Trigonometrie je odvětví matematické vědy, která studuje trigonometrické funkce a jejich použití v geometrii. Vývoj trigonometrie začal ve starověkém Řecku. Ve středověku vědci ze Středního východu a Indie významně přispěli k rozvoji této vědy.

Tento článek je věnován základním pojmům a definicím trigonometrie. Zohledňuje definice hlavních trigonometrických funkcí: sinus, kosinus, tangens a cotangent. Jejich význam v souvislosti s geometrií je objasněn a ilustrován.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zpočátku byly definice trigonometrických funkcí, jejichž argumentem je úhel, vyjádřeny poměry stran pravoúhlého trojúhelníku.

Definice trigonometrických funkcí

Sinus úhlu (sin α) je poměr opačné strany tohoto úhlu k přepážce.

Kosinus úhlu (cos α) je poměr sousední nohy k přepážce.

Tečna úhlu (t g a) je poměr protilehlé nohy k sousední.

Úhlový cotangent (c t g α) je poměr sousední nohy k protilehlé noze.

Tyto definice jsou uvedeny pro ostrý úhel pravoúhlého trojúhelníku!

Dáme ilustraci.

V trojúhelníku ABC s pravým úhlem C je sinusový úhel A roven poměru nohy BC k převisu AB.

Definice sinus, kosinus, tangens a cotangent nám umožňují vypočítat hodnoty těchto funkcí ze známých délek stran trojúhelníku.

Je důležité si pamatovat!

Rozsah hodnot sinus a kosinus je od -1 do 1. Jinými slovy, hodnoty sinus a kosinus berou hodnoty od -1 do 1. Rozsah tangens a cotangent je celá numerická linie, to znamená, že tyto funkce mohou mít jakoukoli hodnotu.

Definice uvedené výše se týkají ostrých rohů. V trigonometrii je představen koncept úhlu natočení, jehož hodnota, na rozdíl od ostrého úhlu, není omezena na snímky od 0 do 90 stupňů. Úhel natočení ve stupních nebo radiánech je vyjádřen jakýmkoli skutečným číslem od - ∞ do + ∞.

V této souvislosti můžeme definovat sinus, kosinus, tangens a cotangent úhlu libovolné velikosti. Představte si kruh kruhu soustředěný na začátku kartézského souřadného systému.

Počáteční bod A se souřadnicemi (1, 0) se otáčí kolem středu kruhové jednotky o určitý úhel α a jde do bodu A1. Definice je dána souřadnicemi bodu A 1 (x, y).

Sinus úhlu natočení

Sinus úhlu otáčení a je souřadnice bodu A 1 (x, y). sin α \u003d y

Kosinus (cos) úhlu natočení

Kosinus úhlu otáčení a je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α \u003d x

Úhel tečný (tg)

Tečna úhlu otáčení α je poměr souřadnic bodu A 1 (x, y) k jeho vodorovné ose. tg α \u003d y x

Úhel rotace Cotangent (ctg)

Cotangent úhlu otáčení a je poměr úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho souřadnici. c t g α \u003d x y

Sinus a kosinus jsou definovány pro jakýkoli úhel natočení. To je logické, protože úsečka a souřadnice bodu po otočení lze určit v libovolném úhlu. Situace je odlišná u tangentní a cotangentní. Tečna není definována, když bod po otočení přechází do bodu s nulovou osou (0, 1) a (0, - 1). V takových případech výraz tangens t g α \u003d y x prostě nedává smysl, protože v něm je dělení nulou. Situace s cotangentem je podobná. Rozdíl je v tom, že cotangent není definován v těch případech, kdy souřadnice bodu zmizí.

Je důležité si pamatovat!

Sinus a kosinus jsou definovány pro všechny úhly α.

Tečna je definována pro všechny úhly kromě α \u003d 90 ° + 180 ° · k, k ∈ Z (α \u003d π 2 + π · k, k ∈ Z)

Cotangent je definován pro všechny úhly kromě α \u003d 180 ° k, k ∈ Z (α \u003d π k, k ∈ Z)

Při řešení praktických příkladů nehovoří „sinus úhlu natočení α“. Slova „úhel rotace“ jsou jednoduše vynechána, což znamená, že z kontextu je jasné, o co jde.

Čísla

Co dělat s definicí sinus, kosinus, tangens a cotangent čísla, ne úhel natočení?

Sine, cosine, tangens, cotangent čísla

Sine, cosine, tangens a cotangent čísla t   volal číslo, které je příslušně stejné jako sinus, kosinus, tangens a cotangent in tradian.

Například sinus 10 π se rovná sinusu úhlu natočení 10 π rad.

Existuje jiný přístup k určení sinus, cosinus, tangens a cotangent čísla. Podívejme se na to podrobněji.

Jakékoli skutečné číslo t   bod na kruhu jednotky je zarovnán se středem na začátku pravoúhlého kartézského souřadného systému. Sinus, kosinus, tangens a cotangent se určují pomocí souřadnic tohoto bodu.

Počáteční bod v kruhu je bod A se souřadnicemi (1, 0).

Kladné číslo t

Záporné číslo t   odpovídá bodu, ve kterém bude počáteční bod pokračovat, pokud se pohybuje v kruhu proti směru hodinových ručiček a cesta t prochází.

Nyní, když je navázán vztah mezi číslem a bodem v kruhu, obrátíme se na definici sine, cosine, tangens a cotangent.

Sinus (hřích) t

Sinusové číslo t- souřadnice bodu kruhové jednotky odpovídající číslu t. sin t \u003d y

Kosine (cos) t

Kosinus čísla t- úsečka bodu kruhové jednotky odpovídající číslu t. cos t \u003d x

Tečna (tg) t

Tečna čísla t   - poměr souřadnic k vodorovné ose bodu kruhové jednotky odpovídající číslu t. t g t \u003d y x \u003d sin t cos t

Nejnovější definice jsou konzistentní a nejsou v rozporu s definicí uvedenou na začátku tohoto odstavce. Bod na kruhu odpovídá číslu tshoduje se s bodem, ve kterém začíná počáteční bod po otočení o úhel tradian.

