Gauss-menetelmä monimutkaisilla numeroilla. Gauss-menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta. Yleisessä muodossa

Vesihuollon järjestely

Täällä voit ratkaista ilmaiseksi lineaaristen yhtälöiden järjestelmän gauss-menetelmä verkossa suuret koot monimutkaisina numeroina erittäin yksityiskohtaisella ratkaisulla. Laskuri pystyy ratkaisemaan verkossa sekä tavanomaisen määritellyn että määrittelemättömän lineaaristen yhtälöiden järjestelmän Gauss-menetelmällä, jolla on ääretön määrä ratkaisuja. Tässä tapauksessa vastauksessa saat yhden muuttujan riippuvuuden toisen kautta ilmaiseksi. Voit myös tarkistaa yhtälöjärjestelmästä online-yhteensopivuuden Gauss-menetelmää käyttävällä ratkaisulla.

Tietoja menetelmästä

Ratkaisettaessa lineaaristen yhtälöiden järjestelmää verkossa Gauss-menetelmällä suoritetaan seuraavat vaiheet.

Me kirjoitamme laajennetun matriisin.
Itse asiassa ratkaisu on jaettu Gauss-menetelmän suoriin ja käänteisiin vaiheisiin. Gauss-menetelmän suora kulku on matriisin pelkistäminen vaiheittaiseen muotoon. Gauss-menetelmän käänteinen tavoite on matriisin pelkistäminen erityiseen vaihemuotoon. Mutta käytännössä on helpompaa tyhjentää välittömästi se, mikä sijaitsee sekä kyseisen elementin ylä- että alapuolella. Laskuri käyttää juuri tätä lähestymistapaa.
On tärkeätä huomata, että Gauss-menetelmällä ratkaistaessa ainakin yhden nollarivin, jolla on ei-nolla oikeanpuoleinen (vapaiden termien sarake), esiintyminen matriisissa osoittaa järjestelmän yhteensopimattomuuden. Lineaarisen järjestelmän ratkaisua ei tässä tapauksessa ole.

Parhaan ymmärtääksesi kuinka Gauss-algoritmi toimii verkossa, kirjoita mikä tahansa esimerkki, valitse "erittäin yksityiskohtainen ratkaisu" ja katso sen ratkaisu verkossa.

Annetaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä, joka on ratkaistava (etsi tuntemattomien xi-arvot siten, että jokaisesta järjestelmän yhtälöstä tulee sama).

Tiedämme, että lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä voi:

1) Ei ole päätöksiä (olla epäjohdonmukainen).
2) Tee äärettömän paljon päätöksiä.
3) on ainutlaatuinen ratkaisu.

Kuten muistamme, Cramer-sääntö ja matriisimenetelmä eivät sovellu tapauksiin, joissa järjestelmällä on äärettömän monta ratkaisua tai se ei ole yhteensopiva. Gauss-menetelmä – tehokkain ja monipuolisin työkalu ratkaisun löytämiseen mihin tahansa lineaaristen yhtälöiden järjestelmäänettä molemmissa tapauksissajohtaa meidät vastaukseen! Itse menetelmäalgoritmi toimii samalla tavalla kaikissa kolmessa tapauksessa. Jos determinantitietoa tarvitaan Cramer- ja matriisimenetelmissä, Gauss-menetelmän soveltamiseksi tarvitaan vain aritmeettisten toimintojen tuntemus, mikä tekee siitä saatavilla myös ala-asteen oppilaille.

Laajennetut matriisitulokset ( tämä on järjestelmän matriisi - matriisi, joka koostuu vain tuntemattomien kertoimista plus vapaiden termien sarake)lineaarisen algebran yhtälöjärjestelmät Gauss-menetelmässä:

1) kanssa linjat matriisi voi olla transposepaikoissa.

2) jos matriisissa esiintyi (tai on) verrannollisia (erikoistapauksena samanlaisia) rivejä, niin poista matriisista kaikki nämä rivit paitsi yksi.

3) jos matriisiin ilmestyy nolla rivi muunnoksen aikana, niin se seuraa myös poista.

4) matriisirivi voi kertoa (jakaa)mihin tahansa lukuun kuin nolla.

5) matriisitölkin riville lisää toinen rivi kertaa numeroMuu kuin nolla.

Gauss-menetelmässä alkuainemuunnokset eivät muuta yhtälöjärjestelmän ratkaisua.

Gauss-menetelmä koostuu kahdesta vaiheesta:

”Suora siirto” - tuomalla lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän laajennettu matriisi elementtimuunnoksilla “kolmionmuotoiseen” askelmuotoon: pään diagonaalin alapuolella olevan laajennetun matriisin elementit ovat yhtä suuret kuin nolla (“ylhäältä alaspäin” tapahtuva siirto). Esimerkiksi tähän lomakkeeseen:

Voit tehdä tämän seuraavasti:

1) Tarkastellaan lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ensimmäistä yhtälöä ja kerroin x 1: ssä on K. Toinen, kolmas jne. muuntamme yhtälöt seuraavasti: jaamme jokaisen yhtälön (tuntemattomien kertoimet, mukaan lukien vapaat termit) tuntemattoman x 1: n kertoimella kussakin yhtälössä, ja kerrotaan kahdella K. Tämän jälkeen vähennämme ensimmäisen toisesta yhtälöstä (tuntemattomien ja ilmaisten termien kertoimet). Saadaan pisteessä x 1 toisessa yhtälössä kerroin 0. Vähennä ensimmäinen yhtälö kolmannesta muunnetusta yhtälöstä, kunnes kaikilla yhtälöillä, paitsi ensimmäinen, tuntemattomalla x 1, on kerroin 0.

