Nájdite vzdialenosť od bodu k priamemu vzorcu. Najjednoduchšie problémy s priamkou v rovine. Relatívne usporiadanie vedení. Uhol medzi čiarami

Tento článok hovorí o tejto téme. « vzdialenosť od bodu k priamke », definície vzdialenosti od bodu k priamke sa zvažujú s ilustrovanými príkladmi metódou súradníc. Každý blok teórie na konci uvádza príklady riešenia takýchto problémov.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vzdialenosť od bodu k priamke sa zistí určením vzdialenosti od bodu k bodu. Uvažujme podrobnejšie.

Dovoliť musí byť čiara a a bod M1, ktorý nepatrí k danej čiare. Cez ňu nakreslime čiaru b, ktorá je kolmá na čiaru a. Priesečník čiar považujeme za H1. Zistíme, že M1 je kolmý, ktorý sa znížil z bodu Mi na priamku a.

Definícia 1

Vzdialenosť od bodu M 1 k priamke a  nazýva sa vzdialenosť medzi bodmi Mi a H1.

Existujú záznamy s definíciou dĺžky kolmice.

Definícia 2

Vzdialenosť od bodu k priamke  nazýva sa dĺžka kolmice nakreslená z daného bodu na danú čiaru.

Vymedzenie pojmov je rovnocenné. Zoberme si nasledujúci obrázok.

Je známe, že vzdialenosť od bodu k čiare je najmenšia zo všetkých možných. Považujte to za príklad.

Ak vezmeme bod Q ležiaci na priamke a, ktorý sa nezhoduje s bodom Mi, dostaneme, že segment M1 sa nazýva šikmý, znížený z Mi na priamku a. Je potrebné poznamenať, že kolmica z bodu M1 je menšia ako akákoľvek iná šikmá čiara od bodu k čiare.

Ak to chcete dokázať, zvážte trojuholník M 1 Q 1 H 1, kde M 1 Q 1 je prepona. Je známe, že jeho dĺžka je vždy väčšia ako dĺžka ktorejkoľvek z nôh. Mysleli sme, že M1 H1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Počiatočné údaje na nájdenie od bodu k riadku vám umožňujú použiť niekoľko metód riešenia: prostredníctvom Pythagorovej vety, definíciu sínusovej, kosínusovej, tangenty uhla a ďalších. Väčšina úloh tohto typu je riešená v škole v geometrických triedach.

Keď môžete zadať obdĺžnikový súradnicový systém pri hľadaní vzdialenosti od bodu k priamke, použite metódu súradnice. V tejto časti sa zaoberáme dvoma hlavnými metódami na nájdenie požadovanej vzdialenosti od daného bodu.

Prvá metóda zahŕňa nájdenie vzdialenosti ako kolmice nakreslenej od Mi k čiare a. V druhom spôsobe sa použije normálna rovnica priamky a na nájdenie požadovanej vzdialenosti.

Ak je v rovine bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1), ktorý sa nachádza v pravouhlom súradnicovom systéme, priamka a, a musíte nájsť vzdialenosť M 1 H 1, môžete vykonať výpočet dvoma spôsobmi. Zvážte ich.

Prvý spôsob

Ak sú súradnice bodu H 1 rovné x 2, y 2, potom sa vzdialenosť od bodu k priamke vypočíta pomocou súradníc vzorca M1 H1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Teraz prejdeme k nájdeniu súradníc bodu H1.

Je známe, že priamka v O x y zodpovedá rovnici priamky v rovine. Berieme spôsob, ako definovať priamku a tak, že napíšeme všeobecnú rovnicu priamky alebo rovnicu s uhlovým koeficientom. Zostavíme rovnicu priamky, ktorá prechádza bodom M 1 kolmým na danú priamku a. Linku označujeme bukom b. H 1 je priesečník čiar aab, preto na určenie súradníc musíte použiť článok, ktorý sa zaoberá súradnicami priesečníkov dvoch čiar.

Je zrejmé, že algoritmus na zisťovanie vzdialenosti od daného bodu Mi (x 1, y 1) k priamke a sa vykonáva podľa týchto bodov:

Definícia 3

• nájdenie všeobecnej rovnice priamky a, ktorá má tvar A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0, alebo rovnice s uhlovým koeficientom, ktorá má tvar y \u003d k 1 x + bl;
• získanie všeobecnej rovnice priamky b, ktorá má tvar A2x + B2 + + 2 \u003d 0 alebo rovnice s uhlovým koeficientom y \u003d k2x + b2, ak priamka b pretína bod M1 a je kolmá na danú priamku a;
• určenie súradníc x 2, y2 bodu H1, ktorý je priesečníkom aab, pre tento je vyriešený systém lineárnych rovníc A 1 x + B 1 y + C1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C2 \u003d 0 alebo y \u003d k 1 x + b 1 y \u003d k 2 x + b 2;
• výpočet požadovanej vzdialenosti od bodu k priamke pomocou vzorca M1H1 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Druhý spôsob

Veta môže pomôcť odpovedať na otázku, ako zistiť vzdialenosť od daného bodu k danej čiare v rovine.

Veta

Obdĺžnikový súradnicový systém má O x y, ktorý má bod M1 (x 1, y 1), z ktorého je nakreslená čiara a do roviny definovanej normálnou rovnicou roviny, ktorá má tvar cos α · x + cos β · y - p \u003d 0, je rovná modul k hodnote získanej na ľavej strane normálnej rovnice priamky vypočítanej pre x \u003d x 1, y \u003d y 1 znamená, že M 1 H 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - p.

dôkaz

Priamka a zodpovedá normálnej rovnici roviny, ktorá má tvar cos α · x + cos β · y - p \u003d 0, potom n → \u003d (cos α, cos β) sa považuje za normálny vektor priamky a vo vzdialenosti od začiatku k priamke a s jednotkami p , Je potrebné znázorniť všetky údaje na obrázku, pridať bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1), kde polomer vektora bodu Mi - O M 1 → \u003d (x 1, y 1). Je potrebné nakresliť čiaru z bodu na čiaru, ktorú označíme M 1 H 1. Je potrebné ukázať projekcie M2 a H2 z bodov Mi a H2 na priamku prechádzajúcu bodom O so smerovým vektorom tvaru n → \u003d (cos α, cos β) a označiť číselnú projekciu vektora ako OM1 → \u003d (x 1, y 1) v smere n → \u003d (cos α, cos β) ako npn → OM 1 →.

Variácie závisia od umiestnenia samotného bodu M1. Zoberme si nasledujúci obrázok.

Výsledky opravíme pomocou vzorca M1 H1 \u003d n p n → O M → 1 - p. Potom privedieme rovnosť do tejto formy M 1 H 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, aby sme získali n p n → O M → 1 \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1.

Výsledkom je, že skalárny produkt vektorov poskytuje transformovaný vzorec formy n →, OM → 1 \u003d n → · npn → OM1 → \u003d 1 · npn → OM 1 → \u003d npn → OM 1 →, čo je produkt v súradnicovej forme formy n →, OM 1 → \u003d cos α · x 1 + cos β · y 1. Preto dostaneme, že n p n → O M 1 → \u003d cos a · x 1 + cos β · y 1. Z toho vyplýva, že M1H1 \u003d n p n → O M1 → - p \u003d cos a · x 1 + cos β · y 1 - p. Veta je dokázaná.

Dostaneme to, aby sme našli vzdialenosť od bodu Mi (x 1, y 1) k priamke a na rovine, je potrebné vykonať niekoľko akcií:

Definícia 4

• získanie normálnej rovnice priamky a cos α · x + cos β · y - p \u003d 0, ak to nie je v úlohe;
• výpočet výrazu cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, kde získaná hodnota má M 1 H 1.

Tieto metódy používame pri riešení problémov s hľadaním vzdialenosti od bodu k rovine.

Príklad 1

Nájdite vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (- 1, 2) k priamke 4 x - 3 y + 35 \u003d 0.

rozhodnutie

Pri riešení používame prvú metódu.

Na tento účel je potrebné nájsť všeobecnú rovnicu priamky b, ktorá prechádza daným bodom M 1 (-1,2) kolmo na priamku 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. Z podmienky je zrejmé, že priamka b je kolmá na priamku a, potom jej smerovací vektor má súradnice rovné (4, - 3). Máme teda možnosť napísať kanonickú rovnicu priamky b v rovine, pretože súradnice bodu Mi patria do priamky b. Definujte súradnice smerovacieho vektora priamky b. Získame, že x - (- 1) 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 \u003d y - 2 - 3. Výsledná kanonická rovnica sa musí previesť na všeobecnú rovnicu. Potom to pochopíme

x + 1 4 \u003d y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) \u003d 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 \u003d 0

Nájdeme súradnice priesečníkov priamok, ktoré berieme pre zápis H 1. Transformácie vyzerajú takto:

4 x - 3 roky + 35 \u003d 0 3 x + 4 roky - 5 \u003d 0 ⇔ x \u003d 3 4 roky - 35 4 3 x + 4 y - 5 \u003d 0 3 x \u003d 3 4 roky - 35 4 3 · 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 3 4 y - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d 3 4 · 5 - 35 4 y \u003d 5 ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 5

Z vyššie uvedeného vyplýva, že súradnice bodu H 1 sú rovnaké (- 5; 5).

Je potrebné vypočítať vzdialenosť od bodu Mi k priamke a. Máme súradnice bodov M 1 (- 1, 2) a H 1 (- 5, 5), potom vo vzorci nájdeme vzdialenosť a dostaneme, že

M1H1 \u003d (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 \u003d 25 \u003d 5

Druhý spôsob riešenia.

Aby sa vyriešilo iným spôsobom, je potrebné získať normálnu rovnicu priamky. Vypočítame hodnotu normalizačného faktora a vynásobíme obe strany rovnice 4 x - 3 y + 35 \u003d 0. Z toho dostaneme, že normalizačný faktor je - 1 4 2 + (- 3) 2 \u003d - 1 5 a normálna rovnica bude mať tvar - 1 5 · 4 x - 3 y + 35 \u003d - 1 5 · 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 \u003d 0.

Podľa výpočtového algoritmu je potrebné získať normálnu rovnicu priamky a vypočítať ju s hodnotami x \u003d - 1, y \u003d 2. Potom to pochopíme

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 \u003d - 5

Z toho získame, že vzdialenosť od bodu Mi (-1,2) k danému riadku 4 x - 3 y + 35 \u003d 0 má hodnotu - 5 \u003d 5.

Odpoveď znie: 5 .

Je zrejmé, že pri tejto metóde je dôležité použiť normálnu rovnicu priamky, pretože táto metóda je najkratšia. Prvá metóda je však výhodná, pretože je konzistentná a logická, hoci má viac výpočtových bodov.

Príklad 2

V rovine je pravouhlý súradnicový systém O x y s bodom Mi (8, 0) a priamkou y \u003d 1 2 x + 1. Nájdite vzdialenosť od daného bodu k priamke.

rozhodnutie

Riešenie v prvom rade zahŕňa redukciu danej rovnice s uhlovým koeficientom na všeobecnú rovnicu. Pre zjednodušenie môžete urobiť inak.

Ak súčin uhlových koeficientov kolmých čiar má hodnotu - 1, potom uhlový koeficient priamky kolmý na daný y \u003d 1 2 x + 1 má hodnotu 2. Teraz dostaneme rovnicu priamky prechádzajúcej bodom so súradnicami M 1 (8, 0). Máme, že y - 0 \u003d - 2 · (x - 8) ⇔ y \u003d - 2 x + 16.

Pokračujeme v hľadaní súradníc bodu H1, to znamená priesečníkov y \u003d - 2 x + 16 a y \u003d 1 2 x + 1. Vytvoríme systém rovníc a získame:

y \u003d 1 2 x + 1 y \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 1 2 x + 1 \u003d - 2 x + 16 ⇔ y \u003d 1 2 x + 1 x \u003d 6 ⇔ ⇔ y \u003d 1 2 6 + 1 x \u003d 6 \u003d y \u003d 4 x \u003d 6 ⇒ H1 (6, 4)

Z toho vyplýva, že vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (8, 0) k priamke y \u003d 1 2 x + 1 sa rovná vzdialenosti od začiatočného a koncového bodu so súradnicami M 1 (8, 0) a H 1 (6, 4). , Vypočítame a zistíme, že M1H1 \u003d 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 \u003d 2 5.

Druhým riešením je prechod z rovnice s koeficientom na jej normálnu podobu. To znamená, že dostaneme y \u003d 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 \u003d 0, potom bude hodnota normalizačného faktora - 1 1 2 2 + (- 1) 2 \u003d - 2 5. Z toho vyplýva, že normálna rovnica priamky má tvar - 2 5 · 1 2 x - y + 1 \u003d - 2 5 · 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Vypočítame z bodu M 1 8, 0 na priamku tvaru - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 \u003d 0. Dostávame:

M1H1 \u003d - 1 5,8 + 2 5 · 0 - 2 5 \u003d - 105 \u003d 2 5

Odpoveď znie: 2 5 .

Príklad 3

Je potrebné vypočítať vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 (- 2, 4) k priamkam 2 x - 3 \u003d 0 a y + 1 \u003d 0.

rozhodnutie

Dostaneme rovnicu normálneho tvaru riadku 2 x - 3 \u003d 0:

2 x - 3 \u003d 0 ⇔ 1 2 · 2 x - 3 \u003d 1 2 · 0 ⇔ x - 3 2 \u003d 0

Potom prepočítame vzdialenosť od bodu M 1 - 2, 4 k čiare x - 3 2 \u003d 0. Dostávame:

M1H1 \u003d - 2 - 3 2 \u003d 3 1 2

Rovnica priamky y + 1 \u003d 0 má normalizačný faktor s hodnotou rovnou -1. To znamená, že rovnica bude mať tvar - y - 1 \u003d 0. Pokračujeme vo výpočte vzdialenosti od bodu M 1 (- 2, 4) k priamke - y - 1 \u003d 0. Zistíme, že sa rovná - 4 - 1 \u003d 5.

Odpoveď znie:  3 1 2 a 5.

Podrobne uvažujeme o vzdialenosti od daného bodu v rovine k súradnicovým osiam O x a O y.

V pravouhlom súradnicovom systéme osi O je rovnica priamky, ktorá je neúplná a má tvar x \u003d 0 a O x - y \u003d 0. Rovnice sú pre súradnicové osi normálne, potom je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 x 1, y 1 k čiaram. Toto sa uskutočňuje na základe vzorcov M1H1 \u003d x 1 a M1H1 \u003d y1. Zoberme si nasledujúci obrázok.

Príklad 4

Nájdite vzdialenosť od bodu M 1 (6, - 7) po súradnicové čiary umiestnené v rovine O x y.

rozhodnutie

Pretože rovnica y \u003d 0 sa vzťahuje na priamku O x, môžete pomocou vzorca odvodiť vzdialenosť od M 1 s danými súradnicami k tejto priamke. Dostaneme to 6 \u003d 6.

Pretože rovnica x \u003d 0 sa vzťahuje na priamku O y, potom môžete nájsť vzdialenosť od M1 k tejto priamke podľa vzorca. Potom to dostaneme - 7 \u003d 7.

Odpoveď znie:vzdialenosť od Mi do Ox má hodnotu 6 a od Mi do Oy má hodnotu 7.

Keď máme v trojrozmernom priestore bod so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1), je potrebné nájsť vzdialenosť od bodu A k priamke a.

Zvážte dve metódy, ktoré nám umožňujú vypočítať vzdialenosť od bodu k priamke umiestnenej v priestore. Prvý prípad berie do úvahy vzdialenosť od bodu Mi k priamke, kde sa bod na priamke nazýva H1 a je základom kolmice nakreslenej z bodu Mi k priamke a. Druhý prípad naznačuje, že body tejto roviny sa musia hľadať ako výška rovnobežníka.

Prvý spôsob

Z definície máme, že vzdialenosť od bodu Mi umiestneného na priamke a je kolmá dĺžka M1 H1, potom dostaneme, že pre súradnice nájdené pre bod H 1 nájdeme vzdialenosť medzi M 1 (x 1, y 1, z 1 ) a H1 (x 1, y1, z1), na základe vzorca M1H1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y2 + z 2 - z 1 2.

Zistíme, že celým riešením je nájsť súradnice základne kolmice nakreslenej z M 1 do priamky a. Toto je urobené nasledovne: H1 je bod, kde priamka a pretína rovinu, ktorá prechádza daným bodom.

Algoritmus na určenie vzdialenosti od bodu Mi (x 1, y 1, z 1) k priamke a medzery teda obsahuje niekoľko bodov:

Definícia 5

• nakreslenie rovnice χ roviny ako rovnice roviny prechádzajúcej daným bodom umiestneným kolmo na priamku;
• určenie súradníc (x 2, y 2, z 2) patriacich k bodu H1, ktorý je priesečníkom priamky a a roviny χ;
• výpočet vzdialenosti z bodu na priamku pomocou vzorca M1H1 \u003d x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Druhý spôsob

Z podmienky máme čiaru a, potom môžeme určiť smerový vektor a → \u003d a x, a, z so súradnicami x 3, y 3, z3 a určitý bod M3, ktorý patrí k čiare a. Vzhľadom na súradnice bodov Mi (x 1, y 1) a M 3 x 3, y 3, z 3 môžeme vypočítať M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → \u003d (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Mali by ste odložiť vektory a → \u003d a x, a, z a M3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 z bodu M 3, spojiť a získať rovnobežníkovú hodnotu. M 1 H 1 je výška rovnobežníka.

Zoberme si nasledujúci obrázok.

Máme, že výška M 1 H 1 je požadovaná vzdialenosť, potom ju musíte nájsť podľa vzorca. To znamená, že hľadáme M 1 H 1.

Plochu rovnobežníka označíme písmenom S, nájdeme pomocou vzorca a pomocou vektora a → \u003d (a x, a y, a z) a M3 M1 → \u003d x 1 - x 3. y1 - y3, z1 - z3. Plošný vzorec má tvar S \u003d a → × M 3 M 1 →. Tiež plocha obrázku sa rovná súčinu dĺžok jeho strán podľa výšky, dostaneme, že S \u003d a → M 1 H 1 s → \u003d ax 2 + ay 2 + az 2, čo je dĺžka vektora a → \u003d (ax, ay, az), čo sa rovná strane rovnobežníka. Preto je M 1 H 1 vzdialenosť od bodu k priamke. Jeho zistenie sa uskutočňuje podľa vzorca M1H1 \u003d a → × M3 M1 → a →.

Na nájdenie vzdialenosti od bodu so súradnicami M 1 (x 1, y 1, z 1) k priamke a v priestore je potrebné vykonať niekoľko bodov algoritmu:

Definícia 6

• stanovenie smerovacieho vektora priamky a - a → \u003d (a x, a, z);
• výpočet dĺžky vodiaceho vektora a → \u003d a x 2 + a y 2 + a z 2;
• získanie súradníc x 3, y3, z3 patriacich k bodu M3 umiestnenému na priamke a;
• výpočet súradníc vektora M 3 M 1 →;
• nájdenie vektorového produktu vektorov a → (ax, ay, az) a M3 M 1 → \u003d x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3 ako → → M 3 M 1 → \u003d i → j → k → axayazx 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 na získanie dĺžky podľa vzorca a → × M 3 M 1 →;
• výpočet vzdialenosti od bodu k priamke M 1 H 1 \u003d a → × M 3 M 1 → a →.

Riešenie problémov s hľadaním vzdialenosti od daného bodu k danej čiare v priestore

   Príklad 5

Nájdite vzdialenosť od bodu so súradnicami M 1 2, - 4, - 1 k čiare x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5.

rozhodnutie

Prvá metóda sa začína zápisom rovnice χ roviny prechádzajúcej M1 a kolmou na daný bod. Dostaneme výraz formy:

2 · (x - 2) - 1 · (y - (- 4)) + 5 · (z - (- 1)) \u003d 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0

Je potrebné nájsť súradnice bodu H 1, ktorý je priesečníkom s rovinou χ k priamke určenej podmienkou. Je potrebné prejsť z kanonického tvaru na pretínajúci sa. Potom dostaneme systém rovníc tvaru:

x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) \u003d 2, y 5 · (x + 1) \u003d 2 (z + 5) 5 · y \u003d - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0,5 x - 2 z - 5 \u003d 0,5 y + z + 5 \u003d 0 ⇔ x + 2 y + 1 \u003d 0,5 x - 2 z - 5 \u003d 0

Je potrebné vypočítať systém x + 2 y + 1 \u003d 0,5 x - 2 z - 5 \u003d 0 2 x - y + 5 z - 3 \u003d 0 ⇔ x + 2 y \u003d - 1 5 x - 2 z \u003d 5 2 x - y + 5 z \u003d 3 podľa Cramerovej metódy, potom dostaneme, že:

∆ \u003d 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 \u003d - 60 ∆ x \u003d - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 \u003d - 60 ⇔ x \u003d ∆ x ∆ \u003d - 60 - 60 \u003d 1 ∆ y \u003d 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 \u003d 60 ⇒ y \u003d ∆ y ∆ \u003d 60 - 60 \u003d - 1 ∆ z \u003d 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 \u003d 0 ⇒ z \u003d ∆ z ∆ \u003d 0 - 60 \u003d 0

Preto máme tú H1 (1, - 1, 0).

M1H1 \u003d 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 \u003d 11

Druhým spôsobom je začať hľadaním súradníc v kanonickej rovnici. Venujte pozornosť menovateľom frakcie. Potom je → 2, - 1, 5 smerujúci vektor priamky x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5. Dĺžku je potrebné vypočítať pomocou vzorca a → \u003d 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 \u003d 30.

Je zrejmé, že čiara x + 1 2 \u003d y - 1 \u003d z + 5 5 pretína bod M3 (- 1, 0, - 5), takže máme vektor s pôvodom M3 (- 1, 0, - 5) a jeho koniec v bode M 1 2, - 4, - 1 je M3 M 1 → \u003d 3, - 4, 4. Nájdeme vektorový produkt a → \u003d (2, - 1, 5) a M3M1 → \u003d (3, - 4, 4).

Dostaneme výraz tvaru a → × M 3 M 1 → \u003d i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 \u003d - 4 · i → + 15 · j → - 8 · k → + 20 · i → - 8 · J → \u003d 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

dostaneme, že dĺžka vektorového produktu je → x M3M1 → \u003d 16 2 + 7 2 + - 5 2 \u003d 330.

K dispozícii sú všetky údaje na použitie vzorca na výpočet vzdialenosti od bodu pre priamku, takže ho použijeme a získame:

M1H1 \u003d a → x M3M1 → a → \u003d 330 30 \u003d 11

Odpoveď znie: 11 .

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmice klesnutej z bodu k priamke. V popisnej geometrii sa určuje graficky pomocou algoritmu uvedeného nižšie.

algoritmus

1. Rovná čiara sa prenesie do polohy, v ktorej bude rovnobežná s akoukoľvek projekčnou rovinou. Na tento účel sa používajú metódy transformácie ortogonálnych projekcií.
2. Z tohto bodu nakreslite kolmicu na priamku. Základom tejto konštrukcie je veta o premietaní v pravom uhle.
3. Dĺžka kolmice sa určuje prevodom jej projekcií alebo použitím metódy pravouhlého trojuholníka.

Nasledujúci obrázok ukazuje komplexný nákres bodu M a čiary b definovanej segmentom CD. Je potrebné nájsť vzdialenosť medzi nimi.

Podľa nášho algoritmu je prvá vec, ktorú treba urobiť, prekladať priamku do polohy rovnobežnej s rovinou premietania. Je dôležité pochopiť, že po transformácii by sa skutočná vzdialenosť medzi bodom a čiarou nemala meniť. Preto je tu vhodné použiť metódu nahradenia lietadiel, ktorá nezahŕňa pohyb figúr v priestore.

Výsledky prvej fázy výstavby sú uvedené nižšie. Obrázok ukazuje, ako rovnobežne s b sa zaviedla ďalšia čelná rovina P4. V novom systéme (P 1, P 4) sú body C "" 1, D "" 1, M "" 1 umiestnené v rovnakej vzdialenosti od osi X 1 ako C "", D "", M "" od osi X.

Pri vykonávaní druhej časti algoritmu z M "" 1 znížime kolmý M "" 1 N "" 1 na priamku b "" 1, pretože pravý uhol MND medzi b a MN sa premieta do roviny P4 v plnej veľkosti. Pomocou komunikačnej linky určte polohu bodu N "a vykonajte priemet M" N "segmentu MN.

V záverečnej fáze je potrebné určiť veľkosť segmentu MN z jeho výčnelkov M "N" a M "" 1 N "" 1. Za týmto účelom vytvoríme pravouhlý trojuholník M "" 1 N "" 1 N 0, pre ktorý je vetva N "" 1 N 0 rovná rozdielu (Y M 1 - Y N 1) odstránenia bodov M "a N" z osi X1. Dĺžka prepony M "" 1 N 0 trojuholníka M "" 1 N "" 1 N 0 zodpovedá požadovanej vzdialenosti od M do b.

Druhý spôsob riešenia

• Paralelne s CD predstavujeme novú čelnú rovinu P 4. Pretína P1 pozdĺž osi X1 s X1 ∥C „D“. V súlade s metódou výmeny lietadiel určujeme priemet bodov C "" 1, D "" 1 a M "" 1, ako je to znázornené na obrázku.
• Kolmo na C "" D "" 1, zostrojíme ďalšiu horizontálnu rovinu P5, na ktorú je čiara b premietaná do bodu C "2 \u003d b" 2.
• Vzdialenosť medzi bodom M a čiarou b je určená dĺžkou úseku M "2 C" 2, označeného červenou farbou.

Podobné úlohy:

Na výpočet vzdialenosti od daného bodu M k čiare L. sa môžu použiť rôzne metódy. Napríklad, ak vezmeme ľubovoľný bod M 0 na línii L, potom môžeme definovať ortogonálna projekcia vektora MO do smeru normálneho čiary vektora.  Táto projekcia po značku predstavuje požadovanú vzdialenosť.

Ďalší spôsob, ako vypočítať vzdialenosť od bodu k čiare, je založený na použití normálna rovnica priamky, Nech je čiara L daná normálnou rovnicou (4.23). Ak bod M (x; y) neleží na priamke L, potom ortogonálna projekcia pr n OM polomerové vektory  bod M v smere jednotky normálneho vektora n línie L sa rovná skalárnemu súčinu vektorov OM a n, t.j. x cosφ + za hriechφ. Rovnaká projekcia sa rovná súčtu vzdialenosti p od začiatku k čiare a určitej hodnote δ (obr. 4.10). Hodnota δ v absolútnej hodnote sa rovná vzdialenosti od bodu M k priamke. Ďalej, δ\u003e 0, ak sú body M a O na opačných stranách čiary, a δ je odchýlka bodu M od čiary.

Odchýlka 8 pre bod M (x; y) od priamky L sa vypočíta ako rozdiel medzi priemetom pr n OM a vzdialenosťou p od začiatku k priamke (pozri obr. 4.10), t. δ \u003d x cosφ + pre sinφ - p.

Pomocou tohto vzorca môžeme tiež získať vzdialenosť p (M, L) od bodu M (x; y) k priamke L definovanej normálnou rovnicou: p (M, L) \u003d | δ | \u003d | x cosφ + pre sinφ - p |.

2 Dva susedné uhly zvyšujú až 180 °

Vzhľadom na vyššie uvedený postup prevodu všeobecná rovnica priamky  v jeho normálnej rovnici dostaneme vzorec pre vzdialenosť od bodu M (x; y) k priamke L danú jeho všeobecnou rovnicou:

Príklad 4.8.  Nachádzame všeobecné rovnice výšky AH, mediánu AM a deliča AD trojuholníka ABC siahajúce od vrcholu A. Sú známe súradnice vrcholov trojuholníka A (-1; - 3), B (7; 3), C (1; 7).

Najprv si objasníme stav príkladu: označenými rovnicami máme na mysli rovnice priamok L AH, L AM a L AD, na ktorých sú umiestnené výšky AH, mediánu AM a deliaceho čísla AD uvedeného trojuholníka (obr. 4.11).

Na nájdenie rovnice priamky L AM používame skutočnosť, že stredná čiara delí opačnú stranu trojuholníka na polovicu. Keď sme našli súradnice (x 1; y 1) stredu strany BC x 1 \u003d (7 + 1) / 2 \u003d 4, y 1 \u003d (3 + 7) / 2 \u003d 5, píšeme rovnicu pre L AM vo forme rovnice priamky prechádzajúcej dvoma bodmi,  (x + 1) / (4 + 1) \u003d (y + 3) / (5 + 3). Po transformáciách dostaneme všeobecnú rovnicu mediánu 8x - 5y - 7 \u003d 0./p\u003e

Na nájdenie výškovej rovnice L AH používame skutočnosť, že výška je kolmá na opačnú stranu trojuholníka. Preto je vektor BC kolmý na výšku AH a môže byť vybraný ako normálny vektor línie L AH. Rovnicu tejto priamky získame z (4.15), nahradením súradníc bodu A a normálneho vektora priamky L AH:

(-6) (x + 1) + 4 (y + 3) \u003d 0.

Po transformáciách dostaneme všeobecnú rovnicu výšky 3x - 2r - 3 \u003d 0.

Na nájdenie rovnice priamky L AD používame skutočnosť, že priamka AD patrí do súboru tých bodov N (x; y), ktoré sú rovnako vzdialené od čiar L AB a L AC. Rovnica tejto množiny má tvar

P (N, L AB) \u003d P (N, L AC), (4,28)

a definuje dve čiary prechádzajúce bodom A a deliace uhly medzi čiarami L AB a L AC na polovicu. Pomocou rovnice priamky prechádzajúcej dvoma bodmi nájdeme všeobecné rovnice priamok L AB a L AC:

L AB: (x + 1) / (7 + 1) \u003d (y + 3) / (3 + 3), L AC: (x + 1) / (1 + 1) \u003d (y + 3) / (7 + 3)

Po transformáciách dostaneme L AB: 3x - 4y - 9 \u003d 0, L AC: 5x - y + 2 \u003d 0. Rovnica (4.28) pomocou vzorca (4.27) na výpočet vzdialenosti od bodu k priamke zapíšeme do tvaru

Transformujeme ho rozšírením modulov:

Výsledkom je získanie všeobecných rovníc dvoch riadkov

(3 ± 25 / -26) x + (-4 ± 5 \u200b\u200b/ -26) y + (-9 ± 10 / -26) \u003d 0

Pri výbere rovnice priamky z nich je potrebné vziať do úvahy, že vrcholy B a C trojuholníka sú umiestnené na opačných stranách požadovanej priamky, a preto nahradenie ich súradníc na ľavej strane všeobecnej rovnice priamky L AD musí udávať hodnoty rôznymi znakmi. Vyberieme rovnicu zodpovedajúcu hornému znamienku, t.

(3 - 25 / √ 26) x + (-4 + 5 / √26) y + (-9 - 10 / √26) \u003d 0

Nahradením súradníc bodu B ľavou stranou tejto rovnice sa získa záporná hodnota, pretože

(3 - 25/√26)7 + (-4 + 5/√26)3 + (-9 - 10/√26) = 21 - 12 - 9 + (-175 + 15 - 10)/√26 = -170/√26

a rovnaké znamienko sa získa pre súradnice bodu C, pretože

(3 - 25/√26)1 + (-4 + 5/√26)7 + (-9 - 10/√26) = 3 - 28 - 9 + (-25 + 35 - 10)/√26 = -34

Preto sú vrcholy B a C umiestnené na jednej strane priamky s vybranou rovnicou, a preto je rovnica deliča

(3 + 25 / ~ 26) x + (-4 - 5 / -26) y + (-9 + 10 / -26) \u003d 0.

155 *. Určite prirodzenú veľkosť segmentu AB priamu všeobecnú polohu (Obr. 153, a).

Rozhodnutie. Ako viete, priemet úsečky na ktorejkoľvek rovine sa rovná samotnému segmentu (pri zohľadnení mierky výkresu), ak je rovnobežný s touto rovinou

(Obr. 153, b). Z toho vyplýva, že transformáciou výkresu je potrebné dosiahnuť rovnobežnosť tohto segmentu štvorca. V alebo pl. H alebo doplňte systém V, H ďalšou rovinou kolmou na štvorec. V alebo pl. H a súbežne s týmto segmentom.

Na obr. Obrázok 153, c zobrazuje zavedenie ďalšej roviny S kolmej na štvorec. H a rovnobežne s daným segmentom AB.

Projekcia a s bs sa rovná prirodzenej veľkosti segmentu AB.

Na obr. 153, d, je znázornená ďalšia technika: segment AB sa otáča okolo priamky prechádzajúcej bodom B a kolmej na pl. N, do polohy rovnobežnej

pl. V. V tomto prípade zostáva bod B na mieste a bod A zaujíma novú pozíciu A1. Na novej pozícii je horizont. projekcia a 1 b || os x. Projekcia a "1 b" sa rovná prirodzenej veľkosti segmentu AB.

156. Je uvedená pyramídová SABCD (Obr. 154). Určite prirodzenú veľkosť hrán pyramídových AS a CS pomocou metódy zmeny projekčných rovín a hrán BS a DS pomocou metódy rotácie a vezmite os rotácie kolmo na štvorec. H.

157 *. Určite vzdialenosť od bodu A k priamke lietadla (obrázok 155, a).

Rozhodnutie. Vzdialenosť od bodu k priamke sa meria segmentom kolmice nakresleným od bodu k priamke.

Ak je čiara kolmá na ľubovoľnú rovinu (Obr. 155.6), potom sa vzdialenosť od bodu k čiare meria vzdialenosťou medzi priemetom bodu a priemetom bodu tejto roviny. Ak priama čiara zaujíma všeobecnú polohu v systéme V, H, aby sa určila vzdialenosť od bodu k priamke zmenou projekčných rovín, musia sa do systému V, H zaviesť ďalšie dve ďalšie roviny.

Najprv (Obr. 155, c) vstúpime do štvorca S rovnobežne so segmentom BC (nová os S / H je rovnobežná s projekciou bс) a zostavuje projekcie b s c s a s. Potom (obr. 155, d) predstavíme ďalší štvorec. T kolmo na priamku BC (nová os T / S je kolmá na b s s). Konštruujeme projekcie priamky a bodu - pomocou t (b t) a t. Vzdialenosť medzi bodmi a t (bt) sa rovná vzdialenosti l od bodu A k priamke lietadla.

Na obr. 155, e, rovnaká úloha sa vykonáva pomocou spôsobu rotácie v jej forme, ktorá sa nazýva metóda paralelného pohybu. Najprv priama čiara BC a bod A udržiavajú nezmenenú svoju relatívnu polohu a otáčajú sa okolo určitej priamky (nie je na výkrese vyznačené) kolmej na štvorec. H, takže čiara BC je rovnobežná so Sq. V. Je to rovnaké ako posúvanie bodov A, B, C v rovinách rovnobežných so Sq. H. Horizont. projekcia daného systému (BC + A) sa nemení ani vo veľkosti, ani v konfigurácii, iba sa zmení jeho poloha vzhľadom na os x. Máme horizont. priemet priameho lietadla rovnobežného s osou x (poloha b 1 c 1) a určte priemet a a, pričom c 1 1 1 \u003d s-1 a 1 1 1 \u003d a-1, s 1 1 1 1 c 1 1 1. Po nakreslení čiar b "b" 1, a "a" 1, c "c" 1 rovnobežne s osou x nájdeme na nich prednú časť. výčnelky b "1, a" 1, s "1. Ďalej posúvajte body B1, C1 a A1 v rovinách rovnobežných so štvorcom V (tiež bez zmeny ich relatívnej polohy) tak, aby ste dostali B 2 C 2 ⊥ štvorec H. V tomto prípade bude priemet priamky kolmý na os x, b 2 c "2 \u003d b" 1 s "1 a na zostavenie projekcie a" 2 musíte vziať b "2 2" 2 \u003d b "1 2" 1 držať 2 "a" 2 ⊥ b "2 s" 2 a vyčleniť a "2 2" 2 \u003d a "1 2" 1. Teraz, keď strávime 1 s 2 a a 1 a 2 || x 1 dostaneme projekcie b 2 s 2 a a 2 a požadovaná vzdialenosť l od bodu A k priamke Slnka. Vzdialenosť od A k slnku môžete určiť otočením roviny definovanej bodom A a priamky Slnka, okolo horizontály tejto roviny do polohy T || štvorca H (obr. 155, f).

V rovine definovanej bodom A a čiarou BC nakreslite vodorovnú rovinu A-1 (obr. 155, g) a okolo nej otáčajte bod B. Bod B sa presunie na rovinu Sq. R (uvedené vo výkrese pomocou R h), kolmé na A-1; v bode O je stred otáčania bodu B. Teraz určujeme prirodzenú hodnotu polomeru otáčania VO (obr. 155, c). V požadovanej polohe, t. J. Pri pl. T, definované bodom A a čiarou BC, sa zmení na || pl. H, bod B sa získa na Rh vo vzdialenosti Ob 1 od bodu O (na tej istej stope Rh môže byť iná poloha, ale na druhej strane O). Bod b 1 je horizont. priemet bodu B po jeho premiestnení do polohy B1 v priestore, keď rovina definovaná bodom A a priamka BC zaujala polohu T.

Po nakreslení (obr. 155 a) priamky b 1 1 dostaneme horizont. priemet už umiestneného priameho lietadla || pl. H v rovnakej rovine ako A. V tejto polohe je vzdialenosť od a do bl 1 požadovanej vzdialenosti l. Rovinu P, v ktorej ležia dané prvky, možno kombinovať s pl. H (obr. 155, k), sústruženie so štvorcom Okolo horizontu. dohľadať. Pohybujúc sa od definovania roviny bodom A a priamky lietadla k definovaniu priamok lietadla a A-1 (Obr. 155, l), nájdeme stopy týchto čiar a nakreslíme cez ne stopy P ϑ a Ph. Staviame (obr. 155, m) v kombinácii s pl. Poloha H vpredu. stopa - P ϑ0.

Cez bod nakreslite horizont. čelná projekcia; kombinovaný frontálny bod prechádza bodom 2 na trati P h rovnobežne s P ϑ 0. Bod A 0 - kombinovaný s pl. H je poloha bodu A. Podobne nájdite bod B 0. Priame lietadlo kombinované s pl. Poloha H prechádza bodom B 0 a bodom m (vodorovná čiara).

Vzdialenosť od bodu A 0 po priamku B 0 C 0 sa rovná požadovanej vzdialenosti l.

Zadanú konštrukciu môžete vykonať nájdením iba jednej stopy Ph (Obr. 155, n a o). Celá konštrukcia je podobná otočeniu okolo vodorovnej roviny (pozri obr. 155, g, c a): stopa Р h je jednou z horizontálov Sq. R.

Z metód na transformáciu výkresov uvedených na vyriešenie tohto problému je výhodným spôsobom rotácia okolo horizontálnej alebo prednej strany.

158. Je uvedená pyramída SABC (obrázok 156). Definujte vzdialenosti:

a) zhora B základne na jej stranu AC spôsobom paralelného pohybu;

b) od vrcholu S pyramídy po strany BC a základne základne otáčaním okolo horizontály

c) od vrcholu S po stranu AC základne pomocou metódy zmeny projekčných rovín.

159. Hranol je daný (obr. 157). Definujte vzdialenosti:

a) medzi hranami AD a CF spôsobom zmeny projekčných rovín;

b) medzi rebrami BE a CF otáčaním okolo prednej časti;

c) medzi rebrami AD a BE spôsobom paralelného pohybu.

160. Určite prirodzenú veľkosť štvoruholníka ABCD (Obr. 158) kombináciou so štvorcom. H. Používajte iba vodorovnú stopu roviny.

161 *. Určite vzdialenosť medzi pretínajúcimi sa priamkami AB a CD (Obr. 159, a) a vytvorte projekcie spoločných kolmých na ne.

Rozhodnutie. Vzdialenosť medzi čiarami prechodu je meraná segmentom (MN) kolmým na obe línie (obr. 159, b). Je zrejmé, že ak je jedna z čiar umiestnená kolmo na akýkoľvek štvorec. T potom

segment MN kolmý na obe priamky bude rovnobežný so štvorcom. Projekcia v tejto rovine zobrazí požadovanú vzdialenosť. Premietanie pravého uhla maenad MN n AB na štvorec T je tiež pravý uhol medzi m t n a a t b t, pretože jedna zo strán pravého uhla je AMN, konkrétne MN. paralelne s pl. T.

Na obr. 159, cad, požadovaná vzdialenosť l je určená metódou zmeny projekčných rovín. Najprv predstavíme ďalší štvorec. výstupky S, kolmé na štvorec. H a rovnobežne s priamou čiarou CD (obr. 159, c). Potom predstavíme ďalší štvorec. T kolmo na štvorec. S a kolmo na rovnaké priame CD (Obr. 159, d). Teraz môžete zostaviť priemet spoločnej kolmice nakreslením m t n t z bodu c t (d t) kolmo na projekciu a t b t. Body m t a n t sú projekcie priesečníkov tejto kolmice s priamkami AB a CD. Z bodu m t (Obr. 159, e) nájdeme m s na a s b s: projekcia m s n s musí byť rovnobežná s osou T / S. Ďalej m a n nájdeme m a n na ab a cd a podľa nich m "a n" na "b" ac "d".

Na obr. 159, c ukazuje riešenie tohto problému metódou paralelných pohybov. Najskôr vložte priame CD rovnobežne s štvorcom. V: projekcia c 1 d 1 || x. Ďalej presunieme priame CD a AB z pozícií C1D1 a A1B1 do pozícií C2B2 a A2B2 tak, aby C2D2 bol kolmý na H: projekcia s „2 d“ 2 ⊥ x. Časť požadovanej kolmice je || pl. H, a preto m 2 n2 vyjadruje požadovanú vzdialenosť 1 medzi AB a CD. Nájdeme polohu projekcií m "2 a n" 2 na "2 b" 2 a c "2 d" 2, potom projekcie a m 1 a m "1, n 1 a n" 1, nakoniec projekcie m "a n" ", m a n.

162. Je uvedená pyramída SABC (obrázok 160). Určite vzdialenosť medzi okrajom SB a stranou AC základne pyramídy a vytvorte projekcie spoločných kolmých na SB a AC pomocou metódy zmeny projekčných rovín.

163. Je uvedená pyramída SABC (obrázok 161). Určite vzdialenosť medzi okrajom SH a stranou BC základne pyramídy a pomocou metódy paralelného pohybu vytvorte projekcie spoločných kolmých na SX a BC.

164 *. Stanovte vzdialenosť od bodu A k rovine v prípadoch, keď je rovina definovaná: a) trojuholník BCD (Obr. 162, a); b) stopy (obr. 162, b).

Rozhodnutie. Ako viete, vzdialenosť od bodu k rovine sa meria hodnotou kolmice nakreslenej z bodu k rovine. Táto vzdialenosť sa premieta na akýkoľvek štvorec. projekcie v plnej veľkosti, ak je daná rovina kolmá na štvorec. výstupky (Obr. 162, c). Táto poloha sa dá dosiahnuť transformáciou výkresu, napríklad zmenou štvorca. projekcie. Predstavujeme pl. S (obr. 16c, d), kolmo na štvorec. Trojuholník BCD. K tomu, minúť na námestí. trojuholníka je horizontálna B-1 a os projekcií S umiestnime kolmo na horizontálnu projekciu b-1. Konštruujeme projekcie bodu a roviny - a s a segmentu c s d s. Vzdialenosť od a do c s d ds sa rovná požadovanej vzdialenosti l bodu od roviny.

Na rio. 162, e, je použitá metóda paralelného pohybu. Celý systém sa pohne, až kým sa vodorovná rovina B-1 nestane kolmá na rovinu V: výčnelok b 1 1 1 by mal byť kolmý na os x. V tejto polohe sa rovina trojuholníka bude premietať spredu a vzdialenosť l od bodu A k nej sa zobrazí na pl. V bez skreslenia.

Na obr. 162, b je rovina daná stopami. Predstavujeme (Obr. 162, f) ďalší štvorec. S, kolmo na štvorec. P: os S / H je kolmá na Ph. Ďalej je zrejmé z výkresu. Na obr. 162, No problém je vyriešený pomocou jedného pohybu: pl. P prechádza do polohy P, t. J. Stáva sa čelným výstupkom. Next. P1h je kolmá na os x. Postavili sme front v tejto polohe lietadla. vodorovná trať - bod n "1, n 1. Trať P 1 След prejde P 1x an 1. Vzdialenosť od" 1 do P 1 "sa rovná požadovanej vzdialenosti l.

165. Je uvedená pyramída SABC (pozri obrázok 160). Stanovte vzdialenosť od bodu A k čelnej ploche SBC pyramídy pomocou metódy paralelného pohybu.

166. Je uvedená pyramída SABC (pozri obrázok 161). Výška pyramídy sa stanoví pomocou metódy paralelného pohybu.

167 *. Definujte vzdialenosť medzi križujúcimi čiarami AB a CD (pozri obrázok 159, a) ako vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami prechádzajúcimi týmito čiarami.

Rozhodnutie. Na obr. 163 a zobrazuje roviny P a Q navzájom rovnobežné, z ktorých pl. Q sa uskutočňuje prostredníctvom CD paralelne s AB a pl. P - cez AB rovnobežne s štvorcom. Q. Vzdialenosť medzi týmito rovinami sa považuje za vzdialenosť medzi pretínacími sa priamkami AB a CD. Dá sa však obmedziť len na zostavenie iba jednej roviny, napríklad Q, rovnobežnej s AB, a potom určiť vzdialenosť od najmenej bodu A k tejto rovine.

Na obr. 163, c zobrazuje rovinu Q nakreslenú CD rovnobežne s AB; v projekciách s písmenom „e“ || a "b" a ce || ab. Použitie metódy zmeny pl. projekcie (Obr. 163, c), predstavíme ďalší štvorec. S, kolmo na štvorec. V a súčasne

kolmo na štvorec Q. Na nakreslenie osi S / V berieme čelo D-1 v tejto rovine. Teraz nakreslíme S / V kolmo na d "1" (Obr. 163, c). Pl. Q je zobrazené na pl. S ako čiara s s d s. Zvyšok je zrejmý z výkresu.

168. Je uvedená pyramída SABC (pozri obrázok 160). Určite vzdialenosť medzi rebrami SC a AB. Použite: 1) spôsob zmeny štvorca. projekcie, 2) metóda paralelného pohybu.

169 *. Určite vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami, z ktorých jedna je daná priamkami AB a AC a druhá - priamkami DE a DF (obrázok 164, a). Vykonajte tiež konštrukciu pre prípad, keď sú roviny definované stopami (Obr. 164, b).

Rozhodnutie. Vzdialenosť (obr. 164, c) medzi rovnobežnými rovinami sa dá určiť nakreslením kolmice z ktoréhokoľvek bodu v jednej rovine do druhej. Na obr. 164 g zaviedlo ďalšiu pl. Kolmo na pl. N a pre obe tieto roviny. Os S.H je kolmá na horizont. vodorovná projekcia nakreslená v jednej z rovín. Konštruujeme priemet tejto roviny a bod v inej rovine na Sq. 5. Vzdialenosť bodu ds k priamke l s a s sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami.

Na obr. 164, q je daná iná konštrukcia (spôsobom paralelného posunu). Aby rovina vyjadrená pretínajúcimi sa priamkami AB a AC bola kolmá na štvorec. V, horizont. Vodorovný priemet tejto roviny je kolmý na os x: 1 1 2 1 ⊥ x. Vzdialenosť medzi prednou časťou. priemet d "1 bodu D a čiara a" 1 2 "1 (predný priemet roviny) sa rovná požadovanej vzdialenosti medzi rovinami.

Na obr. 164, f ukazuje zavedenie ďalšej pl. Kolmo na plochu H a na tieto roviny P a Q (os S / H je kolmá na stopy P h a Q h). Budujeme stopy P a Q. Vzdialenosť medzi nimi (pozri obr. 164, c) sa rovná požadovanej vzdialenosti l medzi rovinami P a Q.

Na obr. 164, g ukazuje pohyb rovín P 1 n Q 1 do polohy P 1 a Q 1, keď je horizont. stopy sú kolmé na os x. Vzdialenosť medzi novým predkom. stopami P 1 a Q 1 sa rovná požadovanej vzdialenosti l.

170. Dan paralelne tvarovaný ABCDEFGH (Obr. 165). Určite vzdialenosti: a) medzi základňami škatule - l 1; b) medzi plochami ABFE a DCGH - 12; c) medzi plochami ADHE a BCGF-13.