Trigonometrické funkce úhlových a číselných argumentů

Každá hodnota úhlu a odpovídá určité hodnotě sinusu a kosinu tohoto úhlu. Stejně jako všechny úhly a jiné než a \u003d 90 ° + 180 ° · k, k ∈ Z (α \u003d π 2 + π · k, k ∈ Z) odpovídá určitá tangensální hodnota. Cotangent, jak je uvedeno výše, je definován pro všechny α s výjimkou a \u003d 180 ° · k, k ∈ Z (α \u003d π · k, k ∈ Z).

Dá se říci, že sin α, cos α, t g α, c t g α jsou funkce úhlu alfa nebo funkce úhlového argumentu.

Podobně můžeme hovořit o sine, cosine, tangens a cotangent, jako funkce numerického argumentu. Na každé skutečné číslo todpovídá konkrétní hodnotě sinu nebo kosinu čísla t. Všechna čísla jiná než π 2 + π · k, k ∈ Z odpovídají tečné hodnotě. Cotangent je podobně definován pro všechna čísla kromě π · k, k ∈ Z.

Hlavní funkce trigonometrie

Sinus, kosinus, tangens a cotangent jsou hlavní trigonometrické funkce.

Z kontextu je obvykle zřejmé, s kterým argumentem trigonometrické funkce (úhlový argument nebo numerický argument) se zabýváme.

Vraťme se k datům na samém začátku definic a úhlu alfa, ležícímu v rozsahu od 0 do 90 stupňů. Trigonometrické definice sinus, cosinus, tangens a cotangent jsou plně v souladu s geometrickými definicemi získanými pomocí poměrů stran pravoúhlého trojúhelníku. Ukažte to.

Vezměte kruh kruhu soustředěný v pravoúhlém kartézském souřadném systému. Počáteční bod A (1, 0) natočíme o úhel až 90 stupňů a ze získaného bodu A 1 (x, y) nakreslíme kolmo k ose vodorovné osy. Ve výsledném pravoúhlém trojúhelníku je úhel A10H roven úhlu otáčení a, délka ramene OH je stejná jako úsečka bodu A1 (x, y). Délka nohy protilehlé k rohu je stejná jako souřadnice bodu A 1 (x, y) a délka propony je rovna jedné, protože se jedná o poloměr kruhové jednotky.

Podle definice z geometrie je sinus úhlu a roven poměru protilehlé strany k proponě.

sin α \u003d A 1 H O A 1 \u003d y 1 \u003d y

Proto je definice sinusu ostrého úhlu v pravém trojúhelníku poměrem stran ekvivalentní s definicí sinusového úhlu otáčení a, přičemž alfa leží v rozmezí 0 až 90 stupňů.

Podobně lze ukázat shodu definic pro kosinus, tangens a cotangent.

Pokud si všimnete chyby v textu, vyberte jej a stiskněte Ctrl + Enter

Návod k použití

Trojúhelník se nazývá obdélníkový, pokud je jeden z jeho úhlů 90 stupňů. Skládá se ze dvou nohou a přepážky. Hypotenuse je větší stranou tohoto trojúhelníku. Leží v pravém úhlu. Nohy, resp. Se nazývají menší strany. Mohou se navzájem rovnat nebo mít jinou velikost. Rovnost nohou spočívá v tom, že pracujete s pravým trojúhelníkem. Jeho kouzlo je, že kombinuje dvě postavy: pravoúhelník a rovnoramenný trojúhelník. Pokud nejsou nohy rovné, pak je trojúhelník libovolný a základní zákon: čím větší je úhel, tím více leží proti němu.

Existuje několik způsobů, jak najít přeletu a úhel. Ale před použitím jednoho z nich byste měli určit, který úhel je znám. Pokud je zadán úhel a strana, která k němu přiléhá, \u200b\u200bpak je propona snazší najít vše podle kosinus úhlu. Kosinus s ostrým úhlem (cos a) v pravoúhlém trojúhelníku je poměr sousední nohy k přepážce. Z toho vyplývá, že hypotéka (c) bude stejná jako poměr sousední nohy (b) ke kosinu úhlu a (cos a). Lze to napsat jako: cos a \u003d b / c \u003d\u003e c \u003d b / cos a.

Pokud je uveden úhel a protilehlá noha, měli byste pracovat. Sinus ostrého úhlu (sin a) v pravoúhlém trojúhelníku je poměr opačné strany (a) k přepážce (c). Zde je princip stejný jako v předchozím příkladu, ale místo kosinové funkce se bere sinus. hřích a \u003d a / c \u003d\u003e c \u003d a / hřích a.

Můžete také použít takovou trigonometrickou funkci jako. Nalezení požadované hodnoty je však o něco složitější. Tečna ostrého úhlu (tg a) v pravoúhlém trojúhelníku označuje poměr protilehlé nohy (a) k sousednímu (b). Poté, co jsme našli obě nohy, použijte Pythagorovu větu (čtverec propony je součtem čtverců nohou) a najde se velká.

Věnujte pozornost

Při práci s pythagorovskou větou nezapomeňte, že jednáte s titulem. Po nalezení součtu čtverců nohou, abyste získali konečnou odpověď, musíte extrahovat druhou odmocninu.

Zdroje:

• jak najít nohu a tykev

Hypotenuse je strana v pravém trojúhelníku, která je naproti úhlu 90 stupňů. Aby bylo možné vypočítat jeho délku, stačí znát délku jedné z nohou a velikost jednoho z ostrých úhlů trojúhelníku.

Návod k použití

Se známým a ostrým úhlem pravoúhlého tvaru je pak velikost převisu poměr nohy k tomuto úhlu, pokud je tento úhel opačný k němu / sousedí s ním:

h \u003d C1 (nebo C2) / sina;

h \u003d C1 (nebo C2) / cosa.

Příklad: Nechť ABC bude dána s přelepkou AB a C. Nechť úhel B je 60 stupňů a úhel A 30 stupňů. Délka nohy BC je 8 cm. Délka přisunky AB je nutná. K tomu můžete použít kteroukoli z výše uvedených metod:

AB \u003d BC / cos60 \u003d 8 cm.

AB \u003d BC / sin30 \u003d 8 cm.

Slovo „ katet„Vychází z řeckých slov„ kolmý “nebo„ čirý “- to vysvětluje, proč se tak nazývají obě strany pravého trojúhelníku, které tvoří jeho devadesátistupňový úhel. Najděte délku kteréhokoli z katetnení obtížné, pokud je známa hodnota úhlu, který k němu sousedí, a některý z parametrů, protože v tomto případě budou známy hodnoty všech tří úhlů.

Návod k použití

Pokud, kromě hodnoty sousedního úhlu (β), délka druhého kateta (b), pak délka kateta (a) lze definovat jako podíl dělení délky známé kateta ve známém úhlu: a \u003d b / tg (p). Vyplývá to z definice této trigonometrie. Pokud použijete teorém, můžete se obejít bez tangenty. Z toho vyplývá, že délky úhlu k sinusu protilehlého úhlu jsou kateta na sinus známého úhlu. Naproti katetostrý úhel může být vyjádřen známým úhlem jako 180 ° -90 ° -β \u003d 90 ° -β, protože součet všech úhlů jakéhokoli trojúhelníku musí být 180 ° a jeden z jeho úhlů je 90 °. Takže požadovaná délka kateta lze ji vypočítat podle vzorce a \u003d sin (90 ° -β) ∗ b / sin (β).

Je-li známa hodnota přilehlého úhlu (β) a délka přepážky (c), pak délka kateta (a) může být vypočtena jako součin délky přepážky s kosinem známého úhlu: a \u003d c ∗ cos (β). Vyplývá to z definice kosinu jako trigonometrické funkce. Stejně jako v předchozím kroku však můžete použít sinusovou teorém a pak délku požadovaného kateta bude se rovnat součinu sinusu mezi 90 ° a známým úhlem poměrem délky kypřidla k sinusu pravého úhlu. A protože je sinus 90 ° roven jednotě, můžeme to napsat: a \u003d hřích (90 ° -β) ∗ c.

Praktické výpočty lze provádět například pomocí softwarové kalkulačky dodávané s Windows. Chcete-li jej spustit, v hlavní nabídce na tlačítku „Start“ vyberte „Spustit“, zadejte příkaz calc a stiskněte tlačítko „OK“. V nejjednodušší verzi rozhraní tohoto programu, která se ve výchozím nastavení otevírá, nejsou k dispozici trigonometrické funkce, proto po spuštění musíte kliknout na část View v nabídce a vybrat řádek Scientific nebo Engineering (v závislosti na použité verzi operačního systému).

Související videa

Slovo „cathetus“ pochází z ruštiny z řečtiny. V přesném překladu to znamená olovnice, to znamená kolmá k povrchu Země. V matematice se nohy, které tvoří pravý úhel pravoúhlého trojúhelníku, nazývají nohy. Strana naproti tomuto rohu se nazývá přepážka. Termín „noha“ se také používá v architektuře a svařovací technologii.

Nakreslete pravý trojúhelník ACB. Označte jeho nohy jako aab a přebal jako s. Všechny strany a úhly pravoúhlého trojúhelníku jsou definovány mezi sebou. Poměr nohy, protilehlý jednomu z ostrých úhlů, k proponě se nazývá sinus tohoto úhlu. V tomto trojúhelníku sinCAB \u003d a / c. Kosinus je vztah k přetížení sousední nohy, tj. CosCAB \u003d b / c. Inverzní vztahy se nazývají secant a cosecant.

Secant tohoto úhlu se získá dělením přepážky sousední nohou, tj. SecCAB \u003d c / b. Ukazuje se obráceně na kosinus, to znamená, že jej lze vyjádřit vzorcem secCAB \u003d 1 / cosSAB.
Csecant je roven kvocientu dělení přepážky protilehlou nohou a toto je reciproční sinus. Lze jej vypočítat pomocí vzorce cosecCAB \u003d 1 / sinCAB

Obě nohy jsou vzájemně propojeny a jsou v klidu. V tomto případě bude tangens poměr strany a ke straně b, tj. Protilehlé rameno k sousednímu. Tento poměr lze vyjádřit vzorcem tgCAB \u003d a / b. V souladu s tím je cotangent inverzní poměr: ctgCAB \u003d b / a.

Poměr mezi velikostí tykve a obou nohou byl určen starověkými řeckými Pythagory. Lidé stále používají teorém, jeho jméno. Říká se, že čtverec propony se rovná součtu čtverců nohou, tj. C2 \u003d a2 + b2. V souladu s tím bude každá noha rovna druhé odmocnině rozdílu čtverců přepážky a druhé nohy. Tento vzorec lze napsat jako b \u003d √ (c2-a2).

Délka nohy lze také vyjádřit prostřednictvím vztahů, které znáte. Podle věty o sinech a kosinech se noha rovná jedné z těchto funkcí jako souhvězdí. Můžete to vyjádřit nebo cotangent. Katet a lze nalézt například vzorcem a \u003d b * tan CAB. Přesně stejným způsobem, v závislosti na daném tečnu nebo, je také určena druhá noha.

Termín “noha” je také používán v architektuře. To je aplikováno na iontová velká města a olovo přes jeho ocas. To znamená, že v tomto případě je tento termín kolmý k dané linii.

Ve svařovací technologii existuje „svarový kout“. Stejně jako v jiných případech je to nejkratší vzdálenost. Zde mluvíme o mezeře mezi jednou z částí, které mají být přivařeny, k hranici švu umístěného na povrchu druhé části.

Související videa

Zdroje:

• co je noha a přepážka v roce 2019

Jednou z odvětví matematiky, se kterými se studenti potýkají s největšími obtížemi, je trigonometrie. Není divu: pro svobodné zvládnutí této oblasti znalostí je zapotřebí prostorové myšlení, schopnost najít sine, kosinus, tangens, cotangents podle vzorců, zjednodušit výrazy a být schopen použít číslo pi ve výpočtech. Kromě toho musí být člověk schopen aplikovat trigonometrii při dokazování vět, což vyžaduje buď rozvinutou matematickou paměť, nebo schopnost odvodit složité logické řetězce.

Původ trigonometrie

Znalost této vědy by měla začít definicí sine, cosine a tangens of úhlu, ale nejdřív musíte přijít na to, co trigonometrie dělá.

Historicky byl hlavním předmětem studia v této části matematické vědy pravoúhlé trojúhelníky. Přítomnost úhlu 90 stupňů umožňuje provádět různé operace, které vám umožňují určit hodnoty všech parametrů daného obrázku na dvou stranách a jednom rohu nebo na dvou úhlech a jedné straně. V minulosti si lidé tento vzor všimli a začali jej aktivně používat při stavbě budov, navigaci, astronomii a dokonce i v umění.

Počáteční fáze

Zpočátku lidé mluvili o vztahu úhlů a stran výhradně na příkladu pravoúhlých trojúhelníků. Poté byly objeveny speciální vzorce, které umožnily rozšířit hranice používání této oblasti matematiky v každodenním životě.

Studium trigonometrie dnes ve škole začíná pravoúhlými trojúhelníky, po kterých získané znalosti používají studenti ve fyzice a při řešení abstraktních trigonometrických rovnic, s nimiž práce začíná na střední škole.

Sférická trigonometrie

Později, když věda dosáhla další úrovně vývoje, se ve sférické geometrii začaly používat vzorce s sinus, kosinus, tangens, cotangent, kde platí různá pravidla, a součet úhlů v trojúhelníku je vždy více než 180 stupňů. Tato sekce není studována ve škole, ale je třeba vědět o její existenci alespoň proto, že povrch Země a povrch jakékoli jiné planety je konvexní, což znamená, že jakékoli označení povrchu bude „klenuté“ v trojrozměrném prostoru.

Vezměte glóbus a vlákno. Připojte vlákno k libovolným dvěma bodům zeměkoule tak, aby bylo napnuté. Vezměte prosím na vědomí - má tvar oblouku. Sférická geometrie se zabývá takovými formami, které se používají v geodézii, astronomii a dalších teoretických a aplikovaných oborech.

Pravý trojúhelník

Poté, co jsme se dozvěděli něco o metodách použití trigonometrie, vraťme se k základní trigonometrii, abychom dále porozuměli tomu, co jsou sinus, kosinus, tangens, jaké výpočty lze provádět s jejich pomocí a jaké vzorce se používají.

Prvním krokem je pochopení pojmů souvisejících s pravým trojúhelníkem. Zaprvé, přepážka je strana, která je naproti úhlu 90 stupňů. Je nejdelší. Pamatujeme si, že podle pythagorovské věty je její numerická hodnota rovna kořenu součtu čtverců dvou dalších stran.

Například, pokud jsou obě strany 3 a 4 centimetry, bude délka přepážky 5 centimetrů. Mimochodem, starověcí Egypťané o tom věděli asi před čtyřmi a půl tisíci lety.

Dvě zbývající strany, které tvoří pravý úhel, se nazývají nohy. Kromě toho je třeba mít na paměti, že součet úhlů v trojúhelníku v pravoúhlém souřadném systému je 180 stupňů.

Definice

Nakonec, s pevným porozuměním geometrické základny, se můžeme obrátit na definici sinus, kosinus a tangens úhlu.

Sinus úhlu je poměr protilehlé nohy (tj. Strany protilehlé požadovanému úhlu) k přepážce. Kosinus úhlu je poměr přilehlé nohy k proponě.

Pamatujte, že ani sinus ani kosinus nemohou být větší než jeden! Proč? Protože přepážka je ve výchozím nastavení nejdelší, bez ohledu na to, jak dlouhá je noha, bude kratší než přepážka, což znamená, že jejich poměr bude vždy menší než jeden. Pokud tedy v odpovědi na problém dostanete sinus nebo kosinus s hodnotou větší než 1, hledejte chybu ve výpočtech nebo zdůvodnění. Tato odpověď je zjevně nesprávná.

Nakonec je tečna úhlu poměr protilehlé strany k sousední. Stejného výsledku bude dosaženo rozdělením sinusu kosinem. Podívej: v souladu se vzorcem vydělíme délku strany pomlčkou, potom dělíme délkou druhé strany a vynásobíme pomlčkou. Dostaneme tedy stejný poměr jako v definici tangens.

Cotangent je poměr strany sousedící s rohem k protějšímu. Stejného výsledku získáme dělením jednotky na tečnu.

Zkoumali jsme tedy definice toho, co jsou sinus, kosinus, tangens a cotangent, a můžeme se vypořádat s formami.

Nejjednodušší vzorce

V trigonometrii se bez receptů neobejde - jak bez nich najít sinus, kosinus, tangens, cotangent? Ale to je přesně to, co se vyžaduje při řešení problémů.

První vzorec, který potřebujete vědět při zahájení studia trigonometrie, říká, že součet čtverců sinusového a kosinusového úhlu se rovná jednomu. Tento vzorec je přímým důsledkem Pythagorovy věty, ale šetří čas, pokud potřebujete znát velikost úhlu a ne stranu.

Mnoho studentů si nepamatuje druhý vzorec, který je také velmi oblíbený při řešení školních problémů: součet jednotky a čtverce tangenty úhlu se rovná jednomu dělenému čtverci kosiny úhlu. Podívejme se blíže: je to koneckonců stejné prohlášení jako v prvním vzorci, pouze obě strany identity byly rozděleny čtvercem kosinus. Ukázalo se, že jednoduchá matematická operace způsobí, že trigonometrický vzorec je zcela nerozpoznatelný. Pamatujte: věděli jste, co jsou sine, cosine, tangent a cotangent, transformační pravidla a několik základních vzorců, kdykoli si můžete vytisknout požadované složitější vzorce sami na kus papíru.

Vzorce s dvojitým úhlem a přidání argumentů

Dva další vzorce, které je třeba se naučit, se vztahují k hodnotám sine a cosine se součtem a rozdílem úhlů. Jsou uvedeny na obrázku níže. Vezměte prosím na vědomí, že v prvním případě se sinus a kosinus mnohonásobně násobí a ve druhém se přidá párový produkt sinus a kosinus.

Existují také vzorce spojené s argumenty dvojitého úhlu. Jsou zcela odvozeny od předchozích - jako cvičení se je pokuste dostat sami, přičemž úhel alfa se rovná úhlu beta.

Nakonec si povšimněte, že vzorce s dvojitým úhlem lze převést na nižší stupeň sine, cosine, tangens alfa.

Věty

Dva hlavní věty v základní trigonometrii jsou sinusová věta a kosinova věta. Pomocí těchto vět můžete snadno pochopit, jak najít sinus, kosinus a tečnu, a proto oblast obrázku, velikost každé strany atd.

Sinusová věta říká, že v důsledku dělení délky každé strany trojúhelníku hodnotou opačného úhlu dostaneme stejné číslo. Navíc se toto číslo bude rovnat dvěma poloměrům ohraničené kružnice, to znamená kružnice obsahující všechny body daného trojúhelníku.

Kosinova věta zobecňuje Pythagorovu větu a promítá ji do libovolných trojúhelníků. Ukazuje se, že součin vynásobený dvojitým kosinem sousedního úhlu se odečte od součtu čtverců dvou stran - výsledná hodnota se bude rovnat čtverci třetí strany. Pythagorova věta se tak jeví jako zvláštní případ kosinovy \u200b\u200bvěty.

Chyby nepozornosti

I když víme, co jsou sine, cosine a tangens, je snadné udělat chybu kvůli rozptýlené pozornosti nebo chybě v nejjednodušších výpočtech. Abychom se těmto chybám vyhnuli, seznámíme se s jejich nejoblíbenějšími.

Za prvé, obyčejné zlomky by neměly být převedeny na desetinná čísla, dokud nebude dosaženo konečného výsledku - odpověď můžete nechat ve formě obyčejných zlomků, pokud není v podmínce uvedeno jinak. Takovou transformaci nelze nazvat chybou, ale je třeba si uvědomit, že v každé fázi úkolu se mohou objevit nové kořeny, které by se podle autorovy myšlenky měly omezit. V tomto případě ztrácíte čas zbytečnými matematickými operacemi. To platí zejména pro hodnoty, jako je kořen tří nebo dvou, protože se nacházejí v úkolech v každém kroku. Totéž platí pro zaokrouhlování ošklivých čísel.

Dále si všimněte, že kosinova věta platí pro jakýkoli trojúhelník, ale nikoli pro Pythagorovu větu! Pokud omylem zapomenete odečíst dvojitý produkt stran vynásobený kosinusem úhlu mezi nimi, získáte nejen zcela špatný výsledek, ale také dokážete úplné nedorozumění subjektu. To je horší než chyba kvůli nedbalosti.

Zatřetí, nezaměňujte hodnoty pro úhly 30 a 60 stupňů pro sinus, kosiny, tangenty, kotangenty. Pamatujte na tyto hodnoty, protože sinus 30 stupňů se rovná kosinusům 60 a naopak. Jsou snadno zmatení, v důsledku čehož nevyhnutelně získáte chybný výsledek.

Aplikace

Mnoho studentů se nespěchá, aby začali studovat trigonometrii, protože nerozumí jeho použitému významu. Co je sine, cosine, tangens pro inženýra nebo astronoma? To jsou koncepty, díky kterým lze vypočítat vzdálenost k vzdáleným hvězdám, předpovědět pád meteoritu, poslat výzkumnou sondu na jinou planetu. Bez nich nemůžete postavit budovu, navrhnout auto, vypočítat zatížení na povrchu nebo trajektorii subjektu. A to jsou jen nejzjevnější příklady! Koneckonců, trigonometrie v té či oné podobě se používá všude, od hudby po medicínu.

Na závěr

Takže jste sine, cosine, tangens. Můžete je použít při výpočtech a úspěšně řešit školní problémy.

Celá podstata trigonometrie spočívá v tom, že neznámé hodnoty musí být vypočteny podle známých parametrů trojúhelníku. Těchto parametrů je šest: délky tří stran a velikost tří úhlů. Rozdíl v úkolech spočívá v tom, že vstupní data nejsou stejná.

Jak najít sinus, kosinus, tangens na základě známých délek nohou nebo přebalu, to teď víte. Protože tyto termíny neznamenají nic víc než vztah, ale vztah je zlomek, hlavním cílem trigonometrického problému je najít kořeny obyčejné rovnice nebo soustavy rovnic. A tady vám pomůže běžná matematika.

Střední úroveň

Pravý trojúhelník Kompletní ilustrovaný průvodce (2019)

RECTANGULAR TRIANGLE. PRVNÍ ÚROVEŇ.

U úkolů není pravý úhel vůbec nutný - vlevo dole, takže se musíte naučit rozpoznat pravoúhlý trojúhelník a v této podobě,

a v takových

a v takových

  K čemu je dobrý trojúhelník? No ... za prvé, pro jeho večírky jsou zvláštní krásná jména.

Pozor na obrázek!

Pamatujte a nezaměňujte: dvě nohy, ale jedna propona   (ten jediný a nejdelší)!

Jména jsou diskutována, nyní nejdůležitější věc: Pythagorova věta.

Pythagorova věta.

Tato věta je klíčem k řešení mnoha problémů týkajících se pravoúhlého trojúhelníku. Pythagoras to dokázal v pradávna a od té doby přinesl mnoho výhod těm, kdo ji znají. A nejlepší na ní je, že je jednoduchá.

Takže   Pythagorova věta:

Pamatujete si na vtip: „Pythagorovské kalhoty jsou na všech stranách stejné!“?

Nakreslíme stejné pythagorovské kalhoty a podívejme se na ně.

  Pravda, vypadá to jako kraťasy? Na jakých stranách a kde si jsou rovni? Proč a odkud vtip pochází? Tento vtip je však spojen přesně s pythagorovskou větou, přesněji s tím, jak sám Pythagoras formuloval svou větu. A formuloval to takto:

„Částka čtverce, postavený na nohou, se rovná čtvereční plochapostavený na přepážce. “

Pravda, zní to trochu jinak? A tak, když Pythagoras vypracoval prohlášení o své teorémě, ukázalo se, že se takový obrázek objevil.

  Na tomto obrázku se součet ploch malých čtverců rovná ploše velkého čtverce. A aby si děti lépe pamatovaly, že součet čtverců na nohou se rovná čtverci propony, někdo vtipný vynalezl tento vtip o pythagorských kalhotách.

Proč nyní formulujeme Pythagorovu větu

A Pythagoras byl mučen a mluvil o náměstí?

Víte, ve starověku neexistovala ... algebra! Nebyly tam žádné známky atd. Nebyly tam žádné nápisy. Dokážete si představit, jak bylo pro chudé starověké studenty strašné pamatovat si všechno slovy? A můžeme se těšit, že máme jednoduché vyjádření Pythagorovy věty. Zopakujme to znovu, abychom lépe zapamatovali:

Nyní by to mělo být snadné:

Čtverec propony se rovná součtu čtverců nohou.

Byla diskutována nejdůležitější věta o pravoúhlém trojúhelníku. Pokud vás zajímá, jak je to prokázáno, přečtěte si následující úrovně teorie a nyní pojďme dále ... do temného lesa ... trigonometrie! K příšerným slovům, sine, cosine, tangens a cotangent.

Sinus, kosinus, tangens, cotangent v pravém trojúhelníku.

Ve skutečnosti není všechno tak děsivé. V článku by se samozřejmě mělo zabývat „skutečnou“ definicí sine, cosine, tangens a cotangent. Ale opravdu to nechcete, že? Můžeme vás prosím: pro řešení problémů o pravoúhlém trojúhelníku můžete jednoduše vyplnit následující jednoduché věci:

A proč je všechno hned za rohem? Kde je roh? Abyste tomu porozuměli, musíte vědět, jak jsou prohlášení 1 - 4 psána slovy. Podívejte, pochopte a pamatujte!

1.
  Vlastně to zní takto:

Ale co ten úhel? Existuje noha, která je naproti rohu, tj. Protilehlá noha (pro roh)? Samozřejmě existuje! To je jízda!

Ale co ten úhel? Podívejte se opatrně. Která noha přiléhá k rohu? Samozřejmě, kateti. Takže pro roh je noha přilehlá a

A teď, pozor! Podívejte se, co máme:

Vidíte, jak je to skvělé:

Nyní pojďme k tangens a cotangent.

Jak to napsat nyní slovy? Co je to noha ve vztahu k rohu? Naproti - samozřejmě „leží“ naproti rohu. Katet? Přilehlý k rohu. Co jsme tedy udělali?

Vidíte, čitatel a jmenovatel vyměnili místa?

A nyní zase rohy a provedl výměnu:

Shrnutí

Pojďme si krátce napsat vše, co jsme se naučili.

Pythagorova věta:

Hlavní věta na pravoúhlém trojúhelníku je Pythagorova věta.

Pythagorova věta

Mimochodem, dobře si pamatujete, co jsou nohy a přepážka? Pokud ne, podívejte se na výkres - obnovte své znalosti

Je možné, že jste Pythagorovu větu užili mnohokrát, ale přemýšleli jste někdy, proč je taková věta pravdivá. Jak to dokázat? A udělejme to jako starověcí Řekové. Nakreslete čtverec se stranou.

Uvidíte, jak jsme chytře rozdělili jeho strany na délky segmentů a!

Nyní připojte označené body

Zde jsme opravdu poznamenali něco jiného, \u200b\u200bale vy sami se podíváte na výkres a přemýšlíte proč.

Jaká je plocha většího čtverce? Správně. Menší oblast? Samozřejmě. Celková plocha byla čtyři rohy. Představte si, že jsme je vzali dva po druhém a opírali se o sebe hypotéky. Co se stalo? Dva obdélníky. Takže oblast „útržků“ je stejná.

Pojďme to všechno dát dohromady.

Převést:

Takže jsme navštívili Pythagoras - starou cestou jsme prokázali jeho teorém.

Pravý trojúhelník a trigonometrie

Pro pravoúhlý trojúhelník platí následující vztahy:

Sinus s ostrým úhlem se rovná poměru protilehlé strany k přepážce

Kosinus ostrého úhlu je stejný jako poměr sousední nohy k přepážce.

Tečna ostrého úhlu se rovná poměru protilehlé nohy k sousední noze.

Prvek ostrého úhlu je stejný jako poměr sousední nohy k protilehlé noze.

A to vše ve formě tablet:

Je to velmi pohodlné!

Známky rovnosti pravoúhlých trojúhelníků

I. Na dvou nohách

II. Pro katétr a proponu

III. Přepážkou a ostrým úhlem

IV. Na boku a ostrém rohu

a)

b)

Pozor! Je velmi důležité, aby nohy byly „vhodné“. Například, pokud je to takto:

TOTO TRIANGLY NEJSOU ROVNÉ, přestože mají jeden stejný ostrý roh.

Potřeba   v obou trojúhelnících byla noha přilehlá nebo v obou protilehlých.

Všimli jste si, jak se znaky rovnosti pravých trojúhelníků liší od obyčejných znaků rovnosti trojúhelníků? Podívejte se na téma „a věnujte pozornost skutečnosti, že pro rovnost„ obyčejných “trojúhelníků potřebujete rovnost jejich tří prvků: dvě strany a úhel mezi nimi, dva úhly a stranu mezi nimi nebo tři strany. Ale pro rovnost pravoúhlých trojúhelníků stačí pouze dva odpovídající prvky. Skvělé, že?

O stejné situaci se známkami podobnosti pravoúhlých trojúhelníků.

Příznaky podobnosti pravoúhlých trojúhelníků

I. Akutní

II. Ve dvou nohách

III. Pro katétr a proponu

Medián v pravém trojúhelníku

Proč je to tak?

Zvažte celý obdélník místo pravého trojúhelníku.

Nakreslete úhlopříčku a zvažte bod - průsečík úhlopříček. Co je známo o úhlopříčkách obdélníku?

A co z toho vyplývá?

To se ukázalo

1. - střední:

Pamatujte na tuto skutečnost! Hodně to pomáhá!

A co je ještě překvapivější, je to, že obrácení je také pravda.

Co dobrého lze získat z toho, že medián tažený do přebalu se rovná polovině přebalu? Podívejme se na obrázek.

Podívejte se opatrně. Máme :, to znamená, že vzdálenosti od bodu ke všem třem vrcholům trojúhelníku byly stejné. V trojúhelníku je však pouze jeden bod, vzdálenost, od které jsou přibližně všechny tři vrcholy trojúhelníku stejné, a to je CENTRUM POPISOVANÉHO KRUHU. Co se tedy stalo?

Začněme tím „kromě ...“.

Pojďme se podívat na a.

Ale takové trojúhelníky mají stejné úhly!

Totéž lze říci o a

Teď to pojďme dohromady:

Jaký přínos může mít tato „trojitá“ podobnost.

No, například -   dva vzorce pro výšku pravého trojúhelníku.

Píšeme vztah příslušných stran:

Pro nalezení výšky rozhodneme proporci a dostaneme   první vzorec je „Výška v pravém trojúhelníku“:

Použijte podobnost :.

Co se stane teď?

Opět vyřešíme poměr a získáme druhý vzorec:

Oba tyto vzorce je třeba velmi dobře zapamatovat a použít ten, který je pohodlnější. Budeme je psát znovu

Pythagorova věta:

V pravoúhlém trojúhelníku se čtverec propony rovná součtu čtverců nohou :.

Znaky rovnosti pravoúhlých trojúhelníků:

• na dvou nohách:
• pro katétr a přepážku: nebo
• na boku a sousedním ostrém rohu: nebo
• na boku a v opačném ostrém úhlu: nebo
• propona a ostrý úhel: nebo.

Příznaky podobnosti pravoúhlých trojúhelníků:

• jeden ostrý roh: nebo
• z proporcionality obou nohou:
• z proporcionality nohy a přepážky: nebo.

Sinus, kosinus, tangens, cotangent v pravém trojúhelníku

• Sinus ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr opačné strany k přepážce:
• Kosinus ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr sousední nohy k přepážce:
• Tečna ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr opačné strany k sousední:
• Koordinátor ostrého úhlu pravoúhlého trojúhelníku je poměr sousední nohy k protilehlému :.

Výška pravého trojúhelníku: nebo.

V pravoúhlém trojúhelníku se střední hodnota vytyčená z vrcholu pravého úhlu rovná polovině mise :.

Plocha pravého trojúhelníku:

• přes nohy:

Návod k použití

Související videa

Věnujte pozornost

Při výpočtu stran pravého trojúhelníku mohou hrát znalosti o jeho vlastnostech:
1) Pokud je noha pravého úhlu naproti úhlu 30 stupňů, rovná se polovině předpěry;
2) Hypotenuse je vždy delší než kterákoli z nohou;
3) Pokud je kruh popsán kolem pravoúhlého trojúhelníku, měl by jeho střed ležet uprostřed tykve.

Hypotenuse je strana v pravém trojúhelníku, která je naproti úhlu 90 stupňů. Aby bylo možné vypočítat jeho délku, stačí znát délku jedné z nohou a velikost jednoho z ostrých úhlů trojúhelníku.

Návod k použití

Dejte nám vědět jednu z nohou a roh vedle ní. Pro jistotu nechť to bude noha | AB | a úhel α. Potom můžeme použít vzorec pro trigonometrický poměr kosinus - kosinus sousední nohy k. I.e. v našem zápisu, cos α \u003d | AB | / | AC |. Odtud získáme délku přepážky | AC | \u003d | AB | / cos α.
Pokud známe nohu | BC | a úhel α, pak použijeme vzorec pro výpočet sinusového úhlu - sinusový úhel se rovná poměru protilehlé strany k převisu: sin α \u003d | BC | / | AC |. Zjistíme, že délka propony se nachází jako | AC | \u003d | BC | / cos α.

Pro jasnost zvažte příklad. Nechte délku nohy | AB | \u003d 15. A úhel a \u003d 60 °. Dostaneme | AC | \u003d 15 / cos 60 ° \u003d 15 / 0,5 \u003d 30.
Zvažte, jak můžete ověřit svůj výsledek pomocí Pythagorovy věty. Abychom to mohli udělat, musíme vypočítat délku druhé etapy | BC |. Použití vzorce pro tečnu úhlu tan α \u003d | BC | / | AC |, získáme | BC | \u003d | AB | * tg α \u003d 15 * tg 60 ° \u003d 15 * √3. Dále použijeme Pythagorovu větu, dostaneme 15 ^ 2 + (15 * √3) ^ 2 \u003d 30 ^ 2 \u003d\u003e 225 + 675 \u003d 900. Ověření je dokončeno.

Užitečné rady

Po výpočtu přepočtu zkontrolujte, zda získaná hodnota vyhovuje Pythagorově větě.

Zdroje:

• Připravte stůl od 1 do 10 000

Nohy nazývají dvě krátké strany pravoúhlého trojúhelníku, který tvoří jeho vrchol, jehož hodnota je 90 °. Třetí strana v takovém trojúhelníku se nazývá přepážka. Všechny tyto strany a úhly trojúhelníku jsou vzájemně propojeny určitými vztahy, které vám umožňují vypočítat délku nohy, pokud je známo několik dalších parametrů.

Návod k použití

Použijte Pythagorovu větu pro nohu (A), pokud je známa délka ostatních dvou stran (B a C) pravého trojúhelníku. Tato věta říká, že součet čtverečních délek nohou je roven čtverci předpony. Z toho vyplývá, že délka každé nohy je stejná jako druhá odmocnina délky mřížky a druhé nohy: A \u003d √ (C²-B²).

Použijte definici přímé trigonometrické funkce „sinus“ pro ostrý úhel, pokud znáte velikost úhlu (α) ležícího proti vypočtené noze a délku přepážky (C). Toto prohlašuje, že sinus tohoto známého poměru je délka požadované nohy k délce hypotéky. Je to, že délka požadované nohy je rovna součinu délky přepážky sinusovým známým úhlem: A \u003d C ∗ sin (α). Pro stejné známé hodnoty můžete použít cosecant a vypočítat požadovanou délku vydělením délky přepážky cosecant známého úhlu A \u003d C / cosec (α).

Vyvolejte stanovení přímé trigonometrické funkce kosinu, pokud je kromě délky mřížky (C) známa také hodnota ostrého úhlu (P) sousedícího s požadovaným úhlem. Kosinus tohoto úhlu je poměr délek požadované nohy a přepážky, a z toho můžeme usoudit, že délka nohy je rovna součinu délky přepážky kosinem známého úhlu: A \u003d C ∗ cos (β). Můžete použít definici secantové funkce a vypočítat požadovanou hodnotu vydělením délky přepážky secant známým úhlem A \u003d C / s (β).

Odvozte požadovaný vzorec z podobné definice pro derivaci trigonometrické funkce tečny, pokud je kromě ostrého úhlu (a) ležícího proti požadované noze (A) známa délka druhé ramene (B). Tečna úhlu opačného k požadované noze je poměr délky této nohy k délce druhé nohy. Hledaná hodnota se proto bude rovnat součinu délky známé nohy s tečnou o známém úhlu: A \u003d B ∗ tg (α). Jiný vzorec může být odvozen ze stejných známých množství, pokud použijeme definici funkce cotangent. V tomto případě, pro výpočet délky nohy, bude nutné najít poměr délky známé nohy k cotangentu známého úhlu: A \u003d B / ctg (α).

Související videa

Slovo „cathetus“ pochází z ruštiny z řečtiny. V přesném překladu to znamená olovnice, to znamená kolmá k povrchu Země. V matematice se nohy, které tvoří pravý úhel pravoúhlého trojúhelníku, nazývají nohy. Strana naproti tomuto rohu se nazývá přepážka. Termín „noha“ se také používá v architektuře a svařovací technologii.

Secant tohoto úhlu se získá dělením přepážky sousední nohou, tj. SecCAB \u003d c / b. Ukazuje se obráceně na kosinus, to znamená, že jej lze vyjádřit vzorcem secCAB \u003d 1 / cosSAB.
Csecant je roven kvocientu dělení přepážky protilehlou nohou a toto je reciproční sinus. Lze jej vypočítat pomocí vzorce cosecCAB \u003d 1 / sinCAB

Obě nohy jsou vzájemně propojeny a jsou v klidu. V tomto případě bude tangens poměr strany a ke straně b, tj. Protilehlé rameno k sousednímu. Tento poměr lze vyjádřit vzorcem tgCAB \u003d a / b. V souladu s tím je cotangent inverzní poměr: ctgCAB \u003d b / a.

Poměr mezi velikostí tykve a obou nohou byl určen starověkými řeckými Pythagory. Lidé stále používají teorém, jeho jméno. Říká se, že čtverec propony se rovná součtu čtverců nohou, tj. C2 \u003d a2 + b2. V souladu s tím bude každá noha rovna druhé odmocnině rozdílu čtverců přepážky a druhé nohy. Tento vzorec lze napsat jako b \u003d √ (c2-a2).

Délka nohy lze také vyjádřit prostřednictvím vztahů, které znáte. Podle věty o sinech a kosinech se noha rovná jedné z těchto funkcí jako souhvězdí. Můžete to vyjádřit nebo cotangent. Katet a lze nalézt například vzorcem a \u003d b * tan CAB. Přesně stejným způsobem, v závislosti na daném tečnu nebo, je také určena druhá noha.

Termín “noha” je také používán v architektuře. To je aplikováno na iontová velká města a olovo přes jeho ocas. To znamená, že v tomto případě je tento termín kolmý k dané linii.

Ve svařovací technologii existuje „svarový kout“. Stejně jako v jiných případech je to nejkratší vzdálenost. Zde mluvíme o mezeře mezi jednou z částí, které mají být přivařeny, k hranici švu umístěného na povrchu druhé části.

Související videa

Zdroje:

• co je noha a přepážka v roce 2019