2) Siirrymme seuraavaan yhtälöön. Olkoon se toinen yhtälö ja kerroin x 2: ssa, joka on yhtä suuri kuin M. Kaikkien "alavirran" yhtälöiden kanssa edetään kuten edellä on kuvattu. Täten tuntemattoman x 2: n ”alle” on kaikissa yhtälöissä nolla.

3) Jatkamme seuraavaan yhtälöön ja niin edelleen, kunnes jäljellä on viimeinen tuntematon ja muunnettu vapaa termi.

Gauss-menetelmän "käänteinen siirto" on saada ratkaisu lineaaristen algebran yhtälöiden järjestelmään (alhaalta ylöspäin tapahtuva siirto). Viimeisimmästä “alemmasta” yhtälöstä saamme yhden ensimmäisen ratkaisun - tuntematon x n. Tätä varten ratkaisemme perusyhtälön A * x n \u003d B. Yllä olevassa esimerkissä x 3 \u003d 4. Korvaamme löytyneen arvon seuraavassa yhtälössä “ylemmässä” ja ratkaisemme sen suhteessa seuraavaan tuntemattomaan. Esimerkiksi x 2 - 4 \u003d 1, ts. x 2 \u003d 5. Ja niin edelleen, kunnes löydämme kaikki tuntemattomat.

Esimerkki.

Ratkaisemme lineaaristen yhtälöiden järjestelmän Gauss-menetelmällä, kuten jotkut kirjoittajat neuvovat:

Me kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin ja käyttämällä elementtimuunnelmia saamme sen vaiheittaiseen muotoon:

Katsomme vasenta yläkulmaa "askel". Siellä meillä on oltava yksikkö. Ongelmana on, että ensimmäisessä sarakkeessa ei ole yhtään yksikköä, joten mitään ei voida ratkaista järjestämällä rivejä uudelleen. Tällaisissa tapauksissa yksikkö on järjestettävä käyttämällä perusmuunnosta. Tämä voidaan yleensä tehdä useilla tavoilla. Teemme tämän:
1 askel . Lisää toinen rivi kerrottuna –1 ensimmäiselle riville. Eli kerroimme henkisesti toiselle riville -1 ja lisäsimme ensimmäisen ja toisen rivin, kun taas toinen rivi ei muuttunut.

Nyt ”miinus yksi” on vasemmassa yläkulmassa, mikä sopii meille täydellisesti. Kuka haluaa saada +1, voi suorittaa lisätoimenpiteen: kertoa ensimmäinen rivi luvulla –1 (vaihtaa merkkiään).

2 askelta . Ensimmäinen rivi, jonka lisäsi 5, lisättiin toiselle riville. Ensimmäinen rivi, jonka lisäsi 3, lisättiin kolmanteen riviin.

3 askelta . Ensimmäinen rivi kerrottiin -1: llä, periaatteessa tämä on kauneuden vuoksi. Kolmas rivi muutti myös merkin ja järjesti sen toiseksi, joten meillä on toisessa ”vaiheessa haluttu yksikkö.

4 askelta . Toinen rivi, jonka lisäsi 2, lisättiin kolmanteen riviin.

5 askelta . Kolmas rivi jaettiin kolmella.

Merkki, joka ilmaisee laskelmien virheen (harvemmin - kirjoitusvirhe), on "huono" rivi. Eli jos meillä on jotain (0 0 11 | 23) alla ja vastaavasti 11x 3 \u003d 23, x 3 \u003d 23/11, niin suurella todennäköisyydellä voimme sanoa, että aikana tehtiin virhe alkeismuunnokset.

Suoritamme paluuvaiheen, esimerkkien suunnittelussa ne eivät usein kirjoita itse järjestelmää, ja yhtälöt "otetaan suoraan annetusta matriisista". Palautuskohta, muistan, toimii alhaalta ylöspäin. Tässä esimerkissä saimme lahjan:

x 3 \u003d 1
x 2 \u003d 3
x 1 + x 2 - x 3 \u003d 1, siksi x 1 + 3 - 1 \u003d 1, x 1 \u003d –1

Vastaus: x 1 \u003d –1, x 2 \u003d 3, x 3 \u003d 1.

Ratkaisemme saman järjestelmän ehdotetun algoritmin mukaisesti. Saamme

4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0

Jaa toinen yhtälö 5: llä ja kolmas 3: lla.

4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0

Kerrotaan toinen ja kolmas yhtälö 4: llä, saadaan:

4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0

Vähennä ensimmäinen yhtälö toisesta ja kolmannesta yhtälöstä, meillä on:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1

Jaa kolmas yhtälö 0,64:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625

Kertokaa kolmas yhtälö 0,4: llä

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625

Vähennä toinen kolmannesta yhtälöstä, saamme "askeleen" laajennetun matriisin:

4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225

Siten, koska laskelmien aikana kertynyt virhe saadaan x 3 \u003d 0,96 tai suunnilleen 1.

x 2 \u003d 3 ja x 1 \u003d –1.

Tällä tavoin päättäessäsi et koskaan sekoitu laskelmiin ja laskelmien virheistä huolimatta saat tuloksen.

Tämä menetelmä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi on helposti ohjelmoitavissa, eikä siinä oteta huomioon tuntemattomien kertoimien erityispiirteitä, koska käytännössä (taloudellisissa ja teknisissä laskelmissa) on käsiteltävä ei-kokonaislukukertoimia.

Toivotan menestystä! Nähdään luokkahuoneessa! Tutor.

blog.site, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, viittaus lähteeseen vaaditaan.

Yksi yleisistä ja tehokkaista menetelmistä lineaarisen algebran järjestelmien ratkaisemiseksi on gauss-menetelmä koostuu tuntemattomien peräkkäisestä poissulkemisesta.

Palauta kaksi järjestelmää kutsutaan vastaava (ekvivalentti), jos niiden ratkaisujoukot vastaavat toisiaan. Toisin sanoen järjestelmät ovat vastaavia, jos kukin ratkaisu yhteen niistä on ratkaisu toiseen ja päinvastoin. Vastaavat järjestelmät saadaan alkeismuunnokset järjestelmäyhtälöt:

kertomalla yhtälön molemmat puolet muulla kuin nolla;

lisäämällä yhtälöön toisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna muulla lukulla kuin nolla;

kahden yhtälön permutaatio.

Annetaan yhtälöjärjestelmä

Tämän järjestelmän Gauss-menetelmän mukainen ratkaisemisprosessi koostuu kahdesta vaiheesta. Ensimmäisessä vaiheessa (suora ajo) järjestelmä pelkistetään perusmuunnoksilla käyttämällä arvoon vaiheittainen , tai kolmikulmainen mielessä, ja toisessa vaiheessa (käänteinen) on peräkkäinen, joka alkaa viimeisestä muuttujan numerolla, tuntemattomien määrittäminen tuloksena olevasta vaihejärjestelmästä.

Oletetaan, että tämän järjestelmän kerroin
muuten järjestelmässä ensimmäinen rivi voidaan vaihtaa minkä tahansa muun rivin kanssa siten, että kerroin on oli erilainen kuin nolla.

Muuntamme järjestelmän lukuun ottamatta tuntematonta kaikissa yhtälöissä paitsi ensimmäinen. Voit tehdä tämän kertomalla ensimmäisen yhtälön molemmat puolet ja lisää termi termillä järjestelmän toisella yhtälöllä. Sitten kerrotaan ensimmäisen yhtälön molemmat puolet ja lisää järjestelmän kolmanteen yhtälöön. Jatkamalla tätä prosessia saamme vastaavan järjestelmän

täällä
- uuden vaiheen kertoimien ja vapaaehtojen arvot, jotka saadaan ensimmäisen vaiheen jälkeen.

Vastaavasti ottaen huomioon pääelementti
, sulje pois tuntematon kaikista järjestelmän yhtälöistä, paitsi ensimmäinen ja toinen. Jatkamme tätä prosessia, vaikka se on mahdollista, seurauksena saadaan askeljärjestelmä

jossa ,
,…,- järjestelmän pääosat
.

Jos järjestelmä tuodaan vaiheittaiseen muotoon, yhtälöt ilmestyvät, ts. Muodon yhtälöt
, heidät heitetään pois, koska he ovat tyytyväisiä mihin tahansa sarjoihin
. Jos kuitenkin
jos lomakkeen yhtälö ilmenee, jolla ei ole ratkaisuja, tämä osoittaa järjestelmän epäyhteensopivuuden.

Käänteisen iskun aikana ensimmäinen tuntematon ilmaistaan \u200b\u200bmuunnetun askeljärjestelmän viimeisestä yhtälöstä kaikkien muiden tuntemattomien kautta
joita kutsutaan ilmaiseksi . Sitten muuttuva lauseke järjestelmän viimeisestä yhtälöstä korvataan viimeisellä yhtälöllä ja muuttuja ilmaistaan \u200b\u200bsiitä
. Samoin muuttujat määritetään peräkkäin
. muuttujat
ilmaistaan \u200b\u200bilmaisina muuttujina, kutsutaan perustiedot (Dependent). Tuloksena on yleinen ratkaisu lineaaristen yhtälöiden järjestelmään.

Löydä yksityinen päätös ilmaiset tuntemattomat järjestelmät
yleisessä ratkaisussa määritetään mielivaltaiset arvot ja lasketaan muuttujien arvot
.

Teknisesti on helpompaa alistaa perusmuunnokset ei itse järjestelmän yhtälöille, vaan laajennetulle matriisille.

Gauss-menetelmä on yleinen menetelmä, jonka avulla voidaan ratkaista paitsi neliömäiset, myös suorakulmaiset järjestelmät, joissa tuntematon määrä
ei yhtä suuri kuin yhtälöiden lukumäärä
.

Tämän menetelmän etuna on myös se, että ratkaisemisessa tutkitaan samanaikaisesti järjestelmän yhteensopivuutta, koska kun olemme tuoneet laajennetun matriisin
vaiheittain on helppo määrittää matriisin rivit ja laajennettu matriisi
ja hakea kronecker-Capelli-lause .

Esimerkki 2.1Gauss-menetelmä järjestelmän ratkaisemiseksi

päätös. Yhtälöiden lukumäärä
ja tuntemattomien lukumäärä
.

Laadimme järjestelmän laajennetun matriisin, joka osoittaa kertoimien matriisin oikealla puolella ilmainen jäsensarake .

Annamme matriisin kolmionäkymään; Tätä varten saadaan "0" päädiagoniaalilla seisovien elementtien alapuolelle elementtimuunnosten avulla.

Saadaksesi ”0” ensimmäisen sarakkeen toiseen sijaintiin, kerro ensimmäinen rivi (-1) ja lisää toiseen riviin.

Me kirjoitamme tämän muunnoksen numerolla (-1) ensimmäistä riviä vasten ja osoitamme nuolella, joka menee ensimmäiseltä riviltä toiselle.

Jos haluat saada "0" ensimmäisen sarakkeen kolmanteen sijaintiin, kerro ensimmäinen rivi (-3) ja lisää kolmanteen riviin; näytä tämä toiminta nuolilla, joka siirtyy ensimmäisestä rivistä kolmanteen.

Tuloksena olevassa matriisissa, joka on merkitty toiseksi matriisiketjussa, saadaan "0" toisessa sarakkeessa kolmannessa asemassa. Voit tehdä tämän kertomalla toisen rivin (-4) ja lisäämällä kolmanteen. Tuloksena olevassa matriisissa kerrotaan toinen rivi (-1) ja kolmas - jaetaan (-8). Kaikki tämän matriisin elementit diagonaalisten elementtien alapuolella ovat nollia.

koska , järjestelmä on yhteistyöhakuinen ja tarkka.

Viimeistä matriisia vastaavalla yhtälöjärjestelmällä on kolmionmuoto:

Viimeisimmästä (kolmannesta) yhtälöstä
. Korvaa toinen yhtälö ja saat
.

Sijoitetaan
ja
ensimmäisessä yhtälössä löydämme

.

Matemaatikot ovat XVI-XVIII vuosisatojen alusta lähtien intensiivisesti alkaneet tutkia toimintoja, joiden vuoksi niin paljon on muuttunut elämässämme. Tietotekniikkaa ilman tätä tietoa ei yksinkertaisesti olisi olemassa. Monimutkaisten ongelmien ratkaisemiseksi on luotu lineaarisia yhtälöitä ja funktioita, erilaisia \u200b\u200bkäsitteitä, lauseita ja ratkaisumenetelmiä. Yksi tällaisista universaalisista ja järkevistä menetelmistä ja tekniikoista lineaaristen yhtälöiden ja niiden järjestelmien ratkaisemiseksi oli Gauss-menetelmä. Matriisit, niiden sijoitus, determinantit - kaikki voidaan laskea ilman monimutkaisia \u200b\u200btoimintoja.

Mikä on SLAU?

Matematiikassa on olemassa käsite SLAE - lineaaristen algebran yhtälöiden järjestelmä. Millainen hän on? Tämä on joukko m-yhtälöitä tuntemattomien n tuntemattomien kanssa, joita yleensä merkitään x, y, z tai x 1, x 2 ... x n tai muilla symboleilla. Tämän järjestelmän ratkaiseminen Gauss-menetelmällä tarkoittaa kaikkien tuntemattomien löytämistä. Jos järjestelmässä on sama määrä tuntemattomia ja yhtälöitä, niin sitä kutsutaan n: nnen asteen järjestelmään.

Suosituimmat menetelmät SLAE: n ratkaisemiseksi

Lukioissa tutkitaan erilaisia \u200b\u200bmenetelmiä tällaisten järjestelmien ratkaisemiseksi. Useimmiten nämä ovat yksinkertaisia \u200b\u200byhtälöitä, jotka koostuvat kahdesta tuntemattomasta, joten olemassa oleva menetelmä vastauksen löytämiseen ei vie paljon aikaa. Se voi olla kuin korvausmenetelmä, kun yhdestä yhtälöstä johdetaan toinen ja korvataan alkuperäisellä. Tai menetelmä vähentämiselle ja summaamiselle. Mutta Gauss-menetelmää pidetään helpoimpana ja universaalisimpana. Se mahdollistaa yhtälöiden ratkaisemisen minkä tahansa määrän tuntemattomien kanssa. Miksi tätä tekniikkaa pidetään järkevänä? Kaikki on yksinkertaista. Matriisimenetelmä on hyvä, koska se ei vaadi useita kertoja tarpeettomien merkkien kirjoittamista tuntemattomina, se riittää tekemään kertoimille aritmeettisia toimenpiteitä - ja saamme luotettavan tuloksen.

Missä SLAU: ita käytetään käytännössä

SLAE-ratkaisu on funktion kuvaajien viivojen leikkauspisteet. Huipputekniikka-aikakaudellamme ihmisten, jotka liittyvät läheisesti pelien ja muiden ohjelmien kehitykseen, on tiedettävä kuinka ratkaista tällaiset järjestelmät, mitä ne edustavat ja miten tarkistaa tuloksen oikeellisuus. Ohjelmoijat kehittävät useimmiten erityiset lineaarialgebralaskimet, tämä sisältää myös lineaaristen yhtälöiden järjestelmän. Gauss-menetelmän avulla voit laskea kaikki olemassa olevat ratkaisut. Myös muita yksinkertaistettuja kaavoja ja tekniikoita käytetään.

SLAU-yhteensopivuuskriteeri

Tällainen järjestelmä voidaan ratkaista vain, jos se on yhteensopiva. Selvyyden vuoksi edustamme SLAE: tä muodossa Ax \u003d b. Sillä on ratkaisu, jos soitto (A) on sama kuin soitettu (A, b). Tässä tapauksessa (A, b) on laajennettu matriisi, joka voidaan saada matriisista A kirjoittamalla se uudelleen ilmaisilla ehdoilla. Osoittautuu, että lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen Gauss-menetelmällä on melko helppoa.

Ehkä jotkut merkinnät eivät ole täysin selkeitä, joten sinun on harkittava kaikkea esimerkillä. Oletetaan, että on olemassa järjestelmä: x + y \u003d 1; 2x-3y \u003d 6. Se koostuu vain kahdesta yhtälöstä, joista 2 on tuntematon. Järjestelmällä on ratkaisu vain, jos sen matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin sijoitus. Mikä on sijoitus? Tämä on järjestelmän riippumattomien rivien lukumäärä. Tapauksessamme matriisin 2 sijoitus. Matriisi A koostuu tuntemattomien lähellä sijaitsevista kertoimista, ja ”\u003d” -merkin takana olevat kertoimet sopivat myös laajennettuun matriisiin.

Miksi SLAU voidaan esittää matriisimuodossa

Todetun Kronecker-Capelli-lauseen yhteensopivuuskriteerin perusteella lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä voidaan esittää matriisimuodossa. Gauss-menetelmällä voit ratkaista matriisin ja saada ainoan luotettavan vastauksen koko järjestelmään. Jos tavallisen matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin sen laajennetun matriisin, mutta pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, niin järjestelmällä on ääretön määrä vastauksia.

Matriisimuunnokset

Ennen kuin jatkat matriisien ratkaisemiseen, sinun on tiedettävä, mitkä toimet voidaan suorittaa niiden elementeille. Alkuperäisiä muunnoksia on useita:

Kirjoittamalla järjestelmä matriisimuotoon ja toteuttamalla sen ratkaisu, voimme kertoa sarjan kaikki elementit samalla kertoimella.
Voit muuttaa matriisin kaanoniseen muotoon vaihtamalla kaksi rinnakkaista riviä. Kaanoninen muoto merkitsee, että kaikista matriisin elementeistä, jotka sijaitsevat päädiagonaalissa, tulee niistä, ja jäljelle jäävistä tulee nollia.
Matriisin rinnakkaisten rivien vastaavat elementit voidaan lisätä toisiinsa.

Jordan-Gauss-menetelmä

Lineaaristen homogeenisten ja heterogeenisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemisen tarkoituksena Gauss-menetelmällä on tuntemattomien asteittainen poistaminen. Oletetaan, että meillä on kahden yhtälön järjestelmä, joissa kahta ei tunneta. Löytääksesi ne, sinun on tarkistettava järjestelmän yhteensopivuus. Gauss-yhtälö ratkaistaan \u200b\u200bhyvin yksinkertaisesti. Jokaisen tuntemattoman lähellä olevat kertoimet on tarpeen kirjoittaa matriisimuodossa. Järjestelmän ratkaisemiseksi sinun on kirjoitettava laajennettu matriisi. Jos yksi yhtälöistä sisältää pienemmän määrän tuntemattomia, puuttuvan elementin sijasta, sinun on laitettava "0". Matriisiin sovelletaan kaikkia tunnettuja muunnosmenetelmiä: kertolasku, jakaminen lukumäärällä, sarjan vastaavien elementtien lisääminen toisiinsa ja muut. Osoittautuu, että jokaisesta rivistä on tarpeen jättää yksi muuttuja, jonka arvo on "1", loput johtavat nollamuotoon. Tarkemman ymmärtämisen kannalta on tarpeen tarkastella Gauss-menetelmää esimerkein.

Yksinkertainen esimerkki 2x2-järjestelmän ratkaisemisesta

Otetaan ensin yksinkertainen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä, jossa on 2 tuntematonta.

Me kirjoitamme sen laajennetussa matriisissa.

Tämän lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi tarvitaan vain kaksi operaatiota. Meidän on saatettava matriisi kaanoniseen muotoon niin, että päädiagnoalissa on yksiköitä. Joten kääntämällä matriisimuodosta takaisin järjestelmään, saadaan yhtälöt: 1x + 0y \u003d b1 ja 0x + 1y \u003d b2, missä b1 ja b2 ovat tuloksena olevat vastaukset ratkaisuprosessissa.

Ensimmäinen askel laajennetun matriisin ratkaisemisessa on seuraava: ensimmäinen rivi on kerrottava -7: llä ja vastaavat elementit lisättävä toiseen riviin, jotta päästäisiin eroon tuntemattomasta toisessa yhtälössä.
Koska yhtälöiden ratkaiseminen Gauss-menetelmällä merkitsee matriisin pelkistämistä kanoniseen muotoon, on tarpeen suorittaa samat toimenpiteet ensimmäisellä yhtälöllä ja poistaa toinen muuttuja. Voit tehdä tämän vähentämällä toisen rivin ensimmäiseltä ja saadaksesi tarvittavan vastauksen - SLAE-ratkaisun. Tai, kuten kuvassa, kerro toinen rivi kertoimella -1 ja lisää toisen rivin elementit ensimmäiseen riviin. Se on yksi ja sama.

Kuten huomaat, järjestelmämme ratkaistaan \u200b\u200bJordan-Gauss-menetelmällä. Me kirjoitamme sen tarvittavassa muodossa: x \u003d -5, y \u003d 7.

Ratkaisuesimerkki SLAU 3x3

Oletetaan, että meillä on monimutkaisempi lineaaristen yhtälöiden järjestelmä. Gauss-menetelmä mahdollistaa vastauksen laskemisen jopa näennäisesti hämmentävälle järjestelmälle. Siksi syventyäksesi laskentamenettelyyn voimme siirtyä monimutkaisempaan esimerkkiin, jossa on kolme tuntematonta.

Kuten edellisessä esimerkissä, kirjoitamme järjestelmän uudelleen laajennetun matriisin muodossa ja alamme tuoda se kaanoniseen muotoon.

Tämän järjestelmän ratkaisemiseksi sinun on suoritettava paljon enemmän toimia kuin edellisessä esimerkissä.

Ensin on tehtävä yksi yksikköelementti ja loput nollat \u200b\u200bensimmäiseen sarakkeeseen. Voit tehdä tämän kertomalla ensimmäisen yhtälön -1: llä ja lisäämällä siihen toinen yhtälö. On tärkeää muistaa, että kirjoitamme ensimmäisen rivin alkuperäisessä muodossaan ja toisen - jo muuttuneena.
Seuraavaksi poistamme saman ensimmäisen tuntemattoman kolmannesta yhtälöstä. Voit tehdä tämän kertomalla ensimmäisen rivin elementit -2: llä ja lisäämällä ne kolmanteen riviin. Nyt ensimmäinen ja toinen rivi kirjoitetaan uudelleen alkuperäisessä muodossaan ja kolmas - jo muutoksilla. Kuten tuloksesta voidaan nähdä, saimme ensimmäisen yksikön matriisin pää diagonaalin alussa ja jäljellä olevat nollat. Muutama vaihe, ja yhtälöjärjestelmä Gauss-menetelmällä ratkaistaan \u200b\u200bluotettavasti.
Nyt sinun täytyy tehdä toimintoja sarjan muihin osiin. Kolmas ja neljäs toiminta voidaan yhdistää yhdeksi. Toinen ja kolmas rivi on jaettava -1: llä, jotta pääset eroon miinusyksiköistä vinottain. Olemme jo tuoneet kolmannen rivin tarvittavaan muotoon.
Seuraavaksi tuomme kaanoniseen muotoon toinen rivi. Voit tehdä tämän kertomalla kolmannen rivin elementit -3: lla ja lisäämällä ne matriisin toiseen riviin. Tulos osoittaa, että myös toinen rivi on pelkistetty tarvittavaan muotoon. Jäljellä on vielä muutama toiminta ja poistaa tuntemattomat kertoimet ensimmäiseltä riviltä.
Jotta saadaan 0 rivin toisesta osasta, sinun on kerrottava kolmas rivi -3: lla ja lisättävä se ensimmäiseen riviin.
Seuraava ratkaiseva askel on lisäämällä ensimmäiselle riville toisen rivin tarvittavat elementit. Joten saamme matriisin kaanonisen muodon ja vastaavasti vastauksen.

Kuten näette, yhtälöiden ratkaisu Gauss-menetelmällä on melko yksinkertainen.

Esimerkki 4x4-yhtälöjärjestelmän ratkaisemisesta

Jotkut monimutkaisemmat yhtälöjärjestelmät voidaan ratkaista Gauss-menetelmällä tietokoneohjelmia käyttämällä. On tarpeen ajaa tuntemattomien kertoimet olemassa oleviin tyhjiin soluihin, ja itse ohjelma laskee askel askeleelta tarvittavan tuloksen, kuvailemalla kutakin toimintoa yksityiskohtaisesti.

Alla on vaiheittaiset ohjeet tämän esimerkin ratkaisemiseksi.

Ensimmäisessä toiminnassa vapaat kertoimet ja tuntemattomia lukuja syötetään tyhjiin soluihin. Siten saamme saman laajennetun matriisin, jonka kirjoitamme käsin.

Ja kaikki tarvittavat aritmeettiset toimenpiteet suoritetaan laajennetun matriisin saattamiseksi kanoniseen muotoon. On ymmärrettävä, että vastaus yhtälöjärjestelmään ei ole aina kokonaislukua. Joskus ratkaisu voi olla murto-osa.

Ratkaisun validointi

Jordan-Gauss-menetelmä käsittää tuloksen oikeellisuuden tarkistamisen. Jotta voidaan selvittää, lasketaanko kertoimet oikein, sinun on vain korvattava tulos alkuperäisessä yhtälöjärjestelmässä. Yhtälön vasemman puolen tulisi vastata oikeaa puolta yhtälön takana. Jos vastaukset eivät ole samat, sinun on laskettava järjestelmä uudelleen tai yritettävä soveltaa sitä toiseen tuntemasi SLAE-ratkaisujen ratkaisemistapaan, kuten korvaaminen tai termi-sanalla vähennys ja lisäys. Loppujen lopuksi matematiikka on tiede, jossa on valtava määrä erilaisia \u200b\u200bratkaisutekniikoita. Mutta muista: tuloksen tulisi aina olla sama, riippumatta siitä, mitä ratkaisumenetelmää käytit.

Gauss-menetelmä: Yleisimmät virheet SLAE: n ratkaisemisessa

Ratkaistaessa lineaarisia yhtälöjärjestelmiä esiintyy useimmiten virheitä, kuten kertoimien väärä siirto matriisimuotoon. On järjestelmiä, joissa jotkut tuntemattomat puuttuvat yhdestä yhtälöstä; silloin ne voidaan kadottaa siirtämällä tietoja laajennettuun matriisiin. Tämän seurauksena, kun tätä järjestelmää ratkaistaan, tulos ei välttämättä vastaa todellista.

Yksi tärkeimmistä virheistä voi olla lopputuloksen väärä kirjoittaminen. On selvästi ymmärrettävä, että ensimmäinen kerroin vastaa ensimmäistä tuntematonta järjestelmästä, toinen toiseen ja niin edelleen.

Gauss-menetelmä kuvaa yksityiskohtaisesti lineaaristen yhtälöiden ratkaisun. Hänen ansiosta on helppo suorittaa tarvittavat toimenpiteet ja löytää oikea tulos. Lisäksi se on universaali työkalu luotettavan vastauksen löytämiseen monimutkaisista yhtälöistä. Ehkä siksi sitä käytetään niin usein SLAE: n ratkaisemisessa.

1. Lineaaristen algebran yhtälöiden järjestelmä

1.1 Käsite lineaaristen algebran yhtälöiden järjestelmästä

Yhtälöjärjestelmä on tila, joka koostuu useiden yhtälöiden samanaikaisesta suorittamisesta useille muuttujille. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (jäljempänä - SLAE) järjestelmä, joka sisältää m-yhtälöt ja n tuntematonta, on muodon muoto:

missä lukuja a ij kutsutaan järjestelmän kertoimiksi, luvut b i ovat ilmaisia \u200b\u200btermejä, a ij ja b i (i \u003d 1, ..., m; b \u003d 1, ..., n) ovat joitain tunnettuja lukuja ja x 1, ..., x n - tuntematon. Kertoimien merkinnässä a ij ensimmäinen indeksi i osoittaa yhtälön lukumäärän ja toinen j sen tuntemattoman lukumäärän, jolla tämä kerroin on. Ellei numero x n löydy. On mukavaa kirjoittaa tällainen järjestelmä kompaktiin matriisimuotoon: AX \u003d B. Tässä A on järjestelmän kertoimien matriisi, jota kutsutaan päämatriisiksi;

Onko pylväsvektori tuntemattomasta xj: stä.
Onko sarakevektori vapaista termeistä bi.

Matriisien A * X tulos määritetään, koska matriisissa A on yhtä monta saraketta kuin matriisissa X on rivejä (n kappaletta).

Järjestelmän laajennettua matriisia kutsutaan järjestelmän matriisiksi A, jota on täydennetty vapaaehtoisten sarakkeiden avulla

1.2 Lineaaristen algebran yhtälöiden järjestelmän ratkaisu

Ratkaisu yhtälöjärjestelmään on järjestetty numerojoukko (muuttujien arvot) korvaamalla joka muuttujien sijasta jokaisesta järjestelmän yhtälöstä muuttuu oikeaksi yhtälöksi.

Järjestelmän ratkaisua kutsutaan tuntemattomien n arvoiksi x1 \u003d c1, x2 \u003d c2, ..., xn \u003d cn, joiden korvaamisella kaikki järjestelmän yhtälöt muuttuvat todellisiksi yhtälöiksi. Mikä tahansa ratkaisu järjestelmään voidaan kirjoittaa matriisisarakkeeksi

Yhtälöjärjestelmää kutsutaan yhteiseksi, jos siinä on ainakin yksi ratkaisu, ja yhteensopimattomaksi, jos siinä ei ole yhtä ratkaisua.

Yhteistä järjestelmää kutsutaan ehdottomaksi, jos siinä on yksi ratkaisu, ja määrittelemättömäksi, jos siinä on enemmän kuin yksi ratkaisu. Jälkimmäisessä tapauksessa kutakin sen ratkaisua kutsutaan erityiseksi järjestelmäratkaisuksi. Kaikkien erityisten ratkaisujen kokonaisuutta kutsutaan yleiseksi ratkaisuksi.

Järjestelmän ratkaiseminen on selvittää, onko se yhteistä vai yhteensopimatonta. Jos järjestelmä on yhteensopiva, etsi yleinen ratkaisu.

Kahta järjestelmää kutsutaan ekvivalentiksi (ekvivalenteiksi), jos niillä on sama yleinen ratkaisu. Toisin sanoen järjestelmät ovat vastaavia, jos kukin ratkaisu yhteen niistä on ratkaisu toiseen, ja päinvastoin.

Transformaatiota, jonka soveltaminen muuttaa järjestelmän uudeksi järjestelmäksi, joka vastaa alkuperäistä, kutsutaan ekvivalentiksi tai vastaavaksi muunnokseksi. Esimerkkejä ekvivalenteista muunnoksista ovat seuraavat muunnokset: järjestelmän kahden yhtälön vaihtaminen, kahden tuntemattoman vaihtaminen kaikkien yhtälöiden kertoimien kanssa, kertomalla järjestelmän minkä tahansa yhtälön molemmat puolet luvulla, joka ei ole nolla.

Lineaaristen yhtälöiden järjestelmää kutsutaan homogeeniseksi, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä kuin nolla:

Homogeeninen järjestelmä on aina yhteensopiva, koska x1 \u003d x2 \u003d x3 \u003d ... \u003d xn \u003d 0 on ratkaisu järjestelmään. Tätä ratkaisua kutsutaan nollaksi tai triviaaliksi.

2. Gaussin eliminointimenetelmä

2.1 Gaussin eliminointimenetelmän ydin

Klassinen menetelmä lineaarisen algebran yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi on menetelmä tuntemattomien eliminoimiseksi peräkkäin - gauss-menetelmä (sitä kutsutaan myös Gaussin poikkeusmenetelmäksi). Tämä on menetelmä muuttujien peräkkäiselle poissulkemiselle, kun perusmuunnoksia käyttämällä yhtälöjärjestelmä pelkistetään vastaavaksi vaiheen (tai kolmion) muodon järjestelmäksi, josta kaikki muut muuttujat ovat peräkkäin, alkaen viimeisistä (lukumäärän perusteella) muuttujista.

Ratkaisuprosessi Gauss-menetelmällä koostuu kahdesta vaiheesta: eteenpäin ja taaksepäin.

1. Suora siirto.

Ensimmäisessä vaiheessa suoritetaan ns. Eteenpäin suuntautuva isku, kun linjojen yli tapahtuvien perusmuutosten avulla järjestelmä johdetaan askelmaiseksi tai kolmion muotoiseksi tai todetaan, että järjestelmä ei ole yhteensopiva. Nimittäin matriisin ensimmäisen sarakkeen elementtien joukosta valitaan nolla, se siirretään korkeimpaan sijaintiin järjestämällä rivejä uudelleen, ja uudelleenjärjestelyn jälkeen saatu ensimmäinen rivi vähennetään jäljellä olevista riveistä kertomalla se määrällä, joka on yhtä suuri kuin näiden kunkin rivin ensimmäisen elementin suhde ensimmäisen rivin ensimmäiseen elementtiin, nolla. siten sen alla oleva sarake.

Kun nämä muunnelmat on suoritettu, ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake poistetaan henkisesti ja jatketaan, kunnes nollakokoinen matriisi jää jäljelle. Jos jonkin iteraation yhteydessä ensimmäisen sarakkeen elementteistä ei löytynyt nollaa, siirry seuraavaan sarakkeeseen ja tee sama toimenpide.

Ensimmäisessä vaiheessa (suora isku) järjestelmä pelkistetään vaiheittaiseen (erityisesti kolmionmuotoiseen) muotoon.

Alla olevasta järjestelmästä on esitetty porraskuva:

Kertoimia aii kutsutaan järjestelmän pää (johtaviksi) elementeiksi.

(jos a11 \u003d 0, järjestele matriisin rivit uudelleen siten, että 11 ei ollut yhtä kuin 0. Tämä on aina mahdollista, koska muuten matriisi sisältää nollasarakkeen, sen determinantti on nolla ja järjestelmä ei ole yhteensopiva).

Muunnamme järjestelmän eliminoimalla tuntemattoman x1 kaikissa yhtälöissä paitsi ensimmäisessä (käyttäen järjestelmän elementtimuunnoksia). Voit tehdä tämän kertomalla ensimmäisen yhtälön molemmat puolet

ja lisää termi termillä järjestelmän toisella yhtälöllä (tai vähennä ensimmäinen kerrottuna termillä toisesta yhtälöstä). Sitten kerrotaan ensimmäisen yhtälön molemmat puolet ja lisätään se järjestelmän kolmanteen yhtälöön (tai vähennetään ensimmäinen kerrottuna kolmannella kolmannesta). Siten kerrotaan peräkkäin ensimmäinen rivi luvulla ja lisätään minä linja i \u003d 2, 3, …, n.

Jatkamalla tätä prosessia saamme vastaavan järjestelmän:

- Järjestelmän viimeisissä m-1-yhtälöissä tuntemattomien ja vapaiden ehtojen kertoimien uudet arvot, jotka määritetään seuraavilla kaavoilla:

Siten ensimmäisessä vaiheessa kaikki ensimmäisen johtavan elementin a 11 alla olevat kertoimet tuhoutuvat

Kuten 0, toisessa vaiheessa toisen johdeelementin a 22 (1) alla olevat elementit tuhoutuvat (jos 22 (1) 0) jne. Jatkamalla tätä prosessia saamme lopulta vaiheessa (m-1) alkuperäisen järjestelmän kolmion muotoiseksi.

Jos järjestelmän saattamiseksi vaiheittaiseen muotoon ilmestyy nollayhtälöitä, ts. yhtälöt muodossa 0 \u003d 0; ne hylätään. Jos lomakkeen yhtälö ilmestyy

sitten tämä osoittaa järjestelmän yhteensopimattomuuden.

Tämä Gauss-menetelmän suora kulku loppuu.

2. Paluuisku.

Toisessa vaiheessa suoritetaan ns. Käänteinen siirto, jonka ydin on ilmaista kaikki saadut perusmuuttujat ei-emäksellisinä ja rakentaa perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä tai, jos kaikki muuttujat ovat perusaineita, ilmaista sitten numeerisessa muodossa ainoa ratkaisu lineaaristen yhtälöiden järjestelmään.

Tämä menettely alkaa viimeisellä yhtälöllä, josta vastaava kantamuuttuja ilmaistaan \u200b\u200b(siinä on vain yksi) ja korvataan aiemmissa yhtälöissä ja niin edelleen, siirtymällä “portaita” ylöspäin.

Täsmälleen yksi perusmuuttuja vastaa kutakin riviä, joten jokaisessa vaiheessa, paitsi viimeisessä (ylimmässä), tilanne toistaa tarkalleen viimeisen rivin tapauksen.

Huomaa: käytännössä on mukavampaa työskennellä ei järjestelmän kanssa, vaan sen laajennetun matriisin kanssa suorittamalla kaikki elementtimuunnelmat linjoillaan. On kätevää, että kerroin a11 on yhtä suuri (järjestele yhtälöt uudelleen tai jaa yhtälön molemmat puolet a11: lla).

2.2 Esimerkkejä SLAE: n ratkaisemisesta Gauss-menetelmällä

Tässä osiossa, käyttämällä kolmea erilaista esimerkkiä, esitetään kuinka ratkaista SLAE Gauss-menetelmällä.

Esimerkki 1. Ratkaise kolmannen kertaluokan SLAE.

Nollaa kertoimet

toisella ja kolmannella rivillä. Voit tehdä tämän kertomalla ne vastaavasti 2/3: lla ja lisäämällä ne ensimmäiselle riville: