրա գտնվող M 1 կետից հեռավորությունը M 1 H 1 ուղղահայաց երկարությունն է, ապա մենք դա ստանում ենք H 1 կետի գտած կոորդինատներով, ապա գտնում ենք M 1 (x 1, y 1, z 1) հեռավորությունը ) և H 1 (x 1, y 1, z 1), հիմնվելով M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2 բանաձևի վրա:

Ստացվում է, որ ամբողջ լուծումը գնում է Մ 1-ից a տողին գծված ուղղահայաց հիմքի կոորդինատները գտնելու համար: Դա արվում է հետևյալ կերպ. H 1 - այն կետն է, որտեղ a ուղիղ գիծը հատվում է տվյալ կետով անցնող հարթության հետ:

Հետևաբար, տարածության մեջ M 1 կետից (x 1, y 1, z 1) կետից հեռավորությունը որոշելու ալգորիթմը ենթադրում է մի քանի կետ.

Սահմանում 5

• χ հարթության հավասարության կազմումը ՝ որպես տվյալ կետով անցնող հարթության հավասարություն, որը ուղղահայաց է ուղիղ գծին.
• կոորդինատների որոշում (x 2, y 2, z 2) պատկանող H 1 կետին, որը հանդիսանում է a ուղիղ գծի և χ հարթության հատման կետը;
• կետից ուղիղ գծի հեռավորությունը հաշվարկելու համար օգտագործելով բանաձև `M 1 H 1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2:

Երկրորդ ճանապարհ

Պայմանից մենք ունենք a ուղիղ գիծ, \u200b\u200bապա կարող ենք որոշել ուղղության վեկտորը a → \u003d a x, a y, a z x 3, y 3, z 3 կոորդինատներով և a ուղիղ գծին պատկանող որոշակի M կետ: Եթե \u200b\u200bկան M 1 (x 1, y 1) և M 3 x 3, y 3, z 3 կետերի կոորդինատներ, կարող եք հաշվարկել M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Անհրաժեշտ է հետաձգել a → \u003d a x, a y, a z և M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 վեկտորները M 3 կետից, միացնել և ստանալ զուգահեռ գծապատկեր: M 1 H 1 զուգահեռագծի բարձրությունն է:

Քննենք ստորև նկարում:

Մենք ունենք, որ M 1 H 1 բարձրությունը ցանկալի հեռավորությունն է, ապա անհրաժեշտ է գտնել այն բանաձևով: Այսինքն ՝ մենք փնտրում ենք M 1 H 1:

Նշենք S տառի զուգահեռագծի տարածքը, որը հայտնաբերվում է բանաձևով, օգտագործելով a a \u003d (a x, a y, a z) և M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3 վեկտորը: y 1 - y 3, z 1 - z 3: Տարածքի բանաձեւը S \u003d a → × M 3 M 1 է: Բացի այդ, գործչի մակերեսը հավասար է իր կողմերի երկարությունների արտադրյալին բարձրության վրա, մենք ստանում ենք, որ S \u003d a → M 1 H 1 → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, որը վեկտորի երկարությունն է a → \u003d (ax, ay, az), որը հավասար է զուգահեռագծի կողմին: Հետևաբար, M 1 H 1 կետն է գծից հեռավորությունը: Այն հայտնաբերվում է M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a formula բանաձևով:

Մ 1 (x 1, y 1, z 1) կոորդինատներով կետից հեռավորությունը տարածության մեջ գտնելու համար անհրաժեշտ է կատարել ալգորիթմի մի քանի քայլ.

Սահմանում 6

• a - a → \u003d (a x, a y, a z) ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորի որոշում;
• ուղղության վեկտորի երկարության հաշվարկը a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• x ուղիղ գծի վրա տեղակայված M 3 կետին պատկանող x 3, y 3, z 3 կոորդինատների ստացումը.
• վեկտորի կոորդինատների հաշվարկը M 3 M 1;
• a → (ax, ay, az) և M 3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 վեկտորների վեկտորային արտադրանքի գտնելը որպես → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 `a the the M 3 M 1 formula բանաձևով երկարություն ստանալու համար;
• հաշվարկելով կետից հեռավորությունը M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a the հեռավորությունից:

Տվյալ կետից տարածության մեջ տրված ուղիղ գծի հեռավորությունը գտնելու վերաբերյալ խնդիրների լուծում

Օրինակ 5

Գտեք հեռավորությունը M 1 2, - 4, - 1 կոորդինատներով կետից մինչև x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 տողեր:

Որոշում

Առաջին մեթոդը սկսվում է M 1-ով անցնող և տվյալ կետին ուղղահայաց χ հարթության հավասարումը գրելով: Մենք ստանում ենք ձևի արտահայտություն.

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Անհրաժեշտ է գտնել H 1 կետի կոորդինատները, որը խ հարթության հետ հատման կետն է պայմանով սահմանված գծի: Դուք պետք է կանոնականից անցնեք հատվողին: Դրանից հետո մենք ստանում ենք ձևի հավասարումների համակարգ.

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 (x + 1) \u003d 2 y 5 (x + 1) \u003d 2 (z + 5) 5 y \u003d - 1 (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0

Անհրաժեշտ է հաշվարկել համակարգը x + 2 y + 1 \u003d 0 5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3 ըստ Կրամերի մեթոդի, ապա մենք ստանում ենք, որ.

