Kosínus medzi lietadlami. Nájdenie uhla medzi rovinami (dihedrálny uhol)

Pri riešení geometrických problémov v priestore sú často také, kde je potrebné vypočítať uhly medzi rôznymi priestorovými objektmi. V tomto článku sa zaoberáme otázkou nájdenia uhlov medzi rovinami a medzi nimi a priamkou.

Priamo vo vesmíre

Je známe, že absolútne ľubovoľná čiara v rovine môže byť definovaná nasledujúcou rovnosťou:

Tu aab sú niektoré čísla. Ak sa ten istý výraz použije na vyjadrenie priamky v priestore, dostaneme rovinu rovnobežnú s osou z. Na matematickú definíciu priestorovej čiary sa používa iné riešenie ako v dvojrozmernom prípade. Spočíva v použití konceptu „smerového vektora“.

Príklady riešenia problémov pri určovaní uhla priesečníka lietadiel

Vedieť, ako nájsť uhol medzi rovinami, vyriešime nasledujúci problém. Uvádzajú sa dve roviny, ktorých rovnice majú tvar:

3 * x + 4 * y - z + 3 \u003d 0;

X - 2 * y + 5 * z +1 \u003d 0

Aký je uhol medzi lietadlami?

Na zodpovedanie otázky je potrebné pripomenúť, že koeficienty, ktoré znamenajú premenné v rovnici všeobecnej roviny, sú súradnicami vektora sprievodcu. Pre uvedené roviny máme tieto súradnice ich normálov:

n 1 (3; 4; -1);

n 2 ¯ (-1; -2; 5)

Teraz nájdeme skalárny produkt týchto vektorov a ich modulov, máme:

(n 1 * * 2 \u003d) \u003d -3 -8 -5 \u003d -16;

| n 1 ¯ | \u003d √ (9 + 16 + 1) \u003d -26;

| n 2 ¯ | \u003d √ (1 + 4 + 25) \u003d ~ 30

Teraz môžete nahradiť nájdené čísla vo vzorci uvedenom v predchádzajúcom odseku. Dostaneme:

a \u003d arkoky (| -16 | / (~ 26 * ~ 30) \u003d 55,05 o

Získaná hodnota zodpovedá ostrému uhlu priesečníka rovín špecifikovaných v stave problému.

Teraz zvážte ďalší príklad. Sú dané dve roviny:

Pretínajú sa? Vypíšeme súradnicové hodnoty ich vodiacich vektorov, vypočítame ich skalárny súčin a moduly:

n 1 (1; 1; 0);

n 2 (3; 3; 0);

(n 1 * * 2 \u003d) \u003d 3 + 3 + 0 \u003d 6;

| n 1 ¯ | \u003d -2;

| n 2 ¯ | \u003d √18

Potom je uhol priesečníka:

a \u003d arkózy (| 6 | / (-2 * 18) \u003d 0 o.

Tento uhol naznačuje, že roviny sa nepretíjajú, ale sú rovnobežné. Skutočnosť, že sa navzájom nezhodujú, sa dá ľahko overiť. Berieme na to svojvoľný bod patriaci k prvému z nich, napríklad P (0; 3; 2). Nahradením jeho súradníc v druhej rovnici dostaneme:

3 * 0 +3 * 3 + 8 = 17 ≠ 0

To znamená, že bod P patrí iba do prvej roviny.

Teda dve roviny sú rovnobežné, keď sú ich normály.

Rovný a rovný

Pri zvažovaní relatívnej polohy medzi rovinou a čiarou existuje niekoľko ďalších možností ako s dvoma rovinami. Táto skutočnosť súvisí so skutočnosťou, že linka je jednorozmerným objektom. Čiara a rovina môžu byť:

• vzájomne rovnobežné, v tomto prípade rovina nepretína čiaru;
• posledne menovaná môže patriť do roviny, pričom s ňou bude rovnobežná;
• oba objekty sa môžu pretínať pod určitým uhlom.

Najskôr sa zaoberáme posledným uvedeným prípadom, pretože si vyžaduje zavedenie koncepcie uhla priesečníka.

Čiara a rovina, hodnota uhla medzi nimi

Ak rovina pretína priamku, potom sa vzhľadom na ňu nazýva šikmá. Priesečník sa nazýva základňa svahu. Na určenie uhla medzi týmito geometrickými objektmi je potrebné znížiť priamu kolmicu z ktoréhokoľvek bodu do roviny. Potom priesečník kolmice s rovinou a priesečník sklonu s ním tvoria priamku. Ten sa nazýva priemet pôvodnej čiary na uvažovanú rovinu. Ostrý a premietaný je požadovaný.

Trochu mätúce vymedzenie uhla medzi rovinou a naklonením objasní obrázok nižšie.

Tu je uhol ABO uhol medzi čiarou AB a rovinou.

Ak chcete napísať vzorec, zvážte príklad. Dovoliť je čiara a rovina, ktoré sú opísané pomocou rovníc:

(x; y; z) \u003d (x 0; y 0; z 0) + A * (a; b; c);

A * x + B * x + C * x + D \u003d 0

Je ľahké vypočítať požadovaný uhol pre tieto objekty, ak nájdete skalárny produkt medzi smerujúcimi vektormi priamky a roviny. Výsledný ostrý uhol by sa mal odpočítať od 90 o, potom sa získa medzi čiarou a rovinou.

Obrázok hore ukazuje opísaný algoritmus na nájdenie uvažovaného uhla. Tu je p uhol medzi normou a čiarou a a je medzi čiarou a jej priemetom do roviny. Je vidieť, že ich súčet je 90 o.

Uvedený vzorec bol predstavený ako odpoveď na otázku, ako nájsť uhol medzi rovinami. Teraz dáme zodpovedajúci výraz pre prípad priamky a roviny:

a \u003d arcsín (| a * A + b * B + c * C | / (√ (a 2 + b 2 + c 2) * √ (A2 + B2 + C2)))

Modul vo vzorci umožňuje vypočítať iba ostré uhly. Arcsínová funkcia sa objavila namiesto arkozínu v dôsledku použitia zodpovedajúceho redukčného vzorca medzi trigonometrickými funkciami (cos (p) \u003d sin (90 o-β) \u003d sin (a)).

Úloha: rovina prechádza priamkou

Teraz ukážeme, ako pracovať s vyššie uvedeným vzorcom. Vyriešime problém: je potrebné vypočítať uhol medzi osou y a rovinou danou rovnicou:

Táto rovina je znázornená na obrázku.

Je zrejmé, že pretína osi y a z v bodoch (0; -12; 0) a (0; 0; 12) a je rovnobežná s osou x.

Smerový vektor priamky y má súradnice (0; 1; 0). Vektor kolmý na danú rovinu je charakterizovaný súradnicami (0; 1; -1). Použijeme vzorec pre uhol priesečníka priamky a roviny, dostaneme:

a \u003d arcsin (| 1 | / (√1 * √2)) \u003d arcsin (1 / √2) \u003d 45 o

Úloha: priamka rovnobežná s rovinou

Teraz vyriešime podobný predchádzajúci problém, ktorého otázka je položená inak. Známe rovnice roviny a priamky:

x + y - z - 3 \u003d 0;

(x; y; z) \u003d (1; 0; 0) + A * (0; 2; 2)

Je potrebné zistiť, či sú tieto geometrické objekty navzájom rovnobežné.

Máme dva vektory: riadiaca čiara je (0; 2; 2) a smerová rovina je (1; 1; -1). Nájdite ich skalárny produkt:

0 * 1 + 1 * 2 - 1 * 2 = 0

Výsledná nula znamená, že uhol medzi týmito vektormi je 90 o, čo dokazuje priamku a rovnobežnosť roviny.

Teraz skontrolujeme, či je táto čiara iba rovnobežná alebo leží tiež v rovine. Vyberte ľubovoľný bod na priamke a skontrolujte, či patrí do roviny. Napríklad vezmeme λ \u003d 0, potom bod P (1; 0; 0) línie patrí. Do rovnice nahradíme rovinu P:

Bod P roviny nepatrí, čo znamená, že celá čiara v nej neleží.

Kde je dôležité poznať uhly medzi uvažovanými geometrickými objektmi?

Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov nie sú len teoretické. Často sa používajú na určenie dôležitých fyzikálnych veličín skutočných objemových čísel, ako sú hranoly alebo pyramídy. Pri výpočte objemov figúr a oblastí ich plôch je dôležité určiť uhol medzi rovinami. Okrem toho, ak v prípade priameho hranolu nie je možné tieto vzorce použiť na stanovenie uvedených hodnôt, potom je pre akýkoľvek druh pyramídy nevyhnutné ich použitie.

Ďalej uvádzame príklad použitia vyššie uvedenej teórie na určenie uhlov pyramídy so štvorcovou základňou.

Pyramída a jej rohy

Na obrázku nižšie je znázornená pyramída, na ktorej spodnej časti leží štvorec so stranou a. Výška postavy je h. Musíte nájsť dva uhly:

• medzi bočným povrchom a základňou;
• medzi bočným rebrom a základňou.

Na vyriešenie problému musíte najskôr vstúpiť do súradnicového systému a určiť parametre zodpovedajúcich vrcholov. Obrázok ukazuje, že začiatok sa zhoduje s bodom v strede štvorcovej základne. V tomto prípade je základná rovina opísaná rovnicou:

To znamená, že pre akékoľvek xay je hodnota tretej súradnice vždy nula. Bočná rovina ABC pretína os z v bode B (0; 0; h) a os y v bode so súradnicami (0; a / 2; 0). Os x nepretína. To znamená, že rovnicu roviny ABC je možné písať ako:

y / (a \u200b\u200b/ 2) + z / h \u003d 1 alebo

2 * h * y + a * z - a * h \u003d 0

Vektor AB¯ je bočný okraj. Súradnice jeho začiatku a konca sú rovnaké: A (a / 2; a / 2; 0) a B (0; 0; h). Potom súradnice samotného vektora:

Našli sme všetky potrebné rovnice a vektory. Teraz zostáva použitie vyššie uvedených vzorcov.

Najprv vypočítame v pyramíde uhol medzi rovinami základne a strany. Zodpovedajúce normálne vektory sú rovnaké: n 1 ¯ (0; 0; 1) a n2 ¯ (0; 2 * h; a). Potom uhol bude:

a \u003d arccos (a / √ (4 * h 2 + a 2))

Uhol medzi rovinou a hranou AB sa rovná:

p \u003d arcsín (h / √ (a 2/2 + h2))

Zostáva nahradiť špecifické hodnoty základnej strany a a h, aby sa dosiahli potrebné uhly.

Tento článok je venovaný uhlu medzi rovinami a ich umiestnením. Najprv je uvedená definícia uhla medzi dvoma rovinami a je uvedená grafická ilustrácia. Potom sa preskúmal princíp nájdenia uhla medzi dvoma priesečníkovými rovinami súradnicovou metódou a získal sa vzorec, ktorý umožňuje vypočítať uhol medzi priesečníkovými rovinami zo známych súradníc normálnych vektorov týchto rovín. V závere sú uvedené podrobné riešenia konkrétnych úloh.

Navigácia na stránke.

Uhol medzi rovinami je definícia.

Uvádzame argumenty, ktoré sa budú postupne približovať k určovaniu uhla medzi dvoma priesečníkmi.

Dajte nám dve protínajúce sa roviny a. Tieto roviny sa pretínajú priamou čiarou, ktorú označujeme písmenom c. Zostrojíme rovinu prechádzajúcu bodom M čiary c a kolmo na čiaru c. V tomto prípade bude rovina pretínať roviny a. Označte čiaru, pozdĺž ktorej sa priesečníky prelínajú a ako a a čiaru, pozdĺž ktorej sa priesečníky prelínajú a ako b. Čiary a a b sa samozrejme pretínajú v bode M.

Je ľahké ukázať, že uhol medzi priesečníkmi a a b nezávisí od umiestnenia bodu M na priamke c, cez ktorú prechádza rovina.

Zostavíme rovinu kolmú na priamku ca inú ako rovina. Rovina pretína roviny pozdĺž priamok, ktoré označujeme 1 a b 1.

Z metódy konštrukcie rovín vyplýva, že priamky aab sú kolmé na priamku c a priamky a 1 a bl sú kolmé na priamku c. Pretože čiary a a 1 ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na čiaru c, sú rovnobežné. Podobne línie b a bl ležia v rovnakej rovine a sú kolmé na priamku c, preto sú rovnobežné. Je teda možné uskutočňovať paralelný prenos roviny do roviny, v ktorej sa priamka a 1 zhoduje s priamkou a a priamkou b s priamkou b1. Preto je uhol medzi dvoma priesečníkmi a1 a bl rovný uhlu medzi priesečníkmi a a b.

To dokazuje, že uhol medzi priesečníkovými priamkami aab, ležiacimi v priesečníkových rovinách, nezávisí od výberu bodu M, ktorým prechádza rovina. Preto je logické brať tento uhol ako uhol medzi dvoma priesečníkmi.

Teraz si môžete prečítať definíciu uhla medzi dvoma protínajúcimi sa rovinami a.

definícia

Uhol medzi dvoma rovinami pretína sa v priamke s Je uhol medzi dvoma priesečníkmi priamok a a b, pozdĺž ktorých sa tieto roviny pretína s rovinou kolmou na priamku c.

Definíciu uhla medzi dvoma rovinami je možné uviesť trochu inak. Ak je na priamke c, pozdĺž ktorej sa tieto roviny pretína, označte bod M a nakreslite jej priamky a a b kolmo na priamku c a ležiace v rovinách, respektíve uhol medzi čiarami a a b predstavuje uhol medzi rovinami a. V praxi sa takéto konštrukcie obvykle robia tak, aby sa dosiahol uhol medzi rovinami.

Pretože uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami nepresahuje, z oznámenej definície vyplýva, že miera miery uhla medzi dvoma priesečníkmi sa vyjadruje ako skutočné číslo z intervalu. Ďalej sa nazývajú pretínacie roviny kolmýak je uhol medzi nimi deväťdesiat stupňov. Uhol medzi rovnobežnými rovinami sa buď neurčí vôbec, alebo sa považuje za rovný nule.

Nájdenie uhla medzi dvoma protínajúcimi sa rovinami.

Zvyčajne pri hľadaní uhla medzi dvoma priesečníkovými rovinami musíte najprv vykonať ďalšie konštrukcie, aby ste videli priesečníkové priamky, ktorých uhol sa rovná požadovanému uhlu, a potom tento uhol spojte s pôvodnými údajmi pomocou znakov rovnosti, znakov podobnosti, kosínskej vety alebo definície sínusovej, kosínusovej a dotyčnica uhla. Stredoškolský kurz geometrie sa stretáva s podobnými problémami.

Ako príklad uvádzame riešenie problému C2 z USE v matematike na rok 2012 (podmienka sa úmyselne zmení, ale to neovplyvní princíp riešenia). Potrebovalo len nájsť uhol medzi dvoma pretínacími sa rovinami.

Príklad.

Rozhodnutie.

Na začiatok vytvoríme kresbu.

Vykonávame ďalšie konštrukcie, aby sme „videli“ uhol medzi rovinami.

Najprv definujeme priamku, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1. Bod B je jedným z ich spoločných bodov. Nájdite druhý spoločný bod týchto lietadiel. Čiary DA a D 1 E ležia v rovnakej rovine ADD 1 a nie sú rovnobežné, a preto sa pretína. Na druhej strane priamka DA leží v rovine ABC a priamka D1E - v rovine BED 1 bude preto priesečníkom čiar DA a D1 E spoločný bod rovín ABC a BED 1. Pokračujeme teda po priamkach DA a D 1 E k ich priesečníku, bod ich priesečníka označíme písmenom F. Potom je BF priamka, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny ABC a BED 1.

Zostáva vybudovať dve čiary ležiace v rovinách ABC a BED 1, ktoré prechádzajú jedným bodom na priamke BF a kolmo na priamku BF - uhol medzi týmito čiarami bude podľa definície rovný požadovanému uhlu medzi rovinami ABC a BED 1. Poďme na to.

bod A je priemet bodu E na rovinu ABC. Nakreslime priamku pretína v pravom uhle k priamke BF v bode M. Potom priamka AM predstavuje priemet priamky EM na rovinu ABC a vetu o troch kolmiciach.

Požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 je teda rovnaký.

Sínus, kosínus alebo tangens tohto uhla (a teda aj samotného uhla) môžeme určiť z AEM pravouhlého trojuholníka, ak poznáme dĺžku jeho dvoch strán. Zo stavu je ľahké nájsť dĺžku AE: pretože bod E delí stranu AA1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A, a dĺžka strany AA1 je 7, potom AE \u003d 4. Nájdite inú dĺžku AM.

Na tento účel zvážte pravouhlý trojuholník ABF s pravým uhlom A, kde AM je výška. Podľa podmienky AB \u003d 2. Dĺžka bočného AF nájdeme z podobnosti pravouhlých trojuholníkov DD 1 F a AEF:

Pythagorovou vetou nájdeme z trojuholníka ABF. Nájdeme dĺžku AM cez oblasť trojuholníka ABF: na jednej strane je oblasť trojuholníka ABF , na druhej strane odkiaľ .

Takže z pravého trojuholníka AEM máme .

Potom je požadovaný uhol medzi rovinami ABC a BED 1 rovný (všimnite si to ).

odpoveď:

V niektorých prípadoch je vhodné nájsť uhol medzi dvoma priesečníkovými rovinami a určiť Oxyz a použiť metódu súradníc. Zastavíme sa na tom.

Predstavujeme problém: nájdite uhol medzi dvoma protínajúcimi sa rovinami a. Označte požadovaný uhol pomocou.

Predpokladáme, že v danom pravouhlom súradnicovom systéme Oxyz poznáme súradnice normálnych vektorov priesečníkových rovín a je možné ich nájsť. Nech je je normálny vektor roviny a je normálny vektor roviny. Ukážeme, ako nájsť uhol medzi pretínajúcimi sa rovinami a prostredníctvom súradníc normálnych vektorov týchto rovín.

Označujeme čiaru, pozdĺž ktorej sa pretínajú roviny a ako c. Cez bod M na priamke c nakreslite rovinu kolmú na priamku c. Rovina pretína roviny pozdĺž priamok a a b, priamky a a b sa pretínajú v bode M. Podľa definície je uhol medzi priesečníkovými rovinami rovný uhlu medzi priesečníkmi a a b.

Z bodu M v rovine odložíme normálne vektory a roviny a. V tomto prípade leží vektor na priamke, ktorá je kolmá na priamku a, a vektor - na priamke, ktorá je kolmá na priamku b. V rovine je teda vektor normálnym vektorom priamky a, je normálnym vektorom priamky b.

V článku, nájdenie uhla medzi priesečníkmi, sme dostali vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať kosínus uhla medzi priesečníkmi podľa súradníc normálnych vektorov. Takže kosínus uhla medzi čiarami aab, a teda aj kosínus uhla medzi pretínacími sa rovinami a nachádza sa podľa vzorca, kde a Sú to normálne vektory rovín, resp. Potom sa vypočíta ako .

Predchádzajúci príklad riešime pomocou súradnicovej metódy.

Príklad.

Je uvedený obdĺžnikový ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, v ktorom AB \u003d 2, AD \u003d 3, AA 1 \u003d 7 a bod E delí stranu AA 1 v pomere 4 ku 3, počítajúc od bodu A. Nájdite uhol medzi rovinami ABC a BED 1.

Rozhodnutie.

Pretože strany pravouhlého rovnobežnostena v jednom vrchole sú párovo kolmé, je účelné zaviesť pravouhlý súradnicový systém Oxyz nasledovne: začnite zarovnávanie s vrcholom C a osy Ox, Oy a Oz pozdĺž strán CD, CB a CC 1.

Uhol medzi rovinami ABC a BED 1 možno nájsť prostredníctvom súradníc normálnych vektorov týchto rovín pomocou vzorca, kde a sú normálnymi vektormi rovín ABC a BED 1. Určujeme súradnice normálnych vektorov.

Meradlom uhla medzi rovinami je ostrý uhol tvorený dvoma priamkami ležiacimi v týchto rovinách a nakreslenými kolmo na čiaru ich priesečníka.

Konštrukčný algoritmus

1. Z ľubovoľného bodu K sú kolmice vedené ku každej z uvedených rovín.
2. Metódou rotácie okolo vodorovnej čiary sa stanoví uhol γ s vrcholom v bode K.
3. Uhol medzi rovinami ϕ ° \u003d 180 - γ ° sa vypočíta za predpokladu, že γ °\u003e 90 °. Ak γ °< 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

Obrázok ukazuje prípad, keď sú roviny a a p definované stopami. Všetky potrebné konštrukcie sa vykonávajú podľa algoritmu a sú opísané nižšie.

rozhodnutie

1. Na ľubovoľnom mieste na výkrese označte bod K. Z toho dolu kolmice m resp. N k rovinám α a β. Smer výstupkov ma an je nasledujúci: m "" 0f 0α, m "⊥h 0α, n" "⊥f 0β, n" "0h.
2. Skutočnú veľkosť ∠γ ° určujeme medzi čiarami ma n. Za týmto účelom otočíme uhlovú rovinu s vrcholom K okolo prednej f do polohy rovnobežnej s prednou rovinou premietania. Polomer otáčania R v bode K sa rovná preponu pravouhlého trojuholníka O "" K "" K 0, ktorého noha je K "" K 0 \u003d y K - y O.
3. Požadovaný uhol je ϕ ° \u003d ∠γ °, pretože ∠γ ° je ostrý.

Obrázok nižšie ukazuje riešenie problému, pri ktorom je potrebné nájsť uhol y ° medzi rovinami a a p, ktorý je daný rovnobežnými a priesečníkovými priamkami.

rozhodnutie

1. Určujeme smer projekcií horizontálov h 1, h 2 a predných čiar f 1, f 2 patriacich k rovinám α a β, v poradí naznačenom šípkami. Z ľubovoľného bodu K na Sq. a a p vynechávajú kolmice e a k. Okrem toho e "" ⊥f "" 1, e "⊥h" 1 a k "" ⊥f "" 2, k "⊥h" 2.
2. Definujeme ∠γ ° medzi čiarami e a k. Na tento účel nakreslite horizontálnu h 3 a otočte okolo nej bod K do polohy K 1, v ktorej sa △ CKD stane rovnobežnou s horizontálnou rovinou a odrazí sa v plnej veľkosti - △ C „K“ 1 D “. Projekcia stredu otáčania O“ sa nachádza na do h "3 kolmý K" O ". Polomer R sa určuje z pravouhlého trojuholníka O" K "K 0, ktorého strana je K" K 0 \u003d ZO - ZK.
3. Hodnota požadovaného ∠ϕ ° \u003d ∠γ °, pretože uhol y ° je ostrý.

Druh práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

podmienka

Je daný správny hranol ABCDA_1B_1C_1D_1, M a N sú stredy hrán AB a BC, bod K je stred MN.

a) Dokážte, že čiary KD_1 a MN sú kolmé.

b) Nájdite uhol medzi rovinami MND_1 a ABC, ak AB \u003d 8, AA_1 \u003d 6 \\ sqrt 2.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

a) V \\ triangle DCN a \\ triangle MAD máme: \\ uhol C \u003d \\ uhol A \u003d 90 ^ (\\cir), CN \u003d AM \u003d \\ frac12AB, CD \u003d DA.

Preto \\ trojuholník DCN \u003d \\ trojuholník MAD v dvoch nohách. potom MD \u003d DN, \\ trojuholník DMN rovnoramenný. Medián DK - je teda tiež výška. Preto DK \\ perp MN.

DD_1 \\ perp MND za predpokladu, D_1K - šikmé, KD - projekcia, DK \\ perp MN.

Preto veta o troch kolmiciach MN \\ perp D_1K.

b) Ako bolo dokázané v a), DK \\ perp MN a MN \\ perp D_1K, ale MN je priesečnica rovín MND_1 a ABC, takže \\ uhol DKD_1 je lineárny uhol dvojstenného uhla medzi rovinami MND_1 a ABC.

V trojuholníku DAM podľa Pythagorovej vety DM \u003d \\ sqrt (DA ^ 2 + AM ^ 2) \u003d \\ sqrt (64 + 16) \u003d 4 \\ sqrt 5, Mn \u003d \\ sqrt (MB ^ 2 + BN ^ 2) \u003d \\ sqrt (16 + 16) \u003d 4 \\ sqrt 2. Preto v \\ trojuholníku DKM podľa Pythagorovej vety DK \u003d \\ sqrt (DM ^ 2-KM ^ 2) \u003d \\ sqrt (80-8) \u003d 6 \\ sqrt 2. Potom v \\ trojuholníku DKD_1, tg \\ uhol DKD_1 \u003d \\ frac (DD_1) (DK) \u003d \\ frac (6 \\ sqrt 2) (6 \\ sqrt 2) \u003d 1.

Preto \\ uhol \\ DKD_1 \u003d 45 ^ (\\cir).

odpoveď

45 ^ (\\cir).

Druh práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

podmienka

V pravidelnom štvoruholníkovom hranole ABCDA_1B_1C_1D_1 sú strany základne 4, bočné okraje 6. Bod M je uprostred okraja CC_1, bod N je označený na okraji BB_1 tak, že BN: NB_1 \u003d 1: 2.

a) V akom vzťahu delí rovina AMN hranu DD_1?

b) Nájdite uhol medzi rovinami ABC a AMN.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

a) Rovina AMN pretína okraj DD_1 v bode K, ktorý je štvrtým vrcholom úseku daného hranolu touto rovinou. Rez je rovnobežník ANMK, pretože opačné strany tohto hranola sú rovnobežné.

BN \u003d \\ frac13BB_1 \u003d 2. Nakreslíme KL \\ paralelné CD, potom sú trojuholníky ABN a KLM rovnaké, čo znamená ML \u003d BN \u003d 2, LC \u003d MC-ML \u003d 3-2 \u003d 1, KD \u003d LC \u003d 1. Potom KD_1 \u003d 6-1 \u003d 5. Teraz nájdete pomer KD: KD_1 \u003d 1: 5.

b) F je priesečník čiar CD a KM. Lietadlá ABC a AMN sa pretínajú v priamke AF. Uhol \\ uhol KHD \u003d \\ alfa je lineárny uhol dihedrálneho uhla (HD \\ perp AF, potom teorémou inverznou k trom kolmým vetám, KH \\ perp AF) a je ostrým uhlom pravouhlého trojuholníka KHD, katétra KD \u003d 1.

Trojuholníky FKD a FMC sú podobné (KD \\ paralelné MC), preto FD: FC \u003d KD: MC, pri riešení pomeru FD: (FD + 4) \u003d 1: 3, dostaneme FD \u003d 2. V pravouhlom trojuholníku AFD (\\ uhol D \u003d 90 ^ (\\cir)) s nohami 2 a 4 vypočítame preponu AF \u003d \\ sqrt (4 ^ 2 + 2 ^ 2) \u003d 2 \\ sqrt 5, DH \u003d AD \\ cdot FD: AF \u003d \\ frac (4 \\ cdot 2) (2 \\ sqrt 5) \u003d \\ frac4 (\\ sqrt 5).

V pravom trojuholníku KHD nájdeme tg \\ alfa \u003d \\ frac (KD) (DH) \u003d \\ frac (\\ sqrt 5) 4, znamená požadovaný uhol \\ alpha \u003d arctg \\ frac (\\ sqrt 5) 4.

odpoveď

a) 1:5;

b) arctg \\ frac (\\ sqrt 5) 4.

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku 2017. Úroveň profilu. “ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu, Kulabukhova.

Druh práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

podmienka

Vzhľadom na pravidelnú štvoruholníkovú pyramídu KMNPQ so základnou stranou MNPQ rovnou 6 a bočnou hranou 3 \\ sqrt (26).

a) Nakreslite časť pyramídy s rovinou prechádzajúcou čiarou NF rovnobežnou s uhlopriečkou MP, ak je bod F uprostred okraja MK.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a rovinou KMP.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

a) Nech KO je výška pyramídy, F je stred MK; FE \\ paralelný MP (v rovine PKM). Pretože FE je strednou čiarou \\ trojuholníka PKM, potom FE \u003d \\ frac (MP) 2.

Postavme časť pyramídy s rovinou prechádzajúcou cez NF a rovnobežnou s MP, to znamená s rovinou NFE. L je priesečník EF a KO. Pretože body L a N patria do požadovaného úseku a ležia v rovine KQN, bod T získaný ako priesečník LN a KQ je tiež priesečníkom požadovaného úseku a okraja KQ. NETF je požadovaná sekcia.

b) Roviny NFE a MPK sa pretínajú priamou čiarou FE. Preto je uhol medzi týmito rovinami rovný lineárnemu uhlu dihedrálneho uhla OFEN, my ho konštruujeme: LO \\ perp MP, MP \\ paralelný FE, tým, LO \\ perp FE; \\ trojuholník NFE je rovnoramenný (NE \u003d NF ako zodpovedajúci stredný priemer rovnakých trojuholníkov KPN a KMN), NL je jeho stredná hodnota (EL \u003d LF, pretože PO \u003d OM a \\ trojuholník KEF \\ sim \\ trojuholník KPM ) Preto je požadovaná hodnota NL \\ perp FE a \\ angle NLO.

ON \u003d \\ frac12QN \u003d \\ frac12MN \\ sqrt 2 \u003d 3 \\ sqrt 2.

\\ trojuholník KON - obdĺžnikový.

Noha KO podľa Pythagorovej vety sa rovná KO \u003d \\ sqrt (KN ^ 2-ON ^ 2).

OL \u003d \\ frac12KO \u003d \\ frac12 \\ sqrt (KN ^ 2-ON ^ 2) \u003d \\ frac12 \\ sqrt (9 \\ cdot 26-9 \\ cdot 2) \u003d \\ frac12 \\ sqrt (9 (26-2)) \u003d \\ frac32 \\ sqrt (24) \u003d \\ frac32 \\ cdot 2 \\ sqrt 6 \u003d 3 \\ sqrt 6.

tg \\ uhol NLO \u003d \\ frac (ON) (OL) \u003d \\ frac (3 \\ sqrt 2) (3 \\ sqrt 6) \u003d \\ frac1 (\\ sqrt 3),

\\ uhol NLO \u003d 30 ^ (\\cir).

odpoveď

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku 2017. Úroveň profilu. “ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu, Kulabukhova.

Druh práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

podmienka

Všetky hrany pravidelného trojuholníkového hranolu ABCA_ (1) B_ (1) C_ (1) sa rovnajú 6. Medzi stredovými bodmi hrán AC a BB_ (1) a vrcholom A_ (1) je nakreslená secantová rovina.

a) Dokážte, že hrana BC je delená secantovou rovinou v pomere 2: 1, počítajúc sa od vrcholu C.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

a) Nech D a E sú stredy hrán AC a BB_ (1).

V rovine AA_ (1) C_ (1) nakreslíme čiaru A_ (1) D, ktorá pretína priamku CC_ (1) v bode K, v rovine BB_ (1) C_ (1), nakreslite čiaru KE, ktorá pretína okraj BC v bode F , Spojením bodov A_ (1) a E ležiacich v rovine AA_ (1) B_ (1), ako aj D a F ležiacich v rovine ABC dostaneme rez A_ (1) EFD.

\\ bigtriangleup AA_ (1) D \u003d \\ bigtriangleup CDK na nohe AD \u003d DC a ostrý uhol.

\\ uhol ADA_ (1) \u003d \\ uhol CDK - ako vertikálny, znamená to, že AA_ (1) \u003d CK \u003d 6. \\ bigtriangleup CKF a \\ bigtriangleup BFE sú podobné v dvoch uhloch \\ uhol FBE \u003d \\ uhol KCF \u003d 90 ^ \\cir, \\ uhol BFE \u003d \\ uhol CFK - ako zvislý.

\\ frac (CK) (BE) \u003d \\ frac (6) (3) \u003d 2, to znamená, že koeficient podobnosti je 2, z čoho vyplýva, že CF: FB \u003d 2: 1.

b) Nakreslite AH \\ perp DF. Uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou sa rovná uhlu AHA_ (1). Segment AH \\ perp DF (DF je priesečník týchto rovín) je priemetom segmentu A_ (1) H na základnú rovinu, teda pomocou troch kolmých vety, A_ (1) H \\ perp DF. \\ uhol AHA_ (1) \u003d arctg \\ frac (AA_ (1)) (AH). AA_ (1) \u003d 6.

Nájdite AH. \\ uhol ADH \u003d \\ uhol FDC (ako vertikálny).

Podľa kosinovej vety v \\ bigtriangleup DFC:

DF ^ 2 \u003d FC ^ 2 + DC ^ 2- 2FC \\ cdot DC \\ cdot \\ cos 60 ^ \\cir,

DF ^ 2 \u003d 4 ^ 2 + 3 ^ 2-2 \\ cdot 4 \\ cdot 3 \\ cdot \\ frac (1) (2) \u003d 13.

FC ^ 2 \u003d DF ^ 2 + DC ^ 2- 2DF \\ cdot DC \\ cdot \\ cos \\ angle FDC,

4 ^ 2 \u003d 13 + 9-2 \\ sqrt (13) \\ cdot 3 \\ cdot \\ cos \\ angle FDC,

\\ cos \\ uhol FDC \u003d \\ frac (6) (2 \\ sqrt (13) \\ cdot 3) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (13)).

Podľa dôsledkov hlavnej trigonometrickej identity

\\ sin \\ uhol FDC \u003d \\ sqrt (1- \\ left (\\ frac (1) (\\ sqrt (13)) \\ right) ^ 2) \u003d \\ frac (2 \\ sqrt (3)) (\\ sqrt (13)) , Z \\ bigtriangleup ADH nájdeme AH:

AH \u003d AD \\ cdot \\ sin \\ uhol ADH, (\\ uhol FDC \u003d \\ uhol ADH). AH \u003d 3 \\ cdot \\ frac (2 \\ sqrt (3)) (\\ sqrt (13)) \u003d \\ frac (6 \\ sqrt (13)) (\\ sqrt (13)).

\\ uhol AHA_ (1) \u003d arctg \\ frac (AA_ (1)) (AH) \u003d arctg \\ frac (6 \\ cdot \\ sqrt (13)) (6 \\ sqrt (3)) \u003d arctg \\ frac (\\ sqrt (39)) (3).

odpoveď

arctg \\ frac (\\ sqrt (39)) (3).

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku 2017. Úroveň profilu. “ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu, Kulabukhova.

Druh práce: 14
Predmet: Uhol medzi rovinami

podmienka

Základom priameho hranolu ABCDA_ (1) B_ (1) C_ (1) D_ (1) je diamant s tupým uhlom B rovným 120 ^ \\cir. Všetky hrany tohto hranolu sú 10. Body P a K sú stredy hrán CC_ (1) a CD.

a) Dokážte, že čiary PK a PB_ (1) sú kolmé.

b) Nájdite uhol medzi rovinami PKB_ (1) a C_ (1) B_ (1) B.

Zobraziť riešenie

rozhodnutie

a) Použijeme metódu súradníc. Nájdeme skalárny súčin vektorov \\ vec (PK) a \\ vec (PB_ (1)) a potom kosínus uhla medzi týmito vektormi. Os Oy smerujeme pozdĺž CD, osi Oz pozdĺž CC_ (1) a osi Ox \\ perp CD. C je pôvod.

Potom C (0; 0; 0); C (1) (0; 0; 10); P (0; 0; 5); K (0; 5; 0); B (BC \\ cos 30 ^ \\cir; BC \\ sin 30 ^ \\cir; 0), tj B (5 \\ sqrt (3); 5; 0), B_ (1) (5 \\ sqrt (3); 5; 10).

Vyhľadajte súradnice vektorov: \\ vec (PK) \u003d \\ (0; 5; -5 \\); \\ vec (PB_ (1)) \u003d \\ (5 \\ sqrt (3); 5; 5 \\).

Nech uhol medzi \\ vec (PK) a \\ vec (PB_ (1)) je \\ alfa.

Dostaneme \\ cos \\ alpha \u003d \\ frac (\\ vec (PK) \\ cdot \\ vec (PB_ (1))) (| \\ vec (PK) | \\ cdot | \\ vec (PB_ (1)) |) \u003d \\ frac (0 \\ cdot 5 \\ sqrt (3) + 5 \\ cdot 5-5 \\ cdot 5) (| \\ vec (PK) | \\ cdot | \\ vec (PB_ (1)) |) \u003d 0.

\\ cos \\ alfa \u003d 0, čo znamená, že \\ vec (PK) \\ perp \\ vec (PB_ (1)) a čiary PK a PB_ (1) sú kolmé.

b) Uhol medzi rovinami sa rovná uhlu medzi nenulovými vektormi kolmými na tieto roviny (alebo, ak je uhol tupý, roh priľahlý k nim). Takéto vektory sa nazývajú normály pre lietadlá. Nájdi ich.

Nech \\ vec (n_ (1)) \u003d \\ (x; y; z \\) je kolmé na rovinu PKB_ (1). Nájdite to riešením systému \\ begin (prípady) \\ vec (n_ (1)) \\ perp \\ vec (PK), \\\\ \\ vec (n_ (1)) \\ perp \\ vec (PB_ (1)). \\ end (prípady)

\\ begin (prípady) \\ vec (n_ (1)) \\ cdot \\ vec (PK) \u003d 0, \\\\ \\ vec (n_ (1)) \\ cdot \\ vec (PB_ (1)) \u003d 0; \\ end (prípady)

\\ begin (prípady) 0x + 5y-5z \u003d 0, \\\\ 5 \\ sqrt (3) x + 5y + 5z \u003d 0; \\ end (prípady)

\\ begin (prípady) y \u003d z, \\\\ x \u003d \\ frac (-y-z) (\\ sqrt (3)). \\ end (prípady)

trvať y \u003d 1; z je 1; x \u003d \\ frac (-2) (\\ sqrt (3)), \\ vec (n_ (1)) \u003d \\ left \\ (\\ frac (-2) (\\ sqrt (3)); 1; 1 \\ right \\).

Nech \\ vec (n_ (2)) \u003d \\ (x; y; z \\) je kolmé na rovinu C_ (1) B_ (1) B. Nájdite to riešením systému \\ začiatok (prípady) \\ vec (n_ (2)) \\ perp \\ vec (CC_ (1)), \\\\ \\ vec (n_ (2)) \\ perp \\ vec (CB). \\ end (prípady)

\\ vec (CC_ (1)) \u003d \\ (0; 0; 10 \\), \\ vec (CB) \u003d \\ (5 \\ sqrt (3); 5; 0 \\).

\\ begin (prípady) \\ vec (n_ (2)) \\ cdot \\ vec (CC_ (1)) \u003d 0, \\\\ \\ vec (n_ (2)) \\ cdot \\ vec (CB) \u003d 0; \\ end (prípady)

\\ begin (prípady) 0x + 0y + 10z \u003d 0, \\\\ 5 \\ sqrt (3) x + 5y + 0z \u003d 0; \\ end (prípady)

\\ begin (prípady) z \u003d 0, \\\\ y \u003d - \\ sqrt (3) x. \\ end (prípady)

trvať x je 1; y \u003d - \\ sqrt (3); z \u003d 0, \\ vec (n_ (2)) \u003d \\ (1; - \\ sqrt (3); 0 \\).

Nájdite kosínus požadovaného uhla \\ beta (je to rovnaké ako kosínus uhla medzi \\ vec (n_ (1)) a \\ vec (n_ (2))).

\\ cos \\ beta \u003d \\ frac (| \\ vec (n_ (1)) \\ cdot \\ vec (n_ (2)) |) (| \\ vec (n_ (1)) | \\ cdot | \\ vec (n_ (2)) |) \u003d \\ frac (\\ left | - \\ dfrac (2) (\\ sqrt (3)) \\ cdot 1 + 1 \\ cdot (- \\ sqrt (3)) + 1 \\ cdot 0 \\ right |) (\\ sqrt (\\ dfrac ( 4) (3) + 1 + 1) \\ cdot \\ sqrt (1 + 3 + 0)) \u003d \\ frac (\\ dfrac (5) (\\ sqrt (3))) (2 \\ sqrt (\\ dfrac (10) (3))) \u003d \u003d \\ frac (\\ sqrt (10)) (4).

\\ cos \\ beta \u003d \\ frac (\\ sqrt (10)) (4), \\ beta \u003d \\ arccos \\ frac (\\ sqrt (10)) (4).

odpoveď

\\ arccos \\ frac (\\ sqrt (10)) (4)

Zdroj: „Matematika. Príprava na skúšku 2017. Úroveň profilu. “ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu, Kulabukhova.

ABCD - štvorcové a bočné steny - rovnaké obdĺžniky.

Pretože rovina rezu prechádza bodmi M a D rovnobežne s uhlopriečkou AC, zostrojte ju v rovine A_ (1) AC, cez bod M nakreslite segment MN rovnobežný s AC. Dostaneme AC \\ paralelnú (MDN) na základe rovnobežnosti priamky a roviny.

Rovina MDN pretína rovnobežné roviny A_ (1) AD a B_ (1) BC, potom sú prierezové čiary plôch A_ (1) ADD_ (1) a B_ (1) BCC_ (1) rovnobežné s rovinou MDN.

Nakreslite segment NE rovnobežne so segmentom MD.

Požadovaná sekcia je štvoruholník DMEN.

b) Nájdite uhol medzi rovinou rezu a základnou rovinou. Nechajte rovinu rezu pretínať základnú rovinu pozdĺž priamky p prechádzajúcej bodom D. AC \\ rovnobežne MN, teda AC \\ rovnobežne p (ak rovina prechádza priamkou rovnobežnou s inou rovinou a pretína túto rovinu, priesečnica rovín je rovnobežná s touto priamkou). BD \\ perp AC ako uhlopriečka štvorca, čo znamená BD \\ perp s. BD je projekcia ED na rovinu ABC, potom podľa vety na troch kolmých rovinách ED \\ perp p je teda uhol EDB lineárny uhol dvojstenného uhla medzi rovinou rezu a základnou rovinou.

Nastavte pohľad na štvoruholník DMEN. MD \\ rovnobežný EN, podobne ako ME \\ paralelný DN, znamená, že DMEN je rovnobežník, a pretože MD \u003d DN (pravé trojuholníky MAD a NCD sú rovnaké v dvoch vetvách: AD \u003d DC ako strany štvorca, AM \u003d CN ako vzdialenosti medzi rovnobežnými priamkami AC a MN), preto je DMEN kosoštvorec. Odtiaľ je F uprostred MN.

Podľa podmienky AM: MA_ (1) \u003d 2: 3 AM \u003d \\ frac (2) (5) AA_ (1) \u003d \\ frac (2) (5) \\ cdot 5 \\ sqrt (6) \u003d 2 \\ sqrt (6).

AMNC je obdĺžnik, F je stred MN, O je stred AC. prostriedky FO \\ súbežne s MA, FO \\ perp AC, FO \u003d MA \u003d 2 \\ sqrt (6).

S vedomím, že uhlopriečka námestia je a \\ sqrt (2), kde a je strana námestia, dostaneme BD \u003d 4 \\ sqrt (2). OD \u003d \\ frac (1) (2) BD \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 4 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2).

V pravom trojuholníku FOD \\ enspace tg \\ uhol FDO \u003d \\ frac (FO) (OD) \u003d \\ frac (2 \\ sqrt (6)) (2 \\ sqrt (2)) \u003d \\ sqrt (3). Preto \\ uhol FDO \u003d 60 ^ \\cir.

\\ (\\ blacktriangleright \\) Dihedrálny uhol je uhol tvorený dvoma polovicami rovín a priamkou \\ (a \\), ktorá predstavuje ich spoločnú hranicu.

\\ (\\ blacktriangleright \\) Ak chcete nájsť uhol medzi rovinami \\ (\\ xi \\) a \\ (\\ pi \\), musíte nájsť lineárny uhol (a akútna alebo rovno) stredový uhol tvorený rovinami \\ (\\ xi \\) a \\ (\\ pi \\):

Krok 1: nech \\ (\\ xi \\ cap \\ pi \u003d a \\) (priesečník rovín). V rovine \\ (\\ xi \\) označíme ľubovoľný bod \\ (F \\) a nakreslíme \\ (FA \\ perp a \\);

Krok 2: minúť \\ (FG \\ perp \\ pi \\);

Krok 3: podľa TTP (\\ (FG \\) - kolmý, \\ (FA \\) - naklonený, \\ (AG \\) - projekcia) máme: \\ (AG \\ perp a \\);

Krok 4: uhol \\ (\\ uhol FAG \\) sa nazýva lineárny uhol dihedrálneho uhla tvoreného rovinami \\ (\\ xi \\) a \\ (\\ pi \\).

Všimnite si, že trojuholník \\ (AG \\) je pravouhlý.
Poznamenávame tiež, že takto skonštruovaná rovina \\ (AFG \\) je kolmá na obe roviny \\ (\\ xi \\) a \\ (\\ pi \\). Preto môžeme povedať inak: uhol medzi rovinami\\ (\\ xi \\) a \\ (\\ pi \\) je uhol medzi dvoma priesečníkmi priamok \\ (c \\ in \\ xi \\) a \\ (b \\ in \\ pi \\), tvoriaci rovinu kolmú na \\ (\\ xi \\ Úloha 1 # 2875

Úroveň úlohy: náročnejšia skúška

Je uvedená kvadrangulárna pyramída, ktorej všetky okraje sú rovnaké a základňa je štvorcová. Nájdite \\ (6 \\ cos \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi susednými bočnými plochami.

Nech \\ (SABCD \\) je daná pyramída (\\ (S \\) je vrchol), ktorej hrany sú rovnaké ako \\ (a \\). Preto sú všetky bočné steny rovnaké rovnostranné trojuholníky. Nájdite uhol medzi plochami \\ (SAD \\) a \\ (SCD \\).

Nakreslite \\ (CH \\ perp SD \\). ako

\\ (\\ triangle SAD \u003d \\ triangle SCD \\) , potom \\ (AH \\) bude tiež výška \\ (\\ trojuholník SAD \\). Preto je podľa definície \\ (\\ uhol AHC \u003d \\ alfa \\) lineárny uhol dvojstenného uhla medzi plochami \\ (SAD \\) a \\ (SCD \\).Pretože základňa je štvorec, potom \\ (AC \u003d a \\ sqrt2 \\). Všimnite si tiež, že \\ (CH \u003d AH \\) je výška rovnostranného trojuholníka so stranou \\ (a \\), preto \\ (CH \u003d AH \u003d \\ frac (\\ sqrt3) 2a \\).
Potom podľa kosínovej vety v \\ (\\ trojuholník AHC \\):
\\ [\\ cos \\ alpha \u003d \\ dfrac (CH ^ 2 + AH ^ 2-AC ^ 2) (2CH \\ cdot AH) \u003d - \\ dfrac13 \\ quad \\ Rightarrow \\ quad 6 \\ cos \\ alfa \u003d -2. \\] Odpoveď: -2

Úloha 2 # 2876

Roviny \\ (\\ pi_1 \\) a \\ (\\ pi_2 \\) sa pretínajú v uhle, ktorého kosínus je \\ (0,2 \\). Roviny \\ (\\ pi_2 \\) a \\ (\\ pi_3 \\) sa pretínajú v pravom uhle a priesečnica rovín \\ (\\ pi_1 \\) a \\ (\\ pi_2 \\) je rovnobežná s priesečnicou rovín \\ (\\ pi_2 \\) a \\ (\\ \\ \\ \\ Nájdite sínus uhla medzi rovinami \\ (\\ pi_1 \\) a \\ (\\ pi_3 \\).

Je uvedená kvadrangulárna pyramída, ktorej všetky okraje sú rovnaké a základňa je štvorcová. Nájdite \\ (6 \\ cos \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi susednými bočnými plochami.

{!LANG-f264dc3696651b41bdbe1106b2b2cae8!}

Nech priesečník \\ (\\ pi_1 \\) a \\ (\\ pi_2 \\) je priamka \\ (a \\), priesečník \\ (\\ pi_2 \\) a \\ (\\ pi_3 \\) je priamka \\ (b \\) a priesečník \\ (\\ pi_3 \\) a \\ (\\ pi_1 \\) je čiara \\ (c \\). Pretože \\ (a \\ paralelné b \\), potom \\ (c \\ paralelné a \\ paralelné b \\) (podľa vety z teoretickej časti pomoci „Geometria v priestore“ \\ (\\ rightarrow \\) „Úvod do stereometrie, paralelizmus“).

Označte body \\ (A \\ a, B \\ in b \\) tak, aby \\ (AB \\ perp a, AB \\ perp b \\) (je to možné, pretože \\ (a \\ paralelné b \\)). Všimnite si \\ (C \\ in c \\), takže \\ (BC \\ perp c \\) preto \\ (BC \\ perp b \\). Potom \\ (AC \\ perp c \\) a \\ (AC \\ perp a \\).
Pretože \\ (AB \\ perp b, BC \\ perp b \\) je potom \\ (b \\) kolmé na rovinu \\ (ABC \\). Pretože \\ (c \\ rovnobežné a \\ rovnobežné b \\) sú priamky \\ (a \\) a \\ (c \\) tiež kolmé na rovinu \\ (ABC \\), a preto akékoľvek priamky z tejto roviny, najmä priamky \\ Z toho vyplýva, že

\\ (\\ uhol BAC \u003d \\ uhol (\\ pi_1, \\ pi_2) \\) \\ (\\ uhol ABC \u003d \\ uhol (\\ pi_2, \\ pi_3) \u003d 90 ^ \\cir \\), \\ (\\ uhol BCA \u003d \\ uhol (\\ pi_3, \\ pi_1) \\), , Ukazuje sa, že \\ (\\ trojuholník ABC \\) je obdĺžnikový, čo znamená\\ [\\ sin \\ uhol BCA \u003d \\ cos \\ uhol BAC \u003d 0,2. \\] Odpoveď: 0.2

Úloha 3 # 2877

Dané čiary \\ (a, b, c \\) sa pretínajú v jednom bode a uhol medzi nimi sa rovná \\ (60 ^ \\cir \\). Nájdite \\ (\\ cos ^ (- 1) \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi rovinou tvorenou čiarami \\ (a \\) a \\ (c \\) a rovinou tvorenou čiarami \\ (b \\ Odpoveď uveďte v stupňoch.

Je uvedená kvadrangulárna pyramída, ktorej všetky okraje sú rovnaké a základňa je štvorcová. Nájdite \\ (6 \\ cos \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi susednými bočnými plochami.

Čiary sa nechajú pretínať v bode \\ (O \\). Pretože uhol medzi akýmikoľvek dvoma z nich sa rovná \\ (60 ^ \\cir \\), všetky tri čiary nemôžu ležať v rovnakej rovine. Na riadku \\ (a \\) označíme bod \\ (A \\) a nakreslíme \\ (AB \\ perp b \\) a \\ (AC \\ perp c \\). potom

\\ (\\ triangle AOB \u003d \\ triangle AOC \\) ako pravouhlý v prepona a ostrý uhol. Preto \\ (OB \u003d OC \\) a \\ (AB \u003d AC \\). Nakreslite \\ (AH \\ perp (BOC) \\). Potom veta o troch kolmiciach \\ (HC \\ perp c \\), \\ (HB \\ perp b \\). Pretože \\ (AB \u003d AC \\), potom
\\ (\\ trojuholník AHB \u003d \\ trojuholník AHC \\) ako pravouhlý pri preponovaní a katéte. Preto \\ (HB \u003d HC \\). Z tohto dôvodu je \\ (OH \\) priamka uhlu \\ (BOC \\) (pretože bod \\ (H \\) je rovnako vzdialený od strán uhla). Všimnite si, že týmto spôsobom sme tiež skonštruovali lineárny uhol dihedrálneho uhla tvoreného rovinou tvorenou priamkami \\ (a \\) a \\ (c \\) a rovinou tvorenou priamkami \\ (b \\) a \\ (c \\). Toto je uhol \\ (ACH \\).

{!LANG-abc33984e9bd51ac5f71f0a6776496fa!}

Nájdite tento roh. Od bodu \\ (A \\) sme sa rozhodli ľubovoľne, potom si to vyberieme tak, aby \\ (OA \u003d 2 \\). Potom v obdĺžnikovom \\ (\\ trojuholníku AOC \\): \\ [\\ sin 60 ^ \\cir \u003d \\ dfrac (AC) (OA) \\ quad \\ Rightarrow \\ quad AC \u003d \\ sqrt3 \\ quad \\ Rightarrow \\ quad OC \u003d \\ sqrt (OA ^ 2-AC ^ 2) \u003d 1. \\ Pretože \\ (OH \\) je priesečník, \\ (\\ uhol HOC \u003d 30 ^ \\cir \\), preto v obdĺžnikovom tvare \\ (\\ trojuholník HOC \\): \\ [\\ mathrm (tg) \\, 30 ^ \\cir \u003d \\ dfrac (HC) (OC) \\ quad \\ Rightarrow \\ quad HC \u003d \\ dfrac1 (\\ sqrt3). \\] Potom z pravouhlého \\ (\\ trojuholníka ACH \\): \\ [\\ cos \\ uhol \\ alfa \u003d \\ cos \\ uhol ACH \u003d \\ dfrac (HC) (AC) \u003d \\ dfrac13 \\ quad \\ Rightarrow \\ quad \\ cos ^ (- 1) \\ alpha \u003d 3. \\] Odpoveď: 3

Úloha 4 # 2910

Roviny \\ (\\ pi_1 \\) a \\ (\\ pi_2 \\) sa pretínajú pozdĺž priamky \\ (l \\), na ktorej ležia body \\ (M \\) a \\ (N \\). Segmenty \\ (MA \\) a \\ (MB \\) sú kolmé na priamku \\ (l \\) a leží v rovinách \\ (\\ pi_1 \\) a \\ (\\ pi_2 \\) s \\ (MN \u003d 15 \\), \\ (AN \u003d 39 \\), \\ (BN \u003d 17 \\), \\ (AB \u003d 40 \\). Nájdite \\ (3 \\ cos \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi rovinami \\ (\\ pi_1 \\) a \\ (\\ pi_2 \\).

Je uvedená kvadrangulárna pyramída, ktorej všetky okraje sú rovnaké a základňa je štvorcová. Nájdite \\ (6 \\ cos \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi susednými bočnými plochami.

Trojuholník \\ (AMN \\) je pravouhlý, \\ (AN ^ 2 \u003d AM ^ 2 + MN ^ 2 \\), odkiaľ

Trojuholník \\ (BMN \\) je pravouhlý, \\ (BN ^ 2 \u003d BM ^ 2 + MN ^ 2 \\), odkiaľ \\ Napíšeme kosínusovu vetu pre trojuholník \\ (AMB \\): \ potom \ Pretože uhol \\ (\\ alfa \\) medzi rovinami je ostrý uhol a \\ (\\ uhol AMB \\) je tupý, potom \\ (\\ cos \\ alfa \u003d \\ dfrac5 (12) \\). potom \ Odpoveď: 1,25 \

Úloha 5 # 2911

\\ (ABCDA_1B_1C_1D_1 \\) je pole, \\ (ABCD \\) je štvorec so stranou \\ (a \\), bod \\ (M \\) je základňa kolmice klesajúcej z bodu \\ (A_1 \\) k rovine \\ ((ABCD) \\) , \\ (M \\) je priesečník uhlopriečok štvorca \\ (ABCD \\). Je známe, že

Je uvedená kvadrangulárna pyramída, ktorej všetky okraje sú rovnaké a základňa je štvorcová. Nájdite \\ (6 \\ cos \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi susednými bočnými plochami.

\\ (A_1M \u003d \\ dfrac (\\ sqrt (3)) (2) a \\) , Nájdite uhol medzi rovinami \\ ((ABCD) \\) a \\ ((AA_1B_1B) \\). Odpoveď uveďte v stupňoch.Zostavíme \\ (MN \\) kolmo na \\ (AB \\), ako je to znázornené na obrázku.

Pretože \\ (ABCD \\) je štvorec so stranou \\ (a \\) a \\ (MN \\ perp AB \\) a \\ (BC \\ perp AB \\), potom \\ (MN \\ paralelný BC \\). Pretože \\ (M \\) je priesečníkom uhlopriečok štvorca, \\ (M \\) je stredom \\ (AC \\), preto \\ (MN \\) je stredná čiara a

\\ (MN \u003d \\ frac12BC \u003d \\ frac (1) (2) a \\) \\ (MN \\) je projekcia \\ (A_1N \\) na rovinu \\ ((ABCD) \\) a \\ (MN \\) je kolmá \\ (AB \\), potom veta o troch kolmiciach \\ (A_1N \\) je kolmá \\ (AB) \\) a uhol medzi rovinami \\ ((ABCD) \\) a \\ ((AA_1B_1B) \\) je \\ (\\ uhol A_1NM \\)..
{!LANG-2f92800aafb446c659be898de781c05b!}
\\ [\\ mathrm (tg) \\, \\ uhol A_1NM \u003d \\ dfrac (A_1M) (NM) \u003d \\ dfrac (\\ frac (\\ sqrt (3)) (2) a) (\\ frac (1) (2) a) \u003d \\ sqrt (3) \\ qquad \\ rightarrow \\ qquad \\ uhol A_1NM \u003d 60 ^ (\\cir) \\]

Odpoveď: 60

Úloha 6 # 1854

Je uvedená kvadrangulárna pyramída, ktorej všetky okraje sú rovnaké a základňa je štvorcová. Nájdite \\ (6 \\ cos \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi susednými bočnými plochami.

V štvorci \\ (ABCD \\): \\ (O \\) je priesečník uhlopriečok; \\ (S \\) - nespočíva v rovine štvorca, \\ (SO \\ perp ABC \\). Nájdite uhol medzi rovinami \\ (ASD \\) a \\ (ABC \\), ak \\ (SO \u003d 5 \\) a \\ (AB \u003d 10 \\).

Pravé trojuholníky \\ (\\ trojuholník SAO \\) a \\ (\\ trojuholník SDO \\) sú rovnaké na dvoch stranách a uhol medzi nimi (\\ (SO \\ perp ABC \\) \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (\\ uhol SOA \u003d \\ uhol SOD \u003d 90 ^ \\cir \\); \\ (AO \u003d DO \\), pretože \\ (O \\) je priesečník uhlopriečok štvorca, \\ (SO \\) je spoločná strana) \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (AS \u003d SD \\) \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (\\ triangle ASD \\) je rovnoramenný. Bod \\ (K \\) je uprostred \\ (AD \\), potom \\ (SK \\) je výška v trojuholníku \\ (\\ trojuholník ASD \\) a \\ (OK \\) je výška v trojuholníku \\ (AOD \\) \\ (\\ V \\ (\\ trojuholníku SKO \\):

\\ (OK \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot AB \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot 10 \u003d 5 \u003d SO \\) \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (\\ triangle SOK \\) je pravouhlý trojuholník \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (\\ angle SKO \u003d 45 ^ \\cir \\). Odpoveď: 45

Quest 7 # 1855

V štvorci \\ (ABCD \\): \\ (O \\) je priesečník uhlopriečok; \\ (S \\) - nespočíva v rovine štvorca, \\ (SO \\ perp ABC \\). Nájdite uhol medzi rovinami \\ (ASD \\) a \\ (BSC \\), ak \\ (SO \u003d 5 \\) a \\ (AB \u003d 10 \\).

Je uvedená kvadrangulárna pyramída, ktorej všetky okraje sú rovnaké a základňa je štvorcová. Nájdite \\ (6 \\ cos \\ alfa \\), kde \\ (\\ alfa \\) je uhol medzi susednými bočnými plochami.

Pravé trojuholníky \\ (\\ trojuholník SAO \\), \\ (\\ trojuholník SDO \\), \\ (\\ trojuholník SOB \\) a \\ (\\ trojuholník SOC \\) sú na oboch stranách rovnaké a uhol medzi nimi (\\ (SO \\ perp ABC \\) \\ (\\ Pravá šípka \\)

\\ (\\ uhol SOA \u003d \\ uhol SOD \u003d \\ uhol SOB \u003d \\ uhol SOC \u003d 90 ^ \\cir \\) {!LANG-c8c797aec92b75a8e0bcf986fe45de3a!}; \\ (AO \u003d OD \u003d OB \u003d OC \\), pretože \\ (O \\) je priesečník uhlopriečok štvorca, \\ (SO \\) je spoločná strana) \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (AS \u003d DS \u003d BS \u003d CS \\) \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (\\ trojuholník ASD \\) a \\ (\\ trojuholník BSC \\) - rovnoramenné. Bod \\ (K \\) je uprostred \\ (AD \\), potom \\ (SK \\) je výška v trojuholníku \\ (\\ triangle ASD \\) a \\ (OK \\) je výška v trojuholníku \\ (AOD \\) \\ (\\ Bod \\ (L \\) je stredom \\ (BC \\), potom \\ (SL \\) je výška v trojuholníku \\ (\\ trojuholník BSC \\) a \\ (OL \\) je výška v trojuholníku \\ (BOC \\) \\ (\\ Získame teda, že \\ (\\ uhol KSL \\) je lineárny uhol rovný požadovanému uhlu v strede.

\\ (KL \u003d KO + OL \u003d 2 \\ cdot OL \u003d AB \u003d 10 \\) \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (OL \u003d 5 \\); \\ (SK \u003d SL \\) - výšky rovnakých rovnoramenných trojuholníkov, ktoré možno nájsť pomocou Pytagorovej vety: \\ (SL ^ 2 \u003d SO ^ 2 + OL ^ 2 \u003d 5 ^ 2 + 5 ^ 2 \u003d 50 \\), Môžete si to všimnúť \\ (SK ^ 2 + SL ^ 2 \u003d 50 + 50 \u003d 100 \u003d KL ^ 2 \\) \\ (\\ Rightarrow \\) pre trojuholník \\ (\\ triangle KSL \\) inverzná pythagorovská veta obsahuje \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (\\ triangle KSL \\) - pravouhlý trojuholník \\ (\\ Rightarrow \\) \\ (\\ angle KSL \u003d 90 ^ \\ Odpoveď: 90

Príprava študentov na zloženie skúšky z matematiky sa spravidla začína opakovaním základných vzorcov, vrátane tých, ktoré vám umožňujú určiť uhol medzi rovinami. Napriek tomu, že táto časť geometrie je v rámci školských osnov dostatočne podrobne pokrytá, mnohí absolventi musia opakovať základný materiál. Pochopenie, ako nájsť uhol medzi rovinami, budú môcť študenti stredných škôl rýchlo vypočítať správnu odpoveď v priebehu riešenia problému a očakávať, že na základe výsledkov zjednotenej štátnej skúšky získajú slušné body.

Hlavné nuansy

Aby otázka, ako zistiť uhlový prierez, nespôsobila ťažkosti, odporúčame vám postupovať podľa algoritmu riešenia, ktorý vám pomôže zvládnuť skúšobné úlohy.

Najprv musíte určiť čiaru, po ktorej sa prelínajú roviny.

Potom na tomto riadku musíte vybrať bod a nakresliť k nemu dve kolmé čiary.

Ďalším krokom je nájdenie trigonometrickej funkcie dihedrálneho uhla, ktorý je tvorený kolmicami. Najvýhodnejšie sa to robí pomocou výsledného trojuholníka, ktorého roh je súčasťou.

Odpoveď bude hodnota uhla alebo jeho trigonometrická funkcia.

Príprava na skúšku so Školkovom je kľúčom k vášmu úspechu

{!LANG-f9570cec3a48824e4e90e07f9c666de0!}

V priebehu tried v predvečer absolvovania skúšky sa mnohí študenti stretávajú s problémom hľadania definícií a vzorcov, ktoré vám umožňujú vypočítať uhol medzi 2 rovinami. Školská učebnica nie je vždy po ruke presne vtedy, keď je to potrebné. A na nájdenie potrebných vzorcov a príkladov ich správneho uplatňovania, vrátane nájdenia uhla medzi lietadlami na internete online, niekedy to vyžaduje veľa času.

Matematický portál Školkovo ponúka nový prístup k príprave na štátnu skúšku. Kurzy na našej webovej stránke pomôžu študentom identifikovať tie najťažšie sekcie a vyplniť medzery vo vedomostiach.

Pripravili sme a jasne uviedli všetok potrebný materiál. Základné definície a vzorce sú uvedené v časti „Teoretické východiská“.

S cieľom lepšie sa oboznámiť s týmto materiálom, odporúčame tiež precvičiť príslušné cvičenia. V časti „Katalóg“ je uvedený veľký výber rôznych úloh, napríklad rôzneho stupňa zložitosti. Všetky úlohy obsahujú podrobný algoritmus na nájdenie správnej odpovede. Zoznam cvičení na webe je neustále aktualizovaný a aktualizovaný.

Cvičením pri riešení problémov, pri ktorých je potrebné nájsť uhol medzi dvoma rovinami, majú študenti možnosť uložiť akúkoľvek úlohu do „obľúbených“ online. Vďaka tomu sa mu budú môcť vrátiť v požadovanom množstve a prediskutovať priebeh jeho rozhodnutia s učiteľom alebo tútorom školy.