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

Ուստի մենք ունենք այդ H 1 (1, - 1, 0):

M 1 H 1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Երկրորդ ճանապարհն է սկսել `կանոնական հավասարման մեջ կոորդինատներ փնտրելով: Դա անելու համար հարկավոր է ուշադրություն դարձնել կոտորակի հայտարարներին: Ապա a → \u003d 2, - 1, 5 - ը x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 գծի ուղղության վեկտորն է: Անհրաժեշտ է երկարությունը հաշվարկել a formula \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30 բանաձևով:

Հասկանալի է, որ x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 տողը հատում է M 3 կետը (- 1, 0, - 5), ուստի մենք ունենք, որ վեկտորը M 3 ծագմամբ (- 1, 0, - 5) և դրա վերջը M 1 2, - 4, - 1 կետում M 3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4 կետում: Գտեք վեկտորային արտադրանքը a → \u003d (2, - 1, 5) և M 3 M 1 → \u003d (3, - 4, 4):

Ստանում ենք a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k form 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 արտահայտություն J → \u003d 16 i → + 7 j → - 5 k

մենք ստանում ենք, որ վեկտորային արտադրանքի երկարությունը → × M 3 M 1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330 է:

Մենք ունենք ուղիղ գծի համար կետից հեռավորությունը հաշվարկելու բանաձևի օգտագործման բոլոր տվյալները, ուստի կիրառում ենք դրանք և ստանում.

M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

Պատասխան. 11 .

Եթե \u200b\u200bտեքստի մեջ սխալ եք նկատել, ընտրեք այն և սեղմեք Ctrl + Enter

Կետից ուղիղ գծի հեռավորությունը կետից ուղղագիծ ընկած ուղղահայաց երկարությունն է: Նկարագրական երկրաչափության մեջ այն գրաֆիկորեն որոշվում է ՝ օգտագործելով ստորև նշված ալգորիթմը:

Ալգորիթմ

1. Ուղիղ գիծը տեղափոխվում է մի դիրքի, որում այն \u200b\u200bզուգահեռ կլինի ցանկացած պրոյեկցիոն հարթությանը: Դրա համար օգտագործվում են օրթոգոնալ պրոյեկցիաների վերափոխման մեթոդներ:
2. Մի կետից ուղղահայացը գծվում է դեպի ուղիղ գիծ: Այս կոնստրուկցիան հիմնված է աջ անկյան նախագծման թեորեմի վրա:
3. Ուղղահայացի երկարությունը որոշվում է դրա կանխատեսումները փոխակերպելու կամ ուղղանկյուն եռանկյունի մեթոդի միջոցով:

Հետևյալ նկարը ցույց է տալիս CD հատվածի կողմից սահմանված M կետի և b տողի բարդ նկար: Պահանջվում է գտնել նրանց միջեւ հեռավորությունը:

Ըստ մեր ալգորիթմի ՝ առաջին բանը, որ պետք է անել, գծի տեղափոխումն է պրոյեկցիոն հարթությանը զուգահեռ դիրքի: Կարևոր է հասկանալ, որ վերափոխումներից հետո կետի և գծի միջև իրական հեռավորությունը չպետք է փոխվի: Այդ պատճառով այստեղ հարմար է օգտագործել ինքնաթիռների փոխարինման մեթոդը, որը չի ներառում տարածության մեջ շարժվող ֆիգուրներ:

Շինարարության առաջին փուլի արդյունքները ներկայացված են ստորև: Նկարը ցույց է տալիս, թե ինչպես է բ 4-ին զուգահեռ ներդրվում նաև P 4 լրացուցիչ ճակատային հարթություն: Նոր համակարգում (P 1, P 4) C "" 1, D "" 1, M "" 1 կետերը X առանցքից 1-ի նույն հեռավորության վրա են, ինչպես C "", D "", M "" առանցքից X.

Կատարելով ալգորիթմի երկրորդ մասը `M" "1-ից մենք իջեցնում ենք M" "1 N" "1 ուղղահայացը b ուղիղ գծի b" "1, քանի որ b և MN- ի միջև MND- ի աջ անկյունը մեծ չափիով պրոյեկտվում է P 4 հարթության վրա: Հաղորդակցման գծում մենք որոշում ենք N կետի դիրքը և իրականացնում MN հատվածի M «N» պրոյեկցիան:

Վերջնական փուլում դուք պետք է որոշեք MN հատվածի արժեքը `իր կանխատեսումներով M" N "և M" "1 N" "1: Դա անելու համար մենք կառուցում ենք M "" 1 N "" 1 N 0 ուղղանկյուն եռանկյուն, որի ոտքը N "" 1 N 0 հավասար է X "առանցքից M" և N "կետերի հեռավորության տարբերությանը (Y M 1 - Y N 1): M "" 1 N "" 1 N 0 եռանկյան M "" 1 N 0 հիպոթենուսի երկարությունը համապատասխանում է M- ից b ցանկալի հեռավորությանը:

Երկրորդ լուծում

• Ձայնասկավառակին զուգահեռ մենք ներկայացնում ենք նոր ճակատային պլան P 4: Այն հատում է П 1- ը X 1 առանցքի երկայնքով, իսկ X 1 ∥C «D»: Ինքնաթիռները փոխարինելու մեթոդին համապատասխան, մենք որոշում ենք C "" 1, D "" 1 և M "" 1 կետերի կանխատեսումները, ինչպես ցույց է տրված նկարում:
• C »« 1 D »« 1 ուղղահայացին մենք կառուցում ենք լրացուցիչ հորիզոնական հարթություն P 5, որի վրա ուղիղ գիծը պրոյեկտվում է C «2 \u003d b» 2 կետին:
• M կետի և b տողի միջև հեռավորությունը որոշվում է կարմիր գույնով նշված M «2 C» 2 հատվածի երկարությամբ:

Նմանատիպ առաջադրանքներ.

Տրված M կետից L տողը հեռավորությունը հաշվարկելու համար կարող են օգտագործվել տարբեր մեթոդներ: Օրինակ, եթե L տողի վրա վերցնենք կամավոր M 0 կետ, ապա կարող ենք սահմանել m 0 M վեկտորի օրթոգոնալ պրոյեկցիան ուղիղ գծի նորմալ վեկտորի ուղղությամբ: Նշանի ճշգրիտ այս պրոյեկցիան ցանկալի հեռավորությունն է:

Կետից գծի հեռավորությունը հաշվարկելու մեկ այլ եղանակ էլ հիմնված է օգտագործման վրա գծի նորմալ հավասարումը... Թող L գիծը տրվի նորմալ հավասարմամբ (4.23): Եթե \u200b\u200bM \u200b\u200b(x; y) կետը չի գտնվում L գծի վրա, ապա ուղղանկյուն պրոյեկցիան pr n OM շառավղով վեկտորներ ուղիղ գծի L- ի միավորի նորմալ վեկտորի ուղղության M կետը հավասար է OM և n վեկտորների սկալային արտադրանքին, այսինքն. x cosφ + y sinφ. Նույն պրոյեկցիան հավասար է կոորդինատների ծագումից դեպի ուղիղ գիծ և որոշակի արժեքի հեռավորության p- ին: (Նկար 4.10): Δ- ի բացարձակ արժեքի արժեքը հավասար է M կետից դեպի ուղիղ գիծ հեռավորությանը: Ավելին, δ\u003e 0, եթե M և O կետերը գտնվում են ուղիղ գծի հակառակ կողմերում, իսկ δ- ը M կետի շեղում է ուղիղ գծից:

L շեղումից ուղիղ գծից M (x; y) կետի համար շեղումը հաշվարկվում է որպես պր n պրոյեկցիայի O և պրոյեկտից դեպի ուղիղ գիծ p հեռավորության տարբերություն (տե՛ս նկ. 4.10), այսինքն. δ \u003d x cosφ + y sinφ - p.

Օգտագործելով այս բանաձևը, կարելի է նաև ստանալ p (M, L) հեռավորությունը M կետից (x; y) դեպի L ուղիղ գիծ, \u200b\u200bորը տրված է նորմալ հավասարմամբ ՝ p (M, L) \u003d | δ | \u003d | x cosφ + у sinφ - p |.

2 Երկու հարակից անկյունները ավելացնում են մինչև 180 °

Հաշվի առնելով վերոնշյալ վերափոխման կարգը գծի ընդհանուր հավասարումը իր նորմալ հավասարման մեջ մենք ստանում ենք M կետից (x; y) դեպի L ուղիղ գծի հեռավորության բանաձևը, որը տրված է դրա ընդհանուր հավասարմամբ.

Օրինակ 4.8. Եկեք գտնենք A գագաթից դուրս եկող AH բարձրության, միջին AM- ի և AD կիսաչափի ընդհանուր հավասարումները A գագաթից դուրս եկող A (-1; - 3), B (7; 3), C (1; 7) եռանկյան գագաթների կոորդինատները հայտնի են:

Նախևառաջ, պարզաբանենք օրինակի պայմանը. Նշված հավասարումները նշանակում են L AH, L AM և L AD գծերի հավասարումներ, որոնց վրա տեղակայված են համապատասխանաբար AH բարձրությունը, միջին AM- ն և AD կիսաչափը (նկ. 4.11):

L AM գծի հավասարումը գտնելու համար կօգտագործենք այն փաստը, որ միջինը եռանկյան հակառակ կողմը կիսում է կեսի: Գտնելով BC x 1 \u003d (7 + 1) / 2 \u003d 4, y 1 \u003d (3 + 7) / 2 \u003d 5 կողմի միջի կոորդինատները (x 1; y 1), մենք գրում ենք L AM- ի հավասարումը տեսքով երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումներ, (x + 1) / (4 + 1) \u003d (y + 3) / (5 + 3): Փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք ընդհանուր հավասարումը 8x - 5y - 7 \u003d 0./p\u003e մեդիայի համար

L AH բարձրության հավասարումը գտնելու համար օգտագործեք այն փաստը, որ բարձրությունը ուղղանկյուն է եռանկյան հակառակ կողմին: Հետևաբար, BC վեկտորը ուղղահայաց է AH բարձրության վրա և այն կարող է ընտրվել որպես L AH գծի նորմալ վեկտոր: Այս գծի հավասարումը ստացվում է (4.15) -ից ՝ փոխարինելով A կետի կոորդինատները և L AH գծի նորմալ վեկտորը.

(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) \u003d 0:

Փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք 3x - 2y - 3 \u003d 0 բարձրության ընդհանուր հավասարումը:

L AD կիսանկարի հավասարումը գտնելու համար մենք օգտագործում ենք այն փաստը, որ կիսաչափը AD պատկանում է N (x; y) այն կետերի բազմությանը, որոնք հավասար հեռավորության վրա են L AB և L AC գծերից: Այս բազմության հավասարումը ունի ձև

P (N, L AB) \u003d P (N, L AC), (4.28)

և այն սահմանում է երկու կետեր, որոնք անցնում են A կետով և կրճատում են L AB և L AC գծերի միջև անկյունները: Օգտագործելով երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը `մենք գտնում ենք L AB և L AC ուղիղ գծերի ընդհանուր հավասարումները.

L AB: (x + 1) / (7 + 1) \u003d (y + 3) / (3 + 3), L AC: (x + 1) / (1 + 1) \u003d (y + 3) / (7 + 3)

Փոխակերպումներից հետո մենք ստանում ենք L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Կետից ուղիղ գծի հեռավորությունը հաշվարկելու համար բանաձևը (4.28) օգտագործելով (4.27) բանաձևը գրված է տեսքով

Եկեք փոխակերպենք այն ՝ ընդլայնելով մոդուլները.

Արդյունքում, մենք ստանում ենք երկու ուղիղ գծերի ընդհանուր հավասարումներ

(3 ± 25 / √26) x + (-4 ± 5 \u200b\u200b/ √26) y + (-9 ± 10 / √26) \u003d 0

Նրանցից կիսանշանակ հավասարումը ընտրելու համար մենք հաշվի ենք առնում, որ եռանկյան B և C գագաթները գտնվում են ցանկալի ուղիղ գծի հակառակ կողմերում, ուստի նրանց կոորդինատների փոխարինումը L գծի ընդհանուր գծի ընդհանուր հավասարության ձախ կողմում պետք է տարբեր նշաններ ունեցող արժեքներ տա: Մենք ընտրում ենք վերին նշանին համապատասխան հավասարումը, այսինքն.

(3 - 25 / √26) x + (-4 + 5 / √26) y + (-9 - 10 / √26) \u003d 0

Այս հավասարման ձախ կողմում B կետի կոորդինատների փոխարինումը բացասական արժեք է տալիս, քանի որ

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

և նույն նշանը ստացվում է C կետի կոորդինատների համար, քանի որ

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Հետևաբար, B և C գագաթները տեղակայված են ուղիղ գծի նույն կողմում ՝ ընտրված հավասարման հետ, և հետևաբար կիսանկարի հավասարումը

(3 + 25 / √26) x + (-4 - 5 / √26) y + (-9 + 10 / √26) \u003d 0:

155 *: Որոշեք ընդհանուր դիրքում ուղիղ գծի AB հատվածի իրական չափը (նկ. 153, ա):

Որոշում: Ինչպես գիտեք, ցանկացած հարթության վրա ուղիղ գծի հատվածի կանխատեսումը հավասար է բուն հատվածին (հաշվի առնելով գծագրի մասշտաբը), եթե այն զուգահեռ է այս հարթությանը

(Նկ. 153, բ): Դրանից բխում է, որ գծանկարը փոխակերպելով `անհրաժեշտ է հասնել հրապարակի այս հատվածի զուգահեռացմանը: V կամ pl. H կամ լրացնել V, H համակարգը pl- ին ուղղահայաց մեկ այլ հարթությամբ: V կամ pl. H և միևնույն ժամանակ զուգահեռ այս հատվածին:

Նկարում 153-ում, ցույց է տալիս pl- ի ուղղահայաց S- ի լրացուցիչ ինքնաթիռի ներդրումը: H և զուգահեռ տրված AB հատվածին:

A s b s պրոյեկցիան հավասար է AB հատվածի բնական արժեքին:

Նկարում 153, d- ը ցույց է տալիս մեկ այլ տեխնիկա. AB հատվածը պտտվում է B կետով անցնող և pl- ին ուղղահայաց ուղիղ գծի շուրջ: Հ, զուգահեռ դիրքի

pl. V. Այս դեպքում B կետը մնում է իր տեղում, և A կետը նոր դիրք է գրավում A 1: Հորիզոնը նոր դիրքում է: կանխատեսում а 1 b || x առանցք: A «1 b» պրոյեկցիան հավասար է AB հատվածի բնական արժեքին:

156. Հաշվի առնելով բուրգը SABCD (նկ. 154): Որոշեք բուրգի AS- ի և CS- ի եզրերի իրական չափը `օգտագործելով պրոյեկցիոն ինքնաթիռների, իսկ BS- ի և DS- ի եզրերը` պտտման եղանակով, և վերցրեք քառակուսիին ուղղահայաց պտտման առանցքը: Հ.

157 *: Որոշեք A կետից հեռավորությունը BC գծին (նկ. 155, ա):

Որոշում: Կետից ուղիղ գծի հեռավորությունը չափվում է կետից դեպի ուղիղ գծի գծված ուղղահայաց հատվածով:

Եթե \u200b\u200bուղիղ գիծը ուղղահայաց է ցանկացած հարթության (նկ. 155.6), ապա կետից ուղիղ գիծը չափվում է կետի նախագծման և ուղիղ գծի կետ-պրոյեկցիայի միջև հեռավորության վրա, այս հարթության վրա: Եթե \u200b\u200bուղիղ գիծը ընդհանուր դիրք է զբաղեցնում V, H համակարգում, ապա պրոյեկտման հարթությունները փոխելով կետից ուղիղ գիծ որոշելու համար, երկու, երկու լրացուցիչ հարթություն պետք է ներմուծվեն V, H համակարգ:

Նախ (նկ. 155, գ) մտնում ենք pl. S զուգահեռ BC հատվածին (նոր S / H առանցքը զուգահեռ է bc պրոյեկցիայի հետ), և կառուցիր b s c և a կանխատեսումները: Դրանից հետո (նկ. 155, դ) մենք ներկայացնում ենք մեկ այլ pl. T ուղղահայաց մ.թ.ա. գծին (նոր T / S առանցք ուղղահայաց b s գ s- ներին): Մենք կառուցում ենք գծի և կետի կանխատեսումներ. T (b t) և t t– ով: A t և c t (b t) կետերի միջև հեռավորությունը հավասար է l կետին A կետից մինչև BC տող:

Նկարում 155e, նույն խնդիրն իրականացվում է `օգտագործելով իր տեսքով ռոտացիայի մեթոդը, որը կոչվում է զուգահեռ շարժման մեթոդ: Նախ, մ.թ.ա. ուղիղ գիծը և Ա կետը, պահպանելով իրենց փոխադարձ դիրքը անփոփոխ, պտտվում են pl- ին ուղղահայաց որոշ (գծապատկերում նշված չէ): H, այնպես որ BC տողը զուգահեռ է քառակուսիին: V. Սա հավասար է քառակուսիին զուգահեռ հարթություններում շարժվող A, B, C կետերին: Հ. Այս դեպքում ՝ հորիզոնը: Տվյալ համակարգի (BC + A) պրոյեկտումը չի փոխվում ոչ մեծությամբ, ոչ էլ կազմաձևով, փոխվում է միայն նրա դիրքը x առանցքի նկատմամբ: Մենք դիրքավորում ենք հորիզոնը: ուղիղ գծի պրոյեկցիան x առանցքին զուգահեռ (դիրքը b 1 c 1) և սահմանել a 1 պրոյեկցիան ՝ հետաձգելով c 1 1 1 \u003d c-1 և a 1 1 1 \u003d a-1, և a 1 1 1 ⊥ c 1 1 1: X առանցքին զուգահեռ գծելով b «b» 1, a «a» 1, c «c» 1 ուղիղ գծեր, դրանց վրա գտնում ենք ճակատը: պրոյեկցիա b «1, a« 1, c »1. Հաջորդը, տեղափոխեք B 1, C 1 և A 1 կետերը V քառակուսիին զուգահեռ հարթություններում (նաև առանց նրանց հարաբերական դիրքը փոխելու), որպեսզի ստացվի B 2 C 2 ⊥ քառակուսի H. Այս դեպքում ուղիղ գծի առջևի պրոյեկցիան կտեղակայվի x- առանցքի ուղղահայաց, b 2 c "2 \u003d b" 1 c "1, իսկ նախագիծը a" 2 "կառուցելու համար հարկավոր է վերցնել b" 2 2 "2 \u003d b" 1 2 "1 , նկարել 2 «ա» 2 ⊥ բ »2« 2 »-ով և հետաձգել« 2 2 »2 \u003d ա« 1 2 »1. Այժմ 1-ով 2-ով և 1 ա-ով 2 || x 1 պահելուց հետո մենք ստանում ենք b 2 պրոյեկցիան: 2-ով և 2-ով և պահանջվող հեռավորությամբ l կետից A կետով դեպի ուղիղ գիծ: Դուք կարող եք որոշել հեռավորությունը A- ից մինչև BC ՝ A կետով սահմանված ինքնաթիռը և BC ուղիղ գիծը շրջելով այս հարթության հորիզոնի շուրջ T || pl. H դիրքի վրա (նկ. 155 , ե)

A կետով և մ.թ.ա. ուղիղ գծով գծված գծում գծեք A-1 հորիզոնական գիծը (նկ. 155, g) և շրջեք B կետը դրա շուրջ: B կետը շարժվում է քառակուսի: R (գծապատկերում տրված է R h արահետով), A-1 ուղղահայաց; O կետում Բ կետի պտտման կենտրոնն է: Այժմ մենք որոշում ենք VO- ի ռոտացիայի շառավղի իրական արժեքը (նկ. 155, գ): Պահանջվող դիրքում, այսինքն, երբ pl. A կետով և BC գծով սահմանված T- ն կդառնա || pl. H, B կետը կստացվի R h- ով O կետից Ob 1 հեռավորության վրա (նույն ուղու վրա R h կարող է լինել մեկ այլ դիրք, բայց O- ի մյուս կողմում): B 1 կետը հորիզոնն է: B կետի կանխատեսումը տարածության մեջ այն B դիրքի վրա տեղափոխելուց հետո, երբ A կետով և BC գծով սահմանված ինքնաթիռը վերցրեց T դիրքը:

Նկարելով (նկ. 155, թ.) B 1 1 ուղիղ գիծը ՝ ստանում ենք հորիզոնը: ուղիղ գծի պրոյեկցիա մ.թ.ա., արդեն տեղակայված || pl. H- ի նույն հարթությունում H- ն այս դիրքում, ա-ից b 1 1 հեռավորությունը հավասար է ցանկալի l հեռավորությանը: P ինքնաթիռը, որի մեջ ընկած են տվյալ տարրերը, կարելի է համատեղել pl- ի հետ: H (նկ. 155, k), պտտվում է pl. Հորիզոնը դրա շուրջ: հետք Ելնելով A- ի և մ.թ.ա. ուղիղ գծի կողմից հարթության ճշգրտումից մինչև BC և A-1 ուղիղ գծերի ճշգրտումը (նկ. 155, լ), մենք գտնում ենք այդ ուղիղ գծերի հետքեր և դրանց միջով գծում P ϑ և P h հետքեր: Մենք կառուցում ենք (նկ. 155, մ) զուգակցված pl- ի հետ: H դիրքի ճակատ: հետք - P ϑ0.

Նկարեք հորիզոնը a կետի միջով: ճակատային պրոյեկցիա; հավասարեցված ճակատը անցնում է Р h- ի հետագծի 2-րդ կետով `զուգահեռաբար Р0-ին: A կետ 0 - զուգորդվում է pl. H- ը A կետի դիրքն է: Նմանապես, մենք գտնում ենք B 0 կետը: Ուղիղ արևը զուգորդված pl. H դիրքն անցնում է B 0 կետի և m կետի միջով (հորիզոնական գծի հետք):

A 0 կետից B 0 C 0 գծի հեռավորությունը հավասար է պահանջվող հեռավորությանը l:

Կարող եք կատարել նշված շինարարությունը ՝ գտնելով միայն մեկ հետք P h (նկ. 155, n և o): Ամբողջ կոնստրուկցիան նման է հորիզոնականի շրջադարձին (տե՛ս նկ. 155, g, c, i): հետքի h h- ը քառակուսի եզրագծային գծերից է: Ռ.

Այս խնդրի լուծման համար տրված գծանկարը փոխակերպելու մեթոդներից նախընտրելի է հորիզոնական կամ ճակատային մասի շուրջ պտտման եղանակը:

158. Հաշվի առնելով բուրգը SABC (նկ. 156): Որոշեք հեռավորությունները.

ա) բազայի վերևից B ՝ դեպի դրա կողային AC զուգահեռ շարժումով.

բ) S բուրգի գագաթից դեպի հիմքի կողմերը BC և AB կողմերը հորիզոնականով պտտվելով.

գ) վերին S- ից դեպի հիմքի կողմնային AC ՝ պրոյեկցիոն հարթությունները փոխելով:

159. Տրված է պրիզմա (նկ. 157): Որոշեք հեռավորությունները.

ա) AD և CF եզրերի միջև ՝ պրոյեկցիոն հարթությունները փոխելով.

բ) BE և CF կողոսկրների արանքում ՝ ճակատային մասի շուրջ պտտվելով.

գ) AD և BE եզրերի միջև զուգահեռ շարժումով:

160. Որոշեք ABCD քառանկյան փաստացի չափը (նկ. 158) ՝ այն հավասարեցնելով pl- ով: Հ. Օգտագործեք միայն հորիզոնական հարթության հետք:

161 *: Որոշեք AB և CD խաչմերուկների միջև հեռավորությունը (նկ. 159, ա) և կառուցեք նրանց համար ուղղահայաց կանխատեսումներ:

Որոշում: Անցման գծերի միջեւ հեռավորությունը չափվում է երկու գծերին ուղղահայաց հատվածի (MN) միջոցով (նկ. 159, բ): Ակնհայտ է, որ եթե ուղիղ գծերից մեկը տեղադրվի ուղղանկյուն ցանկացած քառակուսիի: T ապա

երկու գծերին ուղղահայաց MN հատվածը զուգահեռ կլինի քառակուսիին: Այս հարթության վրա T նախագծումը կցուցադրի ցանկալի հեռավորությունը: Քառակուսիի վրա MN n AB աջ անկյան նախագիծը: T- ն նաև m t n t- ի և t b t- ի միջեւ ճիշտ անկյուն է, քանի որ AMN- ի աջ անկյան կողմերից մեկը, այն է `MN: զուգահեռ pl. Տ.

Նկարում 159, c և d ցանկալի հեռավորությունը l որոշվում է պրոյեկցիոն հարթությունները փոխելու մեթոդով: Նախ, մենք ներկայացնում ենք լրացուցիչ քառակուսի: կանխատեսումներ S, pl- ին ուղղահայաց: H և ուղիղ գծի CD- ին զուգահեռ (նկ. 159, գ): Դրանից հետո մենք ներկայացնում ենք մեկ այլ լրացուցիչ քառակուսի: T, pl- ին ուղղահայաց: S և ուղղահայաց նույն ուղիղ CD- ին (նկ. 159, դ): Այժմ դուք կարող եք կառուցել ընդհանուր ուղղահայաց պրոյեկցիա `a t b t նախագծմանը ուղղահայաց c t (d t) կետից գծելով m t n t: M t և n t կետերը AB և CD ուղիղ գծերով այս ուղղահայաց հատման կետերի կանխատեսումներ են: M t կետում (նկ. 159, ե) մենք գտնում ենք a s b s- ի վրա. M s n s նախագծումը պետք է զուգահեռ լինի T / S առանցքին: Հետագայում, ըստ m s և n s, մենք գտնում ենք m և n ab և cd, և դրանց վրա m "and n" a "b" - ի և c "d" - ի վրա:

Նկարում 159, գ ցույց է տալիս այս խնդրի լուծումը զուգահեռ շարժումների մեթոդով: Նախ, քառակուսիին զուգահեռ դրեք ուղիղ CD: V. Պրոյեկցիա c 1 d 1 || x Հաջորդը, մենք տեղափոխում ենք CD և AB ուղիղ գծերը C 1 D 1 և A 1 B 1 դիրքերից դեպի C 2 B 2 և A 2 B 2 դիրքեր այնպես, որ C 2 D 2 ուղղահայաց լինի H- ին. Պրոյեկցիա «2 d» 2 ⊥ x- ով: Փնտրվող ուղղահայաց հատվածը գտնվում է || pl. H, ուստի m 2 n 2 արտահայտում է ցանկալի հեռավորությունը l AB- ի և CD- ի միջև: Մենք գտնում ենք m "2, և n" 2 կանխատեսումների դիրքը a "2 b" 2 և c "2 d" 2-ի վրա, այնուհետև կանխատեսումներ և m 1 և m "1, n 1 և n" 1, և վերջապես `m" և n "կանխատեսումների ", մ և ն:

162. Հաշվի առնելով բուրգը SABC (նկ. 160): Որոշեք բուրգի հիմքի SB- ի եզրային և կողային AC- ի միջև հեռավորությունը և կառուցեք SB- ին և AC- ին ուղղահայաց ընդհանուր կանխատեսումները `կիրառելով պրոյեկցիոն հարթությունները փոխելու մեթոդը:

163. Հաշվի առնելով բուրգը SABC (նկ. 161): Որոշեք բուրգի հիմքի SH ծայրի և մ.թ.ա. կողմի միջև եղած հեռավորությունը և կառուցեք SX և BC ընդհանուր ուղղահայաց պրոյեկցիան `կիրառելով զուգահեռ շարժման մեթոդը:

164 *: Որոշեք հեռավորությունը A կետից դեպի հարթություն այն դեպքերում, երբ ինքնաթիռը տրվում է. Ա) BCD եռանկյունու միջոցով (նկ. 162, ա); բ) հետքեր (նկ. 162, բ):

Որոշում: Ինչպես գիտեք, կետից հարթություն հեռավորությունը չափվում է կետից դեպի հարթություն գծված ուղղահայաց արժեքով: Այս հեռավորությունը կանխատեսվում է ցանկացած հրապարակի վրա: բնական չափի կանխատեսումներ, եթե այս հարթությունը ուղղահայաց է քառակուսիին: կանխատեսումներ (նկ. 162, գ): Այս իրավիճակին կարելի է հասնել գծապատկերը վերափոխելու միջոցով, օրինակ ՝ քառակուսի փոխելով: կանխատեսումներ Մենք ներկայացնում ենք pl. S (նկ. 16c, d), pl- ին ուղղահայաց: եռանկյուն BCD. Դա անելու համար մենք ծախսում ենք pl. եռանկյուն B-1 հորիզոնական և տեղադրեք S պրոյեկցիոն առանցքը ուղղահայաց հորիզոնական b-1 պրոյեկցիայի ուղղահայաց: Մենք կառուցում ենք կետի և հարթության պրոյեկցիաներ. S և հատված c s d s: A- ից c s d s հեռավորությունը հավասար է կետի պահանջվող հեռավորությանը l դեպի հարթություն:

Ռիոյի վրա: 162, ե կիրառվում է զուգահեռ շարժման մեթոդը: Մենք տեղափոխում ենք ամբողջ համակարգը, մինչև B-1 ինքնաթիռի հորիզոնը ուղղահայաց լինի V հարթությանը. B 1 1 1 կանխատեսումը պետք է ուղղահայաց լինի x առանցքի: Այս դիրքում եռանկյան հարթությունը կդառնա ճակատային պրոյեկցիա, և A կետից l հեռավորությունը կստացվի քառակուսի: V առանց աղավաղման:

Նկարում 162, բ ինքնաթիռը որոշվում է հետքերով: Մենք ներկայացնում ենք (նկ. 162, ե) լրացուցիչ քառակուսի: S, ուղղահայաց pl. P: S / H առանցքը ուղղահայաց P h- ին: Մնացածը պարզ է գծանկարից: Նկարում 162, խնդիրը լուծվեց մեկ շարժումով. Pl. P- ն անցնում է P 1 դիրքում, այսինքն, այն դառնում է ճակատային-պրոյեկցիա: Հետք Р 1h- ը ուղղահայաց է x առանցքի: Մենք ինքնաթիռի այս դիրքում ճակատ ենք կառուցում: հորիզոնական հետք - կետ n "1, n 1. հետք P 1ϑ կանցնի P 1x և n 1. միջակայքերը" 1-ից P 1ϑ հավասար է ցանկալի հեռավորության l:

165. Հաշվի առնելով բուրգը SABC (տես նկ. 160): Pointուգահեռ շարժման մեթոդով որոշեք հեռավորությունը A կետից բուրգի SBC երեսին:

166. Հաշվի առնելով բուրգը SABC (տես նկ. 161): Որոշեք բուրգի բարձրությունը զուգահեռ շարժման մեթոդով:

167 *: Որոշեք AB- ի և CD- ի հատման գծերի հեռավորությունը (տե՛ս Նկար 159, ա), քանի որ այս գծերի միջով գծված զուգահեռ հարթությունների միջև հեռավորությունը:

Որոշում: Նկարում 163, և ցույց է տալիս P և Q զուգահեռ հարթությունները, որոնցից pl. Q- ն իրականացվում է ԱԲ-ին զուգահեռ CD- ի միջոցով, և pl. R - AB- ի միջոցով pl- ին զուգահեռ: Հ. Նման ինքնաթիռների միջև հեռավորությունը AB և CD հատման գծերի միջև է: Այնուամենայնիվ, դուք կարող եք սահմանափակվել միայն մեկ հարթություն կառուցելով, օրինակ ՝ Q, AB- ին զուգահեռ, և ապա որոշել հեռավորությունը գոնե A կետից այս հարթություն:

Նկարում 163c- ը ցույց է տալիս AB- ին զուգահեռ CD- ի միջոցով գծված Q պլանը; «ե» -ով գծված կանխատեսումներում || ա «բ» եւ ցե || աբ Քառակուսի փոխելու մեթոդի կիրառում: կանխատեսումներ (նկ. 163, գ), մենք ներկայացնում ենք լրացուցիչ քառակուսի: S, ուղղահայաց pl. V և միևնույն ժամանակ

ուղղահայաց pl. Հ / Վ առանցքը նկարելու համար այս հարթության վրա վերցրեք ճակատային D-1- ը: Այժմ մենք նկարում ենք S / V ուղղահայաց d «1» -ին (նկ. 163, գ): Պլ. Q- ն կցուցադրվի pl. S- ն s d- ի հետ ուղիղ գիծ է: Մնացածը պարզ է գծանկարից:

168. Հաշվի առնելով բուրգը SABC (տես նկ. 160): Որոշեք SC և AB եզրերի միջև հեռավորությունը Կիրառել. 1) քառակուսի փոխելու մեթոդը: կանխատեսումներ, 2) զուգահեռ շարժման մեթոդ:

169 *: Որոշեք զուգահեռ հարթությունների միջև հեռավորությունը, որոնցից մեկը տրվում է AB և AC ուղիղներով, իսկ մյուսը ՝ DE և DF ուղիղներով (նկ. 164, ա): Իրականացրեք նաև այն գործը, երբ ինքնաթիռները նշվում են հետքերով (նկ. 164, բ):

Որոշում: Parallelուգահեռ հարթությունների միջև հեռավորությունը (նկ. 164, գ) կարելի է որոշել ՝ մեկ հարթության ցանկացած կետից մյուս հարթություն ուղղահայաց գծելով: Նկարում 164, g ներկայացրեց լրացուցիչ pl. S ուղղահայաց pl. H- ին և տրված երկու ինքնաթիռներին: S.H առանցքը ուղղահայաց է հորիզոնին: ինքնաթիռներից մեկում գծված հորիզոնական պրոյեկցիա: Մենք կառուցում ենք այս հարթության պրոյեկցիան և մեկ այլ հարթության կետը հրապարակի վրա: 5. d s կետի հեռավորությունը l s a s ուղիղ գծին հավասար է զուգահեռ հարթությունների միջև պահանջվող հեռավորությանը:

Նկարում 164, դ տրված է մեկ այլ կոնստրուկցիա (զուգահեռ շարժման մեթոդի համաձայն): Որպեսզի AB և AC ուղիղ գծերը հատելով արտահայտված ինքնաթիռը լինի ուղղահայաց pl. V, հորիզոն: մենք դնում ենք այս հարթության հորիզոնի պրոյեկցիան x- առանցքին ուղղահայաց: 1 1 2 1 ⊥ x: Distanceակատի միջեւ հեռավորությունը: պրոյեկցիա d "1 կետ D և ուղիղ a" 1 2 "1 (առջևի ինքնաթիռի պրոյեկցիա) հավասար է ինքնաթիռների միջև պահանջվող հեռավորությանը:

Նկարում 164, ե ցույց է տալիս լրացուցիչ pl. S, H տարածքին և տրված P և Q ինքնաթիռներին ուղղահայաց (S / H առանցքը ուղղահայաց է P h- ի և Q h- ի հետքերով): Մենք կառուցում ենք հետքեր P s, և Q s: Նրանց միջև հեռավորությունը (տե՛ս Նկար 164, գ) հավասար է P և Q հարթությունների միջև պահանջվող l հեռավորությանը:

Նկարում 164, g ցույց է տալիս P 1 n Q 1 ինքնաթիռների շարժումը դեպի P 1 և Q 1 դիրքերը, երբ հորիզոնը: հետքերը, պարզվում է, ուղղահայաց են x առանցքի: Հեռավորությունը նոր ճակատի միջեւ: P 1ϑ և Q 1ϑ հետքերով հավասար է պահանջվող հեռավորությանը l:

170. Հաշվի առնելով զուգահեռաբար ABCDEFGH (նկ. 165): Որոշեք հեռավորությունները. Ա) զուգահեռ ջրատարի հիմքերի միջև - l 1; բ) ABFE և DCGH դեմքերի միջև - l 2; գ) ADHE- ի և BCGF-l- ի եզրերի միջև 3: